Nemlineáris programozásJátékelmélet

Alkalmazott operációkutatás8. előadás

2007/2008. tanév2008. március 31.

Gyakorlás – tk. 124. oldal

• 6 munkafeladat, 4 munkás• 4. és 6. munkafeladatot mindenképpen el kell végezni• Az 1. munkás a 3. és 6. munkafeladatot nem

végezheti.• A 2. munkás az 1. és 4. munkafeladatot nem

végezheti.• Határozzuk meg az elosztási tervet úgy, hogy az

összköltség a legkisebb legyen!

Feladat – tk. 126. oldal

• Lovasverseny – 4 lovas – 4 ló• Tibi, Béla, Pali, Zoli – A, B, C, D ló• Pontátlagok az eddig szerzett pontok alapján• Mi az a minimum pontszám, aminek az elérése

mindenképpen várható?• Mennyi pontot szerezhetnek maximum?

Nemlineáris programozás

• Célfüggvény nem lineáris (feltételek lineárisak)• Közgazdaságtanban ez szinte mindig így van, pl. ár-keresleti

görbe

• Nincs közös megoldási algoritmus (speciális megoldási algoritmusok)

• Osztályozás: célfüggvény alapján– Célfüggvény másodfokú => kvadratikus programozás– Célfüggvény lineáris törtfüggvény => tört vagy hiperbolikus

programozás

Kvadratikus célfüggvény

Optimális megoldás nem csúcspont!

Tört vagy hiperbolikus program

• Definíció: Hiperbolikus programozásról beszélünk akkor, ha lineáris feltételrendszer nemnegatív megoldásait tartalmazó halmaz felett olyan racionális törtfüggvény maximumát keressük, amelyben mind a számláló, mind a nevező első fokú függvény.

• Megoldás:– Martos-féle módszer– Lineáris programozási feladattá transzformálás

maxdxd

cxcz

bxA

0x

0T

0T

Játékelmélet

Játékelmélet – alapfogalmak I.

• Definíció: A játékelmélet olyan matematikai elmélet, amely vetélkedési helyzetek általános jellegzetességeivel foglalkozik.– kétszemélyes játék

– n-személyes játék

• Feltételek:– Racionális gondolkodás

– Saját érdekek

– Stratégia választás az ellenfél stratégiájának ismerete nélkül

• Definíció: A stratégia egy előre kimondott szabály, amely meghatározza, hogyan válaszol a játékos a játék minden egyes szakaszában minden egyes körülményre.

• Szóba jövő stratégiák összessége = stratégia halmazSmahó Melinda

Játékelmélet – alapfogalmak II.• Definíció: Ha a játékosok egymástól függetlenül, csak a saját

érdekük figyelembevételével választanak stratégiát, akkor nemkooperatív, egyébként kooperatív játékról beszélünk.

• Játék kimenetele

– Értékelő függvény

– Kifizető mátrix

• Ha a stratégiák halmaza véges, akkor véges játékról, egyébként végtelen játékról beszélünk.

Smahó Melinda n1n1

ii

n1nn11

n21

f,,f;S,,SG

n) 2, 1, (i Ss

)s ,,s(f , ),s ,,s(f :függvény Kifizető

S,S,S:almazStratégiah

Kétszemélyes zérusösszegű játékok

• 2 játékos, az egyik játékos azt nyeri, amit a másik elveszít

• Példa: egy J1 játékos és egy J2 játékos felmutatja egyszerre egy vagy két ujját. Ha az ujjak száma megegyezik, akkor J1 játékos nyer, ha nem, akkor veszít.

A játék kifizetési táblázata J1 játékos számára:

Smahó Melinda

112

1111J

21

2J

Mátrixjáték egyensúlyi pontja / nyeregpontja

• Mátrixjáték: kétszemélyes zérusösszegű véges játék

836

38342

554611J

321

2J

)a minmax

)a maxmin

ij( :a választás1J

ij( :a választás2J

ji

ij

v33;5maxij( :a választás1J

v38,3,6minij( :a választás2J

)a minmax

)a maxmin

ji

ij

Kevert stratégiájú mátrixjátékok

• Tiszta stratégia: ha játékos a játékban egy oszlopot vagy sort választ és végig ezzel a stratégiával játszik.

• Kevert/súlyozott stratégia: a játékosok változtatják a stratégiát a játék során.

1xxxx

0x,x, x:ségei valószínűálasztásistratégiav játékos J1

oszlopn sor, m : táblázatKifizető

m321

m21

1yyyy

0y,y,y :ségei valószínűálasztásistratégiav játékos 2J

n321

n21

yAx

:értéke) ek várhatónyereségén (J1 értéke várhatóJátékT

Kétszemélyes nem konstans összegű játékok

• Kooperatív nem konstans összegű játék: játékosok együttműködnek, együttes nyeremény szétosztása (J. Nash, R. Selten, Harsányi J.)

• Nem kooperatív nem konstans összegű játék: játékosok nem működnek együtt

1920 - 20001930 -1928 -

Nash-egyensúly: J2 adott választása mellett J1 döntése optimális és J1 döntése esetén J2 döntése optimális. (egyik sem tudja előre, hogy mit választ a másik).

Fogoly-dilemma

1)(1)(06)(

6)(03)(3)(

Vall

Vall

Tagad

Tagad

B játékos

A játékos

Nash-egyensúly: ha mindketten vallanak

Pareto-hatékony: ha mindketten tagadnak (mindketten jobban járnak)

Nash-egyensúly nem mindig Pareto-hatékony!

Szállítási feladatAz R1, R2, R3, R4 jelű vegyesboltok péksüteménnyel való ellátását az F1, F2, F3 jelű pékségekből biztosítják. Az egyes boltok napi péksütemény-igénye rendre (sorrendben) 30, 80, 50, 40 kg. A pékségek napi teljesítménye rendre (sorrendben) 90, 70, 40 kg. Az egyes Ri-Fi viszonylatokban érvényes fajlagos szállítási költséget (Ft/kg) az alábbi táblázat mutatja.•Feladatok:•a) Oldjuk meg a feladatot sor-oszlopminimum módszerrel!•b) Határozzuk meg az előállított lehetséges megoldáshoz tartozó szállítási költséget!

57811F

96104F

7M68F

RRRR

3

2

1

4321

Köszönöm a figyelmet!