istatistik unite04

8/3/2019 istatistik unite04

1/36

alflma Biimine liflkin Olarak: Verilen tanmlar iyice incelenmeli,

rnek sorular zlrken dikkatli olunmal, Kavramlar birbiriyle karfltrlmamal,

Alfltrmalarda verilen bilgiler iyi deerlendirilerek istenenlerin neler olduunet bir biimde ortaya konmaldr.

67

Olaslk 4


2/36

Amalar:

Deney ve sonularndan hareketle, rneklem uzayn yazabileceksiniz.

Verilen tanmlar uygulayarak, olaslklar hesaplayabileceksiniz.Olaylardaki aflama saysna bal olarak, toplam sonu saysn yazabileceksiniz.

Bileflen ve bileflik olaslklar arasndaki fark aklayabileceksiniz.Ayrk olay kavramn aklayabileceksiniz.

Bamsz ve ayrk olaylar arasndaki fark yazabileceksiniz.Tamamlayc olaylar kavramn aklayabileceksiniz.

Ayn anda ortaya kan olaylarn olasln hesaplayabileceksiniz.

Olaylardan en az birinin ortaya kmasna iliflkin olas l hesapla-yabileceksiniz.

erik Haritas

GRfi DENEY, SONU VE RNEKLEM UZAYI OLASILIK HESAPLAMA

Olasln ki zellii Olasla Kavramsal Yaklaflm

SAYMA KURALI BLEfiEN (MARJNAL) VE KOfiULLU OLASILIKLAR

AYRIK OLAYLAR BAIMSIZ VE BAIMLI OLAYLAR

TAMAMLAYICI (BTNLEYC) OLAYLAR

OLAYLARIN ARA KEST VE ARPMA KURALI

Olaylarn Ara Kesiti arpma Kural Bamsz Olaylar in arpma Kural

Ayrk Olaylarn Bileflik Olasl OLAYLARIN BLEfiM VE TOPLAMA KURALI

Olaylarn Bileflimi Toplama Kural

Ayrk Olaylar in Toplama Kural

istatist ik68


3/36

GRfiOlaslk, gnlk yaflammzda ska kullandmz, yararlandmz bir kavramdr.

rnein meteoroloji uzman sabah haberlerinde o gn % 80 olaslkla yamur ya-acan, salk uzmanlar sigara ienlerin imeyenlere oranla kansere yakalanmariskinin daha yksek olacan, snav baflarsz gemifl bir renci o dersten ge-me flansnn ok az olacan syler.

Herhangi bir olayn meydana gelme flansn lmeyle ilgilenen olaslk, istatis-tiin nemli bir blmn oluflturmaktadr. statistiin karsama (ngr) teme-lini oluflturan olaslk, belirsizlik durumunda salkl kararlar vermeyi saladiin, planlama alflmalarnda youn bir biimde kullanlmaktadr. rnein bir fir-mann gelecek yldaki satfl kestirimleri, bir ksm gerekleflecek bir ksm gerek-leflmeyecek bir ok varsayma dayaldr. Bu nedenlerden dolay olaslk kuram,bizlere belirsizlik altnda ya da mevcut bilgilerin tam ve salkl olmamas gibi du-rumlarda doru ve salkl kararlar verebilmede yardmc olacaktr. Bu blmde

ilk olarak ilgili temel kavramlar verilecek, daha sonra olaslk hesaplama kuralla-rndan nemli olanlar basit bir biimde gsterilecek ve son olaraksa kesikli veri-lerin en temel dalmlarndan biri olan Binom dalm anlatlacaktr.

DENEY, SONU VE RNEKLEM UZAYI

Deney ve sonularndan hareketle, rneklem uzayn yazabileceksiniz.

Vida reten bir firmada kalite kontrol uzman olarak grev yapan Ragp Keskin-gz retim hattndan rasgele bir vida alarak vidann hatal olup olmadn ince-ler. Ragp Keskingzn bir viday inceleme eylemi istatistiksel deneye bir rnek-tir. Bu inceleme sonucunda vida hatasz ya da hatal biiminde deerlendirilecek-tir. Bu iki gzlem bilgisine deneyin sonucu (outcome) denirken, bu sonularnbirlikte ele alnmas neticesindeyse bu deneyin rneklem uzay oluflur.

Pek ok gzlemden sadece bir tanesinin gerekleflmesi srecine deney, bugzlemlere deneyin sonular ve bu sonularn tmne ise deneyin rneklemuzay denmektedir.

Bir rneklem (rnek) uzay S harfiyle ifade edilmekte olup yukarda verilenvida inceleme deneyine iliflkin rneklem uzay,

S = {hatasz, hatal}

biiminde gsterilmektedir. Bu rneklem uzaynn elemanlarna da rneklemnoktalar denmektedir.

nite 4 - Olaslk 69

A M A

1

Tablo 4.1 Deney,sonu ve rneklemuzay rnekleri.

Pek ok gzlemden sadecebir tanesinin gerekleflmesisrecine deney, bugzlemlere deneyinsonular ve bu sonularntmneyse deneyinrneklem uzayad verilir.

Deney Sonular rneklem Uzay

Parann bir kez atlmas Yaz, Tura S = { Yaz, Tura }

Zarn bir kez atlmas 1, 2, 3, 4, 5, 6 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Parann iki kez atlmas YY, YT, TY, TT S = { YY, YT, TY, TT }

Doacak bebein cinsiyeti Erkek, Kz S = { Erkek, Kz }

rencinin snav sonucu Baflarl, Baflarsz S = { Baflarl, Baflarsz }


4/36

ZM

ZM

Bir deneyin rneklem uzay Venn ya da aa diyagram izilerek de oluflturu-labilmektedir. Venn diyagram, bir deneyin tm olas sonularnn (kare, dikdrt-gen ya da daire gibi) bir resimle gsterilmesidir. Aa diyagramndaysa her bir so-nu, aacn bir dalyla ifade edilmektedir. Venn ve aa diyagramlar olaslk kav-ramlarnn, grsel ifade yoluyla kolay anlafllmasna yardmc olmaktadr.

Parann bir kez atlmas deneyinin Venn ve aa diyagramlarn iziniz.

Bu deneyin iki olas sonucu yaz ve tura olup rneklem uzay Y = Yaz, T = Turaolmak zere,

S = {Y, T}

biimindedir.

Bu rnein Venn diyagram olarak bir dikdrtgen izilir ve bu dikdrtgen ie-risinde iki sonucu gstermek zere iki nokta konarak yaz ve tura iflaretlenir. r-neklem uzayn belirtmek zere de dikdrtgenin dflna S harfi yazlr (fiekil 4.1 a).

Bu rnein aa diyagramysa ayn noktadan bafllayan iki dal izilmekte vedallardan biri yazy dieri turay ifade etmek zere dallarn sonuna da sonular(Y ve T) yazlmaktadr (fiekil 4.1 b).

Parann iki kez atlmas deneyinin Venn ve aa diyagramlarn iziniz.

Bu deney, parann ilk ve ikinci atlflnda yaz ya da tura gelme durumuna gre iki

blmde flekillenir. ilk para atlflnda yaz geldiinde ikincisinde yaz ya da turagelebilecektir. Yani yaz geldiinde YY (birinci ve ikinci atflta yaz), turageldiindeyse YT (birinci atflta yaz, ikinci atflta tura) sonucuyla karfllafllafllacaktr.Bu durumun tersi de dflnlebilir. lk atfl tura, ikinci atfl yaz (TY) gelebilir. teyandan ilk atfl tura iken, ikinci atflda tura (TT) gelebilir. Sonu olarak iki kezatlan para deneyinin rneklem uzay,

S = {YY, YT, TY, TT}

biimindedir ve bu deneye iliflkin Venn ve aa diyagramlar da afladaki fiekil4.2deki gibidir.

istatist ik70

R N E K 1

fiekil 4.1 Parann birkez atlmasdeneyinin (a) Vennve (b) Aadiyagram..

YY

T

Nihai Sonular

Yaz

Tura

T

S

(a) (b)

R N E K 2


5/36

Bir iflyerinde alflan personel arasnda rasgele iki tanesinin seildii vecinsiyetlerinin ( E = Erkek, K= Kadn ) kaydedildii dflnlsn. Bu dene-yin tm sonularn yaznz, Venn ve aa diyagramlarn iziniz.

Bu deney de parann iki kez atlmas deneyiyle ayndr. nk para atma dene-yindeki Y ve T biimindeki iki sonu, bu deneyde E ve K olarak grlecektir.Afladaki Venn ve aa diyagramlarnda da (fiekil 4.3) grlecei gibi bu dene-yin sonular da EE, EK, KE, KK biiminde drt noktayla ifade edilmektedir, r-neklem uzay da,

S = {EE, EK, KE, KK}

biiminde yazlmaktadr.

Basit ve Bileflik OlaylarOlay, bir deneyin bir ya da daha ok sonucundan oluflur.

Olay: Bir olay, bir deneyin bir ya da daha ok sonucunun kmesidir.

Olay, basit ya da bileflik olabilmektedir. Basit olaya ayn zamanda elementer

olay denirken, bileflik olaya da katflk olay denir.

nite 4 - Olaslk 71

Y

Y

T

NihaiSonular

T

S

(a)

Y T

Y

T

Y

T

Y Y

Y T

T Y

T T

kinci atfllk atfl

(b)

fiekil 4.2 Parann ikikez atlmasdeneyinin (a) Vennve (b) Aadiyagram.

R N E K 3

ZM

EE

E

K

NihaiSonular

EK

S

(a)

KE KK

E

K

E

K

EE

EK

KE

KK

kinci seimlk seim

(b)

fiekil 4.3 ki personelseilmesi deneyinin(a) Venn ve (b) Aadiyagram.

Olay: Bir olay, bir deneyin birya da daha ok sonucununkmesidir.


6/36

Basit OlayHerhangi bir deneyin nihai sonularna basit olay denir. Yani bir basit olay sade-ce ve sadece bir tane sonu iermekte ve E

1, E

2, E

3, .... ya da A, B, C, ....biimin-

deki harflerle gsterilmektedir.

Yukarda verdiimiz rnek 4.3. deki iki personel seimi deneyinde, eldeedilen (EE EK KE KK) verdiimiz drt nihai sonucun her biri bu dene-

yin basit olaylardr ve srasyla E1, E2, E3 ve E4 biiminde gsterilir.

E1 = (EE), E2 = (EK) , E3 = (KE) , E4 = (KK)

Bileflik OlayBir bileflik olay birden ok sonutan oluflmaktadr.

Bileflik olaylar A, B, C, D,.... ya da A1, A2, A3, ....., B1, B2, B3,.... biiminde gs-terilmektedir.

Bir iflyerinde alflan personel arasndan rasgele iki personelin seilmesive cinsiyetlerinin kaydedilmesi biimindeki, rnek 4.3. tekrar dflnlsn

ve A olay, en ok bir erkein seilmifl olduu durum olarak tanmlansn.A olay hi erkek olmamas ya da bir erkek olmas durumunda gerekle-

flecektir ve afladaki gibi gsterilecektir.

A = {EK, KE, KK}

A olay, birden ok sonulu olduu iin bir bileflik olaydr. Bu olayn Venn di-yagram yardmyla grafiksel gsterimi afladadr.

Bir grup insandan bir ksm, genetik kopyalamay, olumlu bulup destekle-mekte, geri kalan karfl kmaktadr. Bu gruptan rasgele iki kifli seilmifl

ve genetik kopyalamaya iliflkin grflleri sorulmufltur. Ka farkl sonusz konusudur? Bu deneye iliflkin Venn ve aa diyagramlarn iziniz.

Aflada verilen olaylarn ierdii sonular listeleyiniz ve bu olaylarnbasit mi yoksa bileflik mi olduunu belirtiniz.

a) Her iki kifli de genetik kopyalamay destekliyor.b) En ok bir kifli genetik kopyalamaya karfldr.

c) Kesinlikle bir kifli genetik kopyalamay destekliyor.

istatist ik72

Basit olay:Bir deneyin sadece ve sadecebir nihai sonucunu ieren

olaya basit olay denmekte vegenellikle Ei biimindegsterilmektedir.

R N E K 4

Bileflik olay:Bir deneyin birden oksonucundan oluflan kmeyebileflik ya da katflk olaydenmektedir.

R N E K 5

S

EKEE

KE KK

A

fiekil 4.4 A Bileflikolaynn Venndiyagram.

R N E K 6


7/36

ZM

D = Genetik kopyalamay destekliyor, K = Genetik kopyalamaya karfl olmakzere drt sonu afladadr.

DD = Her iki kifli de genetik kopyalamay destekliyor.

DK = Birinci kifli genetik kopyalamay desteklerken ikincisi karfldr.

KD = Birinci kifli genetik kopyalamaya karflyken ikincisi destekliyor.

KK = Her iki kifli de genetik kopyalamaya karfldr.

Bu deneyin drt nihai sonucuna iliflkin Venn ve aa diyagram flyledir.

a) Her iki kifli de genetik kopyalamay destekliyor olaynn gerekleflmesi A ileifade edilmek zere, A = {DD} biiminde gsterilir ve bu olay, deneyin drtnihai sonucundan sadece bir tanesini ierdii iin basit olaydr.

b) En ok bir kifli genetik kopyalamaya karfl olaynn gerekleflmesi iki kiflininya da iki kifliden birinin genetik kopyalamay desteklemesi durumlarnda szkonusudur. B ile ifade edilen olay, B = {DD, DK, KD} sonular nedeniyle(birden ok sonu) bileflik olaydr.

c) Kesinlikle bir kifli genetik kopyalamay destekliyor olaynn gerekleflmesi,iki kifliden birisinin genetik kopyalamay desteklerken, dier kiflinin karfl ol-duu durumda sz konusudur. C ile ifade edilen ve C = {DK, KD} biimindegsterilen olay birden ok sayda sonu iermesi nedeniyle bileflik olaydr.

1. Deney, sonu, rneklem uzay, basit olay, bileflik olay kavramlarn aklaynz.

2. Afladaki istatistiksel deneyler iin basit olaylar S rneklem uzayn yaznz.a. Bir zarn bir kez atlmas,b. Bir parann kez atlmas,c. Bir parann bir kez ve bir zarn bir kez atlmas.

3. Devlet btesindeki an kapatlabilmesi iin zenginlerden alnan verginin arttrl-masn baz semenler isterken, bazlar karfl kmaktadr. Semenler arasndan ras-gele kifli seilip grflleri sorulacak olursa, toplam ka olas sonula karfllafllr?Bu deneyin aa diyagramn iziniz ve sonular S rneklem uzaynda gsteriniz.

nite 4 - Olaslk 73

fiekil 4.5 Deneyinin(a) Venn ve (b) Aadiyagram.

DD

D

K

NihaiSonular

DK

S

(a)

KD KK

D

K

D

K

DD

DK

KD

KK

lk kifli

(b)

kinci kifli

SIRA S ZDE


8/36

OLASILIK HESAPLAMA

Verilen tanmlar uygulayarak, olaslklar hesaplayabileceksiniz.

Olaslk (probability) bir olayn meydana gelme, ortaya kma flansn ifade ederve P ile gsterilir. Ei ile gsterilen bir basit olayn olasl P (Ei), A bileflik olay-nn olaslysa P (A) biiminde gsterilmektedir.

Olasln ki zelliiOlasln iki nemli zellii flunlardr:1. Bir olayn olasl her zaman sfr ve bir aralnda yer alr.

Olay ister basit, isterse bileflik olsun meydana gelme olasl hibir zaman s-frdan az, birden ok olamaz. Matematiksel notasyonlarla bu zellik flyle ifa-

de edilir:0 P (Ei) 1

0 P (A) 1

Meydana gelmeyen bir olayn olasl sfr olup, bu tr olaya olanaksz ad ve-rilir. Ortaya kma, meydana gelme olasl bir olan bir olaya kesin olay adverilir ve afladaki biimde gsterilir.

P (M) = 0 ; M olanaksz olay iin

P (C) = 1 ; C kesin olay iin

2. Bir deneydeki tm basit olaylarn olaslklar toplam P (Ei) biimin-de gsterilir ve her zaman birdir.Bu zellik nedeniyle,

P (Ei) = P (E1) + P (E2) + P (E3) +............... = 1

eflitlii yazlabilmektedir. Bu zellikten yararlanarak parann bir kez atlmasdeneyi iin

P (Y) + P (T) = 1

Parann iki kez atlmas deneyi iin

P (Y Y) + P (Y T) + P (T Y) + P (T T) = 1

Sper Ligde oynayan bir futbol takmnn ma sonucu iinse

P (Galibiyet) + P (Malubiyet) + P (Beraberlik) = 1

eflitlikleri yazlabilir.

istatist ik74

A M A

2Olaslk: Olaslk, bir olaynmeydana gelme flansnnsaysal bir lsdr.

P (Ei) = P (E1) + P (E2) +

P (E3) +............... = 1

0 P (Ei) 1

0 P (A) 1


9/36

ZM

ZM

Olasla Kavramsal YaklaflmOlasla kavramsal yaklaflm: 1) klasik olaslk, 2) olasln greli sklk

kavram ve 3) znel olaslk kavramdr. Olasln bu kavramnn aklama-lar afladadr.

Klasik OlaslkSonularn ortaya kma olaslklar ayn ise buna eflit olaslkl (benzer) sonulardenir. Klasik olaslk kural, tm sonular eflit olaslkl olan deneylerin sonular-na iliflkin olaslklar hesaplamada kullanlmaktadr.

Klasik olaslk kuralna gre bir deneydeki basit bir olayn olasl 1in tm so-nu saysna blnmesine eflittir.

Bu ifadeden de anlafllmaktadr ki, bir deneyin tm nihai sonularnn olas-lklar toplam 1dir ve tm nihai sonular eflit olaslkldr. te yandan, A bileflikolaynn olaslysa, A olaynda ierilen sonu saysnn toplam sonu saysna b-

lnmesiyle elde edilmektedir.

Klasik Olaslk Kural

Parann bir kez atlmas deneyinde bir yaz ve bir tura elde edilmesi ola-

sln bulunuz.

Bu deneyde yaz ve tura olmak zere iki sonu bulunmaktadr ve bu sonular eflitolaslkldr. Bu nedenle,

sonular elde edilir.

Zarn bir kez atlmas deneyinde ift say elde edilmesi olasln bulunuz.

Bu deneyde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak zere alt sonu bulunmaktadr ve tm so-nular eflit olaslkl sonulardr. A bileflik olay 2, 4 ve 6 gelmesi biiminde tanm-lanrsa,

A = {2, 4, 6}

rneklem uzayndaki toplam alt sonucun tanesi A olaynca ierilmifl olur ve Aolaynn olma olasl,

P (Yaz) = 1Toplam sonu says

= 12

P (Tura) = 12

= 0.5

P (E i ) = 1Deneyin toplam sonu says

P (A) = A olaynda ierilen sonu saysDeneyin toplam sonu says

nite 4 - Olaslk 75

Eflit olaslkl sonular:ki ya da daha ok sonucun(ya da olayn) ortaya kmaolasl aynysa bunlara eflitolaslkl sonu (ya da olay)denir.

R N E K 7

P (E i ) =1

Deneyin toplam sonu says

P (A) =A olaynda ierilen sonu says

Deneyin toplam sonu says

Klasik olaslk kural:

R N E K 8


10/36

ZM

olarak bulunur.

Bir dernein 60 erkek ve 40 kadn olmak zere toplam 100 yesi bulun-

maktadr. Bu yeler arasnda bir tanesi dernek baflkan olmak iin rasge-le seilecektir. Bir kadn yenin dernek baflkan seilme olasl nedir?

Seim rasgele olaca iin dernein 100 yesinin de seilme olasl ayndr. Ya-ni bu deneyde toplam olarak 100 tane eflit olaslkl sonu vardr. Burada iste-nense 40 kadn yeden bir tanesinin seilmesidir. Bu da,

biiminde bulunur.

Olasln Greli Sklk Kavramlk olarak afladaki olaslklarn hesaplanmak istendiini dflnlsn.

1. Bir otomobil fabrikasnca bundan sonra retilecek otomobilin kusurlu olmaolasl,

2. Rasgele seilmifl bir ailenin yllk gelirinin 5.000.000.000 TLden fazla olmasolasl,

3. Bir hastanede bundan sonra doacak ocuun cinsiyetinin kz olmas olasl,4. 80 yaflndaki birinin en az bir yl daha yaflamas olasl,5. Hileli bir parann atlmas sonucunda yaz gelmesi olasl,6. Cival bir zarn atlmas sonucunda 1 gelmesi olasl.

Bu deneylerdeki sonular eflit olaslkl olmad iin, yukarda sralanan

olaylara iliflkin olaslklar klasik olaslk hesaplama kuralyla hesaplanamaz. r-

nein fabrikada bundan sonra retilecek ilk araba kusurlu ya da kusursuz ola-

bilir. Ancak burada kusurlu ya da kusursuz sonularnn elde edilmesi olaslk-

lar eflit deildir.

Yukarda olduu gibi, sonular eflit olaslkl olmayan deneylerde, deney de-

falarca tekrar edilerek veri retilmektedir. Bylesi durumlarda olaslklar hesapla-mak iin ya eski verilerden yararlanlmakta ya da deney ok kez tekrarlanmak su-

retiyle yeni veri retilmektedir. Bu verilerden yararlanarak bir olaya iliflkin (yakla-

flk) olaslk deeri iin greli sklklardan yararlanlmaktadr. Bu ynteme olas-

ln greli sklk kavram ad verilmektedir. nk deneyin tekrarlanmas sonu-

cunda greli sklklar elde edilmekte ve bunlardan yararlanlarak da olaslklar he-

saplanmaktadr. Deneyin her tekrarndan sonra greli sklklar deifleceinden,

olaslklar da deiflecektir. Ancak bu olaslklarn deifliminin azaltlmas, rnek-

lem hacminin artrlmas yoluyla salanabilmektedir.

P Bir kadnn dernek baflkan seilmesi = 40100 = 0.4

P A =A olaynca ierilen sonu saysDeneyin toplam sonu says

= 36

= 0.5

istatist ik76

R N E K 9


11/36

ZM

Yaklaflk Olaslk in Greli SklkEer bir deneyn kez tekrarlanmfl ve fkez bir A olay gzlenmifl ise olasln g-reli sklk kavramna gre olaslk,

biiminde bulunur.

Bir otomobil fabrikasnda retilen otomobillerden rasgele 500 tanesi se-ilmifl ve 10 tanesinin kusurlu olduu grlmfltr. Kusurlu retim yap-

mann da rasgele olduunu dflnerek, ilk retilecek otomobilin kusurluolmas olasl nedir?

rneklemdeki (seilen) otomobil saysna n = 500, kusurlu otomobil saysnaf = 10 denecek olursa, greli sklk kural gereince olaslk,

elde edilir. Bu olaslk 500 otomobilden elde edilen greli sklktan hesaplanmflzel bir deerdir. Afladaki Tablo 4.2de bu rnek iin sklk ve greli sklk da-lmlar verilmifltir.

Bu tablodaki greli sklk stunu yaklaflk olaslklar stunu olarak kullanl-maktadr. Bu stundan,

P (lk retilecek otomobil kusurlu) = 0.02

P (lk retilecek otomobil kusursuz) = 0.98

deerleri bulunur. Burada unutulmamas gereken, greli sklklarn gerek olas-lklar deil sadece yaklaflk olaslklar olduudur. Greli sklklardan elde edilen

olaslklarn gerek olaslklar olabilmesi iin deneyin ok (sonsuz) kez tekrarlan-mas gerekir ki buna Byk Saylar Yasas ad verilir.

Byk Saylar YasasBir deney ok (sonsuz) kez tekrarlanrsa, bir olayn greli sklklar kuramsal ola-sla yaklaflr.

Ayfle, Ankarada rasgele seilen bir ailenin ev sahibi olma olasln belir-

lemek istemektedir. Bu olasl acaba nasl belirleyecektir?

P lk retilecek otomobil = fn

= 10500

= 0.02

P ( A) = fn

nite 4 - Olaslk 77

Yaklaflk olaslk iin grelisklk: Eer bir deney n keztekrarlanmfl ve f kez bir Aolay gzlenmifl ise

olasln greli sklkkavramna gre olaslk.

biiminde bulunur.

P ( A) = fn

R N E K 1 0

Otomobil f Greli Sklk

Kusursuz 490 490 | 500 = 0.98

Kusurlu 10 10 | 500 = 0.02

Toplam 500 1.00

Tablo 4.2 Otomobilrneinin sklk ve

greli sklkdalmlar.

Byk Saylar Yasas:Bir deney ok (sonsuz) keztekrarlanrsa, bir olayngreli sklklar kuramsalolasla yaklaflr.

R N E K 1 1


12/36

ZM Ankaradan rasgele seilmifl bir aile iin ev sahibi olma ya da olmama gibi iki so-

nu bulunmaktadr. Bu iki olay eflit olaslkl deildir. nk; Ankarada ikametedenlerin ne kadarnn ev sahibi olduu bilinmemektedir. Bu nedenle klasik ola-slk kural uygulanamamaktadr. Bylesi durumlarda ayn deney ok kez tekrar-lanarak olaslk deeri (yaklaflk olarak) greli sklklardan hesaplanmaktadr. Ay-flede bu durumu bildii iin Ankaradan rasgele 1.000 aileyi seerek bunlardan670 tanesinin ev sahibi, 330 tanesinin ise ev sahibi olmadn belirledi. Bu sonu-lar flndaki gibi,

n = rneklem hacmi = 1.000

f = ev sahibi olanlarn says = 670

olmak zere olaslk deerleri,

olarak buldu.

znel Olaslk Kavramou kez, ne sonular eflit olaslkl, ne de veri retmek iin tekrarlanabilen de-neylerle karfllaflabiliriz. Bylesi durumlarda olaylarn olma olaslklar, klasikolaslk kural ya da greli sklk kavram kullanlarak hesaplanamamaktadr. r-nein, statistie Girifl dersini alan Ahmetin dnem sonunda o dersten A alarakgeme (baflarl olma) olasl nedir? Sorusuna cevap vermek gerekten gtr.nk Ahmet bu dersten geebilmek iin test snavna (snavlarna) bir kez gi-recek ve snavdaki baflar durumuna gre A notu alacak ya da alamayacaktr. Buolay iin sz konusu olan A notu alma ya da almama gibi iki sonu bulunmak-la birlikte, bu sonularn ortaya kmas eflit olaslkl deildir. Bu gibi durumlar-da dflnlen (ngrlen) olasla znel olaslk denmektedir. Bu olaslk bi-reyin deer yargsna, deneyimine, dflncesine gre deiflmektedir. Gerektende Ahmet bu dersten A notu alma olasln yksek grrken, dersin hocas da-ha dflk grebilir.

znel olaslk keyfi bir deer olup, ngrde bulunan kiflinin deneyiminden,yanllndan ve beenisinden etkilenir.

1. olaslk yaklaflmn ksaca aklaynz ve bu yaklaflm iin birer rnek veriniz.

2. Afladakilerden hangilerinin olaylara iliflkin olaslklar olamayacan nedenleri ilebirlikte syleyiniz.1 / 5 0.97 -3.5 1.56 5 / 3 0.0 -2 / 7 1.0

3. oktan semeli bir test snavnda sorular iin befl seenek bulunmaktadr. Herhangibir sorunun cevab rasgele iflaretlenecek olursa; cevabna) Doru olma olasln,b) Yanlfl olma olasln bulunuz.

P Rastgele seilen ailenin ev sahibi olmas = fn

= 6701,000

= 0.670

istatist ik78

znel olaslk:Bir olay iin znel deeryargsna, deneyim, bilgi vedflnceye dayal olaslktr.

SIRA S ZDE


13/36

ZM

SAYMA KURALI

Olaylardaki aflama saysna bal olarak, toplam sonu saysnyazabileceksiniz.

Bu blmde flu ana kadar karfllafllan deneylerde az sayda sonu olduu iin, so-nularn listelenmesinde herhangi bir sorunla karfllafllmad. Ancak, sonu saysnnok olmas durumunda sonular listelemek ok da kolay olmamaktadr. Bylesidurumlarda toplam sonu saysn bulmak iin sayma kuralndan yararlanlmaktadr.

Sayma KuralEer bir deneyde; ilk aflamada m tane, ikinci aflamada n tane ve nc aflamadak tane sonu olmak zere aflama bulunuyorsa, bu deneyin toplam sonu says= m . n . k 'dr.

Sayma kural, deneydeki aflama saysnn ten az ya da ok olmas durumun-

da da kullanlabilmektedir.

Bir parann kez atlmas deneyini dflnelim. Bu deneyde aflama bu-lunmaktadr; ilk kez atfl, ikinci kez atfl ve nc kez atfl. Her aflama-nn da yaz ve tura olarak iki sonucu olacaktr. Bu nedenle sayma kuralna gre toplam sonu says = 2 . 2 . 2 = 8 olacaktr. Deney sonularak olarak; YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT biimde olacaktr.

Bir otomobil satcs, kredili otomobil satfllarnda, sabit ve deiflen faizoranlaryla 36, 48 ve 60 ay vade uygulamaktadr. Otomobil satcsnnka farkl satfl yapmas sz konusudur ?

Bu deneyde iki aflama bulunmaktadr. Aflamalardan ilki sabit ve deiflen faiz oran-l (iki sonulu) faiz uygulama aflamas, ikincisiyse 36, 48 ve 60 aylk ( sonu-lu) vade sresi uygulama aflamasdr. Bu durumda,

Toplam sonu says = 2 . 3 = 6 ' dr.

Sper ligdeki bir takmn sezon boyunca 16 ma oynayaca ve her manda galibiyet, malubiyet ve beraberlik biiminde sonucu bulunduu bi-

linmektedir. Bu durumda bir takm iin sezon boyunca,

Toplam sonu = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 316 =43.046.721

farkl sonu sz konusudur.

1. Kusursuz bir zar 2 kez atlmfltr. Toplam sonu saysn bulunuz.

2. Kusursuz bir para 5 kez atlmfltr. Toplam sonu saysn bulunuz.

3. Kusursuz bir para n kez atlmfltr. Toplam sonu saysn bulunuz.

BLEfiEN (MARJNAL) VE KOfiULLU OLASILIKLAR

Bileflen ve bileflik olaslklar arasndaki fark aklayabileceksiniz.

nite 4 - Olaslk 79

A M A

3

Sayma kural: Eer birdeneyde; ilk aflamada mtane, ikinci aflamada n taneve nc aflamada k tanesonu olmak zere aflama bulunuyorsa, budeneyin toplam sonu says= m . n . k dr.

R N E K 1 2

R N E K 1 3

R N E K 1 4

SIRA S ZDE

A M A

4


14/36

Bir firmada alflan 100 kifliye, st dzey yneticilere ok yksek cretler den-mesini onaylayp onaylamadklar sorulmufl ve afladaki tabloda verilen sonularelde edilmifltir:

Yukardaki tabloda 100 alflan; cinsiyet (erkek ya da kadn) ve grfl (onayl-yor ya da onaylamyor) zelliklerine (deiflken karakteristik) gre snflanmfltr.Bu snflamaya (dalm) apraz tablo (contingency table) ad verilmekte olup, sa-ylarn bulunduu kutulara da gze ya da hcre (cell) ad verilmektedir.

Dikkat edilecek olursa, tabloda drt gzede iki karakteristie ait sklklar bu-lunmaktadr. rnein; bu gzelerin ilkinde bulunan 15 alflan, erkek ve yksek

cret verilmesini onaylayanlar, olmak zere iki karakteristii ifade etmektedir.Yukardaki tabloya satr ve stun toplamlarnn eklenmesi sonucunda tablo,afladaki biime dnflmektedir.

alflanlar arasndan rasgele bir alflan seildiinde, bu alflan sadece cinsiyetya da grfl karakteristiklerinden birine gre de snflanabilir. Eer tek karakteris-tik dikkate alnacak olursa; seilen alflan, erkek olabilir, kadn olabilir, onaylyor

olabilir ya da onaylamyor olabilir. flte bu drt karakteristik ya da olayn olaslk-larna bileflen (marjinal) olaslk ad verilmektedir. Bu olaslklara bileflen ya da ba-sit olaslklar denmesinin nedeni, bu olaslklarn satr ya da stun toplamlarnngenel toplama blnmesiyle bulunmasdr.

Bileflen Olaslk: Basit olaslk olarak da bilinen bileflen olaslk, herhangibaflka olay dikkate alnmakszn, sadece bir olaya iliflkin olaslktr.

Yukardaki Tablo 4.4e iliflkin drt bileflen olaslk flyle hesaplanr:

Yukarda belirtildii gibi, erkek alflanlara iliflkin (satr) toplam deerleriningenel toplama blnmesiyle elde edilen bu deer gibi, teki bileflen olaslk dakolaylkla bulunur.

Elde edilen bileflen olaslklarn da eklenmesiyle afladaki tablo oluflturulur:

P Kadn = 40100

= 0.40

P Onaylyor = 19100

= 0.19

P Onaylamyor = 81100

= 0.81

P Erkek = Erkeklerin saysTm alflanlarn says

= 60100

= 0,60

istatist ik80

Cinsiyet Onaylyor Onaylamyor

Erkek 15 45

Kadn 4 36

Tablo 4.3alflanlarncevaplarna iliflkiniki ynl snflama.

Tablo 4.4alflanlarn iki

ynl snflamas.

Cinsiyet Onaylyor Onaylamyor Toplam

Erkek 15 45 60

Kadn 4 36 40

Toplam 19 81 100

Bileflen olaslk:Basit olaslk olarak dabilinen bileflen olaslk,herhangi baflka olay dikkatealnmakszn sadece birolaya iliflkin olaslktr.


15/36

Bu durumda, seilen kiflinin, st dzey yneticilere yksek cret verilmesinionaylyor olmas olasl nedir? Bu olaslk flyle ifade edilebilir:

P (Onaylyor | Erkek) biiminde ifade edilen olasla, onaylamann koflulluolasl denmektedir ve bu gsterim alflann erkek olduu bilindiinde (veril-diinde) seilen alflann onaylama olasl olarak okunmaktadr.

Koflullu Olaslk: Koflullu olaslk bir olayn olufltuunun bilinmesi duru-munda dier olayn olma olasldr. rnein A ve B iki olay olmak zere Aolaynn koflullu olasl,

P (A | B)

biiminde gsterilir ve B olay olduunda A olaynn olmas olasl biimde okunur.

Yukarda Tablo 4.4te verilmifl olan 100 alflana iliflkin sonulardan

P ( Onaylyor | Erkek ) koflullu olasln bulunuz.

P (Onaylyor | Erkek) koflullu olaslnda rasgele seilen bir alflann erkek ol-duu biliniyor ve bu kiflinin onaylama olaslnn bulunmas isteniyor. Burada ilkolarak Tablo 4.4n birinci satr ele alnmfl, seilmifl olan bu kiflinin de, 60 taneerkek alflandan biri olduu dflnlerek, bu satr tekrar yazlmfltr.

Cinsiyet Onaylyor Onaylamyor Toplam

Erkek 15 45 60Onaylayan erkekler alflan toplam erkek

Bu bilgiler flnda aranan koflullu olaslk;

olarak bulunur. Bu hesaplamadan da grlecei gibi koflullu olaslk hesaplanrkengerekleflen olayn deeri (erkek alflanlar) paydaya, olasl bulunmak istenenolayn deeri (onaylayan erkek) paya yazlmaktadr.

P Onaylyor | Erkek = Onaylayan erkek saysToplam erkek says

= 1560

= 0.25

nite 4 - Olaslk 81

Tablo 4.5 Bileflenolaslkl iki ynlsnflama.

Cinsiyet Onaylyor ( A ) Onaylamyor ( B ) Toplam

Erkek ( E ) 15 45 60 P ( E ) = 0.60

Kadn ( K ) 4 36 40 P ( K ) = 0.40

Toplam 19 81 100

P ( A ) = 0.19 P ( B ) = 0.81

Verildiinde biiminde okunur

P ( Onaylyor | Erkek )

Olaslhesaplanacak olay

Gerekleflmifl olay

Koflullu olaslk:Koflullu olaslk bir olaynolufltuunun bilinmesidurumunda dier olaynolma olasldr. rnein Ave B iki olay olmak zere Aolaynn koflullu olasl,

P ( A | B )

biiminde gsterilir ve B

olay olduunda A olaynnolmas olasl biimdeokunur.

R N E K 1 5

ZM


16/36

ZM

Afladaki aa diyagram, koflullu olasln daha kolay anlafllmasn salamakamacyla rnek 4.15 iin hazrlanmfltr:

Tablo 4.4te verilen sonulardan yararlanarak, rasgele seilen kiflinin stdzey yneticilere yksek cret verilmesini onaylad bilindiine gre,bu kiflinin kadn alflan, olma olasln bulunuz.

Burada aranan olaslk,

P ( Kadn | Onaylyor ) = ?

biimindedir. Yukardaki rnee benzer olarak, Tablo 4.4te ilk stun olan onay-layanlar stunu dikkate alnmaktadr.

Onaylyor

Erkek 15Kadn 4 Onaylayan kadnlarn saysToplam 19 Toplam onaylayanlarn says

Bu bilgiler flnda aranan olaslk deeri,

olup rnee iliflkin aa diyagram afladadr.

P Kadn | Onaylyor = Onaylayan kadn saysToplam onaylayanlarn says

= 419

= 0.211

istatist ik82

R N E K 1 6

Olasl aranan olay Onaylyor | Erkek

Verilen (bilinen) olay

Erkek60 / 100

Kadn40 / 100

Onaylamyor | Erkek

Onaylyor | Kadn

15 / 60 Aranan olaslk

45 / 60

4 / 40

36 / 40Onaylamyor | Kadnfiekil 4.6Aadiyagram.

fiekil 4.7Aadiyagram.

Erkek I Onaylyor

Verilen (bilinen) olay

Onaylyor19 / 100

Onaylamyor81 / 100

Kadn I Onaylyor

Erkek I Onaylamyor

15 / 19

4 / 19

45 / 81

36 / 81Kadn I Onaylamyor

Olasl aranan olay

Aranan olaslk


17/36

1. Olaylarn bileflen ve koflullu olaslklar arasndaki fark ksaca aklaynz ve birerrnek veriniz.

2. Bir firmada alflan 420 kifliye sigara iip imedikleri ve niversite mezunu olup ol-madklar sorularak afladaki iki ynl tablo oluflturulmufltur.

Sigara niversite mezunu niversite mezunu deiliyor 35 80miyor 130 175

Bu kiflilerden rasgele bir tanesi seildiinde ;a. niversite mezunu olma,b. Sigara imiyor olma,c. Sigara itii bilindiine gre niversite mezunu olmama,d. niversite mezunu olduu bilindiine gre sigara imiyor olma,

olaslklarn bulunuz.

3. Bir arafltrmada 2000 eriflkine krtaja karfl olup olmadklar sorulmufl ve elde edilensonular, cinsiyetlere gre aflada verilmifltir.

Cinsiyet Karfl deil KarflErkek 495 405Kadn 620 480

Bu gruptan rasgele seilen bir kiflinin;a. Krtaja karfl olmamas,b. Krtaja karfl olmas,

c. Krtaja karfl olmad bilindiine gre kiflinin kadn olmas,d. Kiflinin erkek olduu bilindiine gre krtaja karfl olma olaslklarn bulunuz.

AYRIK OLAYLAR

Ayrk olay kavramn aklayabileceksiniz.

Birlikte olamayan olaylara karfllkl (ya da tamamyla) ayrk olaylar denmektedirve bu tr olaylarn ortak sonular bulunmamaktadr. Eer iki ya da daha ok olaykarfllkl ayrk ise, deneyin her tekrarnda bu olaylardan en ok bir tanesi ortayakmaktadr ve bu nedenle bir olayn ortaya kmas, dier olay ya da olaylarn or-

taya kmasn dflta tutmaktadr.(Karfllkl-Tamamyla) Ayrk Olaylar: Birlikte ortaya kmayan olaylara,(karfllkl) ayrk olaylar denmektedir.

Herhangi bir deney iin, deneyin herhangi bir tekrarnda ortaya kacak sade-ce bir sonu olduu iin nihai sonular her zaman (karfllkl) ayrktr. rnein, birparann iki kez atld bir deneyde, YY, YT, TY ve TT biiminde drt sonu var-dr ve bu sonular (karfllkl) ayrktr. nk bir para iki kez atldnda, bu so-nulardan sadece bir tanesi ortaya kacaktr.

nite 4 - Olaslk 83

SIRA S ZDE

A M A

5

(Karfllkl - Tamamyla)Ayrk olaylar: Birlikteortaya kmayan olaylara,(karfllkl) ayrk olaylar den-mektedir.


18/36

ZM

Zarn bir kez atlmas deneyine iliflkin olarak afladaki olaylar dfln-

lecek olursa;

A = ift say elde edilmesi = {2, 4, 6} B = tek say elde edilmesi = {1, 3, 5}

C = 5den kk say elde edilmesi = {1, 2, 3, 4}

bu olaylara iliflkin olarak,

a) A ve B olaylar ayrk mdr?b) A ve C olaylar ayrk mdr?

Afladaki fiekil 4.8 ve 4.9dan da grlecei gibi, A ve B olaylarnn hibir ortak

noktas yoktur. Zarn bir kez atlmas durumunda A ve B olaylarndan sadece bir

tanesine iliflkin bir sonu ortaya kacaktr. Bu nedenle A ve B olaylar ayrk olay-lardr. te yandan, A ve C olaylarnn ortak noktasda bulunmaktadr. Baflka bir

anlatmla zarn bir kez atlmas durumunda 2 ya da 4 saylarnn da gelebilecei,

bu iki noktann, her iki olayn da eleman olmas, bir gerektir. Bu ynyle A ve

C olaylar ayrk olmayan olaylardr.

Byk bir firmada alflanlardan rasgele bir kifli seilmifl ve afladakiiki olay tanmlanmfl olsun.

D = seilen kifli niversite mezunudur

N = seilen kifli niversite mezunu deildir

Tanmlanan D ve N olaylar ayrk mdr?

Yukarda tanmlanan D olay niversite mezunu alflanlar, N olayysa niversi-

te mezunu olmayan alflanlar gstermektedir. Bu olaylar afladaki flekilde gs-

terilmifltir.

istatist ik84

R N E K 1 7

ZM

S

1

A

3

5

2

4 6

B

fiekil 4.8 Ayrk A veB olaylar.

S

1

A

3

5

2

4

6

C

R N E K 1 8

fiekil 4.9 Ayrkolmayan A ve Colaylar.


19/36

D ve N olaylarnn tanmndan ve flekilden de anlafllaca gibi bu iki olaydafarkl alflanlar ifade edilmektedir. ki olayn ortak sonucu bulunmad iin D veN olaylar ayrk olaylardr.

1. Bir ift zar atldnda; A olay zarlardan birinin 4, B olayysa zarlar toplamnn 11 ol-ma olasl olsun. A ve B olaylarnn ayrk olaylar olduunu gsteriniz.

2. Bir para 3 kez atlmfltr. En az iki tura gelme olay A, B ise atflta da ayn yzngelme olaylaryken, A ve B olaylarnn ayrk olaylar olup olmadn arafltrnz.

3. ki farkl para ayn anda atlmfltr. A olay, iki parann da yaz gelme, B olayysa ikin-ci parann tura gelme olay olsun. A ve B olaylarnn ayrk olmadn gsteriniz.

BAIMSIZ VE BAIMLI OLAYLAR

Bamsz ve ayrk olaylar arasndaki fark yazabileceksiniz.

Bamsz olaylar sz konusu olduunda, bir olayn ortaya kmas teki olayn or-taya kma olasln deifltirmemektedir.

Bamsz Olaylar: Eer bir olayn ortaya kmas teki olayn ortaya kmaolasln etkilemiyorsa, bu iki olaya bamsz olaylar denir. Baflka bir anlatmla,A ve B olaylarnn bamsz olabilmeleri iin,

P (A | B) = P (A) veya P (B | A) = P (B)

koflulu salanmaldr.Bu koflullardan biri doruysa tekinin de doru olduu ya da koflullardan bi-

ri yanlflsa tekinin de yanlfl olduu kolaylkla gsterilebilir. Sonu olarak bir ola-yn ortaya kmas, bir baflka olayn ortaya kma olasln etkiliyorsa, bu olayla-ra bamsz olmayan ya da baml olaylar denmekte ve yukardaki koflullarn iki-si de salamamaktadr.

P (A | B) P (A) , P (B | A) P (B)

nite 4 - Olaslk 85

S

ND fiekil 4.10 Ayrk D veN olaylar.

A M A 6

Bamsz olaylar: Eer birolayn ortaya kmas tekiolayn ortaya kmaolasln etkilemiyorsa, buiki olaya bamsz olaylardenir. A ve B olaylarnn

bamsz olabilmeleri iin,P ( A | B ) = P ( A ) veyaP ( B | A ) = P ( B )

koflulu salanmaldr.

SIRA S ZDE


20/36

ZM

Tablo 4.4te verilmifl olan 100 alflana iliflkin rnekte; kadn (K) ve

onaylyor (O) olaylar tanmlanmfl olsun. Bu olaylar bamsz mdr?

Eer K ve O olaylar iin,

P (K) = P (K | O)

koflulu salanyorsa bu olaylar bamsz, salanmyorsa baml olaylardr.

Tablo 4.4te verilenlerden yararlanarak,

P (K) = 40 / 100 = 0.40 ve P (K | O) = 4 / 19 = 0.211

olaslklar hesaplanabilmektedir. Bu iki olaslk ayn olmad iin bu olaylar ba-msz olaylar deildir. Bu olaylarn baml olmalarnn nedeniyse st dzey y-neticilere yksek cret verilmesini onaylayan ve onaylamayan erkek alflanlarnyzdelerinin, kadn alflanlardan farkl olmasdr. Bu rnee iliflkin olarak P (O)ve P (O | K) olaslklarnn da ayn olmad kolaylkla grlebilir.

Bir kutuda, I. Makinede retilmifl 60, II. Makinede retilmifl 40 olmak

zere toplam 100 kaset bulunmaktadr. I. Makinede retilen 60 kasetin 9tanesi, tm kasetlerinde 15 tanesi bozuktur. Bu durumda rasgele seilen

bir kasetin bozuk olmas D ve bu kasetin I. Makinede retilmifl olmas A

olayn gstermektedir. A ve D olaylar bamsz mdr?

Soruda verilen bilgilerden,

P (D) = 15 | 100 = 0.15 ve P (D | A) = 9 / 60 = 0.15

olaslklar bulunur. P (D) = P (D | A) olduu iin, A ve D olaylar bamsz olay-lardr.

Bu rnekte, I. ve II. Makinede retilen bozuk kaset yzdesi ayn olduu iin,(9 / 60 = 6 / 40) her iki makinenin de bozuk kaset retme olasl 0.15 olduuiin, bu olaylar bamsz olaylardr.

Gerekten de soruda verilen bilgiler kullanlarak afladaki tablo oluflturulabilir.

Bu tablodan yararlanarak da yukardaki olaslklar kolaylkla bulunabilmekte vebu olaslklardan da A ve D olaylarnn bamsz olaylar olduklar grlmektedir.

P (D) = 15 / 100 = 0.15 ve P (D | A) = 9 / 60 = 0.15

istatist ik86

R N E K 1 9

R N E K 2 0

ZM

Tablo 4.6ki ynlsnflama tablosu.

Makine Bozuk ( D ) Salam ( S ) Toplam

Makine I ( A ) 9 51 60

Makine II ( B ) 6 34 40

Toplam 15 85 100


21/36

ki nemli NoktaAyrk, bamsz ve baml olaylarla ilgili iki nemli nokta flunlardr:

1. ki olay ya ayrk ya da bamszdr. Baflka bir ifade ile,a) Ayrk olaylar her zaman bamldr,b) Bamsz olaylar hibir zaman ayrk deildir.

2. Baml olaylar ayrk olabilirler de olmayabilirler de.

1. Kusursuz bir para 3 kez atlmfltr. X, Y ve Z olaylar srasyla ilk iki atfln yaz gelme,nc atfln tura gelme ve atflta iki tura gelme olaylar iken,a. X ve Y olaylarnn,b. Y ve Z olaylarnn,bamsz olaylar olup olmadn arafltrnz.

2. Bir firmada alflan 420 kifliye sigara iip imedikleri ve niversite mezunu olup ol-madklar sorularak afladaki iki ynl tablo oluflturulmufltur.

Sigara niversite mezunu niversite mezunu deiliyor 35 80miyor 130 175

Sigara ime ve niversite mezunu olmama olaylar bamsz olaylar mdr?

3. Bir arafltrmada 2000 eriflkine krtaja karfl olup olmadklar sorulmufl ve elde edilensonular, cinsiyetlere gre aflada verilmifltir.

Cinsiyet Karfl deil Karfl

Erkek 495 405Kadn 620 480

Kadn ve Karfl deil olaylar bamsz olaylar mdr?

TAMAMLAYICI (BTNLEYC) OLAYLAR

Tamamlayc olaylar kavramn aklayabileceksiniz.

ki ayrk olay bir deneyin tm sonularn ieriyorsa bu olaylara, tamamlayc ya da btnleyici olaylar denmektedir. Tamamlayc olaylar her zaman ayrk

olaylardr.Tamamlayc Olaylar: A olaynn tamamlaycs ile gsterilmekte ve A ta-mamlayan denmektedir. olay, bir deneyde A olay tarafndan ierilmeyen tmsonular iermektedir.

Afladaki fiekil 4.11deki Venn diyagramndan da anlafllaca gibi A veolaylar birbirlerinin tamamlaycsdr.

A

A

A

nite 4 - Olaslk 87

SIRA S ZDE

A M A

7

S

A A fiekil 4.11 kiTamamlayc olayn

Venn diyagram.

Tamamlayc olaylar:A olaynn tamamlaycsile gsterilmekte ve Atamamlayan denmektedir.

olay, bir deneyde Aolay tarafndan ierilmeyentm sonular iermektedir.

A

A


22/36

Z

M

ZM

Tamamlayc olaylarn bir deneyin tm sonularn iermesi nedeniyle, tamam-layc olaylarn olaslklar toplam 1dir.

P (A) + P ( ) = 1 ; P (A) = 1 - P ( ) ; P ( ) = 1 - P (A)

Bu eflitlikler nedeniyle herhangi bir olayn olma olasl biliniyorsa, bu olayntamamlaycsnn olasl, verilen olasln 1den kartlmasyla bulunabilmektedir.

Befl amaflr makinesinden iki tanesi bozuktur. Bu makinelerden bir tane-

sinin rasgele seilmesi deneyinde tamamlayc olaylar ve bunlarn olas-lklar nedir?

Bu deney iin iki tamamlayc olay;

A = seilen makine bozuktur= seilen makine bozuk deildir

biimindedir. Deneydeki befl makinenin salam, ikisi bozuk olduu iin yu-karda tanmlanan olaylarn olaslklar,

P (A) = 2 / 5 = 0.40 ve P ( ) = 3 / 5 = 0.60

olup, olaslklar toplam 1dir. Bu rnein Venn diyagram aflada verilmifltir:

Bir niversitede 90 tanesi (ayn zamanda) doktora derecesine de sahip120 profesr bulunmaktadr. Bu niversiteden, bir profesrn rasgele se-

ilmesi deneyinde, tamamlayc olaylar ve olaslklar nedir?

Bu deneyde tamamlayc olaylar;

A = seilen profesrn doktora derecesine sahip olmas= seilen profesrn doktora derecesine sahip olmamas

biimindedir. Bunlara iliflkin olaslklar;

P (A) = 90 / 120 = 0.75 ve P ( ) = 1 0.75 = 0.25

olup, Venn diyagram aflada verilmifltir:

A

A

AAA

istatist ik88

R N E K 2 1

R N E K 2 2

fiekil 4.12 rneinVenn diyagram.

S

A A


23/36

1. Zarn bir kez atlmas deneyinde A olay, sonucun 3ten kk bir say gelmesidir. Aolaynn ortaya kma olasl nedir? A olaynn tamamlayc olay ve olasl nedir?

2. DE tarafndan yaplan bir arafltrmada 7183 kiflinin birden ok gelir getirici ifli oldu-u, bunlardan 4054 tanesininse erkek olduu bulunmufltur. Bu 7183 kifliden rasgele

bir tanesinin seilmesi durumunda ortaya kacak iki tamamlayc olay ve bunlarnolaslklar nedir?

3. Eriflkinlerin her gn gazete okuma olasl 0.65tir. Bu olayn tamamlayc olay veolasl nedir?

OLAYLARIN ARA KEST VE ARPMA KURALI

Ayn anda ortaya kan olaylarn olasln hesaplayabileceksiniz.

Bu blmde iki olayn ara kesiti (ortak blge) ve olaylarn ara kesitinin olasl-n hesaplamada kullanlan arpma kural verilecektir.

Olaylarn Ara Kesitiki olayn ara kesiti, ayn sonular iki olayda da ortaksa oluflmaktadr.

OLAYLARIN ARA KEST: Bir rneklem uzaynda A ve B olaylar tanmlan-mfl olsun. A ve Bnin ara kesiti, hem A hem de Bde yer alan sonular ifade eder,A ve B biiminde gsterilir.

A ve B olaylarnn ara kesiti (kesiflimi) A B ya da AB olarak afladaki flekil-de gsterilmifltir.

nite 4 - Olaslk 89

fiekil 4.13 rneinVenn diyagram.

S

A A

SIRA S ZDE

A M A

8

Olaylarn ara kesiti: Birrneklem uzaynda A ve Bolaylar tanmlanmfl olsun.A ve Bnin ara kesiti, hem Ahem de Bde yer alansonular ifade eder, A ve Bbiiminde gsterilir.

fiekil 4.14 A ve Bolaylarnn ara kesiti.

S

A B

UA B ya da AB


24/36

ZM

arpma KuralA ve B gibi birlikte ortaya kan olaylarn olaslna bileflik olaslk ad verilir ve

P (A ve B) biiminde gsterilir.ki olayn ara kesitinin olasl, bir olayn bileflen olaslyla ile ikinci olayn

koflullu olaslndan elde edilir ve bu kurala arpma kural denir.

A ve B olaynn bileflik olasl P (A B) ya da P (AB) olarak da gsterilir.

Afladaki tabloda bir firmada alflanlarn cinsiyetlerine ve niversite

mezunu olup olmadklarna gre dalmlar verilmifltir.

alflanlardan bir tanesi ifli ynetim komitesi iin rasgele seilecek olur-

sa, seilenin kadn ve niversite mezunu olma olasl nedir?

stenen olaslk, Kadn (K) ve niversite mezunu (M) olaylarnn ara kesitiolup,

P (K ve M) = P (K) P (M | K)

eflitliinden hesaplanmaktadr. Afladaki flekilde de grlecei gibi,

toplam 40 alflann 13 tanesi kadndr ve olasl P (K) = 13 / 40 dr. Ayn biim-de P (M | K) olasln bulmak da kolaydr. nk seilecek kifli 13 kadndan bi-ridir ve bunlar arasndan sadece 4 tanesi niversite mezunudur. Bu nedenle

P (M | K) = 4 / 13

deerinden yararlanarak K ve M bileflik olasl,

P (M ve K) = P (K) P (M | K) = (13 / 40) (4 / 13) = 0.100

olarak bulunur.

Bu rnekte istenen olaslk, arpma kural kullanlmadan da bulunabilir. n-k yukarda verilmifl bulunan tablo ve flekilden de kolayca anlafllaca gibi, top-lam 40 alflandan Kadn ve niversite mezunu zelliklerini taflyan sadece 4alflan bulunmaktadr. Yani, aranan bileflik olaslk P (M ve K) = 4 / 40 = 0.10'dur.

istatist ik90

Bileflik olaslk:ki olayn ara kesitininolaslna, bunlarn bileflikolasl ad verilir ve

P (A ve B) olarak gsterilir.

arpma kural:A ve B olaylarnn ara kesiti-nin olaslP (A ve B) = P (A) P (B | A)dr.

R N E K 2 3

Tablo 4.7ki-YnlSnflama Tablosu.

Cinsiyet niversite mezunu niversite mezunu deil Toplam

Erkek 7 20 27

Kadn 4 9 13

Toplam 11 29 40

fiekil 4.15 ki olaynara kesiti.

niversiteMezunu

S

4Kadn

Kadn ve niversite mezunu


25/36

ZM

Benzer biimde; Erkek (E) ve niversite mezunu deil (N) olaylar da dik-kate alndnda yukardaki tabloya iliflkin dier bileflik olaslklar kolayca eldeedilebilir.

P (E ve M) = P (E) P (M | E) = (27 / 40) (7 / 27) = 0.175P (E ve N) = P (E) P (N | E) = (27 / 40) (20 / 27) = 0.500P (K ve N) = P (K) P (N | K) = (13 / 40) (9 / 13) = 0.225

Afladaki aa diyagram, drt bileflik olasl gstermektedir. rnekte bulun-mas istenen olaslk koyu renkle gsterilmifltir.

Bir kutuda 4 tanesi bozuk, toplam 20 kaset bulunmaktadr. Bu kasetler-

den (seilen yerine konulmakszn) iki tanesi rasgele seilmifltir. Seilen

iki kasetin de bozuk olma olasl nedir?

Bu deneyle ilgili olarak, nce olaylar tanmlanacak olursa olaylar;

S1 = lk seilen kasetin salam olmasB1 = lk seilen kasetin bozuk olmasS2 = kinci seilen kasetin salam olmasB2 = kinci seilen kasetin bozuk olmas

biimindedir. Burada istenen B1ve B2 olaylarnn, bileflik olaslklar olup,

P (B1ve B2) = P (B1) P (B2 | B1)

eflitliinden elde edilecektir. Toplam 20 kasetin 4 tanesi bozuk olduu iin ilk se-

ilen kasetin bozuk olma olasl P (B1) = 4 / 20 'dir. lk seilen kasetin bozukolduu bilindiine gre, kutuda bozuk 19 tane kaset kalmfltr. O halde, ikin-ci seilen kasetin de bozuk olma olasl P (B2 | B1) = 3 / 19 'dur ve istenen ola-slksa,

P (B1ve B2) = P (B1) P (B2 | B1) = (4 / 20) (3 / 19) = 0.032

olarak bulunur.

Afladaki flekilde, istenen olaslk P (B1ve B2) koyu renkli olarak belirtilerekdrt nihai sonu (bileflik olaslk) verilmifltir.

nite 4 - Olaslk 91

Erkek / Kadn niversite mezunu deil Nihai Sonular

27 / 40

13 / 40

E

K

7 / 27

9 / 13N / K

M / K 4 / 13

N / E 20 / 27

M / E

P (E ve M) = (27 / 40) (7 / 27) = 0,175

P (E ve N) = (27 / 40) (20 / 27) = 0,500

P (K ve M) = (13 / 40) (4 / 13) = 0,100

P (K ve N) = (13 / 40) (9 / 13) = 0,225fiekil 4.16Aadiyagram.

R N E K 2 4


26/36

ZM

Alt blm, 4.4de verilmifl olan koflullu olaslk konusu hatrlandndave bir Aolaynn olma olasl biliniyorsa, yine A ve B olaynn bileflik olasl biliniyor-sa, bu bilgilerden yararlanarak A olay bilindiinde B olaynn koflullu olaslnbulmak kolaydr.

Koflullu Olaslk: Eer A ve B, P (A) 0 ve P (B) 0 durumunda iki olayise bunlara iliflkin koflullu olaslklardr.

Mhendislik fakltesinden rasgele seilen bir rencinin kz olma olasl-

0.20, bu rencinin bilgisayar mhendislii rencisi ve kz renci ol-masnn bileflik olaslysa ise 0.03 'tr. Seilen rencinin kz olduu bilin-

diinde, bu rencinin bilgisayar mhendislii rencisi olmasnn koflul-lu olasln bulunuz.

nce rnekle ilgili iki olay tanmlanacak olursa;

A = Seilen renci kzB = Seilen renci bilgisayar mhendislii rencisi

biimindedir. Bu bilgiler flnda P (A) = 0.20 ve P (A ve B) = 0.03 kullanlarak,

sonucuna ulafllr ki bu deer seilen rencinin kz olduu bilindiinde bu -rencinin bilgisayar mhendislii rencisi olmas (koflullu) olasldr.

Bamsz Olaylar in arpma KuralBurada verilecek olan arpma kural, iki olayn bamsz olmas durumunda kul-lanlmaktadr. A ve B gibi iki olayn bamsz olduklar dflnldnde,

P (A) = P (A | B) ve P (B) = P (B | A)

yazlabilmektedir. Bu durumda P (B | A) yerine P (B) yazlacak olursa, yukardaverilen A ve B olaylarnn bileflik olaslna iliflkin forml,

P (A ve B) = P (A) P (B | A) = P (A) P (B)

biimine dnflr.

P B | A =P (A ve B)

P (A)ve P (B) =

P (A ve B)

P (B)

istatist ik92

P (B1

/ B2) = (4 / 20) (3 / 19) = 0,032

lk seim kinci seim Nihai Sonular

16 / 20

4 / 20

S1

P (S1

ve S2) = (16 / 20) (15 / 19) = 0,632

P (S1

/ B2) = (16 / 20) (4 / 19) = 0,168

P (B1

/ S2) = (4 / 20) (16 / 19) = 0.16,

B1

S2

/ S1

15 / 19

B2

/ S

4 / 19

S2

/ B1

16 / 19

B2

/ B1

3 / 19fiekil 4.17ki kasetseimi.

Koflullu olaslk: Eer A ve B,P (A) 0 ve P (B) 0durumunda iki olay isebunlara iliflkin koflulluolaslklardr.

P B | A =P (A ve B)

P (A)

ve

P (B) =P (A ve B)

P (B)

R N E K 2 5


27/36

ZM

ZM

Bamsz Olaylar in arpm Kural:A ve B gibi bamsz iki olayn bile-flik olasl

P (A ve B) = P (A) P (B)

dir.

Bir ifl hannda iki tane yangn dedektr bulunmaktadr. Bir yangn srasn-da bu dedektrlerden herhangi birinin alflmamas olasl 0.02 dir. Bir

yangn srasnda her iki dedektrn de alflmama olasln bulunuz.

Bu rnekte iki yangn dedektr birbirinden bamszdr. nk, yangn srasn-da dedektrlerden birinin alflmamas tekini etkilememektedir. Bu durumdaafladaki iki olay tanmlanabilir.

A = lk dedektrn alflmamasB = kinci dedektrn alflmamas

A ve B olaylar bamsz olduklarndan, bunlarn bileflik olasl,

P (A ve B) = P (A) P (B) = (0.02) (0.02) = 0.0004

olarak bulunur.

Afladaki rnekte de grlecei gibi arpma kural, ikiden ok olay olmasdurumunda da bileflik olasln bulunmasnda kullanlmaktadr.

Penisilinin hastada alerji yapmas olasl 0.20 dir. Bu ilacn hastaya

verildii bir durumda;a) hastaya da alerji yapmas

b) En az bir hastaya alerji yapmamasolaslklarn bulunuz.

Bu rnekte, A, B ve C, srasyla penisilin verilen birinci, ikinci ve nc hastala-r gstersin.

a) Penisilin verilen hastada alerji yapmas, bu hastann bileflik olaslndanelde edilecektir. Hastalardan birinin alerji olmas tekileri etkilemeyecei iinA, B ve C olaylar birbirinden bamszdr. Yani,

P (A ve B ve C) = P (A) P (B) P (C) = (0.20) (0.20) (0.20) = 0.008

istenen olaslk deeridir.

, ve tanmlanmfl olan A, B ve C olaylarnn tamamlayclar olmak zerebu deneyin tm sonular aa diyagram zerinde kolayca gsterilebilir:

CBA

nite 4 - Olaslk 93

Bamsz olaylar iinarpm kural: A ve B gibibamsz iki olayn bileflikolasl

P (A ve B) = P (A) P (B)

dir.

R N E K 2 6

R N E K 2 7


28/36

ZM

b) Burada da,

G = hasta da alerjiktirH = En az bir hasta alerjik deildir

olaylar tanmlanmfl olsun. Tanmlanan G ve H olaylar tamamlayc olaylardr. Bunedenle,

P (G) = P (A ve B ve C) = 0.008

sonucundan ve tamamlayc olay kuralndan yararlanarak,

P (H) = 1 - P (G) = 1 0.008 = 0.992

deeri bulunur.

Ayrk Olaylarn Bileflik Olaslnceki tartflmalardada dile getirildii gibi, ayrk olaylar birlikte meydana gelmez-ler. Bu nedenle, iki ayrk olayn bileflik olasl sfrdr.

Ayrk Olaylarn Bileflik Olasl: ki ayrk olayn bileflik olasl her za-man sfrdr ve bu durum, A ve B ayrk olaylarsa P (A ve B) = 0 biiminde gs-terilir.

Otomobil kredisi almak iin gerekli baflvuru formunun doldurulmasnailiflkin afladaki iki olay tanmlanmfl olsun;

O = Kredi baflvurusu onaylandR = Kredi baflvurusu reddedildi

O ve Rnin bileflik olasl nedir?

rnekte tanmlanan O ve R olaylar ayrk olaylar olduu iin bileflik olasl sfrdr.

(P (O ve V) = 0)

istatist ik94

lk hasta

0.20

0.80

A

A

B 0.80

0.20

B

B 0.80

0.20

B

C 0,20

C 0.80

C 0.20

C 0.80

C 0.20

C 0.80

C 0.20

C 0.80

P ( A B C ) = 0,008

P ( A B C ) = 0,032

P ( A B C ) = 0,032

P ( A B C ) = 0,128

P ( A B C ) = 0,032

P ( A B C ) = 0,128

P ( A B C ) = 0,128

P ( A B C ) = 0,512

kinci hasta Nihai sonularnc hasta

fiekil 4.18 Aadiyagram.

Ayrk olaylarn bileflikolasl: ki ayrk olaynbileflik olasl her zamansfrdr ve bu durum, A ve Bayrk olaylar iseP (A ve B) = 0biiminde gsterilir.

R N E K 2 8


29/36

1. ki olayn ara kesitinin anlamn aklaynz ve bir rnek veriniz.

2. ki olayn bileflik olaslnn anlamn aklaynz ve bir rnek veriniz.

3. Aflada verilen deerler iin, A ve B olaylarnn bileflik olasln bulunuz.a) P (B) = 0.59 ve P (A | B) = 0.77b) P (A) = 0.28 ve P (B | A) = 0.15

OLAYLARIN BLEfiM VE TOPLAMA KURALI

Olaylardan en az birinin ortaya kmasna iliflkin olaslhesaplayabileceksiniz.

Bu alt blmde olaylarn bileflimi (bileflik olaylar) incelenecek ve bileflik olaylar-

da olaslk bulmada kullanlan toplama kuralndan sz edilecektir.

Olaylarn BileflimiA ve B gibi iki olayn bileflimi; Ada ya da Bde ya da A ve Bde birlikte yer alantm sonular iermektedir.

Olaylarn Bileflimi:Ayn rneklem uzaynda tanml A ve B olaylarnn bile-flimi Ada ya da Bde ya da A ve Bde birlikte yer alan tm olaylarn bileflkesi olupA ya da B biiminde gsterilir.

ABD niversitelerinde 12.439 milyon renci renim grmektedir. Bun-lardan 6.868 milyonu kz renci, 7.211 milyonu tam zamanl renci ve3.786 milyonu kz ve tam zamanl rencilerdir. Kz ve Tam zamanlrenci olaylarnn bileflimini tanmlaynz.

Burada; Kz renci ve Tam zamanl renci olaylarnn bileflimi, kz ya da tamzamanl ya da her iki grupta da yer alan rencilerden oluflmaktadr. Bu renci-lerin says ise 6.868 + 7.221 3.786 = 10.303 milyondur. Burada en nemli nok-ta, iki olayn ierdii toplam 6.868 + 7.221 = 14.089 milyon kifliden 3.786 milyonu-nun her iki grupta (olay) yer almas, yani iki olayn ara kesiti olmas nedeniyle top-lamdan kartlmasdr. Afladaki tablo ve grafikten de grlecei gibi bu deerle-rin toplamdan kartlmamas iki kez saylmasna yani tekrara neden olacaktr.

* iki kez tekrarlanan

nite 4 - Olaslk 95

SIRA S ZDE

A M A

9

R N E K 2 9

Olaylarn bileflimi: Aynrneklem uzaynda tanml Ave B olaylarnn bileflimiAda ya da Bde ya da A veBde birlikte yer alan tmolaylarn bileflkesi olup A yada B biiminde gsterilir.

Tablo 4.8 ki ynlsnflama tablosu.

Cinsiyet Tam-zamanl Yar-zamanl Toplam

Erkek 3.435 2.136 5.571

Kz 3.786 * 3.082 6.868

Toplam 7.211 5.218 12.439

fiekil 4.19 Kzrenci ve Tam-zamanl renciolaylarnn bileflimi.

Kzrenci

Tam-zamanlrenci

arakesit


30/36

ZM

Toplama KuralOlaylarn bileflimine iliflkin olaslk hesaplamada kullanlan ynteme, toplama ku-

ral denir ve afladaki gibi tanmlanr.TOPLAMA KURALI:A ve B olaylarnn bilefliminin olasl,

P (A veya B) = P (A) + P (B) - P (A ve B)

biiminde bulunmaktadr.Bu eflitlik gereince A ve B olaylarnn bileflen olaslklarnn toplamndan bun-

larn bileflik olaslklarnn kartlmasyla bu olaylarn bilefliminin olasl bulunur.

Bir niversite rektr, tm rencilerin etik konusunda bir dersi (zorun- lu) almasnn yararl olacan dflnmektedir. Bu konuda retim ele-

man ve rencilerden oluflan toplam 300 kifliye dflncesini sormufl ve el-

de edilen sonulardan afladaki tablo oluflturulmufltur.

Bu gruptan rasgele seilen birinin retim eleman ya da katlyor olma

olasln bulunuz.

lk olarak afladaki olaylar tanmlanacak olursa;

A = Seilen kifli retim elemanB = Seilen kifli dflnceye katlmakta

biimindedir. Tablo bilgilerinden yararlanarak bu olaylara iliflkin olaslklar,

P (A) = 70 / 300 = 0.233P (B) = 135 / 300 = 0.450P (A ve B) = P (A) P (B | A) = (70 / 300) (45 / 70) = 0.150

olarak bulunur. Aranan olaslk deeriyse toplama kuralndan yararlanlarak,

P (A veya B) = P (A) + P (B) - P (A ve B) = 0.233 + 0.450 0.150= 0.533

elde edilir.

Ayn sonucu toplama kural kullanmadan sadece tablo bilgilerinden yarar-lanarak bulmak da olanakldr.

45 + 15 + 10 + 90 = 160P (A veya B) = 160 | 300 = 0.533

istatist ik96

Toplama kural: A ve Bolaylarnn bileflimininolasl,P (A veya B) = P (A) +

P (B) - P (A ve B)biiminde bulunmaktadr.

R N E K 3 0


Grfl

Sorulan Katlyor Karfl ekimser Toplam

retim eleman 45 15 10 70

renci 90 110 30 230

Toplam 135 125 40 300


31/36

ZM

Yaplan bir arafltrmadan 7225 kiflinin birden ok ifli olduu bulunmufl-

tur. Bu kiflilerden 4115 tanesi erkek, 1742 tanesi bekar ve 905 tanesiyse erkek ve bekardr. Rasgele seilen birinin erkek ya da bekar olma

olasln bulunuz.

stenen olaslk deerini bulmak iin olaylar tanmlamak ve bu olaylara iliflkinolaslklar yazmak gerekir.

E = Rasgele seilen kifli erkekB = Rasgele seilen kifli bekar

P (E) = 4.155 / 7.225 = 0.570P (B) = 1.742 / 7.225 = 0.241P (E ve B) = 905 / 7.225 = 0.125

Bu sonularn toplama kuralnda kullanlmasyla aranan olaslk deeri,

P (E veya B) = P (E) + P (B) - P (E ve B) = 0.570 + 0.241 - 0.125= 0.686

olarak bulunur.

Ayrca rnekte verilen bilgiler (koyu renkli) kullanlarak afladaki tablo olufl-turulabilir ve aranan olaslk bu bilgilerden yararlanlarak da bulunabilir.

P (E) = 4.155 / 7.225 = 0.570P (B) = 1.742 / 7.225 = 0.241P (E ve B) = 905 / 7.225 = 0.125P (E veya B) = P (E) + P (B) - P (E ve B) = 0.570 + 0.241 - 0.125

= 0.686

Ayrk Olaylar in Toplama KuralOlaslk konusunun nceki alt blmlerinde, iki ayrk olayn bileflik olaslkdeerinin sfr olduu sylenmiflti. Bu nedenle A ve B ayrk olaylar olmak zereP (A ve B) deeri sfr olduu iin, toplama kuralnda kullanlan formlden kar-tlmakta ve iki ayrk olayn bilefliminin olasl, bu iki olayn bileflen olaslklarnntoplamndan elde edilmektedir.

Ayrk Olaylar in Toplama Kural: A ve B ayrk olaylarnn bileflimininolasl

P (A veya B) = P (A) + P (B)

dir.

nite 4 - Olaslk 97

R N E K 3 1


Cinsiyet Bekar Evli Toplam

Erkek 905 3.210 4.115Kadn 837 2.273 3.110

Toplam 1.742 5.483 7.225

Ayrk olaylar iin toplamakural:A ve B ayrk olaylarnnbilefliminin olasl

P (A ya da B) = P (A) + P (B)

dir.


32/36

ZM

ZM

Kamuoyunun rk ayrmna karfl dflncesinin ortaya konmasn ama-

layan bir arafltrmada; erkek ve kadnlardan oluflan 300 kifli ile grfll- mfltr. Grfllerin rk ayrmna karfl , destekliyor ve ekimser

olarak kaydedilmesi sonucunda afladaki tablo oluflturulmufltur.

Bu gruptan rasgele seilen bir kiflinin rk ayrmna karfl ya da ekimser

olma olasl nedir ?

lk olarak afladaki olaylar tanmlanr;

K = ekilen kifli rk ayrmna karflC = ekilen kifli rk ayrm konusunda ekimser

Bu rnek iin tanmlanan olaylar, afladaki fiekil 4.20den de grlecei gibi ay-

rk olaylardr. nk seilen kifli rk ayrmna ya karfl olacaktr ya da ekimser

olacaktr. Yani her iki grflte olmas sz konusu deildir.

Yukarda verilen bilgilerden,

P (K) = 130 / 300 = 0.43P (C) = 40 / 300 = 0.133P (K veya C)= P (K) + P (C) = 0.43 + 0.133 = 0.563

elde edilir.

Toplama kural forml ikiden ok olay olmas durumlarnda dakullanlabilmektedir.

Zarn iki kez atld bir deneyde, iki atfl sonunda toplam 5, ya da 7 yada 10 elde edilmesi olasln bulunuz.

Bir zarn iki kez atlmas deneyinde toplam 36 sonu bulunmaktadr. Eflit olaslk-l bu sonular Tablo 4.12de verilmifltir.

istatist ik98

R N E K 3 2

Tablo 4.11. ki ynlsnflama tablosu.

Cinsiyet Karfl Destekliyor ekimser Toplam

Erkek 45 15 12 72

Kadn 85 115 28 228

Toplam 130 130 40 300

CK

fiekil 4.20 K ve Cayrk olaylar.

R N E K 3 3


33/36

ZM

ki saynn toplamnn 5, ya da 7 ya da 10 olduu olaylar tabloda iflaretlenmifltir.Burada toplam 5, toplam 7 ve toplam 10 biimindeki olay ayrk olaylar-dr. Toplam 5 olan drt sonu, toplam 7 olan alt sonu ve toplam 10 olan sonu bulunduu iin aranan olaslk,

P (5 veya 7 veya 10) = P (5) + P (7) + P (10)= (4 / 36) + (6 / 36) + (3 / 36) = 13 / 36 = 0.361

olarak bulunur.

Kamuoyunun %55inin genetik mhendisliini destekledii, %45ininse karfl olduu bilinmektedir. Rasgele iki kifli seilerek ve bu kiflilerin genetik

mhendisliini destekleyip desteklemedikleri renilmek istenmektedir.

a) Bu deneyin aa diyagramn iziniz.b) ki kifliden en az birinin genetik mhendisliini desteklemesi olasln

bulunuz.

a) Deneyin olaylar tanmlanacak olursa;

D = Genetik mhendisliinin desteklenmesiK = Genetik mhendisliine karfl olunmas

biimindedir. Bu deneyde drt nihai sonu bulunmaktadr.

nite 4 - Olaslk 99

kinci atfl

1 2 3 4 5 6

1 (1. 1) (1. 2) (1. 3) (1. 4) (1. 5) (1. 6)2 (2. 1) (2. 2) (2. 3) (2. 4) (2. 5) (2. 6)3 (3. 1) (3. 2) (3. 3) (3. 4) (3. 5) (3. 6)4 (4. 1) (4. 2) (4. 3) (4. 4) (4. 5) (4. 6)5 (5. 1) (5. 2) (5. 3) (5. 4) (5. 5) (5. 6)6 (6. 1) (6. 2) (6. 3) (6. 4) (6. 5) (6. 6)

lk

atfl

Tablo 4.12 Bir zarniki kez atlmasndanelde edilen sonular.

R N E K 3 4

0,55

P (DD) = (0,55) (0,55) = 0,3025

D

K

D

K

0,45

0,55

0,45

D 0,55

K 0,45

Nihai sonular ve olaslklarkinci kiflilk kifli

P (DK) = (0,55) (0,45) = 0,2475

P (KD) = (0,45) (0,55) = 0,2475

P (KK) = (0,45) (0,45) = 0,2025fiekil 4.21 Aadiyagram.


34/36

b) ki kifliden en az birinin genetik mhendisliini desteklemesi DD, DK ve KDsonularn iermektedir ve bu ayrk olayn bilefliminin olasl,

P (en az bir kifli destekliyor) = P (DD, DK ya da KD)= P (DD) + P (DK) + P (KD)= 0.3025 + 0.2475 + 0.2475= 0.7975

dir.

1. ki olayn bilefliminin anlamn aklaynz ve bir rnek veriniz.

2. Afladaki toplama kural, hangi durumdaki A ve B gibi iki olayn bilefliminin, olaslnbulmada kullanlr?

P (A veya B) = P (A) + P (B)3. Afladaki durumlar iin P (A ya da B) olasln bulunuz.

a) P (A) = 0.18 , P (B) = 0.49 ve P (A ve B) = 0.13b) P (A) = 0.83 , P (B) = 0.71 ve P (A ve B) = 0.68

istatist ik100

SIRA S ZDE


35/36

Kendimizi Snayalm1. 3 farkl para ayn anda atlmfltr. Bu deneye iliflkin r-neklem uzaynda ka rneklem noktas olacaktr?

a. 3

b. 6

c. 8

d. 12

e. 16

2. Biri beyaz dieri de krmz olmak zere bir ift zaratlmfltr. A zarlarn ste gelen yzeydeki saylarn top-

lamnn ift, Bde krmz zarn ste gelen yzndeki

saynn tek say olmas olaylar iken, (AB) olaynda ka

rneklem noktas olacaktr?

a. 12b. 16

c. 18

d. 36

e. 40

3. Bir snfta 10 kz 20 erkek renci vardr. Kz ren-cilerin de erkek rencilerin de yars bursludur. Bu snf-

tan gelifligzel bir renci seilmifltir. Bu rencinin er-

kek ya da burslu olma olasl afladakilerden hangisidir?

4. Bir ift zar atlmfltr. ste gelen yzeylerdeki saylarntoplamnn 7 olduu biliniyorsa, bu zarlardan birinin 3 ol-

ma olasl afladakilerden hangisidir?

5. 52 kartlk bir oyun kad destesinden pefl pefle ikikart ekilmifltir. Birinci kart ikili iken, ikinci kartn da ikili

olma olasl afladakilerden hangisidir?

6. Bir snftaki rencilerin %30u matematik, %20si is-tatistik ve %10u da hem matematik hem de istatistik ders-

lerinden baflarszdr. Bu snftan gelifligzel seilen birrencinin matematik ya da istatistik derslerinin birinden

baflarsz olma olasl afladakilerden hangisidir?

a. 0.20

b. 0.30

c. 0.35

d. 0.40

e. 0.45

7. Ayn snftaki iki rencinin Trk Dili dersi snavndanbaflarl olma olaslklarnn srasyla 0.6 ve 0.8 olduu

biliniyorsa bu iki renciden birisinin baflarl olma olasl

afladakilerden hangisidir?

a. 0.30

b. 0.48

c. 0.50

d. 0.75

e. 0.92

8. 1den 15e kadar (15 dahil) olan tam saylar arasndanrasgele seilen bir saynn 3 ve 5 ile blnebilen bir say

olma olasl afladakilerden hangisidir?

a.115

b. 13

c. 35

d. 1015

e. 1315

a. 3

6

b. 35

c. 46

d. 4

5

e. 56

nite 4 - Olaslk 101

a. 118

b. 13

c. 25

d. 37

e. 12

a. 1221

b. 7360

c. 11101

d. 752

e. 1152


36/36

9. Bir A dersi snavna giren 200 rencinin cinsiyetlerinegre baflar durumu afladaki tabloda gsterilmifltir.

Snava giren renciler arasndan rasgele seilen bir -

rencinin erkek ve baflarl olma olasl afladakilerden

hangisidir?

10. Bir futbol takmnn ilk ma kazanmasna iliflkinolaslklar srasyla 0.3, 0.5 ve 0.8 olarak belirlenmifltir. Bu

takmn ma da kazanma olasl afladakilerden han-

gisidir?a. 0.10

b. 0.12

c. 0.15

d. 0.18

e. 0.20

Yant Anahtar1. c

2. d

3. e

4. b

5. a

6. d

7. e

8. a

9. b

10. b

Yararlanlan KaynaklarHOEL, P.G. and JESSEN, R.J.: Basic Statistics for Busi-

ness and Economics, Wiley, NewYork, 1971.

MANN, P.S.: Introductory Statistics, 2nd Edition, Wiley,

New York, 1995.

OHAGAN, A., Probability: Metods and Measurement,

Chapman and Hall, London, 1988.

WONNACOTT, R.J., WONNACOTT, T.H.: Introductory

Statistics, 4th Edition, Wiley, Singapore, 1985.

istatist ik102

BAfiARILI BAfiARISIZ TOPLAM

ERKEK 80 40 120

KIZ 60 20 80

TOPLAM 140 60 200

BaflarCinsiyet

a. 1

5

b. 25

c. 35

d. 23

e. 710

istatistik unite04

Documents