játékelmélet - jegyzet

7/29/2019 Jtkelmlet - jegyzet

1/86

Bevezets

A jtkelmlet a matematika egyik legszlesebb alkalmazsnak rvend terlete. Akzgazdasgtan mindig is elszeretettel ptett modelleket a jtkelmlet eszkztrnakfelhasznlsval. A jegyzet egyik clja bevezetni a hallgatt a jtkelmlet alapfogalmaiba,

hogy rmutathasson arra, mirt pont a jtkelmlet bizonyult olyan hasznosnak akzgazdasgtan szmra a rengeteg matematikai rszterlet kzl.A jtkelmlet teht szigoran axiomatizlt alapokon felptett matematikai terlet, mely

bizonyos dntsi helyzetek modellezsre alkalmas. Sokszerepls dntsi helyzetekettrekszik elemezni. Elemzseit mindig a matematikai szigor s precizits jellemzi. Akzgazdasgtan arra hasznlja fel a jtkelmletet, hogy egyenslyi helyzeteket keressenklnbz sokszerepls helyzetekben.Ugyanakkor a pszicholgia is lnk rdekldst tanst a jtkelmlet irnt. A pszicholgianem kimondottan a precz logikai levezetsek oldalrl kzelti meg a jtkelmlet nyjtottalehetsgeket. A pszicholgit sokkal inkbb az rdekli, hogy vajon az emberek tnyleg gyviselkednek-e a jtkelmlet ltal elemzett helyzetekben, mint ahogyan azt a jtkelmleti

elemzsek alapjn sejthetnnk. Ennek megfelelen nem a logikai levezetsekkel foglalkozik,hanem olyan ksrleti helyzeteket igyekszik teremteni, melyekben megfigyelhet, hogy ajtkelmlet mekkora prediktv ervel br a klnbz sokszerepls dntshelyzetekben.A kziratot a fentiekben kiboml hrmassg fogja jellemezni. Lesznek rszek, melyekmatematikra tmaszkodnak s azzal foglalkoznak, hogy hogyan pti fel a matematika azt azeszkztrat, melynek segtsgvel a sokszerepls helyzeteket vizsglni szndkozik. Lesznekrszek, melyek azzal foglalkoznak, hogy a kzgazdasgtan hogyan hasznostja a magaszmra a matematikai eszkzket. s lesznek rszek melyekben azzal foglalkozunk, hogy a

pszicholgia mit tud hozztenni a kzgazdasgi alkalmazsokhoz, mit tud elmondani amatematikai elmlet vals helyzetekben val alkalmazhatsgrl.

Ngy bevezet jtk

Elszr tekintsnk ngy olyan helyzetet, melyben a szereplk dntsei egyrtelmen hatssalvannak egymsra. Az ilyen helyzeteket a jtkelmlet jtknak nevezi. (A tovbbiakbanfogunk pontosabb meghatrozst is adni arra, hogy mit tekinthetnk jtknak.)

1) Bachet jtka

Bachet 1612-ben megjelent knyve volt azt els tudomnyos igny m, mely kimondottan

jtkhelyzeteket vizsglt (Cskny, 1998). Az ltala vizsglt egyik jtk a kvetkez, nagyonegyszer szablyokkal rhat le:Kt jtkos van.A jtkosok felvltva mondanak 1-10 kztt egy szmot.Az jonnan mondott szm mindig hozzaddik az elzleg mondott szmok

sszeghez.Aki elri a 100-at, az nyer.

Lthat, hogy a jtk egyik klnlegessge, hogy mind a kt jtkos egyre kzelebb skzelebb hozza magt, s a msikat is a 100-as szmhoz. Megfogalmazhatjuk ezt gy is,hogy aki vgl a vesztese lesz ennek a helyzetnek, az ugyangy hozzjrul a gyztesgyzelmhez, mint a gyztes maga.

Bachet knyvben azt vizsglja, hogy van-e ebben a jtkban s gy ltalban az ltalafelsorolt jtkokban nyer stratgia. Arra jut, hogy aki az 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89szmok valamelyikt mondja, az nyer. Hogy ezt belssuk, tgondolhatjuk, hogy aki a 89-et

1


2/86

kimondja, az biztosan nyert, hiszen ellenfele brmit is mond erre, nem fogja elrni a 100-at,ugyanakkor brmit is mond, azutn a msik jtkos mr mindenkppel el tudja rni a 100-at.Ugyanezzel a gondolattal belthat, hogy a 78 elrsvel is megnyerhet a jtk, hisz ezutn

brmit is mond az ellenfl, az sszeg kiegszthet lesz 89-re. Ezt a gondolatmenetet folytatvakapjuk a 67, 56, 45, stb. szmokat. Ha teht valaki felismeri, hogy mi a nyer startgia, akkor

meg tudja nyerni ezt a jtkot, feltve, hogy kezd, hisz akkor mondja ki az 1 szmot. Amatematikai elemzs ezzel be is fejezdik: van nyer stratgia s meg is tudjuk hatrozni,hogy mi az.A pszicholgia szmra itt vlik csak igazn izgalmass a helyzet vizsglata. Vajon azemberek e szerint a stratgia szerint jtsszk ezt a jtkot? Nem lenne meglep, ha nem

jnnnek r azonnal erre a mdszerre. Vajon idvel rjnnek? Ha igen, akkor hny krlejtszsa utn? Vajon ennek a gyorsasgt befolysolja-e, hogy mekkora a jtk ttje? Vagyesetleg elkpzelhet, hogy a jtkosok sok kr utn sem fogalmazzk meg vilgosan azt astratgit, hogy az 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, szmok valamelyikt kell elrnem?Lthat, hogy a pszicholgit egszen ms krdsek izgatjk ugyanazzal a helyezettelkapcsolatban, mint a matematikust. Vajon a kzgazdszt melyik megkzelts hozza lzba?

2) Dollrrvers

A dollrrvers jtka a XX. szzad termke. A jtkot egy Shubik nev kutat tallta ki(Shubik, 1971), akit nem csak a precz matematikai elemzsek rvn megllapthat nyerstratgik rdekeltk, hanem az is, hogy vannak-e olyan helyzetek, melyekben az emberekegyltaln nem a helyes stratgia szerint jrnak el.A jtk alaphelyzete az, hogy valaki felajnl megvtelre egy $1-os bankjegyet. Brmennyitlehet licitlni rte. Akr 1 centet is. Az ajnlat nagyon csbt. Akr 99-szeres hasznot is lehetrealizlni. Az rversnek van egy klnleges szablya: ha a licitls lell, nem csak a

legnagyobb licitet kell kifizetni, hanem a kt legnagyobb licitet. Vagyis az utols kt licitlegyarnt fizet, de csak a legnagyobb licitet felajnl szemly kapja meg az 1 dollrt.Az olvas mit tippel, hogyan szoktak ebben a helyzetben az emberek viselkedni? s vajonmit gondol arrl, hogy hogyan viselkedne ebben a helyzetben? Ha valaki 1 centet ajnl, azteljesen racionlisnak tnik. Egyrszt nagyon csbt a megszerezhet 1 dollr, msrsztlegfeljebb 1 centet bukik. Ha valaki erre 2 centet ajnl az is nagyon racionlis cselekedetnektnik. Haladnak lassan felfele a ttek ahogyan az az rverseken ltalban trtnni szokott.m itt nem csak az hajtja a liciteket egyre feljebb, hogy meg szeretnk a szemlyek szerezniaz 1 dollrt, hanem az is, hogy az utols eltti licit bemondja nem akarja elbukni a licitsszegt. Amikor a licitlk tlpik az 50 centes hatrt, akkor veszik elszr szre, hogy a

bank mr mindenkppen jl jrt: tbbet fog kapni az 1 dollrrt, mint 1 dollr. Ha viszont az

50 centes licitemre valaki 51 centet licitl, nem csak azrt fogok mondjuk 52 centet licitlni,mert nekem 52 centet is megr az 1 dollr, hanem azrt is, mert 50 cent vesztesg s 48 centnyeresg kztt kell dntenem. Ez magyarzza azt, hogy akr a 99 centes licitet is kpesektlpni a licitlk. A 99 centes licitem 1 cent hasznot hoz. De ha valaki 100 centet licitl,akkor azonnal 99 cent vesztesgg vltozik, amit egy 101 centes licittel 1 centes vesztesggreduklhatok. Egsz addig, mg valaki be nem mond mondjuk egy 102 centes licitetMi trtnik ha elmleti elemzs helyett vals szereplk viselkedst vizsgljuk ebben aszituciban? A tapasztalatok szerint gyakran mg az is megesik, hogy a felek egszen

pnztrcartsig jtsszk a jtkot (Mr, 1996). Lttuk, hogy a Bachet jtknak vannyer stratgija. Vajon ebben a helyzetben van nyer stratgia? Vajon mi az? Lehet, hogyegyltaln nem szabad belemenni ebbe a licitlsba? De akkor parlagon fog heverni egy 1

centes ron 99 centes haszonnal kecsegtet ajnlat. Ez sem tnik racionlis megoldsnak.Vajon a fent elmondott folyamatnak van-e olyan lpse, ami nem racionlis? Minden lpsteljesen vilgosan megindokolhat volt az egyni hasznok figyelembe vtelvel, mgis olyan

2


3/86

eredmnyhez vezetett, ami az egyni hasznossg szempontjbl semmikppen nem nevezhetoptimlisnak.Az is feltnhet az olvasnak, hogy a helyzet nagyon gyorsan megoldhat, ha a felek kpesek

benne egymssal koalcit ktni. Ebben az esetben elkerlhet, hogy beinduljon az afolyamat, amivel csak a bank jr jl. m klnlegessge ennek a megoldsnak, hogy itt a

rsztvevknek nem kizrlag az egyni hasznossgokat kellett figyelembe vennik, hanemfigyelemmel kellett lennik egyms irnt is. Ha vannak a gazdasgi letben is olyanhelyzetek, ahol a dollrrvers logikja teljesl, akkor ott katasztroflis kvetkezmnyekkel

jrhat, ha minden szerepl az egyni rdekt kveti a trsadalmi j figyelmen kvlhagysval. Smith lthatatlan keze nem ltszik mkdni egy ilyen helyzetben. Vajon vannaka gazdasgban is ilyen logikval jellemezhet helyzetek?

3) Az 1 milli $-os plyzat

A Scientific American egyszer a kvetkez plyzatot rta ki:

1 milli $-ra lehet plyzni ha 1 plyz van, akkor 1 milli $-t kap ha 2 plyz van, akkor az 1 milli $ felt osztjk el kzttk ha 3 plyz van, akkor az 1 milli $ 1/3-t osztjk el kzttk ha 10 plyz van, akkor az 1 milli $ 1/10-t osztjk el kzttk

Szemmel lthatlag az egyni dntshozknak kt lehetsge van: vagy plyznak, vagynem. Vajon mi a nyer stratgia ebben a helyzetben? Vajon van-e ilyen egyltaln? Ha senkinem plyzik, az se egyni se trsadalmi szinten nem optimlis: a trsadalom is s az egynek

is elesnek potencilis 1 milli dollrtl. Akkor taln plyzni rdemes? Ebben az esetben anyeremny ami lehetne egszen nagy is elenyszen kicsiv zsugorodik: ha csak 1000olvasja van az jsgnak, mr akkor is csak az 1 milli dollr ezredrszt vagyis sszesen1000 dollrt osztanak szt az 1000 plyz kztt, gy mindenki sszesen egy-egy dollrtkap. Mit kell tennie a kzgazdasgtan ltal felttelezett dntshozknak egy ilyenszituciban? Plyzzanak? Ne? Ilyen krdsek izgatnak ebben a helyzetben egy kzgazdszt.Ugyanakkor a pszicholgust az rdekli, hogy mit tesznek az emberek, ha valban meghirdetikezt a plyzatot? Mit gondol az olvas, mit fognak tenni az emberek, ha tallkoznak ezzel alehetsggel?

4) Fogolydilemma

A fogolydilemma vlheten a legszlesebb krben ismert jtkelmleti problma, mra akzgazdasgi gondolkodsnak is alapelemv vlt. Nincs olyan alaposabb, bevezet jellegmikrokonmia tanknyv, ami ne trgyaln (ld. Varian, 2004; Koppnyi, 2004).A fogolydilemmt kvetkez trtnettel szoktk illusztrlni. Kt rablt elfognak, de nincselegend bizonytk ahhoz, hogy eltljk ket. A helyi sheriff kln cellba zrja ket gy,hogy nem tudnak egymssal beszlni, s ugyanazt az ajnlatot teszi a kt fogolynak. Azajnlat szerint amennyiben vall a trsa ellen, akkor bntets nlkl elengedik s a trst

brtnbe zrjk az elkvetett cselekmnyrt 10 vre. Ha esetleg mindketten vallannak atrsuk ellen, akkor termszetesen nem engedhetik el mindkettjket, de ekkor a 10-10 ves

bntetst mrskelik 5-5 vre. Ha esetleg az az eset llna fenn, hogy egyikjk se vall, akkornem tudjk ket eltlni az elegend bizonytkok hinyban, de ebben az esetben egykorbbi kisebb bncselekmnyt fognak elvenni, amit szintn ez a pros kvetett el, s

3


4/86

amivel kapcsolatban elegend bizonytk ll rendelkezsre. Ebben az esetben a kisebbbncselekmnyrt kiszabhat legnagyobb bntetst fogjk kapni: 1-1 vre kell brtnbenlnik.A kvetkez tblzat segt ttekinteni a rabok szmra rendelkezsre ll lehetsgeket, sazok kvetkezmnyeit.

2. rabVall Nem vall

1. rabVall -5, -5 0, -10

Nem vall -10, 0 -1, -1

Minden rubrikban kt szm ll. Az els szm azt jelli, hogy hny vet veszt az letblaz els rab, ha az els rab a rubrika sort, a msodik rab pedig a rubrika oszlopt vlasztja. Amsodik szm rtelemszeren a msodik rab kifizetst jelli.Hogyan gondolkodik ebben a helyzetben egy racionlis dntshoz? Az els rabtgondolhatja, hogy mit rdemes tennie, ha a msodik rab vall ellene. Ebben az esetben az

els rab annak megfelelen, hogy melyik sort vlasztja az 5 v brtn s a 10 v brtnkztt vlaszthat. Termszetesen az 5 v brtnt fogja vlasztani, vagyis vallani fog is atrsa ellen. Vajon mit rdemes tenni, ha a msodik rab nem vall? Ebben az esetben az els rabaz 1 v brtn s a szabadsg kztt vlaszthat. Termszetesen a szabadsgot fogjavlasztani, vagyis ismtelten csak a msik ellen fog vallani. Vagyis mindezt tgondolva az 1.rab arra jut, hogy brmit is tesz a msik rab, neki rdemes vallani. Mivel a szituci a kt rabhelyzett tekintve teljesen szimmetrikus, a msodik rab ugyanilyen ton ugyanilyenkvetkeztetsre fog jutni: neki is vallani rdemes a trsa ellen, fggetlenl attl, hogy az vall-e vagy nem. A helyzetnek a furfangos sheriff lesz az igazi gyztese. A kt rab 5-5 vet l

brtnben, mikzben ha egymssal kpesek lettek volna egyttmkdni akkor 1-1 vbntetssel is megszhattk volna a dolgot.

Azt ltjuk teht, hogy a fogolydilemma helyzete olyan, melyben a szituci szerepliegyenknt se jrtak a lehet legjobban (5 vet lnek, holott 1 vagy 0 vet is lehetne), illetveegytt se (hiszen az egyttesen brtnben tlttt vek szma 10 helyett lehetne 2 is). gy ismegfogalmazhatjuk, hogy sem egyni, se trsadalmi szinten1nem a legjobb helyzet valsultmeg.Azt ltjuk, hogy az a helyzet, mikor az els rab s a msodik rab is vall, valamilyenrtelemben egyenslya ennek a helyzetnek. Egyensly abban az rtelemben, hogy egyikszemlynek se rdeke eltrni ettl a vlasztstl. Megint olyan helyzettel tallkozunk teht,ahol az egyni nrdek kvetse nem egyrtelm, hogy a lehet legjobb eredmnyre vezet.Kvessnk egy msik gondolatmenetet! Helyezkedjnk az els rab helyzetbe. Mintkzgazdsz hallgatk, tudjuk, hogy mindketten racionlisan t fogjuk gondolni a helyzetet, s

a szmunkra legmegfelelbb megoldst fogjuk kivlasztani, melyben a legkisebb avesztesgnk. Mivel a kifizetseink ebben a helyzetben teljesen szimmetrikusak, tisztbanvagyunk azzal, hogy brmi is ez az optimlis megolds, mindketten ugyanarra a dntsre

jutunk: ha vallani ri meg jobban, akkor mindketten vallunk, ha nem vallani ri meg jobban,akkor mindketten tartjuk a sznkat. Ha mindketten vallunk, akkor t-t vet lnk. Haegyiknk sem vall, akkor egy-egy vet lnk. Teht mindketten tartjuk a sznkat, s egy-egyvre brtnbe vonulunk. Egszen ms megoldsra jutottunk. Vajon valahol logikai hibtvtettnk volna a levezetsben. Vagy msok az elfelttelezsek? Mindkt megolds csak aracionlis dntshozval kapcsolatos felttelezseket hasznlja ki a modellben: a dntshozcsak a sajt hasznt figyeli, s azt maximalizlni igyekszik. Akkor hogyan juthattunk ktteljesen ellenttes eredmnyre?

1 Trsadalmi szint alatt itt az sszes szerepl egyttes nyeresgt rtjk, vagyis ezen jtk szempontjbl atrsadalmat, a kt bnz alkotja.

4


5/86

Termszetesen a pszicholgusokat ezzel a helyzettel kapcsolatban is izgatja, hogy mi valsulmeg egy valdi fogoly-dilemma helyzetben. Vajon tnyleg a (vall, vall) lehetsget vlasztjkaz emberek? Vagy van, hogy a (nem vall, nem vall) helyzet addik? A fenti elemzsblegyltaln nem ltszik lehetsgesnek a (vall, nem vall) helyzet. Vajon tnyleg nemtallkozunk ezzel soha? Vajon vltoztat a helyzet megoldsn, ha hagyjuk a rabokat beszlni

egymssal?

Most, hogy lttunk ngy pldt jtkelmleti problmkra, vllalkozhatunk arra, hogymegfogalmazzuk, milyen helyzetekkel, szitucikkal foglalkozik a jtkelmlet. Jtkelmletiszempontbl azokat a helyzeteket tekintjkjtkoknak (vagy jtkelmleti szituciknak),melyekre az albbi hrom felttel egyidejleg teljesl:

tbb dntshoz van jelen a helyzetben (ket a jtkelmlet szereplknek, vagyjtkosoknak hvja),

minden dntshoznaktbb vlasztsi lehetsge is van a helyzetben (mskpp nemlehetne dntshoznak tekinteni) s

a dntshozk dntsei nem csak a sajt helyzetkre vannak befolyssal, hanem a

msik helyzetre is (erre a felttelre szoktak gy is hivatkozni, mint azinterdependencia felttelre).Knnyen t lehet gondolni, hogy a fenti pldk mindegyikre teljesl a hrom felttelmindegyike.A kzgazdasgtan szmra azrt klnsen hasznos eszkz a jtkelmlet, mert a gazdasgmkdsben gyakran addnak olyan helyzetek, ahol sok dntshoz egyszerre hozza meg adntseit, s ezek hatsa nem csak a sajt profitjukra/hasznossgukra van kihatssal, hanem atbbi szerepl profitjra/hasznossgra is.

5


6/86

1. A jtkelmlet matematikai alapfogalmai

Elszr arra vllalkozunk, hogy a jtkelmlet matematikai alapjait tisztzzuk. A klnsenbonyolult rszletekbe nem merlnk bele, a cl csak annyi, hogy lssuk, a sokszereplsdntsi helyzetek modellezshez hogyan fog hozz a matematika, s milyen

kvetkeztetsekre jut. A mlyebb matematikai trgyals irnt rdekld hallgat szmratbb magyar nyelv knyv is rendelkezsre ll (pldul Forg Szp, 1974; Gibbons,2005).

1.1. A ngy 22-es ktszemlyes alapjtk

Mieltt az absztrakt matematikai defincikkal, lltsokkal megismerkednk, nhnyismertebb jtkelmleti helyzetet tekintnk t, melyekrl a szakirodalomban is sokszor esikemlts. A ksbbi fogalmakat gy lehetsgnk lesz mr megismert helyzetek tgondoltsajtossgaira hivatkozva bevezetni.

A) A benzinkutak kztti rverseny (fogolydilemma)

Tekintsk a kvetkez helyzetet. Az t kt oldaln egy-egy benzinkt van. A kt ktegyforma rakat alkalmaz. Ha csak az egyik kutas cskkenti az rakat, akkor hozz tbbenmennek vsrolni, ha csak a msik cskkenti az rakat, akkor pedig hozz. A kis mrtkegyoldal cskkents akkora tbblet forgalmat hoz, hogy az ellenslyozza az egysgrcskkensbl add bevtelcskkent hatst, s gy a kt hats egyttesen profitnvekedsteredmnyez. Ha csak az egyik kutas cskkent az rain, az rat nem cskkent fl forgalma

jelentsen cskken. Ha mindketten cskkentik az raikat, akkor ugyanannyi vevjk lesz,mint volt, de nyilvn kisebb lesz a bevtelk. A bevtelek alakuljanak az brn lthat mtrixszerint. Hogyan fognak ebben a helyzetben a kutasok dnteni?

2. benzinktCskkent Nem cskkent

1. benzinktCskkent 0, 0 4, -3

Nem cskkent -3, 4 1, 1

A kzgazdasgtan megszokott trgyalsmdjnak megfelelen egy meglehetsen absztraktszitucit rtunk fel. Itt most nincs lehetsge a kt kutasnak trgyalsokban bocstkozni, snincs lehetsge arra, hogy a msik dntsre kls jegyekbl kvetkeztessen. A dntskcsak ktfle eredmnyre vezethet (cskkent vagy nem), egyszeri, visszavonhatatlan, segyszerre trtnik. Termszetesen a vals helyzetekben a vlasztsok nem ilyen

rugalmatlanul trtnnek meg.Gondoljuk meg, hogy hogyan gondolkodhat az egyik kutas. Ha a msik cskkenten az rat,akkor vagy nem cskkentem az ramat, s nem leszek versenykpes, vagy n is cskkentemaz ramat, s versenyben maradok, br a profitom visszaesik. A -3 s a 0 kifizets kzl kellvlasztanom, nyilvn a 0 kifizetst vlasztom, azaz cskkentem az rat. De ha a msik nemcskkenti az rat, akkor ha n cskkentem az rat, akkor sokkal kvnatosabb lesz az najnlatom, mint az v, s az alacsonyabb r mellett is nagyobb lesz a hasznom a sok j vevmiatt, ha meg n se cskkentem az ram, akkor minden marad a rgiben. A 4 s az 1 kifizetskzl kell vlasztanom, termszetesen a 4-et vlasztom, teht cskkentem az rat. Arra jutteht a kutas, hogy fggetlenl attl, hogy a msik mit dnt, neki rdemes cskkentenie azrat, s termszetesen a mtrix szimmetrija miatt a msik kutas is ugyanerre a kvetkeztetsre

jut. Mindketten cskkentenek az raikon, egyikjk se jr jobban, mintha klcsnsentudomst se vettek volna a cskkents lehetsgrl.

6


7/86

A helyzet ugyanolyan, mint a fogolydilemma esetn volt. Ugyanazt a logikt alkalmazvajutottunk el ugyanarra az eredmnyre. Lthatan nem ugyanaz volt a kt helyzetben akifizetsi mtrix, mgis ugyangy lehetett vgiggondolni az alternatvkat, s ugyangyugyanarra jutottak a felek: a msik dntsnek ismerete nlkl is megllapthat, hogy nekikmelyik alternatvt kell vlasztaniuk, s ha mindketten ezt vlasztjk, akkor olyan llapotot

valstanak meg, melynl mindkettjk szmra lenne jobb alternatva (fogolydilemma esetna valloms klcsns megtagadsa, jelen esetben az rak klcsns szinten tartsa). Aztmondjuk, hogy a benzinkutas helyzet logikailag ekvivalens a fogolydilemmval. Ugyanaz alogika rvnyesl benne, csak a konkrt szmadatok msok.Ha megfigyeljk a dnts logikjban nem is jtszik szerepet az, hogy mekkork akifizetsek, csak az, hogy az egyes kifizetsek viszonya milyen, melyik melyiknl nagyobb.A fogoly-dilemma esetn ez gy foglalhat ssze:

ha a 2. jtkos az A alternatvt vlasztja, akkor az 1. szmra az A alternatvavlasztsa ad nagyobb kifizetst,

ha a 2. jtkos a B alternatvt vlasztja, akkor az 1. szmra ugyangy az Aalternatva vlasztsa ad nagyobb kifizetst,

vagyis az 1. jtkos mindenkppen A alternatvt vlasztja, a 2. jtkos ugyanilyen logikval ugyancsak A alternatva mellett dnt, ha mindkt jtkos az A alternatvt vlasztja, akkor mindkettjknek kisebb lesz a

kifizetse, mintha mindketten a B alternatvt vlasztottk volna.Az egymssal logikailag ekvivalens jtkelmleti helyzetek a konkrt kifizetsek tekintetbenklnbzhetnek egymstl, csak a kifizetsek kztti nagysg szerinti rendezsben nem. Hanem a konkrt nyeresgeket rjuk fel (hogy pldul hny vet lnek a rablk, vagy mennyi a

benzinkutak nyeresge) hanem csak a preferencikat jell rtkeket 1-tl 4-ig (a legkevsbpreferlt kimentet jelezze az 1, a leginkbb preferltat a 4), akkor ugyanazt a bimtrixot2

kapjuk a fogoly-dilemmnl, meg a benzinkutas helyzetnl.

A fogolydilemma ltalnos felrsa:

2. jtkosVerseng Kooperl

1. jtkosVerseng 2, 2 4, 1Kooperl 1, 4 3, 3

A jtk ilyen mdon val felrsa s a rabok brtnben tltend veit felr tblzatok kzttkzgazdasgi szempontbl ugyanaz a klnbsg, mint a mikrokonmiai elmlet ordinlis skardinlis szemllet hasznossgfggvnyei kztt. A brtnbntetsek vei kardinlisszemlletben adjk meg a rabok hasznossgait a ngy lehetsges kimenettel kapcsolatban,

mg a jelen felrs csak azt adja meg, hogy a ngy kimenet preferltsga kztt milyen asorrend. Szmunkra azrt rtkes az ttrs a kardinlis felrsrl az ordinlisra, mert egyrszt a logikailag ekvivalens jtkoknak preferenciarendezs szempontjbl azonos

a tblzata (hisz a vlaszts szempontjbl csak az a fontos, hogy melyik kimentetpreferlja jobban a jtkos, s az nem, hogy mennyivel preferlja jobban),

msrszt, ha kt jtk logikailag nem ekvivalens egymssal, akkor az ordinlisszemlletben felrt tblzatuk kztt klnbsg kell hogy addjon (hisz msklnbenugyanaz a logika rvnyeslne mindkettben).

E kt tulajdonsg miatt az ordinlis szemlletben megadott bimtrix az sszes, egymssallogikailag ekvivalens jtkot meghatrozza. A tovbbiakban ismertetsre kerl hrom

2 A bimtrix kifejezst preczen ksbb definiljuk, most elegend annyit tudnunk rla, hogy olyan tblzatottakar, melynek rubrikiban szmprok szerepelnek.

7


8/86

jtkot is ilyen ordinlis szemllet bimtrixszal adjuk meg, s valjban ezzel logikaiszempontbl egymssal ekvivalens jtkok egsz csoportjt hatrozzuk meg.

rdemes itt egy rvid kitrt tenni a logikailag ekvivalens jtkok, s az ketmeghatroz ordinlis szemllet bimtrixok egyrtelmsgvel kapcsolatban. Azelz gondolatmenetbl gy tnhet, hogy az sszes fogolydilemmval logikailag

ekvivalens helyzet egyetlen, ordinlis szemlletben kitlttt bimtrixszal jellemezhet,m szigor matematikai rtelemben ez nem igaz. Gondoljuk meg, hogy elegendpusztn felcserlni az egyes alternatvk sorrendjt, azaz nem az els sorba illetveoszlopba rni a versengst, hanem a msodikba, s azonnal egy j tblzathoz jutunk,ami viszont tovbbra is a fogolydilemma helyzetet rja le.

V KV 2, 2 4, 1K 1, 4 3, 3

Vilgos, hogy nem csak a fenti kt tblzat rja le ugyanazt az ltalunkfogolydilemmnak nevezett helyzetet. Ha a kiindul tblzatnak csak az oszlopaitcserljk meg s a sorait nem, vagy csak a sorait cserljk meg s az oszlopait nem,akkor sem vltoztatunk az ltaluk lert jtk logikjn, mikzben ugyancsak olyan j

bimtrixokat hozunk ltre, melyek szigor matematikai rtelemben nem azonosak akiindul bimtrixszal.

K VV 4, 1 2, 2

K 3, 3 1, 4

Preczen fogalmazva teht azt mondhatjuk, hogy minden olyan helyzet logikailagekvivalens a fogolydilemma helyzettel, melynek az ordinlis szemlletben megadott

bimtrixa, esetleg sorok s oszlopok felcserlse utn, megegyezik a kiindulbimtrixunkkal. Amikor a tovbbiakban jtkokat ordinlis szemlletben megadottbimtrixszal jellemznk, akkor mindig csak az egyik lehetsges tblzatot adjuk meg.

A fogoly-dilemma ltalnos felrsnl az alternatvkat kooperl, s verseng

kifejezsekkel illettk. Ez a jtkelmletben ltalnosan bevett elnevezs a fogoly-dilemmahelyzetek esetben. A kt rab esetben a kooperls a vallomsttel megtagadsa, a

benzinkutak esetben az rcskkentstl val tartzkods, versengs a raboknl avallomsttel, a benzinkutaknl az rcskkents. A kooperci arra utal, hogy ebben ahelyzetben a felek, amennyiben nem figyelnek egymsra semmilyen okuk nincs a klcsnskoopercinl maradni, amit ha egyarnt felrgnak, akkor a klcsns versengsbenrosszabbul jrnak, mint a klcsns kooperciban. A jtkelmletben egybknt is bevettszoks a kt szereplvel s szereplk szmra kt-kt azonos alternatvval rendelkezhelyzetekben az egyik alternatvt koopercinak, a msikat versengsnek nevezni. Akooperci ltalban az az alternatva, amit csak a msik figyelembe vtelvel vlaszt aszerepl, mg a versengs az, amit kizrlag a sajt hasznt figyelembe vve vlaszt.

K VK 3, 3 1, 4

V 4, 1 2, 2

V KK 1, 4 3, 3V 2, 2 4, 1

8


9/86

A kvetkez hrom helyzet megegyezik egymssal abban, hogy a fogoly-dilemmhozhasonlan ezekben is kt szerepl van, s a szereplknek ezekben is egymssal megegyez ktvlasztsi lehetsgk van. Ezek a jtkok teht mind 22-es bimtrixokkal rhatak le. Azelbbiek rtelmben elegend ordinlis szemlletben megadni a tblzatokat, gy mindktszereplnl csak az 1, 2, 3 s 4 szerepel a ngy lehetsges kimenet mellett, mert ez is

egyrtelmen jelzi, hogy a szereplk szmra egymshoz kpest az egyes kimenetekmennyire preferltak.

B) Nemek harca

Fiatal pr reggel azon tanakodik, hogy este hova menjenek el szrakozni. Mindkettenszeretnnek olyan helyre menni, amit szeretnek: a frfi bokszmeccsre, a n egy komolyzeneikoncertre, de mg ennl is fontosabb mindkettjk szmra, hogy egymssal lehessenek. Jobba frfinak koncerten a kedvesvel, mint egyedl a boksz meccsen s fordtva. A reggeli sornnem sikerl megbeszlnik, hogy hova menjenek rendesen sszevesznek , teht amunkbl egyenesen a helysznre kell mennik anlkl, hogy tudnk, hogy a msik hova

megy. Az sszeveszs nem vltoztat azon, hogy leginkbb egymssal szeretnnek lenni, scsak msodsorban ott, ahol nekik szemly szerint j lenne. Az ordinlis szemllet tblzat akvetkezkppen alakul.

FrfiBokszmeccs Koncert

NBokszmeccs 3, 4 1, 1

Koncert 2, 2 4, 3

A jtk klnlegessge, hogy akkor alakul ki benne a legrosszabb helyzet, ha mindkt fl amsik rdekeit akarja szem eltt tartani, vagyis ha mindketten kooperlnak. Gondoljunk bele,

hogy ha mindkt szerepl a msik rdekeinek szem eltt tartsval dnt, akkor a frfi akoncertre, a n a boksz meccsre megy. Kt altruista szemly a lehet legrosszabb kimenetetvalstja meg ebben a jtkban. Ugyanakkor kt nz ember se jut igazn j helyzetbe ebbena jtkban. Ha mindketten nzek, akkor a frfi a bokszmeccsre, a n a koncertre megy, sismt nincsenek egytt, aminl az egyttlt mindenkpp jobb lenne, brhol is vannak.Ebben a jtkban a koopercit s a versengst az alapjn szoktk definilni, hogy az adottdntshoz igazodik-e a msik vgyaihoz, vagy nem. Ennek megfelelen a n rszrl akooperls a boksz meccs, mg a frfi rszrl a koncert vlasztsa. gy ha az ltalnosabbterminolgival (kooperl/verseng) szeretnnk felrni a kifizetsi mtrixot, akkor a fenti

bimtrixon sorcsert kell vgrehajtanunk.

A nemek harca helyzet ltalnos felrsa:

2. jtkos (frfi)Verseng Kooperl

1. jtkos(n)

Verseng 2, 2 4, 3Kooperl 3, 4 1, 1

A jtk nagyszer alkalmat teremt arra, hogy krljrjuk a jtkelmlet tiszta s kevertstratgiinakfogalmt. Tegyk fel, hogy nem csak egy reggel kerl ebbe a helyzetbe az ifjpr, hanem rendszeresen. Valsznleg kialakul kzttk, hogy rdemes nha engedniegymsnak, nehogy belljon a mindig csak oda megynk, ahova te szeretnd llapot.

Krds, hogy ha azt vlasztja mindkt fl, hogy az esetek felben kooperl, a msik felbenpedig nz (verseng) stratgit vlaszt, akkor mi lesz a vrhat kifizetsk. Ezt az esetet

9


10/86

matematikailag modellezhetjk gy, hogy a frfi is s a n is 0,5 valsznsggel vlasztja azegyik illetve a msik alternatvt. Ekkor a ngy lehetsges kimenet mindegyiknek 0,25 avalsznsge3, gy a vrhat kifizets az egyes kifizetsek valsznsgekkel slyozottsszege lesz, azaz

0,251 + 0,252 + 0,253 + 0,254 = 2,5.

A jtkelmlet kevert stratginaknevezi az ilyen jelleg stratgiavlasztst, vagyis amikor ajtkosok nem egyszeren kivlasztanak egy alternatvt (jelen esetben versengst vagykoopercit), hanem klnbz valsznsgeket rendelnek az egyes lehetsgekhez. Ezzelszemben a tiszta stratgia elnevezssel illeti azt a jtkmdot, amikor a szereplk egyetlenalternatvt vlasztanak ki. Lthat, hogy kevert stratgik esetn nem mondhat meg

biztosan, hogy mi lesz a konkrt kimenete egy-egy konkrt lejtszsnak, csak azt, hogymelyik kimenetnek mekkora lesz a valsznsge. Ennek megfelelen kevert stratgik esetnnem az egyes kimenetek kifizetsei igazn rdekesek szmunkra, hanem a valsznsgekalapjn szmthat vrhat kifizets.4

Az igazsgrzetnk taln azt sgja, hogy ez a legjobb megolds, a matematikus nemnyugszik, amg ezt bizonytani nem tudja. A meglep eredmny az, hogy nem ez a legjobbmegolds. Ha a lny 5/8 valsznsggel verseng s 3/8 valsznsggel kooperl s a fi isgy tesz, akkor az egyes lehetsges kimenetek valsznsge a kvetkez mdon alakul.5

2. jtkos (frfi)Verseng

(5/8)Kooperl

(3/8)

1. jtkos(n)

Verseng(5/8)

25/64 15/64

Kooperl

(3/8)15/64 9/64

Ha most az elz tblzattal (ami a kifizetseket tartalmazza) egybevetjk ezt a tblzatot(ami pedig az egyes vlaszts-prok bekvetkezsnek valsznsgt), akkor ki tudjukszmolni a vrhat nyeresget.

1. jtkos (n) esetben

3(15/64)+1(9/64)+4(15/64)+2(25/64) = (45+9+60+50)/64 = 164/64.

2. jtkos (frfi) esetben ugyancsak

3(15/64)+1(9/64)+4(15/64)+2(25/64) = (45+9+60+50)/64 = 164/64.

3 Ez abbl kvetkezik, hogy ha azt, hogy mikor melyik fl kooperl s melyik verseng egymstl fggetlenlvlasztjk meg, akkor a vlasztsok valsznsgszmtsi rtelemben fggetlen esemnyek lesznek, s tudjuk,hogy fggetlen esemnyek egyttes bekvetkezsnek valsznsge az egyenknti valsznsgek szorzata.(P (AB) = P(A) P(B) ha A sB fggetlen esemnyek.) Jelen esetben brmely lehetsges kimenet 0,5 0,5= 0,25 valsznsggel fog bekvetkezni.4 A ksbbiekben majd megadjuk a kevert stratgia, a tiszta stratgia s a vrhat kifizetspontos matematikaidefincijt is.5 Az elz helyzethez hasonlan mikor a 0,25-s valsznsg a 0,5-s valsznsgek szorzataknt addott

, most is gy kapjuk meg az egyes vlaszts-prokhoz tartoz valsznsgeket, hogy a megfelel egynivlasztsokhoz tartoz valsznsgeket sszeszorozzuk. Pl. 3/8 5/8 = 15/64. Ezt megint az egyesvlasztsok fggetlensge miatt tehetjk meg.

10


11/86

Tovbb 164/64 = 2,5625 > 2,5 alapjn lthat hogy ha egyarnt 3/8 s 5/8 valsznsggeljtsszk a kooperatv illetve a verseng stratgit a jtkosok, akkor jobb eredmnyre jutnak,mintha s valsznsgekkel jtszank. Magyarn, meglep mdon ebben a jtkbanmindkt fl jobban jr, ha nem az egyszer neked egyszer nekem elv alapjn szabja meg,hogy mikor kooperl s mikor verseng, hanem az esetek nagyobb rszben (5/8-ban)

verseng.Rgtn addik az izgalmas krds: vajon nem lehet, hogy esetleg ms valsznsgekkeljtszva az egyes alternatvkat mg nagyobb lesz a vrhat nyeremny? Az olvas maga istgondolhatja, hogy ha pldul a frfi 1 valsznsggel jtssza a kooperci, 0valsznsggel a versengs stratgijt, mg a n 1 valsznsggel a versengst s 0valsznsggel a koopercit, akkor a frfi vrhat nyeresge 3, a n pedig 4 lesz. Tehtazonnal lthat, hogy valamilyen szempontbl nem a legjobb megolds ha egyarnt a 3/8 s5/8 valsznsgeket vlasztjk. Ugyanakkor az is megmutathat, hogy a klcsns 3/8 5/8vlaszts rendelkezik azzal a tulajdonsggal is, hogy ha mindketten bellnak erre, akkoregyikjknek sem rdeke eltrni ettl egyoldalan, mert ha csak tr el tle s a msik nem,akkor 2,5625-nl kisebb vrhat nyeresge lesz. Ez a tulajdonsg azt jelenti, hogy a

klcsns 3/8 5/8 vlaszts valamilyen rtelemben egyenslyi helyzet, hisz nem vrhatjuk,hogy racionlis dntshozk ettl a viselkedstl eltrjenek.rdemes a kevert stratgik kapcsn az ordinlis szemlletben megadott bimtrixokkalkapcsolatban egy fontos megjegyzst tenni. Lttuk, hogy amg tiszta stratgikbangondolkodunk, nem vltoztat semmit a jtkban rvnyesl logikn ha akifizetseken gynevezett monoton transzformcikat vgznk, vagyis gyvltoztatunk meg rtkeket a bimtrixban, hogy az az egy egyes kifizetsek sorrendjtne befolysolja. Tiszta stratgik krben gondolkodva a kvetkez drasztikusvltoztats semmit nem mdost a jtk logikjn:

V K

V 20, 20 40, 30K 30, 40 10, 10

Br ordinlis szempontbl a kt jtk kztt semmi klnbsg nincs, ha a kevertstratgikat is megengedjk, akkor nagyon ers klnbsgek jelennek meg. Vrhatkifizets tekintetben a msodik jtk nagysgrendekkel klnbzik az elstl legalbb is az els jtkos szmra. Ennek az oka az, hogy mg tiszta stratgikbangondolkozunk addig annak megllaptshoz, hogy melyik vlasztssal jr jobban

egyik vagy msik jtkos elegend azt figyelembe vennnk, hogy az egyeskimenetekhez tartoz kifizetseket egymshoz kpest hogyan preferlja az adottjtkos. Ugyanakkor kevert stratgik esetn nem a kimenetekhez tartozkifizetsekkel foglalkozunk, hanem az egyes valsznsgekhez tartoz vrhatkifizetssel, mely a kimenetekhez tartoz kifizetsek valsznsgekkel slyozottsszege, gy a mivel sszegznk kifizetsekhez tartoz rtkekabszolt nagysgais fontos szerephez jut, nem csak azok egymshoz viszonytott sorrendje. Rvidenszlva teht a jtkok ordinlis szemlletben felrt bimtrixszal val megadsnak

jogosultsga mellett addig tudunk rvelni, amg csak tiszta stratgikbangondolkodunk.Ennek azrt van kimondottan nagy jelentsge a kzgazdasgi alkalmazsok

tekintetben, mert egyrszt a kzgazdasgtan azokban az esetekben, amikor a kifizetsvalamely egyni fogyaszt hasznossga, tbbnyire gy modellez, hogy a fogyaszt

V KV 20, 20 4000, 30K 30, 40 10, 10

11


12/86

szmra megjelen hasznossgot (kifizetst) csak ordinlis szemlletben tudjukmegadni, kardinlisan nem, ugyanakkor a jtkelmletben kiemelten nagy jelentsgevan a kevert stratgik alkalmazsnak. Sommsan szlva vagy a kevert stratgikatkell elvetnnk, vagy a fogyaszti hasznossgot kell kizrnunk a jtkelmletielemzsek krbl.

C) Vezrr

A kvetkez jtkot tbbfle trtnettel is szoktk illusztrlni. Lehet pldul gy rtelmezniaz ehhez tartoz kifizetsi mtrixot, hogy kt hiperudvarias ember ll az ajtban s abbanversengnek egymssal, hogy melyik megy be elsnek az ajtn. Mindketten udvariasakszeretnnek lenni, s a msikat szeretnk elreengedni. A msik elreengedse a versengsebben a helyzetben, s az elreengeds elfogadsa a kooperci, mivel ezzel a msikhozigazodva dnt a szerepl. Ha klcsnsen kooperlnak, akkor mindketten elfogadjk az elreengedst, s egyszerre mennek be az ajtn, ahol sszetkznek, ami kellemetlen. Ha az egyikfogadja csak el az elre engedst, akkor mindketten bejutnak az ajtn, az sszekoccans

kellemetlensge nlkl. Ez mindkettjk szmra jobb helyzet, mint sszekoccanni, de annakkellemesebb, aki elre tudta engedni a msikat, mert a jlneveltsgrl is tanbizonysgottudott tenni. Amennyiben mindketten versenyeznek, akkor soha nem jut be egyikjk se azajtn, taln hen is halnak az ajt eltt, ami a lehet legrosszabb alternatva mindkettjkszmra.

A vezrr helyzet ltalnos felrsa:


1. jtkosVerseng 1, 1 4, 3

Kooperl 3, 4 2, 2

A helyzet annyiban hasonlt ez a jtk a nemek harcra, hogy itt se clravezet sem aklcsns versengs, sem a klcsns kooperci. m a vezrr jtkban a klcsnskooperci mg mindig kedvezbb, mint a klcsns versengs, mg a nemek harcban ebbena tekintetben pont fordtott a helyzet.

D) Gyva nyl (Chicken)

A jtkot azzal a helyzettel szoktk illusztrlni, mely tbb amerikai filmben is megjelenik.Amerikai fiatalok szrakozsa volt egy idben az gynevezett chicken jtk6, melyben

egymssal szembe hajtottak gpkocsiikkal nagy sebessggel. A jtk gyztese az volt, akinem rntotta el a kormnyt. Ha ezt a jtkot egy mtrixszal rjuk fel, akkor azzal azegyszerst felttelezssel lnk, hogy a kt jtkos csak egyszer hozza meg a dntst ahelyzetben, mghozz ugyanabban a pillanatban.Modellezzk a kvetkez most kardinlis szemlletben megadott bimtrixszal ezt a

jtkot.

2. jtkosMarad Kitr

1. jtkosMarad -1000, -900 10, -90Kitr -50, 20 0, 0

6 Magyarra leginkbb taln a gyva nyl kifejezssel lehet fordtani.

12


13/86

Itt 1000 dollr az els jtkos kocsijnak rtke, 900 dollr a msodik jtkos, 10 dollrralegyenrtk rmt okoz az els jtkos szmra a menet megnyerse s -50 dollrralegyenrtkt az elvesztse, mg 20 dollrral egyenrtk rmt okoz a msodik jtkosszmra a menet megnyerse s -90 dollrral egyenrtkt az elvesztse. Amennyibenmindketten flrerntjk a kormnyt egyikjk se nyer semmit.

A jtkelmleti elemzk szerint az igazn rutinos jtkos ezt a jtkot nagyon rdekesstratgia szerint jtssza (Mr, 1996). Lehetleg tk rszegen rkezik a helysznre, bzlg awhiskey-tl, s a kocsiba szlls eltt mg j nagyot hz az vegbl. A kocsiba beszllvanapszemveget tesz fel az jszakai sttsg ellenre is, esetleg a lmpjt is leoltja. Legjobb,ha kzvetlenl az induls utn azonnal letpi a kormnyt s ltvnyos mozdulattal kihajtja azablakon. Ltszlag teljesen irracionlis az ilyen versenyz. Vajon mirt lehet mgis hasznosgy viselkedni? Mindezek a mozzanatok arra hivatottak, hogy a msik jtkost meggyzzkarrl, hogy az ellenfl ha akarna se tudna kitrni, vagyis hogy szmra a jtkban nem ltezika kitrek alternatva. Amennyiben az els jtkos el tudja rni, hogy a msodik ezt gondoljarla, akkor a msodik jtkos szmra leegyszersdik a jtkot ler mtrix, mivel a msodiksort nem kell figyelembe vennie.

2. jtkosMarad Kitr

1. jtkosMarad -1000, -900 10, -90

Ebben a helyzetben nem krdses, hogy a II. jtkos a kitr alternatvt vlasztja (90 egysgvesztesg 900 helyett), gy az els a ltszlag teljesen irracionlis viselkedsvel el tudta rni,hogy a szmra legkedvezbb kimenet valsuljon meg. Azaz az els jtkos a (kznapirtelemben) irracionlis viselkedssel az egyni hasznt maximalizlta, gy vgl is(kzgazdasgi rtelemben) racionlisan jrt el.

Preferencikkal felrt gyva nyl jtk mtrixt gy kapjuk meg, ha a kitrst mintkooperlst, a maradst mint versengst vesszk. A mtrix a kvetkez lesz.

A gyva nyl helyzet ltalnos felrsa:


1. jtkosVerseng 1, 1 4, 2Kooperl 2, 4 3, 3

Kt dolgot rdemes kiemelni a gyva nyl jtkkal kapcsolatban. Az egyik, hogy a jtk

tulajdonsgainak taglalsnl belptnk a pszicholgia terletre. Egszen idig a jtkokbanmagnyosan gondolkod szereplkkel foglalkoztunk. A prnak egyenknt kellett meghozniaa dntst, hogy hova mennek a munkahelykrl este, a benzinkutasok nem trgyaltakegymssal, hogy felismerjk milyen csvba is kerlhetnek, az udvarias emberek ismagukban hoztk meg dntsket az elreengeds elfogadsrl, vagy el nem fogadsrl.Ezzel szemben a rszeg, napszemveges jtkos bizonyos tekintetben kilp a jtkelmletkeretei kzl: el akarja hitetni ellenfelvel, hogy szmra az egyik alternatva nem ltezik a

jtkban. Ha megfigyeljk az irracionlis viselkeds clja nem a rszegsg vagydntskptelensg elrse, hanem annak tetrlis demonstrlsa. Nem az a fontos, hogy afiatalember teljesen kisse magt, hanem hogy az ellenfele biztosan elhiggye, hogy teljesenkittte magt. Vagyis ebben a helyzetben a fiatalember azzal prblkozik, hogy klnbz

kommunikcis trkkkkel elrje, hogy az ellenfele azt gondolja, hogy a kifizetsi mtrixnem 22-es, hanem 12-es. Magt a jtkot ler modellt akarja teht megvltoztatni s

13


14/86

ebben teljes mrtkben pszicholgiai eszkzkre tmaszkodik, hisz a msikat szeretnmeggyzni.A msik megjegyzs, hogy nagyon sok trsadalmi mret helyzet is rtelmezhet ezzel a

jtkkal. A kubai raktavlsg idejn kialakult politikai helyzetet pldul lehet gy tekinteni,mint amiben mindkt fl arra trekedett, hogy ltvnyosan kimutassa, hogy semmikppen

nem htrl meg, mert szmra ez a lehetsg egyszeren nem ltezik. A trgyalsoktl valmerev s ltvnyos elzrkzs pldul egyik nagyon j eszkze lehet ennek akommunikcinak. Ha az egyik fl valban meggyzi a msikat, hogy nem fl akr aharmadik vilghbort sem kirobbantani, mert egyszeren nem mrlegeli az esetlegesvisszavonuls lehetsgt, a msik fl szmra egyrtelmen csak az a lehetsg marad, hogyvisszavonul (amennyiben a kifizetsek egymshoz val viszonya a gyva nyl jtkbanlertakat kveti). Vagyis a msik viselkedsvel kapcsolatos hit szabja meg az nviselkedsemet.

Ltjuk, hogy a ktszerepls, kt-kt alternatvs helyzetek lerhatk olyan 22-esbimtrixokkal. Ha a logikailag ekvivalens jtkokat nem akarjuk megklnbztetni

egymstl, akkor csak a kifizetsek preferencia sorrendje lnyeges, gy elegend a ngyalternatvhoz az 1, 2, 3 s 4 kifizetseket rendelni mindkt szerepl esetn. Egy 22-esbimtrix ilyen mdon (ms szval ordinlis szemlletben) sszesen (4321)2 fle kppentlthet ki. m, mint lttuk, ugyanazt a helyzetet tbb bimtrix is kdolhatja. Ez azsszesen 576 bimtrix teht sok ismtlst tartalmaz. Ha ezeket az ismtlseke elhagyjuk,akkor a megmaradkat vizsglva knnyen megllapthat, hogy csak az elbb ismertetettngy jtk rdekes jtkelmleti szempontbl. Ezrt szoktak a fenti ngy jtkra gyhivatkozni, mint a ngy 22-es ktszemlyes alapjtk.Hogy mit rtnk nem rdekes jtk alatt azt jl mutatja a kvetkez bimtrix.

2. jtkos

Verseng Kooperl1. jtkos


Ebben a jtkban nyilvn mindkett szerepl a kooperlst vlasztja s gy egymstklcsnsen a legnagyobb jutalomhoz juttatjk. Annyira egyrtelm, hogy melyik szereplmit fog vlasztani, hogy bizonyos rtelemben itt nem is beszlhetnk dntshelyzetrl.

1.2. Matematikai trgyals

Az eddigiek elgsges tmpontot biztostanak, hogy megkezdhessk a jtkelmlet

matematikai megalapozst. Ha a jtkokra precz matematikai defincit akarunk adni, akkorkiindulhatunk az elbb ismertetett ngy jtkbl, s megprblhatjuk a kzstulajdonsgaikat matematikai eszkzkkel sszefoglalni. Mind a ngy jtk esetben aztltjuk, hogy az ltaluk jellemzett szitucit teljes mrtkben jellemez egy olyan 22-estblzat, melynek minden rubrikjban egy-egy szm-pr ll. A tblzatban tallhat ngyszm-pr mindent elmond az adott helyzetrl, egyrtelmen meghatrozza azt.

A szmokbl ll tblzatokat a matematika a mtrix fogalmval ragadja meg. Akzgazdsz alapkpzs sorn csak olyan mtrixokkal ismerkednk meg, melyekelemei gynevezett szmtestekbl7 kerlnek ki (Szab, 2003). A matematikban gy

7 A szmtest nhny meghatrozott tulajdonsggal rendelkez szmhalmaz. Kzgazdsz alaptanulmnyok

sorn lnyegben csak kt pldt ltunk erre: a vals szmok R halmazt vagy a racionlis szmok Qhalmazt. A megkvetelt tulajdonsgok azok, hogy a halmaznak legalbb kt eleme legyen, s brmely ktkivlasztott eleme esetn a halmaz tartalmazza azok sszegt, klnbsgt, szorzatt, s hnyadost is.

14


15/86

szoks utalni arra, hogy milyen szmok szerepelhetnek az adott mtrixban, hogymegnevezzk, milyen szmtest feletti mtrixrlvan sz. Ennek megfelelen beszlnk

pldul a vals szmok R szmteste vagy a racionlis szmok Q szmteste felettimtrixokrl. Mi most olyan tblzatokat igyeksznk definilni, melyek rubrikibannem egy-egy szm, hanem egy-egy szm-pr ll. Szerencsre a matematikban szoks

szmoktl klnbz elemekbl ll mtrixokat is hasznlni. A mtrixok elmletnekltalnos felptsben brmilyen halmazbl kikerlhetnek a mtrix elemei, melyekteljestenek bizonyos ltalnos tulajdonsgokat8 (Krchy, 1997). Ha elemek egyK-val

jellt halmaza teljesti ezeket a tulajdonsgokat, akkor a Kelemeibl ll mtrixokatK feletti mtrixoknak nevezzk, hasonlan ahhoz, ahogy ez specilisan szmtestekesetben is tettk. A vals szmokbl ll szm-prok teljestik ezeket atulajdonsgokat, gy a vals szm-prok tradci szerint R2-vel jellt halmaza felett isrtelmezhetnk mtrixokat. Az ilyen mtrixokat a matematikban bimtrixoknaknevezzk. A bimtrixok elemei teht szm-prok, vagyis a bimtrixok pont azok atblzatok, melyek rubrikiban szm-prok szerepelnek.

A most bevezetett terminolgia segtsgvel az eddig megismert ngy alapjtk kzsvonsainak kiemelsvel a kvetkez formban prblhatjuk meghatrozni a jtkokat:

az R2 felett rtelmezett 22-es mtrixokat nevezzkjtknak,

vagy

a 22-es bimtrixokat nevezzkjtknak.

Vilgos, hogy a korbban bemutatott ngy alapjtk mindegyike maradktalanul lerhat 22-es bimtrixokkal. Vajon minden jtkot megragadunk-e ezzel a meghatrozssal? Az olvas

sejtheti, hogy nem, vannak olyan jtkok, melyek nem frnek bele ebbe a definciba. Ilyenjtk pldul a k-papr-oll jtk. Ha 1-gyel jelljk a nyert jtszma kifizetst, -1-gyel avesztettt, s 0-val a dntetlent,9 akkor a kvetkez kifizetsi bimtrixszal tudjuk lerni a k-

papr-ollt.

K Papr OllK 0, 0 -1, 1 1, -1

Papr 1, -1 0, 0 -1, 1Oll -1, 1 1, -1 0, 0

Szeretnnk olyan defincit adni a jtkra, amibe ez is belefr. A problmt az okozza, hogy a

bimtrixnak nem kt sora s kt oszlopa van. Knny tltni, hogy ez amiatt van, hogy ebbena jtkban a jtkosoknak szemben az eddig ltott alapjtkokkal nem csak kt-ktvlasztsi lehetsge van, hanem hrom-hrom. Viszont igen knny gy alaktani az elzmeghatrozsunkon, hogy ezt a jtkot is magba foglalja, s gy ltalban mindazokat, ahola jtkosoknak tetszleges (de vges) sokn illetve m darab vlasztsi lehetsge van. A jtkfogalmnak meghatrozsra az eddigiek figyelembevtelvel a kvetkez a javaslatunk:

az nm-es bimtrixokat nevezzkjtknak.

8 Ezek a tulajdonsgok azt kvetelik meg a halmazzal kapcsolatban, hogy az gynevezett testetalkosson, amiaz absztrakt algebra egyik legfontosabb fogalma. Ez magyarzza, hogy az ltalnosabb mtrixelmletben nem

szmtest feletti mtrixokrl, hanem test feletti mtrixokrl szoktak beszlni.9 A jtkelmletben ltalban is 1-gyel, 0-val s -1-gyel szoks jellni a kifizetseket olyan jtkok esetben,ahol a jtknak csak hrom kimenete lehetsges: gyzelem, dntetlen, vagy veszts.

15


16/86

Itt n s m rendre az els s a msodik jtkos vlasztsi lehetsgeinek szma. Mint ltjuk ak-papr-ollban mindenkinek hrom vlasztsi lehetsge van (k, papr, oll) s ennekmegfelelen a jtkot ler bimtrix is 33-as.

A jtkelmlet az R2 felett rtelmezett mtrixokat egy kicsit mshogyan jelenti meg,

mint ahogyan a matematikban bevett konvencik azt elrnk. A matematikban az amegszokott, hogy egy tetszlegesA test aij elemeibl ll mtrixot gy jelentjk meg,hogy az elemeket sorokba s oszlopokba rjuk, egymstl se vesszvel, se vonalakkalket el nem vlasztjuk, s a teljes tblzatot zrjelek kz fogjuk.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Ha ehhez hozzvesszk, hogy az elem-prokata matematikban zrjelben, egymstl

vesszvel elvlasztva szoks felrni, akkor pldul az R2

felett rtelmezett 33-asmtrixokat a matematikai konvenci szerint az albbi formban kellene felrni.

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

Ebben a szellemben pldul a fogolydilemma ordinlis szemllet bimtrixnak amatematikai konvenci szerinti alakja a kvetkez lenne.

)3,3()4,1(

)1,4()2,2(

m mr eddig is lttuk, hogy a jtkelmletben nem ez a formt szoktk hasznlni abimtrix megjelentsre. A jtkelmletben a bimtrixokat a tblzatok mindennapiletben jobban megszokott formjban rjuk fel: a sorokat s az oszlopokat egymstlvonalakkal vlasztjuk el. A szm-prokat a tblzatban nem vesszk zrjelbe, arubrikk amgy is jelzik, hogy mely kett elem tartozik ssze. Ha a tblzattlfggetlenl beszlnk egy kifizets-egyttesrl, akkor viszont megtartjuk a zrjeleketannak jelzsre, hogy a szereplk kifizetsei egytt vektort alkotnak: a fogolydilemmaesetben, ha mindkt rab vall, akkor ennek kvetkezmnye a (-5, -5) kifizetsvektor.A bimtrix felrsakor a jtkelmletben gyakran felrjk az oszlopokhoz, illetve asorokhoz tartoz stratgik neveit is (pl. bokszmeccs, koncert), st, ezek mellettgyakran feltntetik a sorokhoz tartoz stratgik kzl vlaszt gynevezett

sorjtkos nevt, illetve az oszlopok kzl vlaszt oszlopjtkos nevt (pl. n, frfi).Az is gyakori eljrs jtkelmleti munkkban, hogy az egyik jtkos nevt alhzzk,s a kifizetseket meghatroz szm-proknak azt a tagjt, ami az alhzott nev

jtkosra vonatkozik szintn alhzzk. 10

Frfi (oszlopjtkos)Verseng Kooperl

10 Ebben a kziratban mg szrkvel is szedjk az alhzott nev jtkos nevt s a r vonatkoz kifizetseket,remnyeink szerint ezzel is elsegtve a tblzat ttekinthetsgt.

16


17/86

N(sorjtkos)


Mindez a knnyebb ttekinthetsget biztostja, br matematikai szempontbl semmiolyan tbblet informcit nem tartalmaz a jtkelmletben bevett felrs, amit ne

tartalmazna a matematikai tradci szerinti felrs.

Sajnos mg azt a meghatrozst se tekinthetjk vglegesnek, ami a jtkokat mint nm-esbimtrixokat hatrozza meg. A bevezet vgn meghatroztuk az ltalunk jtkelmletihelyzetnek tekintett helyzeteket jellemz tulajdonsgokat. Ezek a kvetkezk voltak:

tbb szerepl is van a szituciban, tbb vlasztsi lehetsge is van minden szereplnek s a szereplk kifizetsei nem csak a sajt vlasztsaiktl fggnek, hanem a tbbi

szerepltl is.Teljesen vilgos, hogy ezek a tulajdonsgok teljeslnek a dollrrvers vagy az egymillidollros plyzat esetben, mikzben a helyzetet jellemz bimtrixot nem tudunk felrni.

Olyan defincit szeretnnk teht adni, mellyel lerhat minden olyan helyzet, ami a fentihrom felttelt kielgti. A kvetkez meghatrozs ilyen.

Definci. A G = (N, S, u) hrmasjtk

N= {1, 2, , n}, valamintS= S1 S2 Sn, s

u: SRn tpus fggvny,tovbb egyikSi sem reshalmaz.

Ez a vgs defincink, amelynek a korbbi defincik a specilis esetei, a kziratban vgig

ezt a meghatrozst fogjuk hasznlni.11

Nzzk meg a definci elemeit rszletesen.

N ajtkosok halmaza, lthat, hogy sszesen n darab jtkosunk vanSi az i-edik jtkos lehetsges vlasztsainak (stratgiinak) halmazaS= S1 S2 Sn a lehetsges stratgia n-esek halmaza12 (minden

jtkos vlaszt egy stratgit a szmra felknltak kzl, ezek sszessge)u a hasznossgi fggvny

u: S Rn tpus (minden stratgia n-eshez szm n-est rendel, ami rendre az 1, 2, njtkos kifizetseit adja meg)Az u fggvny felbonthat fggvnyekre (gynevezett komponensekre):

i-edik jtkos kifizetsi fggvnye: ui (s), ui: S R (vagyis a stratgia n-

esekhez nem az sszes jtkos kifizetst rendeli hozz csak az i-edikjtkost)u= u(s) = (u1(s), u2(s), , un(s)), u: S Rn vagyis tetszleges s stratgia n-eshez az u fggvny ltal rendelt vektor komponensei rendre az u1, u2, , unfggvnyek ltal azs stratgia n-eshez rendelt szmrtkek.

11 A jtkelmletben szoks hasznlni egy msik, ennl lnyegesen bonyolultabb defincit is, ami a jtkbizonyos idbeli lefolyssal kapcsolatos rszleteit kifejtettebben, ttekinthetbben ragadja meg. Ha mind akett meghatrozst hasznljk, akkor az itt ismertetett defincit a jtk norml defincijnak, a msikat

pedig a jtk extenzv defincijnak szoks nevezni.12 Csak ismtlsknt: az A sB halmazokDecartes-szorzata vagy direkt szorzata az azAB-vel jellt halmaz,

melynek elemei olyan (a, b) elem-prok, melyek els eleme az A halmazbl, msodik eleme a B halmazblval. Formlisan: AB := {(a, b): aA, bB}. Az NQ halmaz pldul olyan szm-prokbl ll, melyekels eleme termszetes szm, msodik eleme pedig racionlis, pldul (5, 2/8).

17


18/86

rdemes megjegyezni, hogy amit a jtkelmlet kvetkezetesen stratgiknak vagyalternatvnaknevez, arra az eddigi matematikai precizitst nlklz trgyalsban mintvlasztsi lehetsgekre hivatkoztunk. Ezutn a stratgia s az alternatva megnevezst fogjukhasznlni, mivel a szakirodalom is e kettt hasznlja. A hasznossgi fggvnyre gyakran utala jtkelmlet mint kifizets vagy kifizetsi fggvny. Mindegyik elnevezs szpen mutatja,

hogy a jtkelmletnek mindig is nagyon szoros kapcsolata volt a kzgazdasgtannal. Atovbbiakban kifizetsknts hasznossgkntis fogunk utalni az u fggvnyre.

Plda. Hogy jobban tlssuk a definci elemeit, rjuk fel a mr ismert fogolydilemmaesetben, hogyan alakulnak ezek. Eddig a kvetkez tblzattal adtuk meg a helyzetet.

2. rabVall Nem vall

1. rabVall -5, -5 0, -10

Nem vall -10, 0 -1, -1

Tekintsk most a formlis definci elemeit. Ebben a helyzetben kt jtkos van, teht

N= {1, 2}.

A lehetsges stratgik:

S1 = S2 = {n, v}

(ahol v jelli, hogy vall, n pedig, hogy nem vall a rab). Ennek megfelelen a stratgikhalmaza:

S= S1 S2 = {(v,v), (n,v), (v,n), (n,n)}.

A hasznossgi fggvny komponenseit most jobb hjn gy adjuk meg, hogy azrtelmezsi tartomnyuk (S) minden elemre felrjuk, hogy milyen rtket vesznek fel:

u1 esetben :

u1(v, v) = -5; u1(v, n) = 0; u1(n, v) = -10; u1(n, n) = -1,

u2 esetben:

u2(v, v) = -5; u2(v, n) = -10; u2(n, v) = 0; u2(n, n) = -1.

A hasznossgi fggvny:

u: SR2, u(s) = (u1(s), u2(s)),

az rtelmezsi tartomnya minden elemre felrva:

u(v, v) = (-5, -5); u(v, n) = (0, -10); u(n, v) = (-10, 0); u(n, n) = (-1, -1).

Ezt a bonyolult ktvltozs vektorrtk fggvnyt foglalja ssze rviden s frappnsan a

kifizetsi mtrix. Megfigyelhetjk, hogy a kifizetsi mtrix minden informcit tartalmaz,amit a kifizetsi fggvnyrl itt N, Ss u kapcsn hosszadalmasan kifejtettnk. Felmerlhet

18


19/86

az olvasban a krds, hogy akkor mirt bajldunk a kifizetsi fggvny bonyolultformjval. A kifizetsi mtrix csak a jtkok egy szk osztlynak a jellemzsre alkalmas.Gondoljunk bele, hogy ha kettnl tbb szereplnk van, akkor a kimeneteket nem lehetegyszer mtrixokkal lerni.13 Ugyangy problms, ha a jtkosnak nem csak vges sokstratgia ll rendelkezsre. Ennek klnsen nagy jelentsge van a jtkelmlet

kzgazdasgi alkalmazsainak szempontjbl, mivel a kzgazdasgtanban alkalmazottjtkelmleti modellekben nagyon gyakori, hogy a jtkosoknak vgtelen sok dntsilehetsgk van. Ez abbl addik, hogy a kzgazdasgi modellek nagyon sokszor felttelezikvltozikfolytonos oszthatsgt(Zalai, 2000), vagyis azt hogy pldul a termelt mennyisgvagy egy termk ra brmilyen nemnegatv vals szm lehet. Amennyiben vgtelen sokvlasztsi lehetsge van egy jtkosnak, akkor kifizetsi mtrixszal mr nem tudjuk

jellemezni a jtkot, ugyanakkor a tbbvltozs (s vektorrtk) fggvnyek mg mindigalkalmasak erre a clra.

ANash-egyensly a jtkelmlet legfontosabb fogalma. Elnevezse John Forbes Nash (1928) matematikus nevt rzi, aki 1994-ben kzgazdasgi Nobel-djat kapott jtkelmleti

kutatsairt. A Nash-egyensly egyszeren fogalmazva egy olyan llapot vagyis avlasztsok olyan sszessge egy jtkelmleti helyzetben, melytl egyik szereplnek semrdeke egyoldalan eltrni. Az egyoldal kifejezs itt arra utal, hogy csak tr el a korbbivlasztstl a tbbiek pedig tovbbra is ugyanazt vlasztjk, mint elzleg. Teht Nash-egyensly esetn, ha brmelyik jtkos gy tr el, akkor a vltoztat fl nem jr jobban (brazt se kveteljk meg, hogy felttlenl rosszabbul jrjon). A precz matematikai defincittbb lpsben fogjuk megadni. Elszr csak a ktszemlyes jtkokra definiljuk, majdttrnk az ltalnos n szerepls helyzet trgyalsra.

Definci. Az (N, S, u) ktszemlyes jtknak az (s1*,s2*) Sstratgia-prNash-egyenslya

s1

S1-re u1(s1s2*

)

u1(s1*

s2*

)s2S2re u2(s1*s2) u2(s1*s2*).14

Ha ez a kt felttel egyszerre teljesl, akkor beszlnkNash-egyenslyrl. Lthatjuk, hogy adefinci valban azt ragadja meg, hogy

brhogyan tr el az els jtkos az s1*-tl valamilyens1-re, a hasznossga nemlesz nagyobb (ha a msodik jtkos tovbbra iss2*-ot vlasztja), s hasonlan,

brhogyan tr el a msodik jtkos az s2*-tl valamilyen s2-re, a hasznossganem lesz nagyobb (ha a els jtkos tovbbra iss1*-ot vlasztja).

Gondoljuk t, hogy a fogolydilemma esetn a (vall, vall) stratgia-pr Nash-egyenslyt alkot.Brki is tr el ettl gy, hogy a msik megtartja a vall stratgit, nem fog a vltoztat fl

jobban jrni. Ha alaposan megvizsgljuk a nemek harca jtk kifizetsi tblzatt, ott azttalljuk, hogy kt Nash-egyensly is van. rdemes gyakorlskppen tgondolni mind a ngyktszemlyes 22-es alapjtk esetben, hogy van-e Nash-egyenslya, s ha van, akkor hny.rdemes a k-papr-oll jtkot is megvizsglni ebbl a szempontbl. A gyva nyl jtkban

pldul kt Nash-egyensly van: a (marad, kitr) s a (kitr, marad) stratgia-prok.

2. jtkosMarad Kitr

1. jtkos Marad -1000, -900 10, -90

13 Erre a clra gynevezett tenzorokat lehetne alkalmazni, melyek lnyegben a vektorok s a mtrixok tbb

dimenzis ltalnostsai.14 Emlkeztetknt: a jellel az gynevezett univerzlis kvantort szoktuk jellni a matematikban. Rvidenszlva a brmely vagy minden kifejezst formalizlja.

19


20/86

Kitr -50, 20 0, 0

Azt ltjuk teht, hogy egy jtknak lehet tbb Nash-egyenslya is. Az egyes egyenslyokkztt nagy klnbsgek is lehetnek. Mit gondol az olvas, lehetsges-e olyan helyzetetkonstrulni, ahol egyltaln nincs Nash-egyensly?

Trjnk t az ltalnos, n szemlyes helyzetre vonatkoz definci megadsra! Ez aktszemlyes definci egyszer ltalnostsaknt addik.

Definci. Az n szerepls G = (N, S, u) jtknaks* = (s1*, s2*, , sn*) S-ben Nash-egyenslya van

iN-re, siSi-re,ui(s1*, ,si 1*,si,si+1*, ,sn*) ui (s1*, ,si 1*,si*,si+1*, ,sn*).

Ebben a definciban a ktszemlyes jtk esetben adott definci kt sora helyett n sor

szerepelne, amit a i N-re megfogalmazs hasznlatval tmrtnk egy sorba. Haalaposan megfigyeljk a defincit, itt is azt fogalmazzuk meg, amit a ktszemlyes esetben,csak ltalnosan: ha az i-edik jtkos megvltoztatn az egyenslyisi* vlasztst gy, hogykzben a tbbiek kitartannak eredeti vlasztsuk mellett , akkor nem jrna jobban.A jtkelmletet hasznl kzgazdasgi elemzsek szmra a Nash-egyensly az esetekelspr tbbsgben mint a helyzet megoldsa jelenik meg. Ha egy gazdasgi szempontblrdekes szituci modelljt a kzgazdasgtan jtkelmleti eszkzkkel pti fel, akkor ahelyzet elemzse szinte mindig a Nash-egyensly megkeressre szortkozik. Az ilyenelemzsek tbbnyire hallgatlagosan azt felttelezik, hogy a helyzetben rsztvevszereplk, mivel racionlisan hozzk meg dntseiket, a Nash-egyenslyi helyzetet fogjkmegvalstani. Ez a gondolat br els megkzeltsben anyira kzenfekv, hogy sokszor

egyltaln nem szoktk mlyebben megvizsglni , egyltaln nem vitathatatlan; ksbb majdezt rszletesebben is ltni fogjuk. Klnsen nem nyilvnval ez az llspont, a pszicholgiaszmra jtkelmleti helyzetek vizsglata esetben. Valsznleg az is szerepet jtszikebben, hogy amennyire kzenfekv kiindulpontnak szokta venni a kzgazdasgtan az emberracionlis termszett, nagyjbl ugyanolyan termszetessggel szokta a pszicholgiafelttelezni, hogy az ember a dntsei tetemes rszben tvolrl sem tekinthet racionlisnak.Egyelre a kzgazdasgi megkzeltssel sszhangban nem foglalkozunk sokat a Nash-egyensly kialakulsnak s rtelmezsnek krdsvel. A jtkelmlet kzgazdasgialkalmazsnak trgyalsa utn foglalkozni fogunk a jtkelmleti helyzetek pszicholgiaivizsglatval is, ahol tzetesebben megvizsgljuk, hogy mennyiben jogos a Nash-egyenslytmegoldsnak venni, s hogy hogyan vizsglhat ennek relis mivolta.

A fogolydilemma vizsglatakor gy jutottunk arra, hogy a (vall, vall) stratgia-prt fogjkvlasztani a rabok, hogy tgondoltuk, egyikjknek sem rdemes a nem valls stratgijtvlasztani, mivel a msik jtkos vlasztstl fggetlenl a vallst vlasztva mindig

jobban jrnak, mint a nem vallst vlasztva. Ezt a gondolatmenetet ltalnostja a dominltstratgia fogalma. ltalban akkor fogjuk azt mondani, hogy az i-edik jtkos egyikstratgija dominlja a msikat, ha brmit vlaszt is a tbbi jtkos, az i-edik jtkos szmraaz elbbi stratgia legalbb akkora kifizetst biztost, mint az utbbi. A formlismeghatrozs a kvetkez.

Definci. A G = (N, S, u) jtkban azsi Si stratgia dominlja az si Si stratgit

20


21/86

(s1, ,si 1,si,si+1, ,sn) S-reui(s1, ,si 1,si,si+1, ,sn) ui (s1, ,si 1,si,si+1, ,sn).

A bevezetett terminolgit hasznlva azt mondhatjuk, hogy a fogolydilemmban mindkt rabesetben dominlja a vall stratgia a nem vall stratgit. Ezzel a fogolydilemma esetben

sszesen egy lehetsges kimenet maradt meg, a (vall, vall) stratgia-pr. A dominltstratgik elhagysval egyetlen lehetsg maradt, amirl korbban belttuk, hogy Nash-egyenslyt alkot. Ez nem vletlen, knnyen tgondolhat, hogy ha valamely siSi stratgitdominlja valamelyik msik Si-beli stratgia, akkor si nem szerepelhet egyetlen Nash-egyenslyban sem. gy ha egy jtk Nash-egyenslyt keressk, megtehetjk, hogy avizsglat sorn elhagyjuk azokat a stratgikat, melyeket dominlnak ms stratgik. Adominlt stratgik elhagysval lnyegben egy jabb jtkhoz jutunk, melyben lehetsges,hogy a dominlt stratgiknak megfelel sorok s oszlopok elhagysnak hatsra jabbstratgikat feledznk fel, melyek immr ebben az j jtkban dominltak ms stratgikltal. Ezek szintn nem tartozhatnak egyetlen Nash-egyenslyhoz sem, gy ha csak a Nash-egyenslyokat keressk, ezeket is elhagyhatjuk.

Plda. Tekintsk a kvetkez 32-es bimtrix ltal lert jtkot. Kt jtkosunk van,tehtN= {1, 2}, az els jtkosnak hrom stratgia ll rendelkezsre: S1 = {a1, a2,a3}, a msodiknak kett: S2 = {b1, b2}. Ebben a felrsban egyetlen olyan stratgittallunk, amit dominlna valamilyen msik stratgia: az a1-et dominlja az a2, hisz

brmit vlaszt a msodik jtkos, az els kifizetse mindig nagyobb lesz az a2 stratgiamellett, mint az a1 stratgia mellett.

b1 b2a1 3, 6 7, 1

a2 5, 1 8, 2

a3 6, 0 6, 2

Tbb dominlt stratgit nem tallunk, a3 nem dominlja a1-et vagy a2-t, se fordtva,valamint b1 s b2 kzl se dominlja egyik se a msikat. Ha viszont elhagyjuk az a1-hez tartoz sort a bimtrixbl, az gy kapott j jtkban tallunk jabb dominltstratgit: b2 dominlja a b1-et.

b1 b2

a2 5, 1 8, 2a3 6, 0 6, 2

Igaz, hogy a kiindul jtkunkban b2 nem dominlta a b1-et, hisz ha az els jtkos a1-et vlaszt, akkor a b1 stratgia a jobb a msodik jtkos szmra, ha viszont a2-t vagya3-at, akkor a b2. m az elbb tgondoltuk, hogy az a1 dominlt stratgia, s hafelttelezzk, hogy racionlis dntshoz ilyet nem vlaszt, akkor ennek ismeretbenmr tekinthetjkb1-et is dominlt stratginak. Tbb dominlt stratgit ebben a 22-es bimtrixban nem tallunk. Viszont ha most a b1-hez tartoz oszlopot hagyjuk el a

bimtrixbl, akkor a kvetkez bimtrix ltal lert jtkhoz jutunk.

b2

a2 8, 2a3 6, 2

21


22/86

Ebben a bimtrixban megint tallunk dominlt stratgit: a2 dominlja a a3-at.Egyetlen lehetsges kimenet maradt, ami az (a2, b2) stratgia-prhoz tartozik.

b2

a2 8, 2

Mivel dominlt stratgik elhagysval Nash-egyenslyt soha nem hagyunk el, gy haa jtknak van egyltaln Nash-egyenslya, akkor az csak az (a2, b2) lehet.Megvizsglva ezt a stratgia-prt arra jutunk, hogy az valban Nash-egyenslyt alkot.

b1 b2a1 3, 6 7, 1

a2 5, 1 8, 2

a3 6, 0 6, 2

Az itt bemutatott algoritmust, melynek sorn a Nash-egyenslyok vizsglata kzbenelhagytuk a dominlt stratgikat, majd az gy kapott j jtkban ismt elhagytuk a dominltstratgikat s gy tovbb, a dominlt stratgik iterlt elhagysnakhvjuk. tgondolhat,hogy a dominlt stratgik iterlt elhagysval soha nem hagyunk el Nash-egyenslyokat.

Megeshet, hogy ez az algoritmus mr az els lpsben csak egyetlen stratgit hagy megvalamelyik jtkos szmra. Ez akkor lehetsges, ha az adott stratgia a jtkos sszes tbbistratgijt dominlja, vagyis ha teljesl r, hogy a tbbi jtkos vlasztstl fggetlenlsemelyik msik stratgit vlasztva nem jutna nagyobb kifizetshez. Ilyenkor azt mondjuk,

hogy az illet stratgia dominns stratgia a jtkos szmra. Erre ltunk pldt az albbibimtrixban.

b1 b2 b3 b4a1 4, 0 3, -5 5, -1 -5, 0

a2 6, 6 -8, 6 2, -7 0, 1a3 6, 4 -7, 3 4, -1 -1, 2

Lthat, hogy a b1 stratgia dominlja a msodik jtkos sszes tbbi stratgijt, vagyis a b1a msodik jtkosnak dominns stratgija. Brmit vlaszt is az els jtkos a1, a2, s a3kzl, a msodik jtkos nem jrhat jobban, ha b1 helyett a b2-t b3-at vagy a b4-et vlasztja

(br ha alaposan megfigyeljk nem is jr felttlen rosszabbul). Ha a dominlt stratgik iterltelhagyst alkalmaznnk erre a jtkra, rgtn az els lps utn olyan bimtrixhoz jutnnk,aminek csak egy oszlopa van. Tekintsk most az ltalnos, formlis defincit!

Definci. A G = (N, S, u) jtkban azsi*Si stratgia dominns stratgia az i-edik jtkosszmra,

(s1, ,si 1,si,si+1, ,sn) S-re s si Si-reui(s1, ,si 1,si,si+1, ,sn) ui (s1, ,si 1,si*,si+1, ,sn).

Ha alaposan megvizsgljuk, a definci azt mondja ki, hogy brhogy vlasztunk ki egy

stratgia n-est, abban az i-edik jtkos stratgijt akrmilyen ltala vlaszthat stratgiracserljk ki, a kifizetse nem lehet nagyobb, mint ha az si*-ra cserlnnk ki. Ha az i-edik

22


23/86

jtkos gondolkods nlkl az si* stratgit vlasztja, mindegy, hogy a tbbi jtkos mitvlaszt, nem fogja megbnni.

Mivel a jtk defincijval mr rendelkeznk, lehetsgess vlik a nemek harca kapcsn mremltett keverts tiszta stratgikfogalmnak pontos matematikai megragadsa is.

Definci. Az i-edik jtkos kevert stratgija az (N, S, u) jtkban egy valsznsgivltoz Si felett.15

Ez a meghatrozs azt ragadja meg pontos matematikai formban, amit mr a nemek harcajtk kapcsn is vzoltunk: az i-edik jtkos nem egy stratgit vlaszt ki a vlaszthatstratgik Si halmazbl, hanem azt szabja meg, hogy ennek elemei, rszhalmazai milyenvalsznsggel kerljenek kivlasztsra. Abban a specilis esetben, amikorSi vges, akkor ezazt jelenti, hogy az i-edik jtkos minden vlasztsi lehetsghez vagyis az Si halmazminden egyes elemhez hozzrendel egy-egy 0 s 1 kztti valsznsget, melyek sszege1. Teht ha Si egy kelem halmaz, akkor a lehetsges kevert stratgik mind felrhatk olyan

k-dimenzis (p1,p2, ,pk) vektorok formjban, ahol 0

pi

1 (i = 1, 2, , k) sp1 +p2 + +pk = 1.Vlaszthatja pldul a k-papr-oll jtk egyik jtkosa azt a kevert stratgit, hogy az esetek90%-ban kvet mond, 5-5%-ban pedig paprt s ollt. Vlasztsi lehetsgeinekSi halmazaa {k, papr, oll} halmaz, az elemeihez rendelt valsznsgek pedig rendre 0,9; 0,05 s0,05, melyek sszege valban 1. Ezt a kevert stratgit a matematikai trgyals a (0,9; 0,05;0,05) vektorral azonostja.

A kevert stratgik bevezetse arra is lehetsget teremt a jtkelmletben, hogy olyanhelyzeteket vizsgljunk, melyben bizonyos, a jtkot befolysol, kls adottsgokat nemismernk pontosan. Kzgazdasgi terminolgival szlva a bizonytalan extern hatsok

modellezse vlik lehetv. Az ilyen helyzetek vizsglatra egy fiktv szereplt szoktunkbeiktatni a jtkba, akit termszetnek neveznk. A termszet a jtkelmleti modellekbenmindig kevert stratgival jtszik, s tbbnyire a jtk legels lpsben klnbzvalsznsgek szerint meghatrozza, hogy a lehetsges krlmnyek kzl melyikvalsuljon meg.Tegyk fel pldul, hogy az raik cskkentsn tpreng benzinkutasok azt is szreveszik,hogy tlagosan minden negyedik napon lnyegesen gyngbb forgalmuk van, mintegybknt, de a gyengbb forgalm napok eloszlsban nem kpesek semmilyenszablyszersget felfedezni. Azt is ltjk, hogy ha nincs gyenge nap, akkor a kifizetseik amr megismert tblzat alapjn alakulnak, mg ha gyenge van, akkor egy msik bimtrixkpes lerni a lehetsges kimenetekhez tartoz kifizetseket.

2. benzinktCskkent Nem cskkent

1. benzinktCskkent -1, -1 1, -5

Nem cskkent -5, 1 0, 0

Ezt a szitucit gy modellezi a jtkelmlet, hogy felttelezi, hogy a jtkban rszt vesz egytermszet nev jtkos is, aki eldnti, hogy az adott nap gyenge lesz-e vagy nem, mghozz

15 Ismtlskppen: az Si felett rtelmezett valsznsgi vltoz terminolgia valsznsgszmtsiszempontbl azt jelenti, hogy az Si az az esemnytr, melyen rtelmezett egy olyan -algebra, melyre nzve avalsznsgi vltoz mrhet fggvny. A kziratban a pontos valsznsgelmleti felptsbe nem

merlnk bele, az olvas br matematikai szempontbl nem teljesen pontos elkpzelheti gy a kevertstratgikat, mintha az Si minden elemvel kapcsolatban megmondan az i-edik jtkos, hogy milyenvalsznsggel fogja jtszani.

23


24/86

gy, hogy 1/4 valsznsggel vlasztja a gyenge stratgit, s 3/4 valsznsggel atlagos stratgit. A kt benzinkutas anlkl, hogy ismern a termszet dntst meghozza a dntseit arrl, hogy rat cskkent-e vagy nem, majd a hrom szerepl dntseiegyttesen hatrozzk meg a kifizetseket. A termszet dntse hatrozza meg, hogy melyik

bimtrixot hasznljuk, a kt benzinkutas dntse pedig hogy melyik sorhoz illetve oszlophoz

tartoz kifizetseket kell figyelembe venni.A krtyajtkok jtkelmleti modelljt szintn a termszet bevonsval lehet felpteni. Azels lpsben a termszet meghatrozza, hogy kinek milyen lapok jutnak, majd ezek utn ittmost a termszet dntst rszben ismerve dntik el a jtkosok, hogy hogyan fognak

jtszani. A fej vagy rs jtk jtkelmleti modelljben is megjelenik a termszet. rdekesmdon itt csak kt dntshoz lesz, az egyik jtkos, s a termszet, kifizets viszont a kt

jtkost illeti meg. Az egyik jtkos meghatrozza, hogy fejet vagy rst akar-e jtszani, sezzel el is dl, hogy a msik jtkos az ennek megfelel ellenttes stratgit jtssza. Ezutn atermszet eldnti, hogy a fej, vagy az rs-e a nyer, majd megtrtnnek a kifizetsek.A termszet mg az absztrakt matematikai modell szintjn is klnbzik a tbbi szerepltl: atermszet nev jtkosnak ezekben a pldban nincs kifizetse, s ennl fogva nem is

trekszik az egyni haszna maximalizlsra. ltalban is, a termszetnek nem szokottkifizetse lenni a jtkelmleti modellekben. gy a racionlis dntshozs kpessgt se lehetrtelmezni vele kapcsolatban. A kvetkezmnyek mrlegelse nlkl, elre meghatrozottvalsznsgek szerint megszabja, hogyan alakuljanak a jtk kls, de bizonytalan felttelei.

A tiszta stratgia a kevert stratginak az a specilis esete, amikor az Si egyik kitntetettelemhez 1-et, az sszes tbbihez nullt rendel az i-edik jtkos.16Gondoljunk bele, hogy ezazt jelenti, hogy az illet 100%-os valsznsggel a kitntetett stratgit vlasztja, s azonkvl az sszes tbbit 0%-os valsznsggel.Annak, hogy a tiszta stratgikat, mint a kevert stratgik specilis eseteit tudtukmeghatrozni az a matematikai jelentsge, hogy innentl fogva nem szksges kln

vizsglni a kevert s a tiszta stratgik eseteit. A jtkelmlet matematikai felptse ennekmegfelelen sokszor egyltaln nem foglalkozik a tiszta stratgikkal: egybl kevertstratgikra lt be lltsokat, s ezzel ennek specilis esete lesz a tiszta stratgik esete.

A kevert stratgia fogalmnak komoly elmlettrtneti jelentsge is van akzgazdasgtanban (Roth, 1995). Ahogyan azt a nemek harca kapcsn lttuk, kevertstratgik vlasztsa esetn vrhat kifizetsrl vagy vrhat hasznossgrl beszlnk, azaz akifizets vrhat rtkt szmtjuk ki a valsznsgszmts szablyai alapjn. A

jtkelmleti kevert stratgia fogalmn keresztl nyert ltjogosultsgot a kzgazdasgielmletalkotsban a hasznossgfelfogsok kztt a vrhat hasznossg fogalma. Ez akoncepci tette lehetv, hogy olyan, bizonytalan kimenetekkel rendelkez helyzetek is

vizsglhatv vljanak, ahol nem egyrtelm a dntsek kvetkezmnye. A f krds az ilyenhelyzetek kzgazdasgi elemzsvel kapcsolatban az, hogy vajon mi alapjn optimalizl adntshoz, ha nem tudja, hogy mi lesz a dntse kimenete. A valsznsgszmtseszkzeit felhasznlva erre elegns vlasz adhat: egyszeren a lehetsges kimenetekheztartoz hasznossgok vrhat rtkt kell szmtani. A vrhat hasznossg fogalmnakpreczmatematikai megfogalmazsra, s a mgtte meghzd aximarendszer formalizlt

felptsre elszr a jtkelmlet vllalkozott, pont a kevert stratgik bevezetse cljbl(Camerer, 1995). Ezen keresztl a jtkelmletnek abban is nagy rdeme van, hogy akzgazdasgi gondolkodsba a XX. szzad msodik feltl fogva egyre inkbb teret nyert a

16 Ez a meghatrozs nem teljesen precz, valjban csak megszmllhat elemszm Si esetn igaz. A tiszta

stratgia valsznsgelmleti szempontbl pontos defincija gy hangzik: az i-edik jtkos tiszta stratgijaegy olyan valsznsgi vltoz Si felett, melynek eloszlsfggvnye F(x) = 0 ha x x0 s F(x) = 1 ha x > x0alak valamilyen megfelelx0 rtkre.

24


25/86

valsznsgszmts, mint a bizonytalan helyzetek matematikai trgyalsmdjnak hatkonyeszkze.

Definci. Kevert stratgia esetn, vges Si-k esetn, kt jtkos esetn az els jtkosvrhat kifizetse (vagy egyszerbben csak kifizetse17)

= =

l

i

k

j

jiji qpbau1 1

1),( ,

aholpi annak a valsznsge, hogy az i-edik stratgit vlasztja az els jtkos,qj annak a valsznsge, hogy aj-edik stratgit vlasztja a msodik jtkos,u1(ai, bj) az u(ai, bj) hasznossgi fggvny els komponense (ami az els jtkos

kifizetst adja meg abban az esetben, ha az els jtkos az ai a msodik pedig a bjalternatvt vlasztotta) tovbb

ks ldarab vlasztsi lehetsge van rendre az els illetve a msodik jtkosok.18

Alaposabban szemgyre vve belthat, hogy ez a kplet ltalnos megfogalmazsa annak,amit a nemek harca jtk bemutatsakor a vrhat kifizets kiszmtsa kapcsn elmondtunk.A kplet a lehetsges kimenetekhez tartoz kifizetseket (u1(ai, bj)) sszegzi a lehetsgeskimenetek bekvetkezsi valsznsgvel (piqj) slyozva.Analg mdon definilhat a msodik jtkos kifizetse, az egyetlen klnbsg, hogy amsodik komponensfggvny szerint kell sszegezni. A kplet tekintetben ez praktikusanannyi vltoztatst jelent, hogy az u1 fggvny indext 1-esrl 2-esre kell vltoztatni. Az nszerepls helyzetre val ltalnosts egyik lehetsges felrsa a kvetkez.

Definci. Az n szerepls G = (N, S, u) jtknak kevert stratgia esetn, vges Si-k esetn, azi-edik jtkos vrhat kifizetse (vagy egyszerbben csak kifizetse)

Ss

i spsu )()( ,

ahol ui(s) nyilvn az u fggvny i-edik komponensnek rtke azs stratgia n-es esetn,p(s)pedig annak a valsznsge, hogy az n jtkos egyttes vlasztsa eredmnyeknt pp az sstratgia n-es valsul meg.19

Nem megszmllhat Si-k esetn a fogalom ltalnostsa szintn a vrhat rtkfogalmnakfelhasznlsval trtnik, egsz pontosan a folytonos valsznsgi vltozk vrhat rtkt

kell bepteni a definciba, de ez bonyolultsgban tlmutat a kzirat keretein, s nem sokhozadka van az elmlet trgyalsa szempontjbl az ltalunk kitztt szinten, gy eltekintnktle.

Kevert stratgik esetn a Nash-egyensly defincija is mdosul, de az alapgondolatamegmarad: egyetlen szereplnek sem rdeke egyoldalan stratgit vltoztatni (teht gy,hogy a tbbiek nem vltoztatnak). A klnbsg lnyege az, hogy a stratgia vltoztats most

17 Ha egy jtk esetben egyrtelm, hogy kevert vagy tiszta stratgik krben gondolkodunk, akkor mivela megrtst nem zavarja nem szoktuk kln kihangslyozni, hogy vrhat kifizetsrl van-e sz, egyszerencsak kifizetst mondunk.18 Valsznsgszmtsban jratos olvas felismerheti, hogy a kplet az u1 komponensfggvny vrhat

rtkt adja meg fggetlen (p1,p2, , pl) s (q1, q2, , qk) valsznsgi eloszlsok mellett.19 Vilgos, hogy ap(s) fggvny a ktszemlyes helyzet piqj tnyezjnek ltalnostsa, s egybknt szintnaz egyni vlasztsok valsznsgnek szorzataknt addik.

25


26/86

azt jelenti, hogy valaki megvltoztatja az ltala vlasztott valsznsgi vltozt. Lssuk apontos defincit!

Definci. Legyen G = (N, S, u) egy n szerepls jtk, legyenek a jtkosok szmramegengedve a kevert stratgik. Legyen S = S1 S2 Sn, s jellje P1, P2, , Pn

rendre az S1, S2, , Sn halmazok felett rtelmezhet valsznsgi vltozk halmaztvalamint legyen P= P1 P2 Pn.20 Jellje tovbb Eui(p) az i-edik jtkos vrhatkifizetst tetszlegespPkevert stratgia n-es esetn.A G jtknak ap* = (p1*,p2*, ,pn*) P-ben Nash-egyenslya van

iN-re, piPi-re, Eui(p1*, ,pi*,pi,pi+1*, ,pn*) Eui (p1*, ,pi*,pi*,pi+1*, ,pn*).

Korbban felvetettnk egy olyan kevert stratgit a k-papr-oll jtkban, melyben valaki90%-os valsznsggel mond kvet s 5-5%-os valsznsggel paprt illetve ollt.Vizsgljuk meg, hogy lehet-e Nash-egyensly, ha mindketten ezt a (0,9; 0,05; 0,05) kevertstratgit jtsszk! Tekintsk elszr az sszes lehetsges kimentek valsznsgeit.

K(0,9)

Papr(0,05)

Oll(0,05)

K(0,9)

0,81 0,045 0,045

Papr(0,05)

0,045 0,0025 0,0025

Oll(0,05)

0,045 0,0025 0,0025

Ebbl mr szmthatk a vrhat kifizetsek. Az els jtkos:

0)0025,02045,0()1()0025,02045,0(1)20025,081,0(0 =+++++ .

A msodik jtkos kifizetse pont ugyangy addik 0-nak. Akkor Nash-egyensly ez a kevertstratgia-pr, ha egyik jtkos se tud jobb kifizetshez jutni a sajt valsznsgeinekmegvltoztatsval gy, hogy a msik kzben megtartja a kiindul valsznsgi eloszlst.Gondoljuk t, mi trtnik akkor, ha az oszlopjtkos ttrt a (0, 1, 0) stratgira, vagyis arra,hogy mindig paprt mond. Ekkor az esetek 90%-ban nyer (1 kifizets), 5%-ban jtszikdntetlent (0 kifizets) s 5%-ban veszt (1 kifizets). Ennek megfelelen a vrhatkifizetse 0,9 0,05 = 0,85 lesz (s mivel a kifizetsek a kt jtkos szmra egyms 1-szeresei, gy a sorjtkos vrhat kifizetse 0,85). Lthat, hogy a sorjtkos szmra

lehetsg van olyan egyoldal stratgiavltoztatsra, melynek eredmnyekpp n a vrhatkifizetse, teht a kiindul kevert stratgia-prnem alkot Nash-egyenslyt.Ez egybevg az intucinkkal is: ha a k-papr-oll jtkban az vennnk szre, hogy azellenfelnk tz esetbl kilencszer kvet mond, mi is egyre gyakrabban mondannk paprt,s ha nem vltoztat a stratgijn, akkor elg gyakran nyerni fogunk vele szemben. Nemegyenslyi llapot teht ez racionlis jtkosok kztt.Megmutathat, hogy racionlis jtkosok a k-papr-oll jtkban hossz tvon nem tudnak0-nl jobb eredmnyt elrni egyms ellen. Kicsit pontosabban fogalmazva: ha a jtkosokegyarnt kifizetseik maximalizlst tartjk szem eltt, akkor brhogy vlaszt (p1, p2, p3)kevert stratgit az egyik jtkos, a msik tud olyan (q1, q2, q3) kevert stratgival vlaszolni

20 Knnyen belthat, hogy ebben a jellsrendszerben az i-edik jtkos szmra vlaszthat kevertstratgikhalmaza tulajdonkpp pont aPi halmaz, s gy aPhalmaz, az n jtkos ltal vlaszthat kevert stratgia n-esekhalmaza.

26


27/86

erre, hogy az elbbinek a vrhat kifizetse 0 legyen, vagy mg kevesebb. Persze havalamelyik jtkos nem racionlis, akkor lehet 0-nl nagyobb vrhat kifizetst elrni, ahogyazt elbb tgondolt plda is mutatja.Azt is meg lehet mutatni, hogy ebben a jtkban aminek tiszta stratgikban knnyentgondolhatan nincs Nash-egyenslya kevert stratgik esetn egyetlen Nash-egyenslya

van: amikor mindkt jtkos ugyanakkora esllyel jtssza mind a hrom stratgit, vagyismikor mindkettjk kevert stratgija az (1/3, 1/3, 1/3) vektor. Amennyiben az egyik jtkosettl eltr, s egy kicsit is nagyobb valsznsggel jtssza az egyik stratgit mondjuk apaprt akkor a msiknak rdemes lesz gyakrabban jtszani azt a stratgit, ami eztlegyzi ez esetben az ollt s ezzel pozitv vrhat nyeresgre tesz szert. Ettl astratgia-prtl teht egyik jtkosnak sem rdemes egyoldalan eltrnie.A kevert stratgik fogalmnak egy nagyon fontos tulajdonsgt lttuk most. Egy olyan

jtknak, melynek tiszta stratgik tekintetben nincs Nash-egyenslya kevert stratgikesetben van. A jtkelmlet kt kiugran fontos ttele egyarnt a kevert stratgik fogalmthasznlja fel, hogy a jtkok egy-egy kimondottan szles krrl mutassa megltalnossgban, hogy azoknak van Nash-egyenslya. A matematikai trgyals tekintetben f

clunk ennek a kt ttelnek a megismerse.A kvetkezkben jtkok kt nagyon fontos csoportjt fogjuk elklnteni egymstl.Alapveten klnbznek egymstl azok a jtkok, melyek vges sok lehetsges llapottalrendelkeznek s azok, amelyekvgtelen sokkal. Szpen lehet ezt demonstrlni a Bachet-fle

jtk nhny aprbb mdostsval.A jtkban a jtkosok felvltva viszik kzelebb az ltaluk mondott szmok sszegt a 100-hoz, minden lpsben a soron kvetkez jtkos legalbb 1-gyel, s legfeljebb 10-zel kzeltiaz sszeget, aki 100-ra tudja kiegszteni az sszeget, az nyer. Megmutattuk, hogy a jtknakvan nyer stratgija, s ez kt racionlis jtkos esetn a kezd jtkos szmra llrendelkezsre. Vilgos, hogy a jtk lnyegt tekintve nem sokat vltozik, ha annyit

mdostunk rajta, hogy a jtkosok nem csak az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 szmokat adhatjkaz sszeghez amikor rajtuk a sor, hanem a 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5szmokat is. Ezzel a mdostssal lnyegben annyit vltoztattunk, hogy nem csakegszeket, hanem feleket is lehet lpni. Tulajdonkpp olyan, mintha az elz 100 fok ltrn

jtszott jtkot most 200 fok ltrn jtszannk, s nem csak 1 s 10 kztti szm fokot lehetegyszerre lpni, hanem 1 s 20 kzttit. Ugyanazzal a gondolatmenettel megoldhat a jtk,mint az eredeti esetben: aki kimondja a 89,5-t, az nyer, st, aki kimondja a 79-et az nyer, sgy tovbb. A korbbi jtk nyer szmainak 89, 78, 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1 sorozata most a89,5; 79; 68,5; 58; 47,5; 37; 26,5; 16; 5,5 sorozatra mdosul, tovbbra is az els jtkosnakvan nyer stratgija.Knnyen tgondolhat, hogy ugyanez a logika teljesl akkor is, ha harmadokat,

negyedeket vagy akr n-edeket is lehet lpni (ahol n valamilyen termszetes szm).Mindhrom esetben ugyanazzal a logikval vgiggondolhat, hogy hogyan lehet megnyerni ajtkot, s mindig lesz benne nyer stratgia. Egszen megvltozik ellenben a jtk akkor, havgtelen sok vlasztsi lehetsget biztostunk a jtkosok szmra, pldul gy, hogyminden fordulban brmilyen 0 s 10 kztti racionlis vagy akr vals szmot mondhatnak.Ezekben az esetekben nem lehet az elbbiekben megszokott logikval megllaptani a jtknyer stratgijt. Mivel mindkt esetben tetszlegesen kis rtknl kisebbet is lehet lpni,gy visszagngylteni a jtkot, mint korbban. Aki a [90, 100) intervallumba juttatja amondott szmok sszegt, az biztosan veszt, de mindkt jtkos tetszlegesen sokig tudjaksleltetni azt, hogy ebbe az intervallumba juttassa az sszeget. Ennek a jtknak nemcsak, hogy nem tudjuk megtallni a korbbi logikval a nyer stratgijt, de ennek a

jtknaknincs is nyer stratgija.Ami miatt nem mkdik az elz logika az az, hogy most tetszlegesen kis rtknl is tudmindkt jtkos kisebbet lpni, s ehhez kell, hogy vgtelen sokfle vlasztsi lehetsgk

27


28/86

legyen minden egyes fordulban. Nem csak ebben a jtkban, hanem ltalban is nagyjelentsge van annak, hogy a jtkosok szmra vges vagy vgtelen sok vlasztsi lehetsgll rendelkezsre. Ha nem engedjk meg, hogy a jtknak vgtelen sok lehetsges kimenetelegyen, vagyis hogy az Shalmaznak vgtelen sok eleme legyen, akkor a jtkok egy olyan jlkezelhet osztlyt kapjuk, melyekre fontos sszefggsek teljeslnek, melyek az S

vgessgnek feladsval mr nem felttlen llnak. Ezrt rdemes a vges jtkok fogalmtdefinilnunk a jtkelmletben.

Definci. Az G = (N, S, u) jtkvges,

|N| < , |Si| < , (i = 1, 2, 3, , n).

Lnyegben annyit fogalmaz meg a definci, hogy vges sok jtkos van, s mindenjtkosnak vges sok vlasztsi lehetsge van. A definci megadsa elttigondolatmenetben az S halmaz vgessge jelent meg vzvlasztknt, de knnyentgondolhat, hogy az Shalmaz vgessge s az Si halmazok egyttes vgessge ekvivalens

egymssal: az egyik akkor ll fenn, ha a msik s fordtva.A jtk ltalnos defincija alapjn az |N| < felttel valjban nem is szksges, hisz azNhalmazt mr a jtk defincijban egy n elem, teht vges halmazknt hatroztuk meg. Amimiatt a vges jtk defincijban ezt ltalban mgis emlteni szoktk, az az, hogy lehetsgesa jtkok fogalmt olyan helyzetekre is kiterjeszteni, melyeknek vgetlen sok szereplje van.A matematikusok nha szoktak is olyan jtkokat vizsglni, melyben vgtelen sok szerepltfeltteleznek. (Ezek a helyzetek a mi szkebb defincink szerint nem is minslnnek

jtknak.)Ltni fogjuk, hogy a vges jtkok nhny nagyon hasznos tulajdonsggal rendelkeznek,ugyanakkor a kzgazdasgi alkalmazsokesetben azt is tapasztalni fogjuk, hogy ott nagyon

gyakori a nem vges jtkok hasznlata is. Hogy a kzgazdasgtan nagyon gyakran pt nem

vges jtkokat a modelljeibe, annak oka az a korbban mr emltett gyakorlat, hogy akzgazdasgtan szereti felttelezni az ltala hasznlt vltozk folytonos oszthatsgt, nemkis mrtkben azrt, mert az ilyen vltozk knyelmesebben kezelhetk a mr begyakoroltmatematikai eszkzkkel (pl. lineris algebra, kalkulus).

A jtkok egy msik nagyon fontos osztlyt alkotjk azok a jtkok, melyekben a jtkosokcsak egymstl tudnak nyerni. Ilyen jtk pldul az ulti, vagy a mr vizsglt k-papr-oll

jtk, a bevezetett kifizetsi tblzattal. ltalban is ilyen minden olyan nyer-veszt vagynyer-veszt-dntetlen kimenetekkel rendelkez ktszemlyes jtk, ahol ezeket a kimeneteketa szoksos kifizetsekkel ltjuk el (nyers 1, dntetlen 0, veszts 1), s ahol az egyik jtkosgyzelme szksgszeren a msik veresgt okozza.

Az ilyen jtkok kzgazdasgi alkalmazsnak klnsen nagy slyt ad, hogy akzgazdasgtan egyik kzpponti fogalma a szkssg. A legtbb szks erforrs elosztsaolyan tbbszerepls helyzet, melyben egy szemly csak a msik rovsra javthat azllapotn, lnyegben csak egymstl tudnak nyerni a szereplk. Ilyen helyzet lehet pldul a

piaci rszesedsrt val verseny, vagy a kzdelem valamilyen szks termelsi tnyezrt. Afogalmat elszr ktszemlyes helyzetekre hatrozzuk meg.

Definci. A G = (N, S, u) ktszemlyes jtkzrussszeg

sS-re u1(s) = u2(s)

Lthat, hogy a meghatrozs azt ragadja meg, hogy minden egyes stratgia n-es esetben azegyik jtkos nyeresge a msik vesztesge. rdemes megjegyezni, hogy attl, hogy egy jtkvalami szks erforrs feletti elosztsi problmt modellez, mg nem biztos, hogy

28


29/86

zrussszeg jtk lesz. A benzinkutasok rversenyt ler helyzet a kt kutas vevk felettiversenyt rja le. A vevk nyilvnvalan szksen llnak a vllalat rendelkezsre, ha nemgy volna, fel se merlne az rcskkents alternatvja. Ugyanakkor egyetlen pillantssalmegllapthat a bimtrix alapjn, hogy ez a jtk nem zrussszeg a fenti defincirtelmben, ahhoz ugyanis az kellene, hogy minden rubrikban egy szm s annak a 1-

szerese szerepeljen. A defincink nem pontosan azt ragadja meg, hogy az egyik szereplcsak a msik krra tud a helyzetn vltoztatni, hanem ennek egy specilis esett: amikor azegyik szerepl brmennyivel is javt a sajt helyzetn pontosan ugyanannyival rontja a msikhelyzett.Az n-szemlyes esetben a definci egy kicsit vltozni fog. Az ulti esetben ahol 3 szemly

jtszik , nem az ll fenn, hogy az egyik jtkos nyeresge a msik nyeresgnek 1-szerese.Ha valaki pldul sikeres ultit jtszik, akkor (10 fillres alapon jtszva) mindkt ellenfele 40-40 fillrt fizet neki, gy az nyeremnye 80 fillr, a msik kt jtkos nyeresge egyarnt 40 fillr lesz. Az definil tulajdonsg teht az lesz, hogy az sszes jtkos egyttesnyeresge 0.

Definci. A G = (N, S, u) n-szemlyes jtkzrussszeg

sS-re 0)(1

==

n

i

i su .

A zrussszeg jtk koncepcijnak az a megfogalmazsa, miszerint mindenki csak atbbiek rovsra tud javtani a helyzetn, knlja, hogy a fogalmat sszevessk akzgazdasgtan egy msik nagyon fontos, tbbszerepls helyzetekre vonatkoz fogalmval, a

Pareto-hatkonysggal. 21 Ha tgondoljuk a zrussszeg jtkokrl elmondottakat, akkorvilgos, hogy annak minden stratgia n-ese olyan, hogy azon nem lehetsges Pareto-javtsteszkzlni. Ez azt jelenti, hogy az ilyen jtknak minden lehetsges kimenete vagyis

minden stratgia n-ese Pareto-hatkony.

A bimtrixokat eddig bizonyos jtkok ttekintsre hasznltuk. Lttuk, hogy bizonyosjtkokat egyrtelmen meghatroznak a bimtrixaik, azaz matematikai szempontbllerhatak bimtrixokkal, msok esetben egyltaln nem volt egyrtelm, hogy megadhatlenne-e ilyen bimtrixok, vagy nem. rdemes meghatrozni, hogy melyik a jtkoknak az azosztlya, melyek matematikai szempontbl egyrtelmen lerhatak egy bimtrixszal.

Definci. A bimtrix jtkoka ktszemlyes vges jtkok.

Ezzel ekvivalens, formlisabb meghatrozs a kvetkez.

Definci. A G = (N, S, u) jtkbimtrix jtk |N| = 2 s |S| < .

A kt definil tulajdonsg pont azt a kt jellegzetessget ragadja meg, ami biztostja azt,hogy egy jtk lerhat legyen egy bimtrixszal.

21 Ismtlskpp: Sokszerepls helyzeteket sszehasonltva akkor mondjuk, hogyA helyzet Pareto-javtsa aB-nek, ha A-ban mindenki legalbb olyan hasznossghoz jut, mint B-ben, s legalbb az egyik szereplhasznossga magasabb A-ban, mint B-ben. Tekinthetjk teht a Pareto-javtst olyan vltozatsnak, melysenkinek nem ront a helyzetn, de legalbb az egyik szerepln javt. Egy helyzetet akkor neveznk Pareto-

hatkonynak, ha nem ltezik Pareto-javtsa, vagyis ha nem lehet gy vltozatni rajta, hogy mindenszereplnek legalbb ugyanolyan j legyen a helyzete, de legalbb az egyik javuljon. A szakirodalom Pareto-hatkonysg helyett a Pareto-optimum vagy Pareto-optimlis vlaszts kifejezst is szokta hasznlni.

29


30/86

A jtk ktszemlyes mivolta biztostja, hogy a kifizets-vektorok szm-proklegyenek, ha hrom vagy tbb szemlyes lenne, akkor a jtk minden kimenethezegy 3 vagy tbb dimenzis kifizets-vektor tartozna.

A jtkvgessge biztostja, hogy a lehetsges vlasztsok mindkt jtkos esetbenfelsorolhatak legyenek, s hogy a felsorols vget rjen, ami szksges s elgsges

felttele annak, hogy egy megfelel bimtrix sorainak s oszlopainak feletessk megaz egyik illetve a msik jtkos stratgiit.Vilgos hogy minden ktszemlyes, vges jtk maradktalanul lerhat egy megfelel

bimtrixszal, s minden bimtrixszal lerhat jtk ktszemlyes s vges. Ez magyarzza abimtrix jtk elnevezst. Mivel az ilyen jtkok s az ket ler bimtrixok matematikaiszempontbl lnyegben azonosak, gy az ilyen jtkokat gyakran eleve a bimtrixukkaladjk meg. Ha teht egy jtkelmleti munkban pldul azzal tallkozunk, hogy tekintsk akvetkez jtkot:

)0,0(),(),(

),()0,0(),(

),(),()0,0(

32323131

23232121

13131212

baba

baba

baba

,

vagy, hogy tekintsk az (aij, bij)nm jtkot akkor ez alatt az adott bimtrix ltalmeghatrozott bimtrix jtkot kell rtennk.Tulajdonkpp mr korbban is tallkoztunk a bimtrix jtkokkal. Amikor a ngyktszemlyes 22-es alapjtk kzs tulajdonsgaibl kiindulva igyekeztnk meghatrozni a

jtkok ltalnos defincijt, akkor felvetdtt, hogy esetleg gy lehetne definilni ajtkokat, mint az R2 felett rtelmezett nm-es mtrixokat. Akkor elvetettk ezt ameghatrozst, s most mr vilgosan ltszik is, hogy joggal tettk ezt: a bimtrixok a

jtkoknak csak egy jl krlhatrolhat, szk osztlyt hatrozzk meg. Ugyanakkor ezzel a

megfogalmazssal egy harmadik alternatv defincit is kapunk a bimtrix jtkokra, melymatematikai szempontbl ekvivalens az elz kettvel, viszont sokkal kevesebbet fed fel azilyen jtkok sajtossgaibl.

Definci. A bimtrix jtkokaz nm-es bimtrixok.

A ngy ktszemlyes 22-es alapjtk (fogolydilemma, nemek harca, vezrr, gyva nyl)mind bimtrix jtk, ahogyan a k-papr-oll is az. Nem rtunk fel r bimtrixot, de adefinci alapjn a Bachet-fle jtk is bimtrix jtk: ktszemlyes s vges. rdemestgondolni, hogy hogyan adhat meg olyan bimtrix, ami ezt a jtkot jellemzi. Elszr aztkell kitatllnunk, hogy hogyan lehetsges felsorolni a jtkosok rendelkezsre ll

stratgikat. Az egyes jtkosok stratgii egyms utn mondott szmok sorozatbl llnak.Sajnos nem tudjuk elre megmondani, hogy melyik jtkos hny szmot fog mondani.

játékelmélet - jegyzet

Documents