méréstechnika jegyzet
DESCRIPTION
Dunaújvárosi Főiskola, méréstechnika jegyzet.TRANSCRIPT
-
Vradin dr. Szarka Angla Dr. Hegeds Jnos
Btorfi Richrd Unhauzer Attila
MRSTECHNIKA
A jegyzet a HEFOP tmogatsval kszlt. Szchenyi Istvn Egyetem. Minden jog fenntartva
-
Tartalomjegyzk
Tartalomjegyzk ................................................................................................................2 Bevezets............................................................................................................................5 1. Mrselmleti alapok, mrsi hibk ...............................................................................6
1.1. Mrstechnikai alapfogalmak ..................................................................................6 1.2. Mrsi hibk.......................................................................................................... 11
1.2.1. A mrsi hibk csoportostsa ........................................................................ 11 1.2.2. Mrmszerek mrsi hibjnak szmtsa, megadsa: .................................. 12 1.2.3. Mrsi sorozatok kirtkelse......................................................................... 18
1.3. Vletlen hibk becslsnek mdszerei ................................................................... 19 1.3.1. tlagos abszolt eltrs (Average of absolute deviation) ................................ 20 1.3.2. Szrs, vagy standard eltrs (Standard deviation).......................................... 20 1.3.3. Valszn hiba. (Probable error) .................................................................... 21
1.4. Hibaeloszls, hiba elfordulsi valsznsg szmtsa, mrsi hibk statisztikai analzise........................................................................................................................ 23
1.4.1. Mrsi eredmnyek elfordulsi valsznsgnek meghatrozsa................. 23 1.4.2. Empirikus srsgfggvny meghatrozsa a mrsi adatok csoportostsval................................................................................................................................. 31 1.4.3. Mrsi sorozatok kirtkelse regresszi analzissel ....................................... 39
1.5. Vletlen hibk halmozdsa.................................................................................. 41 1.6. Zavarjelek a mrkrben ...................................................................................... 52
1.6.1. Norml (soros) zavarjelek modellje ................................................................ 52 1.6.2. Azonos fzis zavarjelek modellje .................................................................. 56
2. Elektronikus mrmszerek........................................................................................ 60 2.1. A digitlis multimterek........................................................................................ 62
2.1.1. Az elektronikus mszerek ltal mrt s mutatott rtk ................................. 66 2.1.2. Vals effektv rtket mr digitlis voltmrk (TRMS) ............................... 68 2.1.3. A mrs kijelzse dB-ben ................................................................................ 68 2.1.4. A digitlis multimterek mszer mrsi hibja............................................... 69
2.2. Jelgenertorok ....................................................................................................... 72 2.2.1. Frekvencia talakts....................................................................................... 74 2.2.2. Egy ngy-dekdos frekvencia genertor blokk-vzlata ................................... 78
2.3. Analg oszcilloszkp ............................................................................................ 78 2.3.1. Az analg oszcilloszkpok ltalnos jellemzi ............................................... 78 2.3.2. Vzszintes (horizontlis) csatorna ................................................................... 81
2.4. Digitlis trols oszcilloszkpok........................................................................... 83 2.4.1. A digitlis trols ............................................................................................ 85 2.4.2. Az analg-digitlis talakt s fggleges felbontsa...................................... 86 2.4.3. Digitlis trols oszcilloszkp funkcik s vezrlsek.................................... 88 2.4.4. Analg zemmd ........................................................................................... 89 2.4.5. Grgetsi zemmd (Roll) ............................................................................. 89 2.4.6. A jelalak trolsa (Store) ................................................................................. 89 2.4.7. Megjelent algoritmusok, interpolci, pontok egyestse............................ 89
-
3
2.4.8. Interface-ek ..................................................................................................... 89 2.5. Frekvencia- s idmrk ....................................................................................... 90
2.5.1. Az analg frekvenciamrs lehetsgei: .......................................................... 90 2.5.2. Digitlis frekvenciamrs................................................................................ 91 2.5.3. Idmrs ......................................................................................................... 93
2.6. Spektrumanaliztorok........................................................................................... 96 2.6.1. Matematikai alapok ........................................................................................ 96 2.6.2. A spektrumanalizls alapfogalmai............................................................... 102 2.6.3. A spektrumanaliztorok csoportostsa........................................................ 105 2.6.4. Prhuzamos analiztorok ............................................................................. 105 2.6.5. Hangolt szrs analiztorok......................................................................... 106 2.6.6. Transzponl rendszer analiztorok .......................................................... 107 2.6.7. Digitlis Fourier-analiztorok ...................................................................... 108 A mintavteli id Ts s a jel maximlis frekvencija fmax kztti kapcsolat.......... 111
2.7. Torztsmr ....................................................................................................... 112 2.8. Logikai analiztorok ........................................................................................... 113
2.8.1. Felhasznlsi terletk: ................................................................................ 113 2.8.2. A logikai analiztor funkcionlis egysgei: ................................................... 113 2.8.3. Kijelzsi mdok ............................................................................................ 115 2.8.4. Csatlakozs ms mszerekhez ...................................................................... 117 2.8.5. Adapterek (POD-ok) mikroszmtgpes rendszerek vizsglathoz ............ 118 2.8.6. IN -CIRCUIT emultor ramkrk ............................................................ 118
3. Szmtgppel vezrelt mrsek................................................................................. 119 3.1. Szmtgppel tmogatott mrrendszer feladatai .............................................. 119 3.2. A PC alap mrrendszerek struktrja ............................................................. 120 3.3. Mrrendszerekben alkalmazott adattovbbtsi mdszerek.............................. 123
3.3.1. Programvezrelt adattovbbts.................................................................... 123 3.3.2. Megszakts vezrelt adattovbbts ............................................................. 123 3.3.3. DMA vezrelt adattovbbts ....................................................................... 124
3.4. PC alap mrrendszerekben alkalmazott szabvnyos kommunikcis protokollok................................................................................................................ 127
3.4.1. Soros jeltvitel szabvnyos protokoll: RS232, RS422, RS485 ....................... 127 3.4.2. Prhuzamos jeltvitel szabvnyos protokoll: IEEE488 ................................ 130 3.4.3. VXI (VMEbus eXtensions for Instrumentation, IEEE-1155/1993) .............. 133 3.4.4. PXI (PCI eXtensions for Instrumentation, nylt ipari specifikci, 1997).... 135 3.4.5. MXI busz (Multisystem eXtention Interface Bus) ........................................ 136 3.4.6. USB (Universal Serial Bus) ........................................................................... 136 3.4.7. FireWire (IEEE 1394) ................................................................................... 139 3.4.8. Ethernet........................................................................................................ 140
3.5. Szmtgppel vezrelt mrrendszer ltalnos felptse................................... 140 3.6. rzkelk s talaktk ....................................................................................... 142
3.6.1. Piezoelektromos mrtalakt .................................................................... 144 3.6.2. Hall-genertoros mrtalakt .................................................................... 145
3.7. Analg - digitl talaktk ................................................................................... 147 3.7.1. Analg jelek mintavtelezse ........................................................................ 147
-
4
3.7.2. Digitl - analg talakts .............................................................................. 152 3.7.3. Analg - digitl talakts.............................................................................. 154
3.8. Adatgyjt berendezsek .................................................................................... 159 3.8.1. Tbbfunkcis mrsadatgyjt krtyk ....................................................... 159 3.8.2. Tbbfunkcis mrsadatgyjtk analg bementi egysgnek alkalmazsa... 164 3.8.3. Digital Signal Processor (DSP)...................................................................... 165 3.8.4. Ethernet hlzaton keresztl vezrelhet mrrendszerek.......................... 166
4. Szmtgpes mrsek vezrlszoftverei .................................................................... 183 4.1. Bevezets a LabView szoftver alkalmazsba ...................................................... 183 4.2. A LabView mkdse ......................................................................................... 183 4.3. A LabView kezelse ............................................................................................ 186 4.4. Bevezet mintaprogramok .................................................................................. 195
4.4.1. proba1.vi....................................................................................................... 195 4.4.2. proba2.vi....................................................................................................... 196 4.4.3. proba3.vi....................................................................................................... 197 4.4.4. proba4.vi....................................................................................................... 198 4.4.5. proba5.vi....................................................................................................... 199 4.4.6. proba6.vi....................................................................................................... 200 4.4.7. proba7.vi....................................................................................................... 201 4.4.8. proba8.vi....................................................................................................... 203 4.4.9. proba9.vi....................................................................................................... 204 4.4.10. proba10.vi ................................................................................................... 206 4.4.11. proba11.vi ................................................................................................... 208 4.4.12. proba12.vi ................................................................................................... 209 4.4.13. proba13.vi ................................................................................................... 210 4.4.14. Prbafeladatok............................................................................................ 210
4.5. Mrsvezrls LabView krnyezetben ................................................................ 217 4.5.1. Egycsatorns rvid mintavtelezs ............................................................... 221 4.5.2. Tbbcsatorns rvid mintavtelezs............................................................. 222 4.5.3. Hosszidej folyamatos mintavtelezs........................................................ 223
5. Irodalomjegyzk ........................................................................................................ 227
-
5
Bevezets
A mrstechnika jegyzet elssorban a mechatronikai mrnkkpzs oktatshoz kszlt, de termszetesen alkalmazhat ms mszaki szakok mrstechnikt rint tantrgyaihoz is. A szerzk clja az volt, hogy a jegyzet a mrselmleti alapok legfontosabb ismereteit, lehetleg egyszeren s kzrtheten sszefoglalja, msodszor, hogy a manapsg leg-gyakrabban alkalmazott elektronikus mszereket bemutassa, s br egy-egy konkrt m-szert hasznl fel erre a clra, mgis ltalnos ismereteket ad az egyes mszertpusokrl, s vgl taln a leghangslyosabb rsze a jegyzetnek, a mai technikai ignyeknek megfelel-en, a szmtgppel vezrelt mrrendszerek hardver s szoftver ismereteinek sszefogla-lsa.
A mechatronika a klasszikus megfogalmazs szerint is tbb mszaki terletet integrl tudomny, amely nem kerlheti meg a mszaki mrseket. De tekintsk az ipar brmely terletn tevkenyked mrnk informatikust, gpszmrnkt, villamosmrnkt, vegyszt, anyagmrnkt, kzlekedsmrnkt, mindannyian tallkozni fognak mr-berendezssel, mrsekkel, tesztelssel. St, nagy valsznsggel a modern mrstechni-kai eszkzkkel tallkozik majd a mrnkk tbbsge. Ahogy a gyrts nem kpzelhet el tesztels nlkl, egy fejleszt mrnk sem tud hatkonyan, j minsg termket ter-vezni prototpus tesztelsek nlkl. Az, hogy mit kell megmrni egy fejlesztsi folyamat sorn, a fejlesztk dntse, amit szmtalan tnyez befolysol, a rendelkezsre ll klt-sgkerettl az elvrt minsgi kvetelmnyekig bezrlag. Azt, hogy hogyan kell meg-mrni egy jellemz paramtert, hogy a mrsi eredmnyt hogyan kell rtelmezni, hogy a mrsi hibkat hogyan kell figyelembe venni, a tesztmrnk feladata eldnteni. Ezek komoly szakrtelmet ignyl, fontos szakmai krdsek, hiszen olyan fejleszti, gyrts-tervezsi dntseket alapoznak meg a tesztmrnk kezbl kikerl eredmnyek, ame-lyek alapveten befolysolhatjk egy termk sikert vagy bukst a piacon. A mrstechnika terletn szzval jelennek meg az j berendezsek: rzkelk, mr-mszerek, automatizlt intelligens rendszerek. Teljekr bemutatsuk messze meghalad-ja egy tantrgy vagy jegyzet kereteit, ezrt itt elssorban a magyar felsoktats mrs-technikai kurzusain leggyakrabban alkalmazott technikk kerlnek bemutatsra, s adnak segdletet a hallgatk kezbe.
A jegyzet a gyakorlatorientlt alapkpzsek tmogatsra kszlt, ezrt szmos mrsi s szmolsi gyakorlatot is bemutat, segtsget ad a szmtgpes mrrendszerek gyakorlati alkalmazshoz hardver ismeretek s szoftverfejlesztsi terleten egyarnt.
-
6
1. Mrselmleti alapok, mrsi hibk
1.1. Mrstechnikai alapfogalmak
Mrs: Informciszerzs - a megismers eszkze. Fizikai mennyisg sszehasonltsa a mrtkegysggel (annak egysgnyi mennyisgvel). A mrtkegysget gyakran szimb-lumok helyettestik.
A mrsek clja, hogy a mrs trgyrl (a fizikai mennyisgrl, llapotrl, folyamatrl stb.) megbzhat s lerhat informcit szerezznk. Ezt az informcit a mrs eredm-nynek nevezzk.
Mrtkegysgek: SI (Systeme International dUnits)
Alapegysgek: m, kg, s, a, K, cd, ml
Kiegszt egysgek: rad, sr Nem hasznlhat egysgek: q, kp, kp/cm2 (at), mmHg, LE, cal
nll nev szrmaztatott egysgek sszefoglalva az 1-1. tblzatban tallhatak.
Az SI mrtkegysg-rendszer mellett korltozs nlkl, illetve nhny szakterletre kor-ltozottan tovbbi mrtkegysgek is hasznlhatk. Ezek kzl a leggyakrabban s legl-talnosabban hasznlt mrtkegysgek az albbiak:
celsius-fok 0C liter l tonna t perc min ra h nap d ht - hnap - v - kilomter per ra km/h wattra Wh vmsodperc - vperc fok o
voltamper VA (szakterleten) var var (szakterleten) elektronvolt eV (szakterleten) bar bar (szakterleten)
-
7
Szrmaztatott mennyisgek:
Mennyisg neve Jele Egysg neve Kifejezs ms egysgekkel
Frekvencia f hertz, Hz
=s1 ;1
Tf
Er F newton, N [ ]-2mkgs ;amF = Munka, energia, hmennyisg W joule, J
[ ] [ ]WsNm ; == sFW Teljestmny P watt, W
=sJ ;
tWP
Vill. tlts Q coulomb, C [ ]= As ;idtQ Vill. feszltsg U volt, V
=
AW ;
IPU
Ellenlls R ohm,
=AV ;
IUR
Vill. vezets G siemens, S
=VA ;1
RG
Kapacits C farad, F
=VAs ;
UQC
Mgneses fluxus weber, Wb [ ]== Vs ;1 UdtNdtdNUi Mgneses in-dukci B tesla, T
=
= 22 m
WbmVs ;
AB
Induktivits L henry, H
=AVs ;
INL
1-1. Tblzat
-
8
SI prefixumok:
Nv Jel rtk exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
hekto h 102
deka da (dk) 10 deci d 10-1
centi c 10-2
milli m 10-3
mikro 10-6
nano n 10-9
piko p 10-12
femto f 10-15
atto aA 10-18
1-2. tblzat
Mrs csoportostsa: 1. Kzvetlen mrs: a mrend mennyisget kzvetlenl a mrtkegysg
egysgnyi mennyisgvel hasonltjuk ssze, pl. ktkar mrleg, tolmr. Kzvetett mrs: a mrend mennyisget egy szimblummal, vagy egy, a
mrend mennyisg mrtkegysgtl eltr mrtkegysg egysgnyi mennyisgvel hasonltjuk ssze, s ezutn alaktjuk t (akr tbb szinten is) a megkvnt mrtkegysgnek megfelel mennyisgg, pl. elektronikus mrmszerek, piezoelektromos rzkelk.
2. Analg mrs: idben folytonos mrst s mrsi eredmnyt biztost. Az analg rzkelk kimenetn folytonos jel jelenik meg. Az analg mr-mszerek kijelzje mutat, ami idben folyamatos mdon mutatja a mrt rtket.
Digitlis mrs: idben diszkrt eredmnyeket ad mrst biztost, meg-hatrozott idpillanatokban mrt rtkeket raszterekbe osztva ad mrsi eredmnyt, pl. szmkijelzs mszerek.
Mrsi mdszer: Az elv, amely szerint a mrst megtervezzk s elvgezzk.
Mrsi eljrs: A mdszer, az eszkz s a mrst vgz szemly egyttes tevkenysge.
-
9
A mrs trgya: Jelek
Jelek
determinisztikus sztochasztikus periodikus nem periodikus stacionrius nem stacionrius szinuszos sszetett kvzi-periodikus tranziens
1-1. bra
Determinisztikus jelek: Matematikai kifejezsekkel lerhatak s matematikai sszefgg-sekkel kezelhetk. Sztochasztikus jelek: Matematikai mdszerekkel csak rszlegesen kezelhetek. Statisztikai jellemzkkel vzolhatak: vrhat rtk - id fggvny ngyzetes kzprtk - id fggvny variancia autokorrelci fggvny autokovariancia fggvny keresztkorrelci fggvny keresztkovariancia fggvny Periodikus jelek: T peridusid, Fourier sorba fejthetk (szinusz s koszinuszok ssze-geknt felrhatk)
Szinuszos jelek:
( ) += tfAtx 2sin)( Amplitd
1-2. bra
frekvencia
A1
f1
-
10
sszetett periodikus jelek:
=
=
=
=
=++=++=
n
tfjnn
nnnn
nn
eC
tfnFFtfnBtfnAAtx
02
1000
100 )2cos()2sin2cos()(
Amplitd
A1
1-3. bra
Kvzi-periodikus jelek:
)2sin2cos()(1
0 tfBtfAAtx nnn
nn ++= =
ahol
1ff n egsz szm
1-4. bra
Tranziens jelek: Egyszeri, nem periodikus folyamatok, melyek vges energijak:
-
11
Teljes lers: bizonyos matematikai felttelek mellett Fourier ill. Laplace transzformci-val.
1.2. Mrsi hibk
Minden mrsi eredmny kisebb nagyobb hibt tartalmaz, ezrt a mrend mennyisg valdi rtkt teljes biztonsggal nem lehet meghatrozni.
A mrs sorn termszetesen arra kell trekedni, hogy a valdi rtk legjobb becslst megtalljuk. A legjobb becslssel meghatrozott rtket helyes rtknek nevezzk.
Ha a mrsi hiba kicsi, akkor az esetleg elhanyagolhat. Ha tl nagy a mrs hibja, ak-kor esetleg egy jobb mrsi mdszer alkalmazsval rhetjk el a kvnt pontossgot.
De mikor nagy s mikor elhanyagolhat egy mrs hibja?
Egyltaln hogyan becslhet meg a mrsi hiba nagysga? Ahhoz, hogy egy mrs sorn a helyes rtket meg tudjuk hatrozni, s a hiba nagysgt jl becslve a fenti krdsekre vlaszolni tudjunk, kzelebbrl meg kell ismerni a mrsi hibk eredit s jellemzit. 1.2.1. A mrsi hibk csoportostsa
A mrsi hibkat jellegk szerint hrom csoportba sorolhatjuk:
a, rendszeres hibk
b, vletlen hibk
c, durva hibk
Rendszeres hiba Rendszeres hibknak azokat a hibkat nevezzk, amelyek nagysga s eljele meghat-rozhat, amelyekkel gy a mrsi eredmnyt pontostani lehet.
A rendszeres hibk felismerse, a hibk nagysgnak s eljelnek megllaptsa - a m-rberendezsek rendszeres hitelestse mellett - klns figyelmet s nagy szakrtelmet ignyel. A rendszeres hiba meghatrozsa technikai s gazdasgi krds is lehet. Bizonyos rendszeres hibk olyan kis mrtkek, hogy elhanyagolhatak, msok pontos meghat-rozsa gazdasgosan nem lehetsges, s vannak olyan rendszeres hibk is, amelyek pontos meghatrozsa mindenkppen szksges, ellenkez esetben torz mrsi eredmnyt ka-punk.
Vletlen hiba
Vletlen hibknak azokat a hibkat nevezzk, amelyeknek a pontos rtkt nem tudjuk meghatrozni, st idben is mutathatnak vltoz hatst, ezrt az ltaluk ltrehozott m-rsi hiba nagysga is s eljele is (adott hatrok kztt) megvltozhat. gy a vletlen hi-bk nagysgt s eljelt nem ismerjk. Meg kell jegyezni, hogy a vletlen hibknak is konkrt okai vannak, de ezeket az okokat nem ismerjk, vagy nem tudjuk kikszblni.
A vletlen hibkat egy olyan szlessg intervallummal lehet megadni, amelyben az ltalunk elrt valsznsggel (a mrnki tudomnyokban legtbbszr 99,74%-os val-
-
12
sznsggel) benne van a vletlen hibtl mentes valdi rtk. Ezt az intervallumot meg-bzhatsgi intervallumnak, vagy konfidencia intervallumnak nevezik.
A konfidencia intervallum ismeretben a helyes rtket (xH) a
xH = xi sszefggs segtsgvel hatrozhatjuk meg.
A konfidencia intervallumot mrssorozat segtsgvel hatrozhatjuk meg. Mrsi soro-zatrl akkor beszlnk, amikor ugyanazt a mrend mennyisget ugyanazzal a mszer-rel azonos kls krlmnyek kztt ugyanazon megfigyel tbbszr egymsutn megmri.
A mrsi eredmnyek a vletlen hibk miatt kis ingadozst mutatnak. A mrsi sorozat s az gy kapott mrsi eredmnyek ismeretben a matematikai statisztika segtsgvel meghatrozhat a vrhat rtk j becslse, tovbb az a intervallum, amelybe az elvgzend mrsek eredmnyei az ltalunk elrt valsznsggel beleesnek. Vletlen hibnak tekintjk azokat a rendszeres hibkat is, amelyek elvileg meghatrozha-tk ugyan, de a hiba meghatrozsa tlsgosan bonyolult, kltsges stb.
Ilyen esetben a hibahatrokat olyan intervallummal kell megadni, amely a rendszeres hibnak a vrhat legnagyobb rtkt az ltalunk elrt valsznsggel tartalmazza. Durva hiba
Durva hibnak ers krnyezeti hats, vagy szemlyi tveds kvetkeztben fellp olyan hibkat nevezzk, amelyben a relatv hiba akr 50-100%-ot is elrhet.
Pldul, tmegmrsnl figyelmetlensgbl a 0,5 kg-os s 1 kg-os slyokat sszecserljk. Mrsi hibk helyett gyakran a mrs pontossgrl beszlnk. A pontossg a hiba ellen-ttes (inverz) fogalma. Azt mutatja meg, hogy a mrt rtk mennyire van kzel a valdi rtkhez. Minl nagyobb a hiba, annl kisebb a pontossg.
Hasonlan gyakran hasznlt fogalom a mrs bizonytalansga, ami nem ms, mint a illetve intervallum. A rendszeres hibk elhanyagolsa, figyelembe nem vtele a mrs eredmnyt torztott, a vletlen hibk elhanyagolsa pedig a mrs eredmnyt bizonytalann teszik.
A gondos mrst az jellemzi, hogy a rendszeres hibkat (a lehetsg hatrain bell) meg-hatrozzuk s korrigljuk, gy a mrsi vgeredmnyben csak a vletlen hibk miatti bi-zonytalansg szerepel.
1.2.2. Mrmszerek mrsi hibjnak szmtsa, megadsa:
A mindenkori mrt rtk xi s a helyes rtk xh kztti klnbsg a mrseredmny ab-szolt hibja /Hi/.
Hi = xi - xh Az abszolt hiba lehet pozitv vagy negatv. Pozitv hibrl beszlnk, ha a mrt rtk nagyobb, mint a helyes rtk.
-
13
Ha a mrsi hibt a mrend mennyisgre vonatkoztatjuk, akkor azt relatv - vagy vi-szonylagos hibnak nevezzk.
A relatv hiba jele: hi
H
ii x
Hh =
vagy szzalkban:
h
i
xHh% = .100
Mrshatrra vonatkoztatott relatv hiba:
%100xH
hv
iv =
ahol xv a vgkitrshez (mrshatrhoz) tartoz pontos rtk.
Hibahatr: ( )
maxvh hh = , ahol a mszer mutatjnak kitrst jelenti.
Analg mrmszerek esetben a hibahatrt felkerektik egy szabvnyos rtkre, s ezt un. osztlypontossg (Op) formjban adjk meg a mszeren. A szabvnyos osztlypon-tossgok: 0.05; 0.1; 0.2; 0.5; 1; 1.5; 2.5; 5.
Analg rzkelk esetben ltalban a mrshatrra vonatkoztatott relatv hibt adjk meg a katalgusban.
A fentiek alapjn megllapthat, hogy mivel a mrshatrra vonatkoztatott hiba egy katalgusban megadott lland rtk, a mszerek/rzkelk abszolt hibja a mrstar-tomny teljes szlessgn azonos:
%100/vp xOH =
Ezrt a relatv hiba a mutat kitrsvel/mrt rtkkel cskken, vagyis annl pontosabb a mrs, minl nagyobb a mutat kitrse. Ezrt a mrstechnika egyik alapszablya, hogy analg mszerrel, vagy rzkelvel az adott tartomny fels harmadban rdemes mrni!
A mrs relatv hibja a mszer mutat kitrsnek fggvnyben:
vpOh )(
-
14
h mr v
1-5. bra
(Megjegyzs: Bizonyos analg rzkelk a mkdsi elvknek s jellemziknek kszn-heten a skla teljes szlessgn azonos relatv hibval mkdnek, de ezek ritka kivte-lek, pl. platina ellenlls-hmr, piezoelektromos rzkelk.) Pldk a mrsi hibk szmolsra:
1. Egy analg voltmr pontossgi osztlya 1,5. A vgkitrse 150 V. Mrst vgznk s a mutat 45 V-ot mutat.
a. Mekkora a mrs abszolt hibja?
H = 150 V * 1,5 / 100 = 2,25 V
b. Mekkora a mrs maximlis relatv hibja?
h = 2.25 / ( 45 2,25 ) * 100 % a nagyobb rtket figyelembe vve:
h = 2,25 * 100 / 42,75 = 5,26 %
c. Mekkora a mrs maximlis vgkitrsre vonatkoztatott relatv hibja? 1,5 % 2. Mrjk az R ellenllson tfoly ramot. Az ellenlls 10 , az ampermr bels el-
lenllsa 0,1 , az osztlypontossga 1,5, a vgkitrse 1 A, a mszer 0,65 A-t mutat. R = 10
1-6. bra
RI=0,1 U
OP = 1,5 A IV = 1 A
Im = 0,65
-
15
a.) Mekkora a mrs rendszeres hibja? b.) Mekkora a mrs vletlen hibja? Hatrozza meg a hibkat abszolt s relatv rtkben is!
Megolds:
a.) A rendszeres hibt a mszer bels ellenllsa okozza. A rendszeres hiba szmtsa, relatv rtkben kifejezve:
A mrt rtk: IRR
U+
A pontos rtk: RU
h = %99,00099,01
101,01
111
11
11
==+
=+
=+=
+
RR
R
RRR
RU
RU
RRU
I
II
Relatv rtkben kifejezve a rendszeres hiba nem fgg a mrt rtktl, s a feszlt-sg rtktl.
A rendszeres hiba abszolt hiba formjban kifejezve:
H = A0065,010
1,01065,065,0 =+
b.) A vletlen hiba a mszer osztlypontossgbl hatrozhat meg:
Abszolt hiba:
H = A0015,0100
15,1100
== vp IO
Relatv hiba:
h %3,265,0
15,1 ==m
vp
IIO
3. Feszltsg mrsekor minden esetben ismerjk a mszer bels ellenllst, hiszen az katalgus adat, pontosan meghatrozhat az ebbl add rendszeres hiba, de a mr-sek 99%-ban ez elhanyagolhat mrtk, ezrt nem szmolunk vele. Mrstechnikai ismereteink alapjn azonban meg kell tudnunk hatrozni azokat a ritka eseteket, ami-kor a mszerek bels ellenllsa nem hanyagolhat el, mert az nagy mrtkben befo-lysolja a mrsnk eredmnyt. Nzznk erre egy egyszer pldt:
-
16
Mrjk meg egy ellenlls teljestmnyt elektrodinamikus mszerrel. A feszltsgte-kercset kapcsolhatjuk az ramtekercs egyik, vagy msik vgpontjra:
1 2
U
W
R
1-7. bra
Melyik kapcsolst hasznln?
-
17
Megolds:
Legyen a mszer feszltsgtekercsnek bels ellenllsa RU, az ramtekercs bels el-lenllsa RI.
Az esetek igen nagy %-ban teljesen mindegy, hogy melyik kapcsolst hasznljuk, mert egyszerre teljesl az a kt felttel, hogy
RI > R. Ha azonban valamelyik felttel nem teljesl, vagyis vagy tl kicsi, vagy tl nagy ellen-lls teljestmnyt mrjk, akkor el kell dnteni, hogy melyik kapcsolssal rnk el pontosabb eredmnyt.
Nzzk az 1. kapcsolst:
RI
RU
1
U R
1-8. bra
rjuk fel a mrs relatv hibjt:
( )RR
R
RUU
RUU
RRUU
IU
IUIU
P
PPh
I
II
pontospontos
pontospontosmrtmrt
pontos
pontosmrt
+=+===
A relatv hiba rtke teht csak az RI s az R arnytl fgg, vagyis a trt rtke akkor lesz kicsi, ha RI
-
18
( )RR
RRI
RIIRRR
RI
IU
IUIU
P
PPh
U
UU
pontospontos
pontospontosmrtmrt
pontos
pontosmrt
+=+=== 2
2
Ez a relatv hiba csak az RU s az R viszonytl fgg, s akkor kicsi, ha RU >> R
1.2.3. Mrsi sorozatok kirtkelse
Egy mrsi sorozat lljon n darab olyan mrsbl, amelyeket gy vgeztnk el, hogy minden ltalunk befolysolhat felttel a mrsek alatt vltozatlan maradt. A mrt rt-kek halmaza ekkor rendre:
x1, x2, x3,...xi,...xn
lltjuk, hogy a vrhat rtk legjobb becslse a mrsi sorozat tlaga.
Ennek jele: x
[ ] =
=+++=n
1i21 n
1....n1 x in xxxx
x ltag termszetesen kevesebb informcit tartalmaz, mintha az sszes mrt rtket felsoroltuk volna, mert az tlag megadssal a mrssorozatot jellemz informci egy rsze elveszik.
Mindennek ellenre az tlag rtk a mrssorozat legjobb, legvalsznbb rtkt adja, felttelezve azt, hogy a sorozatban kapott mrsi eredmnyek rendszeres hibtl mente-sek. Ezt bizonytja az tlagtl val eltrs lineris rtkre s ngyzetre vonatkoz sz-mts is.
Vizsgljuk meg az tlagtl val eltrst. A vletlen hibkbl add rtkvltozst gy szmtjuk ki, hogy az x tlagrtket kivonjuk a mrsi sorozat egyes rtkeibl. Ezt az rtkvltozst ltszlagos hibnak nevezzk.
A mrsi sorozat eredmnyeihez tartoz ltszlagos hibk ekkor:
==
======
n
1ii
n
1in21
nn2211
0 xn x + .... + +
x x ;x - x ;x - x
i
ebbl =
=n
1iixn
1 x
ami ppen a mrsi sorozat matematikai tlaga.
Az tlagtl val eltrst vizsgljuk meg a legkisebb ngyzetek mdszervel is.
A mrsi sorozat eredmnyeibl vonjunk le egy tetszs szerinti A szmot. Ekkor:
-
19
2i
2i
21
2i A+ 2Ax -x A)- (x ==
Kpezzk az tlagtl val eltrs ngyzetsszegt s ezt jelljk s-sel.
= =
=
=
==n
1i
n
1i
2i
2i
n
1i
2i
2n
22
21
nA + x2A - x s
+ .... + + s
Vizsgljuk meg, hogy A milyen rtke mellett lesz s rtke minimlis. Ekkor
02nA + x -2; 0 dAds n
1ii ==
=
Rendezve az egyenletet
=
==n
1ii x xn
1 A
ami bizonytja, hogy az x az a szm, amelynl a klnbsgek ngyzetsszege minimlis.
E tulajdonsg miatt az tlagot a legvalsznbb rtknek is nevezik.
1.3. Vletlen hibk becslsnek mdszerei
Ismeretes, hogy a mrsi sorozatnak az tlaggal trtnt megadsakor a sorozatot jellemz informci tartalom egy rszt elvesztjk. Azrt, hogy a mrsek eredmnye az tlagr-tk mellett a legjellemzbb informcikat is tartalmazza, az tlagot mint ez ltalban szoksos, - a kvetkezkppen adjuk meg:
x azt az informcit tartalmazza, amely megmutatja, hogy a mrt adatok milyen mr-tkben szrdnak az tlag krl. A gyakorlatban klnfle mrszmokat alkalmaznak a szrds jellemzsre:
Terjedelem (Range)
A terjedelem, amit a mrstechnika az angol elnevezs els betjvel, azaz R betvel je-ll, a sorozat legnagyobb tagja (xmax) s legkisebb tagja (xmin) kztti tvolsg.
R=xmax-xmin
A gyakorlatban gyakran nem a terjedelmet, hanem az
L1= xmax- x illetve
L2= x -xmin
-
20
rtkeket szoks megadni.
L1 s L2 ismeretben az eredmny gy rhat fel:
1
2
L L - x
+
1.3.1. tlagos abszolt eltrs (Average of absolute deviation)
Az tlagtl val eltrsek () abszolt rtkeinek sszegbl az tlagos abszolt eltrs a kvetkez kplettel hatrozhat meg:
n1i=n
1 = E i
ahol
i = x1 - x Az abszolt rtk igen lnyeges, mert e nlkl az egyenlet 0-val volna egyenl.
1.3.2. Szrs, vagy standard eltrs (Standard deviation)
A gyakorlati mrstechnika ezt a mrszmot hasznlja leggyakrabban mrsi eredm-nyek szrdsnak jellemzsre.
A szrs jele: s, defincija:
=
=n
1i
2i1-n
1 s
Mivel i a ngyzeten szerepel, az tlagtl val eltrs eljele eltnik, s a nagyobb eltr-sek nagyobb sllyal szerepelnek. Ugyanazon mrsi sorozatra nzve, az s ltalban na-gyobb, mint E s P, de kisebb R-nl. Az eredmnynek
s x alakban trtn megadsa teht nagyobb biztonsgot ad, mint az E x illetve P, x ala-k megads, de szkebb rtelm, mint az Lx alak eredmny. Elmondottak termszetesen egy adott mrsi sorozatra vonatkoznak.
A mrselmletben gyakran hasznlt a szrsngyzet (variancia), kifejezs, ami rtelem-szeren az
=
=n
1i
22
1-n1 s i
Ha n >> 1, ami a mrssorozatok nagy elemszmt tekintve legtbbszr fennll, a szrs sszefggse j kzeltssel gy rhat fel, hogy
-
21
=
=n
1i
2i n
1 s
ami nem ms, mint az tlagtl vett eltrsek ngyzetnek kzprtke.
1.3.3. Valszn hiba. (Probable error)
Nha szoks a szrdst egy olyan P szmmal jellemezni, amely ltal meghatrozott x + P1 s x - P2 kztti intervallumba az sszes mrt rtk fele esik (a nagysg szerint sor-ba rendezett rtkekbl az als s fels egynegyed mintaszmot hagyjuk el, ha 200 elem van, akkor az 50 legkisebb s 50 legnagyobb elem nem kerl vizsglatra). Ezt a P szmot az irodalomban, - nem tl szerencssen valszn hibnak (Probable error) nevezik. Az
x P mindig szkebb intervallumot jellemez, mint az x L.
Plda a becslsi mdszerek alkalmazsra:
Egy mrsi sorozat az albbi tblzatba foglalt elemeket tartalmazza:
No R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 100,2 99,9 100,1 100,1 100,2 100,6 100,4 99,7 99,8 100,0 1001
1-3. tblzat
Szmtsa ki a terjedelmet, az tlagos abszolt eltrst, a szrst, valszn hibt. Megolds:
a sorozat tlaga:
x0 = (99,7+99,8+99,9+100,0+2*100,1+2*100,2+100,4+100,6)/10 = 100,1
R = xmax xmin =100,6 99,7 = 0,9
L1 = xmax x0 = 100,6 100,1 = 0,5
L2 = x0 xmin = 100,1 99,7 = 0,4
Az eredmny megadsa: 5,0 4,01,100+
b.)
No R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 100,2 99,9 100,1 100,1 100,2 100,6 100,4 99,7 99,8 100,0 1001 0,1 0,2 0 0 0,1 0,5 0,3 0,4 0,3 0,1 2,0
-
22
2 0,01 0,04 0 0 0,01 0,25 0,09 0,16 0,09 0,01 0,66 1-4. tblzat
E= 2,010
0,21
1
===
n
iin
Az eredmny megadsa: 100,1 0,2 c.)
s= 27,0966,0
11
1
2 == =n
iin
Az eredmny megadsa: 100,1 0,27 d.)
A valszn hiba meghatrozshoz a mrsi eredmnyek felt kell alapul venni, vagyis 5 rtket. Ilyen kevs mrsi eredmny esetn (10db) kijelenthetjk, hogy nincs rtelme valszn hiba szmolsnak, de a plda kedvrt mgis szmoljuk ki.
Rendezzk nvekv sorrendbe az adatokat:
No R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 99,7 99,8 99,9 100,0 100,1 100,1 100,2 100,2 100,4 100,6
1-5. tblzat
A sorba rendezett sorozat alapjn (10 minta esetn a fele 5, ami pratlan, ezrt ktfle-kppen is szmolhatunk. Nagyszm minta esetn ez a hiba elhanyagolhat):
P1 = R8 x0 = 100,2 100,1 = 0,1 vagy P1 = R7 x0 = 100,2 100,1 =0,1
P2 = x0 R4 = 100,1 100 = 0,1 P2 = x0 R3 = 100,1 99,9 = 0,2
Megads:
vagy 100 1,0 1,01,100+
1,02,01,
+
-
23
1.4. Hibaeloszls, hiba elfordulsi valsznsg szmtsa, mrsi hibk statisztikai analzise
1.4.1. Mrsi eredmnyek elfordulsi valsznsgnek meghatrozsa
A normlis (Gauss) eloszls srsgfggvnye
Egy ismeretlen x0 mennyisg rtkt tbbszri n szm fggetlen mrssel kvnjuk meghatrozni. A mrsi eredmnyeket, melyek a mrsi hiba kvetkeztben tbb-kevsb eltrnek egymstl mrsi sorozatba rendezzk. Ezek az eredmnyek valszn-sg szmtsi szempontbl (az xi mennyisgek) fggetlen, azonos eloszls valsznsgi vltozknak tekinthetk, amelyeknek kzs vrhat rtkk x0. Jelljk ezek srsg-fggvnyt f(x)-szel, majd ezt fellvizsglva nhny alapfelttelbl kiindulva hatrozzuk meg a mrsi hibk srsgfggvnyt. Az i-edik mrs hibja, i
i i 0 = x - x i = 1, 2 ...n i -re az albbi - a normlis eloszlsra jellemz - kiktseket tesszk: a) Az azonos nagysg pozitv s negatv hiba elfordulsnak valsznsge egy-
forma legyen.
b) A kisebb hibk elfordulsnak valsznsge nagyobb legyen, mint a nagyobb hibk.
c) Zrus hiba elfordulsnak valsznsge legyen a legnagyobb.
A srsgfggvnyt brzolhatjuk az xi vagy a i fggvnyben. Ha a tengelyre i rtket visszk fel, akkor ez az xi szerinti brzolshoz viszonytva csak annyi vltozst jelent, hogy a koordinta rendszer kezdpontjt a i = xi - xo egyenletnek megfelelen xo-val eltoljuk.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x-x0)
x-x0
1-10. bra: Normal (Gauss) eloszls srsgfggvnye
-
24
22 )(k-e = )f( xxxx k
22k-e = )f( k (1.1)
Fentiek alapjn meghatrozhat annak valsznsge, hogy egy mrsi adat a 21 intervallum kz essk. A (1.1) egyenlet alapjn:
21
22
de k = ) ,( P k-21
Tovbbiakban vizsgljuk meg a (1.1) egyenlet lnyeges tulajdonsgait:
- A fggvny maximuma a = 0 helyen van, ami megfelel annak a felttelnek, hogy a = 0 hely krnyezetbe es hibk elfordulsnak valsznsge a legnagyobb. A fgg-vny maximuma:
k
= f(o) (1.2)
- A fggvny a = 0-hoz tartoz ordintra tkrs, teht azonos nagysg pozitv s negatv hibk elfordulsi gyakorisga megegyez. a grbe inflexis pontjainak 0 abszcisszjt a
0 = d
)f( d
0 = 2
2
egyenlet hatrozza meg:
0 = e ) k 2-(1 2k-20
2k-20
23
amibl:
k 21 = 0 (1.3)
E ponthoz tartoz ordinta:
21
-
0 e k = )( f
Figyelembe vve a (1.2) egyenletet:
-
25
ef(0)
= )( f 0
Teht az inflexis pontokhoz tartoz ordinta a maximlisnak 60,7%-a.
A C1 s C2 integrl llandkat meghatroztuk, ugyanakkor j llandknt egy k param-tert vezettnk be. Kvetkezkben vizsgljuk meg k lland jellegt s befolyst a Gauss grbe alakjra. A (1.1) egyenletbl kvetkezik, hogy annl karcsbb a srsgfggvny s annl erteljesebben kzeledik a tengelyhez, minl nagyobb k rtke. (1-10. bra) Figyelembe vve azt, hogy a grbe alatti terlet minden esetben egysgnyi, a k rtke arra mutat r, hogy egy olyan mrsi sorozatban, ahol k rtke nagy, ott a mrsi ered-mny szorosan az tlag krl csoportosulnak, nagy hibk csak ritkn lpnek fel, illetve kis k rtkek mellett a nagyobb hibk elfordulsnak gyakorisga nagyobb. A k rtke teht meghatrozhat abbl, hogy a mrt rtkek milyen szorosan csoporto-sulnak az tlag krl, ms szval a mrsi sorozat szrdsbl. Elmondottakbl kvet-kezik az is, hogy minl pontosabb egy mrs, annl nagyobb a k rtke s annl kisebb a szrds.
Mindebbl kvetkezik, hogy a szrdsnak a 1.3. fejezetben ismertetett kifejezsei s a k kztt sszefggs tallhat. Ez a kapcsolat az albbi mdon rhat fel:
-
26
Az tlagos abszolt eltrs:
- 0 0
k- d e k 2 = d )f( 2 = dx f(x) )x-(x = E22
s a szrsngyzet:
- 0
k-2222 d e k k2 = dx f(x) )x-(x = s
22
u = k helyettestssel, az integrlok megoldhatk. A rszletes szmtst mellzve a kvetkez eredmnyeket kapjuk:
k1 = E (1.4)
2k = s
1 (1.5)
Az s szrs kifejezst hasonltsuk ssze az (1.3) egyenletben meghatrozott inflexis pontokhoz tartoz abszcissza rtkkel:
s = k 2
1 = 0 (1.6)
azaz azt kapjuk, hogy 0 = s Az (1.4) s (1.5) egyenletekbl egy fontos sszefggst rhatunk fel:
2 =
Es
2
2 (1.7)
Az (1.7) egyenlet azrt fontos, mert ez a kifejezs tjkoztatst ad arrl, hogy a mrsi eredmnyek eloszlsa, milyen mrtkben kzelti meg a normlis eloszlst.
Tovbbiakban felttelezve azt, hogy a mrssorozatunk eloszlsa eleget tesz a normlis eloszls feltteleinek (azaz S2/E2=1,5715%) szm szerint hatrozzuk meg azt a valsz-nsget, amely valsznsggel a mrsi sorozat egy eredmnye a 1 s 2 hibk ltal kz-bezrt intervallumba esik. Azt az egyenletet, melyet a 1 = - 2 = esetben az (1.8) integrl kifejezs megoldsval kapunk a normlis eloszls eloszlsfggvnynek nevez-zk:
:-
k- de k = ) (- = )( F22
(1.8)
-
27
Ennek az integrlnak zrt alak megoldsa nincs, numerikus kiszmtsa bonyolult, ezrt a megoldst rszletesen bemutatjuk.
-
28
Alaktsuk t az (1.6) egyenletet a kvetkez helyettestssel:
s = k 2 =t (1.9)
Ez azt jelenti, hogy = t s, teht az abszcissza tengely helyett s egysgeiben van sk-lzva, t teht tetszleges vals szm. Szmtstechnikai okokbl clszer az integrl numerikus rtkt 0 s t hatrok kztt meghatrozni.
Felhasznlva az (1.9) szerinti helyettestst:
t0
2t -
dt e 21
= t) (0, P2
(1.10)
Az (1.10) alapjn kiszmthat a P(t1, t2) rtke is:
21
22t
0
0
t
2t
2t
21 dt e 21
+dt e 21
= )t , (t P
Az (1.10) integrl sszefggs a srsgfggvnyt Taylor - sorba fejtve megoldhatjuk. A megolds sornak els tagjai:
... +
7 5 3t +
5 3t +
3t +t e
21 = )t (0, P
7532t
2
(1.11)
Az (1.11) egyenlet alapjn kiszmolhat valsznsgi rtkeket az 1-6. tblzatban adjuk meg. A tblzatban a t-hez tartoz rtk ktszerese adja meg azt a valsznsget, amely-lyel egy tetszleges mrs a sorozat tlaga krli
s t x intervallumba esik.
A tblzatbl megllapthat pl., hogy
ha t = 1, akkor P(-1, +1) = 2 0,3413 = 0,6826 t = 2 P(-2, +2) = 2 0,4773 = 0,9546 t = 3 P(-3, +3) = 2 0,4987 = 0,9974 A tblzatbl teht kiszmthat a szzalkos valsznsge annak, hogy a sorozat egy tetszleges mrsi adat normlis eloszls esetn az st x hatrokon bellre esik. Pld-ul annak valsznsge, hogy egy mrs
s x intervallumba essk: 68,3 % 2s x -"- 95,5 %
-
29
3s x -"- 99,7 % Az 3s x 99,7 % valsznsge azt mutatja, hogy az tlag krl megadott 3s interval-lum - normlis eloszlst felttelezve - kzel 1 valsznsggel tartalmazza az azonos k-rlmnyek kztt - mrhet minden mrsi adatot. Fentiek gy is rtelmezhetk, hogy a megadott intervallumokba (s, 2s, 3s) esik tlagosan az sszes mrsek 68,3%, 95,5% ill. 99,7%-a. A 3s hatron bell esik pl. 1000 mrs k-zl 997.
Hiba elfordulsi valsznsgnek meghatrozsa: Annak meghatrozst teht, hogy egy mrsi sorozat terjedelmn bell egy maghatro-zott intervallumba mekkora valsznsggel kerl egy mrsi eredmny, az albbi md-szer szerint vgezzk el:
1. Meghatrozzuk a sorozat tlagt, szrst, tlagos abszolt eltrst, terjedelmt.
2. Meghatrozzuk az s2/E2 rtk alapjn, hogy a sorozat Gauss eloszls-e. Ha a /2 -tl 15%-nl nem nagyobb mrtkben tr el, akkor a sorozat Gauss eloszlsnak tekint-het, s az elfordulsi valsznsg meghatrozsra alkalmazhat a normlis elosz-ls srsgfggvnynek integrlrtkeit megad tblzat (matematikai/mszaki fggvnytblzatokban megtallhat).
3. Amennyiben Gauss eloszls a sorozat, meghatrozzuk, hogy a vizsgland interval-lum (1 2) hatrai a szrssal milyen arnyban llnak
t1 = 1/s; t2 = 2/s
4. A matematikai fggvnytbla normlis eloszls srsgfggvnynek integrl tblza-tbl meghatrozzuk a t1 s t2 rtkekhez tartoz rtkeket, amely meghatrozza az albbi intervallumok elfordulsi valsznsgt:
( ) ( ) ==1 2
2
0
21
11 21,0,0
desPstPs
( ) ( ) == 20 222 21,0,0
desPstPs
2 21
Az intervallumok eljelnek fggvnyben sszeadjuk, vagy kivonjuk a kapott integ-rlrtkeket, amely meghatrozza a keresett intervallum elfordulsi valsznsgt.
5. Amennyiben a 2. pontban azt hatroztuk meg, hogy a sorozat nem Gauss eloszls, akkor nem alkalmazhat a 3. s 4. pontban lert mdszer. Ebben az esetben az el-fordulsi valsznsg kiszmtshoz meg kell hatrozni egy srsgfggvnyt, amely a sorozatra jellemz. Az gy meghatrozott empirikus (gyakorlati, tapasztalati) srsgfggvny integrlsa a keresett intervallumon megadja az elfordulsi valsz-nsget.
-
30
A Gauss eloszls srsgfggvnynek az integrljai:
t 0 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09 0,0 ,1 ,2 ,3 ,4
,0000 ,0398 ,0793 ,1179 ,1554
,0040 ,0438 ,0832 ,1217 ,1591
,0080 ,0478 ,0871 ,1255 ,1628
,0120 ,0517 ,0910 ,1293 ,1664
,0160 ,0557 ,0948 ,1331 ,1700
,0199 ,0596 ,0987 ,1368 ,1736
,0239 ,0636 ,1026 ,1406 ,1772
,0279 ,0675 ,1064 ,1443 ,1808
,0319 ,0714 ,1103 ,1480 ,1844
,0359 ,0754 ,1141 ,1517 ,1879
,5 ,6 ,7 ,8 ,9
,1915 ,2258 ,2580 ,2881 ,3159
,1950 ,2291 ,2612 ,2910 ,3186
,1985 ,2324 ,2642 ,2939 ,3212
,2019 ,2357 ,2673 ,2967 ,3238
,2054 ,2389 ,2704 ,2996 ,3264
,2088 ,2422 ,2734 ,3023 ,3289
,2123 ,2454 ,2764 ,3051 ,3315
,2157 ,2486 ,2794 ,3079 ,3340
,2190 ,2518 ,2823 ,3106 ,3365
,2224 ,2549 ,2852 ,3133 ,3389
1,0 ,1 ,2 ,3 ,4
,3413 ,3643 ,3349 ,4032 ,4192
,3438 ,3665 ,3869 ,4049 ,4207
,3451 ,3686 ,3888 ,4066 ,4222
,3484 ,3708 ,3907 ,4082 ,4236
,3508 ,3729 ,3925 ,4099 ,4251
,3531 ,3749 ,3944 ,4115 ,4265
,3554 3770 ,3962 ,4131 ,4279
,3577 ,3790 ,3980 ,4147 ,4292
,3599 ,3810 ,3997 ,4162 ,4306
,3621 ,3830 ,4015 ,4177 ,4319
1,5 ,6 ,7 ,8 ,9
,4332 ,4452 ,4554 ,4641 ,4713
,4345 ,4463 ,4564 ,4649 ,4719
,4357 ,4474 ,4573 ,4656 ,4726
,4370 4485 ,4582 ,4664 ,4732
,4382 ,4495 ,4591 ,4671 ,4738
,4394 ,4505 ,4599 ,4678 ,4744
,4406 ,4515 ,4608 ,4686 ,4750
,4418 ,4525 ,4616 ,4693 ,4756
,4430 ,4535 ,4625 ,4700 ,4762
,4441 ,4545 ,4633 ,4706 ,4767
2,0 ,1 ,2 ,3 ,4
,4773 ,4821 ,4861 ,4893 ,4918
,4778 ,4826 ,4865 ,4896 ,4920
,4783 ,4830 ,4868 ,4898 ,4922
,4788 ,4834 ,4871 ,4901 ,4925
,4793 ,4838 ,4875 ,4904 ,4927
,4798 ,4842 ,4878 ,4906 ,4929
,4803 ,4846 ,4881 ,4909 ,4931
,4808 ,4850 ,4884 ,4911 ,4932
,4812 ,4854 ,4887 ,4913 ,4934
,4817 ,4857 ,4890 ,4916 ,4936
2,5 ,6 ,7 ,8 ,9
,4938 ,4953 ,4965 ,4974 ,4981
,4940 ,4955 ,4966 ,4975 ,4982
,4941 ,4956 ,4967 ,4976 ,4983
,4943 ,4957 ,4968 ,4977 ,4983
,4945 ,4959 ,4969 ,4977 ,4984
,4946 ,4960 ,4970 ,4978 ,4984
,4948 ,4961 ,4971 ,4979 ,4985
,4949 ,4962 ,4972 ,4980 ,4985
,4951 ,4963 ,4973 ,4980 ,4986
,4952 ,4964 ,4974 ,4981 ,4986
3,0 ,1 ,2 ,3 ,4
,4987 ,4990 ,4993 ,4995 ,4997
,4987 ,4991 ,4993 ,4995 ,4997
,4987 ,4991 ,4994 ,4996 ,4997
,4988 ,4991 ,4994 ,4996 ,4997
,4988 ,4992 ,4994 ,4996 ,4997
,4989 ,4992 ,4994 ,4996 ,4997
,4989 ,4992 ,4994 ,4996 ,4997
,4989 ,4992 ,4995 ,4996 ,4997
,4990 ,4993 ,4995 ,4996 ,4998
,4990 ,4993 ,4995 ,4997 ,4998
3,5 ,6 ,7 ,8
,4998 ,4998 ,4999 ,4999
,4998 ,4999 ,4999 ,4999
,4998 ,4999 ,4999 ,4999
,4998 ,4999 ,4999 ,4999
,4998 ,4999 ,4999 ,4999
,4998 ,4999 ,4999 ,4999
,4998 ,4999 ,4999 ,4999
,4998 ,4999 ,4999 ,5000
,4998 ,4999 ,4999 ,5000
,4998 ,4999 ,4999 ,5000
-
31
1-6. tblzat
1.4.2. Empirikus srsgfggvny meghatrozsa a mrsi adatok csoportostsval
A 1-7. tblzat egy mrsi sorozat adatait tartalmazza nagysg szerint rendezett sorrend-ben (xi), valamint meghatroztuk a sorozat tlagt, szrst (s), az E abszolt tlagos elt-rst, az R terjedelmet s a P valszn hibt. (PC programokkal ezek a szmtsi felada-tok igen gyorsan elvgezhetk.) Az empirikus srsgfggvny ltrehozshoz a mrsi sorozat elemeit clszeren cso-portostjuk. Azt a teljes intervallumot, amelyben a vltozk (mrsi adatok) elhelyez-kednek, felosztjuk kisebb egyenl hosszsg x intervallumokra. Ezeket a kzppont-jukhoz tartoz xr mrsi adattal jellemezzk. Egy adott x intervallumon bell az sszes vltozt megegyezknek tekintjk s egyedi rtkket a x intervallum kzppontja ltal meghatrozott rtkkel helyettestjk. Ezltal a feldolgozand adatok szmt csk-kentettk s ez a cskkents, - ha a x intervallum hosszt kellen vlasztjuk meg - a kapott eredmnyek pontossgt alig befolysolja.
Jellje xri az i-edik, x szlessg intervallum kzppontjt. Ezen intervallumban lev vltozk szma legyen nri, ami nem ms, mint a vltozk gyakorisga.
A szmtsainkhoz vezessk be a (xr) fggvnyt gy, hogy )(x n rr =
A (xr) fggvny bevezetse matematikailag korrekt, mert nr tnylegesen xr-tl fgg. A x szlessg intervallumban lev vltozk szma mindig egsz szm. Ha az sszes rsz intervallumok szma m, akkor nyilvnvalan
= =
==m
1i
m
1irr n )(x n ii
A csoportostott adatok tlaga, ha n elegend nagy szm
= = =
=n
1i
m
1i
m
1irrrri iiii
n x )(x . x x
ebbl kvetkezik, hogy:
= = =
===n
1i
m
1i
m
1irrrrri iiii
nx n1 )(x x
n1x x
n1 x (1.12)
A csoportostott tlagos abszolt eltrs kiszmtshoz meg kell hatroznunk a csopor-tonknti tlagtl val eltrseket:
-
32
==
=
m
irr
n
ii ii
n11
r r iix - x
-
33
A csoportostott tlagos abszolt eltrs kiszmtsa:
=
=m
irrr ii
nn
E1
1 (1.13)
A csoportostott szrs kiszmtsa:
==n1
m
1
m
1r
2rr
2r
2i n n )x - (x
=
=i
rrr iin
ns
1
21 m (1.14)
A tblzatban a csoportostott adatok jellemzit ezen sszefggsek felhasznlsval szmtottuk ki.
Csoportostott adatok brzolsa. A 1-7. tblzat alatti brkon bemutatjuk a tblzat csoportostott adatait.
A 1-11. brn az abszcisszn a x szlessg intervallumokat, ordintaknt pedig a gya-korisgokat mrtk fel. Ezt a grafikus brzolst hisztogramnak nevezzk. A hisztogramok szerkesztse gyakori, mert ezek hasznos kpet adnak a vltozk eloszls-rl.
Az ilyen hisztogramok htrnya az, hogy a hisztogram ordinti az xi esemny bekvet-kezsnek szmt adjk, ezrt a ksrletek n szmnak nvelse az ordintk nvelshez vezet. Ha pl. a tblzatban kzlt mrsi sorozatban vltozatlan krlmnyek mellett n = 20 helyett 40 mrst vgznk s az eredmnyeket az elzvel azonos x szlessg cso-portokbl alkotott hisztogram klnbzik az eredeti brtl. A hisztogram alakja az elzhz kpest mdosul, mivel egyrszt az egy intervallumba es mrsek szma meg-n, tovbb a vltozk terjedelme is kiss nvekszik. Ezzel az brzols vltozik, kt hisztogram sszehasonltsa nehzkess vlik, ezrt clszer a hisztogram ordintjt
normalizlni, azaz ordintaknt nr helyett nnr -et vlasztani, ahol n az sszes mrsek
szma, nnr az r-edik intervallumba es vltozk relatv gyakorisga (r = 1, 2, .... m). Ilyen
brzols mellett a hisztogram ordintja egyenl annak a valsznsgvel, amely val-sznsggel egy tetszleges mrsi adat az adott intervallumba esik:
n
)(x
nn
)x( P rrr==
Belthat, hogy a reduklt ordintk magassga a ksrletek n szmtl - egy bizonyos hatron tl - alig fgg, mivel - azonos ksrleti krlmnyek mellett, az egy intervallum-ba es mrsek szma krlbell arnyosan n n nvekedsvel.
-
34
Fgg azonban a reduklt hisztogram ordintja attl, hogy a x intervallumokat milyen szlesre vlasztjuk. Ktszeres intervallumszlessg mellett az j intervallumba es adatok szma kzeltleg megktszerezdik, mivel pedig az sszes mrsek n szma vltozatlan maradt, a reduklt hisztogram ordinti is kzel ktszeresek lesznek. Fordtott a helyzet, ha az intervallumokat szktjk. Ha n rtke elg nagy, akkor az elmondottak alapjn definilhat egy olyan fggvny, amely invarins mind az n, mind pedig a x vltozs-val szemben. Ez a fggvny:
r
r
r
r
r
rr xn
n xn
)(x x
)P(x )(x f === (1.15)
Az f(xr) fggvnyt empirikus srsgfggvnynek nevezzk. A f(xr) lpcss, illetve az f(x) folytonos srsg fggvny s a reduklt hisztogram kztti klnbsg teht vilgos: a reduklt hisztogram ordintja egyenl azzal a valsznsggel, amellyel egy mrsi adat a xr intervallumba esik. A srsgfggvny esetben viszont ez a valsznsg a xr s az ordinta ltal meghatrozott terlettel egyenl. Ez kitnik az (1.15) egyenletbl:
rrr x )f(x )P(x = Ez az sszefggs kiterjeszthet akrhny intervallumra: gy meghatrozhat annak a valsznsge, hogy a vltoz egy tetszleges, xr-nl nagyobb intervallumba essk. Fel-hasznlva a valsznsg szmtsbl ismert sszefggst, amely szerint fggetlen esem-nyek bekvetkezsnek valsznsge az egyes rszvalsznsgek sszegvel egyenl, felrhatjuk annak valsznsgt, hogy a vltoz x1 s xk kzppontokkal megjellt egyenknt x szlessg intervallumba essk.
x )f(x )f(x + )f(x )P(x + ... + )P(x + )P(x )x ;P(xk
1rxkx1k21k1 ===
Tovbb
==k
1
x
xk1r0
k
1
)x ; P(x f(x)dx x )f(x limx
(1.16)
Az (1.16) egyenlet szerint teht az f(x) approximlt srsgfggvny alatti terlet adja meg azt a valsznsget, amellyel egy mrsi adat az x1, xk tartomnyba esik. A srsgfggvny --tl x-ig terjed integrlsbl kapott F(x) fggvnyt az x vltoz eloszlsfggvnynek nevezzk. E fggvny megadja azt a valsznsget, amellyel az x vltoz az integrlsi hatrok ltal kijellt tartomnyba esik (1-13. bra):
x
dx f(x) = F(x) (1.17)
A ksbbiekben fel fogjuk hasznlni az (1.17) egyenletnek albbi specilis eseteit:
-
35
Annak valsznsge, hogy az x vltoz (x1, x1+dx) intervallumba essk:
P(x1, x1 + dx) = f(x1) dx
tovbb annak valsznsge, hogy az x vltoz a - < x < + intervallumba essk egysgnyi:
+
-
1 = f(x)dx = ) + ,P(-
teht a srsgfggvny alatti terlet egysgnyi. A srsgfggvny felhasznlsval kifejezhet a sorozat tlaga, valamint szrdsnak klnbz jellemzi: Felhasznlva az (1.12) egyenletet az tlag kifejezse:
m1
m
1rrrrr
m
1r x )f(x x = )P(x x = )(x x n
1 = x
Ha akkor 0, x
+
-
f(x)dx x = x
Az (1.13) egyenlet alapjn az tlagos abszolt eltrs:
m1
xrrr
m
1
)(x f )x x( = )(x r)(n1
= E
x 0 esetben pedig
+
-
dx f(x) )x - (x = E
A szrsngyzetek az (1.14) egyenlet szerint.
xr
2m
1
m
1rr
2r
2 )f(x )x -(x = )(x n1
= s
Ha , akkor 0x
+
-
22 dx f(x) )x - (x = s
-
36
illetve a szrs - dx f(x) )x- (x + = s + Fentiekben kimutattuk, hogy az f(x) folytonos srsgfggvny ismeretben meghat-rozhat az tlag, az tlagos abszolt eltrs s a szrs, valamint brmely intervallum elfordulsi valsznsge, az adott intervallumon val integrlssal. Ezrt szksg van arra, hogy a lpcss empirikus srsgfggvnybl ltrehozzunk egy folytonos srsgfggvnyt.
-
37
Egyedi adatokkal Csoportostott adatokkal
i xi i= xi-x0 i2 r xr nr xrnr r= xr-x0 rnr r2 r2nr1 100,4 4,48 20,07 1 100 1 100 4,8 4,8 23,04 23,04
2 101 0
2 101,9 2,98 8,88 3 102 2 204 2,8 5,6 7,84 15,68
3 102,2 2,68 7,18
4 102,8 2,08 4,33 4 103 4 412 1,8 7,2 3,24 12,96
5 103,0 1,88 3,53
6 103,3 1,58 2,50
7 103,3 1,58 2,50
8 103,9 0,98 0,96 5 104 2 208 0,8 1,6 0,64 1,28
9 104,4 0,48 0,23
10 104,9 0,02 0,00 6 105 1 105 0,2 0,2 0,04 0,04
11 105,7 0,82 0,67 7 106 4 424 1,2 4,8 1,44 5,76
12 106,2 1,32 1,74
13 106,4 1,52 2,31
14 106,4 1,52 2,31
15 106,7 1,82 3,31 8 107 5 535 2,2 11 4,84 24,2
16 106,8 1,92 3,69
17 107,0 2,12 4,49
18 107,3 2,42 5,86
19 107,4 2,52 6,35
20 107,6 2,72 7,40 9 108 1 108 3,2 3,2 10,24 10,24
2097,6 37,44 88,31 20 2096 38,4 93,2
16,219
31,88
6,18,1
87,120
44,37
5,42,7+
=L 2,74,1006,107
9,10420
6,2097
62
151
==+==
===
==
==
s
PxxP
xxP
E
R
x
21,219
2,93
92,120
4,38
8,10420
0,2096
==
==
==
r
r
r
s
E
x
1-7. tblzat
-
38
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r
nr
1-11. bra A 1-7. tblzat adatainak gyakorisg hisztogramja
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r
nr/n
1-12. bra A 1-7. tblzat adatainak relatv gyakorisg hisztogramja
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r
nr/n x dx
1-13. bra A 1-7. tblzat adatainak empirikus srsgfggvnye: f(x)=nr / (n x)
-
39
1.4.3. Mrsi sorozatok kirtkelse regresszi analzissel
Legyenek egy mrsi sorozat elemei az X s Y koordintn:
x1, x2, ...xn;
y1, y2, ...yn;
keressk azt az f(x) grbt, amely legjobban megkzelti a mrs sorn kapott ponthal-mazt.
y f(x) x
Hi
1-14. bra
)( iii xfyH = A kzelts meghatrozsra a legkisebb ngyzetes hibk mdszert alkalmazzuk.
A kzelts lehet lineris, ngyzetes, vagy magasabb fok polinom, exponencilis, loga-ritmikus, stb.
==
==
=++=
+=
n
iii
n
ii
bx
xfyHR
eaxfcxbxaxf
bxaxf
1
2
1
2
2
)]([
....)()()(
Keressk R minimumt.
Vgezzk el a regresszi analzist lineris kzeltsre.
bxaxf +=)(
0=aR ; s 0=
bR feltteleket vizsgljuk.
=
=n
iii bxayR
1
2)(
-
40
( )[ ]( )([ ] 02
02
==
==
iii
ii
xbxaybR
bxayaR
)
[ ][ ] 0
02 =
=
iiii
ii
bxaxxy
bxay
0
02 =
=
iiii
ii
xbxayx
xbany
xy
ii
axbya
anx
bn
y
===
!
( )xy
i
ii
ii
ii
iiii
iiii
bxnx
yxnyx
xxx
xyyxb
xbxxbyyx
xbxayx
==
=
==
222
2
2
0
0
Kzelts pontossgnak ellenrzse: A ngyzetes hibk tlagrtke (annl jobb, minl kisebb):
( )[ ]=
=n
iii xfyn
r1
21
Korrelcis lland lineris kzeltsre:
{ } { }{ }{ } ( ){ } ( )( ) nyxxyxy
nyyy
yxyby
nnK
/
/
211
222
2
22
==
=
K2 = 1 - tkletes korrelci
K2 = 0 - nincs korrelcis egyenes
-
41
1.5. Vletlen hibk halmozdsa
A tesztelsi feladatok egy rsze olyan, hogy az eredmnyt tbb rszmrs eredmnynek ismeretben fizikai vagy matematikai sszefggsek felhasznlsval, szmts tjn hat-rozzuk meg. A krds az, hogy a rszeredmnyek mrsi bizonytalansgt ismerve mek-kora lesz a szmtott eredmnyek hibja.
Az elz fejezetben azt vizsgltuk, hogyan hatrozhat meg egy mrsi sorozat szrsa. Megllaptottuk tbbek kztt azt, hogy egy mrsi sorozat eredmnyeknt megadott
3s x intervallumba a mrt rtkek 99,7 % -a jut, normlis eloszlst felttelezve.
Elszr hatrozzuk meg kt mrsi sorozat sszegnek s klnbsgnek tlagt s sz-rst.
Legyen kt mrsi sorozatunk (x s y)
I. mrs szerint: x: x1, x2....xi,....xn
II. mrs szerint: y: y1,....y2,....yi,....yk
Az els sorozat n tagbl, a msodik k tagbl ll. Krds, hogy mi lesz a kt sorozat sz-szegnek az tlaga. Jelljk a keresett tlagot z -gal.
Vegynk sorra egy-egy adatot az egyes sorozatokbl s kpezzk e tagok sszegt:
zij = xi + yj
Az sszes varicit figyelembe vve sszesen kn ilyen tagot tudunk kialaktani, ezrt:
n
1
k
1ji
n
1=i
n
1
k
1jiji
k
1=j
y + x = y k1
+ x n1
= y n + x k nk1
= ) y+ (x nk1
= z
Kt sorozat sszegnek tlaga teht egyenl az egyes sorozatok tlagnak sszegvel. Az elz gondolatmenet alapjn hatrozzuk meg a kt sorozat sszegnek szrsngyze-tt.
Az x sorozat szrsngyzete n>>1 esetn:
n1
2i
2x )x -(x n
1 = s
az y sorozat; ha k>>1:
k1
2j
2y )y - (y k
1 = s
-
42
Hasonlan az elzhz, vegynk egy-egy elemet a sorozatokbl s kpezzk ezek hiba-sszegnek ngyzett:
( ) ( )[ ]= =
+=n
i
k
jjiz yyxxkn
s1 1
22 1 (1.18)
Az egyenlet megoldshoz hasznljuk fel azt, hogy
ni
k
j
n
1=i
2x
22i s n k )x - (x k = )x - (x
i j 1=j
2y
2j
2j s n k )y -(y n = )y - (y
n k n
tovbb azt, hogy az tlagbl vett eltrsek sszege zrus.
ji,
n
1=i
k
1=jjiji 0 = )y (y )x - (x = )y - (y )x - (x
Mindezt helyettestsk be a (1.18) egyenletbe, gy meghatrozhatjuk a kt sorozat ssze-gnek szrsngyzett:
s = s + sz 2
x2
y2 (1.19)
Teht kt sorozat sszegnek szrsngyzete egyenl a sorozatok szrsngyzetnek sszegvel.
Teljesen hasonlan megllapthat kt sorozat klnbsgnek tlaga s szrsngyzete. Legyen az elemek klnbsge
iiij y- x = d
Az sszeg levezetsnl alkalmazott mdszer szerint a kvetkez vgeredmnyt kapjuk:
y - x = d
s 2y
2x
2d s + s = s
-
43
Fenti megllaptsaink kiterjeszthetk tetszleges szm mrsi sorozat sszege tlagnak ill. szrsngyzetnek meghatrozsra. Legyen pl. r szm egymstl fggetlen mrsi sorozatunk, amelyeknek szrsngyzete rendre
2r
22
2,1 s .... s s
akkor az ered szrsngyzet
2r
22
21
2z s + .... + s + s = s (1.20)
lesz.
Mint gyakran elfordul esetet vizsgljuk meg azt, hogy milyen mrtkben mdosul a szrs, ha egy mrsi sorozat elemeit egy c konstanssal megszorozzuk.
c-vel val szorzs eltt a szrsngyzet
n1
2i
2x )x - (x n
1 = s
Ha minden elemet c-vel szorzunk:
2x
n
1
2i
2cx )s (c = )xc - (cx n
1 = s
Ha teht egy sorozat elemeit c-vel szorozzuk, akkor szrsa is c-szeres lesz.
Tovbbiakban vizsgljuk meg a hibk halmozdst matematikai mveletek sorn. A mrstechnikai gyakorlatban rendszeresen elfordul, hogy tbb mrs ltal meghat-rozott elemi esemny ered hibjt is meg kell hatrozni. Ez konkrtan azt jelenti, hogy az egyes sszetevk hibit ismerve ki kell szmolni az sszetett esemny hibjt. Pldaknt legyen adva egy mrshez tartoz eredmnyeknt kt idtartam:
t1 = 100 0,15 sec t2 = 200 0,2 sec
Krds, mekkora t = t1 + t2 sszeg hibahatra.
Mindenekeltt el kell dnteni, hogy a hibahatrok hibaterjedelmet, vagy szrst jell-nek-e.
Ha hibaterjedelmet jellnek, akkor az sszeg hibjnak terjedelmt egyszer sszegzssel knnyen kiszmthatjuk:
-
44
tmax = 100,15 + 200,2 = 300,35
tmin = 99,85 + 199,8 = 299,65
teht t = 300 0,35 sec
Ms a helyzet, ha a hibahatr s 3 nagysg szrs, mert ekkor az (1.19) egyenlet sze-rint azokat ngyzetesen kell sszegezni:
0,25 0,2 + 0,15 =s3 22t = ezzel t = 300 0,25 sec.
Lthat, ha a hibahatr szrs, akkor kedvezbb eredmnyt kapunk a hibahatrra, mint-ha azt L /terjedelem/ alapjn adtk volna meg. Ez rthet is, mert kisebb annak a val-sznsge, hogy t1 s t2 mennyisgek egyidejleg s azonos irnyban legyenek tvol sajt tlaguktl. Kettnl tbb tag sszegezse esetn fenti lltsunk fokozott mrtkben fennll.
Ha kt vagy tbb mennyisg szorzatnak, hnyadosnak ered hibjt akarjuk meglla-ptani, akkor ez a fenti mdszer alkalmazsval elvgezhet, azonban ez meglehetsen bonyolult szmtst ignyel. Sokkal clszerbb egy kzelt mdszer alkalmazsa, amely a szmtst nagymrtkben leegyszersti. Albbiakban ezt a kzelt mdszert ismertet-jk.
Legyen z fggvny az x s y fggetlen vltozk ismert fggvnye:
z = f (x, y)
ahol x s y rtkeit mrs tjn kaptuk meg. Ttelezzk fel, hogy a mrst idelis krl-mnyek kztt, hiba nlkl tudtuk elvgezni, s eredmnyl
x = x0s
y = y0
rtkeket kaptuk. Ezekkel
z0 = f (x0, y0)
-
45
A valsgban hiba nlkli mrs nem vgezhet, vagyis trvnyszeren a mrsnek van mrsi hibja: legyen az x0 mrsnek vletlen hibja dx, az y0 mrs dy:
dx = x - x0dy = y - y0
Legyenek ezek a hibk az x-hez kpest nagyon kicsinyek.
Keressk meg a z0-nak azt a dz vltozst, amely amiatt lp fel, hogy x0 ill. y0 helyett x ill. y rtket mrnk. Ez, mint ismeretes, a z fggvny teljes differenciljval adhat meg:
dyyzdx
xz dz
0000 ,,
+=yxyx
-
46
A parcilis derivltat teht az x0 ill. y0 helyen hatrozzuk meg. Mivel dz, s dx s dy infinitven kicsiny mennyisgek, helyesebb felrni az egyenletet a kvetkez alakban:
yyz
zyxyx
+
=0000 ,,
x xz (1.21)
Ennek az sszefggsnek alkalmazsra tbb lehetsg nylik. a) Tekintsk x, y rtkeit maximlis vrhat bizonytalansgnak. Ez esetben z maxi-mlis vrhat rtkt az egyes tagok abszolt rtkeinek sszege adja meg, mivel z ak-kor lesz maximlis, ha mindkt tag szmrtke maximlis, s eljele pozitv, minimlis pedig akkor, ha mindkt tag eljele negatv. gy teht
yyz
zyxyx
+
=0000 ,,
max x xz (1.22)
Ez a kifejezs tbb vltozra is kiterjeszthet. rdemes ezt a kifejezst egyes matematikai mveletekre konkrtan kifejteni:
sszeads, kivons:
z = x y
z = x + y
A relatv hiba:
xy 1
yy
xy + x
y x dy + x
z
=
= xz (1.23)
Lthat, hogy az sszeg ill. klnbsg vrhat legnagyobb relatv hibja fgg az egyes
tagok arnytl, xy
rtktl. sszeadsnl gy a nagyobbik tag hibja dominl, kivo-
-
47
nsnl pedig ha xy arny kzel ll az egysghez, akkor a nevez zrushoz kzelt, a k-
lnbsg relatv hibja pedig a vgtelenhez tart.
Fontos tanulsg teht: azokat a mrsi mdszereket, amelyek a mrs eredmnyt mint kt egymshoz kzel ll szm klnbsgt adjk, kerlni kell, mivel az ered mrsi hiba igen nagy lehet.
Szorzs, oszts, hatvnyozs:
= y yz + x
xz y x z mn
ahol m s n lehet trtszm vagy negatv szm is.
y x my + x y nx n1-mm1-n =z (1.24) Az (1.24) egyenlet szerint teht szorzsnl a relatv hibk sszegezdnek, osztsnl kivo-ndnak, hatvnyozsnl pedig az ered hiba a hatvny alap relatv hibjnak a hatvny-kitevjvel val szorzataknt addik. Ez az eredmny azonban csak a terjedelemben megadott vletlen hibk szmtsra igaz.
Az gy kiszmtott hiba elgg pesszimisztikus, mivel abbl a felttelezsbl indul ki, hogy az egyes tnyezk hibi akkork s olyan eljelek, hogy az ered hiba maximlis legyen. Ez az eset termszetesen elfordulhat, de az elforduls valsznsge nem nagy. Ezrt relisabb hibasszegezst kapunk, ha felhasznljuk a szrssal kapcsolatban leveze-tett (1.20) egyenleteket.
b) Az (1.21) egyenlet egy sszegezs, mgpedig kt olyan fggetlen vltoz, x s y sz-szege, amelyek mindegyike egy-egy konstanssal,
00 y,xzx
s 00 y,xyz
rtkkel van megszorozva.
Tegyk fel, hogy a vltozknak van szrsa, mgpedig a x-nek sx-nak s y-nak sy s az ered z-nek sz. Figyelembe vve az (1.20) egyenletet, tudjuk, hogy az ered szrs-ngyzet a tagok szrsngyzetnek sszegvel egyenl:
= yyx
2
x
0yx
2z s y
z + s s
000
yz
(1.25)
-
48
Knnyen kimutathat, hogy a x, y, s z eltrsek s s s szrsngyzete egyenl az x, y, ill. z szrsngyezeteivel ill. s -tel, mert:
, x2
y 2
, s z2
s sx2
y2, z
2
x = x0 + x
s s + sx2
x2
x2
0=
mivel x0 = konstans, a szrsngyzete zrus:
-
49
0 s2x0 = teht xx s s =
gy teht az (1.25) egyenletbl a kvetkez egyenletet kapjuk:
2
yy,x
2
xy,x
2 s yz
+ s xz
s0000
=
x (1.26)
A parcilis derivltak az egyenletben mint slyfaktorok szerepelnek. Az ered szrs-ngyzet teht egyenl a parcilis derivltakkal slyozott szrsngyezetek sszegvel. sszehasonltva az (1.22) egyenlet eredmnyt az (1.26) egyenlettel, azt ltjuk, hogy az utbbi az ered szrsra (hibra) kisebb rtket, teht optimistbb eredmnyt ad, mint az elbbi. Az (1.26) egyenlet alkalmazsnak klnsen akkor van jelentsge, ha kett-nl tbb tag eredjrl van sz, mert ilyen esetben az (1.24) egyenlettel meghatrozott hiba tlsgosan nagy rtket ad.
Az (1.26) egyenletbl, konkrt mveletekre a kvetkez eredmnyek addnak: sszeads s kivons.
z = x y
mivel
1 yz
1; xz ==
behelyettestve az (1.26)-ba
s s + sz x
2y2=
sszeg vagy klnbsg ered szrsngyezete egyenl a tagok szrsngyzetnek ssze-gvel.
Ha bevezetjk a relatv szrsokat, akkor
-
50
sz
sx
+ yx
sy
yx
z
x y
=
22
1
-
51
Hasonlan az (1.23) egyenlethez, ha x s y kzel egyenl egymssal, a nevez 0 fel tart, gy az ered relatv szrs nagyon megn. Szorzat, hnyados, hatvny.
Legyen z = xm xn rjuk fel logaritmikus alakban:
lng n + lnx m lnz = ( )
xm
xz
z1
dxlnzd ==
( )yn
dylnzd =
behelyettestve az (1.26) egyenletbe:
2
y
2
x2z s y
n z + s
xm z
= s
2
2y2
2xz n
y
s + m
xs
= zs
Az (1.26) alatti ltalnos kifejezs specilis esetei:
= y
yx
2
x
0yx
2z s y
z + s S000
yz (1.27)
2y
2xz
ys
+ xs
= zs
;yx
= z
xs
m = zs
;x = z xzm (1.28) rdemes egy pillanatra elidzni az (1.28) egyenletnl. Mivel a hatvnyozs a hatvny alap nmagval val tbbszri szorzst jelenti, kzenfekv elvrni azt, hogy a hatvnyt szorzatknt felfogva az (1.27) egyenlet ugyanolyan nagy hibt adjon, mint az (1.28) egyenlet. Ltjuk azonban, hogy nem ez a helyzet. A hatvny szrsra kapott (1.28) egyenlet ugyanakkora hibt ad, mint a lineris hibasszegezs alapjn kapott (1.24) egyenlet, mg az (1.27) egyenlet lineris sszegezsnl kisebb hibt eredmnyez.
Ennek oka kzenfekv. A ngyzetes hibasszegezst annak felttelezsvel vettk le, hogy az egyes tnyezk fggetlenek egymstl, teht a pozitv s negatv hibk egyms-tl fggetlenl, vletlenszeren fordulhatnak el. gy indokolt az (1.27) egyenlettel jel-lemzett, a lineris sszegzsnl kisebb hiba. Ha a hatvnyozst szorzatknt rjuk fel, ak-kor, az egyes tnyezk nem fggetlenek egymstl, a hiba nagysga s eljele minden
-
52
tnyezben ugyanaz, ezrt itt indokolt a pesszimistbb eredmny, az (1.24) egyenlettel megegyez nagyobb hiba.
1.6. Zavarjelek a mrkrben
Zavarjel (zaj): hasznos informcit nem tartalmaz, mrsi hibt okoz jel.
Tpusai: a.) idbeli lefolys alapjn:
- egyenfeszltsg, - vltakoz feszltsg (determinisztikus s sztohasztikus).
b.) keletkezsi hely szerint: - norml vagy soros (Normal Mode Signal), - azonosfzis vagy prhuzamos (Common Mode Signal).
1.6.1. Norml (soros) zavarjelek modellje
Az soros zavarjel a kt mrvezetk kztt lp fel.
1-15. bra
ltalban a mrjel s a zavarjel is komplex, teht a kt jel eredje a komplex sszegk:
EFgbe uuu += Egyenfeszltsg zavarjel
Amennyiben a hasznos jelnek s a zavarjelnek is van egyen (ram / feszltsg) kom-ponense, akkor a zavarjel kiszrhetetlen, csak a keletkezs okt lehet megszntetni. Plda:
Ha egy forraszts kt oldaln nem azonos a hmr-sklet, akkor a termofeszltsg keletkezik, amely-nek mrtke: 3 CV 0/10
1-16. bra
Plda: A Reed-rel kt oldaln is kt klnbz fm tallko-zik. Eltr hmrsklet esetn a keletkez termofeszltsg:
-
53
./5040 0CV
1-17. bra
Vltakozfeszltsg zavarjel - Induktv
A vltakoz feszltsg zavarjelek kztt a leggyakoribb a mrkrbe induktv ton bejut hlzati zavarfeszltsg.
1-18. bra
A mrvezetkek ltal meghatrozott A fellettel arnyos zavarfeszltsg indukldik a krnyez szrt mgneses trbl, amely a hasznos jelhez addik.
dtdBA
dtdui ==
A zavarjel cskkentsnek mdja mrvezetkekben:
a.) mrvezetk sodrsa, b.) sugrz (nagyram) vezetk sodrsa, c.) mrvezetk rnykolsa, d.) sugrz (nagyram) vezetk sodrsa.
Sodrs
A nagyram vezetk sodrsval az egyes hurkok mgneses tere nagy mrtkben csk-kenti egymst
1-19. bra
A mrvezetk sodrsval az egyes hurkokban induklt zajfeszltsg szintn nagy mr-tkben cskkenti egymst:
-
54
1-20. bra
-
55
Az albbi tblzatban a sodrs srsge s az elrhet zavarjel-csillapts kapcsolata ltha-t:
Vezetk Zajcskkents [dB] sodrs nlkli prhuzamos 0
7,5 cm-knt sodrott 23 5 cm-knt sodrott 37
2,5 cm-knt sodrott 41
1-8. tblzat
rnykols
Alacsony frekvencij (pl. 50Hz) mgneses zavar hatsok rnykolsra mgnesesen jl vezet, nagy r relatv permeabilits anyagbl ll csvet, vagy szalagot hasznlnak. Csillapt hatsa az albbi tblzatban lthat:
Vezetk rnylolsa Zajcskkents [dB] 12 Al csvel 0 12 aclcsvel 42,8
1 rteg aclszalaggal 10 5 rteg aclszalaggal 59
1-9. tblzat
A mgnesezhet anyagok r relatv permeabilitsa ~10kHz feletti frekvencikon csk-keni kezd, hatsa egyre rosszabb. Szerencsre egyre nagyobb szerephez jut az rnykol anyagban keletkez rvnyram energiaelnyel hatsa. Nagyobb frekvencikon teht megfelel falvastagsg rz, vagy alumnium burkolattal clszer rnykolni (amely egy-ben az elektrosztatikus zavarok ellen is vd).
Vltakozfeszltsg zavarjel - Kapacitv
A zavarjel elektrosztatikus ton is bejuthat a mrkrbe. Pldul galvanizl berende-zsek kzelben. Itt csak az rnykols hatsos, a vezetkek sodrsa nem.
-
56
1.6.2. Azonos fzis zavarjelek modellje
A jelforrs s a mrmszer nem azonos helyen trtn fldelsi pontjai kztt fellp zavarjel.
1-21. bra
A zavarjel nem jut kzvetlenl a mszer bemenetre, de a bementre jut rsze mr ellen-fzis (soros) zavarjelknt addik a hasznos jelhez.
Ahol:
a hasznos jelfeszltsg gU kzsmdus zajfeszltsg AFU s a mrvezetkek im-
pedancija HZ LZ
a mszererst bementi impedancija
beZ
s a mszer bementek szigetelsi impedancija a fm mszerhzhoz.
LGZ HGZ
1-22. bra
Az impedancik egy hidat alkotnak. A bementre jut zajfeszltsg mrtke a hd ki-egyenltettsgtl fgg. Az kzsmdus zavarjel teht ellenfzis zavarjell alakult t:
1-23. bra
-
57
( )( )LGLHGHHGLLGH
AFHLL
L
HGH
HAFEF ZZZZ
ZZZZU
ZZZ
ZZZUU ++
=
++=
-
58
A zajelnyoms mrtknek defincija (Common Mode Rejection Ratio=CMRR):
[dBUUCMRR
EF
AF lg20= ] A hdra alkalmazva:
( )( )HGLLGH
LGLHGH
ZZZZZZZZ
CMRR ++= log20
A zaj teljes elnyomsa a hd tkletes kiegyenltsvel lenne megvalsthat:
HGLLGH ZZZZ =
A gyakorlatban csak az albbiak biztosthatk:
GHGLG ZZZ == , HGLG ZZZZ >>>> s
Ekkor:
ZZ
ZZZ
CMRR GLH
G
=
A CMRR nvelsnek lehetsgei
GZZ s 0
A mszer bemeneti fokozatnak bels rnykolsval (GUARD) - amely a mszerhztl elszigetelt, zrt fmdoboz - rtke tovbb nvelhet, s ezzel a CMRR is javthat. gZ
-
59
1-24. bra
GGHGHGGGLGLG ZZZZZZ +=+= ** s
A mszereknl: Cj
xRZ GG 1= , teht frekvenciafgg.
A CMRR rtkt 50 s/vagy 60 Hz-re adjk meg a mszer katalgusok.
A GUARD helyes hasznlata egy feszltsgmr mszer esetn
1-25. bra
Fldelsi szempontok sszefoglalsa 1. A fldelsek tudatos kialaktsa, a vletlenszer fldelsek elkerlsvel. 2. Stabil fldels kialaktsa. 3. A jelvezetket s rnykolst csal egyetlen pontban (lehetleg a jelforrs oldaln)
szabad fldelni. 4. GUARD esetn a vezetk rnykolst ezzel kell sszektni, s a mszerhz fldjtl
(GROUND) el kell szigetelni. 5. Tbb eres mrkbel alkalmazsa esetn: 6. A fel nem hasznlt mrvezetkeket sszektve fldelni kell.
-
60
2. Elektronikus mrmszerek
A mrs feladata a mrnki gyakorlatban:
- Tervezsi fzisban a fejleszts alatti berendezs tesztelse. - Gyrtsi fzisban az alkatrsz, flksz termk s a ksztermk ellenrzse. Mikzben teht a mrsek clja a hibk feldertse, ugyanakkor a mrs folyamata is hi-bt okoz, mert a mreszkz jelenlte zavarja a mrend folyamatokat. A zavars cskkentsnek mdja: a mreszkz illesztse a mrend objektumhoz. A mrend mennyisg lehet: Villamos mennyisg (feszltsg, ram, ellenlls stb.). Egyb nem villamos mennyisg: (hmrsklet, er, nyoms, raml gzmennyisg stb.),
melyeket leggyakrabban villamos jell alaktjuk, s gy kzvetett mdon mrjk. A korszer ipari mrstechnika szinte minden nem villamos mennyisget kpes villamos mennyisgg alaktani, s villamos ton, elektronikus mrmszerekkel mrni. a. A mrend jelet szolgltathatja maga a mrend objektum:
2-1. bra
b. A mrend objektumot alkalmasan vlasztott mrjellel tpllva a vlaszfggvnyt mrjk:
2-2. bra
-
61
2-3. bra Az elektronikus mszerek ltalnos blokkvzlata
A bementi s kimenti fokozat illeszti a mrmszert a mrend objektumhoz. Az elektronikus mszereknl - szemben az elektromechanikus mszerekkel - a mrt jel feldolgozsa (pl. egyenirnyts), kijelzse segdenergival trtnik (elem, akkumultor vagy a hlzatbl), gy a mszer ezzel nem terheli a mrendt. A mrmszerek ltalnos jellemzi:
- rzkenysg Sensitivity - Felbontkpessg - Resolution - Pontossg Accurancy - Linearits - Linearity - Stabilits (rvid- s hosszidej) - Stability (Short- and long-time) - Reaglsi sebessg - Speed of response - Tlterhelhetsgi jellemzk - Overload characteristics - Hiszterzis Hysteresis - rzketlensgi sv - Dead band - Mveleti id - Processing time - Szelektivits - Selectivity - Kimeneti jelforma - Output format - Krnyezeti jellemzk - Enviromental conditions - Kltsg, mret, sly - Cost, size, weight - Egyb - Other
-
62
2.1. A digitlis multimterek
A digitlis multimterek - az analg multimterekhez hasonlan - egyen- s vltakoz fe-szltsg, egyen- s vltakoz ram, valamint ohmos-ellenlls mrsre alkalmasak.
Szolgltatsuk azonban - a digitlis jelfeldolgozs rvn - nagyobb lehet az analg msze-reknl.
Kivitelk szerint lehet:
2-4. bra kzi (hordozhat), amelynek tpllsa
elemekkel vagy akkumultorral trtnik.
2-5. bra laboratriumi, amelynek tpllsa a hlzatbl trtnik
A digitlis multimterek elnye az analg mszerekkel szemben: - nagyobb pontossg, - nagyobb rzkenysg, - nagyobb mrsi sebessg, - egyrtelm leolvashatsg, - nagyobb bemeneti impedancia, - nagyobb frekvencia tartomny, - a mrt rtk trolhat, - a mszer mkdtetse automatizlhat.
-
63
Eltekintve a digitlis multimterek bementn mindig megtallhat a mrshatrt kzzel vagy automatikusan kivlaszt oszt fokozattl, a mszer blokkvzlata az albbiakra egyszersthet:
2-6. bra: a mszer egyszerstett blokkvzlata az albbi brn lthat.
A smbl lthat, hogy a mszer a digitalizls eltt minden jelet egyenfeszltsgg ala-kt t.
A digitlis multimterekben rendszerint a ktszeresen integrl (Dual Slope) tpus ADC mkdik. Ennek a bemenetre mindig egyenfeszltsg jut. Teht az ram s ellenlls mrse ese-tn, a mrend jelet mindig egyenfeszltsgg kell alaktani, mg az A/D talakts eltt. A mrs krnyezetben elfordul 50Hz-es zajfeszltsg gyakran rszuperponldik a mrend egyenfeszltsgre, s az is bejut az ADC ramkrbe.
2-7. bra
-
64
A mrend jel Ti integrlsi ideje n*20ms, a leggyakoribb (50Hz-es) zavarjelek kiszrse (integrlsa) rdekben.
2-8. bra
Teht ha a Dual Slope ADC ramkrre jellemz Ti integrlsi idt a hlzatbl szrma-
z msHz
Tz 20501 == n-szeresre vlasztjk, akkor n fggvnyben a zaj kiszrhet.
Az automatizlt funkcii:
polarits vlts s kijelzse, mrshatr vlts, tizedespont kijelzs, offset nullzs kt mrs kztt.
2-9. bra
-
65
-
66
A vltakozjel paramterei
Cscsrtk (Peak Value):
Jele: ,U ,csU pU
Szinuszos jel esetn: U
Lineris, elektronikus kzprtk (Mean Value):
Jele: ,eU ,mvU
= Te dttuTU 0 )(1
Szinuszos jel esetn: 0
Abszolt kzprtk (Average Value):
= Ta dttuTU 0 )(1
Jele: ,aU avU
Szinuszos jel esetn: U637,0
Ngyzetes kzprtk (RMS: Root Mean Square):
Jele: , ,effU RMSU
= Teff dttuTU 02 )(1
Szinuszos jel esetn: U707,0
2.1.1. Az elektronikus mszerek ltal mrt s mutatott rtk
A vltakoz feszltsget is mr digitlis voltmrk - szoksos elnevezsk digitlis mul-timterek renszerint - a jel abszolt kzprtkt mrik. Kijelzjk azonban az elektrome-chanikus mszerek hagyomnyait kvetve effektv rtket (RMS) mutatnak.
-
67
2-10. bra. Egy gyakran hasznlt abszolt kzprtk kpz ramkr
Jel Ua
(abszolt kzp rtk)
Ueff
(effektv rtk = RMS)
a
efff U
Uk =
(formatnyez) eff
pcs U
Uk =
(cscstnyez)
pU2
2pU
11,122=
2
pU
pU
1
1
TtUp
TtUp
Tt
1
Tt
1
2pU
3pU
32
3
pU2
2pU
11.122=
2
2-1. tblzat Nem szinuszos jelek korrekcis tnyezi
-
68
A korrekcik, szinuszos jelet felttelezve:
cscstnyez (crest factor):
2==RMS
pcs U
Uk
forma tnyez (form factor):
11,1637,0707,0 ===
a
efff
UUk
A mszer ltal hasznlt korrekcis tnyez csak szinuszos jelek mrse esetn ad helyes eredmnyt. Ettl eltr alak jelek esetn a mszer hamis rtket mutat. Nhny tipikus, nemszinuszos jel korrekcis tnyezjt adja meg a 2-1. tblzat.
2.1.2. Vals effektv rtket mr digitlis voltmrk (TRMS)
A korszer, mikroprocesszoros DMM mr brmilyen bementi jel esetn folyamatosan el tudja vgezni az igazi effektv rtk szmtst (ngyzetre emelst, integrlst s gykvo-nst), gy nincs szksg az 1,11-es szorzra.
Az ilyen mszerek neve: True Root Mean Square DMM (TRMS-DMM). Egy lehetsges megolds blokkvzlata:
2-11. bra
2.1.3. A mrs kijelzse dB-ben
A korszer digitlis multimterek a mrt rtket decibelben is kijelzik. A kijelzs egy referencia feszltsghez viszonytva trtnik:
-
69
referencia
mrt
UUdB log20=
Ahol: az a feszltsg, amelyet refU 600 -os terhel ellenllson teljestmny hoz ltre.
mW1
VWUref 7746,0600*103 ==
2.1.4. A digitlis multimterek mszer mrsi hibja
A digitlis mszerek hibja az analg rsz hibjbl s a digitlis szmlls hibjbl te-vdik ssze. A megads lehetsges mdjai: A mrt rtkre vonatkoztatott hrdg (rdg, reading, leolvasott rtk) hiba:
%100mHh irdg =
Ahol: Hi a mrs abszolt hibja, m pedig az ppen mrt rtk.
A mrshatrra vonatkoztatott hFS (fs, full scale, mrshatr) hiba:
%100FS
iFS p
Hh =
Ahol: Hi a mrs abszolt hibja, pFS a mszer aktulis mrshatra. A kt hiba egymssal kifejezhet, gy a mrt rtkre vonatkoztatott hiba:
mphh FSFSrdg =
Az impulzusszmllsbl add hCount hiba:
%100NDhCount =
Ahol: N a digitlis mszeren kijelzett szm rtke a tizedespont figyelembevtele nlkl, a bizonytalan jegyek szma. D
Plda: Legyen egy digitlis mszer mrshatra 5V, s mutasson a mszer ppen 4,785V-ot. A mszer pontossgi adatai: hFS = 0,07% s .1=D
%073,0785,45%07,0 ==
VV
mU
hh fsFSrdg
-
70
%021,0%1004785
1 ==Counth Az ered hiba relatv:
%094,0%021,0%073,0 =+=h
-
71
A mszer a mrt rtk krl:
mVVmh
Hi 5,4785,4%100%094,0
%100=== hibasvot okoz.
Szmoljuk ki ugyangy a mrsi hibt arra az esetre, amikor a felhasznl nem automati-kus mrshatr vlts llsban alkalmazza a mszert, hanem hagyja az 5V-os hatrnl, s csak 0,045V-ot mr. Ekkor
%777,7045,05%07,0 ==
VV
mU
hh fsFSrdg
%22,2%100451 ==Counth
Az ered hiba relatv:
%997,7%22,2%777,7 =+=h A mszer a mrt rtk krl:
mVVmh
Hi 6,3045,0%100%997,7
%100=== hibasvot okoz.
sszehasonltva a mrsi hibkat ne tvesszen meg minket az, hogy abszolt rtkben a msodik esetben kisebb a hiba rtke, ez digitlis mszereknl termszetes, hiszen lnye-gesen kisebb rtket mrtnk. Amint viszont azt mr az I. fejezetben megtanulhattuk, a mrs pontossgnak legfontosabb jelzszma a relatv hiba, ez mutatja meg, hogy meny-nyire hasznlhat egy mrsi eredmny. Ha a relatv hibkat sszehasonltjuk, akkor megdbbent klnbsget ltunk, az els esetben a relatv hiba kisebb, mint 0,1%, ami egy nagyon pontos mrsnek felel meg, mg a msodik esetben majdnem 8% a mrs re-latv hibja, ami digitlis mrstechnikban elfogadhatatlan rtk. Figyeljnk teht a digi-tlis mszereknl is arra, hogy a mrshatrt hogyan lltjuk be!
-
72
2.2. Jelgenertorok
Jelgenertorok, olyan jelforrsok, amelyek periodikus idfggvnyeket lltanak el.
2-12. bra
Csoportostsuk:
Szinuszos genertorok: - Hangfrekvencis genertorok (DC100kHz). - Szignlgenertorok (10 kHz100 GHz, modulcis lehetsggel). - Sweep genertorok (10 MHz100 GHz).
Nemszinuszos genertorok: - Fggvnygenertorok (DC50 MHz, szinusz, hromszg, ngyszg, frsz, im-
pulzus, tetszleges hullmforma). - Impulzusgenertorok (DC500 MHz).
A jelgenertorok blokkvzlata:
Jelformlramkr
Kimenetioszt
Vezrlramkr
Alaposzcilltorjel kimenet
-
73
2-13. bra
-
74
2.2.1. Frekvencia talakts
Tetszleges frekvencia elllthat egy, nagypontossg oszcilltor frekvencijbl.
Frekvencia talakts
DIRECTnylt hatslnc
INDIRECTzrt hatslnc
2-14. bra
Direct hatslnc: pl. frekvencij szinuszos jel alakjnak eltorztsa, majd a kelet-kez harmonikusok sztszrse;
0f
Indirect hatslnc: klnbz frekvencik ellltsa konstans frekvencibl fziszrt hurok (Phase Locked Loop = PLL) segtsgvel.
A legkorszerbb frekvencia szintetizls PLL hurkok segtsgvel trtnik. A negat visszacsatols PLL szablyoz hurok biztostja, hogy az f1 referenciafrekvencia s egy feszltsggel hangolhat oszcilltor (Voltage Conrtolled Oscillator=VCO) fk ki-meneti frekvencija csak fzisban trhessen el egymstl.
2-15. bra
A VCO-t hangol uh hibafeszltsg csak egy szk tartomnyon bell kpes stabil frek-vencit belltani, ami a kvnt frekvencia belltsa szempontjbl aszimmetrikus is. Ezrt az albbi brn lthat, hogy definilhat egy befogsi tartomny, s egy bvebb benttartsi tartomny.
-
75
2-16. bra A PLL hurok frekvencia s a VCO (Voltage Controlled Oscillator) hangol feszltsg kapcsolata hU
-
76
A VCO hangolsi szoksos tartomnya: %50...52
0
ffB kztt vltozhat.
A negatv visszacsatols szablyoz hurok lehetv teszi kt frekvencia sszeadst, kivonst, konstanssal val szorzst.
Elhangol feszltsg
A feszltsggel hangolhat oszcilltort (VCO) a megfelel nvleges frekvencira kell hangolni - egy un. elhangol feszltsggel - ahhoz, hogy a hibafeszltsggel finomhangolni lehessen.
2-17. bra
Frekvencik sszeadsa
A PLL hurok kt frekvencia sszeadsra is alkalmas. Elve a heterodin kevers:
( ) ([ ]ttUUtUtUtu 21212122113 coscos2sin*sin)( +== ) Lthat, hogy a szorz egysggel a kt frekvencia klnbsge s sszege llthat el. A PLL hurokban felhasznlhatjuk:
a kt frekvencia klnbsgt: als kevers, a kt frekvencia sszegt: fels kevers. Az albbi hurokban az als keverst hasznlva: 21 fffk += kt frekvencia sszege llt-hat el.
2-18. bra
-
77
Frekvencia tbbszrzse
A visszacsatol gba elhelyezett osztval frekvenciatbbszrzs valsthat meg:
2-19. bra
Nff
f k 21= 21 fNffk +=
A teljes PPL-blokk, amely az elhangol feszltsget is a digitlis vezrlkdbl lltja el egy A/D talakt keresztl.
2-20. bra
-
78
2.2.2. Egy ngy-dekdos frekvencia genertor blokk-vzlata
Plda 543,2kHz frekvencia ellltsra 1MHz-es kvarc pontossg oszcilltor frekvenci-jbl:
2-21. bra
2.3. Analg oszcilloszkp
2.3.1. Az analg oszcilloszkpok ltalnos jellemzi
Az oszcilloszkpnak nagy a bemeneti impedancija, ezr