istatistik egitim

GoBack

1 / 36

İstatistik

Emre Tezmen

February 18, 2010

Giriş

GirişYöntem

Taylor Serileri

Taylor Serisi veKümülatif NormalDağılım

Newton RhapsonMetodu

Olasılık

Olasılık YoğunlukFonksiyonları

Bileşik OlasılıkYoğunlukFonksiyonu

Bazı ÖnemliKuramsal OlasılıkDağılımları

Değişik Dağılımlarile BS Fiyatı

2 / 36

Yöntem

GirişYöntem

Taylor Serileri



Olasılık





3 / 36

Bu bölümde,

■ Taylor serileri ve finans alanında kullanımı

■ Newton Rhapson Metodu ve finans alanındakullanımı

■ Olasılık

■ Olasılık dağılım fonksiyonları

■ Son olarak değişik dağılımlar altında BS opsiyonfiyatlamasını

inceleyeceğiz.

Taylor Serileri

Giriş

Taylor Serilerix = 0 EtrafındaTaylor AçılımıTaylor Açılımı ve ex

Taylor Açılımı ve∫1

0e−x

2

dx

x = a EtrafındaTaylor SerileriBirden FazlaDeğişken ve TaylorSerileri



Olasılık





4 / 36

x = 0 Etrafında Taylor Açılımı

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





5 / 36

Fonksiyonların yaklaşık tahminininde kullanılan sonsuz seriformu:

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + · · ·


Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





5 / 36

Fonksiyonların yaklaşık tahminininde kullanılan sonsuz seriformu:

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + · · ·

Serinin her bir terimi bir sabit ve x değişkeninin kuvvetiçarpımıdır. Bu tip serilere kuvvet (power) serisi adı verilir.Kuvvet serilerinin kısmi toplamları polinomdur:

Sn = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · ·+ an−1xn−1


Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





5 / 36

∞∑

n=0

anxn kuvvet serisini herhangi bir aralıkta f(x)

fonksiyonuna yaklaştıracak an katsayılarını nasıl bulabiliriz?

f(x) =∞∑

n=0

anxn = a0+a1x+a2x

2+a3x3+· · ·+anx

n+· · ·

x = 0 ise, serinin sadece ilk terimi a0 sıfırdan farklıdır:a0 = f(0) Serinin her bir teriminin türevini alalım:

f ′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + · · ·+ nanx

n−1 + · · ·

x = 0 ise, a1 = f ′(0)


Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





5 / 36

Tekrar türev alalım:

f ′′(x) = 2a2 + 6a3x+ · · ·+ n(n− 1)anxn−2 + · · ·

x = 0 ise, a2 =f ′′(0)

2

Üçüncü türev:

f 3(x) = 6a3 + · · ·+ n(n− 1)(n− 2)anxn−3 + · · ·

x = 0 ise, a3 =f3(0)6

.


Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





5 / 36

Genelleştirirsek:

an =f (n)(0)

n!

Bulduğumuz seri f fonksiyonunun x = 0 etrafındaki TaylorSerisi ve hesaplanan katsayılar an ise f fonksiyonununTaylor katsayıları olarak adlandırılır.

Taylor Açılımı ve ex

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





6 / 36

f(x) = ex fonksiyonunun x = 0 etrafındaki Taylor serisinibulalım:

f(x) = ex f(0) = 1 a0 =f(0)0!

= 10!

f ′(x) = ex f ′(0) = 1 a1 =f ′(0)1!

= 11!

f ′′(x) = ex f ′′(0) = 1 a2 =f ′′(0)2!

= 12!

......

...

f (n)(x) = ex f (n)(0) = 1 an = f (n)(0)n!

= 1n!


Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





6 / 36

Bulduğumuz Taylor serisi:

∞∑

n=0

anxn =

∞∑

n=0

xn

n!

Bir başka deyişle:

ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!· · ·


Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





6 / 36

x = 0 olduğunda ex fonksiyonu e sayısına yaklaşır. 5.dereceden tahmin edelim:

ex =∞∑

n=0

(ex)n

n!= 1 + (ex) +

(ex)2

2!+

(ex)3

3!

+(ex)4

4!+

(ex)5

5!= 2, 716666667

Taylor Açılımı ve∫

1

0e−x

2

dx

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





7 / 36

ex =∞∑

n=0

xn

n!

olduğunu biliyoruz. x gördüğümüz her yere −x2 koyalım:


1

0e−x

2

dx

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





7 / 36

ex =∞∑

n=0

xn

n!


e−x2

=∞∑

n=0

(−1)nx2n

n!


1

0e−x

2

dx

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





7 / 36

ex =∞∑

n=0

xn

n!


e−x2

=∞∑

n=0

(−1)nx2n

n!

Böylece:

e−x2

= 1− x2 +1

2x4 +

1

6x6 +

1

24x8 + · · ·


1

0e−x

2

dx

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





7 / 36

İntegralin 8. dereceden çözümü:

∫ 1

0

e−x2

dx

≈∫ 1

0

(

1− x2 +1

2x4 +

1

6x6 +

1

24x8

)

dx

=

(

x− 1

3x3 +

1

10x5 − 1

42x7 +

1

216x9

)

|10

= 1− 1

3+

1

10− 1

42+

1

216≈ 0, 7475

x = a Etrafında Taylor Serileri

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





8 / 36

■ Bazı durumlarda, f(x) fonksiyonunu∞∑

n=0

anxn kuvvet

serisi ile göstermek mümkün olmayabilir.

■ Bu durumlarda∞∑

n=0

an(x− a)n kuvvet serisini

kullanabiliriz (a sabit).

■ Son ifade ettiğimiz seriye f(x) fonksiyonunun aetrafında Taylor serisi denir

∞∑

n=0

an(x− a)n an =f (n)(a)

n!

x = a Etrafında Taylor Serileri

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





8 / 36

■ Fonksiyonu a etrafında tahmin etmek için Taylorpolinomu kullanabiliriz.

■ Genelde terim sayısı arttıkça tahminin kalitesi deyükselir.

■ Pn(x) polinom derecesi en fazla n olan (n+ 1)’ncikısmi toplamı ifade etsin.

Taylor polinomu:

Pn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1

2!f ′′(a)(x− a)2

+ · · ·+ 1

n!f (n)(a)(x− a)n

Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





9 / 36

Taylor serileri birden fazla değişken için genelleştirilebilir:

T (x1, · · · , xd)

=∞∑

n1=0

· · ·∞∑

nd=0

∂n1

∂xn11

· · · ∂nd

∂xnd

d

f(a1, · · · , ad)n1! · · ·nd!

(x1 − a1)n1

· · · (xd − ad)nd

Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri

Giriş



0e−x

2

dx




Olasılık





9 / 36

“x” ve “y” değişkenlerine bağlı hareket eden f(x, y)fonksiyonunun (a, b) etrafında ikinci derece Taylorpolinomu:

f(x, y)

≈ f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)

+1

2!

[

fxx(a, b)(x− a)2

+2fxy(a, b)(x− a)(y − b) + fyy(a, b)(y − b)2]

alt indisler karşılık gelen kısmi türevleri ifade etmektedir.

Taylor Serisi ve Kümülatif NormalDağılım

Giriş

Taylor Serileri

Taylor Serisi veKümülatif NormalDağılımTaylor Açılımı veKümülatif NormalDağılım


Olasılık





10 / 36

Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

Black&Scholes formülünde kullanılan N(d1) ve N(d2)değerlerini hesaplamak için Taylor açılımındanyararlanabiliriz:

f(x) = f(a) + f (1)(a)(x− a) +f (2)(a)

2!(x− a)2

+f (3)(a)

3!(x− a)3+, . . . ,+

f (n)(a)

n!(x− a)n + . . .


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

Black&Scholes formülünde kullanılan N(d1) ve N(d2)değerlerini hesaplamak için Taylor açılımındanyararlanabiliriz:

f(x) = f(a) + f (1)(a)(x− a) +f (2)(a)

2!(x− a)2

+f (3)(a)

3!(x− a)3+, . . . ,+

f (n)(a)

n!(x− a)n + . . .

Bu açılımı a = 0 noktasında yaparsak Maclaurin serisielde ederiz:

f(x) = f(0) + f (1)(0)(x) +f (2)(0)

2!(x)2

+f (3)(0)

3!(x)3 + . . .+

f (n)(0)

n!(x)n + . . .


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

N(d) =1√2π

∫ d

−∞

e−12x2

dx


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

N(d) =1√2π

∫ d

−∞

e−12x2

dx

f(x) = ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ . . .

g(x) = e−x2

= 1− x2 +x4

2!− x6

3!+ . . .

h(x) = e−12x2

= 1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

Bulduğumuz değerleri integralin içine koyalım:

N (d) =1√2π

∫ d

−∞

(

1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .

)

dx

Bu integral işlemini iki parçaya ayırmalıyız:


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

d>0 ise;

N(d) =

1√2π

∫ 0

−∞

(

1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .

)

dx

+1√2π

∫ d

0

(

1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .

)

dx


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

d<0 ise;

N (d) =

1√2π

∫ 0

−∞

(

1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .

)

dx

− 1√2π

∫ 0

d

(

1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .

)

dx

=1√2π

∫ 0

−∞

(

1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .

)

dx

+1√2π

∫ d

0

(

1− x2

2+

x4

22 ∗ 2! −x6

23 ∗ 3! + . . .

)

dx


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

Standart normal kümülatif dağılım söz konusu olduğunda:

■ 0 noktasına göre simetriktir

■ Dağılım eğrisinin altında kalan toplam alan 1’e eşittir

■ Dağılım eğrisinin 0’a kadar olan bölümü alanınyarısıdır ve 0,5’e eşittir.

Yukarıdaki özelliklerden faydalanarak integral işleminin ilkkısmı olan ve −∞’den başlayarak 0’a kadar giden kısmındeğerinin 0,5 olduğunu söyleyebiliriz.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

N(d) = 0, 5 +1√2π

[

x− x3

2 ∗ 3 +x5

22 ∗ 2! ∗ 5

− x7

23 ∗ 3! ∗ 7 + . . .

]d

0

= 0, 5 +1√2π

(

d− d3

6+

d5

40− d7

336+ . . .

)


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





11 / 36

Yüksek dereceli terimleri ihmal edersek:d sıfırdan büyükse:

N(d) = 0, 5 +1√2π

d

d sıfırdan küçükse:

N(d) = 0, 5− 1√2π

d

Newton Rhapson Metodu

Giriş

Taylor Serileri


Newton RhapsonMetoduNewton Rhapson veFinansta Kullanımı

Olasılık





12 / 36

Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





13 / 36

Herhangi bir f(x) denkleminin, f(x) = 0 noktasındaköklerini bulmak için x0 ilk tahmini ile başlayıp giderekdaha iyi tahminler (x1, x2, x3 . . .) yapabileceğimiz NewtonRhapson yöntemi aşağıdaki formül ile gösterilebilir:

xn = xn−1 −f(xn−1)

f ′(xn−1)


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





13 / 36

7 sayısının karekökünü Newton metodu ile bulmayaçalışalım. İlk yapmamız gereken fonksiyonu ifade etmek:

f(x) = x2 − 7

f(x) fonksiyonunun türevi: 2x olur ve:

x− f(x)

f ′(x)= x− x2 − 7

2x=

x2 + 7

2x


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





13 / 36

x0 = 3 ilk tahmini ile başlarsak:

x1 =x20 + 7

2x0

= 2, 66667 x0 = 3

x2 =x21 + 7

2x0

= 2, 64583 x1 = 2, 66667

x3 =x22 + 7

2x0

= 2, 645751 x2 = 2, 64583

x4 =x23 + 7

2x0

= 2, 645751 x3 = 2, 645751


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





13 / 36

■ 3. adımdan itibaren kök 6 haneye kadar doğru olaraktahmin edildi.

■ İlk tahmin değerimiz 25 gibi oldukça uzak bir sayıolsaydı, Newton metodu ile sonuç 7. denemede 6haneye kadar doğru olarak bulunacaktı.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





13 / 36

NR metodunu opsiyon öngörülen volatilitesini tahminetmek için kullanabiliriz:

PF:Piyasa fiyatı, f(c) opsiyon fiyatı olmak üzere:

σn = σn−1 −f(c|σ = σn−1)− PF

V ega|σ = σn−1


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





13 / 36

USDTRY Spot K σ rd rf Gün Fiyat

Call 1,5500 1,6000 %20,00 %10,00 %2,00 90 0,05183

Bir önceki tabloda verilen bilgileri kullanarak NR yöntemisonuçları:

I II III IV

Adım σ fc PF Vega I − II−III

IVFark

1 100,00% 0,294359 0,051833 0,298133 0,186519 0,8000000002 18,65% 0,047730 0,051833 0,304171 0,200008 -0,0134814743 20,00% 0,051836 0,051833 0,304520 0,200000 0,0000080654 20,00% 0,051833 0,051833 0,304520 0,200000 0,0000000005 20,00% 0,051833 0,051833 0,304520 0,200000 -


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





13 / 36

■ Yöntem, oldukça çabuk sonuca yaklaşıyor.

■ Öngörülen volatilite başlangıç tahminimiz %100 gibiyüksek bir rakam olmasına rağmen algoritma 3.adımdan itibaren yeterli derecede doğru sonuçüretiyor.

■ Başlangıç volatilite tahminimiz %500 olsaydı doğrusonuca 6. adımda ulaşacaktık.

Olasılık

Giriş

Taylor Serileri



OlasılıkOlasılık ÖzellikleriDeğişkenler





14 / 36

Olasılık Özellikleri

Giriş

Taylor Serileri








15 / 36

Özellik Notasyon

S olayı sürekli gerçekleşe-cekse olasılığı 1’dir

P (S) = 1

S olayı hiçbir zaman gerçek-leşmeyecekse olasılığı 0’dır

P (S) = 0

Olasılıklar, her zaman 0 ve 1arasındadır

0 ≤ P (A) ≤ 1

A,B Örneklem Uzayında her-hangi 2 olay ise

P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B)

A,B,C Örneklem Uzayındaherhangi 3 olay ise

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) +P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) −P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)

A,B,C olayları karşılıklı bağ-daşmaz ise

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) +P (C)

Toplama kuralı:Olasılıklar genel toplam kuralı P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A)·

P (B)A ve Ac karşılılı bağdaşmazolaylardır

P (A ∪ AC) = P (A) + P (Ac) =P (S) = 1 ve P (Ac) = 1− P (A)

Değişkenler

Giriş

Taylor Serileri








16 / 36

■ Rassal bir değişken ya kesikli ya sürekli olur.

Değişkenler

Giriş

Taylor Serileri








16 / 36


■ Kesikli bir rd ancak sonlu (ya da sayılabilir sonlu)sayıda değer alır.

Değişkenler

Giriş

Taylor Serileri








16 / 36



■ Sözgelimi, her biri 1’den 6’ya kadar numaralanmış ikizar atıldığında, zarların üste gelen yüzlerindekisayıların toplamı olarak tanımlanan X rassal sayısı şudeğerlerden birini alır: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12. Demek ki kesikli bir rassal değişkendir.

Değişkenler

Giriş

Taylor Serileri








16 / 36




■ Öte yandan, sürekli bir rd, belli bir aralıkta her değerialabilir.

Değişkenler

Giriş

Taylor Serileri








16 / 36




■ Öte yandan, sürekli bir rd, belli bir aralıkta her değerialabilir.

■ Öyleyse bir kimsenin kilosu sürekli bir değişkendir -ölçümün hassaslığına göre diyelim 70-73 kg aralığındaher değeri alabilir.

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık

Olasılık YoğunlukFonksiyonlarıRassal DeğişkenlerOYF




17 / 36

Rassal Değişkenler OYF

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





18 / 36

X, x1, x2, . . . , xn . . . gibi ayrık değerler alan kesikli bir rdolsun. O zaman

f(x) = P (X = xi) i = 1, 2, 3, . . . , n, . . .= 0 x 6= xi

Fonksiyonuna, X’in kesikli olasılık yoğunluk fonksiyonudenir, burada P (X = xi), X rassal değişkeninin xi

değerini alması olasılığıdır.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





18 / 36

X sürekli bir rd olsun. Aşağıdaki koşul sağlanırsa f(x),X’in OYF’sidir denir:

f(x) ≥ 0∫ ∞

−∞

f(x) dx = 1

∫ b

a

f(x) dx = P (a ≤ x ≤ b)

Burada f(x) dx, sürekli bir değişkenin dar bir aralıktakiolasılığı diye bilinir; P (a ≤ x ≤ b) ise X’in a, b aralığındakalma olasılığı anlamına gelir.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





18 / 36

Kesikli bir rd’nin tersine, sürekli bir rd için, X’in belli birdeğer alma olasılığı sıfırdır; böyle bir değişkenin olasılığıancak, grafikte gösterilen (a,b) gibi bir aralıkta ölçülebilir.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

P(a≤X≤b)

Bileşik Olasılık YoğunlukFonksiyonu

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık


Bileşik OlasılıkYoğunlukFonksiyonuBileşik Olasılık OYFOlasılıkDağılımlarınınÖzellikleriOrtak Varyans veKorelasyon



19 / 36

Bileşik Olasılık OYF

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





20 / 36

Kesikli bileşik OYF X ile Y iki kesikli rassal değişkenolsun. O zaman:

f(x, y) = P (X = x ve Y = y)

= 0 X 6= x ve Y 6= y

iken f(x) kesikli bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu adınıalır ve X’in x değerini ve Y ’nin y değerini almasının(bileşik) olasılığını gösterir.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





20 / 36

X, Y Bileşik Dağılım

Y0 1 Pr(X=x)

0 0,125 0,000 0,125X 1 0,250 0,125 0,375

2 0,125 0,250 0,3753 0,000 0,125 0,125

Pr(Y=y) 0,5 0,5

Tablo içindeki rakamların toplamı 1 olmalıdır. TabloPr(X=x) sütunu şöyle anlaşılmalıdır: Y 0 veya 1 iken X’in0 olması (birinci satır), X’in 1 olması (ikinci satır). . .


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





20 / 36

X, Y Bileşik Olasılık Yoğunluk

0 1 2 3

010,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

p(x,y)

x

y


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





20 / 36

X Marjinal Yoğunluk

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3

x

p(x)


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





20 / 36

Y Marjinal Yoğunluk

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1

y

p(y)


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





20 / 36

Sürekli iki değişken olan X ile Y’nin OYF’si f(x,y) şöyledir:

f(x, y) ≥ 0∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

f(x, y) dx dy = 1

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dx dy = P (a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d)

Olasılık Dağılımlarının Özellikleri

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





21 / 36

Beklenen DeğerKesikli bir rd olan X’in beklenen değeri E(X) ve varyansıvar(X), şöyle tanımlanır:

E(X) =∑

x

xf(x) var(X) =∑

x

(x− µ)2f(X)

Burada∑

x

, X’in bütün değerlerinin toplamı, f(x) ise X’in

(kesikli) OYF’sidir.

Sürekli bir rd için beklenen değer ve varyans:

E(X) =

∫ ∞

−∞

xf(x) dx var(X) =

∫ ∞

−∞

(x−µ)2f(x) dx

Ortak Varyans ve Korelasyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





22 / 36

X ile Y, ortalamaları sırasıyla µx ile µy olan iki rd olsun.Bu iki değişken arasındaki ortak varyans (covariance)şöyle tanımlanır:

orv(X, Y ) = E(X − µx)(Y − µy) = E(XY )− µxµy

Korelasyon katsayısı:

ρ =orv(X, Y )

σxσy


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





22 / 36

Eğer X ile Y kesikli rassal değişkenlerse ortak varyans:

orv(X, Y ) =∑

y

∑

x

(X − µx)(Y − µy) f(x, y)

=∑

y

∑

x

XY f(x, y)− µxµy


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





22 / 36

X ile Y sürekli rassal değişkenlerse ortak varyans:

orv(X, Y )

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

(X − µx)(Y − µy) f(x, y) dx dy

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

XY f(x, y) dx dy − µxµy


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





22 / 36

Beklenen Değer, Varyans, Ortak Varyans ve KorelasyonÖzellikleri

E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )

V ar(X) ≥ 0

V ar(aX + b) = a2V ar(X)

V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2orv(X, Y )

orv(X,X) = V ar(X)

orv(X, Y ) = orv(Y,X)

orv(X, aY + bZ) = a orv(X, Y ) + b orv(X,Z)

−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1

Bazı Önemli Kuramsal OlasılıkDağılımları

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık



Bazı ÖnemliKuramsal OlasılıkDağılımlarıBinom DağılımıPoisson DağılımıNormal DağılımLog Normal DağılımGama Dağılımı

χ2 (Ki-Kare)DağılımıStudent t DağılımıF DağılımıBeta Dağılımı

İki DeğişkenliNormal Dağılım

23 / 36

Binom Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






24 / 36

X rassal değişkeni ancak ve ancak olasılık dağılımı

b(x;n; p) =

(

n

x

)

px(1− p)n−x x = 0, 1, 2, 3 . . . , n

biçimindeyse iki terimli binom dağılımına uyar ve iki terimlirassal değişken olarak adlandırılır.

Binom Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






24 / 36

Denklemdeki ifadeler:

■ n Deneme sayısı

■ p Başarı oranı

■ 1− p = q Başarısızlık oranı

■ x Başarılı gözlem sayısı

■

(

n

x

)

n denemede başarılı x denemesinin seçilebileceği

yol sayısı:

(

n

x

)

=n!

x!(n− x)!

■ n− x Başarısız gözlem sayısı

Binom Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






24 / 36

Binom olasılık deneyinin özellikleri:

1. Her bir deneme sadece iki sonuçla bitebilir, veyadeneme sonuçları ikiye indirilebilir.

2. Deneme sayısı sabit olmak zorundadır.

3. Denemelerin sonuçları birbirinden bağımsız olmakzorundadır.

4. Başarı olasılığı tüm denemelerde aynıdır.

Binom dağılımı için aşağıdaki özelliği yazabiliriz:

b(x, n, p) = b(n− x, n, 1− p)

Binom Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






24 / 36

Türkiye’de işsizlik oranı yetişkinler arasında %13 olarakaçıklanmıştır. Rastgele seçilen 200 yetişkin içerisinde:

1. 20 işsiz olması

2. En fazla 20 işsiz olması

3. En az 20 işsiz olması

4. 20’den fazla işsiz olması

olasılıkları nedir?

Binom Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






24 / 36

Sırasıyla: %3,98 %12,15, %91,82, %87,84Excel programından faydalanılarak oluşturulan çözüm:

■ P (K = k) =BINOMDIST(20,200,%13,0)

■ P (K ≤ k) =BINOMDIST(20,200,%13,1)

■ P (K ≥ k) = 1− P (K ≤ k) + P (K = k)

■ P (K > k) = 1− P (K ≤ k)

Binom Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






24 / 36

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0 10 20 30 40 50 60

KOl

asılık

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 10 20 30 40 50 60

K

BOYF

Binom Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






24 / 36

Binom dağılımı momentleri:

µ = n · p ; σ =√n · p · q

Poisson Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

■ Binom dağılımında n sayıda örnek ile hesaplamalarıgerçekleştirdik.

■ Örnek sayısı çok yüksek, başarı oranı düşük iseikiterimli dağılım olasılıklarını hesaplamak zorlaşır.

■ n → ∞ ve p → 0 iken np sabit kaldığında iki terimlidağılımın limitteki biçimine bakalım.

■ Sabit olarak nitelediğimiz np, λ olarakadlandırılacaktır.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

b(x;n; p)

=

(

n

x

)(

λ

n

)x (

1− λ

n

)n−x

=n(n− 1)(n− 2), . . . , (n− x+ 1)

x!

(

λ

n

)x(

1− λ

n

)n−x

Yukarıdaki denklemin limitteki dağılımı:

p(x, λ) =λxe−λ

x!


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

Bir X rassal değişkeni, olasılık yoğunluk fonksiyonu:

p(x, λ) =λxe−λ

x!x = 1, 2, 3, . . .

şeklindeyse Poisson dağılımına uyar ve Poisson rassaldeğişkeni adını alır.n ≥ 100 ve np < 10 ise Poisson dağılımı fonksiyonu ilebulunan değerler iki terimli dağılım değerine mükemmelölçüde yaklaşır.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

Boğaz köprüsünden geçen araçların kaza yapma olasılığı0,00003 ve köprüyü 200.000 araç geçtiği varsayımı ile:

■ 5 tane

■ En çok 5 tane

■ 5’ten fazla

kaza olma olasılıkları nedir?


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

Çözüm:

p(X = 5) =0, 00003 ∗ 200.0005e−0,00003∗200.000

5!= 0, 1606

p(X ≤ 5)

= p(X = 5) + p(X = 4) + p(X = 3) + p(X = 2)

+ p(X = 1) + p(X = 0)

= 0, 1606 + 0, 1339 + 0, 0892 + 0, 0446

+ 0, 0149 + 0, 0025

= 0, 4457

5’ten fazla kaza olma ihtimali:

1− p(X ≤ 5) = 1− 0, 4457 = 0, 5543


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

Poisson dağılımı momentleri:

Ortalama µ = λ Varyans σ2 = λ

Moment üreten fonksiyonu:

MX(t) = exp{

λ(et − 1)}


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

Poison dağılımı, zaman ile ilgili olarak da yazılabilir. Eğerλ = αt poison dağılımına uygun hareket eden bir rassaldeğişkenin ortalaması ise, t zamanındaki başarı sayısıaşağıdaki poison dağılımına uyar:

p(x;αt) =exp {−αt} (αt)x

x!


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






25 / 36

λ > 0 olan bir süreç eğer aşağıdaki koşulları sağlıyorsaHomojen Poisson Stokastik Süreci olarak adlandırılır:

■ Sıfırdan başlar, X0 = 0

■ Artışlar birbirinden bağımsızdır ve durağan süreç izler(stationary process).Xt −Xs, t > s ise, Xt−s −X0 ile aynı dağılımauygun hareket eder.

■ Her t > 0’da Xt, Poisson Poi(λt) dağılımına tabidir.

Homojen Poisson dağılımı kümülatif olasılık yoğunlukfonksiyonu:

P (Y1 ≤ x) = 1− e−λx

Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






26 / 36

Rassal (sürekli) bir değişken, X, eğer OYF’si şu kalıbauyuyorsa normal dağılmaktadır denir:

f(x) =1

σ√2π

exp

{

−1

2

(x− µ)2

σ2

}

µ ile σ2, dağılımın sırasıyla ortalaması ve varyansıdır

Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






26 / 36

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

N(0,1) N(0,2) N(-1,0) N(-1,2)

Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






26 / 36

Özellikleri:

■ Ortalamasının iki yanında simetriktir.

■ Normal dağılım kurtosis değeri 3, çarpıklık değeri isesıfırdır. Kurtosis değeri 3’ten büyük olan dağılımlarleptokurtic olarak adlandırılır. Normal dağılımdanfarklı dağılımlarda çarpıklık negatif veya pozitifolabilir.

■ Normal eğri altında kalan alanın yaklaşık yüzde 68’iµ± σ değerleri, yüzde 95 kadarı µ± 2σ değerleri,yüzde 99,7 kadarı da µ± 3σ değerleri arasında yeralır.

Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






26 / 36

■ Normal dağılım iki anakütle parametresi olan µ ileσ2’ye dayanır, bunlar bir kez belirlendi mi, X’in bellibir aralıkta olma olasılığı, normal dağılımın OYF’sikullanılarak bulunabilir. Bunun için, µ ve σ2’siverilmiş normal dağılmış X değişkenini,standartlaştırılmış normal değişken Z’ye aşağıdaki gibidönüştürürüz:

Z =x− µ

σ

Standartlaştırılmış bir değişkenin ortalaması sıfır,varyansı bir olur. Z’yi daha önce verilen normalOYF’de yerine koyarsak:

F (Z) =1√2π

exp

{

−1

2Z2

}

Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






26 / 36

■ Normal dağılmış bir değişken geleneksel olarak şöyleyazılır:

X ∼ N(µ, σ2)

Burada ∼ , “dağılmaktadır” anlamına gelir, N normaldağılımı gösterir, ayraç içindeki iki büyüklük denormal dağılımın iki anakütle parametresi olanortalama ve varyanstır. Bu yol izlenirse,

X ∼ N(0, 1)

X’in sıfır ortalama ve birim varyansla normal dağıldığıanlamına gelir. Başka bir deyişle, standartlaştırılmışnormal bir Z değişkenidir.

Log Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






27 / 36

y = ln(x)

normal dağılıma uygun hareket ediyorsa o zaman xlognormal olarak dağılır. Lognormal olasılık dağılımfonksiyonu:

f(X) =1

xσy

√2π

exp

{−(ln(x)− µy)2

2σ2y

}

Fonksiyon, X değişkeninin pozitif değerleri içintanımlanmıştır.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






27 / 36

µy, σy, µx, σx aşağıdaki formüller ile ifade edilebilir:

µy = ln

µx(

σ2x

µ2x+1

) 12

σy =[

ln(

σ2x

µ2x+ 1

)]12

µx = exp{

µy +σ2y

2

}

σx = µx

(

eσ2y − 1

)12


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






27 / 36

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

ln(X) Ortalama (µ)= 2

ln(X) Standart Sapma (σ)=1


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






27 / 36

Normal dağılım ve lognormal dağılım 1 ve ikincimomentleri için tabloda gösterilen dönüşüm formüllerikullanılabilir.Finansal Varlık Getiriler Log Getiriler

Dağılım Log Normal Normal

1. Moment M1 M2. Moment M2 V

1. Moment M1 = exp(M + 0.5V ) M = 2ln(M1)− 0.5ln(M2)2. Moment M2 = exp(2M + 2V ) V = 2ln(M1) + ln(M2)


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






27 / 36

z, standart normal değişken, T zaman ise uygun z değerive T yılı verildiğinde lognormal dağılım özelliklerinikullanarak gelecekteki birikimlerimizi tahminedebileceğimiz bir formül yazabilir miyiz?

ln(WT ) = MT + z√V T

WT = W0exp{

MT + z√V T

}

W0 : Başlangıç Anındaki Birikim

WT : T Anındaki Birikim


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






27 / 36

254 ay önce İMKB 100 endeksine yatırılan 1 TL 254 aysonunda yaklaşık 150 TL olduysa önümüzdeki 24 ayboyunca %10, %25, %50, %75, %90 olasılıkla portföyhangi değerde olabilir?

M = 0, 0200, V = 0, 0220 (Aylık)

Hesaplanan değerler aşağıdaki grafikte gösterildi.

0

100

200

300

400

500

600

700

-256 -232 -208 -184 -160 -136 -112 -88 -64 -40 -16 8

Gerçek 10% 25% 50% 75% 90%

Gama Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






28 / 36

Bir değişkenin gama rassal değişkeni adını alabilmesi içinolasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olmasıgerekir:

g(x;α; β) =

{

1βαΓ(α)

xα−1e−x/β x > 0 ise,

0 değilse.

Gama Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






28 / 36

Olasılık yoğunluk hesaplanmasında kullanılan Γ fonksiyonu:

Γ(α) =

∫ ∞

0

xα−1e−x dx α > 0

α şekil β ise ölçek parametresidir. Dağılımın ilk ikimomenti:

µ = αβ ; σ2 = αβ2

Gama Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






28 / 36

Gama dağılımı değişik α ve β değerleri için aşağıdakigrafikte gösterildi.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Alfa=4 Beta=8 Alfa=6 Beta=10 Alfa=8 Beta=12

χ2 (Ki-Kare) Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






29 / 36

Z1, Z2, . . . , Zk, bağımsız standartlaştırılmış normaldeğişkenler (yani sıfır ortalama ve birim varyanslı) normaldeğişkenler olsun. Bu durumda,

Z =k

∑

i=1

Z2i

■ Büyüklüğü, k serbestlik derecesi (sd) ile χ2 dağılımıgösterir

■ Burada sd terimi, yukarıdaki toplamda bulunanbağımsız büyüklüklerin sayısı anlamına gelir.

■ Bir ki-kare değişkeni χ2k ile gösterilir, burada k, sd

göstergesidir.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






29 / 36

Ki-kare dağılımı

SD= 2

SD= 4

SD= 10SD= 20

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 5 10 15 20 25 30 35 40


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






29 / 36

χ2 dağılımının özellikleri aşağıdadır:

■ Grafikte gösterildiği gibi, χ2 dağılımı çarpık birdağılımdır, çarpıklığın derecesi sd’ye bağlıdır. Göreceküçük sd için dağılım bir hayli sağa çarpıktır; ama sdsayısı yükseldikçe, dağılım gittikçe artan biçimdesimetriye yaklaşır. 100’ü aşan sd için şu değişken,

√

2χ2 −√2k − 1

Standartlaştırılmış bir normal değişken sayılabilir,burada k, sd’dir.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






29 / 36

■ Ki-kare dağılımının ortalaması k, varyansı 2k’dir,burada k, sd’dir.

■ Eğer Z1 ile Z2, k1 ve k2 sd ile iki bağımsız ki-karedeğişkeniyse, Z1 + Z2 toplamı da sd = k1 + k2 olanbir ki-kare değişkeni olur.

Student t Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






30 / 36

■ Eğer Z1 ∼ N(0, 1) ise başka bir Z2 değişkeni, k sd ileki-kare dağılımına uyuyor ve Z1’den bağımsızdağılıyorsa, o zaman,

■

t =Z1

√

Z2/k

=Z1

√k√

z2

Biçiminde tanımlanmış bir değişken, k sd ile Studentt dağılımına uyar.

■ Bir t dağılımı değişkeni sıklıkla tk ile gösterilir, buradak, sd’dir.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






30 / 36

T dağılımı

SD= 1

SD= 2

SD= 3

SD= 10

SD= 30

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






30 / 36

Student t dağılımının özellikleri şunlardır:

■ Şekilde gösterildiği gibi, t dağılımı, normal dağılımgibi simetriktir, ama normal dağılımdan dahayayvandır. Fakat sd yükseldikçe normal dağılımayakınsar.

■ t dağılımının ortalaması sıfır, varyansı k/(k-2)’dir.

F Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






31 / 36

■ Eğer Z1 ile Z2, sırasıyla k1 ve k2 sd ile, bağımsızdağılmış ki-kare değişkenleriyse,

■

F =Z1/k1Z2/k2

değişkeni, k1 ve k2 sd ile (Fisher) F dağılımına uyar.

■ Bir F dağılımı değişkeni Fk1,k2 ile gösterilir, buradaaltimler iki Z değişkeninin sd’lerini gösterir, k1 pay sd,k2 payda sd adını alır.

F Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






31 / 36

F dağılımı

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00

k 4,10 k 10,20 k 20,40 k 40,60 k 60,80

F Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






31 / 36

F dağılımı aşağıdaki özellikleri taşır:

■ Ki-kare dağılımı gibi F dağılımı da sağa çarpıktır.Ama k1 ve k2 büyüdükçe F dağılımının da normaldağılıma yaklaştığı gösterilebilir.

■ Bir F dağılımı değişkeninin ortalama değeri, k2 > 3için k2/(k2 − 2)’dir, varyansı ise, k2 > 4 içintanımlanmış biçimiyle şöyledir:

2k22(k1 + k2 − 2)

k1(k1 − 2)2(k2 − 4)

F Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






31 / 36

■ k sd ile bir t dağılımı rassal değişkeninin karesi, 1 ve ksd ile bir F dağılımına uyar. Simgelerle gösterirsek

t2k = F1,k

■ Eğer payda sd’si k2 yeterince büyükse, F ile ki-karedağılımları arasında şu ilişki vardır:

k1F ∼ χ2k1

Yani, yeterince büyük payda sd’si için, pay sd’sinin Fdeğeri ile çarpımı, pay sd’li ki-kare değerinin yaklaşıkaynısıdır.

F Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






31 / 36

Student t, ki-kare ve F dağılımları büyük sd’lerde normaldağılıma yakınsadıklarından, bu üç dağılıma normaldağılımla ilişkili dağılımlar denir.

Beta Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






32 / 36

■ Herhangi bir değişkenin Beta Rassal Değişkeni olarakadlandırılabilmesi için olasılık yoğunluğunun aşağıdakigibi tanımlanmış olması gerekir:

f(x) =

{

Γ(α+β)Γ(α)·Γ(β)

xα−1(1− x)β−1 0 < x < 1 ise,

0 değilse.

■ Bu fonksiyonda α > 0 β > 0’dır

Beta Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






32 / 36

Beta dağılımının ortalaması ve varyansı:

µ =α

α + β, σ2 =

αβ

(α + β)2(α + β + 1)

Beta Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






32 / 36

Beta Dağılımı

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

X

P(X <= 0,6)

Beta Dağılımı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






32 / 36

Çeşitli α, β Değerleri İle Beta Dağılımları

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Alfa=2 Beta=4 Alfa=4 Beta=6 Alfa=10 Beta=12 Alfa=20 Beta=40

İki Değişkenli Normal Dağılım

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






33 / 36

X, Y rassal değişken çifti, ortak olasılık yoğunluklarıaşağıdaki gibiyse iki değişkenli normal dağılıma uyar veortak dağılmış rassal değişkenler diye adlandırılırlar.

−∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ için:

f(x, y)

=exp {−Q/ [2(1− ρ2)]}

2πσ1σ2

√

1− ρ2

Q =

(

x− µ1

σ1

)2

+

(

y − µ2

σ2

)2

− 2ρ(x− µ1)

σ1

(y − µ2)

σ2

σ1 > 0, σ2 > 0, −1 < ρ < 1, ρ Korelasyon Katsayısı


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






33 / 36


-3

-1

1

3

-3 -2 -1

0 1 2 3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

p(x,y)

x

y


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






33 / 36

X marjinal olasılık yoğunluğu:

g(x) =1

σ1

√2π

exp

{

−1

2

(

x− µ1

σ1

)2}

X = x iken Y ’nin koşullu yoğunluğu ilk iki momenti:

µy|x = µ2 + ρσ2

σ1

(x− µ1), σ2y|x = σ2

2(1− ρ2)

Y = y iken X’nin koşullu yoğunluğu ilk iki momenti:

µx|y = µ1 + ρσ1

σ2

(y − µ2), σ2x|y = σ2

1(1− ρ2)

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık





Gama Dağılımı İleOpsiyon FiyatıSıçrama Difüzyon

34 / 36

Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






35 / 36

Black Scholes opsiyon denklemi logaritmik getirilerinnormal dağıldığı varsayımı altında fiyatlanır. Hatırlayacakolursak: Alım Opsiyonu:

c = Se(b−r)τN(d1)−Ke−rTN(d2)

Satım Opsiyonu:

p = Ke−rTN(−d2)− Se(b−r)τN(−d1)

d1 =log(St/K) + (b+ 0.5σ2) τ

σ√τ

d2 = d1 − σ√τ


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






35 / 36

Moment Özellikleri:Finansal Varlık Getiriler Log Getiriler

Dağılım Log Normal Normal

1. Moment M1 M2. Moment M2 V

1. Moment M1 = exp(M + 0.5V ) M = 2ln(M1)− 0.5ln(M2)2. Moment M2 = exp(2M + 2V ) V = 2ln(M1) + ln(M2)


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






35 / 36

Alım opsiyonu formülünü moment özellikleri tablosundakiifadeleri kullanarak yeniden düzenleyelim:

■ M = ln(S) + r − q − 0.5σ2)T ve V = σ2T olarakyazabiliriz.

■ exp(M + 0, 5V ) ifadesi, S exp[(r − q)T ] formunaindirgenebilir

■ Yukarıdaki ifadelerin ışığında alım opsiyonu formülü:

c(LN) = exp(−rT )[exp(M+0, 5V )N(d1)−X N(d2)]

■ d2 = [M − ln(X)]/√V = d1 −

√V


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






35 / 36

Normal dağılım momentlerinden lognormal momentleregeçişi hatırlayalım:

M1 = exp(M + 0, 5V ) ve M2 = exp(2M + 2V )

■ M1 ve M2, gama dağılımı fiyatlamasındakullanılacak.

■ Eğer1

Adeğişkeni gama dağılımına uygun hareket

ediyorsa A değişkeni resiprokal gama dağılımına görehareket eder.


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






35 / 36

Gama dağılımı şekil α ve ölçek β parametrelerini lognormaldağılım momentlerini kullanarak tahmin edebiliriz:

α =2M2−M12

M2−M12

β =M2−M12

M1×M2


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






35 / 36

RG opsiyon fiyatı:

c(RG) = exp(−rT )M1 g1−X g2

■ g1 ve g2 Black Scholes denklemindeki N(d1) veN(d2) terimlerinin yerini alır. Bu değerlerihesaplamak için Excel kullandık.

■ Excel g1 formülü:GAMMADIST(1/X;alpha-1;beta;TRUE)

■ Excel g2 formülü:GAMMADIST(1/X;alpha;beta;TRUE)


Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






35 / 36

RG opsiyon fiyatı özellikle paradan uzak opsiyonlarınfiyatlanmasında BS değerine göre farklılık gösterir.Aşağıdaki tabloda sayısal bir örnek ele alınmıştır.

(S) 5,00 M 1,6194 M1 5,26(X) 6,00 V 0,0800 M2 29,93(r) 12,00%(q) 2,00% d1 -0,3264 α 14,0067

(T, yıl) 0,50 d2 -0,6092 β 0,0146(v) 40,00% N (d1) 0,3721 g1 0,3544

N (d2) 0,2712 g2 0,2559

LN Fiyat 0,31 =exp(-r*T)(exp(M+0,5*V)*N(d1)-X*N(d2))RG Fiyat 0,31 =exp(-r*T)(M1*g1-X*g2)

α=(2*M2-M12)/(M2-M12)β=(M2 − M12)/(M1*M2)

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

Merton (1976) sıçrama difüzyon süreci modeli:

dS = (r − λk)S dt+ σSdW + kdq

dW , Brown hareketi, dq ise sıçrama bileşeni.

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

Merton’a göre:

■ Sıçrama riskleri birbirinden bağımsızdır

■ Portföy içerisinde bulunan hisselerin bazısı yukarısıçrama yaparken diğerleri aşağı sıçrama ile sürecidengeler.

■ Sıçrama riski bu şekilde tanımladığında sıçramadankaynaklanan riskin yönetilmesi mümkün hale gelir.

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

Merton, sıçrama difüzyon süreci opsiyon fiyat formüllerindekullanılacak değişkenler:

■ λ Bir yılda beklenen sıçrama sayısı

■ v Sıçramalar da dahil toplam volatilite

■ γ Volatilitenin sıçrama ile açıklanan bölümü(yüzdesel)

Formüller:

c =∞∑

i=0

e−λT (λT )i

i!ci(S,K, T, r, σi)

p =∞∑

i=0

e−λT (λT )i

i!pi(S,K, T, r, σi)

σ =√

z2 + δ2(i/T )

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

Bates (1991) daha gerçekçi bir model ileri sürdü:

dS = (b− λk̄)Sdt+ σSdW + kdq

Modelin Merton modelinden farkları:

■ Sıçramalar asimetriktir, ortalamaları sıfırdan farklıdır

■ Sıçrama riski, portföy çeşitlendirilmesi ile ortadankaldırılamaz

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

Bates modelindeki değişkenler:

■ S Menkul kıymet

■ b Taşıma Maliyeti

■ σ Sıçrama olmayan durum volatilitesi

■ γ̄ = ln(1 + k̄) ve δ log menkul kıymet fiyatısıçramalarının standart sapması

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

Bates modelindeki değişkenler II:

■ k Poisson dağılımına tabi bir olayın oluşmasına bağlıolan rassal yüzdesel sıçrama, (1 + k lognormal olarakdağılır).

■ k̄ Beklenen sıçrama büyüklüğü

■ λ Poisson olaylarının sıklığı

■ q Yoğunluğu λ olan Poisson dağılımı sayacı

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

Formüller:

c =∞∑

i=0

e−λT (λT )i

i!ci(S,K, T, r, bi, σi)

p =∞∑

i=0

e−λT (λT )i

i!pi(S,K, T, r, bi, σi)

σi =√

σ2 + δ2(i/T )

bi = b− λk̄ +iγ̄

T

Sıçrama Difüzyon

Giriş

Taylor Serileri



Olasılık






36 / 36

■ Merton ve Bates formüllerindeki alım ve satımopsiyonları fonksiyonları, opsiyon greek fonksiyonlarıile değiştirilerek greek riskleri elde edilebilir.

■ Opsiyon fiyatları sıçrama difüzyon formüllerinde çokçabuk şekilde fiyata yaklaşır.

■ Eğer kod yazacak olsaydık i = 50 olarak kullanmakyeterli olacaktı.

istatistik egitim

Documents