2 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW 2.1 WIADOMOŚCI WSTĘPNE

2.1.1 Podstawowe założenia i hipotezy wytrzymałości materiałów

Doświadczenia praktyczne uczą, że każde ciało pod wpływem działających na nie obciążeń ulega odkształceniu. Jeśli obciążenia osiągną odpowiednio duże wartości mogą spowodować, że ciało (element konstrukcyjny) ulega zniszczeniu lub nadmiernemu, nieodwracalnemu odkształceniu. W efekcie traci on swe własności użytkowe, co pociąga za sobą znaczne straty ekonomiczne, a w szczególnych przypadkach może stanowić zagrożenie dla zdrowia i życia jego użytkowników.

Zadaniem wytrzymałości materiałów jest opracowanie metod oceny zachowania spotykanych w praktyce inżynierskiej typowych elementów konstrukcyjnych poddanych działaniu obciążeń. Przez ocenę odporności, czyli sprawdzenie (kontrolę) nośności istniejących lub projektowanych elementów konstrukcyjnych należy rozumieć: ocenę wytrzymałości (obliczenie wartości i rodzaju naprężeń) oraz ocenę odkształceń (określanie wartości i rodzaju odkształceń), w stosunku do ustalonych (zwykle narzucanych normami, zaleceniami producenta lub przepisami odpowiednich służb dozoru technicznego) wymagań praktycznych, gwarantujących dostateczne bezpieczeństwo i dostateczną sztywność elementu.

Odkształcenia i naprężenia występujące w elementach konstrukcyjnych zależą od wielu czynników, przy czym za najważniejsze zwykło uważać się:

• Rodzaj materiału i jego stan, • Kształt i wymiary elementu, • Rodzaj oraz wartości sił obciążających.

W związku z tym metody obliczeniowe stosowane w wytrzymałości muszą wiązać zasady mechaniki ciała stałego (równania równowagi) z matematycznym opisem jego zachowaniem pod wpływem obciążeń. W szczególności koniecznym jest zdefiniowanie stanu odkształceń i naprężeń ciała oraz wzajemnych związków pomiędzy nimi a własności materiału(równania konstytutywne), z którego wykonany jest element konstrukcyjny.

Dla potrzeb zagadnień rozpatrywanych w niniejszym skrypcie, wprowadza się następujące założenia dotyczące materiału, z jakiego wykonany jest element konstrukcyjny:

• Ciągłość materiału. W materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane materiały można uważać za continuum materialne.

• Jednorodność materiału. Właściwości mechaniczne materiału nie są funkcjami położenia, czyli są jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego.

• Izotropowość materiału. Właściwości mechaniczne materiału nie zależą od orientacji rozpatrywanej objętości elementarnej ciała.

• Liniowa sprężystość materiału. Zakłada się, że do pewnej granicy obciążenia ciało zachowuje ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężeniowy stan ciała, do którego badane ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne.

Powyższe założenia pozwalają w konsekwencji na ustalenie wzajemnych zależności matematycznych (równań konstytutywnych) pomiędzy odkształceniami ciała a obciążeniami zewnętrznymi, w oparciu o mechaniczne własności materiału. Należy sobie zdawać sprawę z faktu, że poczynione założenia umożliwiają analizę jedynie pewnej klasy materiałów (liniowo sprężystych) poddanych obciążeniom nieprzekraczających wartości powodujących powstanie odkształceń trwałych.

Stosowanie wzorów obliczeniowych uzyskanych przy tych założeniach do innych zagadnień (materiał ulegający uplastycznieniu, materiały kompozytowe itp.) prowadzi do znacznych błędów na etapie projektowania a w konsekwencjami do zniszczenia konstrukcji w czasie jej eksploatacji.

Jest oczywistym, że opis matematyczny wymaga informacji na temat własności mechanicznych materiału. Powyższe informacje uzyskuje się przez odpowiednie badania wytrzymałościowe, w szczególności określające odkształcenia materiału w funkcji obciążeń przy różnych warunkach zewnętrznych. Tak uzyskane wartości opisują w sposób uśredniony właściwości mechaniczne materiału i opisują z pewną dokładnością zjawiska, jakie zachodzą w materiale rzeczywistym.

Podstawowe założenie wytrzymałości materiałów mówi, że ciało materialne pod wpływem obciążeń ulega odkształceniom. Rozróżnia się dwa rodzaje odkształceń: odkształcenia sprężyste, ustępujące po usunięciu obciążenia, oraz odkształcenia trwałe, zwane plastycznymi, pozostające w materiale po usunięciu ich przyczyny. Należy zaznaczyć, że odkształcenia trwałe towarzyszą procesowi obciążenia od samego początku, ale ich wartość zaczyna mieć praktyczne znaczenie (w przypadku materiałów liniowo sprężystych) dopiero po przekroczeniu wielkości, zwanej granicą sprężystości. Dodatkowo przyjmuje się, że w większości przypadków wszelkie odkształcenia w stosunku do wymiarów ciała są znikomo małe, co zresztą odpowiada praktycznym warunkom eksploatacji elementów konstrukcyjnych. W zależności od mechanizmu odkształceń wywołanych obciążeniem, materiały konstrukcyjne można podzielić na trzy grupy podstawowe: materiały sprężysto-plastyczne (metale konstrukcyjne), lepko-sprężyste (tworzywa sztuczne, szkliwa, betony), materiały sprężysto-kruche (kryształy).

Proces analizy stanu odkształceń i naprężeń elementu konstrukcyjnego wymaga prawidłowego opisu zarówno własności mechanicznych materiału jak i kształtu elementu. Taki model nosi nazwę schematu obliczeniowego, na który nakłada się układ obciążeń, przez co powstaje pełny model statyczno-wytrzymałościowy układu (konstrukcji, urządzenia). Można powiedzieć, że model statyczno-wytrzymałościowy jest schematem lub zbiorem schematów poszczególnych elementów konstrukcji lub urządzenia, zapisanych znakami umownymi i zawierającymi wiadomości o podstawowych wymiarach, sposobach podparcia lub wzajemnych połączeniach oraz obciążeniach zewnętrznych. Mimo złożoności problemów do rozwiązywania, metody rachunkowe ilościowej oceny stanu odkształceń i naprężeń elementów konstrukcyjnych są stosunkowo proste. Wytrzymałość materiałów jest, bowiem nauką zastosowań praktycznych, w której dla ułatwienia analizy zależności między działającymi z zewnątrz siłami a pracą elementu godzimy się bardzo często na stosowanie pewnych założeń upraszczających lub metod przybliżonych, których słuszność weryfikuje się z zwykle w oparciu o wyniki badań eksperymentalnych i teorię sprężystości.

2.1.2 Rodzaje obciążeń

Jednym z podstawowych zadań elementów konstrukcyjnych jest zrównoważenie obciążeń zewnętrznych lub wykonanie określonej pracy, sprowadzonej do przemieszczania w kierunkach wyznaczonych działaniem działających sił. W tym rozumieniu obciążenia zewnętrzne są równe ciężarowi własnemu konstrukcji, obciążeniom użytkowym oraz wpływom zewnętrznym związanym z użytkowaniem urządzenia. Zwykle obciążenia działające na konstrukcję dzielimy na:

• Obciążenia stałe. Do obciążeń tych zalicza się ciężar własny konstrukcji oraz ciężar własny elementów podtrzymywanych przez konstrukcję. Obciążenie to w okresie eksploatacji na niezmienną wartość.

• Obciążenia użytkowe (zmienne). Jest to grupa zasadniczych obciążeń, dla których projektuje się daną konstrukcję. Do obciążeń tych należą m.in.: obciążenia od wyposażenia technologicznego, siły bezwładności wynikające z pracy urządzeń, wpływ prędkości odkształceń, wpływ czasu obciążenia, wpływ obciążeń wielokrotnych. Zakres tych obciążeń jest bardzo szeroki a ich oszacowanie należy do najbardziej istotnych fragmentów budowy modelu statycznego.

• Wpływ otoczenia. Grupa warunków pracy konstrukcji obejmująca wpływy atmosferyczne (śnieg, wiatr), wpływ temperatury otoczenia, napromieniowanie itp. Zwykle zakres tych wpływów określają odpowiednie normy, ale może zachodzić potrzeba indywidualnej analizy, szczególnie w przypadku konstrukcji prototypowych.

• Obciążenia transportowe i montażowe. Są to obciążenia określające zachowanie się elementu lub konstrukcji w czasie transportu i montażu, gdy elementy nie są jeszcze całkowicie złączone zgodnie z ich udziałem w maszynie lub urządzeniu.

Oczywiste jest przy tym, że w trakcie analizy ze zbioru możliwych kombinacji obciążeń należy uwzględniać zestawy obciążeń wywołujące najbardziej niekorzystne układy sił i momentów zarówno elementów składowych jak i całej konstrukcji.

2.1.3 Odkształcenia

Odkształceniem nazywamy chwilową lub trwałą zmianę wymiarów całego ciała lub jego części wywołaną przyłożonym do niego obciążeniem. Ponieważ założyliśmy, że analizowane ciało ma postać kontinuum materialnego, możemy założyć, że dwa punkty ciała sąsiadujące ze sobą przed odkształceniem pozostają sąsiednimi i po odkształceniu. Ponadto można przyjąć, że przemieszczenia stykających się elementów, na jakie podzieliliśmy myślowo rozpatrywane ciało są znikomo małe.

Rys.2.1 Odkształcenia a) ciało przed odkształceniem, b) ciało po odkształceniu

Intensywność odkształcenia będąca miarą odkształcenia określają (rys.2.1):

• Zmiany wymiarów długości l (względne wydłużenie ciała – rys.2.1.a):

ll

l

∆=

→0limε (2.1)

• Zmiany wymiarów kąta γ (odkształcenie postaci ciała – rys.2.1.b)

'''lim 0,0 EDCCDEDECE −= →→γ (2.2)

Zmiana długości jest wynikiem rozluźnienia struktury ciała, a zmiana postaci wynikiem poślizgu tj. przesunięcia się warstwy atomów po sobie. Stan odkształcenia w otoczeniu punktu np. O, będą opisywały wielkości ε i γ we wszystkich kierunkach, z punktem O jako punktem odniesienia.

Rys.2.2 Zmiana objętości i postaci elementarnego prostopadłościanu.

W zorientowanej układem odniesienia przestrzeni odkształcenie elementarnego prostopadłościanu o bokach dx, dy, dz w przypadku ogólnym określa sześć wielkości jednostkowych:

zyx εεε , , opisujących zmiany długości jego boków, oraz zxyzxy γγγ , , opisujących zmiany jego kątów dwuściennych. Jeśli przyjmie się, że wobec jego małych wymiarów odpowiednie ściany będą do siebie równoległe, czyli prostopadłościan przechodzi w równoległościan (rys.2.2) to jednostkowa zmiana objętości:

( ) 1coscoscos)1)(1(1'−+++=

−=

∆zxyzxyzyxV

VVVV γγγεεε (2.3)

gdyż: dxdydzV = , ( ) zxyzxyzyx dxdydzV γγγεεε coscoscos)1)(1(1' +++= .

Jeśli założy się, że iloczyny zyx εεε , , można pominąć jako wielkości małego rzędu, zależność (2.3) przyjmie postać:

1coscoscos)1('−+++=

−=

∆zxyzxyzyxV

VVVV γγγεεε (2.4)

a względna zmiana objętości dana wzorem (2.4) jest superpozycją dwóch odkształceń: objętości i postaci.

2.1.3.1 Odkształcenia czysto objętościowe

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter odkształceń czysto objętościowych jest spełnienie zależności:

εεεε

γγγ

===

===

zyx

zxyzxy 0 (2.5)

Gdyby składowe zyx εεε , , różniły się miedzy sobą, to powstałby kąt γ (rys.2.3). Z zależności (2.4) wynika, że przy odkształceniu czysto objętościowym względna zmiana objętości jest równa:

ε3'=

−=

∆V

VVVV

(2.6)

Rys.2.3 Ilustracja odkształceń czysto objętościowych

2.1.3.2 Odkształcenie czysto postaciowe

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter czysto postaciowy jest:

0

0 1cos ,cos ,cos

=++

=∆→

zyx

zxyzxy Vczyli

εεε

γγγ (2.7)

Należy zauważyć, że niespełnienie któregokolwiek z warunków (2.5) i (2.7) świadczy, że występuje odkształcenie mieszane: objętościowo-postaciowe (rys.2.4).

Rys.2.4. Odkształcenia mieszane objętościowo-postaciowe.

2.1.4 Naprężenia

Z kursu mechaniki wynika, że miarą mechanicznego oddziaływania na siebie ciał są wektory sił iPρ

i wektory momentów siły iMρ

. Mówiąc, że jakieś ciało znajduje się w równowadze pod wpływem

działających na niego układu sił i par sił (momentów), rozumie się, że układ sił iPρ

i momentów iMρ

jest układem zrównoważonym. W wytrzymałości przyjmuje się ponadto, że rozpatrywane ciało znajduje się w równowadze dzięki odpowiedniemu doborowi więzów w postaci reakcji jR

ρ.

Układ sił czynnych (do przenoszenia, których służy dany element konstrukcyjny) oraz układ sił reakcji (równoważący układ sił czynnych) nazywa się obciążeniem. W obliczeniach statyczno-wytrzymałościowych bardzo często stosuje się izolację układu, polegającą na odpowiednim rozczłonkowaniu elementów z zachowaniem wzajemnego oddziaływania, co ułatwia prowadzenie rachunków. Jest to celowo przeprowadzona myślowa metoda przecięć. Na rys.2.5 pokazano przykładowo podział ramy na trzy belki, które mogą być analizowane oddzielnie.

Rys.2.5 Podział złożonej konstrukcji na proste podukłady.

Tę samą metodę przecięć stosuje się do ujawniania sił wewnętrznych w ciele M (znajdującym się w równowadze) izolowanym z rozpatrywanego układu i obciążonego układem sił czynnych i biernych (rys.2.6). Jeśli poprowadzimy myślowo pewną zamkniętą powierzchnię A wewnątrz obszaru ciała, to oddziaływanie części zewnętrznej na materiał ograniczony tą powierzchnią obejmuje siły wewnętrzne bez możliwości ich dokładnego określenia. Wydzielenie na powierzchni A elementu powierzchniowego ∆A z wektorem ψ

ρ prostopadłym do ∆A i skierowanym na zewnątrz powierzchni

A, orientuje ∆A.

Rys.2.6 Metoda przecięć

W obszarze ciała M materiał leżący po dodatniej stronie wektora ψρ

wywiera siłę pρ∆ na część ciała przylegającą do ∆A, ale leżącą po ujemnej stronie ψ

ρ. Równocześnie )(Afp =∆

ρ. Gdy ∆A dąży

do zera, to granica ilorazu Ap ∆∆ /ρ dąży do granicy dApd /ρ , przy czym zanika moment sił działających na powierzchni ∆A z uwagi na 0→rρ . Wektor graniczny o kierunku ∆P równy:

dA

pdpρ

ρ=ψ (2.8)

nazywa się wektorem naprężenia lub krótko naprężeniem.

Należy zaznaczyć, że definiowanie naprężeń jako wektora w otoczeniu danego punktu ciała jest dopuszczalne tylko wtedy, gdy myślowy przekrój traktujemy jako stały. Odmienność naprężenia w otoczeniu punktu B ciała w zależności od przeprowadzonego przekroju obrazuje rys.2.7 ( ψψ 'pp ρρ

≠ ), mimo, że chodzi tu o ten sam punkt B ciała M.

Rys.2.7 Wpływ orientacji wektora ψρ

na wektor naprężenia ψpρ .

Miarą naprężeń w układzie SI jest 1 paskal (skrótowo Pa) definiowany jako stosunek siły 1 N do powierzchni 1m2. Do praktycznych zastosowań jednostka ta jest zbyt mała i dlatego posługujemy się megapaskalem (1MPa=106Pa).

Rys.2.8 Rozkład wektora naprężenia na składowe.

Przyjmijmy, że obiektem rozważań jest, w przypadkowo zorientowanym układzie Oxyz, elementarny prostopadłościan o powierzchniach zyx dAdAdA ,, wycięty z badanego elementu w

otoczeniu jego punktu J (rys.2.8a). Wektor naprężeń ψpρ może być rozłożony na trzy składowe xpρ ,

ypρ oraz zpρ . Na ściance ,xdA tej kostki działa wektor xpρ w ogólnym przypadku o kierunku

nierównoległym do osi x. Wobec tego wektor xpρ może być rozłożony na trzy składowe o kierunkach przyjętego układu osi współrzędnych (rys.2.8.b):

kpjpipp xzxyxxx ++=ρ

(2.9)

podobnie można rozłożyć wektory dla innych powierzchni ( zy dAdA , ):

kpjpipp yzyyyxy ++=ρ

(2.10)

kpjpipp zzzyzxz ++=ρ

(2.11)

Składowe o indeksach równoimiennych skierowane wzdłuż normalnych do rozpatrywanych powierzchni nazywamy naprężeniami normalnymi i oznaczamy σ, pozostałe zaś nazywamy naprężeniami stycznymi τ. Przyjmijmy przy tym umowę znakowania: +σ = naprężenie na zewnątrz rozpatrywanego przekroju +τ = wg przyjętego układu osi współrzędnych.

W ogólnym trójosiowym stanie naprężenia na ściankach myślowo wyciętego elementarnego prostopadłościanu będą występowały naprężenia o składowych pokazanych na rys.2.9. Można wykazać (zapisując równania równowagi statycznej dla elementarnego prostopadłościanu), że składowe naprężeń stycznych prostopadłe do krawędzi przecięcia dwóch elementarnych przekrojów wzajemnie prostopadłych są wzajemnie równe. Zmniejsza to praktycznie liczbę składowych w ogólnym stanie do naprężenia do sześciu: zxyzxyzyx τττσσσ ,,,,, .

Rys.2.9 Składowe wektora naprężeń

2.1.5 Elementy teorii sprężystości

Naprężenia w ciele zależą od wzajemnego położenia elementarnych cząsteczek ciała poddanego działaniu sił zewnętrznych. Naprężenia są, zatem związane pewnymi zależnościami funkcyjnymi z odkształceniami, przy czym z kolei odkształcenia są uwarunkowane odpowiednimi cechami materiału ciała. Prowadzi to do umownych zapisów:

)(εσ f= (2.12)

Wiadomości o funkcjach f wzajemnych zależności σ od ε uzyskuje się przez odpowiednie próby wytrzymałościowe. Wyłączając z rozważań próby specjalistyczne podstawową statyczną próbą wytrzymałościową jest próba na rozciąganie. Wszystkie próby przeprowadza się na znormalizowanych, co do kształtu i wymiarów próbkach umożliwiających jednolitą interpretację wyników badań. Materiały sprężysto-plastyczne (metale, niektóre tworzywa sztuczne, itp.), poddawane próbom na rozciąganie, bada się na stosunkowo długich próbkach walcowych, natomiast materiały sprężysto-kruche na krótkich próbkach walcowych.

Zazwyczaj w czasie próby uzyskuje się zależność wydłużenia próbki od wartości siły rozciągającej, którą przedstawia się w postaci wykresu )(εσ f= . Na rys. 2.10 pokazano wykresy ilustrujące próbę statycznego rozciągania materiału sprężysto-plastycznego i sprężysto- kruchego.

Rys. 2.10 Wykres rozciągania próbki z materiału a) sprężysto-plastycznego, b)spręzysto-kruchego

Z wykresów wynika, że funkcja f jest nieliniowa, co wynika z zachowania się materiału podczas próby. Poszczególne liniowości i nieliniowości różnych typów rozdzielają umowne punkty, którym odpowiadają wartości charakterystyczne σ lub ε :

• Granica proporcjonalności RH (punkt A). Jest to naprężenie, przy którym występuje jeszcze praktycznie liniowość między odkształceniem a naprężeniem.

• Granica sprężystości Rsp (punkt A'). Odpowiada naprężeniom, przy których brak jest liniowości między σ i ε , ale po odciążeniu próbka wraca do swojego kształtu pierwotnego (brak wyraźnego odkształcenia trwałego). Oznacza to, że nagromadzona podczas odkształcenia energia sprężysta (praca sił wewnętrznych) przy odciążeniu zostaje w całości zwrócona. Zwykle punkty A i A' są położone bardzo blisko siebie i często przyjmowane jako wspólne.

• Granica plastyczności Re (punkt B). Jest naprężeniem, przy którym uwidaczniają się znaczne odkształcenia plastyczne (wzrost ε przy praktycznie stałym eR=σ ). Samo zjawisko w obszarze B-B', zwane płynięciem materiału, wiąże się ze zmianami mikrostruktury materiału w postaci mikroskopijnych poślizgów nieznikających po odciążeniu i dających odkształcenia trwałe. Trzeba wyjaśnić, że gdy spR<σ istnieją również poślizgi strukturalne, co zawsze wiąże się z pewnymi, chociaż bardzo małymi odkształceniami trwałymi. Są one jednak rzadkie i dopiero liczba ich gwałtownie, a nawet lawinowo wzrasta, gdy eR→σ . Zatem granica sprężystości spR jest pojęciem umownym i zależy od dokładności pomiarów i z reguły nie występuje w tablicach własności mechanicznych materiałów. Natomiast wartości eR , podawane są powszechnie. Jeśli jednak punkt eR nie zaznacza się wyraźnie w czasie badań, wprowadza się pojęcie umownej granicy plastyczności 2,0eR przyjmując taki punkt wykresu, w którym odkształcenia trwałe osiągają wartość 0,2%. Uzasadnieniem takiej umowy jest to, że przy takim odkształceniu trwałym obraz zmian mikrostruktury jest podobny do obrazu zmian w materiale z wyraźną granicą eR .

• Umocnienie materiału (punkt B'). Punkt, w którym tworzenie się poślizgów doznaje pewnego zahamowania. Od tego punktu w celu zwiększenia ε trzeba zwiększyć σ (choć już nie tak szybko jak w pierwszej fazie obciążenia).

• Wytrzymałość doraźna Rm (punkt C). Jest punktem stanu, przy którym naprężenia przestają być jednorodne. W badanych próbkach pojawia się koncentracja poślizgów w jednym miejscu, uwidoczniona w postaci lokalnego przewężenia (szyjki). Punkt ten służy do określenia umownej

(nie fizycznej) wielkości A

PRmmax= (A - początkowe pole przekroju).

W przedziale me RR <<σ występuje ciekawe zjawisko podniesienia granicy plastyczności. Jeśli proces obciążenia przerwać np. w punkcie E, to proces odciążenia przebiegnie po linii prostej EF, równoległej do OA. Całkowitemu odciążeniu )0( =σ odpowiada trwałe odkształcenie OF. Powtórne obciążenie spowoduje zmianę odkształceń po linii FE, po czym dalszy przebieg )(εσ f= będzie odbywał się po linii EC. Gdyby obciążenie przerwać w punkcie E, to okaże się, że po zdjęciu obciążenia materiał wraca znowu do stanu F. W przedziale naprężeń Eσ→0 materiał zachowuje się jak materiał sprężysty. Zjawisko to jest szeroko wykorzystywane w technice.

Z badań zależności )(εσ f= odczytuje się pewne własności materiału zwane cechami wytrzymałości materiału, jeśli odnoszą się do całości próby, lub cechami sprężystości materiału, jeśli odnoszą się do obszaru odkształceń sprężystych.

2.1.5.1 Cechy sprężystości materiału

• Moduł sprężystości podłużnej (moduł Young’a) E określa proporcjonalność między σ i ε w obszarze HR→0 , i definiowany jest jako:

εσα == )(tgE (2.13)

Moduł Young’a charakteryzuje opór, jaki materiał stawia wydłużeniu sprężystemu. Zależność

(2.13) z reguły przedstawiana jest w postaci prawa Hooke'a Eσε = .

• Liczba (współczynnik) Poisson’a ν określa proporcjonalność wzajemnie do siebie prostopadłych wydłużeń liniowych:

x

z

x

y

εε

εε

ν −=−= (2.14)

Zależność (2.14) jest częściej podawana w postaci E

xxzy

νσνεεε −=−== .

• Moduł sprężystości postaciowej (sprężystości, poprzecznej, moduł Kirchoff’a) G określa proporcjonalność między γ i τ :

γτ

=G (2.15)

Moduł sprężystości postaciowej G charakteryzuje opór, jaki materiał stawia sprężystej zmianie

postaci. Zależność (2.15) z reguły przedstawiana jest w postaci prawa Kirchhoffa Gτγ = .

2.1.5.2 Cechy wytrzymałości materiału

Wytrzymałość materiału opisywana jest następującymi wielkościami:

• Granica plastyczności eR . • Wytrzymałość doraźna mR . • Wydłużalność materiału. Zwyczajowo wydłużenie plastyczne oznacza się przez rA i oblicza

wg wzoru:

%100)( 1 ⋅−

=o

or L

LLA (2.16)

w którym oL oznacza pomiarowy (przed odkształceniem) odcinek próbki przyjmowany jako wielokrotność jej średnicy )5.10,20( ooooo dddLd = , 1L długość pomiarowego odcinka po zerwaniu podczas gdy indeks r podaje krotność średnicy, np. 5A .

Opisane właściwości materiału na ogół charakteryzują większość materiałów konstrukcyjnych. Nie należy jednak tych sformułowań generalizować, gdyż istnieją lub pojawiają się materiały, których cechy zarówno wytrzymałości jak i sprężystości odbiegają od wyżej opisanych (np. materiały kompozytowe, piezoceramiczne, materiały z pamięcią kształtu).

Należy zaznaczyć, że podane zależności (2.13-2.15) między odkształceniami a naprężeniami są prawami konstytutywnymi obowiązującymi w obszarze liniowej proporcjonalności funkcji

)(εσ f= i pozwalają na stosowanie zasady superpozycji obciążeń i skutków ich działania.

Tablica 2.1 Składowe odkształceń w funkcji naprężeń

xσ yσ zσ xyτ xzτ yzτ

xε E

xσ

Eyσ

ν− E

zσν−

yε E

xσν− E

yσ

Ezσν−

zε E

xσν− E

yσν−

Ezσ

xyγ

Gxyτ

xzγ

Gxzτ

yzγ

Gyzτ

Dzięki zasadzie superpozycji (rozkładu złożonego stanu naprężenia na składowe - tablica 2.1) można znaleźć wspólne wartości odkształceń materiałów liniowo-sprężystych, w przypadku obciążenia ich w układzie trójwymiarowym:

[ ]

[ ]

[ ]

G

G

G

E

E

E

yzyz

xzxz

xyxy

yxzz

zxyy

zyxx

τγ

τγ

τγ

σσνσε

σσνσε

σσνσε

=

=

=

+−=

+−=

+−=

)(1

)(1

)(1

(2.17)

Zależność (2.17) nazywa się uogólnionym prawem Hooke'a w trójosiowym stanie naprężenia.

2.1.6 Podział obciążeń. Zasada de Saint-Venanta

W zależności od sposobu przyłożenia sił zewnętrznych możemy wyróżnić następujące elementarne przypadki obciążeń: rozciąganie lub ściskanie, ścinanie, skręcanie oraz zginanie.

Rys.2.11 Elementarne przypadki obciążeń

Weźmy pod uwagę elementarne przypadki obciążeń pręta (rys.2.11). Prętem nazywamy ciało, w którym jeden z wymiarów (długość) przeważa nad pozostałymi wymiarami (poprzecznymi), zaś osią pręta jest linia utworzona przez środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręta. Dwie siły równe, co do wartości, przeciwnie skierowane, działające wzdłuż osi pręta powodują jego rozciąganie lub ściskanie. Siły prostopadłe do osi pręta znajdujące się nieskończenie blisko siebie powodują jego ścinanie. Dwie pary sił działające w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta powodują jego skręcanie Siły prostopadłe do osi pręta znajdujące się w pewnych odległościach od siebie powodują jego zginanie.

Przedstawiona klasyfikacja obciążeń ilustruje przypadki obciążeń prostych, jeżeli zaś równocześnie występuje kilka obciążeń prostych, mamy wówczas przypadki wytrzymałości złożonej. Siły zewnętrzne mogą być przykładane do ciała nie tylko jako obciążenie ciągłe, ale też jako

obciążenie prawie-skupione. Ponieważ skończona wartość siły skupionej działa na bardzo małej powierzchni w otoczeniu punktu przyłożenia tej siły, powstają tutaj bardzo duże odkształcenia i naprężenia lokalne. Jednak w dostatecznej odległości od punktu przyłożenia tej siły, rozkład naprężeń jest już równomierny w całej objętości rozpatrywanego ciała. Rozpatrywany problem ujmuje zasada de Saint-Venanta (rys.2.12).

a) b) Rys.2.12 Ilustracja zasady de Saint-Venanta

Równoważne układy sił działające na mały obszar ciała wywołują takie same stany naprężenia w całym ciele z wyjątkiem bezpośredniego otoczenia przyłożonych sił.

Spiętrzenia naprężeń w miejscach styku dociskanych wzajemnie ciał są rozpatrywane jako osobne zagadnienie naprężeń powierzchniowych (wytrzymałości kontaktowej) w odróżnieniu od naprężeń występujących w całej objętości rozpatrywanych ciał.

2.2 PODSTAWY PROJEKTOWANIA KONSTRUKCJI

2.2.1. Uwagi ogólne o doborze materiałów konstrukcyjnych

Projektant ma do swojej dyspozycji wiele materiałów i może spośród nich wybrać najbardziej odpowiadający przeznaczeniu projektowanego elementu konstrukcyjnego. Jednak ta dowolność wyboru materiału stwarza największe trudności gdyż wymaga, uwzględnienia i pogodzenia względów eksploatacyjnych, technologicznych i wytrzymałościowych z ekonomicznymi.

Na ogół do projektując nowe konstrukcje dobiera się materiały w oparciu o istniejące rozwiązania, co znacznie upraszcza zagadnienie, brak jest, bowiem jednolitego kryterium doboru materiału konstrukcyjnego. W związku z tym projektant powinien dobrze poznać własności materiałów i umieć je prawidłowo interpretować, jak również umiejętnie posługiwać się doświadczeniem i intuicją konstruktorską.

Podstawowymi danymi do projektowania konstrukcyjnego są własności mechaniczne materiału opisywane szeregiem stałych otrzymywanych eksperymentalnie, takich jak: moduł sprężystości Young’a E , moduł sprężystości Kirchoffa G , liczba Poissona ν , wytrzymałość doraźna mR , granica plastyczności eR (lub 2,0eR ), wydłużalność 5A , twardość H oraz wytrzymałość zmęczeniowa Z . Ponadto dane te często uzupełnia się wiadomościami o pełzaniu, szczególnie w podwyższonych temperaturach, oraz o udarności. W oparciu o skład chemiczny można dobrać materiały odpowiadające panującym warunkom chemicznym otoczenia konstrukcji. Z własności chemicznych projektant otrzymuje wiadomości o zachowaniu się materiału pod wpływem temperatury, o jego żaroodporności, o czynnikach powodujących jego korozję itp. Z danych fizycznych projektant czerpie

wiadomości o gęstości, przewodności elektrycznej i cieplnej, o właściwościach magnetycznych materiału. W tablicy 2.2 podano wybrane własności mechaniczne oraz wytrzymałościowe najbardziej popularnych materiałów konstrukcyjnych. Ogólne wiadomości o własnościach materiałów należy czerpać z odpowiednich danych atestowych produkcji materiałów z informatorów lub norm.

Tablica 2.2 Własności mechaniczne wybranych materiałów konstrukcyjnych.

Wytrzymałość

Materiał ][

10 5

MPaE ⋅

][ 105

MPaG ⋅

][−ν

][MPa

Re

][MPaRmr

][MPaRmc

[%]5A

Stal St 3S 2,06 0,80 0,29 235 370-460 370-460 25 Stal sprężynowa 60SGH 2,08 0,80 0,30 ~1250 ~1400 ~1400 7

Żeliwo zwykłe 1,20 0,47 0,27 80-100 120-200 700-850 5 Aluminium 0,72 0,27 0,34 50 90-100 90-100 8-13 Cyna 0,55 0,21 0,33 40 20-40 - 40 Cynk 1,30 0,49 0,33 100 110-150 - 5-20 Miedź 1,15 0,43 0,34 70 220 - 60 Ołów 0,17 0,06 0,42 5 20 20 50 Wolfram 4,20 1,80 0,17 750 ~1300 - - Stop Al-Cu D16 0,70 0,26 0,34 320 460 460 17 Stop Cu-Sn (brąz) 1,05 0,40 0,32 350 480 480 11 Sosna (wzdłuż włókien) 0,10 - 0,05 - 80 45 - Dąb (wzdłuż włókien) 0,15 - 0,05 - 96 55 - Beton 0,30 0,13 0,17 - 2-3 20-40 - Szkło potasowe 0,62 0,25 0,24 - 2-3 70-90 ~0 Bakelit 0,04 0,01 0,37 - - 80 - Kauczuk miękki 5104 −⋅ 5103,1 −⋅ 0,49 - 20 - (>200)

Również wiadomości o własnościach technologicznych, takich obrabialność, tłoczność, spawalność, hartowność itp. są bardzo istotne, gdyż narzucają sposób obróbki elementów lub wybór materiału z uwagi na warsztatowe możliwości wykonania. Wybór materiału konstrukcyjnego zależy także od jego ceny. Celem wybrania możliwie najodpowiedniejszego materiału na projektowany element konstrukcyjny należy porównać przewidywane warunki jego pracy z odpowiadającymi im własnościami materiałów. Należy przy tym zwrócić uwagę na szereg wymagań zestawionych w tablicy 2.3.

Tablica 2.3 Cechy materiału w zależności od rodzaju projektowanego elementu

Element projektowany Poszukiwane cechy materiałowe

Rodzaj obciążenia i naprężeń Wytrzymałość, twardość, odporność na ścieranie, naprężenia dopuszczalne

Rodzaj odkształceń Moduły sprężystości E i G , liczba Poissona ν Środowisko pracy Odporność korozyjna Temperatura pracy Ciepło odporność, pełzanie, relaksacja Kształt elementu Warunki obróbki Funkcje elektryczne Oporność, przewodność elektryczna Funkcje cieplne Przewodność cieplna Liczba produkowanych sztuk Ekonomia produkcji i koszty nabycia

2.2.2. Zasady ogólne obliczeń konstrukcyjnych

Projektant przy kształtowaniu konstrukcji musi wypełnić różne sprzeczne ze sobą postulaty, do których można zaliczyć:

• Nadanie konstrukcji najodpowiedniejszej formy pod względem użytkowym. • Zapewnienie maksymalnego bezpieczeństwa, niezawodności i trwałości. • Przeprowadzenie realizacji projektu przy minimalnym nakładzie kosztów.

Przez wiele wieków pojęcie bezpieczeństwa konstrukcji było praktycznie nieokreślone. Wymiary konstrukcji ustalano na podstawie nawyków i doświadczenia przekazywanego z pokolenia na pokolenie. Dopiero w XX wieku pojawiło się pojęcie naprężeń dopuszczalnych k jako granicy, której naprężenia rzeczywiste w elemencie konstrukcyjnym nie mogą przekroczyć. Wartość naprężeń dopuszczalnych k ustalono jako pewien ułamek naprężeń uznawanych za niebezpieczne, przyjmowanych na podstawie różnych hipotez wytrzymałościowych. Z reguły za stan niebezpieczny przyjmowano wytrzymałość doraźną materiału mR lub też nadmierne odkształcenia trwałe, co prowadziło do uznania granicy plastyczności eR za stan niebezpieczny. Wobec tego definiowano dwa rodzaje naprężeń dopuszczalnych:

e

ee X

Rk = ,m

mm X

Rk = (2.18)

gdzie liczby eX i mX są większe od jedności i noszą nazwę współczynników bezpieczeństwa odniesionymi odpowiednio do eR lub mR . Współczynniki bezpieczeństwa zwykle są podawane w odpowiednich przepisach i normach państwowych dla poszczególnych, rodzajów konstrukcji i materiałów konstrukcyjnych. Z wartością k wiąże się także ekonomiczna opłacalność i koszty.

Liczbowa wartość X zależy od dokładności, z jaką znane są obciążenia zewnętrzne, od stopnia jednorodności materiału, charakteru obciążeń (stałe czy zmienne w czasie), warunków użytkowania itp. W związku z tym wartości liczbowe X ustalane są z dużą dozą niepewności i często opiera się przy tym na intuicji i doświadczeniu inżynierskim. Metoda naprężeń dopuszczalnych jest oparta na istotnym założeniu, że o bezpieczeństwie całej konstrukcji decyduje wartość naprężenia w jednym jej miejscu. Założenie to jest najbardziej dyskusyjne, gdyż ścisłe trzymanie się jego prowadzi z reguły do niepotrzebnego przewymiarowania konstrukcji.

2.3 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR

We wzorach dotyczących wytrzymałości materiałów wykorzystywane są statyczne momenty powierzchniowe wyższego rzędu, które przez analogię do pojęć znanych ze statyki nazywamy momentami bezwładności powierzchni. Momenty bezwładności powierzchni w wytrzymałości materiałów nazywa się skrótowo momentami bezwładności. Miarą momentów bezwładności są ][ 4m .

Dla potrzeb wytrzymałości materiałów, dla osi przechodzących przez środek ciężkości powierzchni C, definiuje się następujące rodzaje momentów bezwładności (dla oznaczeń przyjętych jak na rys.2.13):

Rys.2.13 Oznaczenia wykorzystane w definicji momentów bezwładności

• Moment bezwładności względem osi y i z:

∫

∫=

=

A

z

A

y

dAyI

dAzI

2

2 ,

(2.19)

• Biegunowy moment bezwładności O:

∫ +==A

zyo IIdArI 2 (2.20)

• Moment dewiacji (odśrodkowy):

∫=A

yz yzdAI (2.21)

Dla osi przesuniętych równolegle w stosunku do osi przechodzących przez środek ciężkości powierzchni C, można udowodnić, że słuszne jest twierdzenie Steinera (dla oznaczeń przyjętych jak na rys.2.14):

2

1

21

AcIIAbII

zz

yy

+=

+=

(2.22)

AbcII yzzy +=11 (2.23)

Rys.2.14 Ilustracja twierdzenia Steinera

Momenty bezwładności względem osi ζη, obróconych o kąt β można wyrazić poprzez momenty względem osi nieobróconych (dla oznaczeń przyjętych jak na rys.2.15):

βββ

βββ

βββ

ηζ

ζ

η

2coscossin

2sincossin

2sinsincos

22

22

22

yzzy

yzzy

yzzy

IIII

IIII

IIII

−+=

−+=

−+=

(2.24)

Rys.2.15 Oznaczenia do wyznaczenia momentów bezwładności względem osi obróconych

Osiowe momenty bezwładności przyjmują wartości ekstremalne (maximum i minimum) dla osi układu obróconych o kąt 0β . Momenty te noszą nazwę głównych osiowych momentów bezwładności. Jednocześnie moment dewiacji dla osi obróconych o kąt 0β jest równy zeru. Kąt 0β obliczamy z zależności:

)(2

2 0zy

yz

III

tg−

−=β (2.25)

Kątom 0β i 2/0 πβ + obliczonym wg. (2.25) odpowiadają ekstremalne wartości momentów bezwładności:

22

min

22max

4)(5,0)(5,0

4)(5,0)(5,0

yzzyzy

yzzyzy

IIIIII

IIIIII

+−−+=

+−++=

(2.26)

Znajomość głównych momentów bezwładności i głównych osi bezwładności upraszcza zależności (2.24), które przyjmują postacie:

( )2

2sin2cossin

2sincos

minmax

min2

max

min2

max

β

ββ

ββ

ηζ

ζ

η

III

III

III

−=

+=

+=

(2.27)

Mając zdefiniowane momenty bezwładności względem osi oraz bieguna można zdefiniować wskaźniki przekroju na zginanie zy WW , i skręcanie oW :

max

maxmax

,

rIW

yIW

zI

W

oo

zz

yy

=

== (2.28)

gdzie maxy , maxz oznaczają odległość skrajnych włókien od osi a maxr ich odległość od bieguna.

Stosowane w praktyce przekroje stanowią z reguły kombinację figur prostych (prostokąt, trójkąt, koło itp.). Wzory Steinera pozwalają na obliczanie momentów bezwładności figur złożonych przez rozłożenie jej na figury proste. W tablicy 2.4 podano przykładowo momenty bezwładności oraz wskaźniki na zginanie i skręcanie spotykanych w praktyce, przekrojów elementów konstrukcyjnych.

Tablica 2.4 Momenty bezwładności i wskaźniki na skręcanie i zginanie figur płaskich

Lp. Przekrój oI oW yI yW

1

12

3bh

6

2bh

2

4141,0 a

4208,0 a

12

4a

6

3a

3

12

4a

3

3

11785,012/2a

a ≈

4

36

3bh I)

24

2bh

4

803 b

20

3b

II)

12

2bh

5

4115,0 a

3189,0 a 33 625.08/5 aa =

6

4

4

5413,016/35

aa ≈

3

3

5413,016/35

aa ≈

7

32

4dπ

16

3dπ

44

0491.064

dd≈

π

33

0982.032

dd≈

π

8

12)( 33 hHb −

H

hHb6

)( 33 −

9

32)( 44 dD −π

16)( 33 dD −π

64)( 44 dD −π

D

dD32

)( 44 −π

10

11

12

12

33 bhBH −

HbhBH

6

33 −

2.4 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTÓW PROSTYCH

2.4.1 Założenia podstawowe

Pręty proste statycznie wyznaczalne to pręty, w których wartości reakcji od obciążeń zewnętrznych można określić z równań statyki, a naprężenia w każdym dowolnie pomyślanego przekroju pręta można wyznaczyć metodą przecięć. Z badań eksperymentalnych wynika, że przy rozciąganiu (ściskaniu) pręta siłami niepowodującymi odkształceń trwałych oś pręta pozostaje prosta, pręt zwiększa swoją długość (rys.2.16) a narysowana na bocznej powierzchni pręta prostokątna siatka, zostaje w dalszym ciągu prostokątna, choć zmieniają się jej wymiary.

Rys.2.16 Rozciąganie pręta pryzmatycznego

Pozwala to na postawienie hipotez, że dla prętów z materiałów liniowo sprężystych:

• Naprężenie normalne w każdym, pomyślanym przekroju prostopadłym do osi pręta i wzdłuż całego pręta (z wyjątkiem krótkich odcinków przy jego końcach, co można praktycznie pominąć) jest proporcjonalne do wartości wektora siły P i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta A :

AP

x =σ (2.29)

• Wydłużenie względne w kierunku osi pręta (odkształcenie normalne) jest proporcjonalne do naprężeń normalnych xσ , a odwrotnie proporcjonalne do stałej materiałowej zwanej modułem, Younga E :

EAP

ELL x

x ==∆

=σε (2.30)

• Odkształcenie w kierunku poprzecznym do osi pręta (przewężenie w przypadku rozciągania, spęczenie w przypadku ściskania) yε jest proporcjonalne do naprężeń normalnych xσ i liczby Poissona ν , a odwrotnie proporcjonalne do modułu Young’a E :

E

xxy

σννεε −=−= (2.31)

Na podstawie powyższych założeń można dla osiowego rozciągania (ściskania) sformułować

prawo Hooke’a (równanie konstytutywne) w postaci:

xx Eεσ = (2.32)

Wartości modułu Young’a i liczby Poisson’a dla typowych materiałów konstrukcyjnych podano w tablicy 2.2.

2.4.2 Naprężenia dopuszczalne

Projektant wykonując obliczenia wytrzymałościowe może w praktyce wykonywać tzw. obliczenia sprawdzające, polegające na określeniu naprężeń i odkształceń oraz współczynnika bezpieczeństwa konstrukcji o znanych wymiarach i obciążeniu, lub obliczenia projektowe polegające na określeniu wymiarów konstrukcji przy znanych obciążeniach tak, aby naprężenia dopuszczalne były mniejsze od dopuszczalnych.

Obciążenia elementu konstrukcyjnego mogą doprowadzić do powstania takiego stanu naprężeń, który prowadzi do powstania w nim stałych odkształceń, lub jego zniszczenia. Z próby rozciągania wynika, że gdy naprężenia osiąganą wartość graniczną mR próbka ulegnie zerwaniu. Równie niekorzystnym może być powstanie odkształceń trwałych przy przekroczeniu przez naprężenia granicy plastyczności 2,0, ee RR . W celu zabezpieczenia się przed taką sytuacją należy określić graniczną wartość naprężenia, nieprzekraczalną w danych warunkach pracy elementu. Tę wartość naprężenia nazywamy naprężeniem dopuszczalnym. W przypadku rozciągania, naprężenia dopuszczalne oznacza się symbolem rk . W obliczeniach projektowych przy rozciąganiu musi być spełniony następujący warunek:

rkAP≤=σ (2.33)

gdzie:

m

mr X

Rk = (2.34)

e

re

er X

Rk

XRk 2,0 , == (2.35)

Współczynniki em XX , nazywamy współczynnikami bezpieczeństwa odpowiednio w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie mR lub w odniesieniu do granicy plastyczności 2,0, RRe . Przy ustalaniu wartości współczynnika bezpieczeństwa należy uwzględnić warunki pracy, rodzaj materiału, rodzaj obciążeń, niedokładność obliczeń wytrzymałościowych, wielkość elementu. Przyjęto, że współczynniki mX stosuje się dla materiałów sprężysto-kruchych (bez wyraźnej granicy plastyczności) a współczynniki eX dla materiałów sprężysto-plastycznych (z wyraźną lub umowną granicą plastyczności). W tablicy 2.5. przedstawiono przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa, którymi można się posługiwać przy obliczeniach wytrzymałościowych, a w tablicy 2.6 orientacyjne wartości naprężeń dopuszczalnych rk w funkcji wartości granicy plastyczności eR i wytrzymałości doraźnej mR .

Tablica 2.5 Współczynniki bezpieczeństwa dla rozciągania typowych materiałów konstrukcyjnych

Materiał eX mX

Stal, staliwo, żeliwo ciągliwe 2 - 2,3 - Żeliwo szare - 3,5

Mosiądz 3 - Brąz 3,5 -

Stopy aluminium 3,9 - Stopy magnezu 3,9 -

Tablica 2.6

Naprężenia dopuszczalne rk w funkcji wartości granicy plastyczności ., me RR Materiał

rk Stale węglowe (0,55-0,65) eR

Stale stopowe normalizowane (0,5-0,6) eR Stale stopowe hartowane (0,35-0,5) eR

Stale stopowe do ulepszania cieplnego (0,35-0,45) eR Staliwa (0,35-0,45) eR Żeliwa (0,14-0,2) mR

Stopy aluminium (0,2-0,4) mR Stopy miedzi (0,2-0,35) mR

2.5 ŚCINANIE TECHNOLOGICZNE

Ścinanie czyste przy którym naprężenia styczne τ są jedynymi naprężeniami w danym przekroju elementu, w rzeczywistych konstrukcjach praktycznie nie występuje. Zwykle naprężeniom stycznym τ towarzyszą naprężenia normalne σ . Istnieje jednak pewna grupa elementów konstrukcyjnych, w której naprężenia styczne są dominujące. Elementy takie, do których zalicza się między innymi sworznie i nity, obliczane są wyłącznie na ścinanie. Zakłada się przy tym, że rozkład naprężeń ścinających w przekroju pręta jest równomierny i nie zależy od jego kształtu. Ze względu na poczynione odstępstwa od ścisłej teorii mówimy, że mamy do czynienia z ścinaniem technologicznym. Naprężenia ścinające obliczane są z zależności:

t

tt X

RkAT

=≤=τ (2.36)

gdzie T oznacza wartość wektora siły tnącej, A jest polem przekroju poprzecznego pręta, tk oznacza naprężenie dopuszczalne na ścinanie, tR jest wytrzymałością materiału na ścinanie (zawsze

mt RR < ) podczas gdy tX jest współczynnikiem bezpieczeństwa na ścinanie.

Przekształcając wzór (2.36) można obliczyć wartość siły przenoszonej przez nity jednocięte (rys.2.17):

4

2tkdT π

= (2.37)

oraz nity dwucięte (rys.2.18):

2

2tkdT π

= (2.38)

Rys.2.17 Obciążenia nita jednociętego.

Rys.2.18 Obciążenia nita dwuciętego.

Ścinaniu nitów towarzyszy nacisk powierzchniowy dp' (rys.2.19), przy czym do obliczeń przyjmuje się równomierny układ naprężeń powierzchniowych dp i wobec tego:

dgdkT = (2.39)

gdzie T siła docisku przypadająca na jedną blachę, g grubość blachy, d średnica nitu, dk naprężenie dopuszczalne na docisk powierzchniowy.

Rys.2.19 Rozkład nacisków powierzchniowych

Również spoiny pachwinowe (rys.2.20) oblicza się na ścinanie technologiczne. Naprężenia ścinające występują wzdłuż wysokości trójkąta spoiny. Ponieważ dla spoin pachwinowych wysokość najmniejszego przekroju wynosi aas 7,0= , wobec tego długość spoiny potrzebna do przeniesienia siły tnącej T obliczana jest z zależności:

ststs

s akT

kaTl

7.0== (2.40)

gdzie stk oznacza naprężenie dopuszczalne w spoinie (zwykle przyjmuj się stk = 0,65 rk materiału łączonego).

Rys.2.20 Wymiary spoiny pachwinowej.

2.6 SKRĘCANIE PRĘTÓW KOŁOWYCH

Typowym przykładem pracy pręta na skręcanie jest praca wału przekazującego napęd z silnika na element roboczy, np. koło, wirnik itp. (rys.2.21). Moc nP silnika zostaje przekazana przez wał na

pokonanie oporów ruchu elementu roboczego. Wektory momentów skręcających (napędowego nMρ

i

oporowego oMρ

) leżą wzdłuż osi x, są wzajemnie równe i przeciwnie skierowane. Wartość momentu napędowego nM wynosi:

nPM n

n 55,9= (2.41)

gdzie nP oznacza moc silnika ][W , n jest prędkością obrotową wału silnika min]/[obr .

Rys.2.21 Skręcanie wału napędowego

2.6.1 Wyznaczanie momentu skręcającego

Momentem skręcającym sMρ

nazywamy parę sił Pρ

leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do osi

x pręta (rys.2.21). Wewnętrznym momentem skręcającym sMρ

, nazywamy algebraiczną sumę momentów skręcających po lewej lub prawej stronie przekroju pręta. Przyjmujemy przy tym, że wartość wektora sM

ρ uważamy za dodatnią, gdy jego zwrot jest skierowany na zewnątrz badanego

przekroju pręta (rys.2.22).

Rys.2.22 Konwencja znaków momentu skręcającego

Sposób wyznaczania wewnętrznych momentów skręcających saMρ

i sdMρ

, wywołanych

zewnętrznymi momentami skręcającymi sBMρ

i sCMρ

pokazano na rys.2.23.

Rys.2.23 Wykres momentów skręcających w pręcie

2.6.2 Naprężenia i odkształcenia skręcanego pręta o przekroju kołowym

Zależność pomiędzy wartością wektora momentu skręcającego sM a wywołanymi przez to obciążenie naprężeniami poszukiwana jest na drodze analizy odkształceń na zewnętrznej powierzchni pręta. Okazuje się, że obraz odkształceń jest różny dla różnych kształtów przekrojów poprzecznych. Najprostszy, a tym samym najłatwiejszy do interpretacji obraz odkształceń przekroju, otrzymuje się dla prętów kołowych (rys.2.24).

Rys.2.24 Odkształcenia pręta skręcanego

Przy obciążeniu pręta o przekroju kołowym momentem skręcającym o wartości sM , dostrzega się, że przekroje poprzeczne doznają obrotu wokół osi pręta bez widocznych deformacji, a tworzące przyjmują kształt linii śrubowych, przy czym pierwotna długość walca nie ulega zmianie. Upoważnia to do postawienia dwu wniosków:

• Jeśli przekroje poprzeczne doznają jedynie obrotów, to w zakresie odkształceń sprężystych można przyjąć, że nie ulegają one deplanacji (hipoteza płaskich przekrojów).

• Brak wydłużeń i przewężeń wskazuje na występowanie wyłącznie naprężeń stycznych τ .

Do dalszej analizy przyjmuje się następujące założenia, które znajdują potwierdzenie w weryfikujących je badaniach:

• Wartości naprężeń stycznych τ zwiększają się proporcjonalnie do odległości od osi wału, poczynając od zera w jego środku do wartości maksymalnych we włóknach skrajnych (rys.2.25.b).

• Naprężenia τ są styczne do odpowiednich okręgów przekroju, czyli są prostopadłe do odpowiednich promieni (rys.2.25.b).

• Elementarne siły styczne dAdT ρρ τ= w przekroju tworzą układ sił, który redukuje się do wypadkowej pary sił, równoważnej momentowi skręcającemu.

Rys.2.25 Rozkład naprężeń w pręcie skręcanym

Przyjmując powyższe założenia na podstawie zależności geometrycznych (rys.2.25) znajdujemy:

ϕγϕργ γρ rddxddx == , (2.42)

Ponieważ γτ G= (prawo Hooke’a dla skręcania), więc:

dx

dG ϕρτ ρ = (2.43)

Na podstawie założenia dAdT ρρ τ= , możemy wyznaczyć wartość momentu skręcającego:

∫ ∫∫ ====A

o

AAs dx

dGIdAdxdGdAdTM ϕρϕρτρ ρρ

2)( (2.44)

gdzie ∫=A

o dAI 2ρ oznacza biegunowy moment bezwładności powierzchni przekroju.

Uwzględniając w równaniu (2.44) zależność (2.43) otrzymujemy związek na wartość momentu

skręcającego w funkcji odległości od osi obrotu pręta:

ρ

τ ops

IM = (2.45)

Ostatecznie największe naprężenia styczne (na obwodzie wału) wynoszą:

so

s

o

s kWM

IrM

≤=== γττmax (2.46)

gdzie rIW o

o = oznacza wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie (patrz tablica 2.4), a sk

oznacza naprężenia dopuszczalne przy skręcaniu.

Z zależności (2.44) znajdujemy związek do wyznaczenia kąta obrotu przekroju:

o

s

o

s

GIlM

GIM

dxd

=⇒= ϕϕ (2.47)

gdzie ϕ oznacza kąt skręcania w radianach odcinka l wału, na którym działa stały moment skręcający o wartości sM .

Drugim obok danego zależnością (2.46) kryterium wytrzymałościowego, kryterium służących do projektowania wałów skręcanych jest warunek odkształceniowy:

dopo

s

GIlM ϕϕ ≤=max (2.48)

gdzie dopϕ określa największy dopuszczalny kąt skręcenia wału.

Z zależności (2.46) wynika, że wytrzymałość wału jest w pełni wykorzystana jedynie na jego obwodzie. W celu lepszego wykorzystania materiału często stosuje się wały drążone (rys.2.26), znacznie lżejsze od wałów pełnych. Ponadto przy zachowaniu jednakowej wytrzymałości na skręcanie wały drążone z uwagi na większą średnicę są sztywniejsze od wałów pełnych.

Rys.2.26 Rozkład naprężeń w skręcanym wale drążonym.

2.7 ZGINANIE BELEK

Umownie dla prętów zginanych przyjmuje się prawoskrętny układ osi współrzędnych. Początek układu współrzędnych przyjmuje się nad lewą podporą pręta, w jego środku ciężkości przekroju, oś x wzdłuż długości pręta, osie zy, pokrywają się z głównymi osiami bezwładności przekroju pręta.

Pod pojęciem czystego zginania rozumiemy występowanie w rozpatrywanym przekroju pręta tylko momentu gnącego o wartości gM prostopadłego do osi x pręta (rys.2.27).

Rys.2.27 a) Czyste zginanie względem osi y, b) zginanie ze ścinaniem.

W praktyce momentowi gnącemu gMρ

towarzyszy zwykle siła Tρ

, zwana siłą tnącą, także prostopadła do osi x pręta (rys.2.27.b). Przypadek wspólnego działania momentu gnącego

gMρ

i siły tnącej Tρ

nazywamy zginaniem poprzecznym. Należy on do zagadnień tzw. wytrzymałości złożonej.

Pręty zginane nazywamy belkami. Z punktu widzenia mechaniki belka jest płaskim ciałem sztywnym lub sztywnym prętem podpartym dla zachowania równowagi trzema więzami, z których najczęściej występują: podpora przegubowo-przesuwna, podpora przegubowo-nieprzesuwna lub podpora utwierdzona. Istnieją jeszcze inne, bardziej złożone typy podpór, np. podpory utwierdzono-przesuwne, podpory sprężyste. Ponieważ dla płaskiego dowolnego układu sił można napisać trzy warunki równowagi statycznej:

0,0,0111

=== ∑∑∑===

n

ioi

n

izi

n

ixi MPP

ρρρ, liczba niewiadomych wartości na podporach nie powinna

być większa od trzech (belka statycznie wyznaczalna). Jeśli liczba niewiadomych wartości podporowych jest większa od trzech, to belka staje się statycznie niewyznaczalna.

2.7.1 Naprężenia w belce zginanej

Belka pokazana na rys.2.28 jest statycznie wyznaczalna. W oparciu o warunki równowagi statycznej płaskiego dowolnego układu sił możemy wyznaczyć reakcje AR

ρ i BR

ρ,

równoważące układ sił czynnych iPρ

. Stosując metodę przecięć możemy określić siły

wewnętrzne np. w punkcie C belki. Na lewą część AB belki działają siły: 11 WPRA

ρρρ=+

(rys.2.28.a-b). Siłę 1Wρ

można przenieść do punktu C (rys.2.28.c-e), i wówczas otrzymamy w nim siłę NTW

ρρρ+=1 oraz 1WrM g

ρρρ×= .

Rys.2.28 Obciążenia w przekroju belki

Ogólnie, na dowolny punkt osi belki działają (rys.2.28.e-f):

• Siła poprzeczna Tρ

. Prostopadła do osi belki, jako algebraiczna suma składowych prostopadłych od osi belki wszystkich sił obciążenia, działających po lewej lub prawej stronie rozpatrywanego przekroju belki.

• Siła normalna Nρ

. Równoległa do osi belki, jako algebraiczna suma składowych równoległych do osi belki wszystkich sił obciążenia, działających po lewej lub prawej stronie rozpatrywanego przekroju belki;

• Moment gnący gMρ

. Algebraiczna suma momentów sił, działających po lewej lub prawej stronie rozpatrywanego przekroju belki.

Siły T

ρ i N

ρ oraz gM

ρ są siłami panującymi wewnątrz przekroju. Umowa znakowania

przedstawiona została na (rys.2.29). Przyjmujemy, że:

• Wartość T siły poprzecznej ma znak dodatni, gdy usiłuje obrócić rozpatrywana część belki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

• Wartość N siły normalnej ma znak dodatni, gdy powoduje oddalanie się od siebie myślowo przeciętych części belki.

• Wartość gM momentu gnącego ma znak dodatni, gdy powoduje obrót lewego przekroju belki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Rys.2.29 Umowa znakowania sił i momentów w pręcie zginanym

2.7.2 Analiza belki przy czystym zginaniu

Czyste zginanie belki zachodzi, gdy na całej długości lub na pewnym jej odcinku wartość wektora momentu gnącego constxM g =)( oraz wartość wektora siły tnącej 0)( =xT (w belce nie działają siły poprzeczne). Związek między wartością momentu gnącego gM a wywołanymi przez to obciążenie naprężeniami wynika z analizy odkształceń zewnętrznych powierzchni belki. W wyniku odkształceń, narysowana na bokach belki siatka prostokątna przyjmuje kształt pokazany na rys.2.30. Linie pionowe 1-3, 2-4 obracają się i pozostają proste, a kontur przekroju pozostaje płaski. Ponadto można zauważyć, że na skutek obrotu przekrojów wzdłużne włókna belki po stronie wklęsłej belki ulegają skróceniu a po stronie wypukłej wydłużeniu.

Rys.2.30 Odkształcenia belki zginanej.

Na podstawie powyższych spostrzeżeń można przyjąć następujące założenia:

• Przekroje poprzeczne belki płaskie przed odkształceniem pozostają płaskimi po odkształceniu (hipoteza płaskich przekrojów).

• Istnieje obojętna warstwa włókien o niezmienionych długościach pierwotnych - tzw. płaszczyzna neutralna.

• W granicach liniowej sprężystości naciski w kierunku poprzecznym do włókien są pomijalne. W przekroju poprzecznym belki występują wyłącznie naprężenia normalne σ .

Z analizy odkształceń względnych xε wzdłuż osi wzdłużnej belki oraz w oparciu o podane założenia możemy określić zależności między wartością momentu gnącego gM a naprężeniami normalnymi σ i ich rozkładem w dowolnym przekroju poprzecznym belki – rys.2.31.

Rys.2.31 Rozkład odkształceń i naprężeń w elemencie belki

Z zależności geometrycznych elementu odkształconego (oznaczając εε =x ) znajdujemy:

ρρ

ε dszds

=+

+)(

)1( (2.49)

gdzie ρ oznacza promień krzywizny płaszczyzny obojętnej. Wykorzystując prawo Hooke’a ( εσ E= ) oraz związek (2.49) możemy podać zależność na naprężenia w dowolnym miejscu przekroju poprzecznego belki:

ρ

σρ

ε Ezzz=⇒= )( (2.50)

W celu określenia zależności między wartością momentu gnącego gM a promieniem krzywizny

ρ z warunków równowagi sił zewnętrznych reprezentowanych przez moment gnący gM i sił

wewnętrznych dAz)(σ w przekroju (rys.2.34) przy uwzględnieniu (2.50) znajdujemy:

0)(1

=== ∫∫∑= AA

n

ixi zdAEdAzP

ρσ

ρ (2.51)

0])([1

=== ∫∫∑= AA

n

izi yzdAEydAzM

ρσ

ρ (2.52)

0])([ 2

1=−=−= ∫∫∑

= Agg

A

n

iyi MdAzEMzdAzM

ρσ

ρ (2.53)

Z równania (2.51) wynika, że moment statyczny przekroju poprzecznego belki względem osi y jest równy zeru, co oznacza, że nie tylko suma sił wewnętrznych dAzσ w całym przekroju jest równa zeru, ale także, że centralna oś y przekroju poprzecznego belki leży w warstwie obojętnej. Z równania (2.52) wynika, że moment dewiacji przekroju poprzecznego belki yzI jest równy zeru, co oznacza, że osie y i z tworzą układ głównych osi bezwładności przekroju belki. Natomiast z równania (2.53) otrzymujemy:

y

g

EIM

=ρ1

(2.54)

gdyż yA

IdAz =∫ 2 oznacza moment bezwładności przekroju względem osi y .

Krzywizna belki jest proporcjonalna do wartości momentu zginającego gM i odwrotnie

proporcjonalna do iloczynu yEI , zwanego sztywnością na zginanie. Wykorzystując zależność

Ezz)(1 σ

ρ= , otrzymujemy związek pomiędzy naprężeniem a wartością momentu gnącego:

y

g

EIzM

z =)(σ (2.55)

Ocenę bezpieczeństwa, a wobec tego i projektowanie belek przy poprzecznym zginaniu (a z takim mamy najczęściej do czynienia) przeprowadzamy badając jedynie ekstremalne naprężenia normalne. Ze wzoru (2.55) wynika, że największe co do bezwzględnej wartości naprężenia normalne występują we włóknach najbardziej odległych od osi obojętnej przekroju. Wobec tego warunk bezpieczeństwa przekroju przy czystym zginaniu wyraża się zależnością:

gy

g

y

g kWM

EIzM

≤== maxmaxσ (2.56)

gdzie maxzI

W yy = nosi nazwę wskażnika przekroju na zginanie względem osi y.

Ze związku (2.56) wynika, że materiał belki jest w pełni wykorzystany tylko w tym miejscu, w

którym występuje maxgM . W każdym innym przekroju, w którym maxgg MM < materiał nie jest w pełni wykorzystany. Chcąc temu zapobiec, należy optymalizować kształtu przekroju poprzecznego belki, zakładając zmienną wartość wskaźnika wytrzymałości )(xWy w funkcji położenia x przekroju. Postulat ten sprowadza się do rozwiązania równania:

g

gy k

xMxW

)()( = (2.57)

Belkę ukształtowaną wg. zależności (2.57) nazywamy belką o stałej wytrzymałości na zginanie.

Powyższy warunek nie określa kształtu przekroju poprzecznego belki, który trzeba dobrać odpowiednio do warunków rzeczywistej pracy belki, co na ogół nie jest zbyt łatwe i często zadowalamy się rozwiązaniami przybliżonymi.

Rys.2.32 Belki o stałej wytrzymałości o zmiennej szerokości b(x) i zmiennej wysokości h(x)

Dla belki pokazanej na rys.2.32 możemy zależność (2.57) zapisać jako:

gg

gy k

Pxk

xMxW ==

)()( (2.58)

Zakładając 6)()(

2hxbxWy = , czyli przyjmując wzdłuż długości belki stałą wysokość h przy

zmiennej szerokości belki )(xb , znajdujemy:

lxB

khPxxb

g

== 26)( (2.59)

gdzie gkh

PlB 26

= określa szerokość belki w środku jej rozpiętości.

Jeśli z kolei przyjmiemy stałą szerokość belki constb = a zmienną wysokość )(xh to zgodnie z zależnością (2.57) otrzymamy związek:

gkb

Pxxh 26)( = (2.60)

wskazujący na to, że wysokość )(xh belki zmienia się wg. paraboli.

2.7.3 Wyznaczenie linii ugięcia belki

Aby określić odkształcenia osi obojętnej ACB belki (rys.2.33) wykorzystujemy z geometrii różniczkowej, wzór na krzywiznę linii, oraz z wytrzymałości materiałów, wzór (2.54) wyrażający krzywiznę belki poprzez lokalną wartość momentu gnącego )(xM g .

.

Rys.2.33 Linia ugięcia belki

Wiążąc wzajemnie obie zależności, przy założeniu małych ugięć, znajdujemy uproszczoną postać równania różniczkowego krzywizny belki:

y

g

EIxM

xxw )()(

2

2

=∂

∂ (2.61)

gdzie )(xw oznacza przemieszczenie poprzeczne przekrojów belki wzdłuż osi z .

Wyznaczenie funkcji opisującej przemieszczenia poprzeczne )(xw dla rozpatrywanego odcinka belki, w którym constEI y = oraz moment gnący )(xM g jest opisany jednym równaniem algebraicznym (belka jednoprzedziałowa), sprowadza się do dwukrotnego scałkowania stronami równania (2.61):

DdxCdxxMxwEI

CdxxMxxwEI

l lgy

lgy

∫ ∫

∫

+

+=

+=∂

∂

)()(

)()(

(2.62)

gdzie: xxtgxxw ϑϑ ≈=

∂∂ )(

oznacza kąt ugięcia (mierzony w radianach), l jest długością przedziału

belki.

Stałe całkowania C i D wyznacza się z warunków w brzegowych w miejscu podparcia. Dla typowych podpór możemy zapisać następujące warunki brzegowe:

• Podpora przegubowa oraz przesuwna. W miejscu podpory zakłada się zerowe przemieszczenie poprzeczne:

0=w (2.63)

• Wspornik. W miejscu utwierdzenia przyjmuje się zerowe przemieszczenie poprzeczny oraz zerowy kąt obrotu:

0

0

=

=∂∂

wxw

(2.64)

• Koniec swobodny. Na końcu swobodnym zakładamy, że moment gnący i siła tnąca są równe zeru:

0

0

3

3

2

2

=∂∂

=∂∂

xw

xw

(2.65)

W belce o n przedziałach wzdłuż całej jej długości rozwiązanie równania (2.61) prowadzi do układu 2 n równań z których każde posiada stałe całkowania. Stałe Ci wyznacza się na podstawie równości kątów ugięcia belki oraz Di na podstawie równości przemieszczeń belki na brzegach sąsiadujących ze sobą przedziałów. Liczba warunków brzegowych w miejscach podparcia oraz ciągłości na granicach przedziałów musi być równa liczbie szukanych stałych całkowania.

Wzory obliczeniowe gnących, strzałek ugięcia i kątów obrotu dla typowych schematów obciążenia belek podano w tablicy 2.7.

Tablica2.7 Belki statycznie wyznaczalne, momenty ugięcia, strzałki ugięcia, kąty obrotu.

Lp. Schemat belki i obciążenia Mgmax Strzałka ugięcia Kąt nachylenia stycznej do linii

ugięcia w punktach A, B 1 2 3 8

1

PlM gA −= EI

Plf3

3

−= EI

PlB 2

2

−=ϑ

2

PaM gA −= )3(6

2

alEI

Paf −−= EI

PaB 2

2

−=ϑ

3

2/2glM gA −= EI

qlf8

4

−= EI

qlB 6

3

−=ϑ

4

2/2gaM gA −= )4(24

3

alEI

qaf −−= EI

qaB 6

3

−=ϑ

5

MM gA −= EI

Mlf2

2

= EIMl

B −=ϑ

6

4/PlM gD = EI

Plf48

3

−= EI

PlBA 16

2

−=−= ϑϑ

7

lPabM gD /=

23

)(33

+−= bla

lEIPbf

przy abax

32

31+=

(dla ba > )

EIbaPa

BA 2)( +

−=−= ϑϑ

8

8/qlM g =

przy 2/lx = EI

qlf

3845 4

−= EI

qlBA 24

3

−=−= ϑϑ

9

qRM Ag 2/2=

przy qRx A 2/=

10

MM g = EI

Mlf8

2

−= EI

MlBA 2

−=−= ϑϑ

2.8 WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA

2.8.1 Zarys hipotez wytrzymałościowych

Z opisu wzajemnych zależności między naprężeniami a odkształceniami, wynika, że odkształcenia postaci są związane z naprężeniami stycznymi, a za odkształcenia objętości odpowiadają naprężenia normalne. Ocena wytrzymałości materiału w złożonym stanie naprężenia nie może opierać się, na wektorowym dodawaniu pρρρ

=+τσ , gdyż zatracony byłby wtedy rzeczywisty stan odkształcenia (odkształcenia mieszanego), odpowiedzialny za wewnętrzną pracę materiału.

Tak, więc koniecznym jest opracowanie metody oceny bezpieczeństwa materiału, uwzględniającej złożony stan naprężenia. Najwygodniej jest przy tym określić w materiale, znajdującym się w ogólnym stanie naprężenia, jego graniczny stan nośności, za który uważa się pojawienie się odkształceń trwałych. Jest to zadanie o tyle trudne, że pojawienie się stanu niebezpiecznego na ogół zależy nie tylko od wartości naprężeń, ale także i od wzajemnego ich stosunku. Znalezienie, zatem warunków, które określałyby pojawienie się stanu niebezpiecznego, staje się bardzo skomplikowane i właściwie w zakresie eksperymentalnych badań wytrzymałościowych niemożliwe do zrealizowania.

Przybliżone określenie zjawiska zbliżania się materiału do stanu niebezpiecznego, równoznacznego z pojawieniem się odkształceń trwałych, jest przedmiotem tzw. hipotez wytrzymałościowych. Hipotezy te podają odpowiednie funkcje złożonego stanu naprężenia, które mogą być uznane za miarodajne do określenia wytężenia materiału, przez który rozumiemy stan krytyczny naprężeń (np. eR w materiałach sprężysto-plastycznych lub mR w materiałach sprężysto-kruchych).

Poniżej przedstawiono szereg hipotez wytrzymałościowych:

• Hipoteza największych naprężeń normalnych maxσ

W myśl tej hipotezy, o wytężeniu materiału decyduje największe naprężenie normalne występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała (rys.2.34). Jeżeli w dowolnym punkcie elementu konstrukcyjnego występują jednocześnie naprężenia główne 321 ,, σσσ to naprężenia 2σ i 3σ nie mają wpływu na stan wytężenia materiału. Hipoteza ta ma znaczenie raczej historyczne, lecz może być stosowana dla materiałów kruchych. Kryterium wytrzymałościowe myśl tej hipotezy przyjmuje postać:

rz k≤= 1σσ (2.66)

gdzie zσ oznacza naprężenia zredukowane (zastępcze).

Rys.2.34 Ilustracja hipotezy największych naprężeń normalnych maxσ

• Hipoteza największych naprężeń tnących ( maxτ )

Zgodnie z tą hipotezą, o wytężeniu materiału nie decyduje osiągnięcie przez naprężenia rozciągające granicy plastyczności, lecz osiągnięcie przez naprężenia styczne wartości krytycznej. W przypadku rozciągania kryterium wytrzymałościowe przyjmuje postać:

rz k≤== 1max 21στσ (2.67)

zaś w trójosiowym stanie naprężeń

rz k≤−== )(21

31max σστσ (2.68)

Oznacza to, że naprężenie 1σ może być większe od granicy plastyczności (rys.2.35), zanim powstanie w materiale krytyczny stan zapoczątkowujący jego płynięcie. Hipoteza daje wyniki najbardziej zgodne z doświadczeniem dla materiałów plastycznych (stale niskowęglowe).

Rys.2.35 Ilustracja hipotezy największych naprężeń stycznych maxτ

• Hipoteza największego wydłużenia względnego ( maxε )

O wytężeniu materiału decyduje wartość największego wydłużenia lub skrócenia względnego, które nie może przekraczać wartości dopuszczalnych dla prostego rozciągania. Kryterium wytrzymałościowe myśl tej hipotezy przyjmuje postać:

rz k≤

+−+−+−

=)()()(

max

213

312

321

σσνσσσνσσσνσ

σ (2.69)

Hipoteza ta ma dziś praktycznie znaczenie historyczne.

• Hipoteza Hubera

Zgodnie z tą hipotezą, o wytężeniu próbki decyduje nie ta część energii, która idzie na odkształcenie objętościowe, lecz jedynie ta część, która idzie na odkształcenie postaci. Kryterium wytrzymałościowe myśl tej hipotezy przyjmuje postać:

[ ] rz k≤−+−+−= 213

232

221 )()()(

21 σσσσσσσ (2.70)

Hipoteza Hubera jest powszechnie stosowana przy analizie wytrzymałościowej elementów konstrukcyjnych wykonanych z materiałów sprężysto-plastycznych.

Znaczenie hipotez jest ogromne, gdyż redukują one liczbę niezbędnych doświadczeń, jakie należałoby wykonać, aby dla danego materiału i całej mnogości stanów naprężenia (niektórych wręcz niemożliwych do realizacji) ustalić kryteria stanu niebezpiecznego.

2.8.1 Zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem Rozpatrzmy belkę zginaną dwiema parami sił o momentach gM , działających w dowolnej płaszczyźnie głównej i jednocześnie rozciąganej lub ściskającymi siłami osiowymi P (rys.2.36). W dowolnym przekroju belki będą działały naprężenia normalne pochodzące od rozciągania (ściskania) i zginania:

y

gg

cr

IzM

AP

AP

=

−=

σ

σ )(

(2.71)

Rys.2.36 Jednoczesne zginanie i rozciąganie (ściskanie) belki W skrajnych włóknach belki naprężenia całkowite będą wynosiły:

y

g

y

g

WM

AP

WM

AP

−±=

+±=

2

1

σ

σ

(2.72)

Maksymalne naprężenia będą panowały we włóknach skrajnych, które są jednocześnie rozciągane siłą osiową i siłami pochodzącymi od momentu zginającego. Warunek wytrzymałościowy przyjmuje, więc postać:

ry

gz k

WM

AP

≤+==σσmax (2.73)

2.8.2 Zginanie ze skręcaniem

Zginanie występuje ze skręcaniem w przypadku pracy wszelkiego rodzaju wałów napędowych (rys.2.37).

Rys.2.37 Zginanie ze skręcaniem W dowolnym przekroju wału występują naprężenia od zginania gσ oraz od skręcania sτ .

Naprężenia te przyjmują maksymalne wartości w skrajnych włóknach. Na podstawie podanych hipotez wytrzymałościowych można napisać następujące związki na naprężenia zredukowane (przyjmując oznaczenia ττσσ == sg , ):

• Hipoteza największych naprężeń normalnych maxσ

( ) rz k≤++= 22 421 τσσσ (2.74)

• Hipoteza największych naprężeń tnących ( maxτ )

rz k≤+= 22 4τσσ (2.75)

• Hipoteza największego wydłużenia względnego ( maxε )

rz k≤

+−−

++= 2222 4

21

24

21

2τσσντσσσ (2.76)

Dla stali konstrukcyjnych 3.0=ν i zależność (2.70) przyjmuje postać:

rz k≤++= 22 465.035.0 τσσσ (2.77)

• Hipoteza Hubera

rz k≤+= 22 3τσσ (2.78)

Aby móc obliczyć średnicę wału do powyższych zależności należy prowadzić zależności na wskaźniki wytrzymałości przy zginaniu yW i skręcaniu oW . Można wykazać, że dla przekroju

kołowego yo WW 2= , i napisać następujące zależności na naprężenia zredukowane według

omawianych hipotez w funkcji momentu gnącego gM , momentu skręcającego sM i zastępczego

wskaźnika przekroju 2

oy

WWW == :

• Hipoteza największych naprężeń normalnych maxσ

rsgg

z kW

MMM≤

++=

2

22

σ (2.79)

• Hipoteza największych naprężeń tnących ( maxτ )

rsg

z kW

MM≤

+=

22

σ (2.80)

• Hipoteza największego wydłużenia względnego ( maxε ) dla stali konstrukcyjnej przy 3.0=ν :

rsgg

z kW

MMM≤

++=

2265.035.0σ (2.81)

• Hipoteza Hubera

rsg

z kW

MM≤

+=

22 75.0σ (2.82)

2.9 WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA

2.9.1 Podstawowe pojęcia wytrzymałości zmęczeniowej

Rozpatrywane dotychczas problemy wytrzymałości nie uwzględniały zmienności sił w czasie. Na ogół obciążenia elementów konstrukcyjnych zmieniają (np. okresowo) swoją wartość w czasie. Są to obciążenia zmienne, a naprężenia przez nie wywoływane nazywamy naprężeniami zmiennymi. W trakcie pracy maszyn i urządzeń zauważono, że ich elementy często ulegają zniszczeniu przy naprężeniach znacznie niższych od wytrzymałości doraźnej mR danego materiału określonej z prób statycznych. Zniszczenia takie (np. pęknięcia) zachodzą bez żadnych dostrzegalnych odkształceń plastycznych, zaś przyczyną uszkodzeń jest między innymi niedoskonała sprężystość materiału. Obniżanie się wytrzymałości przy naprężeniach zmiennych nosi nazwę zmęczenia materiałów. W większości przypadków (rys.2.38.a) zmiany naprężeń w elementach maszynowych mają przebieg sinusoidalny )sin( tam ωσσσ += , który można scharakteryzować następującymi wielkościami:

• Naprężenie średnie mσ liczone jako 2

minmax σσ + (gdzie maxσ oznacza maksymalne wartość

naprężenia w cyklu a minσ jego wartość minimalną).

• Amplituda naprężenia aσ liczona jako 2

minmax σσ −.

• Częstotliwość cyklu ω .

Często zamiast podawać wartości naprężenia średniego mσ oraz amplitudy naprężenia aσ

definiuje się współczynnik asymetrii cyklu am

amRσσσσ

+−

= oraz współczynnik stałości obciążenia

RR

a

m

−+

==11

σσχ .

Możemy wyróżnić dwa zasadnicze przypadki zmienności naprężeń:

• Cykl jednostronny o wartościach dodatnich (rys. 2.38.b), przy którym 1=χ i 0=R lub cykl jednostronny o wartościach ujemnych przy 1−=χ i ∞=R .

• Cykl obustronny, dla którego 0=χ i 1−=R (rys. 2.38.c).

Rys.2.38 Przebiegi naprężeń zmiennych a) dowolny (niesymetryczny), b) jednostronny (odzewowo-tętniący), c)obustronny (symetryczny).

2.9.2 Wytrzymałość zmęczeniowa przy cyklach symetrycznych i niesymetrycznych

Podobnie, jaki i przy obciążeniach statycznych (granica plastyczności eR lub wytrzymałość na rozciąganie mR ) do obliczeń uwzględniających zmęczenie materiału potrzebna jest pewna własność zwana wytrzymałością zmęczeniową Z . Wytrzymałością zmęczeniową Z (lub granicą zmęczenia) nazywamy maksymalne naprężenie maxσ dla danego cyklu naprężeń, przy którym element nie ulegnie

zniszczeniu po osiągnięciu umownej granicznej liczby cykli naprężeń (dla stali 61010 ⋅=N ). Przeprowadzając badania na próbkach poddanych obciążeniom zmiennym w czasie otrzymamy wykres Wöhlera (rys.2.39). Z wykresu tego można odczytać wartość wytrzymałości zmęczeniowej Z dla przyjętego cyklu obciążeń.

Rys.2.39 Wykres Wöhlera.

Wytrzymałość zmęczeniową przy cyklach symetrycznych rozciągająco-ściskających oznacza się symbolem rcZ , przy obustronnym skręcaniu symbolem soZ a przy obustronnym zginaniu goZ . Przy

cyklach niesymetrycznych, zmieniając na przykład amplitudę naprężenia aσ przy stałej wartości naprężeń średnich mσ , można otrzymać krzywą Wöhlera odpowiadającą danej wartości mσ . Dla cykli jednostronnych wytrzymałość zmęczeniową oznaczamy symbolami: dla rozciągania rjZ , dla

ściskania cjZ , dla zginania gjZ , dla skręcania sjZ .

Przybliżone zależności pomiędzy wytrzymałością zmęczeniową przy obustronnym zginaniu goZ

a wytrzymałością doraźną mR podano w tablicy 2.8, a przykładowe zależności między wytrzymałością zmęczeniową goZ a wytrzymałością zmęczeniową dla różnych przypadków obciążenia podano w tablicy 2.9.

Tablica 2.8 Przybliżone zależności pomiędzy goZ a mR .

Materiał Zależność Przeciętnie Stal

goZ =(0,36-0,6) mR goZ =0,47 mR

Żeliwo szare goZ =(0,35-0,45) mR goZ =0,4 mR

Stopy aluminium i miedzi goZ =(0,25-0,5) mR goZ =0,35 mR

Tablica 2.9 Wytrzymałość zmęczeniową w różnych przypadkach obciążenia w funkcji goZ

Materiał rcZ soZ rjZ sjZ gjZ

Stal węglowa (0,7-0,8) goZ 0,55 goZ (1,12-1,28) goZ (0,99-1,1) goZ 1,7 goZ

Stal stopowa 0,7 goZ 0,6 goZ (1,05-1,12) goZ (1,08-1,2) goZ 1,6 goZ

Żeliwo (0.6-0.7) goZ (0,75-0,9) goZ 1,5 goZ (0,9-1,17) goZ (1,2-1,5) goZ

Stopy miedzi (0,7-0,8) goZ (0,5-0,6) goZ (1,19-1,36) goZ (0,7-1,2) goZ 1,7 goZ

Stopy aluminium

(0,7-0,8) goZ (0,55-0,58) goZ (1,19-1,36) goZ (0,77-1,16) goZ (1,7-1,8) goZ

Przy obliczeniach zmęczeniowych elementów maszyn należy znać wytrzymałość zmęczeniową Z dla różnorodnych cykli (nie tylko podstawowych). W tym celu sporządza się dla danego materiału i dla danego rodzaju obciążeń wykresy zmęczeniowe Smitha lub Haigha. Przykładowo wykres Smitha (rys.2.40) dla zginania konstruowany jest w następujący sposób. Jako pierwszy wyznaczany jest punkt A odpowiadający wytrzymałości zmęczeniowej dla obustronnego zginania. Następnie wyznacza się

punkt B o współrzędnych

gjgj ZZ ,21

i prowadzi się przez punkty AB prostą do przecięcia z prostą

poziomą odpowiadającą granicy plastyczności eR . W ten sposób otrzymujemy współrzędne punktu C.

W celu wyznaczenia punktu D z początku układu prowadzimy prostą pod kątem 045 do przecięcia z prostą poziomą odpowiadającą granicy plastyczności eR . Otrzymana w ten sposób górna gałąź wykresu Smitha umożliwia przeprowadzenie obliczeń dla materiałów sprężysto-plastycznych (stal, stopy metali nieżelaznych).

Rys.2.40 Uproszczony wykres Smitha

2.9.3 Czynniki wpływające na zmianę wytrzymałości zmęczeniowej

Wytrzymałość zmęczeniowa (wykresy zmęczeniowe) jest ustalana doświadczalnie dla znormalizowanych próbek wytrzymałościowych. Rzeczywisty element może mieć inne właściwości i wytrzymałość zmęczeniowa części maszyny może być inna niż wytrzymałość próbki z tego samego materiału. Wytrzymałość zmęczeniowa danego elementu będzie zależała od jej wielkości, kształtu i stanu powierzchni.

2.9.3.1 Wpływ kształtu przedmiotu

Współczynnik kształtu kα definiujemy jako stosunek teoretycznego naprężenia maxσ (nie uwzględnia on wpływu materiału) do naprężenia nominalnego nσ (rys.2.41) obliczonego dla najbardziej osłabionego przekroju bez uwzględnienia spiętrzenia naprężenia.

Rys.2.41 Rozkład naprężeń w pręcie płaskim z karbem (pręt rozciągany, materiał doskonale sprężysty)

Rozkład naprężeń w obszarze karbu zależy od geometrii karbu związanej z wymiarami elementu. Wartość współczynnika )/,/( rRrfk ρα = zależy od stosunku promienia krzywizny dna ρ karbu do promienia lub połowy szerokości przekroju r w elementach płaskich w płaszczyźnie karbu oraz od stosunku promienia (połowy szerokości) elementu R w miejscu nieosłabionym karbem do promienia r . Wartość współczynnika kształtu kα dla najczęściej spotykanych w praktyce karbów konstrukcyjnych można odczytać z wykresów. Promień dna karbu ρ w przypadku ostrych podcięć oblicza się ze wzoru mk ρρρ += , w którym kρ jest promieniem rzeczywistym (konstrukcyjnym) dna karbu, zaś mρ jest promieniem minimalnym dna karbu,. Jeśli mmk 5>ρ , można przyjąć

kρρ = .

2.9.3.2 Wpływ działania karbu

Współczynnik kα obowiązuje dla ciała doskonale sprężystego (liniowego), od którego oczywiście odbiega materiał rzeczywisty. Dlatego działanie karbu jest inne w przedmiocie rzeczywistym aniżeli w przyjęty modelu i jest wyrażone przez współczynnik działania karbu kβ . Współczynnik 1>kβ określa wielkość obniżenia wytrzymałości zmęczeniowej na skutek działania karbu i jest ustalony ze stosunku wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej glZ do wytrzymałości

zmęczeniowej próbki z karbem kZ , czyli k

glk Z

Z=β .

2.7.3.3 Wpływ wrażliwości materiału na działanie karbu

Okazuje się, że współczynnik karbu kβ zależy od właściwości materiału i dlatego wprowadza współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu 10 << kη . Szkło jest przykładem materiału bardzo wrażliwego na działanie karbu i 1=kη , zaś materiałem niewrażliwym na działanie karbu jest żeliwo szare 0=kη . Wartość współczynnika )0,( mk Rf=η można odczytać z odpowiednich wykresów. W rezultacie współczynnik działa karbu kβ można wyznaczyć ze wzoru:

)1(1 −+= kkk αηβ (2.83)

2.9.3.4 Wpływ stanu powierzchni

Dotychczasowe rozważania dotyczyły próbek idealnie gładkich (polerowanych), aby uwzględnić wpływ stanu powierzchni (chropowatość, rodzaj obróbki), wprowadzono współczynnik stanu powierzchni pβ . Współczynnik ten wyrażony jest stosunkiem wytrzymałości zmęczeniowej próbki

gładkiej glZ do wytrzymałości zmęczeniowej próbki o danym stanie powierzchni pZ , czyli

p

glp Z

Z=β . Wartość współczynnika ),( emp RRf=β można odczytać z odpowiednich wykresów.

2.9.3.4 Wpływ spiętrzenia naprężenia

Łączny wpływ działania karbu i stanu powierzchni danego elementu uwzględnia się przez obliczenie zmęczeniowego współczynnika spiętrzenia naprężeń β wyrażonego wzorem:

1−+= pk βββ (2.84)

2.9.3.5 Wpływ wielkości przedmiotu

Wpływ wymiarów elementu na wartość wytrzymałości zmęczeniowej wyznacza się przy pomocy

współczynnika wielkości przedmiotu 1≥=D

d

ZZγ , gdzie dZ jest wytrzymałością zmęczeniową

próbki o średnicy od 7 do 10mm, zaś DZ wytrzymałością zmęczeniową próbki o większych wymiarach poprzecznych. Wartość współczynnika )(Df=γ można odczytać z odpowiednich wykresów.

2.9.4 Wyznaczanie rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa

Obliczenia przy obciążeniach zmiennych (zmęczeniowe) są w zasadzie obliczeniami sprawdzającymi. Wcześniej przeprowadzamy obliczenia wstępne, w których określamy podstawowe wymiary elementu. Wstępną ocenę wytrzymałości elementów w najbardziej niebezpiecznych przekrojach przeprowadzamy sprawdzając warunek wytrzymałościowy:

zX

Zk =≤σ (2.85)

Najczęściej przyjmowane wartości współczynnika bezpieczeństwa zX wynoszą 2.5-4.0. Sprawdzające obliczenia elementu o znanych parametrach konstrukcyjnych polegają na wyznaczeniu rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa δ i porównaniu go z wymaganym zmęczeniowym współczynnikiem bezpieczeństwa wδ . Podczas wykonywania tych obliczeń często zachodzi potrzeba zmiany cech geometrycznych elementu i ponownego obliczenia wytrzymałości, ponieważ wartość współczynnika δ nie odpowiada wymaganym wartościom. Przeciętne wartości rzeczywistego współczynnika wδ w zależności od stopnia dokładności obliczeń, znajomości danych doświadczalnych charakteryzujących obciążenie, umieszczono w tablicy 2.10.

Tablica 2.10 Rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa

Lp. wδ Zastosowanie

1. 1,3 - 1,4 Przy bardzo dokładnych obliczeniach, jednorodnym materiale, dokładnym wykonaniu

2. 1,4 - 1,7 Dla przeciętnych warunków pracy

3. 1,7 – 3,0

Dla niezbyt dokładnych obliczeń, dla przypadków statycznie niewyznaczalnych, dla niekorzystnych warunków pracy, odpowiedzialnych konstrukcji

2.9.4.1 Dla cyklu symetrycznego

W przypadku obustronnych (symetrycznych) cykli naprężeń 0=mσ sprawdzamy warunek:

wa

oZ δβγσ

δ ≥= (2.86)

gdzie aσ jako amplituda naprężeń jest wyznaczona dla najbardziej osłabionego przekroju elementu (w przekroju dna karbu) bez uwzględnienia spiętrzenia naprężeń (rys.2.42).

Rys.2.42 Wyznaczanie współczynnika bezpieczeństwa dla cyklu symetrycznego

2.9.4.2 Dla cyklu niesymetrycznego

W przypadku niesymetrycznych cykli naprężeń 0≠mσ sprawdzamy warunek:

wam

Z δβγσσ

δ ≥+

= (2.87)

Aby wyznaczyć występującą w powyższym wzorze wytrzymałość zmęczeniową Z odpowiadającą danemu cyklowi wzrostu naprężeń zastosujemy metodę analityczno-wykreślną w oparciu o uproszczony wykres Smitha (rys.2.43).

Rys.2.43 Wyznaczanie współczynnika bezpieczeństwa dla cyklu niesymetrycznego przy pomocy

uproszczonego wykresu Smitha.

Aby wyznaczyć występującą w powyższym wzorze wytrzymałość zmęczeniową Z odpowiadającą danemu cyklowi wzrostu naprężeń zastosujemy metodę analityczno-wykreślną w oparciu o uproszczony wykres Smitha (rys.2.46). W tym celu prowadzimy prostą EG dla constm =σ

oraz prostą OH dla constm

a =σσ

. Punkt F pracy elementu scharakteryzowany jest przez naprężenie:

amm γσβσσ +=max (2.88)

Wyznaczenie wytrzymałości zmęczeniowej 1Z lub 2Z odpowiadającej danemu cyklowi zmian naprężeń zależy od tego, jak zmieniać się będzie naprężenie średnie mσ i amplituda naprężenia

βγσ a w miarę wzrostu obciążeń działających na obliczany element. Jeżeli weźmiemy pod uwagę typ zmian obciążeń o stałym naprężeniu średnim constm =σ (gdy amplituda aσ zmian naprężeń pochodzi od drgań układu), to wytrzymałość zmęczeniowa 1Z odpowiadająca punktowi F określona

jest punktem G, zaś współczynnik EFEG

=δ . Inny typ zmian obciążeń scharakteryzowany przez

constm

a =σσ

, to wytrzymałość zmęczeniowa 2Z odpowiadająca punktowi H i współczynnikowi

OFOH

=δ . W przypadku, gdy punkt F znajdzie się w obszarze trójkąta CDI, to niezależnie od typu

zmian obciążeń, wytrzymałość zmęczeniowa jest jednakowa i równa granicy plastyczności, czyli w obu powyższych przypadkach musi być spełniony warunek:

wam

eR δβγσσ

δ ≥+

= (2.89)

We wszystkich przypadkach, gdy brak jest bliższych danych dotyczących typu zmian obciążeń, należy korzystać ze wzoru odpowiadającemu przypadkowi constm =σ (większe wymagania), sprawdzając warunek określony wzorem (2.87).

Przykład 9.1

Sprawdzić współczynnik bezpieczeństwa pręta okrągłego z odsadzeniem o wymiarach jak na rys.2.44, wykonanego z ulepszonej cieplnie stali 45.Właściwości wytrzymałościowe stali, określane doświadczalnie: MPa540=eR , MPa810=mR , MPa380=goZ . Pręt jest obciążony wahadłowym zginaniem, przy czym największy moment zginający (moment nominalny) w przekroju osadzenia wynosi Nm680 . Element jest szlifowany.

Rys. 2.44 Wymiary pręta z przykładu 9.1

Rozwiązanie:

Na początku wyliczamy nominalna amplitudę naprężenia

MPa10040

321062832 3

3

3maxmax ≈

⋅⋅===

ππσ

dM

WM g

y

ga (2.90)

Współczynnik bezpieczeństwa dla cyklu symetrycznego wyraża się:

a

goZγσβ

δ = (2.91)

gdzie

1−+= pk βββ (2.92)

oznacza łączny współczynnik działania karbu kβ i stanu powierzchni pβ , podczas gdy γ jest współczynnikiem wielkości przedmiotu.

Wartości kβ , pβ i ε wyznaczamy na podstawie wykresów. Aby to zrobić na podstawie

wykresu 2.1 określamy współczynnik kształtu kα ( ( )rrRfk ρα ,= . Dla 5.1=rR oraz 15.0=rρ odczytujemy 8.1=kα . Następnie z wykresu 2.2 odczytujemy 65.1=kβ a z wykresu

2.3 06.1=pβ . Ostatecznie 71.1=β .

Wartość współczynnika wielkości przekroju 33.1=γ , odczytujemy z wykresu 2.4. Podstawiając powyższe wartości do zależności Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. otrzymujemy

67.110033.171.1

360=

⋅⋅=δ , co odpowiada warunkom praktycznym [ ]7.1,5.1∈δ .

0 0.08 0.16 0.24 0.32 0.4 0.48

ρ/r

1.2

1.6

2

2.4

2.8

αk

R/r=6

3

2

1.5

1.2

1.01

Wykres 2.1 Współczynnik kształtu kα przy zginaniu próbki okrągłej z odsadzeniem. [wg. Kocańda St., Szala J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN 1997]

0 1 2 3 4

promień karbu ρ mm1.2 1.6 2 2.4 2.8

αk

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.6

2

2.4

2.8 ηk

βk

1400

1120

980 840

700 560420

Rm=350

Wykres 2.2 Współczynnik kβ w zależności od współczynnika kształtu kα i wspólczynnika wrażliwości kη . [wg. Kocańda St., Szala J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN 1997]

1

1.5

2

3

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

300 500 700 900 1100 1300 1500

Rm MPa

4

2

3

1

βp β'p

Wykres 2.3 Wpływ rodzaju obróbki skrawaniem na wartość współczynników stanu powierzchni: 1 – szlifowanych, 2 – starannie toczonych, 3 – zgrubnie toczonych, 4 – z ostrym karbem obrączkowym

(dla porównania), przyjęto 1=′= pp ββ dla próbek polerowanych. [wg. Kocańda St., Szala J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN 1997]

γ

d mm

F cm2

Zgo MPa

αk

10 20 30 40 50 60 70 80 90100 150 200

1 5 10 20 30 40 50 100 200 400

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

200 300 400 500

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.61.71.82

34

Wykres 2.4 Współczynnik wielkości przedmiotu γ dla elementów stalowych. [ wg. Niezgodziński M.E., Niezgodziński T., Obliczenia zmęczeniowe maszyn, PWN 1973]

Przykład 9.2

Sprawdzić, czy tłoczysko pompy przedstawione na rys.2.45 zostało poprawnie zaprojektowane do długotrwałej pracy przy zmiennym obciążeniu osiową siłą [ ]N8000,8000−∈P . Tłoczysko wykonano ze stali 45 w stanie surowym. Wymagany zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa wynosi 6.1=zx .

Rys.2.45 Wymiary pręta z przykładu 9.2

Rozwiązanie

Tłoczysko zaprojektowano tak, aby spełniony był warunek:

rckF

P≤= max

maxσ (2.93)

Naprężenia dopuszczalne przy obustronnym rozciąganiu-ściskaniu przyjmujemy równe 2mmN70MPa70 ==rck . Ze wzoru Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. otrzymujemy

22max mm114mm70

8000≈=≥

rckP

F . Stąd średnica mm12≥d . Przyjmując mm12=d

( 2mm114=F ), wyznaczamy amplitudę naprężeń w cyklu:

MPa70maxmax ==== rca k

FP

σσ (2.94)

Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa obliczamy dla cyklu symetrycznego wg:

a

rcZσγβ

δ = (2.95)

MPa210=rcZ

Do wyznaczenia β i γ potrzebne będą dodatkowe współczynniki:

( )[ ] pk βαηβ 11 −+= (2.96)

Na podstawie wykresu 2.5, przyjmując powierzchnię starannie toczoną, oraz stal 45 o [ ]MPa730,610∈mR otrzymujemy współczynnik stanu powierzchni 13.1=pβ . Współczynnik

kształtu ( )ddDfk ρα ,= odczytamy z wykresu 2.1, przyjmując promień obliczeniowy mk ρρρ += . Wartość mm1=kρ wynika z geometrii analizowanego przykładu, natomiast mm57.0=mρ jest promieniem granicznym dla stali 45 o wytrzymałości

[ ]MPa730,610∈mR odczytanym z wykresu 2.6.

Ostatecznie z wykresu 2.7 odczytujemy ( ) ( ) 6.113.0,25.1, === fddDfk ρα . Mając

kα znajdujemy z wykresu 2.4 73.0=η (stal 45, MPa280=goZ ), oraz 03.1=γ (stal 45,

MPa280=goZ , mm12=d ). Podstawiając do Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.

dostajemy:

( )[ ] 62.113.116.173.01 =−+=β ,

Z Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. otrzymujemy 8.17003.162.1

210=

⋅⋅=δ .

Ponieważ 6.18.1 =>= zxδ wymiary z rysunku można uznać za wystarczające.

400 800 1200 1600

Rr MPa

1

1.1

1.2

1.4

1.5

1.6

1.7

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.5

3

3.5

βp

βps

5

4

3 2

1

Wykres 2.5 Współczynnik stanu powierzchni dla stalowych części rozciąganych i zginanych pβ oraz

skręcanych psβ : 1 - szlifowane, 2 - staranna obróbka, 3 – zgrubna obróbka, 4 - ostry karb, 5 - pokrycie naskórkiem walcowniczym. [ wg. Niezgodziński M.E., Niezgodziński T., Obliczenia

zmęczeniowe maszyn, PWN 1973]

300 500 700 900 1100

Rr MPa

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ρm mm

Wykres 2.6 Promień minimalny (graniczny) mρ dla stali konstrukcyjnych. [ wg. Niezgodziński M.E.,

Niezgodziński T., Obliczenia zmęczeniowe maszyn, PWN 1973]

0.01 0.10.02 0.03 0.05 0.2 0.3 0.5

ρ/d

1

1.5

2

2.5

3

3.5

αk

D/d=21.25

1.05

1.01

Wykres 2.7 Współczynnik kα kształtu przy rozciąganiu próbki okrągłej z odsadzeniem. [ wg.

Niezgodziński M.E., Niezgodziński T., Obliczenia zmęczeniowe maszyn, PWN 1973]

Przykład 9.3

Sprawdzić wytrzymałość zmęczeniową walcowanej belki o przekroju prostokątnym mm2090× , wykonanej ze stali 45, obciążonej jak na rys.2.46 siłą [ ]N2000,300∈P . Wymagany

zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa 0.2=zx .

Rys.2.46 Dane geometryczne do przykładu 9.3

Rozwiązanie

Wyznaczamy zakres zmienności momentu gnącego:

kNmm650Nmm65010002max

max =⋅== lP

M

kNmm5.97Nmm6501502min

min =⋅== lPM .

Wskaźnik przekroju poprzecznego na zginanie:

222

mm600062090

6=

⋅==

bhWy .

Następnie określamy graniczne naprężenia cyklu:

MPa10810610650

3

3max

max ≈⋅⋅

==yW

Mσ ,

MPa16106

105.973

3min

min ≈⋅⋅

==yW

Mσ .

Stąd obliczamy naprężenie średnie i amplitudę cyklu:

MPa622

minmax =+

=σσ

σ m ,

MPa462

minmax =−

=σσ

σ a .

Ponieważ element nie ma karbu, więc: ( )[ ] ppk ββαηβ =−+= 11 . Z wykresu 2.5 odczytujemy

13.1=pβ (zakładając naskórek walcowniczy oraz stal 45 o MPa650=mR ). Z wykresu 2.4

otrzymujemy 07.1=γ ( 22 cm18mm9020 =⋅=F , stal 45).

Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa obliczamy wg dwóch zależności:

( ) ( )

23.2624607.175.1480280162228012

=+⋅⋅

−⋅+=

+

−+=′

ma

gjgomgo ZZZσσγβ

σδ

38.3624607.175.1

500=

+⋅⋅=

+=′′

ma

gQσσγβ

δ ,

i przyjmujemy mniejszą z wartości 0.223.2 =>=′= zxδδ . Belka jest, więc wystarczająco

wytrzymała.

Zadanie 9.1

Obliczyć maksymalny moment skręcający [ ]maxmax ,0: MMM ∈ , jaki może przenosić wydrążony wał pokazany na rys.2.50. Wał wykonano ze stali15HGM w stanie ulepszonym, i poddano dokładnej obróbce. Założony wymagany współczynnik bezpieczeństwa wynosi

9.1=zx

Rys.2.47 Dane geometryczne do zadania 9.1

Odpowiedź: Nm5022max =M

2.10 ELEMENTY MECHANIKI PĘKANIA

Zagadnienie wytężenia materiałów sprężysto-kruchych jest bardziej złożone niż materiałów sprężysto-plastycznych. Mechanizm zniszczenia łączy się bowiem bezpośrednio z mechanizmem dekohezji, który jest szczególnie wrażliwy na istnienie defektów w budowie wewnętrznej materiału, wad nabytych w trakcie procesów technologicznych lub w wyniku działania obciążeń.

ciała oraz wzajemnych związków pomiędzy nimi a własności materiału(równania konstytutywne), z

Badaniem mechanizmu dekohezji zajmuje się dyscyplina naukowa, zwana mechaniką pękania, której podstawy zostały opracowane przez Griffith’a w latach dwudziestych XX wieku. Szybki rozwój mechaniki pękania obserwuje się od lat pięćdziesiątych ubiegłego stulecia, gdy Irwin zmodyfikował teorię Griffitha w taki sposób, aby można ją było zastosować do materiałów konstrukcyjnych. Według założeń Griffitha (rys.2.48 - obszar zakreskowany pozbawiony jest zakumulowanej energii odkształcenia sprężystego) w nieograniczonej, rozciąganej tarczy o grubości jednostkowej, obciążonej naprężeniem σ , a posiadającej szczelinę o długości a2 , wystąpi zmniejszenie zgromadzonej energii sprężystej o wartość:

E

aUs

22 σπ=∆ (2.97)

Aby szczelina mogła powstać, potrzebna jest energia powierzchniowa:

auU p 4=∆ (2.98)

gdzie u jest jednostkową energią powierzchniową.

Różnica energii powierzchniowej i odkształcenia sprężystego posiada ekstremum wyrażone wzorem:

E

aua

UU ps2

24)( σπ−=

∂∆−∆∂

(2.99)

Z zależności (2.99) możemy wyznaczyć warunek pozwalający znaleźć maksymalną długość pęknięcia której przekroczenie powoduje dalszy jego wzrost:

242πσ

uEa < (2.100)

Jeżeli długość pęknięcia jest mniejsza od wartości danej zależnością (2.100) nie ma możliwości jego wzrostu pod wpływem danego naprężenia σ , i praktycznie pozostanie bez wpływu na wytrzymałość materiału. Ze związku (2.100) wyznaczyć można krytyczną wartość naprężenia które będzie odpowiadało za mechanizm dekohezji:

a

uEk π

σ 2> (2.101)

Praktyczna przydatność równań (2.100-101) jest ograniczona ze względu na występowanie jednostkowej energii powierzchniowej u , której określenie napotyka na duże trudności doświadczalne. Aby ominąć tą trudność Irwin modyfikując teorię Griffitha, wprowadził pojęcie współczynnika intensywności naprężenia na dnie szczeliny:

aK πσ= (2.102)

który wiąże się z jednostkową energią sprężystą G , niezbędną do rozwoju pęknięcia zależnością:

E

KE

aa

UG s22

)2()(

==∂∆∂

=σπ

(2.103)

W chwili, gdy współczynnik intensywności naprężeń K osiągnie wartość krytyczną cK zwaną wytrzymałością na pękanie następuje dalszy samoistny wzrost długości pęknięcia. Wytrzymałość na pękanie cK jest, więc wskaźnikiem wytrzymałościowym analogicznym do eR czy mR . Stanowi on podstawę oceny podatności materiału na pękanie, jak i wyznaczenia krytycznej długości pęknięcia

kra :

2

2

πσc

krKa = (2.104)

Krytyczna wartość współczynnika intensywności naprężeń cK jest określana eksperymentalnie według wytycznych podanych w polskiej normie PN-87/H-04335. Pomiary wykonuje się w trzech możliwych kierunkach rozwoju pęknięcia. Stąd trzy schematy prób i trzy wartości krytycznego współczynnika intensywności naprężeń IIIcIIcIc KKK ,, (rys.2.49):

Rys.2.49 Trzy podstawowe przypadki rozwoju pęknięcia

Pierwszy przypadek rozwoju pęknięcia (rys.2.49.a) charakteryzuje się rozwarciem jego powierzchni w kierunku osi y i odpowiada pęknięciom powstającym w elementach rozciąganych lub zginanych. Drugi przypadek (rys.2.49.b) przedstawia poślizg powierzchni pęknięcia w kierunku osi x i, w praktyce występuje przy ścinaniu oraz skręcaniu. Trzeci przypadek (rys.2.49.c) dotyczy przemieszczenia płaszczyzny pęknięcia w kierunku osi z i występuje przy skręcaniu. Przesunięcie powierzchni pęknięcia wywołuje pole naprężeń w najbliższym otoczeniu wierzchołka pęknięcia. Pole to może być opisane odpowiednimi równaniami, które w układzie biegunowym dla płaskiego stanu naprężeń przyjmują postać (rys.2.50):

Rys.2.50 Pole naprężeń wokół wierzchołka pęknięcia.

23cos

2cos

2sin

2

23sin

2sin1

2cos

2

23sin

2sin1

2cos

2

ϕϕϕπ

τ

ϕϕϕπ

σ

ϕϕϕπ

σ

rK

rK

rK

Ixy

Iy

Ix

=

+=

−=

(2.105)

Model Irwina dobrze opisuje mechanizm pękania w materiałach kruchych. Tą część mechaniki pękania określa sie mianem liniowo-sprężystej. Przydatna jest ona do badań stali w niskiej temperaturze oraz dla materiałów o dużej wytrzymałości ( eR powyżej 1000 MPa). Dla materiałów o granicy plastyczności poniżej 1000 MPa przydatność liniowo-sprężystej mechaniki pękania zależy od wymiarów (szerokości b i wysokości h ) przekroju poprzecznego elementu konstrukcyjnego:

2

5,2

≥

e

Ic

RKh ,

2

5

≥

e

Ic

RKb (2.106)

Przykładowo dla stali o eR = 240 MPa w celu spełnienia powyższych warunków grubość próbki powinna wynosić ok. 300 mm. Ograniczenie określone wzorem (2.106) oznacza, że dla każdego materiału w zależności od grubości i granicy plastyczności istnieje maksymalna wartość IcK ważna w liniowo-sprężystej mechanice pękania:

hRK eIc 4,0≤ (2.107)

W przypadkach, gdy w okolicy wierzchołka pęknięcia pojawiają się odkształcenia plastyczne do obliczeń należy stosować związki nieliniowo-sprężystej mechaniki pękania. W nieliniowo-spreżystej mechanice pękania rozróżnia się trzy etapy rozwoju pęknięcia (rys.2.51): inicjacja pęknięcia o charakterze stabilnym, stabilny rozwój pęknięcia oraz przejście pęknięcia w stan niestabilny, prowadzący do dekohezji.

Rys.2.51 Etapy rozwoju pęknięcia w materiale sprężysto-plastycznym

W celu analizy rozwoju pęknięć w materiałach sprężysto-plastycznych opracowano kryterium COD (crack opening displacement) oraz całkę o zamkniętym konturze J , zwaną także całką Rice'a. Pojęcie całki J zostało wprowadzone na podstawie rozważań bilansu energetycznego dwóch identycznych przestrzeni różniących się jedynie wielkością wewnętrznej wady. Przestrzenie są zamknięte konturem C i obciążone na odcinku TS siłą T , oraz wymuszonym przemieszczeniem iu ii; na odcinku uS (rys.2.52).

Różnicę energii potencjalnej między dwiema przestrzeniami można wyrazić w postaci:

∫ ∫∆ ∆

∆−=∆V S

iiijij dSuTdVU21

21 εσ (2.108)

gdzie indeksy i,j oznaczają odpowiednie osie układu odniesienia.

Przenosząc pojęcie bilansu energetycznego przestrzeni zamkniętej konturem na obszar występujący w nieskończonej bliskości karbu o długości l i dll + (rys.2.55) oraz uwzględniając, że wielkość spadku energii potencjalnej na jednostkę grubości (płaski stan naprężeń lub odkształceń) do wielkości karbu może być wyrażona jako:

∫ ∫Γ

==∆ij

ijijijij dWdyWUε

εσεε0

)( gdzie )( (2.109)

Rice i Sih wyprowadzili wzór na niezależną od drogi całkowania po konturze Γ całkę J :

∫Γ

−= ds)(

xuTdyWJ ij δδε (2.110)

gdzie Γ krzywa otaczająca pęknięcie, s długość łuku, nT σ= wektor siły działającej na kontur Γ i n wektor normalny do Γ .

Rys.2.52 Sposób wyznaczania całki Rice’a.

Badania wykazały dla materiałów kruchych:

E

KGJ2

== (2.111)

gdzie G jest prędkością uwalniania energii sprężystej (energia niezbędna do rozwoju pęknięcia), która

w warunkach krytycznych przyjmuje wartość E

KG cc

2

= i jest miarą odporności materiału na

pękanie, analogicznie jak i cK . W tablicy 2.11 podane są przykładowe wartości cG i cK dla pewnych materiałów konstrukcyjnych.

Tablica 2.11 Wartości cG i cK dla typowych materiałów konstrukcyjnych

Lp. Materiał

2mkJGc

2 3mkJKc

1 Metale czyste, plastyczne (np. Cu, Ni, Ag) 100-1000 100-350

2 Stale o wysokiej wytrzymałości 15-118 50-154

"i Stale miękkie 100 140

4 Stale średnio węglowe 13 51

5 Zwykłe drewno, pęknięcie równolegle do włókna 0,5-2 0,5-1

6 Zwykłe drewno, pęknięcie prostopadłe do włókna 8-20 11-13

7 Stopy tytanu (Ti6 A 14V) 26-114 50-115

8 Żywice epoksydowe wzmacniane włóknem szklanym 40-100 42-60 9 Żywice epoksydowe 0,1-0,3 0,3-0,5

10 Żywice epoksydowe wzmacniane włóknem boru 17 46

11 Stopy aluminium (wysokiej wytrzymałości -niskiej wytrzymałości) 8-30 23-45 12 Polipropylen 8 i

13 Polietylen (małej gęstości) 6-7 1

14 Polietylen (dużej gęstości) 6-7 2

15 Nylon 2-4 •3

16 Cement wzmacniany stalą 0,2-4 10-15

17 Beton niezbrojony 0,03 0,2

18 Żeliwo 0,2-3 6-20

19 Węgliki spiekane (W w osnowie Co) 0,3-0,5 14-16

20 Poliester 0,1 0,5

21 Kalcyt (marmur, wapień) 0,02 0,9

22 Szkło sodowe 0,01 0,7-0,8

23 Porcelany elektrotechniczne 0,01 1

24 Lód 0,003 0,2

Krytyczną wartość całki cJJ = , występującą w momencie inicjacji pęknięcia, wyznacza się na podstawie norm: E-813-89 i PN-88/H-04336 dla warunków liniowo- i nieliniowo-sprężystej mechaniki pękania. Przedstawione dotychczasowe rozważania o zagadnieniach mechaniki pękania dotyczą obciążeń statycznych. W tych warunkach, jeżeli krytyczna wartość wady przy danym naprężeniu nie zostanie przekroczona, to nie należy obawiać się rozwoju dekohezji. Jeżeli natomiast występują obciążenia zmienne (przemienne, udarowe lub impulsowe), to podkrytyczne pęknięcie rozwija się bardzo szybko, aż do uzyskania krytycznej wartości wady kra i gwałtownej dekohezji.

W przypadku obciążeń przemiennych, chcąc ocenić bezpieczny czas eksploatacji należy określić liczbę cykli przemienności obciążenia do momentu gwałtownej dekohezji. Z danych doświadczalnych odnośnie wzrostu pęknięć przy cyklicznym obciążeniu próbki (rys.2.53) wynika, że współczynnik intensywności naprężeń cyklicznie zmiennych rośnie z czasem.

Rys.2.53 Wzrost współczynnika intensywności naprężeń dla obciążeń zmiennych

Paris założył, że dla cykli o stałej amplitudzie obciążenia przyrost długości pęknięcia podczas

jednego cyklu obciążenia dNda

skorelowany jest z K∆ w sposób następujący:

mKCdNda

∆= (2.112)

gdzie C i m są stałymi materiałowymi.

Stąd, jeśli jest znana początkowa długość pęknięcia oa oraz końcowa długość ka , przy której pęknięcie staje się niestabilne (następuje gwałtowna dekohezja), to wówczas bezpieczną liczbę cykli obciążenia można oszacować przez całkowanie:

∫ ∫ ∆==

N a

am

k

KCdadNN

0 0

(2.113)

W przypadkach obciążeń udarowych, szczególnie w dużych współczesnych konstrukcjach spawanych (mosty, statki, platformy wiertnicze itp.), charakteryzujących się obecnością pęknięć, niezbędna jest znajomość parametrów charakteryzujących odporność na pękanie w podobnych dynamicznie warunkach: IdK i IdJ . Pomiar tych wielkości jest znacznie trudniejszy niż w warunkach statycznych. Można te parametry wyznaczyć na oprzyrządowanych młotach udarowych, gdzie z szybkozmiennych przebiegów siła-czas lub siła-ugięcie ocenia się krytyczne wartości dynamicznego współczynnika intensywności naprężeń IdK lub całki dynamicznej Rice'a IdJ . Procedura wyznaczania tych parametrów jest przedmiotem licznych badań, a o trudności problemu niech świadczy fakt, iż istnieją dotąd jedynie propozycje norm ich wyznaczania

2.11 PYTANIA DO ROZDZIAŁU 2

1. Co to jest wytrzymałość? 2. Czym zajmuje się wytrzymałość materiałów? 3. Wymień podstawowe materiały konstrukcyjne. 4. Omów podstawowe założenia wytrzymałości materiałów. 5. Co to są odkształcenia, sklasyfikuj rodzaje odkształceń? 6. Co to są naprężenia, podaj ich rodzaje? 7. Co to są równania konstytutywne? 8. Podaj zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami w trójosiowym stanie naprężeń. 9. Omów znane rodzaje obciążeń. 10. Podaj i omów zasadę de Saint-Venanta. 11. Jaka jest różnica pomiędzy jednorodnością a izotropią materiału? 12. Co to są stałe materiałowe? 13. Na czym polega liniowa sprężystość materiału? 14. Wymień podstawowe stałe materiałowe dla materiału liniowo sprężystego. 15. Podaj definicje: momentów statycznych przekroju oraz promieni bezwładności. 16. Co to jest moment dewiacji? 17. Co to jest biegunowy moment bezwładności przekroju? 18. Podaj twierdzenia Steinera dla momentów statycznych i momentów bezwładności przekroju. 19. Scharakteryzuj stan naprężenia w pręcie rozciąganym. 20. Podaj wzór na naprężenia normalne w pręcie rozciąganym. 21. Scharakteryzuj stan odkształcenia w pręcie rozciąganym. 22. Podaj interpretację fizykalną liczby Poissona. 23. Podaj wzór na wydłużenie pręta rozciąganego stałą siłą. 24. Czym różni się czyste ścinanie od ścinania technologicznego? 25. Podaj warunki wytrzymałościowe do projektowania nitów jedno i dwuciętych. 26. Z jakiego warunku wyznaczamy długość spoiny pachwinowej? 27. Jaka jest zależność jednostkowego kąta skręcania od momentu skręcającego? 28. Podaj wzór na moment bezwładności na skręcanie. 29. Określ rozkład naprężeń stycznych przy skręcaniu. 30. Podaj warunki projektowania przekroju przy skręcaniu. 31. Podaj definicję kąta skręcenia i jednostkowego kąta skręcenia. 32. Co wiesz o stanie naprężenia i rozkładzie naprężeń przy skręcaniu? 33. Co to jest moment bezwładności na skręcanie? 34. Scharakteryzuj stan naprężenia przy czystym zginaniu. 35. Podaj wzór na naprężenia normalne przy czystym zginaniu. 36. Określ rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym przy czystym zginaniu. 37. Opisz położenie osi obojętnej przy czystym zginaniu. 38. Gdzie występują największe naprężenia w przekroju przy czystym zginaniu? 39. Scharakteryzuj stan odkształcenia przy czystym zginaniu. 40. Co wiesz o deformacji przekroju poprzecznego przy czystym zginaniu? 41. Co to jest wskaźnik wytrzymałości? 42. Jaki przekrój najlepiej pracuje na zginanie? 43. Jak zaprojektować optymalny przekrój zginany? 44. Jak określić naprężenia w dowolnym punkcie przekroju? 45. Podaj założenia technicznej teorii zginania. 46. Co to są ugięcia i kąty obrotu? 47. Jak zależność różniczkowa istnieje pomiędzy ugięciami a momentem zginającym? 48. Omów warunki brzegowe dla równania różniczkowego opisujące ugięcie belki. 49. Opisz metodę analityczną obliczania ugięć. 50. Opisz metodę Clebscha obliczania ugięć.

51. Podaj znane hipotezy wytrzymałościowe 52. Które hipotezy stosuje się dla materiałów sprężysto-plastycznych, a które do sprężysto-kruchych? 53. Scharakteryzuj stan naprężenia przy zginaniu z rozciąganiem. 54. Podaj wzór na naprężenia normalne przy zginaniu z rozciąganiem. 55. Opisz rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym przy zginaniu z rozciąganiem. 56. Określ położenie osi obojętnej przy zginaniu z rozciąganiem. 57. Jakie są możliwe położenia osi obojętnej przy zginaniu z rozciąganiem? 58. Gdzie występują największe naprężenia normalne w przekroju przy zginaniu z rozciąganiem? 59. Scharakteryzuj stan naprężenia przy zginaniu ze skręcaniem. 60. Opisz rozkład naprężeń normalnych i stycznych w przekroju poprzecznym przy zginaniu ze

skręcaniem. 61. Podaj wzór na naprężenia zredukowane według znanych Ci hipotez przy zginaniu ze skręcaniem. 62. Opisz zjawisko zmęczenia materiału. 63. Jakie wielkości opisują naprężenia w cyklu zmęczeniowym? 64. Jakie rozróżniamy rodzaje cykli obciążenia? 65. Co to jest wytrzymałość zmęczeniowa? 66. Naszkicuj wykres Wohlera. 67. Opisz wykres Smitha i krzywą Haigha dla innych rodzajów cykli. 68. Podaj sposób wyznaczania współczynnika bezpieczeństwa przy cyklach niesymetrycznych. 69. Podaj sposób wyznaczania współczynnika bezpieczeństwa przy cyklach symetrycznych. 70. Omów kryteria liniowo-sprężystej mechaniki pękania. 71. Podaj i omów trzy podstawowe przypadki rozwoju pęknięć. 72. Podaj warunki stosowalności zależności liniowo-sprężystej mechaniki pękania. 73. Omów etapy rozwoju pęknięć w materiale sprężysto-plastycznym. 74. Co to jest całka Rice’a, o czym mówi jej wartość krytyczna? 75. Podaj wzór Parisa na prędkość rozwoju pęknięć zmęczeniowych. 76. W jaki sposób można oszacować liczbę cykli do dekohezji materiału.

BIBLIOGRAFIA 1. Brzoska Z.: Wytrzymałość Materiałów. PWN Warszawa 1980. 2. Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość Materiałów. WNT Warszawa 1999. 3. Jastrzembowski P., Mutermilch J., Orłowski W.: Wytrzymałość Materiałów. Arkady

Warszawa 1986 4. Kocańda S.: Zmęczeniowe Niszczenie Metali. WNT Warszawa 1978. 5. Leyko J.: Mechanika Ogólna. PWN Warszawa1978. 6. Misiak J.: Mechanika Techniczna. WNT Warszawa1999. 7. Neimitz A.: Podstawy Mechaniki Pękania. WNT Warszawa 1999. 8. Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wzory, Wykresy i Tablice Wytrzymałościowe. PWN

Warszawa 1974. 9. Osiński Z.: Mechanika Ogólna. PWN Warszawa 1987. 10. Poradnik Inżyniera Mechanika. WNT Warszawa 1968. 11. Zakrzewski M., Zawadzki J.: Wytrzymałość Materiałów. PWN Warszawa 1983. 12. Zawadzki J, Siuta W.: Mechanika Ogólna. PWN Warszawa 1968.