istatistik unite03

8/3/2019 istatistik unite03

http://slidepdf.com/reader/full/istatistik-unite03 1/32

Çal›flma Biçimine ‹liflkin Olarak:

• Önceki ünitelerde verilen kavramlar› yeniden gözden geçirmeli,

• Verilen örnekleri dikkatle incelemelidir.

35

Merkezi E¤ilim veDe¤iflkenlik Ölçüleri3



‹statist ik36

Amaçlar:

Merkezi e¤ilim ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik serilerinin or-

talamalar›n› hesaplayabileceksiniz.De¤iflkenlik ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik serilerine iliflkin

de¤iflkenlik ölçülerini hesaplayabileceksiniz.

‹çindekler

• G‹R‹fi • MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ (ORTALAMALAR)

• Duyarl› Ortalamalar • Duyarl› Olmayan Ortalamalar

• Serinin Simetri Durumuna Göre Ortalamalar Aras›ndaki ‹liflki • DE⁄‹fiKENL‹K ÖLÇÜLER‹

• De¤iflim Aral›¤› • Standart Sapma

• De¤iflim Katsay›s›



G‹R‹fiMerkezi e¤ilim ölçüleri, ad›n›n da ça¤r›flt›raca¤› gibi bir veri kümesinin ortas›n›

belirleme e¤iliminde olan say›sal de¤erlerdir. Ortalama terimi genelde bu ölçüler-le ilgilidir.Bu ünitede öncelikle merkezi e¤ilim ölçüleri (ortalamalar) ele al›nacak, sonra

da de¤iflkenlik ölçülerine yer verilecektir.

MERKEZ‹ E⁄‹L‹M ÖLÇÜLER‹ (ORTALAMALAR)

Merkezi e¤ilim ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik serilerinin ortalamalar›n› hesaplayabileceksiniz.

Bir ortalama ile, nüfus, h›z, ›fl›k y›l›, ›s› ve benzeri gibi ölçülebilen ya da say›labi-

len bir olay ya da nesneye iliflkin derlenen veri kümesini temsil edebilen, tek birde¤er hesaplan›r. Ancak bir kaç tane olan merkezi e¤ilim ölçülerinin her biri, ay-n› veri kümesi için farkl› bir tablo çizer.

Genifl anlamda ortalama, bir istatistik serisindeki gözlem de¤erlerinin, etraf›n-da toplanma e¤ilimi gösterdi¤i de¤er olarak tan›mlan›r.

Konuya aç›kl›k kazand›rmas› aç›s›ndan afla¤›daki örne¤i göz önüne alal›m.9 dairelik bir apartmanda oturan ailelerin ayl›k gelirleri milyon TL olarak afla-

¤›daki gibi olsun.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

Bu ailelerin normal geliri nedir sorusunun cevab›, muhtemelen gelirlerin orta-lamas›d›r biçiminde olacakt›r.

‹zleyen kesimlerde örnekte sözü edilen normal gelirin hesaplanmas›nda kulla-n›lan merkezi e¤ilim ölçüleri, baflka bir anlat›mla ortalamalar ayr›nt›lar›yla gözdengeçirilecektir.

Ana çizgileriyle ortalamalar, duyarl› ve duyarl› olmayan ortalamalar olmak üze-re, iki ana bafll›k alt›nda incelenebilir.

Duyarl› OrtalamalarDuyarl› ortalamalar, serideki tüm gözlem de¤erlerinden etkilenen ortalamalard›r.

Bu ünitede duyarl› ortalamalardan sadece aritmetik, geometrik ve kareli orta-lamalar ele al›nacakt›r.

Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama, bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri toplam›n›n, gözlem

say›s›na oran› olarak tan›mlan›r.Seriyi oluflturan gözlem de¤erleri x1, x2, ..., xn aritmetik ortalama da ile

gösterilirse tan›m uyar›nca,

olarak hesaplan›r.

x = x1 + x2 + ...+ xnn

=xi

i=1

n

n

x

Ünite 3 - Merkezi E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüleri 37

A M A Ç

1

Ortalama, bir seride enküçük de¤erle en büyükde¤er aras›nda yer al›r.(Xmin < ortalama < X max)

Bir seride aritmetikortalama, seriyi oluflturangözlem de¤erleri toplam›gözlem say›s›na bölünerekhesaplan›r.



Ç Ö Z Ü M

‹statist ik38

Ö R N E K 1

x = 6930∑

Ö R N E K 2

Ç Ö Z Ü M

En kolay hesaplanan ve en çok kullan›lan ortalama, aritmetik ortalamad›r.E¤er ne tür oldu¤u belirtilmeden bir ortalamadan söz ediliyorsa, muhtemelen kas-tedilen aritmetik ortalamad›r.

Yukar›da verilen 9 dairelik apartmanda oturan ailelerin normal gelirini, aritmetik ortalama kullanarak hesaplay›n›z.

X, ailelerin ayl›k gelirlerini göstermek üzere gelirlerden oluflan basit seri afla¤›da-ki gibi olacakt›r :

x (milyon TL)520580670700

700700860

10001200

Ailelerin toplam geliri 6930 milyon TL oldu¤undan tan›m do¤rultusunda, toplamgelir aile say›s›na bölünerek ortalama gelir,


Afla¤›da verilen basit serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Gözlenen de¤erlerin toplam› 85 ve gözlem say›s› da 5 oldu¤undan


x =x∑

n= 85

5= 17

x =x∑

n= 6930

9= 770 milyon TL

x10131620

2685



Ç Ö Z Ü M

Öte yandan frekans serilerinde her gözlem de¤eri frekans› kadar tekrarland›-¤›ndan, aritmetik ortalama hesaplan›rken gözlem de¤erleri frekanslar›yla çarp›la-rak toplan›r ve bu sonuç frekanslar toplam›na bölünür.

Afla¤›daki örne¤i dikkatle inceleyiniz.

Afla¤›da verilen frekans serisinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

Verilen seri, 2 tane 10, 3 tane 12, 6 tane 15, 4 tane 19 ve 1 tane de 21 de¤e-rinden oluflmufltur.16 gözlem de¤erinin toplam›,

olarak elde edilir.Bu toplam, gözlem de¤eri frekanslar ile çarp›larak afla¤›daki gibi kolayl›kla eldeedilebilir.

x f xf 10 2 10. 2 = 2012 3 12. 3 = 3615 6 15. 6 = 9019 4 19. 4 = 7621 1 21. 1 = 21

16 243

Hesaplanan gözlem de¤erleri toplam› , frekanslar toplam›na bö-lünerek aritmetik ortalama,

olarak hesaplan›r.Örnekten de görülebilece¤i gibi, frekans serilerinde aritmetik ortalama,

ile hesaplan›r.

x =xf ∑f ∑

= 24316

= 15,1875

f ∑xf ∑

Ünite 3 - Merkezi E¤i l im ve De¤iflkenl ik Ölçüleri r i 39

x∑ = 10 + 10 + 12 + 12 + 12 + 15 + 15 + 15+ 15 + 15 + 15 + 19 + 19 + 19 + 19 + 21

x∑ = 2 10 + 3 12 + 6 15 + 4 19 + 21

= 20 + 36 + 90 + 76 + 21= 243

2 3 6 4 1

x f 10 212 315 619 421 1

16

Ö R N E K 3

x = x1f 1 + x2f 2 + ... + xnf nf 1 + f 2 + ... + f n

=

xif i∑i = 1

n

f i∑i = 1

n



‹statist ik40

Ö R N E K 4

x f

10 1215 2020 2525 2530 1535 3

100

Ç Ö Z Ü M

x =xf ∑f ∑

= 2100100

= 21

Ö R N E K 5

S›n›flar f 10 -14 414 - 18 518 -22 822 - 26 6

26 -30 2

f ∑ = 25

Afla¤›da verilen serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

x f xf 10 12 120

15 20 30020 25 50030 25 62535 15 45030 3 105

100 2100

olarak elde edilir. Aritmetik ortalama s›n›fland›r›lm›fl serilerde de frekans serilerinde oldu¤u gibi he-saplan›r. Ancak dikkat edilmesi gereken, de¤iflken de¤erleri olarak s›n›f orta nok-talar›n›n al›nmas›d›r.

Afla¤›da verilen serinin aritmetik ortalamas›n› hesaplay›n›z.



Ç Ö Z Ü

M


Ö R N E K 6

x f u23 1 2325 25 2526 26 2628 28 100

102 80 174

Ç Ö Z Ü M

xf ∑ = 488f ∑ = 25

x =xf ∑f ∑

= 48825

= 19,52

S›n›flar f x xf 10 - 14 4 12 48

14 - 18 5 16 8018 - 22 8 20 16022 - 26 6 24 14426 - 30 2 28 56

Buradan,

olarak elde edilir. Ancak dikkat etmek gerekir ki, s›n›flamadaki kay›plar nedeniyle, s›n›fland›r›lm›flserilerde aritmetik ortalama, yaklafl›k olarak hesaplanabilmektedir.

Aritmetik Ortalaman›n Özellikleri• Aritmetik ortalama duyarl› bir ortalamad›r ve serideki afl›r› de¤erlerden do¤ru-

dan etkilenir.

Aritmetik ortalama afla¤›daki serilerin hangisinde daha temsilidir?

Görülece¤i gibi serideki bir tek de¤erin de¤iflmesi bile, ortalamay› etkilemektedir.x serisinin ortalamas› seriyi oluflturan gözlem de¤erlerine oldukça yak›n, baflka biranlat›mla temsil yetene¤i daha yüksektir. y ve u serilerinde ise gözlem de¤erle-rindeki afl›r› k›ymetlerin büyüklü¤üne ba¤l› olarak, ortalamalar›n temsil yetene¤iazalm›flt›r.

x =x∑

n= 102

4= 25.5

y = y ∑n

= 804

= 20.0

u =u∑

n= 174

4= 43.5



‹statist ik42

• Gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n›n toplam› s›f›rd›r.

Baflka bir anlat›mla olur.

Bu özellik afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir :

E¤er verilen seri bir frekans serisiyse, her gözlem de¤erinden aritmetik ortala-ma ç›kart›l›r ve ilgili gözlem de¤erinin frekans›yla çarp›ld›ktan sonra, toplam de-¤er hesaplan›r. ‹fllemler afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir :

• Gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n›n kareleri top-lam› minimumdur.Bu özellik de afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir:

x =xf ∑f

= 115016

= 71.875

x =x∑

n= 150

5= 30

xi - x = 0∑i=1

n

Ö R N E K 7 x10 10 - 30 = -2020 20 - 30 = -1030 30 - 30 = 0040 40 - 30 = 1050 50 - 30 = 20

150

x - x

x - x

∑= 00

Ö R N E K 8

x f xf (x - ) (x - ) f 50 1 50 50 - 71.875 = -21.875 -21.87560 3 180 60 - 71.875 = -11.875 -35.62570 6 420 70 - 71.875 = -1.875 -11.25080 4 320 80 - 71.875 = 8.125 32.50090 2 180 90 - 71.875 = 18.125 36.250

16 1150 -68.750

68.750

x x

x - x∑ = 00,000



Verilen X serisinde, aritmetik ortalamadan daha küçük (25) ya da daha büyükbir de¤er (40) ç›kart›l›rsa sonuçlar,

olarak elde edilir. Aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalar›n kareleri toplam› 1000’dir. Ancak bu

ortalamadan küçük (25) ve büyük (40) de¤erler ç›kart›ld›¤›nda, görülece¤i gibicebirsel sapmalar›n kareleri toplam› 1000’den büyük ç›kmaktad›r.

Tart›l› Aritmatik OrtalamaE¤er bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri aras›nda önem derecesine göre farklar

varsa ve bu farklar ortalama hesab›nda göz önüne al›nmak isteniyorsa, böyle du-rumlarda tart›l› ortalama hesaplan›r.

t, tart›y› ’de tart›l› aritmetik ortalamay› göstermek üzere, tart›l› aritmetik or-

talama basit serilerde,

frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde ise,

eflitlikleriyle hesaplan›r.

xt =xtf

tf

xt =xt

t

xt

x - 25 2∑ = 1125 ve x - 40 2∑ = 1500

x = 30


Ö R N E K 9 x (x - ) (x - )2

10 -20 40020 -10 10030 00 00040 10 10050 20 400

x x

x - x 2∑ = 1000

x x - 25 (x - 25) 2 (x - 40) (x - 40)2

10 -20 225 -30 90020 -5 25 -20 40030 5 25 -10 10040 15 225 00 00050 25 625 10 100

x - 25 2∑ = 1125 x - 40 2∑ = 1500

Gözlem de¤erleri aras›ndakiönem derecesine görefarklar, ortalamahesaplan›rken göz önüneal›nmak istenirse, tart›l›ortalama hesaplanmal›d›r.



‹ktisadi ve ‹dari Bilimler Fakültesi ‹flletme Bölümü’ndeki birinci s›n›f ö¤- rencisinin güz döneminde ald›¤› dersler, baflar› notlar›, baflar› notlar›n›n

katsay›lar› ve kredi de¤erleri afla¤›da verilmifltir:

Ö¤rencinin dönem not ortalamas›n› katsay› cinsinden hesaplay›n›z.

Dersler Baflar› Notlar› Katsay›lar Kredi De¤erleri xt Genel Matematik I AA 4.0 5 20.0

Türkçe I AB 3.7 2 7.4

Makro Ekonomi I CC 2.0 3 6.0

Genel iflletme BC 2.7 3 8.1

A.‹.‹.T AB 3.7 2 7.4

15 48.9


Tart›l› ortalamalarda tart›lar›, gözlem de¤erlerini önem derecesine göre farkl›

k›lan de¤erler oluflturur. Tart› kavram›yla ilgili olarak afla¤›daki örne¤i dikkatle

gözden geçiriniz.

Matematik, ‹statistik, Fizik, Kimya ve Biyoloji bölümlerinden oluflan bir Fen Fakültesinde, tüm bölümlerin birinci s›n›flar›na güz döneminde veri-

len Genel Matematik I dersinin birinci ara s›nav sonuçlar›na iliflkin bölüm baflar› ortalamalar› afla¤›da verilmifltir:

Genel Matematik I dersinin fakülte düzeyindeki baflar› ortalamas›n› bulunuz.

xt =xt∑t∑

= 48,915

= 3.26

‹statist ik44

Ö R N E K 1 0

Dersler Baflar› Notlar› Katsay›lar Kredi De¤erleri

Genel Matematik I AA 4.0 5

Türkçe I AB 3.7 2

Makro Ekonomi I CC 2.0 3

Genel iflletme BC 2.7 3

A.‹.‹.T AB 3.7 2

15

Ö R N E K 1 1

Bölümlerin Bölümlerin Ö¤renci

Bölümler Baflar› Ortalamalar› Say›lar› f

Matematik 70 70

‹statististik 65 60

Fizik 68 50

Kimya 50 40

Biyoloji 50 25

x

Ç Ö Z Ü M



Bölümler Baflar› Ortalamas› Ö¤renci Say›s›

f xf

Matematik 70 70 4900‹statististik 65 60 3900

Fizik 68 50 3400

Kimya 50 40 2000

Biyoloji 50 25 1250

245 15450


Uygulamada ortalamalar›n ortalamas›, oranlar›n ortalamas› ve baz› bileflik in-deksler tart›l› ortalama kullan›larak hesaplan›r.

Geometrik OrtalamaGeometrik ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin çarp›m›n›n gözlem de-¤eri say›s›na eflit mertebeden kökü olarak tan›mlan›r. E¤er seriyi oluflturan gözlemde¤erleri x1, x2, ..., xn ile ve geometrik ortalama da G ile gösterilirse geometrikortalama,

eflitli¤i ile hesaplan›r. Ancak seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin say›s› artt›¤›n-da, geometrik ortalamay› yukar›daki formül yard›m›yla hesaplamak güçleflir.Böyle durumlarda geometrik ortalama logaritma yard›m›yla afla¤›daki eflitliklehesaplan›r.

Görülece¤i gibi geometrik ortalaman›n logaritmas›, gözlem de¤erlerinin logarit-malar›n›n aritmetik ortalamas›na eflittir.

Afla¤›daki basit serinin geometrik ortalamas›n› hesaplay›n›z.

logG = 1n

log x ii = 1

n

G = x1 . x2 . ... .xnn

= xiPi = 1

nn

xt =xf ∑f ∑

= 15450245

= 63,06

x


Ç Ö Z Ü

M

Oranlar›n ortalamas›,ortalamalar›n ortalamas› vebaz› bileflik indeksler, tart›l›ortalama kullan›larakhesaplan›r.

Bir serinin geometrikortalamas›, serideki gözlemde¤erleri çarp›m›n›n, gözlemde¤eri say›s›na eflitmertebeden kökü al›narakhesaplan›r.

Ö R N E K 1 2

x25820



‹statist ik46

Ç

Ö Z Ü M Geometrik ortalaman›n tan›m› do¤rultusunda,

olarak elde edilir.

Frekans serilerinde ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde geometrik ortalama,

eflitli¤iyle hesaplan›r.

E¤er bir seriyi oluflturan gözlem de¤erleri, bir önceki gözlem de¤erine ba¤l›olarak de¤ifliyor ve de¤iflimin h›z› belirlenmek isteniyorsa bu durumda geometrikortalama hesaplan›r.

Uygulamada milli gelir, nüfus, bileflik faiz ve baz› bileflik indekslerin hesaplan-mas›nda geometrik ortalama kullan›l›r.

Kareli OrtalamaKareli ortalama, seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin karelerinin toplam›n›n göz-lem say›s›na oran›n›n kare kökü olarak tan›mlan›r.

Kareli ortalama K ile gösterilirse kareli ortalama,


K = x12 + x1

2 +... + xn2

n=

xi2

i = 1

n

n

log G = 1

f ii = 1

nf i log xi

i = 1

n

G = 2.5.8.20

4

= 1600

4

= 6.32 ya da,

log G = 14

log2 + log5 + log8 + log20

= 1

40.30103 + 0.69897 + 0.90309 + 1.30103

= 14

3.20412

= 0.8010

G = 6.32



Afla¤›da verilen basit serinin kareli ortalamas›n› hesaplay›n›z.

x x2

1 13 95 25

7 498 6410 100

248olarak elde edilir ve kareli ortalama,


Frekans ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde kareli ortalama,


Afla¤›daki serinin kareli ortalamas›n› hesaplay›n›z.

K = x2f

f

K = x2

n= 248

6= 6.4291


Ö R N E K 1 3

Ç Ö Z Ü M

Ö R N E K 1 4

S›n›flar f 0 - 4 14 - 8 4

8 - 12 812 - 16 516 - 20 2

20

Kareli ortalama, seriyi

oluflturan gözlemde¤erlerinin kareleritoplam›n›n, gözlem say›s›naoran›n›n kare kökü al›narakhesaplan›r.

x

1357810



Ç

Ö Z Ü M

‹statist ik48

Ö R N E K 1 5

Ç Ö Z Ü M

Hesaplamalar afla¤›daki gibidir:

S›n›flar f x x2 x2f

0 - 4 1 2 4 44 - 8 4 6 36 1448 - 12 8 10 100 80012 - 16 5 14 196 98016 - 20 2 18 324 648

20 2576Kareli ortalama,

olarak elde edilir.

Görülece¤i gibi, kareli ortalama da tüm gözlem de¤erlerinin büyüklüklerindenetkilenen, duyarl› bir ortalamad›r.

Duyarl› Olmayan OrtalamalarDuyarl› olmayan ortalamalar, seriyi oluflturan tüm gözlem de¤erlerinin büyüklük-lerinden etkilenmeyen ortalamalard›r.

‹zleyen paragraflarda duyarl› olmayan ortalamalardan sadece medyan ve modele al›nacakt›r.

Medyan

Bir istatistik serisinde tam ortaya düflen ve dolay›s›yla seriyi iki eflit k›sma bölengözlem de¤erine medyan denir.

Afla¤›daki basit serinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Verilen seriyi tam ortadan ikiye bölen gözlem de¤eri 3. gözlem de¤eri olan 15’dir.

Med = 15

Görülece¤i gibi, seride bu de¤erden küçük ve büyük olmak üzere 2’fler gözlemde¤eri bulunmaktad›r.Ünitenin bafl›nda verilen 9 ailenin ayl›k gelirler (milyon TL) serisini tekrar gözönüne alal›m.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

K = x2f f

= 257620

= 11.3490

x1012151720

Bir serinin medyan›, ilgiliseriyi tam eflit iki k›smabölen gözlem de¤eridir.




Ç Ö Z Ü M

Aritmetik ortalama kullanarak ayn› apartmanda oturan ailelerin ayl›k ortalamageliri 770 milyon TL bulunmufltu. Görülece¤i gibi, 3 ailenin ayl›k geliri aritmetikortalamadan büyük, 6 ailenin de ayl›k geliri aritmetik ortalamadan küçüktür.

Bu grubun ayl›k gelirinin, gelirler büyüklük s›ras›na kondu¤unda tam ortada-ki ailenin geliri taraf›ndan temsil edilmesi istenebilir. Bu durumda ortalama gelir,medyan kullan›larak hesaplanmal›d›r.

Ayl›k gelirler serisini tam eflit iki k›sma bölen gelir, baflka bir anlat›mla ilgili se-rinin medyan› 5. gözlem de¤eri olan 700 milyon TL’dir. Dikkat edilirse 700 milyon TL’den küçük 3, büyük de 3 gelir düzeyi vard›r.

E¤er söz konusu apartmanda 9 de¤il de 10 aile ikamet ediyor olsayd›, budurumda orta aile (5,5. aile) söz konusu olmayacakt›r. Böyle durumlarda medyantam ortaya düflen iki gözlem de¤erinin aritmetik ortalamas› al›narak hesaplan›r.

Afla¤›da 8 gözleme iliflkin sonuçlar, gözlem s›ras›na göre verilmifltir :

2, 7, 3, 8, 7, 3, 4, 10

Gözlem de¤erlerine iliflkin medyan› hesaplay›n›z.

Öncelikle gözlenen de¤erler büyüklük s›ras›na konmal›d›r (Bir istatistik serisioluflturulmal›d›r).

x233477810

Görülece¤i gibi, verilen seride tam ortaya 4 ve 7 olmak üzere 2 de¤er düflmekte-dir. Yukar›daki aç›klamalar do¤rultusunda medyan, bu iki gözlem de¤erinin arit-metik ortalamas› olacakt›r.


Süreksiz serilerde medyan›n hangi s›radaki gözlem de¤eri oldu¤u, n seridekigözlem say›s›n› göstermek üzere, ile bulunur.

Yukar›daki 8 gözlemde oluflan örnekte medyan, s›radaki göz-

lem de¤eridir. 4 ve 5. gözlem de¤erleri s›ras›yla 4 ve 7 oldu¤undan medyan bu

de¤erlerin aritmetik ortalamas› al›narak hesaplanm›flt›r.

Buna göre 7 gözlem de¤erinden oluflan bir seride medyan, göz-

lem de¤eri, 100 gözlem de¤erinden oluflan bir seride ise medyan,100 + 1

2= 50.5

7 + 12

= 4.

8 + 12

= 4.5

n + 12

Med = 4 + 72

= 112

= 5,5

Ö R N E K 1 6



gözlem de¤eri, baflka bir anlat›mla 50 ve 51. gözlem de¤erlerinin aritmetik ortala-

mas› al›narak hesaplanacakt›r.

Frekans serilerinde de medyan›n kaç›nc› gözlemin de¤eri oldu¤u, ileelde edilir. Hangi gözlem de¤erinin bu s›rada yer ald›¤›, birikimli frekanslar yar-

d›m›yla kolayl›kla bulunur. ‹fllemler afla¤›daki örnekte gösterilmifltir.

Afla¤›da verilen frekans serisinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Hangi s›radaki gözlem de¤erinin medyan de¤eri oldu¤unu bulabilmek için, kolay-l›k aç›s›ndan öncelikle -den az ya da -den çok serilerinden birisi oluflturulur.Bu örnekte den az serisinden yararlan›lm›flt›r.

x f den az10 2 212 3 515 6 1117 5 1620 1 17

17Toplam gözlem say›s› 17 oldu¤undan medyan de¤eri,

ki gözlem de¤erinin 15 oldu¤u bir bak›flta görülür. Buradan,

Med = 15

sonucuna ulafl›l›r.

S›n›fland›r›lm›fl serilerde de medyan yine birikimli frekanslar yard›m›yla hesap-lan›r. Ancak, s›n›fland›r›lm›fl serilerde seriyi iki eflit k›sma bölen gözlem de¤eri birs›n›f içinde yer alacakt›r. Medyan de¤erini içinde bulunduran s›n›fa medyan s›n›f›ad› verilir. Medyan s›n›f›, frekanslar toplam›n›n yar›s›n› içinde bulunduran s›n›ft›r.

Medyan s›n›f› belirlendikten sonra medyan,la : medyan s›n›f›n›n alt s›n›r›,N : frekanslar toplam›f a : medyan s›n›f›na kadar olan s›n›flar›n frekanslar› toplam›,f m : medyan s›n›f›n›n frekans›,hm: medyan s›n›f›n›n büyüklü¤ü,olmak üzere,

f ,

n + 12

‹statist ik50

x f 10 212 315 617 5

20 117

Ç Ö Z Ü M

n + 12

= 182

= 9. s›radaki gözlem de¤erine eflit olacakt›r.den az serisinden 9.s›rada-

Ö R N E K 1 7



eflitli¤iyle hesaplan›r. Ancak dikkat etmek gerekir ki elde edilen sonuç, s›n›flama nedeniyle yaklafl›k

olacakt›r.S›n›fland›r›lm›fl serilerde medyan s›n›f›n›n bulunmas› ve medyan›n hesaplan-

mas› afla¤›daki örnek üzerinde gösterilmifltir.

Afla¤›daki serinin medyan›n› hesaplay›n›z.

Öncelikle medyan s›n›f›n› bulabilmek için den az serisi oluflturulur.

S›n›flar f -den az10 - 14 3 3

14 - 18 4 7(18 - 12) 8 1512 - 16 6 2116 - 20 1 22

22

Bu tür s›n›fland›r›lm›fl serilerde de¤iflken sürekli oldu¤undan, medyan

gözlem de¤eri olacakt›r. -den az serisinden 11. gözlem de¤erinin

(18 – 22) s›n›f›nda oldu¤u kolayl›kla görülür. (18 – 22) s›n›f›, medyan s›n›f›d›r.

Medyan s›n›f› belirlendikten sonra,

la = 18,

f a = 7,f m = 8,hm= 4,

de¤erleri yukar›da verilen eflitlikte yerine konarak,

N2

= 11,

N2

= 222

= 11.

Med = la +

N2

- f a

f m

. hm


S›n›flar f

10 - 14 314 - 18 418 - 22 822 - 26 626 - 30 1

22

Ç Ö Z Ü M

Ö R N E K 1 8



‹statist ik52

Ö R N E K 1 9S›n›flar f

0 - 4 44 - 8 68 - 12 1012 - 16 816 - 20 620 - 24 324 - 28 3

40

Ç Ö Z Ü M

fiekil 3.1 Medyan›n grafik yard›m›yla elde edilmesi.

olarak elde edilir. ( Bulunan de¤erin medyan s›n›f›n›n içinde kald›¤›na dikkatediniz.)

Medyan› grafik yard›m›yla da hesaplamak mümkündür. Bunun için -den az ya da den çok e¤rilerinden birisinin grafi¤i çizilir. Sonra dik eksende frekanslartoplam›n›n yar›s› belirlenir ve bu noktadan yatay eksene bir paralel çizilir. Budo¤runun birikimli serinin grafi¤ini kesti¤i noktan›n apsis de¤eri medyan› belirler.

Afla¤›daki verilen serinin medyan›n› grafik yard›m›yla bulunuz.

Öncelikle birikimli serilerden birisi, örne¤in den az serisi oluflturulur.S›n›flar f -den az0 - 4 4 44 - 8 6 108 -12 10 20

12- 16 8 2816 - 20 6 3420 - 24 3 3724 - 28 3 40

40Oluflturulan birikimli serinin grafi¤i çizilir.

Frekanslar toplam›n›n yar›s› 20 ol-du¤undan dik eksende bu noktadan yatay eksene çizilen paralelin -denaz e¤risini kesti¤i noktan›n apsisi be-lirlenir.Belirlenen de¤er 12 oldu¤undan ve-rilen serinin medyan›,Med = 12olarak elde edilir.

Med = 18 + 11 - 78

. 4

= 18 + 2 = 20

Medyan (12)

0 5 10 15 20 25 30 0

1 0

2 0

3 0

4 0



Ç Ö Z Ü M

Medyan uygulamada, ilgilenilen seride afl›r› k›ymetlerin varl›¤› ya da aç›k (alt ya da üst s›n›r› belli olmayan) s›n›flar›n bulunmas› durumunda uygun sonuçlar ve-ren bir merkezi e¤ilim ölçüsüdür.

ModBir seride en çok tekrarlanan de¤ere mod ad› verilir. Tan›m uyar›nca basit seriler-de ve frekans serilerinde mod, en çok tekrarlanan gözlem de¤erinin belirlenmesiile kolayca hesaplan›r.

Ünitenin bafl›nda verilen 9 ailenin ayl›k gelirler serisini (milyon TL) tekrargöz önüne alal›m.

520, 580, 670, 700, 700, 700, 860, 1000, 1200

Bu gelir grubunda ortalama gelirin en çok tekrarlanan gelir düzeyi taraf›ndan

temsil edilmesi istenebilir. Bu durumda 9 aileye iliflkin ortalama gelir, tan›m uya-r›nca mod hesaplanarak elde edilir. En çok tekrarlanan gelir düzeyi 700 milyonTL oldu¤undan yukar›daki seri için,

Mod = 700 milyon TL


Dikkat edilecek olursa, seride mod de¤erinden küçük 3 ve büyük de 3 gelirdüzeyi vard›r.

Daha önce de de¤inildi¤i gibi, mod ve medyan gibi duyarl› olmayan ortalama-lar göz önüne al›nd›¤›nda seride afl›r› k›ymetlerin oluflu, bu ortalamalar›n sonucu-nu etkilemeyecektir. Örne¤in ilk gelir düzeyi 100 milyon TL ya da son gelir düze- yinin 3.000 milyon TL olmas› mod ve medyan de¤erlerini etkilemeyecek ancakduyarl› bir ortalama olan aritmetik ortalamay› do¤rudan etkileyecektir. Afla¤›dakiörnekleri dikkatle inceleyiniz.

Afla¤›daki serinin modunu hesaplay›n›z.

Bu seride her gözlem de¤eri yaln›z bir kez tekrarland›¤›ndan, serinin modu yoktur.


Bir serinin modu, seride ençok tekrarlanan de¤erdir.

Ö R N E K 2 0

x101214

1720



Afla¤›da verilen serinin modunu hesaplay›n›z.

Bu basit seride en çok tekrarlanan gözlem de¤eri 12 oldu¤undan,

Mod = 12olarak hesaplan›r.

Afla¤›daki frekans serinin modunu hesaplay›n›z.

Verilen frekans serisinde 14 de¤eri 8 kez gözlenmifltir. En çok tekrarlanan göz-

lem de¤eri 14 oldu¤undan serinin modu,

Mod = 14olarak kolayl›kla elde edilir.

E¤er modu hesaplanmak istenilen seri s›n›fland›r›lm›fl bir seriyse, en büyükfrekans bir gözlem de¤erine de¤il bir s›n›fa karfl› gelecektir.

En çok tekrarlanan gözlem de¤erini içinde bulunduran s›n›fa mod s›n›f› ya damodal s›n›f ad› verilir.

Mod s›n›f› belirlendikten sonra mod,la : mod s›n›f›n›n alt s›n›r›,

: mod s›n›f›n›n frekans›yla ondan bir öncekis›n›f›n frekanslar› aras›ndaki mutlak fark,: mod s›n›f›n›n frekans›yla ondan bir sonraki

s›n›f›n frekanslar› aras›ndaki mutlak fark,h : s›n›f aral›¤›,

olmak üzere,


Mod = la + D1

D1 + D2

. h

D2

D1

‹statist ik54

Ö R N E K 2 1

x

101212121415

Ç Ö Z Ü M

Ö R N E K 2 2

x f 10 213 514 816 719 3

25

Ç Ö Z Ü M




Ö R N E K 2 3

S›n›flar f

10 - 14 214 - 18 4

(18 - 22) 722 - 26 526 - 30 3

21

Ç Ö Z Ü M

Ö R N E K 2 4

S›n›flar f 10 - 20 420 - 30 730 - 40 2240 - 50 1850 - 60 2260 - 70 1570 - 80 780 - 90 5

100

Afla¤›da verilen serinin modunu hesaplay›n›z.

Verilen seride, en büyük frekans 7’dir. Bu nedenle mod s›n›f› (18 – 22) olacakt›r.Mod s›n›f› belirlendikten sonra,

la = 18

= 7 - 4 = 3

= 7 - 5 = 2h = 4

de¤erleri, yukar›da verilen eflitlikte yerlerine konarak,

olarak hesaplan›r. (Mod de¤erinin mod s›n›f› içinde kald›¤›na dikkat ediniz.)

Bazan bir seride ayn› maksimum frekansa sahip iki ya da daha çok gözlem de-¤eri ya da s›n›f bulunabilir. Böyle durumlarda, ilgili seri frekans serisiyse s›n›flan-d›r›larak, s›n›fland›r›lm›fl seriyse farkl› bir s›n›f aral›¤› kullanarak yeniden s›n›flan-d›rmak suretiyle modun hesaplanmas› mümkün olur.

Afla¤›daki verilen serinin modunu hesaplay›n›z.

Mod = 18 + 33 + 2

. 4

Mod = 20

D2

D1



S›n›flar f 10 - 30 11

(30 - 50) 4050 - 70 3770 - 90 12

100

olarak elde edilir. Buradan da,


S›n›fland›r›lm›fl serilerde mod, grafik yard›m›yla da kolayl›kla bulunabilir. Bu-nun için önce verilen serinin histogram› çizilir. Histogram üzerinde mod s›n›f›nailiflkin dikdörtgenin üst köfleleriyle, komflu dikdörtgenlerin üst köfleleri birer do¤-ruyla birlefltirilir. Bu do¤rular›n kesiflme noktas›n›n apsis de¤eri, serinin modunugösterir.

Afla¤›daki örnekte modun grafik yard›m›yla bulunmas› gösterilmifltir.

Afla¤›daki serinin modunu grafik yard›m›yla bulunuz.

Mod = 30 + 2929 + 3

. 20

= 30 + 18.125 = 48.125

‹statist ik56

Ç

Ö Z Ü M

Ö R N E K 2 5

S›n›flar f 10 - 20 1020 - 30 3030 - 40 5040 - 50 2050 - 60 4060 - 70 2070 - 80 10

180



S›n›flar f f/h 10 - 20 10 120 - 30 30 330 - 40 50 540 - 50 20 250 - 60 40 460 - 70 20 270 - 80 10 1

180

Verilen serinin modu grafik yard›m›yla,

Mod = 34

olarak bulunur.

Mod k›ymet olarak serideki gözlem de¤erlerinin büyük bir k›sm›na uydu¤un-dan, ortalamalar aras›nda en temsili olan›d›r. Ancak, matematiksel ifllemlere uy-gun bir ortalama de¤ildir. Ayr›ca U, J ve ters J serileri için de anlaml› bir orta-

lama de¤ildir.

Serinin Simetri Durumuna Göre OrtalamalarAras›ndaki ‹liflkiTek modlu ve e¤ik serilerde medyan aritmetik ortalama ve mod aras›nda yer al›r.E¤er seri simetrikse, aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eflit olur. Serininsimetri durumuna göre ortalamalar aras›ndaki iliflkiler fiekil 3.3.’de gösterilmifltir.


Ç Ö Z Ü

M

fiekil 3.2 Modun grafik yard›m›yla

ede edilmesi.

0 20 60 80

0

1

2

3

4

5

6

Mod (34)

Mod, U, J ve ters J fleklindekifrekans e¤rileri için uygun

bir ortalama de¤ildir



1. Bir ö¤encinin istatistik dersine iliflkin, birinci, ikinci ara s›navlar ve dönem sonu s›na- v›ndan ald›¤› notlar afla¤›da verilmifltir:

Ayr›ca, baflar› notunu birinci ara s›nav % 15, ikinci ara s›nav % 25 ve dönem sonu s›na- v› da % 60 oran›nda etkilemektedir.Ö¤rencinin baflar› puan›n› hesaplay›n›z.

‹statist ik58

fiekil 3.3 Serinin simetri durumuna göre ortalamalar aras›ndaki iliflkiler.

3 (a). Simetrik (b) Sa¤a E¤ik E¤ri

(c) Sola E¤ik E¤ri

xMed

Mod

xMedMod

x Med Mod

SIRA S ‹ZDE

S›n›flar Puan1. Ara S›nav 70II. Ara S›nav 60Dönem Sonu 50



2. Afla¤›da verilen seri için uygun ortalamay› hesaplay›n›z.

3. U, J, ve ters J e¤rileri için modun neden uygun bir ortalama olamayaca¤›n› aç›klay›n›z.

DE⁄‹fiKENL‹K ÖLÇÜLER‹ De¤iflkenlik ölçüleri kavram›n› aç›klayabilecek ve istatistik seri-

lerine iliflkin de¤iflkenlik ölçülerini hesaplayabileceksiniz.

‹statistik serilerinin incelenmesinde ve karfl›laflt›r›lmas›nda ortalama gerekli bir öl-çüdür. Ancak tek bafl›na yeterli de¤ildir. Gerçekte ortalamalar› eflit olan seriler, bi-ribirinden çok farkl› olabilir.

Afla¤›daki ortalamalar› ayn› olan x ve y serilerini göz önüne alal›m :

Görülece¤i gibi x serisinde gözlem de¤erleri y serisine göre ortalamaya da-ha yak›n konumlanm›flt›r.

Bu basit örnekten de görülebilece¤i gibi, bir ortalama de¤er bir frekans da¤›l›-

m›n› karakterize etmede yetersiz kalmaktad›r. Bu nedenle bir frekans da¤›l›m›n›nözellikleri araflt›r›l›rken, ortalama de¤erin yan› s›ra, gözlem de¤erlerinin ortalamaetraf›ndaki yay›l›fl›na iliflkin ölçülere de ihtiyaç vard›r.

Ana çizgileriyle, bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin de¤er itibariyle biribi-rinden ya da herhangi bir ortalamadan uzakl›klar›, seriyi oluflturan gözlem de¤er-lerinin nas›l yay›ld›¤›n›, baflka bir anlat›mla ilgili serinin de¤iflkenli¤ini ifade eder.

Bu ünitede istatistikte s›kça kullan›lan belli bafll› de¤iflkenlik ölçüleri eleal›nacakt›r.


S›n›flar f 5 - 10 310 - 15 615 - 20 720 - 25 525 ve daha çok 4

25

x y

30 232 1435 2036 4437 90

X = 34 Y = 34

Bir seriyi oluflturan gözlemde¤erlerinin de¤er itibariylebiribirinden ya da herhangi

bir ortalamadan uzakl›klar›esas al›narak oluflturulanölçülere, de¤iflkenlik ölçüleriad› verilir.

A M A Ç

2



De¤iflim Aral›¤›De¤iflkenlik ölçülerinin en basiti olan de¤iflim aral›¤›, bir serideki en büyük de¤er

ile en küçük de¤er aras›ndaki fark olarak tan›mlan›r.De¤iflim aral›¤› k›saca D.A. ile gösterilirse,

D.A. = xmax - xmin

olarak ifade edilir. Yukar›daki ortalamalar› ayn› olan x ve y serilerini göz önüne al›n›rsa, bu se-

rilere iliflkin de¤iflim aral›klar›,D.A.(x) = 37 - 30 = 7D.A.(y) = 90 - 2 = 88


De¤iflim aral›¤›, farkl› say›da gözlem de¤eri içeren ve farkl› ölçü birimlerine gö-re oluflturulmufl serilerin karfl›laflt›r›lmalar›nda kullan›lamaz. Bu de¤iflkenlik ölçüsü,uygulamada eflit say›da küçük örneklemlerin de¤erlendirildi¤i alanlarda, örne¤inistatistik kalite kontrolünde s›kça kullan›lmaktad›r.

Standart SapmaStandart sapma, bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin aritmetik ortalamadanfarklar›n›n kareli ortalamas› olarak tan›mlan›r ve s (sigma) ile gösterilir.

Basit serilerde standart sapma,

eflitli¤i yard›m›yla hesaplan›r.

Afla¤›da verilen basit serinin standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

s =xi - x 2

i = 1

n

n

‹statist ik60

De¤iflim aral›¤›, bir seridekien büyük gözlem de¤erindenen küçük gözlem de¤eriç›kart›larak hesaplan›r.

Standart sapma, bir seriyioluflturan gözlemde¤erlerinin aritmetikortalamadan farklar›n›nkareli ortalamas› al›narakhesaplan›r.

Ö R N E K 2 6

x145

7910




Ç Ö Z Ü

M

x (x - ) 2

1 1 - 6 = -5 254 4 - 6 = -2 45 5 - 6 = -1 17 7 - 6 = 1 19 9 - 6 = 3 910 10 - 6 = 4 16

56n = 6

olarak elde edilir.

Frekans serilerinde ve s›n›fland›r›lm›fl serilerde standart sapma,

ile hesaplan›r.

Afla¤›da verilen frekans serisinin standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

x f xf (x - ) (x - ) 2 (x - )2.f 2 1 2 -3.875 15.0156 15.01564 3 12 -1.875 3.5156 10.54685 6 30 -0.875 0.7656 4.59368 4 32 2.125 4.5156 18.06249 2 18 3.125 9.7656 19.5312

16 94 67.7496

olarak elde edilir.

x x x

s =xi - x 2f i

i = 1

n

f ii = 1

n

s =xi - x 2

i = 1

n

n= 56

6 @ 3.055

= 6

x x - x

Ö R N E K 2 7

x f 2 14 35 68 49 2

16

Ç Ö Z Ü M

x =xf

f = 94

16= 5.875

s = 67.749616

= 4.23435 @ 2.0577



‹statist ik62

Ö R N E K 2 8

S›n›flar f

0 - 2 22 - 4 44 - 6 66 - 8 58 - 10 3

20

Ç Ö Z Ü M

Afla¤›da verilen s›n›fland›r›lm›fl serisinin standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

S›n›flar x f xf (x - ) (x - )2 (x - )2 - f

0 - 2 1 2 2 -4.3 18.49 36.982 - 4 3 4 12 -2.3 5.29 21.164 - 6 5 6 30 -0.3 0.09 0.54

6 - 8 7 5 35 1.7 2.89 14.458 - 10 9 3 27 3.7 13.69 41.07

20 106 114.20

olarak elde edilir.

Standart sapma, uygulamada matematiksel ifllemlere elveriflli olmas› nedeniyleen çok kullan›lan de¤iflkenlik ölçüsüdür.

Bazan s yerine de¤iflkenlik ölçüsü olarak s2 kullan›l›r. s2 ’ye varyans ad› ve-rilir. (Standart sapma, varyans›n pozitif kare köküdür.)

Standart sapmayla ilgili baz› özellikler, afla¤›da ispats›z olarak verilmifltir :• Kareli ortalaman›n karesiyle aritmetik ortalaman›n karesi aras›ndaki fark, var-

yansa eflittir. Baflka bir ifadeyle,

’dir.• Bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin her birine sabit bir say› eklenir ya da

ç›kart›l›rsa, serinin standart sapmas› de¤iflmez.• Bir seriyi oluflturan gözlem de¤erlerinin tümü c gibi bir say›yla çarp›l›rsa elde

edilen serinin standart sapmas›, ilk serinin standart sapmas›n›n c kat› olur.

De¤iflim Katsay›s›Buraya kadar ele al›nan de¤iflkenlik ölçüleri, mutlak de¤iflkenlik ölçüleridir. Bunedenle farkl› ölçü birimlerine göre oluflturulan serilerin de¤iflkenlikleri, bu ölçü-lerle karfl›laflt›r›lamaz. Ayr›ca mutlak de¤iflkenlik ölçüleri, seriyi oluflturan gözlemde¤erlerinin büyüklüklerinin de etkisi alt›ndad›r.

K2- x

2=s

2

s = 114.220

= 5.71 @ 2.39

x = 10620

= 5.3

x x x



Konuya aç›kl›k kazand›rmas› aç›s›ndan, afla¤›daki örne¤i göz önüne alal›m.

Görülece¤i gibi, s y > sx’dir. Ancak bu sonuç, y serisindeki gözlem de¤erleri-nin x serisine göre daha büyük olmas›ndan kaynaklanm›fl olabilir.

E¤er, sadece standart sapmalarla bu iki seri karfl›laflt›r›l›rsa, y serisindeki de¤ifl-kenli¤in x serisine göre daha büyük oldu¤u ifade edilecektir.

E¤er karfl›laflt›r›lan serilerin standart sapmalar› iliflkin olduklar› serilerin ortala-ma de¤erinin bir yüzdesi olarak ifade edilirse, karfl›laflt›rmalarda ölçü birimlerin-deki farkl›l›klar ve gözlem de¤erlerinin büyüklü¤ünden oluflan sak›ncalar, gideri-lebilir. Bu yaklafl›mla hesaplanan de¤iflkenlik ölçüsüne, de¤iflim katsay›s› ad› ve-rilir ve k›saca D.K. ile gösterilir.

olarak formüle edilir.

Yukar›da verilen serilere iliflkin de¤iflkenlik, serilerin de¤iflim katsay›lar›yla bu-lunursa,

olarak elde edilir.

Görülece¤i gibi, gerçekte X serisindeki de¤iflkenlik, Y serisine göre daha fazlad›r.

D.K.(x) = 2.738613

. 100 @ %21.066

D.K.(y) = 2.738613

. 100 @ %20.9426

D.K.(x) = sx . 100

x serisi için x = 13 ve sx = 2.7386y serisi için y = 57 ve s y = 11.9373'tür.


x f 10 4311 4813 5814 6317 7365 285

Farkl› seriler de¤iflimkatsay›s› yard›m›ylakarfl›laflt›r›labilir.



1. Afla¤›da verilen serinin,a. De¤iflim aral›¤›n›,

b. Standart sapmas›n›,hesaplay›n›z.

2. Afla¤›da verilen iki seriden hangisinde de¤iflkenli¤in daha çok oldu¤unu belirleyiniz.

3. Afla¤›da verilen serinin varyans›n› hesaplay›n›z.

‹statist ik64

SIRA S ‹ZDE

x f 12 214 618 720 326 2

20

x1 (kg) f x2 (lt) f 0 - 4 4 0 - 10 74 - 8 4 10 - 20 12

8 - 12 8 20 - 30 2012 - 16 6 30 - 40 1116 - 20 5 40 - 50 520 - 24 3 55

30

S›n›flar f 0 - 5 15 - 10 410 - 15 1015 - 20 2020 - 25 1525 - 30 1030 - 35 5

65




Kendimizi S›nayal›m1.

Yukar›da verilen serinin aritmetik ortalamas› kaçt›r?

a. 20.12b. 27.13

c. 29.42

d. 30.86

e. 32.15

2. 5 birimden oluflan bir basit seride gözlem de¤erleri-

nin toplam› oldu¤una göre, serinin aritmetik

ortalamas› kaçt›r?

a. 3

b. 4

c. 5d. 6

e. 15

3. 15 gözlem de¤erinden oluflan bir basit serinin aritme-

tik ortalamas› 50 ise bu serideki gözlem de¤erlerinin top-

lam› kaçt›r?

a. 60

b. 150

c. 600

d. 750

e. 840

4. Bir ö¤rencinin Olas›l›k dersinden birinci, ikinci ara s›-

nav ve final notlar› afla¤›daki tabloda verilmifltir. (Sonucu

birinci ara s›nav %10, ikinci ara s›nav %20 ve final notu

da %70 oran›nda etkileyecektir.)

Buna göre bu ö¤rencinin baflar› notu kaçt›r?

a. 45.5

b. 50.5

c. 55.0

d. 60.0e. 65.0

5.

Yukar›da verilen serinin medyan› kaçt›r?

a. 15

b. 18

c. 20

d. 22

e. 27

x∑

x∑ = 30

S›n›flar f

10 - 16 4

16 - 22 3

22 – 28 7

28 – 34 15

34 – 40 8

40 – 46 5

46 - 52 2

44

S›n›flar Puan

1. Ara S›nav 75

II. Ara S›nav 50

Final 40

S›n›flar f

5 - 10 1

10 - 15 4

15 – 20 6

20 –25 10

30 - 35 5

35 - 40 3

40 - 45 1

30



66 ‹statist ik

6. Bir seri için kareli ortalama K = 10 ve aritmetik ortala-

ma olarak hesaplanm›flt›r. Bu serinin standart

sapmas› kaçt›r?

a. 4

b. 8

c. 50

d. 64

e. 72

7. Kareli ortalamas› K= 20 ve aritmetik ortalamas›

olan bir serinin tüm gözlem de¤erleri 3 ile çarp›larak ye-

ni bir seri oluflturulmufltur. Yeni serinin varyans› kaçt›r?

a. 12

b. 16

c. 20d. 144

e. 256

8.

Yukar›da verilen serinin modu kaçt›r?

a. 47/12

b. 23/4

c. 12

d. 50/3

e. 18

9. 4, 3, 5, 7, 2, 8, 2, 6, 4, 9serisinin medyan› kaçt›r?

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6

10. Aritmetik ortalamas› ve varyans›s2= 144

olan bir serinin de¤iflim katsay›s› yüzde kaçt›r?

a. 1.44b. 12

c. 14.4

d. 28

e. 56

Yan›t Anahtar›1. d

2. c

3. d

4. a

5. d6. b

7. d

8. d

9. d

10. b

Yararlan›lan KaynaklarÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel ‹statistik ‹lke ve Teknikleri,

2. Bask›, Bilim Teknik Yay›nevi, Eskiflehir, 1994.

FOX, William: Social Statistics Using Micro Case, Mic-ro Case Corp., Washington, 1992.

GÜRTAN, Kenan: ‹statistik ve Araflt›rma Metodlar›, ‹s-

tanbul Üniversitesi Yay›nlar›, No 2265, ‹stanbul, 1977.

NEWBOLD, Paul: (Çeviren: Ümit fienesen), ‹flletme ve

‹ktisat ‹çin ‹statistik, Literatür Yay›nlar›, ‹stanbul,

2000.

YATES, D. , MOORE D. , McCABE G. The Practice of

Statistics, W.H. Freeman, New York, 1999.

x = 100

x = 12

x = 6

S›n›flar f

0 - 4 4

4 - 8 7

8 - 12 12

12 - 16 3

16 - 20 4

20 - 24 1224 - 28 3

28 - 32 2

44

istatistik unite03

Documents