AdamBodnar: WytrzymaoMateriaw. Podstawowe pojcia, definicje i zaoenia 7 1.PODSTAWOWEPOJCIA,DEFINICJEIZAOENIA 1.1. Przedmiot i zadania wytrzymaoci materiaw Wytrzymaomateriawjestnaukosztywnoci,wytrzymaociistatecznocikonstrukcji inynierskich.Pojciate,chointuicyjniezrozumiaewartobliejiszerzejokreli.Efekt dziaania si zewntrznych na ciao materialne (a wic i konstrukcj inyniersk) pozostajce wrwnowadzemoeprzejawiasiwrnejformieamianowicie:zmianieksztatwi wymiarwciaabeznaruszaniajegospjnoci,zniszczeniaciaaprzezpknicie,zamanie itp. oraz naruszenia jego rwnowagi staej jako caoci. Zdolnokonstrukcjidoprzeciwstawieniasitymniekorzystnymefektomnazywamy odpowiedniojejsztywnoci,wytrzymaociistatecznoci.Zpunktuwidzeniainyniera konstruktorazadaniemwytrzymaocimateriawjestracjonalnydobrmateriau,ksztatui wymiarw,dowolnieobcionejiznajdujcejsiwdowolnychwarunkachfizyko chemicznychitermodynamicznych,konstrukcji,abybyaonaodpowiedniosztywna, wytrzymaa, stateczna. Tzn. aby przemieszczenia poszczeglnych jej punktw po przyoeniu obcienieprzekraczaywielkociuznanychzadopuszczalne,abywartocisimidzy czsteczkowychbyymniejszeodpewnychwielkocicharakterystycznychdladanego materiau przy ktrych traci on swoj spjno (niszczy si), i wreszcie aby konstrukcja jako caopracowaawstanierwnowagitrwaej.Monawicpowiedzie,ecelem wytrzymaocimateriawjeststworzeniepodstawwymiarowaniazarwnoelementwjaki caychkonstrukcjiiwartotuzwrciuwag,emwimywymiarowanie,nie projektowaniebowtokudalszychstudiwprzekonamysi,ewymiarowanietonieto samo co projektowanie ale bez umiejtnoci wymiarowania nie mona dobrze projektowa. Cele te bd rnie dominowa w zalenoci od rodzaju rozwaanej konstrukcji i tak np. strop wpomieszczeniumusibywytrzymayisztywny,alebdtekonstrukcjewktrych dopuszcza bdziemy due deformacje bez utraty spjnoci (np. w procesach toczenia blach karoseryjnychsamochodw)albozniszczenieprzypewnychwartociachobciejaktosi dzieje w przypadku zaworw bezpieczestwa.Jakwidazpodanychwyejokrele,modelemciaabdcegowcentrumzainteresowania wytrzymaocimateriawjestciaoodksztacalneiztegopunktuwidzeniaopisujeona zachowanieciabliszychrzeczywistocinimechanikateoretyczna,ktrejmodelembyo ciaosztywne,nieodksztacalne.Tymniemniejwytrzymaomateriawszerokobazujena fundamentalnychwynikachuzyskanychwmechaniceteoretycznejwpostaciuniwersalnych twierdzeizasadmechanikijaknp.zasadapdu,krtu,pracwirtualnychczywarunki konieczne i wystarczajce rwnowagi ukadu si. 1.2. Schemat obliczeniowy. Klasyfikacja podpr, konstrukcji, obcie i materiaw Przystpujcdoanalizyzachowaniasijakiejkonstrukcjirzeczywistejmusimysi zdecydowanaodrzuceniepewnychaspektwjejzachowaniasiczytebudowy,ktre wydajsibymaowane,awziciepoduwagtylkotych,ktrewsposbistotnybd wpywanasztywno,wytrzymaoistateczno.Takaidealizacjajestkonieczna,gdy kadyobiektrzeczywistymabardzowielecech,anaszymzadaniemjestosigniecie konkretnych ilociowych i jakociowych rezultatw. Przyblionymodelrzeczywistejkonstrukcji,uzyskanydrogodrzuceniajejcech drugorzdnych,nazywamyschematemobliczeniowym.Wybrdobregoschematu obliczeniowegojestjednymznajtrudniejszychzadapraktykiinynierskiejipodanie jednoznacznychkryteriwjegodoboruniejestmoliwe.Zasadnicztrudnowwyborze schematuobliczeniowegostanowiwewntrznasprzecznotkwicawtymzagadnieniu, polegajcanawybraniuirozwaaniujaknajmniejszejilocicechpierwszorzdnych,aby otrzyma konkretne wyniki, a z drugiej strony dno do uwzgldnienia jak najwikszej ich AdamBodnar: WytrzymaoMateriaw. Podstawowe pojcia, definicje i zaoenia 8 liczby,abyanalizowamodeljaknajbliszyrzeczywistoci.Wrezultaciekonkretnemu obiektowimoemyprzypisaduliczbschematwobliczeniowych(wzalenociodtego, ktre aspekty i cechy pominiemy), a danemu schematowi obliczeniowemu moe odpowiada nawetkilkakonkretnychkonstrukcji.Tadruganiejednoznacznojestdlanaskorzystna,bo pozwala na ustalenie pewnych typowych przypadkw obliczeniowych. Omwimyterazpewnewsplnecechyschematwobliczeniowychidokonamyich klasyfikacji zwizanej z modelowaniem wizw, geometrii, obcie i materiau konstrukcji.Klasyfikacja podpr Kadakonstrukcjazwizanajestzpodoem,naktreprzenosiobcienia.Poczeniate stanowidlakonstrukcjiwizyinazywamyjepodporami.Wymienimykrtkopodpory paskie, co nie upraszcza zasadniczo oglnoci zagadnienia. Bd to: podpora przegubowo-przesuwna podpora przegubowa sztywne utwierdzenie utwierdzenie z moliwoci poziomego przesuwu (teleskopowe) utwierdzenie z moliwoci pionowego przesuwu wewntrzny przegub w konstrukcji Ichobrazyrzeczywistejakirysunkischematyczneorazoddziaywanianakonstrukcjepo zastosowaniupostulatuowizach byy szeroko i wnikliwie omawiane w ramach przedmiotu mechanika teoretyczna. Klasyfikacja konstrukcji Klasyfikacjkonstrukcjimonaprowadziwedugrnychkryteriw.Itakkonstrukcje moemy podzieli na: statycznie wyznaczalnei statycznie niewyznaczalne albo na: paskie i przestrzenne lub na: stalowe, betonowe, elbetowe, drewniane, zespolone i inne w zalenoci od zastosowanych materiaw. Jednakezpunktuwidzeniaprzedmiotujakimjestwytrzymaomateriawjednymz zasadniczych kryteriw bdzie geometria ich elementw i std konstrukcje podzielimy na: prtowe: belki, ramy, kraty, uki, ruszty; niektre z nich mog by zarwno paskie, jak i przestrzenne, powierzchniowe: tarcze, pyty, powoki, masywne: mury oporowe, awy i stopy fundamentowe. Klasyfikacja obcie Profesjonalnie,zuwaginawarunkiprojektowaniaklasyfikacjaobciepodanajestw odpowiednichiobowizujcychprzepisachnazywanychPolskimiNormami.Napotrzeby wykadanego przedmiotu, ktry nie uczy projektowania lecz jedynie podstaw wymiarowania,obcienia moemy podzieli ze wzgldu na: a) sposb przyoenia do konstrukcji: siypowierzchniowe,tj.obcieniadziaajcenaokrelonpowierzchnizewntrzn konstrukcji.Rozrniamytuobcieniacige,okreloneintensywnocinajednostk dugoci[N/m]lubnajednostkpowierzchni[N/m2]lubsiyskupione[N](bdce idealizacjobciecigychdziaajcychnabardzomayobszarpowierzchnielementu konstrukcji). Mog te by obcienia modelowane poprzez skupione momenty [Nm] lub momenty rozoone w sposb cigy [Nm/m], siymasowe(lubobjtociowe)tj.obcieniadziaajcenakadczstkmateriau konstrukcji, np. siy grawitacji czy bezwadnoci, b) sposb dziaania na konstrukcj: AdamBodnar: WytrzymaoMateriaw. Podstawowe pojcia, definicje i zaoenia 9 obcieniastatyczne,tj.takie,ktrychwielkoipooenieniezmieniasiwczasielub zmieniasitakpowoli,eniewywoujedrgakonstrukcjiiwobliczeniachnie uwzgldniamy si bezwadnoci, obcieniadynamiczne,tj.takiektrychwielkolubpooeniezmieniasiwczasiew sposbtakgwatowny,epowodujedrganiakonstrukcjiiwobliczeniachmusimy uwzgldnia siy bezwadnoci. Klasyfikacja materiaw Wnaszychrozwaaniachdecydujcymkryteriumpodziaumateriawbdzieichsposb reagowanianaprzyooneobcieniajakikierunkowotegoreagowania.Itakmateriay bdziemy dzieli na: spryste,tj.takiewktrychdeformacjepowstaewwynikuprzyoonychobcie znikaj po odcieniu (np. guma), plastycznetj.takiewktrychdeformacjepowstaewwynikuprzyoonychobcienie znikaj po odcieniu (np. plastelina), sprysto-plastyczne, tj. takie ktre do pewnego poziomu obcie s spryste a powyej s plastyczne (np. stal). Bdziemy te dzieli materiay na: izotropowe,tj.takiektrychwasnociwdanympunkciewewszystkichkierunkachs takie same (np. stal), anizotropowetj.takiektrychwasnociwdanympunkcienieswewszystkich kierunkach takie same (np. drewno, kompozyty). Mona te materiay podzieli na: izonomiczne, tj. takie ktrych wasnoci w danym kierunku nie zale od wyrnienia na nim zwrotu (np. stal), anizonomiczne, tj. takie ktrychwasnoci w danym kierunku zale od wyrnienia na nim zwrotu (np. beton czy drewno maj rne wasnoci przy rozciganiu i ciskaniu). Oraz na materiay: jednorodne, tj. takie ktrych wasnoci we wszystkich punktach pewnej objtoci s takie same (np. stal), niejednorodne,tj.takiektrychwasnocizaleodwyborupunktu(np.beton,drewno czy kompozyty). 1.3. Podstawowe zaoenia Wstpnieprzyjmiemy,ewnaszychrozwaaniachbdziemysiopierananastpujcych zaoeniach: materiarozwaanychkonstrukcjiwypeniaichobjtowsposbcigyczylistanowi tzw.continuummaterialne.Oznaczato,etraktujemykonstrukcjejakozbirgsto upakowanychpunktwmaterialnych,tj.punktwgeometrycznychktrymprzypisano mas, materia rozwaanych konstrukcji jest sprysty, izotropowy, jednorodny i izonomiczny, przemieszczenia poszczeglnych punktw obcionego ciaa s tak mae w porwnaniu z jegowymiarami,emoemypominwpywprzemieszczepunktwprzyoenia obcienaefektywywoanetymiobcieniami.Jesttotzw.zasadazesztywnieniai pozwalaonam.in.naobliczaniereakcjiwcieleodksztacalnymwkonfiguracji pocztkowej(tzn.przeddeformacjkonstrukcjispowodowanobcieniem),itym samymumoliwiastosowanietwierdzeizasadmechanikiteoretycznejczylimechaniki ciaa sztywnego w mechanice cia odksztacalnych,midzyobcieniamiiprzemieszczeniamiistniejeliniowawzajemniejednoznacznazaleno, AdamBodnar: WytrzymaoMateriaw. Podstawowe pojcia, definicje i zaoenia 10 rozwaane przez nas ciaa znajduj si w rwnowadze trwaej czyli statecznej. Istot tego zaoeniamonazilustrowazachowaniemsicikiejkulkiznajdujcejsiwpolu grawitacyjnym na rnych powierzchniach podparcia, Rys. 1.1 sposbprzyoeniaobciedodanegociaawpywanarozkadnapreiodksztace tylkowbliskimssiedztwieobszaruprzyoeniaobcie.Jesttotzw.zasadadeSaint-Venanta i pniej sformuujemy j bardziej precyzyjnie. Wtokudalszychwykadwzniektrychzaoebdziemyrezygnowaalewwczas wyranie to zaznaczymy. rwnowaga trwaa rwnowagaobojtna rwnowaga nietrwaa Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 112. CHARAKTERYSTYKIGEOMETRYCZNEFIGURPASKICH 2.1. Definicje podstawowych charakterystyk geometrycznych Podczaszajzwytrzymaocimateriawspotkamysiznastpujcymicharakterystykami geometrycznymi figur paskich: pole powierzchni figury, moment statyczny figury wzgldem danej osi, moment bezwadnoci figury wzgldem danej osi, moment dewiacji (odrodkowy)wzgldem danych osi, biegunowy moment bezwadnoci, promie bezwadnoci, wskanik wytrzymaoci, rdze przekroju. Omwimy teraz pierwszych sze, pozostae w toku dalszych wykadw i wicze. Rozwamyfigurpask,pokazannarys.2.1,stanowicobszarA,okrelonyw kartezjaskim ukadzie osi ( X, Y) Rys. 2.1 Polem powierzchni tej figury nazywamy:=AdA A [m2 ] ( > 0). Momentem statycznym figury paskiej o polu A wzgldem osi X nazywamy : =AxdA y S[m3 ] ( >,=,< 0). Momentem statycznym figury paskiej o polu A wzgldem osi Y nazywamy : =AydA x S[m3 ] ( >,=,< 0). Obliczamy momenty statyczne tej figury wzgldem nowych osi (X1, Y1) przesunitych o a i b wzgldem osi (X, Y). Poniewa: a x x i b y y = =1 1, to: y1 b x y x1 Y dA X1 Y1 a A X Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 12( ) = = =AxAxA b S dA b y dA y S11, ( ) = = =AyAyA a S dA a x dA x S11. A a S S , A b S Sy y x x = =11(2.1) gdzie: aib wsprzdne pocztku nowego ukadu w starym. Postawmyteraztakiezadanie:majcosie(X,Y)znalepooenienowychosi(Xc,Yc) wzgldem ktrych momenty statyczne bd rwne zero. Zrwnania(2.1)atwootrzymujemywsprzdnepocztkunowegoukaduosi(Xc,Yc) wzgldem ktrych momenty statyczne s rwne zero: ASy ;ASxxcyc= = (2.2) Punkt C o wsprzdnych okrelonych wzorami (2.2) nazywa bdziemy rodkiem cikoci figurypaskiej,aosie,ktreprzechodzprzezrodekcikocinazywamyosiami centralnymi. Osie centralne figury paskiej to osie wzgldem ktrych jej momenty statycznes rwne zero. Wzory(2.2)pozwalajwyznaczymoment statycznyfigurywzgldemdowolnejosi,bez koniecznocicakowania,jelitylkoznamy jejpolepowierzchniAipooeniejejrodka cikoci C. Zdefiniujemyterazkolejnomomentybezwadnoci,momentdewiacjiibiegunowymoment bezwadnoci. Rys. 2.2 Momentem bezwadnoci figury paskiej o polu A (rys.2.2) wzgldem osi X nazywamy: =AxdA y J2[m4 ]( > 0). Momentem bezwadnoci figury paskiej o poluA wzgldem osi Y nazywamy: =AydA x J2 [m4 ] ( > 0). y1 x y x1 Y dA X1 Y1 b a A X O h z C hA Sz=A Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 13Momentem dewiacji figury paskiej o poluA wzgldem ukadu osi (X,Y) nazywamy: =AxydA xy J [m4 ] ( >,=,< 0).BiegunowymmomentembezwadnocifigurypaskiejopoluAwzgldembiegunaOnazy-wamy: =AdA J20 [m4 ] ( > 0). Poniewa: 2 2 2y x + = , to atwo zobaczy, e: y x 0J J J + =co pozwala stwierdzi, e: biegunowymomentbezwadnociwzgldemdowolnegopunkturwnasisumie momentwbezwadnociwzgldemdwchdosiebieprostopadychosiprzechodzcych przez ten punkt. Obliczmymomentybezwadnociidewiacjitejfigurywzgldemnowychosi(X1,Y1) przesunitych oa i bwzgldem osi (X, Y). Poniewa: a x x i b y y + = + =1 1,to: ( ) ( ) A b S b J dA b by y dA b y dA y JAx xA Ax2 2 2 2 2112 2 + + = + + = + = = , ( ) ( ) A a S a J dA a ax x dA a x dA x JAy yA Ay2 2 2 2 2112 2 + + = + + = + = = , ( )( ) abA bS aS J dA b y a x dA y x Jy x xyA Ayx+ + + = + + = = 1 11 1. Jelistareosie(X,Y)sosiamicentralnymito0 =xS oraz0 =yS iotrzymujemywzory stanowice tre twierdzenia Steinera: A ab J JA a J JA b J Jxcyc y xyc yxc x+ =+ =+ =1 12121(2.3) gdzie: xcyc yc xcJ J J , , ,momentybezwadnociidewiacjiwzgldemosicentralnychzgodnie rwnolegych z osiami (X1,Y1),a i b wsprzdne rodka cikoci figury w ukadzie (X1, Y1). Wyznaczymy teraz momenty bezwadnoci i dewiacji wzgldem ukadu osi (,) obrconego wzgldem pocztku ukadu (X,Y) o kt , jak to pokazane jest na rys.2.3 . Rys. 2.3 X x y Y dA A Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 14atwo zobaczy, e wsprzdne punktu w nowym ukadzie zwizane s ze wsprzdnymi w starym ukadzie poprzez zalenoci: cos sin ; sin cos y x y x + = + = , co mona zapisa w postaci macierzowej: |||

\||||

\|=|||

\|yx cos , sinsin , cos, gdzie:|||

\| cos , sinsin , cos-macierzprzejciaodukadustaregodonowego,jejwierszeto wsprzdne wersorw kierunkowych nowych osi w starym ukadzie. Zgodnie z definicjami momentw bezwadnoci i dewiacji otrzymujemy: ( ) cos sin 2 sin cos cos sin2 222xy y xA AJ J J dA y x dA J + = + = = , ( ) cos sin 2 cos sin sin cos2 222xy y xA AJ J J dA y x dA J + + = + = = , ( ) ( ) = + + = = dA y x y x dA JA A cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos2 2y x xy xyJ J J J + = . Po wykorzystaniu zalenoci trygonometrycznych: ( ) ( ) , 2 2 cos 1 sin , 2 2 cos 1 cos, sin cos 2 cos , cos sin 2 2 sin2 22 2 = + = = = mamy ostatecznie: 2 22 2sin J cosJ J J JJxyy x y x++= , 2 22 2sin J cosJ J J JJxyy x y x++= ,(2.4) 2 22cos J sinJ JJxyy x+= . Warto zapamita te zalenoci. Wzory o identycznej strukturze jeszcze nie raz pojawi si w wytrzymaoci materiaw. Bez trudu mona stwierdzi, e: y xJ J J J + = + , czyli,esumamomentwbezwadnocifigurypaskiejwzgldemdwchdowolnychale prostopadychdosiebieosiowsplnympocztkujestwielkocistaicomoemydoda rwna si jej biegunowemu momentowi bezwadnoci wzgldem punktu pocztkowego. Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 152.2. Gwne osie i momenty bezwadnoci Postawimy,terazwanepytanie:ojakiktnaleyobrciukadosi(X,Y)abymomenty bezwadnoci w nowym ukadzie osigny wartoci ekstremalne. Jest to proste zadanie poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej. Warunki zerowania si pochodnych momentw bezwadnoci J i Jwzgldem kta : , 0 2 cos 2 2 sin22 = = xyy xJJ JddJ 0 2 cos 2 2 sin22 = += xyy xJJ JddJ, daj jedno rwnanie: 0 2 cos 2 sin2= + xyy xJJ J. Z powyszego rwnania, ktrego lewa strona to moment dewiacji Jwzgldem nowych osi otrzymujemy: x yxyJ JJ=22 tg 22tg21 nJ JJarcx yxy+= (2.5) co dowodzi, e osie wzgldem ktrych momenty bezwadnoci osigaj wartoci ekstremalne, amomentdewiacjijestrwnyzerosdosiebieprostopade.Tworzoneukadosi,ktry nazywa bdziemy ukadem gwnych osi bezwadnoci. Zatem: gwne osie bezwadnoci figury paskiej w dowolnym punkcie todwie prostopade osie wzgldemktrychjejmomentdewiacjijestrwnyzeroamomentybezwadnocis ekstremalne (gwne momenty bezwadnoci).Policzmy wartoci gwnych momentw bezwadnoci. Wykorzystujc wzory trygonometryczne: 2 tg 112 cos ;2 tg 12 tg2 sin2 2+ =+ =wktrychza 2 tg wstawiamywzr(2.5),podstawiamyjedowzorwna J oraz J i otrzymujemy: Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 16( )( )( )( )( )( )222 22 22 222 222 22 244212424222 tg 12 tg2 tg 112 2xyy x y xxy x yxy y x y xxy x yx yx yxyxyxy x yx yy xy xxyy x y xJJ J J JJ J JJ J J J JJ J JJ JJ JJJJ J JJ JJ JJ JJJ J J JJ+|||

\| +=((((

+ + +==+ + +=+++=, co ostatecznie zapiszemy w postaci: 2212 2xyy x y xmaxJJ J J JJ J +|||

\| ++= = (2.6) 2222 2xyy x y xminJJ J J JJ J +|||

\| += =Wzr(2.5)podajejedyniekttransformacjiukaduwyjciowegodoukadugwnychosi bezwadnocinieokrelajcjednak,ktrejosiodpowiadaJmax aktrejJmin.Mona wyprowadzi zalenoci podajce pooenie tych osi; przedstawiaj si one nastpujco: min2 minmax1 maxtg tg ; tg tgJ JJJ JJyxyyxy= == = (2.7) We wzorach (2.7) max oznacza kt o jaki naley obrci o X do pokrycia si z gwn osi bezwadnoci wzgldem ktrej moment bezwadnoci jest maksymalny. Analogicznie definiujemy kt min. Wwytrzymaocimateriawinteresowanasbdzieprzedewszystkimpooenietzw. gwnych centralnych osi bezwadnoci rozwaanej figury tj. osigwnych poprowadzonych przez jej rodek cikoci. Wzgldem tych osi zeruj si momenty statyczne, bo s one osiami centralnymi oraz moment dewiacji, bo s one osiami gwnymi. Momentybezwadnociwzgldemtychosinazywabdziemygwnymicentralnymi momentami bezwadnoci. Na koniec kilka wanych uwag praktycznych: jeelifiguraposiadaosymetrii,tojestonajednzjejgwnychcentralnychosi bezwadnoci, jeelifiguraposiadadwieosiesymetrii,tosonejejgwnymicentralnymiosiami bezwadnoci, przyobliczaniumomentwstatycznych,bezwadnociidewiacjiwartokorzystaz wasnociaddytywnocicakipodwjnej(rwnasionasumiecaekpoobszarach czciowych)ipodzielirozwaanfigurnaczci,ktrychobliczanemomentyoraz pooenie rodkw cikoci znamy, a nastpnie zesumowa te czciowe wyniki. 0 > XY umowa znakw Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 17Wartowicznaipamitacharakterystykigeometrycznekilkupodstawowychfigur paskich.

PromieniembezwadnocifigurypaskiejopoluAwzgldemdowolnejosiZnazywamy warto dodatni: AJizz = [m] . 2.3. Przykady Przykad2.3.1.Wyznaczygwnecentralneosieimomentybezwadnocidanejfigury paskiej. h/2 b/2b/2 X Y h/2 0121233===xyyxJb hJh bJ h/3 2h/3 b/3 X Y 2b/3 7236362 233h bJb hJh bJxyyx === r X Y 04444===xyyxJrJrJY 4r/3X 0811 . 044==xyyxJrJr J r X Y 3 r 4 r 4440165 . 00549 . 00549 . 0r Jr Jr Jxyyx 1 max C 1 3 2 3 3 63 CY0Y0XCX648 . 2wymiary w [cm] 2 min 2 0.997 max = 56 49 min = 33 11 Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 18 Rozwizanie Podzielimy figur na trzy czci: trjkt, prostokt i pkole. Pooenie rodka cikoci: 283 . 33 2 * * 5 . 0 6 * 3 3 * 6 * 5 . 02= + + = A cm2, 133 . 88 4 * 2 * * 5 . 0 3 * 6 * 3 1 * 3 * 6 * 5 . 020= + + = xS cm3, ( ) ( ) 183 . 33 2 * 3 4 3 * 2 * * 5 . 0 5 . 1 * 6 * 3 2 * 3 * 6 * 5 . 020= + + + = yS cm3, 997 . 0283 . 33183 . 33 0= = =ASxyccm,648 . 2283 . 33133 . 880= = =ASyxccm . Momenty bezwadnoci i dewiacji wzgldem osi centralnych: ( ) 942 . 102 352 . 1 *22 *82 *352 . 0 * 6 * 3126 * 3648 . 1 * 6 * 3 *21363 * 622 42323= + + + + + = xcJ cm4, ( ) + + + + + =4 23232 * 11 . 0 503 . 0 * 6 * 3123 * 6997 . 2 * 6 * 3 *21366 * 3ycJ753 . 169 003 . 2* 32 * 4*22 *22= ||

\|+ +cm4, ( ) ( ) + + + = 503 . 0 * 352 . 0 * 6 * 3 997 . 2 648 . 1 * 6 * 3 *21723 * 62 2xcycJ364 76 003 232 4352 1222. .*** . **=||

\|+ +cm4. Gwne centralne osie i momenty bezwadnoci: ++= +|||

\| ++=2753 169 942 1022 222. .JJ J J JJxcycyc xc yc xcmax 698 219 351 83 347 136 364 762753 169 942 10222. . . .. .= + = + ||

\| +cm4, += +|||

\| +=2753 169 942 1022 222. .JJ J J JJxcycyc xc yc xcmin

996 52 351 83 347 136 364 762753 169 942 10222. . . .. .= = + ||

\| cm4, 'maxmax ycxcycmax.. ..J JJtg 49 56 529 1698 219 753 169364 76o = === , 'minmin ycxcycmin.. ..J JJtg 11 33 654 0996 52 753 169364 76o= === . Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 19Sprawdzenia: 695 272 753 169 942 102 . . . J Jyc xc= + = + cm4, 694 272 996 52 698 219 . . . J Jmin max= + = + cm4, o o o90 11 33 49 58 = + = +' 'min max . Przykad 2.3.2. Wyznaczy gwne centralne osie i momenty bezwadnoci ukadu stalowychksztatownikw walcowanych. Rozwizanie Dane z tablic profili walcowanych: C 2 = 12 30 X1 X2 Y1 Y2 10.014.996.006.00 2,03 2,90 2,90 6.97 1 YC XC 2 4.173 6.817 3.058 1.872 1 = 77 30 wymiary w [cm] Y A = 14.2 cm2 Jx = 328 cm4 Jy = 215 cm4 6 6 5.8 X X 10.01 4.99 6.97 2.03 Y A = 23.2 cm2 Jx = 532 cm4 Jy = 145 cm4 J = 88 cm4 tg = 0.366 wymiary w [cm] Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 20 Obliczenie momentu dewiacji ktownika wzgldem osi wasnych w oparciu o dane z tablic: ( )max maxmaxmaxtg tg J J JJ JJy xyyxy = = , osie (, ) to gwne centralne osie ktownika, przy czym maxJ J = a minJ J =, zatem: min y x max min max y xJ J J J J J J J + = + = +, ( ) ( ) [ ]min max max maxmaxmaxtg tg tg J J J J J J JJ JJy x y y xyyxy + = = = , ( ) ( ) 504 . 162 532 88 366 . 0 tg = = =x xyJ J J cm4. Pooenie rodka cikoci cego ukadu ksztatownikw: 40 . 37 2 . 14 2 . 23 = + = A cm2, 006 70 93 4 2 141. . * . Sx= = cm3, 058 156 99 10 2 141. . * . Sy= = cm3, 173 44 37058 156 1...ASxyc= = = cm, 872 14 37006 701...ASyxc= = =cm. Momenty bezwadnoci i dewiacji wzgldem osi centralnych: ( ) 091 . 574 058 . 3 * 2 . 14 215 872 . 1 * 2 . 23 1452 2= + + + =xcJ cm4, ( ) 898 . 1923 817 . 6 * 2 . 14 328 173 . 4 * 2 . 23 5322 2= + + + =ycJcm4, ( ) ( ) 750 . 314 058 . 3 * 817 . 6 * 2 . 14 872 . 1 * 173 . 4 * 2 . 23 504 . 162 = + + =xcycJcm4. Gwne centralne osie i momenty bezwadnoci: = + ||

\| ++= =221750 3142898 1923 091 5742898 1923 091 574.. . . .J Jmax683 . 1993 689 . 744 994 . 1248 = + =cm4, = + ||

\| += =222750 3142898 1923 091 5742898 1923 091 574.. . . .J Jmin 305 . 504 689 . 744 994 . 1248 = = cm4, 'max.. ..tg tg 30 77 510 4683 1993 898 1923750 3141 1o = == = , 'min.. ..tg tg 30 12 222 0305 504 898 1923750 3142 2o= == = . Sprawdzenia: 989 . 2497 898 . 1923 091 . 574 = + = +yc xcJ Jcm4, Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 21988 . 2497 305 . 504 683 . 19932 1= + = + J Jcm4, o o o90 30 12 30 77' '2 1= + = + . Przykad2.3.3.atwomonasprawdzi,emomentbezwadnociwzgldemdowolnejosi przechodzcej przez rodek cikoci kwadratu o bokuawynosi124a . To spostrzeenie bardzo uatwi wyznaczenie gwnych centralnych momentw bezwadnoci niej pokazanych figur paskich o dwch osiach symetrii. Przykad2.3.4.Wyznaczygwneosiebezwadnociprzechodzceprzezwierzchoek trjkta i momenty bezwadnoci wzgldem tych osi. Rozwizanie Prowadzimy ukad dwch prostopadych do siebie osi (X, Y) przechodzcych przez wierzchoek trjkta. Obliczamy momenty bezwadnoci i dewiacji wzgldem tych osi. 2 = 70 58 1 = 19 02 X 1 2 6 4 Y wymiary w [cm] ( )1221214122122424 4 41aJa a aJ== = aa 2 1 C ( )( )12512 122121512 1224 4424 4 41a a aJa a aJ= + == =a 2 1 a C Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 2221646 43= =*Jxcm4 ,32124 63= =*Jycm4 . Przyobliczaniu, 43bh Jx = wykorzystanowzrnamomentbezwadnocitrjkta prostoktnegowzgldemosiprzechodzcejprzezjegowierzchoekirwnolegejdojego podstawy. Przy obliczaniu, 123bh Jy =wykorzystano wzr na moment bezwadnoci trjkta prostoktnego wzgldem osi przechodzcej przez jego podstaw. W obu wzorach, ktrych wyprowadzenie przy wykorzystaniu twierdzenia Steinera jest bardzo proste,hjestwymiaremtegobokutrjkta,ktryjestprostopadydoosiwzgldemktrej liczymy moment bezwadnoci.( ) 72 4 *34* 6 * 4 *21726 * 42 2 = + =xyJcm4. Gwne momenty i osie bezwadnoci przechodzce przez wierzchoek trjkta: ( ) 825 240 72232 216232 2162 222221. JJ J J JJxyy x y x= + ||

\| ++= +|||

\| ++= cm4, ( ) 175 7 72232 216232 2162 222222. JJ J J JJxyy x y x= + ||

\| += +|||

\| +=cm4, 'yxy.. J JJtg 02 19 345 0825 240 3272111o= === , 'yxy.. J JJtg 58 70 900 2175 7 3272222o = === . Bardzowaneprzypomnienie.Wkadympunkciepaszczyznywktrejdanajestfigura monawyznaczydwiewzajemniedosiebieprostopadeosiewzgldemktrychmoment dewiacji bdzie rwny zero a momenty bezwadnoci bd ekstremalne. Osie te nazywaj si osiami gwnymi i tylko gwnymi.Osiegwnewyznaczonewrodkucikocifigurysosiamigwnymicentralnymi.Ich wasnocijestzerowaniesimomentwstatycznych(botoosiecentralne)orazzerowanie simomentudewiacjiiosiganieekstremalnychwartocimomentwbezwadnoci(boto osie gwne). Przykad2.3.5.Wyznaczymomentybezwadnoci J i J orazmomentdewiacji Jwzgldem osi przechodzcych przez punkt K dla danej niej figury paskiej. 30 Y 60 6 3 42 X wymiary w [cm] K Adam Bodnar:Wytrzymao Materiaw. Charakterystyki geometryczne figur paskich. 23 Rozwizanie Naley zastosowa wzory transformacyjne (2.4). Momenty bezwadnoci i dewiacji wzgldem osi (X, Y): 500 . 34633 * 2129 * 63 3= =xJ cm4 , ( ) 000 . 334 5 * 3 * 2122 * 346 * 923 3=(((

|||

\| + =yJcm4 , ( ) ( ) [ ] 500 . 319 5 . 1 * 5 * 3 * 2 0 3 * 4 * 9 * 6 *21729 * 62 2 = + (((

+ =xyJ cm4. Momenty bezwadnoci i dewiacji wzgldem osi (, ): ( ) ( )= ++=o o60 sin 60 cos2 2xyy x y xJJ J J JJ ( ) 680 . 66 866 . 0 * 5 . 319 5 . 0 *20 . 334 5 . 34620 . 334 0 . 346= +++=cm4 , ( ) ( )= ++=o o120 sin 120 cos2 2xyy x y xJJ J J JJ ( ) 820 . 613 866 . 0 * 5 . 319 5 . 0 *20 . 334 5 . 34620 . 334 0 . 346= + ++=cm4 , ( ) ( ) ( ) 162 . 165 5 . 0 * 5 . 319 866 . 0 *20 . 334 5 . 34660 cos 60 sin2 = = + =o oxyy xJJ JJ cm4. Sprawdzenie: 500 680 000 334 500 346 . . . J Jy x= + = +cm4 500 680 820 613 680 66 . . . J J = + = + cm4 AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Siy wewntrzne i przekrojowe. 24 3. SIYWEWNTRZNEIPRZEKROJOWE 3.1 Sia wewntrzna Rys. 3.1 Rozwamyciaomaterialnepozostajcewrwnowadzepoddziaaniemzrwnowaonego ukadusizewntrznych{Z}(rys.3.1).Zgodniezzaoeniemocontinuummaterialnym ciao to jest gsto wypeniajcym objto zbiorem punktw materialnych.Podwpywemprzyoonychobcieciaozmieniaswojeksztatyiwymiaryalezachowuje cigo,botopodstawowedaniejakiestawiamykonstrukcji,cowiadczyoistnieniumidzy punktami materialnymi pewnych wizw si midzyczsteczkowych. WybierzmywewntrzbryydowolnypunktCowektorzewodzcymr idokonajmy mylowegopodziaubryynadwieczcipaszczyznonormalnejzewntrznejv .Midzy punktemClecymnapaszczyniepodziauiprzyporzdkowanymczciIawszystkimi punktamiczciIIistniejwzajemneoddziaywania.Zaoymy,eteoddziaywaniamidzy czsteczkowe sprowadzaj si jedynie do si, bez momentw. Przyjmiemy teraz wan definicj: si wewntrzn) , ( v r P P=w danym punkcie o wektorze wodzcymrna paszczynie przekroju o wersorze normalnymvnazywamy wypadkow si midzyczsteczkowych z jakimi wszystkie punkty czci II rozwaanej bryy wyznaczonej paszczyzn przekroju dziaaj na ten punkt przyporzdkowany czci I. Jakatwozauwaywoglnociwypadkowatabdziezaleaaodwyborupunktui paszczyzny przekroju bryy i std jest ona funkcj wektorow dwch wektorwriv .Obrazowomoemypowiedzie,esiawewntrznawpunkcieCtosiazjakwszystkie punkty materialne czci II chc np. wyrwa ten punkt z czci I. Oczywicie cae rozumowanie wyglda analogicznie gdy punkt C przypiszemy czci II. W tym miejscu warto zwrci uwag na dwie sprawy: podziau bryy dokonujemy na dwie i tylko dwie czci, bdnejestpowiedzenie:siawewntrznawdanympunkcielubnadanejpaszczynie przekroju. Naley okreli i punkt i paszczyzn przekroju. ) v , r ( PvX C Z Y rIII AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Siy wewntrzne i przekrojowe. 25 Zgodniezpostulatemowizachdokonujc podziau konstrukcji na dwie czci moemy np. czeIIodrzucizastpujcjejdziaanie ukademsiwewntrznychprzyoonychdo kadego punktu paszczyzny przekroju. Wyznaczenieukadusiwewntrznychw zadanym przekroju bdzie jednym z naszych podstawowychcelw,gdyjegoznajomojestdlainynierakonstruktorabardzowana, pozwala mu bowiem oceni, czy w danym punkcie ciaa nie nastpi utrata spjnoci materiau lubdajemoliwookreleniakoniecznegowzmocnieniawdanymkierunku,np.przez uoenie zbrojenia w betonie. 3.2 Twierdzenie o rwnowanoci ukadw si wewntrznych i zewntrznych Jak ju powiedzielimy poszukiwanie ukadu si wewntrznych w zadanym przekroju jest dla nasbardzowanymzadaniem.Terazodpowiemynapytanie,czyistniejezwizekmidzy ukadem si wewntrznych i zewntrznych. Rozwamyciaowrwnowadzepoddziaaniemukadusizewntrznych{Z}{0}i dokonajmy jego podziau na dwie czci paszczyzn o normalnej v (rys.3.2).

Rys. 3.2 Oznaczmy przez: {ZI} ukad si zewntrznych przyoonych do czci I mylowo rozcitej bryy, {ZII} ukad si zewntrznych przyoonych do czci II mylowo rozcitej bryy, {WI} ukad si wewntrznych przyoonych do czci I pochodzcy od dziaania czci II, {WII} ukad si wewntrznych przyoonych do czci II pochodzcy od dziaania czci I. Zwarunkwrwnowagiciaajakocaocijakiposzczeglnychjegoczciwynikaj zalenoci: { Z I} + { Z II} { 0 },(3.1) { Z I} + { W I} { 0 },(3.2) { Z II} + { W II} { 0 }.(3.3) Z (3.2) wynika, e { W I} -{ Z I} , a z (3.1), e { Z II} - { Z I} zatem { W I} { Z II}.(3.4) Z (3.3) wynika, e { W II} -{ Z II} , a z (3.1), e { Z I} - { Z II} std { W II} { Z I}.(3.5) Ponadto z zasady akcji i reakcji wnosimy:{ W I} - { W II}.(3.6) Zalenoci(3.4)i(3.5)moemyprzedstawiwformietwierdzeniaorwnowanoci odpowiednich ukadw si wewntrznych i zewntrznych: I {ZI} I {WI} II {ZII} {WII} AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Siy wewntrzne i przekrojowe. 26 ukadsiwewntrznych,przyoonychdoprzekrojujednejczcimyloworozcitej bryy jest rwnowany ukadowi si zewntrznych przyoonych do jej drugiej czci. Zwrmy uwag, e mimo i ukady{ Z I} oraz { Z II} s znane to zalenoci (3.4) i (3.5) nie pozwalajnawyznaczenieukadw{W I}i{W II}gdyukadwrwnowanychdanemu monazbudowanieskoczeniewiele,jednake,twierdzenieorwnowanocijestbardzo cenne,bopozwalanawyznaczenieelementwzredukowanegoukadusiwewntrznych. Wynika to ze znanego twierdzenia o ukadach rwnowanych, ktre mwi, e: jelidwaukadysisrwnowane,torwnesichsumyirwnesichmomentyliczone wzgldem tego samego punktu. Zatem na podstawie wyej dowiedzionego twierdzenia moemy zapisa: { } { }{ } { }{ } { } == II III III IZ M W MZ S W SZ W0 0,(3.7) { } { }{ } { }{ } { } == I III III IIZ M W MZ S W SZ W0 0.(3.8) gdzie:{ } Si { }0Mto suma i moment wzgldem punktu O rozwaanego ukadu si.Zalenoci(3.7)i(3.8)bdziemybardzoczstowykorzystywawanaliziekonstrukcji prtowych. 3.3. Siy przekrojowe w konstrukcjach prtowych Przyjmiemy kilka prostych definicji: prt,sup,belkatobrya,wktrejdwawymiarysznaczniemniejszeodtrzeciego dugoci, oprtatomiejscegeometrycznepunktw,bdcychrodkamicikociprzekrojw prta dowolnymi paszczyznami przecinajcymi jego pobocznic, przekrj poprzeczny prta to przekrj paszczyznprostopad do jego osi, prt pryzmatyczny to prt o osi prostej i staym przekroju poprzecznym. Prtjestnajczciejspotykanymwpraktyceinynierskiejelementemkonstrukcjidlategote on bdzie modelem ciaa w naszych rozwaaniach. Poszukujcelementwzredukowanegoukadusiprzyoonychdojednejzprzecitych czci prta przyjmiemy umow, e: zredukowanego ukadu si poszukiwa bdziemy na paszczynie przekroju poprzecznego biegunem redukcji bdzie rodek cikoci tego przekroju. Wemydowolnyprtwrwnowadzepoddziaaniemukadusizewntrznych(rys.3.3), podzielmy go na dwie czci, odrzumy cz II i korzystajc z twierdzenia o rwnowanoci odpowiednichukadwsi,wyznaczmyelementyzredukowanegodorodkacikoci przekroju poprzecznego ukadu si wewntrznych przyoonych do czci I. Rys. 3.3 I II I SMAdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Siy wewntrzne i przekrojowe. 27 WoglnymprzypadkuwwynikuredukcjiotrzymamyukadzoonyzwektorasumyS i wektoramomentuM .Mogsijednakzdarzyszczeglneprzypadkiredukcjiukadusi wewntrznych, ktre nazywamy prostymi przypadkami wytrzymaoci: Rozciganie lub ciskanie osiowe Wystpuje ono wtedy, gdy ukad si wewntrznych redukujesidowypadkowejprostopadejdoprzekroju poprzecznego.Jelimaonazwrotzgodnyznormaln zewntrzntowystpujerozciganieosiowewprzeciwnym przypadku mamy do czynienia ze ciskaniem osiowym. Wypadkowtnazywamysipodunlubosiowi najczciej oznaczamy przezN . cinanie Wystpuje ono wtedy, gdy ukad si wewntrznych redukujesidowypadkowejstycznejdoprzekroju poprzecznego.Wypadkowtnazywamysipoprzecznlub tnc i najczciej oznaczamy przezQ. Zginanie Wystpuje ono wtedy, gdy ukad si wewntrznych redukuje si do pary si ktrej, wektor momentu jest styczny do przekrojupoprzecznego.Momenttennazywamymomentem zginajcym i oznaczamy przez M . Skrcanie Wystpuje ono wtedy, gdy ukad si wewntrznych redukujesidoparysi,ktrejwektormomentujest prostopadydoprzekrojupoprzecznego.Momentten nazywamy momentem skrcajcym i oznaczamy przez S M . Dowolnyzredukowanyukadsiwewntrznychmonawyrazipoprzezodpowiedni kombinacj wyej opisanych prostych przypadkw. SkadowezredukowanegoukadsiwewntrznychM , Q , N iS M nazywamysiami przekrojowymi. Po przyjciu odpowiedniej umowy ich znakowania (np. zgodnie ze zwrotami ukaduwasnegoprzekrojupoprzecznegoprtaispodami)moemyposugiwasinimijak wsprzdnymi opuszczajc nadkrelenie. vNMvvS MvQAdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 28 4. TEORIASTANUNAPRENIA 4.1. Definicja naprenia Wpoprzednimrozdzialezdefiniowalimysiwewntrznwdanympunkcieiprzekroju. Stwierdzilimyte,edokonujcpodziaubryynadwieczcimoemyanalizowa zachowaniesitylkojednejczcipodwarunkiem,edokadegopunktuprzekroju przyoymysiwewntrznychzjakoddziaujnaniegowszystkiepunktyodrzuconej czci.Siytetworzwprzekrojunieskoczonyukadsiwewntrznych,ktryjestbardzo wany w analizie zachowania si konstrukcji i bdzie przedmiotem szczegowych rozwaa w toku dalszych wykadw. Abymcdokonywaanalizyukadusiwewntrznychnaleyprecyzyjniezdefiniowaich miar ktr nazwiemy napreniem. Wtymcelurozwamydowolny, pokazanynarys.4.1,przekrjbryy paszczyzn o wersorze normalnym vprzechodzcprzezdowolnypunktC o wektorze wodzcymr .Do kadego punktupaszczyznyprzekroju przyoonajestsiawewntrzna. WydzielmywokpunktuCelement powierzchniA.NiechP oznacza sumsiwewntrznychprzyoonych do punktw powierzchni A.Przyjmiemy definicj: napreniemwpunkcieowektorzewodzcymr napowierzchniprzekrojuonormalnejvnazywamy wektor APpA 0lim= .(4.1) Fizycznie naprenie jest gstoci si wewntrznychi jak wida ze wzoru (4.1) w oglnoci, podobnie jak sia wewntrzna, w bryle (konstrukcji) jest funkcj wektorow dwch wektorw ,wektora wodzcego punkturi wersora normalnego paszczyznyprzekrojuv . Woglnocikierunekwektoranaprenia jest dowolny w odniesieniu do paszczyzny na ktrejwystpuje.Moemygorozoy,jak pokazujerys.4.2,nadwieskadowektrych kierunkisnormalneistycznedoprzekroju nazywajcjeodpowiednionapreniem normalnymistycznym.Takwicnaprenie normalne toskadowanaprenia prostopadadopaszczyznyprzekrojua napreniestyczne toskadowanaprenia styczna do paszczyzny przekroju. Rys. 4.2 C vp + = pRys. 4.1 vX Z Y rP A C AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 29 4.2. Stan naprenia w punkcie Stannapreniawpunkcietonieskoczonyzbirwektorwnapreprzyporzdkowanych wszystkim paszczyznom przecicia bryy, przechodzcych przez ten punkt. Mwimy,eznamystannapreniawbrylejeliznamystannapreniawkadymjej punkcie. Rozrniamy trzy rodzaje stanw naprenia w punkcie: jednoosiowy, paski i przestrzenny. Jednoosiowystannapreniawystpujewwczas,gdywektorynapreprzyporzdkowane dowolnym paszczyznom cicia bryy w danym punkcie maj ten sam kierunek. Paskistannapreniawystpujewwczas,gdywektorynapreprzyporzdkowane dowolnympaszczyznomciciabryywdanympunkcielewjednejpaszczynie (paszczynie stanu naprenia). Przestrzennystannapreniawystpujewwczas,gdywektorynapreprzyporzdkowne dowolnympaszczyznomciciabryywdanympunkcieswoglnocirne(majrne dugoci, kierunki i zwroty). Kadyztychcharakterystycznychstanwnapreniawpunkcie,wcaejbrylemoeby jednorodny lub niejednorodny. Jednorodny jest wwczas gdy nie zaley od wyboru punktu. Zdefinicjistanunapreniawpunkciejestzrozumiae,ejegoznajomojestnieodzowna przyanalizietegocosidziejewdanympunkcieciaapoddanegodziaaniuukadusi zewntrznych.Tooznacza,emusimyznawektorynaprenakadejdowolnej paszczynieciciabryywdanympunkcieaprzyanaliziezachowaniasikonstrukcjiw kadym jej punkcie. 4.3. Macierz napre. Graficzny obraz macierzy napre DokonajmyprzekrojurozwaanejbryywdowolniewybranympunkcieCtrzema paszczyznamiprostopadymidoosiukadu(X,Y,Z).Wektorynapreprzyporzdkowane tym paszczyznom cicia oznaczymy, odpowiednio, przez z y xp p p , ,(rys. 4.3). Rys. 4.3 Kadyztychwektorwnapremoemyrozoynatrzyskadowerwnolegedoosi ukadu.Jakatwozauway,zawszejednaztychskadowychbdzienormalnado paszczyznyprzeciciaadwiepozostaebddoniejstyczne.Zgodniezrys.4.3moemy zapisa: xz xy xxp + + =yz y yxyp + + = (4.2) z zy zxzp + + =YX Z x vC xpxxyxyC y vyzypyxyzY C z vzpzxzyAdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 30 Wsprzdne wektorw napre z y xp p p , ,oznacza bdziemy podobnie jak ich skadowe, opuszczajcjedynienadkrelenieizapiszemyjewformiemacierzy T nazywanejmacierz napre:

|||||

\|=z zy zxyz y yxxz xy xT .(4.3) Moemy wic powiedzie, e: macierznaprewpunkcietouporzdkowanyzbirwsprzdnychtrzechwektorw napre na paszczyznach prostopadych do osi ukadu wsprzdnych. Uporzdkowanywtensposb,ewierszeprzedstawiajkolejnewsprzdne,kolejnych wektorwnapre.Wwynikutakiegouporzdkowanianaprzektnej macierzy znajduj si naprenianormalneapozaprzektnnapreniastyczne.Jasnajesttewymowaindeksw przynapreniach.Indeksprzynapreniunormalnympokazujepaszczyznnaktrejono wystpujeidoktrejjestonoprostopade,czylioukadudoktrejtonapreniejest rwnolege. Indeksy przy napreniu stycznym pokazuj: pierwszy paszczyzn na ktrej ono wystpuje, a drugi o ukadu do ktrej to naprenie jest rwnolege. Zatemnp. z tonaprenienormalnenapaszczynieprostopadejdoosiZ,a yx to naprenie styczne na paszczynie prostopadej do osi Y irwnolege do osi X. Powszechniejeststosowanaicowaniejszejestwygodnaszczeglnaumowaznakowania elementwmacierzynapre(czyliwsprzdnychwektorwnaprenapaszczyznach prostopadych do osi ukadu). Za dodatnie, w macierzy napre, uwaamy wsprzdne takich skadowych, ktre maj:zwrot zgodny ze zwrotem osi do ktrej s rwnolege izwrotnormalnejzewntrznejpaszczyznynaktrejonewystpujtakezgodnyze zwrotem osi ukadu do ktrej ta normalna jest rwnolega lubjelizarwnoskadowajakinormalnamajzwrotyprzeciwnedoodpowiednichosi,do ktrych s rwnolege. Jest tzw. regua podwjnej zgodnoci. W kadym innym przypadku wsprzdna jest ujemna. Zgodnie z przyjt umow naprenie normalne jest dodatnie jeli jest rozcigajce, a ujemne jeli jest ciskajce. Naleypowiedzie, e macierz napre w punkcie to zbir liczb. Gdybymy rozszerzyli to pojcienacaobjtobryytomiejsceliczbzajmfunkcjewsprzdnychwektora wodzcego dowolnego punktu obszaru bryy. Jak si wkrtce przekonamy macierz napre w punkcie bdzie podstaw okrelenia w nim stanu naprenia. Dlalepszegozrozumieniaorazutrwaleniaprzyjtychdefinicjiiumwznakowania elementw macierzy napre przedstawimy jej graficzn interpretacj. Wemyobcione,pozostajcewrwnowadzeciaoiwybierzmywnimdowolnypunkt materialny C (rys. 4.4). Bdziemygomodelowazapomocdowolniemaegoszecianu,ktregociankis rwnolege do paszczyzn ukadu odniesienia. AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 31 Rys. 4.4 Tenpunktmaterialnymoemywyjczrozwaanejbryypodwarunkiem,eprzyoymydo niegowszystkiesiyzjakimipozostaepunktyciaadziaajnaniego.Wielkocitychsi otrzymamymnocelementymacierzynaprepokazanenarys.4.4przezpowierzchnie odpowiednichcianek szecianu. Tak wic pokazany na rys. 4.4 szecian pokazuje graficzny obrazmacierzynapre(wszystkienarysowanenanimskadowemacierzynapres dodatnie) i rwnoczenie siy z jakimi wszystkie punkty bryy dziaaj na punkt C. Zzaoeniaorwnowadzerozwanejbryywynikarwnowagasiwewntrznych dziaajcych na punkt C. Rozpisujc warunki rwnowagitych si otrzymamy zalenoci: z warunkw zerowania si momentw si wzgldem osi ukadu ===zy yzzx xzyx xy (4.4) z warunkw zerowania si rzutw si na osie ukadu= +++= +++= +++000zzzyzxyyz y yxxxzxyxPz y xPz y xPz y x (4.5) gdzie: z y xP , P , Pwsprzdne siy masowej. Rwnania(4.4)dowodz,emacierznaprejestsymetryczna,arwnaniarniczkowe (4.5)stanowiwarunkikoniecznektrewinnyspeniafunkcjetrzechzmiennychabymc byelementamimacierzynapre.Rwnaniarniczkowe(4.5)nosznazwrwna rwnowagiwewntrznejlubrwnaNavieraimuszbystowarzyszonezestatycznymi yzxzxY xy yyxY xY xyxzY yyxY zY zyzxzxY zzydy dx dz C Y X Z ryzAdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 32 warunkamibrzegowymiwicymiobcieniebrzegubryyzelementamimacierzy napre. 4.4. Wsprzdne wektora naprenia na dowolnej paszczynie. Tensor napre Wytnijmyzwntrzabryy,bdcejwrwnowadze,nieskoczeniemayczworocianwok dowolnegopunktuC,ktregotrzyciany bd rwnolege dopaszczyzn ukadu odniesienia aczwartabdzierwnolegadodowolnejpaszczyznyowersorzenormalnym( ) n m l v , , . Zakadajc,eznamymacierznaprewtympunkciebdziemychcieliwyznaczywektor naprenia( )vz vy vx vp p p p , ,na tej czwartej dowolnej paszczynie (rys. 4.5). Rys. 4.5 Oznaczmypolacianekczworocianuodpowiednioprostopadychdoosiukaduodniesienia przez:, , ,z y xA A A apoleczwartejprzez. A Poniewawsprzdnewersora normalnegoczwartejdowolnienachylonejciankiczworocianu( ) ( ) ( ) Z v n Y v m X v l , cos , , cos , , cos = = = tomidzypolamipowierzchnicianekczworocianu zachodz zalenoci: n A A m A A l A Az y x = = = , , . Tildanadnapreniaminarys.4.5oznaczaredniwartonaprenapowierzchni cianki czworocianu. Warunki rwnowagi si dziaajcych na wycity czworocian daj rwnania: n m l p A A A A p Xzx yx x vx z zx y yx x x vx ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~0 + + = + + = = n m l p A A A A p Yzy y xy vy z zy y y x xy vy ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~0 + + = + + = = n m l p A A A A p Zz yx xz vz z z y yz x xz vz ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~0 + + = + + = = Powykonaniuprzejciagranicznegozbokamiczworocianudozerazzachowaniem nachyleniaczwartejciankiwpowyszychrwnaniachwmiejscerednichwartoci wsprzdnychnapreotrzymujemywartociwrozwaanympunkcieipowykorzystaniu symetriimacierzynapreotrzymujemyzalenociwicejejwsprzdneze wsprzdnymi wektora naprenia: x~Y xy~xz~Y yz~y~yx~Y z~Y zy~zx~( )vz vy vx vp p p p~,~,~ ~( ) n m l v , ,C YX Z AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 33 n m l pxz xy x vx + + =n m l pyz y yx vy + + = (4.6) n m l pz zy zx vz + + =Rwnania (4.6) dowodz, e: macierznaprewdanympunkcieokrelawnimstannapreniagdyznajomojej elementwpozwalanawyznaczeniewsprzdnychwektoranaprenianadowolnej paszczynie przechodzcej przez ten punkt. Rwnania (4.6) moemy zapisa jeszcze w innej zwartej macierzowej formie: v T pv = ||||

\||||||

\|=||||

\|nmlpppz zy zxyz y yxxz xy xvzvyvx (4.7) Powysze rwnania pokazuj, e w wyniku mnoenia macierzy napre Tprzez wektorvotrzymujemy wektor naprenia vp . Moemytetosformuowabardziej formalnie,emacierznaprew punkciejestwielkoci,ktra dowolnemukierunkowiv -normalna do paszczyzny przecicia bryy w tym punkcie,przyporzdkowujewektor vp -wektornaprenianatej paszczynie (rys. 4.6). Towyejpowiedzianestanowidowdnato,emacierznaprejesttensoremdrugiego rzdu co oznacza, e jej elementy transformuj si przy zmianie ukadu odniesienia w pewien cile okrelony sposb zwany prawem transformacji tensora. Majcwsprzdnewektoranaprenia,na dowolnejpaszczynie,( )vz vy vx vp p p p , ,okrelonewwyjciowymukadzie wsprzdnych,atwomoemywyznaczy jegowsprzdneodniesionedoukadu zwizanegoztpaszczyzn,wyznaczonego przezortonormalntrjkwersorw( ) n m l v , , ,( )1 1 1n , m , l ,( )2 2 2n , m , l . Pierwszyztychwersorwjestnormalnydo paszczyznyadwapozostaesdoniej styczne (rys.4.7). vpY X Z vrRys. 4.6 Y X Z vpvvvvRys.4.7 AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 34 Zaczniemy od rozoenia wektora vpna trzy skadowe (rys.4.7) v v vvp + + = ,(4.8) zktrych v tonaprenienormalnedopaszczyznyadwiepozostae vi vsdoniej styczneirwnolegedowersorw i ,aichsumaprzedstawiacakowitenaprenie styczne: v v v+ = . Wsprzdnewektora vp wukadzieodniesieniawyznaczonymprzeztrjkwersorw( v , , ), oznaczymy tak jak jego skadowe opuszczajc jedynie nadkrelenie. Otrzymamy je mnoc skalarnievpprzez odpowiednie wersory (bo to rzuty wektora na o) i tak: v vp v = , v vp = , v vp v = .(4.9) Uwzgldniajc w ( 4.9 ) zwizki ( 4.7) otrzymujemy zalenoci: ( )||||

\||||||

\|=nmln , m , lz zy zxyz y yxxz xy xv ,(4.10) ( )||||

\||||||

\|=nmln , m , lz zy zxyz y yxxz xy xv 1 1 1,(4.11) ( )||||

\||||||

\|=nmln , m , lz zy zxyz y yxxz xy xv 2 2 2(4.12) ktre s konsekwencj tego, e macierz napre jest tensorem. Macierzowyzapistychpowyszychzalenocijestbardzowygodnywobliczeniach zwaszczagdykorzystamyzoglniedostpnychprofesjonalnychkalkulacyjnychprogramw komputerowych np. typu Excel czy Madcad.4.5. Statyczne warunki brzegowe Zrozwaanejnarys.4.5bryywrwnowadzewytnijmyprzyjejbrzeguelementarny czworocian ktrego trzy ciany bd rwnolege do paszczyzn ukadu odniesienia a czwarta bdziezawieraaelementpowierzchnizewntrznejS owersorzenormalnymzewntrznym ( ) n m l v , , . AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 35 Rys. 4.8 Analizujc,analogiczniejakwpunkciepoprzednim,warunkirwnowagitakwycitego czworocianuotrzymujemyzalenociwicewsprzdneobcieniabryy ( )vz vy vx vq q q q , ,w rozwaanym punkcie brzegowym ze wsprzdnymi macierzy napre w tym punkcie: n m l qxz xy x vx + + =n m l qyz y yx vy + + = (4.13) n m l qz zy zx vz + + =Rwnania(4.13)nosznazwstatycznychwarunkwbrzegowychijakjuwspomnianos niezbdne przy rozwizywaniu rwna rniczkowych Naviera.Statycznewarunkibrzegowe(4.13)chobardzopodobnedorwna(4.6),merytorycznie rni si zasadniczo. Przede wszystkim lewe strony (4.13) s znane (bo to zadane obcienie brzegubryy)wprzeciwiestwiedorwna(4.6)wktrychlewestronytoposzukiwane wsprzdne naprenia na zadanej dowolnej paszczynie. 4.6. Przykady Przykad4.6.1.Narysowagraficzneobrazydanychmacierzynapreiokrelijakistan naprenia reprezentuj. Rozwizanie

||||

\| =4 2 32 6 53 5 1T MPa YX Z x~Y xy~xz~Y yz~y~yx~Y z~Y zy~zx~( )vz vy vx vq q q q~,~,~ ~( ) n m l v , ,5 5 2 1 3 6 2 3 4 Z X Y AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 36 ||||

\| =4 0 20 0 02 0 3T MPa ||||

\|=0 0 00 0 00 0 5T MPa Rwnania (4.6) rozstrzygaj o tym, e pierwsza macierz reprezentuje przestrzenny stan naprenia, druga paski stan, ktrego paszczyzn naprenia jest paszczyzna (X, Z), a stan naprenia okrelony trzeci macierz jest jednoosiowy. Przykad 4.6.2. W punkcie w ktrym panuje stan naprenia okrelony macierz naprenia ||||

\|=100 20 6020 200 5060 50 100T MPa wyznaczy:a/ wsprzdne wektora napreniana paszczynie o wersorze normalnym( ) 2 1 , 2 1 , 2 1 v , b/ dugo wektora naprenia normalnegovi stycznego v na tej paszczynie, c/ wsprzdne wektora naprenia normalnego stycznego na tej paszczynie. Rozwizanie Wsprzdne wektora naprenia wyznaczamy z zalenoci: v T pv = ||||

\||||||

\|=||||

\|nmlpppz zy zxyz y yxxz xy xvzvyvx 426 172160215021100 . * * * n m l pxz xy x vx= + + = + + = MPa 5 5 Z X Z X Y 5 33 2 Z X 2 2 4 4 2 3 2 4 2 Z X Y AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 37 858 . 11021* 2021* 20021* 50 = + = + + = n m l pyz y yx vy MPa 711 902110021202160 . * * * n m l pz yz zx vz= + = + + = MPa Naprenie normalne284 12821711 9021858 11021426 17 . * . * . * . n p m p l p v pvz vy vx v v= + + = + + = = MPa Dugo wektora naprenia stycznego 2v2v v2v2v2vp p = + = 647 208212. p p p p p p pvz vz vy vy vx vx v= + + = (MPa)2,785 16456 284 1282 2. .v= = (MPa)2 067 66 785 16456 647 208212 2. . . pv v v= = = MPa Poniewavvv = , to wsprzdne wektora naprenia normalnego( )vz vy vxv , ,s rwne:142 642284 128..lv vx= = = MPa,142 642284 128..mv vy= = = MPa,710 902284 128..nv vz= = = MPa. Z zalenoci v vvp + = , wynika, ewsprzdne wektora naprenia stycznego ( )vz vy vxv , ,maj wartoci:323 . 57 536 . 53 787 . 3 = = =vx vx vxp MPa 322 . 57 536 . 53 858 . 110 = = =vy vy vyp MPa,001 . 0 710 . 75 711 . 75 = = =vz vz vzp MPa. Przykad4.6.3.BrzegtarczykoowejopromieniuRobcionyjestnacaymswym obwodzieobcieniemnormalnymostaejgstociq.Napisastatycznewarunkibrzegowe dla tej tarczy. Rwnaniebrzegutarczy: ( ) 0 0 ,2 2 2= + = R y x y x f Rozwizanie Wsprzdne wersora normalnego do brzegu: ( ) ( )( ) ( ) R x y x x ly f x fx fl = + = + =2 22 22 2 2 q ( ) m l v ,Y X AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 38 ( ) ( )( ) ( ) R y y x y my f x fy fm = + = + =2 22 22 2 2 Statyczne warunki brzegowe v T qv =m l m q m l qm l l q m l qy yx y yx vyxy x xy x vx + = + =+ = + = i ostateczniey x y qy x x qy yxxy x + = + = gdzie xy y x, , s elementami tensora napre na brzegu tarczy, s wic funkcjami jednej zmiennej. Przykad4.6.4.Wyznaczyobcieniepokazanejtarczyspeniajcewarunkirwnowagii statycznewarunkibrzegowe,jelistannapreniawjejpunktachokrelajzalenoci 12 , 6 , 12 = = =xy y xx y x |||

\|=xy xT6 , 1212 , 12 Rozwizanie Obcienie tarczy stanowi siy masowe i siy przyoone na jej brzegach. SiymasowewyznaczymyzrwnaNaviera(storwnaniarwnowagiwewntrznejalei warunki konieczne na to aby podane funkcje napre byy wsprzdnymi tensora napre). = === += ++= ++01200 1200yxyxyy yxxxyxPy PPP yPy xPy x . Obcienia brzegw tarczy wyznaczymy ze statycznych warunkw brzegowych. + =+ =m l qm l qy yx vyxy x vx 0 2 1 Y X 3 m 4 m AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu naprenia. 39 Brzeg0-1;Rwnanie brzegu : y = 0 1 , 0 = = m lx x qqvyvx6 ) 1 ( * 612 ) 1 ( * 12 = == = Brzeg0-2;Rwnanie brzegu : x = 0 0 , 1 = = m l12 ) 1 ( * 120 ) 1 ( * 12= == =vyvxqy x q xq vx q vy 0-9.6-7.2 16.6-2.4 212.02.4 36.67.2 Brzeg1-2;Rwnanie brzegu : 3 75 . 0 + = x y 8 0 6 0 . ) Y , v cos( m , . ) X , v cos( l = = = =2 . 7 8 . 4 8 . 0 * 6 6 . 0 * 126 . 9 6 . 21 4 . 56 . 9 2 . 7 8 . 0 * 12 6 . 0 * 122 = + = + == = =x x qx xy x y x qvyvx 4-9.612.0 Sprawdzenie rwnowagi obliczonych si dziaajcych na tarcz. ( )( )( )( ) 0 12 6 . 9 6 . 21 4 . 5 120 ; 02 1240= + + += + = dy dx y ds x x x ddA P ds q XAxKvx ( )( )( )0 2 . 7 8 . 4 12 60 ; 02 13040= + + = + = ds x y d x d xdA P ds q YAyKvy ( )( )( ) 0 ; 0 = + = Ax yKvx vy OdA P y P x ds q y q x M6.6 6.6 12.0 9.6 12.0 9.6 q vx q vy 7.2 12.024.0 12.0AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 405. ANALIZAPASKIEGOSTANUNAPRENIA 5.1. Naprenia na dowolnej paszczynie Jakpamitamypaskistannapreniawpunkciecechujeto,ewektorynapre przyporzdkowane wszystkim paszczyznom przecicia bryy w danym punkcie le w jednej paszczyniezwanej,paszczyznstanunaprenia.Wwczaswmacierzynapre wszystkie jej elementy w jednym wierszu (kolumnie) maj zerowe wartoci. Takistannapreniawystpujenp.wpaskichtarczach.Rozwamyzatempasktarcz okrelonwukadziewsprzdnych(X,Y)iobciondowolnym,alebdcymw rwnowadze, ukadem si zewntrznych. Rys. 5.1 Wybierzmy dowolny punkt C w pokazanej na rys. 5.1 paskiej tarczy i przyjmijmy, e znamy wnimwsprzdnemacierzynapre.Poniewapanujewnimpaskistannaprenia,tomacierz napre bdzie miaa, w oglnym przypadku, cztery rne od zera elementy: =y yxxy xT ,,. Wsprzdnewektoranaprenia( )vy vx vp p p ,_wtympunkcienapaszczynieowersorze normalnym( ) m l v ,_ s rwne: m l pxy x vx + = , m l py yx vy + = , a naprenia normalne i styczne na tej paszczynie wynosz: ( ) ( ) m l m l m m l l m l v pxy y x y yx xy x_ _v v 22 2+ + = + + + = =, ( )( ) ( ) ( )2 2_ _m l m l m l l m l m m l s pxy y x y yx xy x v v + + = + + + = = , gdzie:) , ( l m s wersorstycznydopaszczyzny(patrzrys.5.1)iprostopadydowersora ( ) m l v ,_. Uwzgldniajc,e cos = l a sin = m ,gdzie:toktmidzykierunkiemwersora iosiX, oraz znane z trygonometrii zalenoci Y X ( ) l m s , ( )C ( ) m l v ,( ) vpv v AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 41, cos sin 2 2 sin , sin cos 2 cos2 2 = =2cos 2 1sin ,2cos 2 1cos2222=+= , po przeksztaceniach otrzymujemy wzory : 2 sin 2 cos2 2xyy x y xv+++= ,(5.1)(1) 2 cos 2 sin2xyy xv+ = ,(5.2) podajcewartocinaprenormalnychistycznychnapaszczynieprzekroju,owersorze normalnymnachylonympodktem doosiX.Dodatnimwartocitychnapre odpowiadajzwrotyzgodnezezwrotamiwersorw _v orazs ,gdystomiaryrzutw wektora naprenia( )vy vx vp p p ,_ na osie wyznaczone tymi wersorami. Policzmyilewynosisumanaprenormalnychnadwchdowolnychalewzajemnie prostopadych paszczyznach przekroju. Korzystajc ze wzoru (5.1) otrzymujemy: ( ) ( )y x xyy x y xxyy x y xv v + = + + +++++ +++= ++0 090 , ,90 2 sin 90 2 cos2 22 sin 2 cos2 2 dowodzcwtensposb,i:wpaskimstanienapreniasumanaprenormalnychna dwchdosiebieprostopadychpaszczyznachjestwielkocistalub,inaczej,esuma napre na przektnej macierzy napre jest niezmiennikiem tzn. nie zmienia swej wartoci przyzmianieukadu,wktrymjestokrelana.Twierdzenietoodnosisirwniedo przestrzennego stanu naprenia. 5.2. Ekstremalne naprenia normalne i styczne Inynieraanalizujcegostannapreniawdanympunkcieinteresujprzedewszystkim wystpujce w nim ekstremalne wartoci napre normalnych i stycznych. Postawmy wic dwa bardzo wane zagadnienia do rozwizania: najakiejpaszczynieprzekrojuwystpujiilewynoszekstremalnenaprenia normalne, na jakiej paszczynie przekroju wystpuj i ile wynosz ekstremalne naprenia styczne. Abyrozwizateobazagadnienianaleywyznaczyekstremalnewartocifunkcji ( ) v v =oraz( ) v v = . Zaczniemy od napre normalnych.Pochodna funkcji( ) v v=przyrwnana do zera0 2 cos 2 2 sin22 = + = xyy xvdd , AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 42pokazuje, e na tych paszczyznach przekroju na ktrych naprenia normalne s ekstremalne, naprenia styczne s rwne zeru i daje rwnanie, z ktrego moemy wyznaczy x yxy =22 tg22tg21 n arcx yxy+= (5.3) ktpodjakimnachylonyjestdoosiX,wersornormalnypaszczyznylubpaszczyznna ktrych wystpuj ekstremalne naprenia normalne. Zalenoci(5.3)pokazuj,eekstremalnenaprenianormalnewystpujnadwch wzajemniedosiebieprostopadychpaszczyznach.Paszczyznytenazywamypaszczyznami gwnymianaprenianormalnenanichnapreniamigwnymi.Kierunkiwersorw normalnychdopaszczyzngwnychczylikierunkinapregwnychnazywamy kierunkami gwnymi. Zatem: napreniagwnewdanympunkcietoekstremalnewartocinaprenormalnych, ktrewnimwystpuj.Dziaajonenadwchdosiebieprostopadychpaszczyznach (paszczyznach gwnych) na ktrych naprenia styczne s rwne zeru. W celu wyznaczenia wartoci napre gwnych w paskim stanienaprenia korzystamy z poniszych wzorw trygonometrycznych: 2 tg 12 tg2 sin2+ = , 2 tg 112 cos2+ = , ktre wstawiamy do rwnania (5.1): 2 tg 12 tg2 tg 112 2 2221 max+++++= =xyy x y x, +++++= = 2 tg 12 tg2 tg 112 2 2222 min xyy x y x aby nastpnie po wykorzystaniu zalenoci (5.3) otrzyma kocowe rezultaty w postaci: 2222212 22 2xyy x y xminxyy x y xmax + += =+ ++= =(5.4) Wzr(5.3)podajejedyniekttransformacjiwyjciowegoukaduwsprzdnychdoukadu kierunkw napre gwnych nie okrelajc, kierunku maxikierunku min . Kierunki tych napre okrelaj ponisze zalenoci: AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 43 min yxyminmax yxymaxtg tg , tg tg = == =2 1.(5.5) We wzorach (5.5) maxoznacza kt o jaki naley obrci oXdopokryciasizkierunkiemmaksymalnego naprenianormalnego max .Analogiczniedefiniujemy kt min. Wceluwyznaczaniaekstremalnychnaprestycznychipaszczyznichwystpowania postpujemy podobnie jak w przypadku ekstremalnych napre normalnych. Przyrwnanie do zera pochodnej funkcji( ) v v=: 2 sin 2 2 cos22xyy xvdd == 0 , dajezaleno,zktrejwyznaczamykierunkinormalnychdopaszczyznekstremalnych napre stycznychxyx y 22 tg=2 2tg21 n arcxyx y+ = (5.6) Wzr(5.6)pokazuje,eekstremalnenapreniastycznetewystpujnadwchwzajemnie dosiebieprostopadychpaszczyznach,a tokttransformacjiukaduwsprzdnychdo ukadu wyznaczonego przez normalne do tych paszczyzn. Wstawiajc(5.6)do(5.2),przywykorzystaniuanalogicznychjakpoprzedniozalenoci trygonometrycznych otrzymujemy wartoci ekstremalnych napre stycznych: 2 222min maxxyy xmax = + = ,(5.7) 2 222min maxxyy xmin = + =. Porwnanie wzorw (5.3) i (5.6) daje zaleno: 4 22 2 2 2 + = + = = ctg tgcodowodzitwierdzenia,epaszczyznyekstremalnychnaprestycznychpoowikty midzy paszczyznami napre gwnych (ekstremalnych napre normalnych). Nakoniecpowiemy,ewprzypadkuprzestrzennychstanwnapreniastrzywzajemnie prostopadepaszczyznygwnenaktrychnapreniastycznesizerujanaprenia normalnesekstremalne(napreniagwne).Paszczyznyekstremalnychnapre stycznych i w tym przypadku poowi kty midzy paszczyznami napre gwnych.0 > XY umowa znakw AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 44 5.3. Koa Mohra Stawiamypytanie:czywartocinaprenormalnychistycznychnadowolnejpaszczynie przekrojubryywpunkcie,wktrympanujepaskistannapreniaokrelonyzadanymi wsprzdnymi macierzy napre mog by cakowicie dowolne czy te musz przyjmowa wartocizpewnegoograniczonegozakresu.Abyodpowiedzienatopytaniepowrcimydo rwna (5.1) oraz (5.2) i zapiszemy je w nieco zmienionej formie: , 2 sin 2 cos2 2 xyy x y xv+=+ (1) , 2 cos 2 sin2 xyy xv+ =anastpnie podniesiemy kade z nich do kwadratu i dodamy stronami otrzymujc w wyniku kocowym zaleno: 222222 2+ = + +xyy xvy xv .(5.8) Rwnanie(5.8)pokazujee,wartocinaprenormalnychistycznychdlawszystkich paszczyzn przekroju bryy w danym punkcie le na brzegu koa o promieniu (rys. 5.2). 222xyy xR + =, i rodku przesunitym na osi vo wielko 2y x +. Koo to nazywamy koem Mohra , jest ono graficzn reprezentacj stanu naprenia w danym punkcieimoemyzniegowyznaczywieleinteresujcychwielkocizwizanychzestanem naprenia. Narys.5.2pokazanejestkooMohrawpunkciewktrymwsprzdnemacierzynapre speniaj zalenoci0 > >y x oraz0 >xy .Punkt K pokazany na tym rysunku, nazywany biegunemkoaMohra,mawsprzdne( )xy y , ipozwalanawyznaczeniekierunkw napre gwnych. atwojestdowiepokazanychnatymrysunkuzalenoci.Ograniczymysizatemjedynie do udowodnienia, eOBmax = oraz e,OAmin = . Z rysunku wida, eR OO OB + =1, a poniewa: 21y xOO +=, a 222xyy xR + = , wic: AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 451222 2 = = + ++=max xyy x y xOB . Analogicznie dowodzimy drug zaleno. Z koa Mohra atwo odczytujemy wartoci ekstremalnych napre stycznych, reprezentuj je punkty CiD. Rys. 5.2 W przestrzennym stanie naprenia w miejsce jednego mamy trzy koa Mohra, ktre pokazuje rys.5.3naktrymzacienionyobszartoobszarwszystkichmoliwychwartocinapre normalnychistycznychwpunkcie(graficznareprezentacjawystpujcegownimstanu naprenia) w ktrym naprenia gwne maj wartoci 3 2 1, , . Rys. 5.3 x 1O O y vv132min DCxminmaxxy K1OOyvvRB Amaxminmax AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 465.4. Przykady Przykad5.4.1.WyznaczyanalitycznieisprawdziprzypomocykoaMohranaprenia gwne i ich kierunki w punkcie gdzie dana jest macierz napre w ukadzie (X,Y) =50 100100 200TMPa Narysowagraficzneobrazymacierzynaprewukadziewyjciowym(X,Y)iwukadzie kierunkw gwnych napre (1,2). Rozwizanie Wartoci napre gwnych: 078 85 100250 200250 2002 222221.xyy x y xmax= + ++ = + ++= = MPa 078 235 100250 200250 2002 222222.xyy x y xmin = + + = + += = MPa Sprawdzenie : 150 150 078 . 235 078 . 85 50 2002 1 = = + + = + y x Kierunki napre gwnych: ' 40 70 8508 . 2078 . 85 50100tg tgmaxmax1 maxo = === = yxy ' 20 19 3508 . 0078 . 235 50100tg tgminmin2 mino= =+== = yxy Sprawdzenie : o o o90 20 19 40 70 = + = + ' 'min max Y X 100200 200 100 100 50 50 100078 . 851= ' 40 701o= Y X 2 1 ' 20 192o= 078 . 2352 = AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 47Macierz napre w ukadzie (X,Y) =50 100100 200TMPa Macierz napre w ukadzie kierunkw gwnych (1,2) =078 . 235 00 078 . 85TMPa Macierz przejcia z ukadu wsprzdnych (X,Y) do ukadu kierunkw gwnych (1,2) ( ) ( ) = =3311 . 0 9436 . 09436 . 0 3311 . 0' 20 19 sin ' 20 19 cos' 40 70 sin ' 40 70 coso oo oij Koo Mohra Przykad5.4.2.Wyznaczyanalitycznienapreniagwneiichkierunkiwpunkciegdzie dana jest macierz napre w ukadzie (X,Y) =0 100100 0TMPa Narysowagraficzneobrazymacierzynaprewukadziewyjciowym(X,Y)iwukadzie kierunkw gwnych napre (1,2). Rozwizanie Wartoci napre gwnych:100 10021= + = = max MPa,100 10022 = = = min MPa. Kierunki napre gwnych: minKmaxmaxminyxxy 1oO21maxminskala napre 1 cm = 50 MPa AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Analiza paskiego stanu naprenia. 48o45 0 . 1100100tg tgmaxmax1 max= === = yxy o45 0 . 1100100tg tgminmin2 min = === = yxy Zadanamacierznaprewpunkcie przedstawiatzw.przypadekczystego cinania.Wukadzieosi(X,Y)postatej macierzy wyranie uzasadnia t nazw.Przykadpokazuje,etakistannaprenia monagenerowarwniepoprzez naprenianormalne-rozcigajcei ciskajce-naprostopadychdosiebie paszczyznachnachylonychpodktem45 do osi wyjciowych.

2 1 100 100 100 100 100 100 10000 10000 Y X AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 49 6.TEORIASTANUODKSZTACENIA 6.1. Wektor przemieszczenia liniowego. Odksztacenia liniowe i ktowe. Kilkakrotnie ju byo powiedziane, e przedmiotem naszych rozwaa jest ciao odksztacal-ne,tzn.takie,ktrepoddziaaniemsiobciajcychlubinnychczynnikw(np.cieplno-wilgotnociowych) zmienia swoje ksztaty i wymiary. Oznacza to, e punkty tego ciaa mog zmieniajswojepooeniewprzestrzeni,przyczym,cowyranienaleypodkreli,bdzie nasinteresowazmianapooeniapunktwciaapowstaawwynikujegodeformacji,aniena skutek jego ruchu jako bryy sztywnej. Wektor majcy pocztek w punkcie ciaa nie zdeformowanego (w konfiguracji pocztkowej), a koniec w tym samym punkcie po deformacji (w konfiguracji aktualnej) nazywa bdziemy wektorem przemieszczenia liniowego w tym punkcie. Na rys. 6.1 jest to wektor w v u A A + + = ' . Poniewa, w oglnoci wektory przemieszczenia liniowego w rnych punktach s rne to moemy powiedzie, e przyoone obcienia generujw bryle odksztacalnej wektorowe pole przemieszcze, ktrego wsprzdne s funkcjami pooenia punktu w konfiguracji pocztkowej( ), , , z y x u u = ( ) z y x v v , , = ,( ) z y x w w , , = .Taki opis deformacji bryy nazywamy materialnym a wsprzdne, wsprzdnymi Lagrangea.Do oceny wielkoci zmian ksztatw i wymiarw bryy wygodnie jest zdefiniowa pewne ich miary - miary deformacji. Wtymcelurozwamyzachowaniesidwch punktwAiBktrewkonfiguracjipocztkowej odlegebyyo 0l ,apoprzyoeniuobcienia dugoczcegoichwkna(liniimaterialnej) zwikszyasi ol (rys. 6.2). OdksztaceniemliniowymwpunkcieA w kierunku punktu B nazywa bdziemy: 000limlllAB= (6.1) Moemywicpowiedzie,eodksztaceniem liniowymwpunkciewwybranymkierunku nazywamywzgldnyprzyrostdugociwknaw tym punkcie na skutek przyoonych obcie. Odksztacenieliniowe,ktreodpowiada wydueniu wkna uwaamy za dodatnie. Odksztacenieliniowenazywanetes odksztaceniami podunymi. X Z Y l0 A B konfiguracja pocztkowa konfiguracja aktualna B A l0+ lD CO D C O Rys. 6.2 X Z Y A A vu wkonfiguracja pocztkowa konfiguracja aktualna Rys. 6.1 AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 50 JeelirozwaymydwaprostopadewknaprzechodzceprzezwsplnypunktOw konfiguracji pocztkowej (rys. 6.2) to ich odksztacenie ktowe definiujemy jako:( )' ' 'O D i O CD O CD OC D OC lim = .(6.2) Zatemodksztaceniemktowymnazywabdziemyktojakizmienisiwwyniku przyoonychobciektprostymidzydwomawknamiprzechodzcymiwkonfiguracji pocztkowej przez wsplny punkt. Odksztaceniektowektremuodpowiadazmniejszeniesiktaprostegouwaamyza dodatnie.Odksztacenie ktowe nazywane te s odksztaceniami postaciowymi.6.2. Stan odksztaceniawpunkcie Stanodksztaceniawpunkcietonieskoczonyzbirodksztaceliniowychiktowych wszystkich wkien przechodzcych przez ten punkt. Monawyrnitrzyrodzajestanuodksztaceniawpunkcie:jednoosiowy,paskii przestrzenny.Sonezwizanezwymiarowocimodeluciaa,ktryzostaprzyjtydorozwaaistd jednoosiowy stan odksztacenia nie znajduje teoretycznych i praktycznych zastosowa.W tym miejscu warto podkreli zasadniczernice midzy pojciami, ktre wystpuj w teorii stanu odksztacenia i naprenia. W definicji odksztace wystpuje punkt iokrelone co do kierunkuwkno przez niego przechodzce, a w definicji naprenia wystpuje punkt i paszczyzna o okrelonej normalnej przechodzca przez ten punkt. Dlatego, mimo, e jak si pniej okae identycznego matematycznego formalizmu w obliczeniach, nie wszystkie cechy obu tych stanw mog by identycznie interpretowane i traktowane.Mwimy,eznamystanodksztaceniawanalizowanejkonstrukcji,jeliznamystan odksztacenia w kadym jej punkcie. 6.3. Macierz odksztace. Graficzny obraz macierzy odksztace Wdowolnie wybranym punkcie bryy moemy definiowa odksztacenia liniowe i ktowe w dowolnych kierunkach, rwnie w kierunkach osi ukadu odniesienia. Odksztacenia liniowe i ktowewdanympunkciewkierunkachosiukaduzapiszemywpostacimacierzy,ktr nazywa bdziemy macierz odksztace:|||||||

\|=z zy zxyz y yxxz xy xT 212121212121(6.3) Tak wic: macierzodksztacewpunkcietouporzdkowanyzbirodksztaceliniowychi ktowych trzech wkien przechodzcych przez ten punkt i rwnolegych do osi ukadu odniesienia. Macierz uporzdkowana jest w ten sposb, e na przektnej wystpuj odksztacenia liniowe apozaprzektnpowkiodksztacektowych.Czytelnajesttewymowaindekswprzy odksztaceniach.I tak np. z to odksztacenie liniowe wkna rwnolegego do osiZ , a xyto odksztacenie ktowe wkien rwnolegych do osi X i Y. Z definicji elementw macierzy odksztace wynika jej symetria: AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 51 yx xy = ,zx xz = ,zy yz = (6.4) Jaksiwkrtceprzekonamymacierzodksztacewpunkciebdziepodstawokreleniaw nim stanu odksztacenia. Graficznyobrazmacierzyodksztacewpunkciemonaprzedstawiwpostacideformacji przechodzcychprzeztenpunkttrzechwzajemniedosiebieprostopadychwkieno dowolniemaychdugociach1 = = = dz dy dx ,ktresrwnolegedoosiukadu wsprzdnych (rys. 6.3) . Wszytkie pokazane na rys. 6.3 odksztacenia s dodatnie. Rys. 6.3 6.4.Tensorodksztace.Odksztacenialinioweiktowedowolniezorientowanych wkien Monadowie,emacierzodksztacejesttensoremdrugiegorzdu(patrznp.S.Piechnik: WytrzymaoMateriaw.PWN1978)cooznacza,ejejelementytransformujsiprzy zmianieukaduodniesieniawpewiencileokrelonysposbzwanyprawemtransformacji tensora,oraz,ewwynikumnoeniajejprzezjednostkowywersor( ) n m l v , , otrzymamy pewienwektor( )vz vy vxv e , e , e e ,ktrymoemynazwawektoremodksztacenia1okrelony zalenociami: v T ev= ||||

\||||||||

\|=||||

\|nmleeez zy zxyz y yxxz xy xvzvyvx 212121212121.(6.5) 1 J.Wickowski: Wytrzymao Materiaw . Wydawnictwo Politechniki Gdaskiej, Gdask 1975. xy21 yx21C B B Y X Z C D D zy21yz21 CB Y XZ C D xz21 zx21D B B Y XZ C D A A A B dyyA Y XZ dy dz dxC D C dzzB A Y XZ dy dz dxC D D B A Y XZ dy dz dx dxxC D B AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 52 I co wicej, znajomo macierzy odksztace w dowolnympunkcieO(tzn.znajomo odksztaceliniowychiktowychtrzech wzajemnieprostopadychwkienOA,OBi OCpokazanychprzykadowonarys.6.4) wystarczadookreleniaodksztaceliniowych iktowychdowolnychwkien przechodzcychprzez ten punkt, bo wasnoci tensora pozwalaj napisa ponisze zalenoci: ( )||||

\||||||||

\|=nmln , m , lz zy zxyz y yxxz xy xv 21212121212121,(6.6) ( )||||

\||||||||

\|=nmln , m , lz zy zxyz y yxxz xy xv 21212121212121211 1 1,(6.7) ( )||||

\||||||||

\|=nmln , m , lz zy zxyz y yxxz xy xv 21212121212121212 2 2(6.8) wktrych: v , v, vtoodksztacenialinioweiktowetrzechwzajemnieprostopadych wkienrwnolegychdodowolnejaleortogonalnejtrjkiwersorw( ) n m l v , , , ( )1 1 1n , m , l ( )2 2 2n , m , l . Dalsze rozwaania przeprowadzimy dla paskiej tarczy lecej w paszczynie (X, Y) w ktrej panuje paski stan odksztacenia. Wybierzmy w niej pokazane na rys. 6.5 dwa prostopade wkna AB i AC przechodzce przez wsplny, dowolnie wybrany punkt A w ktrym znana jest macierz odksztace: |||||

\|=y yxxy xT 2121 Kierunki tych wkien s rwnolege do dwjki wersorw( ) m , l i( ) l , m nachylonychpod Y X B A C 2 B A C A D B A O Y X Z vRys. 6.4 Rys. 6.5 AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 53 dowolnym ktem do osi ukadu (X, Y). Odksztacenie liniowe nachylonego pod ktem do osi X wkna AB, jak i odksztacenia ktowe wkien CAB wyznaczymy korzystajc ze wzorw (6.6) i (6.7): ( ) lm m l m m l l m lmlm , lxy y x y yx xy xy yxxy x 212212121212 2+ + = ||

\|+ + ||

\|+ =|||

\||||||

\|=, ( ) ( ) = ||

\|+ + ||

\|+ =|||

\||||||

\| = l m l m m lmll , my yx xy xy yxxy x 2121212121 ( ) ( )2 221m l lmxy x y + = . Jeliwpowyszychzwizkachuwzgldnimy,e cos l = , sin m = orazzalenoci trygonometryczne: ( ) ( ) , 2 2 cos 1 sin , 2 2 cos 1 cos, sin cos 2 cos , cos sin 2 2 sin2 22 2 = + = = = toodksztacenialinioweiktowedowolniezorientowanychwokienwyraonepoprzez wsprzne macierzy odksztace przedstawiaj si nastpujco: 2 sin212 cos2 2xyy x y x+++= ,(6.10) 2 cos212 sin2 21xyy x+ = .(6.11) Zalenoci te pokazuj, e macierz odksztace w punkcie okrela w nim stan odksztacenia, gdypozwalanawyznaczenieodksztaceliniowychiktowychdowolnychwkien przechodzcych przez ten punkt. Z rwnania (6.10) atwo mona zobaczy, e: y x + = ++o90 co dowodzi twierdzenia, e suma odksztace liniowych dwch prostopadych wkien przechodzcych przez dowolny punkt jest wielkoci sta, tzn. nie zaley od ukadu odniesienia. Bardziej formalnie moemy powiedzie, e suma odksztace na przektnej gwnej macierzy odksztace jest niezmiennikiem. Twierdzenie to jest rwnie prawdziwe w przypadku przestrzennego stanu odksztacenia. 6.5. Ekstremalne odksztacenia liniowe i ktowe Pozostaniemy przy analizie stanu odksztacenia paskiej tarczy. Zalenoci (6.10) i (6.11) pokazuj, e znajomo macierzy odksztace w dowolnym jej punkcie pozwala wyznaczy wartoci odksztace liniowych i ktowych dowolnie zorientowanych wkien przeze przechodzcych. W tej sytuacji naturalne jest postawienie dwch wanych zagadnie: wyznaczy wkna ktrych odksztacenia liniowe s ekstremalne i wyliczy wartoci tych odksztace liniowych, wyznaczy wkna ktrych odksztacenia ktowe s ekstremalne i wyliczy wartoci tych odksztace ktowych. AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 54 Przy rozwizaniu tych zagadnie wykorzystamy formaln analogi wzorw (5.3) i (5.4) w paskim stanie naprenia oraz wzorw (6.10) i (6.11) w paskim stanie odksztacenia: xy xy y y x x v v, , , , 2121 .Korzystajc z tej analogii moemy powiedzie, e: w kadym punkcie ciaa w ktrym panuje paskistanodksztaceniamonawyrnidwadosiebieprostopadewknaktrych odksztaceniaktowesrwnezeroaodksztacenialiniowesekstremalne.Kierunkitych wkien nazywamy kierunkami odksztace gwnych. Zatem: odksztaceniagwnewdanympunkcietoekstremalnewartociodksztaceliniowychwnimwystpujcych.Stoodksztacenialiniowedwchdosiebieprostopadych wkien ktrych odksztacenia ktowe s rwne zero. Wartoci odksztace gwnych i ich kierunki okrelaj wzory: 222221212 2212 2||

\|+|||

\| += =||

\|+|||

\| ++= =xyy x y xminxyy x y xmax (6.12) ( ) ( )min yxyminmax yxymaxtg tg , tg tg = == =2 22 1(6.13) Ekstremalne odksztacenia ktowe wynosz: 2 212 2122min maxxyy xmax = ||

\|+|||

\| = ,(6.14) 2 212 2122min maxxyy xmin = ||

\|+|||

\| = , a kierunki wkien ktre ich doznaj poowi kty midzy kierunkami odksztace gwnych. Wknaktrychodksztaceniaktowesekstremalnepoowiktymidzywknami odksztace gwnych. Koa Mohra dla stanu odksztacenia s analogiczne jak dla stanu naprenia (rys. 6.6). 21min xminmaxxy21K1OOyRB Amaxminmax CDRys. 6.6 AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 55 Na koniec powiemy, e w przypadku przestrzennych stanw odksztacenia s trzy wzajemnie prostopadewknaktrychodksztaceniaktowesizerujaodksztacenialiniowes ekstremalne(odksztaceniagwne).Wknaktrychodksztaceniaktowesekstremalne poowi kty midzy wknami odksztace gwnych. 6.4. Rwnania geometryczne Jestrzeczoczywist,emidzyprzemieszczeniamiiodksztaceniamimuszistnie zalenoci, nazwiemy je rwnaniami geometrycznymi.Wceluichwyprowadzeniarozwamywbrylewkonfiguracjipoczatkowejtrzydowolnie mae, wzajemnie protopade irwnolege do osi ukadu wkna przechodzce przez dowolnie wybrany punktA (rys. 6.7). Rys. 6.7 Rozwaymywpierwdeformacjewkienlecychwpaszczynie(X,Y).Jeliprzyjmiemy, ewsprzdnewektoraprzemieszczenia punktu A suiv , to - jak pokazano na rys. 6.7- wsprzdnewektorwdowolniebliskichmupunktwbdpowiekszoneoczony zawierajce jedynie pierwsze ich pochodne jeli pominite bd czony zawierajce wielkoci dowolnie mae wyszych rzdw. Zatemodksztacenialiniowewkienrwnolegychdoosiukadu,zgodniezichdefinicj, przyjmposta: xudxu dxxuudx dxdxdxx=|||

\|+==0lim0lim yvdyv dyyvvdy dydydyy=|||

\|+==0lim0lim Przejdmydowyznaczeniaodksztacektowych xy .Zzaoeniamaychprzemieszcze wynika, e tgoraz tg , a std zgodnie z definicj odksztace ktowych: X Z Y dz dx D CA B dy xy2 dxxuu+C A B dy dx A B C dyyuu+dyyvv+dxxvv+vuX Y D C A B AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 56 ( )xvyudyu dyyuudxv dxxvvO dy i O dx O dy i O dxxy+=((((((

|||

\|++|||

\|+= + = lim lim Prowadzcanalogicznerozwaaniawpozostaychdwchpaszczyznachostatecznie otrzymamy zwizki wice odksztacenia z przemieszczeniami w postaci: zuxwzwywzvyvxvyuxuzx zyz yxy x+==+==+== ,,,(6.15) Widzimy wic, e znajomo pola przemieszcze konstrukcji, tj. znajomo funkcji( ) z y x u , , , ( ) ( ) z y x w z y x v , , , , ,pozwala poprzez proste rniczkownie wyznaczy macierz odksztace w dowolnymjejpunkcie.Iodwrotnie-znajomoodksztace,poprzezcakowanie,pozwala wyznaczypoleprzemieszcze,przyczymwtymprzypadkumuszbyjeszczeokrelone kinematyczne warunki brzegowe naoone na analizowan konstrukcj.Rwnaniageometryczne(6.9)nazywamyrwnierwnaniamiCauchyego.Sonesuszne przyzaoeniu,eprzemieszczeniapunktwanalizowanychkonstrukcjismae(coju zaoylimy przyjmujc zasad zesztywnienia) i mae s rwnie ich pierwsze pochodne. Todrugieograniczeniewoglniewystpujcychkonstrukcjachinynierskichjest powszechniespenionecopokazujeponiszyprzykadbelki.PolskaNormaBudowlana PN-90/B-03200ograniczamaksymalneugiciegwnejbelkistropowejdowielkocil/350. Std najwiksza warto pochodnej linii ugicia wyniesie w przyblieniu: Rys. 6.8

6.7. Rwnania nierozdzielnoci odksztace atwomonazauwayzrwnageometrycznych,etrzyodksztaceniawpaskimstanie odksztacenia: xvyuyvxuxy y x+=== , ,wyraajsipoprzezdwiewsprzdnewektoraprzemieszczeniacowskazuje,e odksztaceniaszwizanejakzalenoci.Abyjwyznaczyzrniczkujmykadeznich dwukrotnieztym,epierwszewzgldemy,drugiewzgldemx,trzeciewzgldemxiya nastpnie dodajmy stronami otrzymujc w wyniku rwnanie: X Z 350maxl w =0057 . 02350= llxw2 lAdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 57 y x x yxy yx =+ 22222(6.16) ktre nazwiemy rwnaniem nierozdzielnoci odksztace. Jegointepretacjfizycznobrazujerys.6.9.Zgeometrycznejreprezentacjimacierzy odksztacewynika,ewkadympunkciepaskiejtarczyokrelaonadeformacjedowolnie maego jednostkowego kwadratu. Jeli odksztacenia zadane zostan zupenie dowolnie to nie bdziezachowanejcigocitarczywkonfiguracjipocztkowejizdeformowanejjakto obrazujeprzypadekanarys.6.9.Odksztaceniaspeniajcerwnanianierozdzielnoci odksztacedajkonfiguracjpodeformacjizachowujccigotarczyjakpokazuje przypadek b. Rys. 6.9 Monawicpowiedzie,erwnanianierozdzielnocistanowiwarunkikonieczne,ktre musz spenia funkcje aby mogy by wsprzednymi przemieszcze.W przestrzennym stanie odksztacenia jest sze rwna nierozdzielnoci odksztace. 6.6. Wzgldna zmiana objtoci w punkcie Rozwamyprzestrzennystanodksztaceniawpunkcie,okrelonypoprzezodksztacenia gwne. Zatem macierz odksztace bdzie miaa posta: ||||

\|=3210 00 00 0T , a jej graficzny obraz pokazuje rysunek obok. Objtodowolniemaegoszecianu reprezentujcegorozwaanypunktw konfiguracjipocztkowej,przedstawiasi nastpujco : 3 2 1 =oV . Jego objto po deformacji wynosi: ( ) ( ) ( )3 3 2 2 1 11 1 1 + + + = V Wzgldn zmian objtoci w punkcie wyznacza granica: 1 3 2 ( )2 21 +( )1 11 +( )3 31 +a b konfiguracja pocztkowa AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 58 ( )( )( )3 2 1 1 3 3 2 2 1 3 2 1 3 2 11 1 1 10lim + + + + + + = + + + ==oooVV VVDPo pominiciu iloczynw odksztace jako maych wyszego rzdu otrzymamy: 3 2 1 + + = Da poniewa suma odksztace liniowych jest niezmiennikiemto wzgldna zmiana objtoci w punkcie wynosi: z y xD + + = (6.19) Wielko D czsto nazywana jest dylatacj. 6.8. Przykady Przykad 6.8.1. Wyznaczy odksztacenia gwne iichkierunkiwpunkcieCpaskiejtarczyw ktrymwyznaczonoprzypomocytensometrw elektrooporowychodksztacenialiniowe , ,y x w trzech kierunkach pokazanych na rys. Rozwizanie Aby zastosowa wzory (6.12) i (6.13) potrzebujemy zna xy . Wyznaczymy to odksztacenie ktowe, wykorzystujc znane odksztacenie liniowe wokna pod ktem 45( ) ( )o oo 45 * 2 sin2145 * 2 cos2 245xyy x y x +++= == ( )y x xy xyy x + = ++= 2212 2 22 2 2(((

|||

\| + +|||

\| ++=y x y x y xmax , 2 22 2 2(((

|||

\| + +|||

\| +=y x y x y xmin , ( )( )maxmax22tg + =yy x, ( )( )minmin22tg + =yy x. Ukadyczujnikwtensometrycznychdopomiaruodksztaceliniowychwustalonych kierunkach nazywamy rozetami. Przykad 6.8.2. Dowie, e moliwy jest stan odksztacenia w paskiej tarczy gdy elementy macierzy odksztace okrelaj zalenoci y x k y k y x kxy y x2 ; ; ) (2 2 2= = + = Y X o45C AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Teoria stanu odksztacenia. 59 Rozwizanie Sprawdzamyrwnanienierozdzielnoci,ktrestanowiwarunkikoniecznenatoabydane funkcje mogy okrelaodksztacenia. k ky x x yxy yx2 0 222222= + =+ Rwnanienierozdzielnocijestspenioneimoliwyjeststanodksztaceniaokrelony powyszymi funkcjami. Przykad 6.8.3. Sprawdzi czy ponisze funkcje , mog by funkcjami odksztacey x y y xxy y x2 ; ; ) (2 2= = + = Rozwizanie Rwnanie nierozdzielnoci odksztace w tym przypadku daje: 2 0 022222 + =+y x x yxy yx co dowodzi, e powysze funkcje nie mog by funkcjami odksztace. AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Rwnania fizyczne. 60 7. RWNANIAFIZYCZNE 7.1. Zwizki midzy stanem odksztacenia i naprenia. I i II posta rwna Hookea Zalenodeformacjibryyodobciezewntrznychnarzucaistnieniezalenocimidzy odksztaceniami i napreniami. Bdziemy si starali ustali te zalenoci dla przestrzennych stanw odksztacenia i naprenia. Jest rzecz powszechnie znan, e konstrukcje o tej samej geometrii,obcieniachiwizach,wykonanezrnychmateriaw,doznajrnych deformacjiwicjestoczywiste,eposzukiwanezalenocimuszbyopartena dowiadczeniach.Wyobramysobiedowolniemay szecianociankachrwnolegychdo paszczyznukaduwsprzdnychi poddajmygodziaaniunaprenia normalnego x ,rwnomiernie rozoonegonadwchprzeciwlegych ciankach. Dowiadczenia pokazuj, e wprzypadkumateriausprystegoi izotropowegonapreniatenie wywoajadnychodksztace ktowychszecianu,aodksztacenia liniowe bd miay wartoci: E Exx z yxx = = = = ,gdzie:Eorazstaemateriaowenoszceodpowiednionazwymodusprystoci(modu Younga) i liczba Poissona. Jeelinaszszecianpoddamydziaaniujedynienaprenianormalnego y ,rwnomiernie rozoonegonadwchprzeciwlegychciankachtowywoaonojedynieodksztacenia liniowe: E Eyy z xyy = = = = , . Ianalogicznie,przydziaaniurwnomiernierozoonegonaprenianormalnego z , otrzymamy: E Ezz y xzz = = = = , . Nasuwasiterazpytanie,czywprzypadkujednoczesnegodziaaniatychtrzechnapre linioweodksztaceniawdanymkierunkubdziemonaprzedstawijakosumalgebraiczn odksztaceprzyoddzielnymdziaaniutychnapre(tzn.jakododaniedosiebieefektw trzechjednoosiowychstanwnaprenia).Odpowiednatopytaniejestpozytywna, potwierdzaj j dowiadczeniai formuuje zasada superpozycji: skutekwokrelonymkierunku,wywoanyprzezzespprzyczyndziaajcych rwnoczeniejestrwnyalgebraicznejsumieskutkwwywoanychwtymkierunku przez kad z przyczyn dziaajcych oddzielnie. Naleywtymmiejscupodkreli,estosowalnozasadysuperpozycjiograniczonajest dwoma warunkami: zxxX Z Y yyzRys. 7.1 AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Rwnania fizyczne. 61 warunkiemproporcjonalnociwymagajcym,abyposzczeglneskutkibyyliniowo zalene od przyczyn, ktre je wywoay, warunkiemniezalenocidziaaniawymagajcym,abyadenzeskutkwniewpywa na sposb dziaania pozostaych przyczyn. Przyjteprzeznaszaoeniaodnoniemateriauorazmaociprzemieszczeiodksztace prowadz do spenienia tych warunkw. Tak wic, wykorzystujc zasad superpozycji moemy zapisa: ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]y x z zz x y yz y x xEEE + =+ =+ =111(7.1) Powyszerwnaniapokazuj,ezwizkimidzyodksztaceniamiliniowymiinapreniami normalnymiokrelonespoprzezdwiestaemateriaoweEi.Dookreleniazwizkw midzyodksztaceniamiktowymiinapreniamistycznymimogrwniesuytesame stae. Aby tego dowie rozwamy stan naprenia okrelony macierz : ||||

\|=0 00 00 0 0T . Jesttopaskistannapreniawpaszczynie(Y,Z)i-jakpokazanonarys.7.2-na paszczyznach nachylonych pod ktem 45 do osi (Y, Z) wystpuj jedynie naprenia styczne =(por. przykad 5.4.2). Odksztacenialiniowewkierunkach osi ukadu wynosz: EEzy+ =+=11, a ktowe jest rowne zeru. Odksztaceniektowe osi obrconych o kt45 wynosz: ( ) Ez y+= =190 sin2 2o, ale =std: ( )E+=1 2. Oznaczajc przez( ) +=1 2EG , ostatecznie moemy zapisa zwizek midzy odksztaceniem ktowym i napreniem stycznym w formie: Y 2z2z o90 =Y Y Z 1 2y2y1 Rys. 7.2 Y Y AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Rwnania fizyczne. 62 G = ,(7.2) gdziestaamateriaowaGnazywanajestmoduemcinanialubKirchhoffaalbomoduem sprystoi poprzecznej. Powracajcdorozwaanegonapocztku szecianupoddajmygoterazkolejnodziaaniu rwnomiernierozoonychnaprestycznych pokazanychnarys. 7.3. W przypadku sprystego ciaaizotropowegoniewywoajoneodksztace liniowych a ktowe bd rwne: Gxyxy = , Gyzyz = , (7.3) Gxzxz = . Rwnania(7.1)i(7.3) okrelajce zwizki midzy odksztaceniami i napreniami nazywaj sirwnaniamiHookealubzwizkamikonstytutywnymilubfizycznymi.Tpostarwna fizycznychwktrychodkszaceniasfunkcjaminaprenazwiemyIpostacirwna Hookea.Poniewa rozwaamy materiay z zaozenia izotropowe to wystpuj w nich tylko dwie stae materiaowektrenaleywyznaczydowiadczalnie.Sposbichwyznaczeniapodany zostanie w toku dalszych wykadw. Udowodnimyterazwanetwierdzenie:wcielesprystymiizotropowym kierunki napre gwnych pokrywaj si z kierunkami odksztace gwnych. Dowd:niechosieX,YiZtoosiegwnychnapre.Jelitaktonapreniastyczne 0 = = =zx yz xy adalejz(7.3)0 = = =zx yz xy codowodzi,eteosiesosiami odksztace gwnych. Aby wyprowadzi zwizki midzy napreniami i odksztaceniami naley odwrci rwnania(7.1)i(7.3).Odwrcenietychdrugichjestsprawbardzoprost.Pierwszeodwrcimy kolejno wykonujc:( )z y x xE + = , ( )z x y yE + = , ( )y x z zE + = . Dodanie stronami tych trzech rwna daje zaleno: ( ) ( )z y x z y xE + += + +2 1.(7.4) Przeksztacamy pierwsze rwnanie dodajc i odejmujc po prawej stronie: ( ) ( ) ( )z y x x x x x z y x xE E + + + = + + = 1Wstawienie (7.4) daje: yxxzxyyzzyzxX Z Y Rys. 7.3 AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Rwnania fizyczne. 63 ( )((

+ +++=z y x x xE 2 1 1ipostpujcanalogicznieznastpnyminapreniami normalnymi dostajemy rwnania wice je z odksztaceniami liniowymi. II posta rwna fizycznych Hookea : ( )((

+ +++=z y x x xE 2 1 1 ( )((

+ +++=z y x y yE 2 1 1(7.5) ( )((

+ +++=z y x z zE 2 1 1 zx zx yz yz xy xyG G G = = = , , 7.2. III posta rwna Hookea - prawo zmiany objtoci i prawo zmiany postaciPrzyjmijmy na mocy definicji: 3z y xmdef + +=, 3z y xmdef + +=(7.6) jakoodksztacenierednieinaprenierednie.Przytychoznaczeniachwzr(7.4)moemy zapisa w formie: m mK 3 = (7.7) gdzie: ( ) 2 1 3 =EK jeststamateriaowinazywanajestmoduemobjtociowej ciliwoci sprystej lub moduem Helmholtza. Dokonajmy rozkadu macierzy napre na dwie czci D + =||||

\|z zy zxyz y yxxz xy x ||||

\|=mmm0 00 00 0 ||||

\|+m z zy zxyz m y yxxz xy m x gdzie: - aksjator napre, D -dewiator napre; i analogicznie macierzy odksztace: D + =AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Rwnania fizyczne. 64 ||||

\|z zy zxyz y yxxz xy x 212121212121||||

\|=mmm0 00 00 0 |||||

\|+m z zy zxyz m y yxxz xy m x 212121212121 gdzie: - aksjator odksztace, D -dewiator odksztace. atwo sprawdzi, e zachodz ponisze zwizki midzy aksjatorami i dewiatorami napre i odksztace: K 3 = ,(7.8) D G D 2 = ,(7.9) ktrestanowiIIIpostarwnaHookeainosznazwyprawazmianyobjtociiprawa zmiany postaci.Uzasadnienietychnazwniejesttrudne.Dziaanieaksjatoranaprewywoujejedynie zmianobjtoci,aodksztaceniapostaciowesrwnezeru.Natomiastpoddziaaniem dewiatoranaprepowstajodksztaceniapostaciowe,asumaodksztaceliniowychna przektnej dewiatora odksztace jest rwna zeru, co dowodzi, e nie ma zmiany objtoci. Wrmy jeszcze do rwnania (7.7). Wykorzystujc, e zmiana objtoci jest rwna: m z y xD 3 = + + = , moemy zapisa: mED 2 13= . Jeli0 >m , to oczywicie D>0, a wic musi zachodzi: 1-2 > 0, czyli 21 . Maksymalnazmianaobjtocibdziezachodzidlamateriauktrego0 = ,materia ktrego 21= jest nieciliwy. Guma ma liczb Poissona blisk 0.5, a korek blisk 0. 7.3. Przykady Przykad7.3.1.Jakieobcienieszecianuobokuawykonanegozmateriauspeniajcego rwnania Hookea, powoduje przemieszczenia dowolnego jego punktu okrelone funkcjami: ,,,z C wy C vx C u = = = jeli stae materiaowe s rwne E i . a X a a Z Y AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Rwnania fizyczne. 65 Rozwizanie Z rwna Cauchyego atwo wyznaczy, e odksztacenia liniowe s rwne Cz y x = = = a odksztacenia ktowe rwnaj si zeru 0 = = =zy xz xy Odpowiadajce im wsprzdne tensora napre s rwne 0 = = = = = =zy xz xyz y xBC gdzie : ( ) 2 1=EB . Obcienie cianek szecianu wyznaczymy ze statycznych warunkw brzegowych. cianki 2 a x = , wsprzdne wersora normalnego zewntrznego0 , 1 = = = n m l . 0 , = = =vz vy vxq q BC q m . cianki 2 a y = , wsprzdne wersora normalnego zewntrznego0 , 1 = = = n l m . 0 , = = =vz vx vyq q BC q m . cianki 2 a z = , wsprzdne wersora normalnego zewntrznego0 , 1 = = = m l n . 0 , = = =vy vx vzq q BC q m . Tak wic cianki szecianu obcione s rwnomiernie rozoonym obcieniem ciskajcym o intensywnoci BC. Przykad7.3.2.Danesfunkcjeprzemieszczewkonstrukcjiwykonanejzmateriau liniowo sprystego:( )410 * 1 . 0 5+ = xy u m,( )410 * 1 . 0 = xy y v m,( )4 2 210 * = z x w m, wyznaczymacierzodksztaceinaprewpunkcie( ) 1 , 2 , 1 A m,jelimoduYoungaE = 205 GPa i liczba Poissona = 0.3. Rozwizanie Z rwna geometrycznych Cauchyego wyznaczymy funkcje odksztacea po wstawieniu do nich wsplrzdnych punktu A otrzymamy wartoci wystpujcych w nim odksztace: 4 410 * 2 . 0 10 * 1 . 0 = == yxux ,( )4 410 * 1 . 1 10 * 1 . 0 0 . 1 = == xyvy , 4 410 * 0 . 2 10 * 2 = == zzwz , AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Rwnania fizyczne. 66 ( )4 410 * 3 . 0 10 * 1 . 0 1 . 0 = =+= y xxvyuxy , 4 410 * 0 . 2 10 * 2 = =+= xxwwuxz ,0 =+=ywzvyz . Macierz odksztace ma posta: 421212121212110 *0 . 2 0 0 . 10 1 . 1 15 . 00 . 1 15 . 0 2 . 0||||

\| =||||

\|=z zy zxyz y yxxz xy xT . Naprenia wyznaczymy korzystajc z II postaci rwna Hookea: ( ) =((

+ +++=z y x x xE 2 1 1 ( ) 125 . 5 10 * 0 . 2 1 . 1 2 . 03 . 0 * 2 13 . 02 . 03 . 0 110 * 20549 =((

+++= MPa, ( ) =((

+ +++=z y x y yE 2 1 1 ( ) 067 . 9 10 * 0 . 2 1 . 1 2 . 03 . 0 * 2 13 . 01 . 13 . 0 110 * 20549=((

+++= MPa, ( ) =((

+ +++=z y x x zE 2 1 1 ( ) 817 . 39 10 * 0 . 2 1 . 1 2 . 03 . 0 * 2 13 . 00 . 23 . 0 110 * 20549 =((

++ += MPa, ( )( ) 365 . 2 10 * 3 . 03 . 0 1 210 * 20549 = += =xy xyG MPa, ( )( ) 769 . 15 10 * 0 . 23 . 0 1 210 * 20549 = += =xz xzG MPa, 0 = =yz yzG . Macierz napre przedstawia si wic nastpujco: ||||

\| =|||||

\|=817 . 39 0 769 . 150 067 . 9 365 . 2769 . 15 365 . 2 125 . 5z zy zxyz y yxxz xy xT MPa. AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Energia sprysta 678. ENERGIASPRYSTA8.1. Podstawowe pojcia Kade ciao rzeczywiste pod dziaaniem si zewntrznych doznaje deformacji, na ktrych siy obciajcewykonujpewnpracL.Pracatawprzypadkuadiabatycznegoprocesu termodynamicznegojestniezalenaodsposobujejwykonaniairwnasienergii wewntrznejukaduW,tj.funkcji,ktrejprzyrostwczasie t jestrwnypracy dostarczonej ukadowi w tym czasie: W L= . PowyszarwnowynikazIprawatermodynamikidlaproceswadiabatycznych,tzn. takich przy ktrych nie ma wymiany ciepa z otoczeniem albo, inaczej, takich, e nie zachodzi dyssypacja energii ukadu, co jest charakterystyczn cech ukadu sprystego. Monadowie,ewprzypadkuciaasprystegoiobciestatycznychenergia wewntrznaukadujestrwnaenergiipotencjalnejWp,ktrarwnasipracysi wewntrznychnaodksztaceniachprzezniewywoanychinazywanajestenergispryst ukadu U: U W W Lp= = = . Zatem: energiasprystaUtopracasiwewntrznychnaodksztaceniachprzeznie wywoanych. Energiatajestodwracalna,coznaczy,epousuniciusiobciajcychzuywasina odzyskaniepocztkowejkonfiguracjiciaaiwnienapronyminieodksztaconymstanie ukadu jestrwna zeru . Gstocienergiisprystej lub,inaczej,energisprystwaciwnazywamyilo energii sprystej na jednostk objtoci ciaa. Std: =VdV U ,(8.1) gdzie: V jest objtoci ciaa. Dalejdlaprostotywzorw,atwociwyprowadzeizapisw,wprowadzimywskanikowy zapisnapreiodksztace.Jegoistotpokazujmacierzenapreiodksztaceniej zapisane w zapisie klasycznym i wskanikowym: ukad wsprzdnych (X, Y, Z) ukad wsprzdnych (X1 , X2 , X3) =z zy zxyz y yxxz xy xT ,=33 32 3123 22 2113 12 11 T , =z zy zxyz y yxxz xy xT 212121212121,=33 32 3123 22 2113 12 11 T . AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Energia sprysta 68Obliczmy ile wynosi dla ciaa o objtoci V znajdujcego si w rwnowadze pod dziaaniem pewnego ukadu si zewntrznych. W wyniku obcienia w kadym punkcietego ciaa powstaj stany naprenia i odksztacenia charakteryzowane poprzez macierze T iT . Wyznaczmy wpierwdowolnie may przyrost gstoci energii sprystej na dowolnie maych przyrostach odksztace: . d d ... d d dij ij = + + + =33 33 12 12 11 11(8.2) W rwnaniu (8.2) zastosowana zostaa umowa sumacyjna Einsteina, ktra mwi, e: jeeliwwyraeniuwskanikowymbdcymjednomianemwskanikipowtarzajsi,to naleydokonasumowaniapopowtarzajcychsiwskanikachdoodpowiedniej wymiarowoci obiektu. I tak np.: 3 3 2 2 1 1b a b a b a b ai i+ + = ;33 22 11 + + =ii,i = 1, 2, 3. Rwnanie (8.2) mona, wykorzystujc pojcie iloczynu skalarnego (poprawniej mwic iloczynu diadycznego ze zweniem) tensorw, zapisa w bardzo prostej formie: dT T d = (8.3) Iloczynskalarnytensorwotrzymujemydodajcdosiebieiloczynyjednoimiennych elementw.Pozwala to zapisa gsto energii sprystej w postaci: = TdT T0(8.4) 15.2. Energia sprysta ciaa Hookea Dla ciaa liniowo sprystego zwizek fizyczny moemy zapisa w formie: T D T = (8.5) gdzie: D macierz (tensor) wspczynnikw materiaowych.Po podstawieniu (8.5) do (8.4) i wykonaniu cakowania otrzymujemy: T T T D dT T DT212120= = =(8.6) Wzr (8.6) zapiszemy w innej postaci po dokonaniu rozkadu macierzy (tensorw) napre i odksztace na sum odpowiednich aksjatorw i dewiatorw. D A T + =i D A T + = (8.7) Przypomnimy, e zwizki fizyczne midzy aksjatorami i dewiatorami napre i odksztace (wyprowadzilimyjeformuujcIIIpostaprawaHookea)monazapisawformiezwykle nazywanejprawem zmiany objtoci i prawem zmiany postaci: A K A 3 = oraz GD D 2 = (8.8) AdamBodnar:WytrzymaoMateriaw.Energia sprysta 69gdzie: 2 13=EKoraz +=12EGto stae materiaowe.Korzystajc ze wzorw (8.7) otrzymujemy: ( ) ( ) D D A A D A D A212121+ = + + = (8.9) gdy z bardzo atwej analizy rachunkowej wynika, e : 0 = D Aoraz0 = A D . Moemy zatem powiedzie, e gsto energii sprystej stanowisumf V + = ,(8.10) gdzie: A AV21=-gsto energii sprystej zwizanej ze zmian objtoci, (8.11) D Df21=-gsto energii sprystej zwizanej ze zmian postaci.(8.12) I analogicznie, energia sprysta ukadu stanowi sum: , U U Uf V+ = (8.13) gdzie: , dV UVV V= (8.14) jestenergiodksztaceniaobjtociowegoiprzedstawiapracsizewntrznychzuytna zmian jego objtoci, a , dV UVf f= (8.15) jestenergiodksztaceniapostaciowegoiprzedstawiapracsizewntrznychzuytna zmian postaci ukadu. Wzorynaodpowiedniegstocienergiisprystej,wyraoneprzezelementymacierzy napre maj posta: ( )262 1z