istatistik unite11

8/3/2019 istatistik unite11

1/16

alflma Biimine liflkin Olarak:

Kavramlar ve bu kavramlar arasndaki iliflkiler dikkatle incelenmeli,

rnekler ve rnek zmleri dikkatle incelenmeli, sorunlarla karfllafllrsa il-gili nitelere geri dnlmelidir.

251

Basit DorusalRegresyon 11


2/16

statist ik252

Amalar:

Serpilme diyagram yardmyla, deiflkenler arasndaki iliflkinin, ne tr bir

fonksiyonla ifade edilebileceini arafltrabileceksiniz.Basit dorusal regresyon modelinde yer alan katsaylar, en kk kareler

tekniine gre hesaplayabileceksiniz.Basit dorusal regresyon modeliyle elde edilen kestirimlerin standart hatas-

n hesaplayabileceksiniz.Basit dorusal regresyonda, parametrelerin nokta kestiriminden sonra genel-

leme yapabilmek iin, parametrelere iliflkin aralk kestirimi yapabileceksiniz.Basit dorusal regresyon denkleminde elde edilen parametre kestirimlerinin,

istatistiksel olarak anlamlln test edebileceksiniz.

erik Haritas

GRfi SERPLME DYAGRAMI BAST DORUSAL REGRESYON

Basit Dorusal Regresyon Modeli

Basit Dorusal Regresyon Denkleminin Kestirimi Katsaylarn En Kk Kareler (EKK) Kestirimleri

VARYANSIN (s2) KESTRM BAST DORUSAL REGRESYONDA ARALIK KESTRM

REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTLER


3/16

GRfiRegresyon (balanm); szlk anlamyla, bir fleyi baflka bir fleye balama ifli ve bi-

imidir. Bilimsel olarak regresyon terimi bir deiflkenle baflka bir (ya da birdenok) deiflken arasnda iliflki kurma iflini ve iliflkinin biimini anlatr.

statistiksel anlamda, iki deiflken arasndaki iliflki, bunlarn deerlerinin karfl-

lkl deiflmeleri arasnda bir ballk fleklinde anlafllr. (X) deiflkeninin deerle-

ri deiflirken, buna bal olarak (Y) deiflkeninin deerleri de deifliyorsa, bu iki

deiflken arasnda bir iliflki olduu sylenebilir. rnein, pancar retimi arttn-

da fiyat dflyorsa ya da azaldnda fiyat ykseliyorsa, insanlarn boy uzunlu-

uyla birlikte arl da artyorsa bunlar, deiflkenler arasnda iliflki olduunu

gsterir. Aslnda deiflkenler arasndaki bu iliflki neden-sonu iliflkisidir. flte de-

iflkenler arasndaki neden sonu iliflkisinin matematiksel bir fonksiyonla ifade

edilmesi regresyon analizinin konusunu oluflturmaktadr. Regresyon, bir baml

(aklanan) deiflken, dieri de bamsz (aklayc) deiflken olarak en az iki de-iflken arasndaki ortalama iliflkinin matematik bir fonksiyon fleklinde ifade edil-

mesidir. Bu fonksiyona regresyon denklemi ad verilmektedir. Bu nitede ilk ola-

rak, regresyon zmlemesinde kullanlan serpilme diyagram hatrlatlacak, daha

sonraysa basit dorusal regresyon modeli ele alnacak, son olarak da basit doru-

sal regresyon modeline iliflkin katsaylarn, en kk kareler yntemiyle, kestirim-

lerinin elde edilmesi ele alnacaktr.

SERPLME DYAGRAMI

Serpilme diyagram yardmyla, deiflkenler arasndaki iliflkinin,ne tr bir fonksiyonla ifade edilebileceini arafltrabileceksiniz.

Bir marketler zinciri E flehrinin farkl semtlerinde flubeler amay hedeflemektedir.

Ancak, planlama blm, alacak flube saysnn belirlenebilmesinde ad geen

flehirde hane baflna perakende satfllarn, hane baflna harcanabilir gelirle olan

iliflkisine ihtiya duymaktadr.

htiya duyulan iliflki, ilgili blgeden derlenecek veriler flnda, uygun istatis-

tiksel teknikler uygulanarak, bir matematiksel model halinde ifade edilebilir.

Bu nitede, iki deiflken arasndaki iliflkinin matematiksel bir modelle ifade

edilme sreci, kitabn amalar uyarnca sadece basit dorusal regresyon dzeyin-

de ele alnmfl ve konuya iliflkin kavramlar rneklerle pekifltirilmeye alfllmfltr.

ki deiflken arasndaki iliflkinin ne tr bir fonksiyon tipine uyduu, yaklaflk

olarak serpilme diyagram izerek belirlenebilir. Deiflkenlerin arasndaki iliflkiyi

gstermenin en iyi yolu, iliflkinin derecesini saysal olarak belirlemektir. liflkiyi

gstermenin dier bir yolu da grafik yntemidir. X ve Y gzlem ikilileri bir grafik

zerinde birer nokta halinde gsterilsin. flaretlenen bu noktalarn oluflturduu

flekil anmsanaca gibi serpilme diyagram olarak isimlendirilir.

nite 11 - Basit Dorusal Regresyon 253

A M A

1

Regresyon, deiflkenler

arasndaki ortalamailiflkinin matematiksel birfonksiyonla ifadeedilmesidir.


4/16

ZM

Serpilme diyagramnda noktalarn durumu ve genel seyri, iki deiflken arasn-da iliflki olup olmadn ve varsa iliflkinin ne tr bir fonksiyon tipine uyduununbelirlenmesinde yardmc olur.

Serpilme diyagram yalnz iliflkinin olup olmadn ve fonksiyonel fleklini gs-termekle kalmaz, iliflkinin derecesi hakknda da bilgi verir. Bunun iin, noktalarnen dflta kalanlar birlefltirilerek, bir flekil elde edilir. Sz konusu fleklin durumunagre iliflkinin derecesi hakknda tahminde bulunulur. Eer flekil, olduka dar birelipse benziyorsa, iliflki kuvvetlidir. Elips geniflledike iliflki zayflar.

Eskiflehir ilinde satfl yapan bir maaza rnlerini, yerel radyodaki rek-

lamlarla tantmaktadr. Firmann 6 hafta sresince belirli bir rn iin

harcad reklam tutar ve satlan rn says afladaki tabloyla veril-mifltir. Serpilme diyagramn izelim.

Kartezyen koordinat sis-teminde X ve Y ye ait ve-rileri iflaretlediimizde, ikideiflken arasndaki iliflki-nin dorusal olduunugrebiliriz.

statist ik254

fiekil 9.1 SerpilmeDiyagram.

R N E K 1

Serpilme diyagram,deiflkenler arasndaki iliflkitipininbelirlenmesine yardmcolur.

fiekil 9.2 ReklamHarcamalarnaliflkin Serpilme

Diyagram.

X

Y

X

Y

Dorusal liflki Durumu Erisel liflki Durumu

X

Y

0

10987654321

10 20 30 40 50

Reklam harcamas (X) Satfllar (Y)(Milyon TL) (Adet)

10 320 430 640 750 10


5/16

1. Serpilme diyagramyla ne belirlenir?

2. Serpilme diyagram, iki deiflken arasnda iliflki olup olmad ve fonksiyonel fleklidflnda, baflka ne hakknda bilgi verir?

3. Bir A lkesinde, 1995-2000 yllar arasndaki erkek nfus artfl hz, yllara greafladaki tabloda verilmifltir. Serpilme diyagramn iziniz.

BAST DORUSAL REGRESYON

Basit dorusal regresyon modelinde yer alan katsaylar, en k-k kareler tekniine gre hesaplayabileceksiniz.

Regresyon analizinde bamsz (aklayc) deiflken says bir olduunda basitregresyon modelinden, iki ya da daha fazla olduundaysa oklu regresyon mode-linden sz edilir. rnein enflasyon oranyla para arz arasndaki ya da hem para

arz hem de kamu harcamalar arasndaki iliflkinin arafltrlmasnda olduu gibi.Regresyon analizinde deiflkenler arasndaki iliflkinin dorusal olup olmad danemlidir. Dolaysyla deiflkenler arasndaki iliflki dorusal olduunda dorusalregresyon modeli, dorusal olmadndaysa dorusal olmayan regresyon modelisz konusu olur. Kitabn amalar dorultusunda burada, sadece basit dorusalregresyon konusuna yer verilecektir.

Basit Dorusal Regresyon ModeliBasit dorusal regresyon modeli

Yi = b0 + b1Xi + ei i = 1, 2, ...., N

fleklinde stokastik(olaslkl) bir modeldir. b0ve b1 bilinmeyen regresyon kat-saylardr. ei , i inci gzleme karfllk gelen hata terimidir. X (bamsz) ve Y (ba-ml) deiflkenlerinin anaktlelerini oluflturan ve bu deiflkenler iin akla gelebi-lecek btn deerlere sahip olunmas uygulamada imkansz olduundan, sz ko-nusu deiflkenler iin rneklemeye baflvurulur. Bylece b0ve b1 parametrelerininkestirimi olan b0ve b1 bulunabilir ve kestirimi elde edilen iliflki,

Yi = b0 + b1Xi + ei

fleklinde yazlr.b0 , dorusal modelin sabit terimidir ve X = 0 olduunda regresyon dorusu-

nun dikey eksen Y yi kestii noktay gstermektedir. b1 ise dorusal modelin


SIRA S ZDE

YILLAR Erkek Nfus Artfl Hz (%)

1995 18.501996 19.001997 20.001998 20.40

1999 21.602000 22.90

A M A

2


6/16

eimini vermektedir ve regresyon analizinde, bamsz Xdeki bir birimlik deifl-menin, baml deiflken Yde, ne kadarlk bir deiflmeye yol aacan gsterenregresyon katsaysdr. b0 ve b1 ise anaktle regresyon katsaylarnn (b0ve b1in) kestirimleridir.

Basit Dorusal Regresyon Denkleminin Kestirimiki deiflken arasnda gerek dorusal bir iliflki varsa regresyon denklemi, b0ve

b1 in Yi artklarn kk yapabilen kestiricilerin elde edilmesiyle bulunur.

Varyans kavram gz nnde tutulduunda bunun bir ls artklarn kareler

toplamdr. Bu toplam en kkleyen b0ve b1 kestiricilerinin elde edilmesine ilifl-

kin kestirim yntemi, En Kk Kareler (EKK) Yntemidir. b0ve b1ve s2 in

kestirimlerinde ska bu yntem kullanlmakla birlikte, bir baflka kestirim yntemi

de en ok olabilirlik yntemidir. Burada sadece yaygn olarak kullanlan, EKK

yntemiyle regresyon modelinin kestirimine yer verilecektir.

Katsaylarn En Kk Kareler (EKK) Kestirimleri

Y = b0 + b1X + e

dorusal iliflkisi, X ve Y deiflkenlerinin anaktleleri iin geerlidir. statistiksel a-

lflmalarn ounda olduu gibi, regresyon analizinde de anaktleye iliflkin verile-

rin tmne ulafllamadndan, bu anaktleden seilen rnek verileriyle analiz ya-

plr. rnek verilerinden hareketle anaktle parametreleri olan b0ve b1 in kesti-

rimlerini elde edebilmek iin en kk kareler ynteminden yararlanlabilir. Bu-

nun iin, ncelikle, gzlem ikililerini bir serpilme diyagramnda gsterdiimizivarsayalm. Serpilme diyagram incelendiinde dorusal bir eilim grlyorsa,

Yin Xe gre matematik fonksiyonunun dorusal olduuna (kesin olmasa da) ka-

rar verilebilir. Ancak, gzlem noktalar arasndan, ok sayda dorusal fonksiyon

geirilebilir. Bu dorusal fonksiyonlardan en uygunu, Yi gzlem deerlerine en

yakn kuramsal (tahmin) deerini veren dorusal fonksiyon olacaktr. Bir bafl-

ka ifadeyle, belirli bir X deeri iin, elimizde iki ordinat deeri olacaktr; birincisi

gzlem deeri, ikincisiyse bu noktann doru ya da eri zerinde teorik olarak

hesaplanacak ordinat deeridir. flte, kuramsal deerlerle, Yi gzlem deerle-

ri arasndaki farklar, hata terimlerini oluflturur.

E = Yi - fleklinde hesaplanan hata terimleri, pozitif ya da negatif ya da

sfr deerlerine sahip olurken, bu farklarn cebirsel toplam sfra eflittir:

En kk kareler ynteminin esas b0ve b1 in kestirimleri olan b0ve b1 i szkonusu farklarn kareleri toplamn minimum, yani

olacak flekilde belirlemektir.

ei2

i=1

n

= Yi Y2

= min.i=1

n

eii=1

n

= Yi Yi = 0i=1

n

Yi

Yi

Yi

Yi

statist ik256


7/16

b0ve b1 in EKK kestirimleri, yukardaki en kkleme yntemi iin

ifadesinin b0ve b1 e gre trevleri alnp sfra eflitlenerek:

bulunur, elde edilen bu iki eflitlikten,

denklemleri elde edilir. Bu denklemler normal denklemler olarak isimlen-dirilir. Doru denklemleri ve katsaylarnn en kk kareler kofluluna uygunolarak hesaplanmas, bu iki denklemin zmyle gerekleflebilir. Normal denk-lemlerdeki dier deerler n, Xi , Yi , Xi

2 ve XiYi dr ve denklemlerdekiXive Yi deerleri sfr orijinine gre ifade edilmifllerdir. Bu deerleri seri ky-metlerine dayanarak hesapladktan sonra, basit dorusal regresyon modelindeki

b0ve b1 in kestirimleri olan b0ve b1 i normal denklemlere dayanarak kolaylk-la zmek mmkndr. b0ve b1 gibi iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde bukatsaylar hesaplandnda Y in X e gre dorusal regresyon denklemi

fleklinde ifade edilecektir.

rnek 1de verdiimiz probleme tekrar dnelim. Eskiflehir ilinde satflyapan bir maaza rnlerini, yerel radyodaki reklamla tantmaktadr.

Firmann 5 hafta sresince, belirli bir rn iin harcad reklam tutarve satlan rn says tabloda verilmifltir. Satfl miktarnn, reklam har-

camalarna gre, basit dorusal regresyon denkleminin kestirimini, enkk kareler tekniiyle elde ediniz.

Y = b0 + b1X

Yi = b0n + b1 Xi

Xi Yi = b0 Xi + b1 Xi2

e

b0= 2 Y i b0 b1 Xi = 0

e

b= 2 X i Yi b0 b1 Xi = 0

Yi Yi

2

= Yi b0 b1 Xi2

i=1

n

i=1

n


R N E K 2

Y=bo+b1X Basit dorusalregresyonda, dorudenklemininparametreleri (bo,b1) enkk kareler (EKK) tekniiile hesaplanr.

Reklam harcamas (X) Satfllar (Y)(Milyon TL) (Adet)

10 320 430 640 750 10


8/16

statist ik258

ZM Basit dorusal regresyon denklemi i oluflturabilmek iin b0ve

b1 katsaylarn normal denklemler yardmyla hesaplayalm. Normal denklemler:

dir. Bu durumda, X, Y, X2ve X Y deerlerinin hesaplanmas gerekir.

X Y XY X 2

10 3 30 10020 4 80 40030 6 180 90040 7 280 1600

50 10 500 2500=150 =30 =1070 =5500

30 = 5b0 + 150b11070 = 150b0 + 5500b1

Bu iki denklemin b0ve b1 katsaylar;

b0 = 0.9 ; b1 = 0.17

olarak hesaplanr. Buna gre, regresyon dorusu denklemi,

= 0.9 + 0.17

fleklinde elde edilir. Regresyon katsays 0.17 bulunduundan, X bamsz deifl-kenindeki bir birimlik deiflme, Y baml deiflkeninde 0.17 birimlik deiflmeyeneden olacaktr.

Normal denklemlerde X ve Y deerleri yerine bunlarn aritmetik ortalamalarn-dan sapmalar olan x ve y deerlerinin konulmasyla;

denklemleri elde edilir. Tanm gereince xi = X ve yi = Y oldu-undan aritmetik ortalamann temel zelliklerinden birincisine gre (aritmetik or-talamadan cebirsel sapmalarn toplam sfrdr.) Sxi = 0 ve Syi = 0 dr. Byleceson iki eflitlikten

ya da

b1 =xiyi

xi2

b1 =xiyi

xi2

YX

yi = b0n + b1 xi

xiyi= b0 xi + b1 xi2

Y

X2XYYX

Y = b0n + b1 X

XY = b0 X + b1 X2

Y = b0 + b1X

Regresyon dorudenklemleri, sfr ya daortalamalar orijinine grehesaplanabilir.


9/16

ZM

xi yi xiyi xi2

-20 -3 60 400-10 -2 20 1000 0 0 010 1 10 10020 4 80 400

0 0 170 1000


R N E K 3

elde edilir. b0in 0a eflit olmas, ortalamalar orijinine gre, regresyon dorusu-nun, deiflkenlerin ortalamalaryla tanmlanan bir noktadan getiini ortaya koy-maktadr. Bu durumda regresyon denklemi

fleklinde yazlabilir.Bir regresyon dorusu ister sfr orijinine, ister ortalamalar orijinine gre yazl-

sn, eimi deiflmez. Bu nedenle her iki orijine gre hesaplanan b1 katsays ay-ndr. Buna karfllk b0 ise

SYi = nb0 + b1SXi

eflitliinden hareketle elde edilir. Eflitliin her iki taraf n ile blndnde

ve

sonucuna ulafllr. ve bu flekilde elde edildiine gre, veriler iin en iyi do-ru denklemi;

fleklinde yazlabilir.

rnek 2deki veriler iin, Ynin Xe gre regresyon denklemini, ortalama-

lar orijinine gre, en kk kareler tekniiyle elde edelim.

Basit dorusal regresyon denklemini ortalamalar orijinine gre yazabilmek iin, ilkolarak, X ve Y serisinin aritmetik ortalamalarn ve x, y, xy ve x2 leri elde edelim.

b0 = 0

X =Xi

n= 150

5= 30 Y =

Yi

n= 30

5= 6

Y = b0 + b1 X

b0 = Y b1 X

Yin

= nb0n

+b1 Xi

n

Y = b0 + b1X

y = b1xi veya y = byxxi


10/16

statist ik260

R N E K 4

ZM

Bu durumda, ortalamalar orijinine gre, Ynin Xe gre regresyon denklemi,

fleklinde yazlr.Yukardaki aklamalarda Y deiflkeni baml deiflken, X deiflkeniyse ba-

msz deiflken kabul edilmiflti. X deiflkeni baml Y deiflkeni bamsz deifl-ken olduundaysa doru denklemi;

olarak ifade edilecektir. Bu durumda b0ve b1

ya da

ve

formlleri yardmyla bulunur. b0ve b1 in kestirimleri olan b0ve b1 in ve byxformlleri incelendiinde, her ikisi de daima ayn iflareti taflr, fakat ayn deerdedeildir.

rnek 1de verdiimiz reklam harcamas ve satlan rn says problemi

iin bu kezi) Xin Y ye ve ortalamalar orijinine gre, regresyon denklemini,

ii) Xin Yye ve sfr orijinine gre, regresyon denklemini hesaplayalm.

i) Xin Yye ve ortalamalar orijinine gre regresyon katsays

olup, regresyon denklemi

fleklinde elde edilir.

x = 5.66 y

bxy=xiyi

yi2

= 17030

= 5.66

b0 = X b1 Y

bxy=xiyi

yi2

b1 =xiyi

yi2

X = b0 + b1Y

y = 0,17x

b1 = byx=xiyi

Xi2= 170

1000= 0.17


11/16


X Y3 25 47 69 5

ii) Xin Yye gre ve sfr orijinine gre, regresyon denklemini yazabilmemiz iinb0 hesaplamamz gerekir.

ve regresyon denklemi

fleklinde elde edilir.

1. Bir retim yesi, rencilerin A dersinden aldklar final notlarnn, rencilerin vi-ze notlarna bal olduunu dflnmektedir. retim yesinin bu dflncesiyle olufltu-rulabilecek bir dorusal regresyon denklemindeki baml ve bamsz deiflkenlerneler olacaktr?

2. Baml deiflkenin sahip olduu deerle, bu baml deiflken iin, dorusal regres-yon denkleminden elde edilen tahmin deeri arasndaki farka ne ad verilir?

3. Aflada (X) ve (Y) deiflkenleri iin gzlem deerleri verilmifltir. (X) bamsz deifl-ken ve (Y) de baml deiflken olarak alnrsa, en kk kareler yntemine gre reg-resyon denklemi ne olacaktr?

VARYANSIN (s2 ) KESTRM

Basit dorusal regresyon modeliyle elde edilen kestirimlerin stan-dart hatasn hesaplayabileceksiniz.

Basit dorusal regresyon modelinde, b0ve b1 in kestirimlerine ek olarak, aralkkestirimlerinde ve hipotez testlerinde gerekli olan s2in kestirimine de gereksinimvardr.

s2, ei hata terimlerinin ortak varyansdr. eiin kestirimi ei hata terimi olduun-dan eilerin varyans da s

2in bir kestirimi olacaktr. Hatalarn kareler toplam,

yazlabilir. HKTin serbestlik derecesine blmyle elde edilen

HKT = ei2

= Yi Yi2

X = 3.96 + 5.66 Y

X = b0 + b1Y

b0= X b1Y

b0 = 30 5.66(6)

b0 = 3.96

A M A

3

SIRA S ZDE


12/16

ZM

hata kareler ortalamas, (bir baflka ifadeyle hatalarn varyans) s2in bir kestirimi-dir. Basit dorusal regresyon modeliyle hatalarn hesaplanmasnda, b0ve b1 inkestiricileri b0ve b1 kullanldndan, serbestlik derecesi (n-2) olarak yazlr.

HKO un kare kk alndndaysa denklemin standart hatas elde edilir veile gsterilir.

rnek 1deki verileri kullanarak, regresyon denklemine dayanarak yap-lacak kestirimlerin standart hatas ( ) hesaplayalm.

hesaplayabilmek iin ncelikle, lar daha sonra da ve

leri hesaplayalm.

2.6 0.4 0.16

4.3 -0.3 0.096 0 07.7 -0.7 0.499.4 0.6 0.36

1.1

buradan,

olarak elde edilir.

1. ei hata terimlerinin ortak varyans nedir?

2. Basit dorusal regresyon modelinde serbestlik derecesi ne olacaktr?

3. in kestirimi nerelerde kullanlr?

BAST DORUSAL REGRESYONDA ARALIK KESTRM

Basit dorusal regresyonda, parametrelerin nokta kestirimindensonra genelleme yapabilmek iin, parametrelere iliflkin aralk kes-tirimi yapabileceksiniz.

s

s =1,1

5 2= 0.36 = 0.6

Y Y2

Y YY

Y= 0,9 + 0,17X

Y Y2

Y YYs

s

s = HKO

=Yi Yi

2

n 2

s

HKO = HKTn k

statist ik262

R N E K 5

SIRA S ZDE

A M A

4


13/16


R N E K 6

SIRA S ZDE

ZM

statistiksel karsamalarda yaplan kestirimlerin, gerek deerlerle genellen-mesi aralk kestirimleriyle yaplr. Regresyon zmlemesi, rneklem verileriyleyapldndan, elde edilen b0ve b1 lerin anaktle parametreleri, b0ve b1e iliflkinaralk testlerinde de elde edilmelidir.b0 katsays iin t rnekleme dalm yardmyla b0 iin gven aral

fleklinde verilir. Sb0, b0 in standart hatasdr ve

formlyle hesaplanr, ta ise a anlamllk dzeyi n-2 serbestlik derecesinde t tab-losundan bulunan deerdir.

b1 iin gven aral

formlyle elde edilir. Sb1, b1 in standart hatasdr ve

fleklinde hesaplanr.

rnek 2de rnek 1in verilerini kullanarak b1 = 0.17 olarak hesaplanmfl-

tr. Bu sonuca gre, b1katsaysnn %95 gven araln hesaplayalm.

ve n=3 serbestlik derecesinde t tablo deeri 3.182dir. Buna gre b1 iin %95gven aral

0.17 (3.182)(0.019)P(0.109 < b1 < 0.23) = 0.95

olarak hesaplanr.Regresyon katsays b1 in 0.95 olaslkla alabilecei deerler 0.109 ile 0.23

olacaktr.

1. b0 katsaysnn gven aral oluflturulurken, hangi rnekleme dalm kullanlr?

2. b1 = 0.48 , = 0.002 , a = 0.05 ,n = 5 iin t tablo deeri t = 2.571 iken, b1 kat-saysnn %95 gven araln hesaplaynz?

3. Basit dorusal regresyonda, parametreler hakknda genellemeler yapabilmek iin,hangi teknie ihtiya duyulur?

sb1

b1 = 0,17

sb1 =s

Xi X2= 0.6

1000= 0.6

31.6= 0.019

sb1 =s

Xi X2

P (b1 ta . sb1 b1 b1+ ta . sb1) = 1 a

sb0 = s1

n+ X

2

Xi X2

P (b0 ta . sb0 b0 b0+ ta . sb0) = 1 a


14/16

statist ik264

R N E K 7

ZM

REGRESYON KATSAYILARININ ANLAMLILIK TESTLER

Basit dorusal regresyon denkleminde elde edilen parametre kes-tirimlerinin, istatistiksel olarak anlamlln test edebileceksiniz.

Basit dorusal regresyon analizinde, bir baml bir bamsz deiflken olmas ne-deniyle, test edilecek parametreler b0ve b1 olacaktr. Daha nce akland gibi,b0 n kestirimi b0 regresyon sabitidir ve b1 ise b1 in kestirimi olup regresyon kat-saysdr.

Basit dorusal regresyon modelindeki regresyon katsaysna iliflkin yaplantest, regresyon dorusunun anlamlln da test etmektedir. fiyle ki:

H0 : b1 = 0H1 : b1 0

hipotezleri

istatistiinden yararlanlarak test edilir. a anlam dzeyinde n-2 serbestlik dere-cesinde t tablosundan bulunan deer, hesaplanan t test istatistiinden bykseH0 : b1 = 0 hipotezi kabul edilir ve regresyon dorusu anlaml deildir. Dierbir ifadeyle Ydeki deiflimler Xdeki deiflmelerden kaynaklanmamaktadr (Xve Y arasnda dorusal bir iliflki yoktur.). t istatistiinin deeri t tablo deerin-den bykse H0 reddedilir, yani, regresyon dorusu anlamldr. Elde edilen

dorusal regresyon modeli amaca uygun olarak kullanlabilir.

Ayn rneimiz iin regresyon katsaysnn anlamllk testini yapalm.

H0 : b1 = 0H1 : b1 0

Hipotezlerini test edelim. , rneklem kk olduu iin benimsenen

t, n = n-2 = 5-2 = 3 serbestlik derecesiyle t dalr.

a = 0.05 ve n-2 = 5-2 = 3 serbestlik derecesi ile t 0.05= 3.182 olduundant > t 0.05 dir ve H0 reddedilecektir, b1 kestirimi istatistiksel olarak anlamldr.

1. Regresyon denklemi ve katsaylarn standart hatalar s(b0) =0.29 , s(b1) = 0.067 olarak verilmifltir. Katsaylarn anlamlln, %5 anlam dzeyinegre test ediniz.

2. Basit dorusal regresyon modelinde katsaynn istatistiksel olarak anlaml olmasnnpratik anlam nedir?

3. Regresyon katsaylarnn testi iin hipotezler nasl kurulur?

Y = 5.08 + 1.58 X

t = b1sb1

= 0.170.019

= 8.94

th =b1sb1

th =b1sb1

SIRA S ZDE

A M A

5

Basit dorusal regresyonmodelinde regresyonkatsaysna iliflkin test,regresyon dorusununanlamlln da test eder.


15/16

265

Kendimizi Snayalm1. X ve Y deiflkenleri arasndaki iliflkiyi gsteren mate-matiksel fonksiyona ne ad verilir?

a. Regresyon denklemi

b. Korelasyon denklemi

c. Anlamllk testi

d. Hipotez testi

e. Baml deiflken

2. Deiflkenler arasndaki iliflkinin gsterilmesinde kulla-nlan grafik yntemi afladakilerden hangisidir?

a. Histogram

b. Standart normal eri

c. Serpilme diyagram

d. Kk-yaprak diyagrame. Poligon

3-4 ve 5. sorular afladaki bilgilere gre cevapland-

rlacaktr.

x : 40, 20, 22, 14

y : 12, 15, 14, 18 bileflik serisi verilmifltir.

3.Yukardaki verilere gre, XY deeri katr?a. 750

b. 825

c. 1250d. 1340

e. 2340

4. Yukarda verilen serinin basit dorusal regresyon denk-lemini afladakilerden hangisidir?

a. = 50 + 8.2X

b. = 18.35 0.15X

c. = 18.35 + 0.15X

d. = 50 8.2X

e. = 0.15 + 18.35X

5. Yukarda verilen bileflik seri iin ortalamalar orjininegre regresyon denklemi afladakilerden hangisidir?

a. = 18.35x

b. = 0.15x

c. = -0.15x

d. = -18.35x

e. = 8.2x

6. Baml deiflken (Yi ) ile bu deiflken iin regresyondenkleminden elde edilen tahmin deeri ( i ) arasndaki

farka ne ad verilir?

a. Standart hata

b. Tahmin hatas

c. Standart sapma

d. Varyans

e. Regresyon katsays

7. , n = 6 olan basit dorusal regres-yon denklemiyle elde edilen tahminlerin standart hatas

katr?

a. 0.36

b. 0.55

c. 0.60

d. 0.75e. 0.91

8-9 ve 10. sorular afladaki bilgilere gre cevaplan-

drlacaktr.

Regresyon denklemi = 1.1 + 0.81X , s(b1) = 0.09 ve

n= 6 olarak verilmifltir.

8. Regresyon katsaysnn 0.01 anlam dzeyinde testedilmesi istediinde, test istatistiinin deeri afladakiler-

den hangisidir?

a. t = 9b. t = 3

c. t = 2.9

d. t = 1.9

e. t = 0.9

9. Yukardaki verilere gre, hipotez testinde sfr hipote-zinin red blgesi afladakilerden hangisidir?

a.

b.

c.

d. t < 3.182

e. t < 2.132

10. Yukardaki verilere gre, regresyon denklemi = 1.1+ 0.81X olduunda, (b) regresyon katsays afladakiler-

den hangisinde doru olarak ifade edilmifltir?

a. Xdeki bir birimlik artma (ya da azalma) Yde 0.81

birimlik artfla (ya da azalmaya) neden olur.

b. Xin deeri sfr olduunda Ynin deeri de sfr

olur.

c. Yde bir birimlik azalma Xde de bir birimlik azal-

maya neden olur.

d. Yde 1.1 birimlik azalma Xde 2 birimlik artfla ne-

den olur.e. Xdeki artfl Yyi etkilemez.

Y

t > 2.776

t > 3.182t > 3.747

Y

Yi Y2= 2,2

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

nite 11 - Basit Dorusal Regresyon


16/16

266

Yant Anahtar1. a

2. c

3. d

4. b

5. c

6. b

7. d

8. a

9. b

10. a

Yararlanlan KaynaklarORHUNBLGE, Neyran: Uygulamal Regresyon ve

Korelasyon Analizi, . . flletme Fakltesi, No : 267,

stanbul, 1996.

MLEK, Necla:Temel statistik lke ve Teknikleri,

Bilim Teknik Yaynevi, Eskiflehir, 1989.

NEWBOLD, Paul: flletme ve ktisat iin statistik,

eviren : mit fienesen, 4. Basm, Literatr Yaynclk,

2000.

SERPER, zer: Uygulamal statistik II, 4. Bask, Ezgi

Kitabevi, Bursa, 2000.

statist ik

istatistik unite11

Documents