Metoda Maxwella-Mohra

Dr inż. Arkadiusz Bednarz

Wytrzymałość Materiałów 2

Politechnika Rzeszowska, 2020

Metoda Maxwella-Mohra

Metoda Maxwella-Mohra, podobnie jak metoda Analityczno-Wykreślna i metoda Clebscha, służy do wyznaczenia liniiugięcia belki. Metoda Maxwella-Mohra jest metodą energetyczną.Metoda ta opiera się na liczeniu całki iloczynów momentów gnących. Na szczęście nie ma potrzeby liczenia całek.

Rozwiązanie opiera się o wzór Wereszczagina (dotyczący całkowania graficznego).Dla badanej belki należy narysować wykres momentu gnącego i oznaczyć go jako 𝑀𝑀𝑔𝑔.W celu znalezienia w dowolnym punkcie kąta obrotu przekroju belki lub strzałki ugięcia, należy postępować wnastępujący sposób:• Chcąc określić strzałkę ugięcia w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeń zewnętrznych,

tylko podpory/utwierdzenie). Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyć siłęjednostkową o kierunku zgodnym z osią y. Dla nowopowstałej belki należy wyznaczyć moment gnący i oznaczyć gojako 𝑚𝑚𝑔𝑔. Wartość strzałki ugięcia to 𝟏𝟏

𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.

• Chcąc określić kąt obrotu w przekroju belki w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeńzewnętrznych, tylko podpory/utwierdzenie). Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyćmoment jednostkowy o kierunku zgodnym z obrotem wskazówek zegara. Dla nowopowstałej belki należywyznaczyć moment gnący i oznaczyć go jako 𝑚𝑚𝑔𝑔. Wartość kąta obrotu przekroju belki to 𝟏𝟏

𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.

Tabelka

Źródło: Niezgodziński M., Niezgodziński T.: Wytrzymałość Materiałów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998

Wartości całek ∫𝑙𝑙 𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐 dla kilku typowych przypadków obciążeń.

Wyjaśnienie wzoru Wereszczagina

�𝑙𝑙

𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐

Na osi poziomej mamy Mg. Na osi pionowej mamy mg. W przypadku „trójkąt rosnący” x „trójkąt rosnący”. Zgodnie z tabelką będzie to wzór 1

3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.

We wzorze pojawia się Ω oraz 𝑥𝑥𝑐𝑐 . Ω to pole powierzchni „1” figury, zaś 𝑥𝑥𝑐𝑐to wysokość w „2” figurze, opuszczona ze środka ciężkości figury „1”.

Udowodnienie i interpretacja wzoru �𝑙𝑙

𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐

Udowodnienie i interpretacja wzoru (wersja czerwona) �𝑙𝑙

𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐

Wzory można stosować naprzemiennie (patrz czerwone i niebieskie prostokąty).

Udowodnienie i interpretacja wzoru (wersja niebieska) �𝑙𝑙

𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐

Rozwiązanie wersji czerwonej:

Czy kierunek trapezu ma znaczenie? �𝑙𝑙

𝑀𝑀𝑔𝑔𝑚𝑚𝑔𝑔 = Ω𝑥𝑥𝑐𝑐

Zadanie 1

Szukane:

Moment gnący (Mg) dla zadanej belki

W tym zadaniu możemy szybko narysować wykres.W tym konkretnym zadaniu, możemy narysować wykres momentu gnącego bez liczenia reakcji. Takie podejście znacznie przyśpiesza rozwiązanie.

Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie A. Przypomnienie ze slajdu nr 2:• Chcąc określić strzałkę ugięcia w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeń zewnętrznych,

tylko podpory/utwierdzenie).• Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyć siłę jednostkową o kierunku zgodnym z osią

y.• Dla nowopowstałej belki należy wyznaczyć moment gnący i oznaczyć go jako 𝑚𝑚𝑔𝑔.• Wartość strzałki ugięcia to 𝟏𝟏

𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.

Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie A.

Wyznaczanie kąta obrotu przekroju A.Przypomnienie ze slajdu nr 2:

• Chcąc określić kąt obrotu w przekroju belki w dowolnym punkcie, należy narysować „surową belkę” (bez obciążeń zewnętrznych, tylko podpory/utwierdzenie).

• Następnie w punkcie (w których chcemy określić strzałkę) przyłożyć moment jednostkowy o kierunku zgodnym z obrotem wskazówek zegara.

• Dla nowopowstałej belki należy wyznaczyć moment gnący i oznaczyć go jako 𝑚𝑚𝑔𝑔.

• Wartość kąta obrotu przekroju belki to 𝟏𝟏𝑬𝑬𝑰𝑰𝒛𝒛

∫𝒍𝒍 𝑴𝑴𝒈𝒈𝒎𝒎𝒈𝒈𝒅𝒅𝒅𝒅.

Wyznaczanie kąta obrotu przekroju A.

Zadanie 2

Szukane:

Moment gnący (Mg) dla zadanej belki

Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie D.

Wyznaczenie kąta obrotu przekroju C.

Wyznaczenie kąta obrotu przekroju A.

Zadanie 3

Szukane:

Moment gnący (Mg) dla zadanej belki

W tym zadaniu, by narysować wykres momentu gnącego, należy wyznaczyć minimum jedną reakcję podporową.

Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie B.

Wyznaczenie kąta obrotu przekroju D.

Zadanie 4

Szukane:

Moment gnący (Mg) dla zadanej belki

Wyznaczenie strzałki ugięcia w punkcie D.

W przypadku, gdy moment gnący zmienia się z dodatniej na ujemną (lub odwrotnie), nie musimy traktować tego obciążenia jako dwa trójkąty. Możemy to potraktować jako trapez. Należy wtedy uwzględnić odpowiednio (+) lub (-) przy wartości wpisywanej do wzoru.

Wyznaczenie kąta obrotu przekroju C.

Wyznaczenie kąta obrotu przekroju A.

Zadania do samodzielnej realizacji

Zadanie 5

Zadanie 6

KONIEC PREZENTACJI

Źródła:

Niezgodziński M., Niezgodziński T.: Wytrzymałość Materiałów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998