INTRODUCCIONGeneralmente el valor de la media m es desconocido y por lo tanto no se puede utilizar el kriging simple.

El kriging ordinario establece una condición adicional al sistema de ecuaciones del kriging simple para filtrar el valor desconocido de la media.

DEFINICION

Kriging es un grupo de geoestadísticos técnicas para interpolar el valor de un campo al azar en una incumplido ubicación de las observaciones de su valor en lugares cercanos.

La teoría detrás de interpolación y extrapolación por Kriging fue desarrollado por el matemático francés Georges Matheron sobre la base de la tesis de maestría de Daniel Krige Gerhardus,.

Desde el punto de vista geológico, la práctica de kriging se basa en el supuesto de continuación de la mineralización entre los valores medidos.

La aplicación de kriging a los problemas en la geología y la minería, así como a la hidrología se inició a mediados de los años 60 y especialmente en los años 70 con el trabajo de Georges Matheron.

El Kriging es conocido como el método interpolador Geoestadístico, es un estimador lineal insesgado, presenta dos propiedades básicas que

son: Hacer que la suma de errores tienda a cero, y que el cuadrado de las desviaciones sea mínimo.

Tiene como objetivo estimar el valor de la variable Z, para un punto x0 que no ha sido considerado anteriormente, realiza una suma ponderada sobre todos los sectores que conforman la zona de estudio de interés, tomando los vecinos más cercanos al punto de interés x0.

El proceso del Kriging es asignar pesos a los vecinos más cercanos, considerados para la estimación, la diferencia del Kriging con otros métodos

de interpolación, es que utiliza un método semejante a la interpolación por media móvil ponderada, a diferencia que los pesos son asignados a

partir de un análisis espacial, basados en el semivariograma experimental.

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Un método de interpolación será exacto cuando, pase por los puntos muestrales, lo más cercano posible a ellos.

Es importante que un modelo para semivariograma que ha sido ajustado, represente una tendencia a los modelos antes descritos, para que las

estimaciones obtenidas por medio del Kriging sean más exactas y más confiables.

Las estimaciones mediante el método Kriging pueden ser, por punto o por bloque.

Métodos de Estimación del Kriging.

Existen dos métodos de Kriging para realizar las estimaciones.

Kriging Ordinario.

Es el método más apropiado, para situaciones medioambientales, este método asume que las medias locales, no están necesariamente

relacionadas lo más cercanamente a la media poblacional, por lo cual solo usa las muestras en la vecindad local para la estimación.

Kriging Simple.

Asume que las medias locales son relativamente constantes e iguales a la media poblacional, la cual es conocida. La media poblacional es usada

como un factor en cada estimación local, a lo largo con las muestras en las vecindades locales.

Hay dos tipos de Kriging, el de Punto y el de Bloque, lo cuales generan unas cuadrículas de interpolación.

Kriging de Punto.

Estima los valores de los puntos en los nodos de las cuadrículas.

REPRESENTACIÓN TÉCNICA PUNTO KRIGING.

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Kriging de Bloque.

Estima el valor promedio de los bloques rectangulares, que están centrados en los nodos de las cuadrículas, los bloques son le tamaño y forma

de las celdas de las cuadrículas, este tipo de Kriging no resulta ser un buen interpolador, ya que no estima el valor de un punto.

Efecto del Rango en las Estimaciones.

Un valor grande para el rango (a), significa un comportamiento más continuo. Las estimaciones dan como resultado mapas bastante lisos para la variable de interés.

Efecto del modelo en las Estimaciones.

Considerando la forma que presenta el Variograma en los primeros lags, un modelo Gaussiano es más continuo que un modelo Esférico con un mismo efecto en 6h, para la variable mejor correlacionada, se muestran los mapas con más suavización.

Efecto del Sill en las Estimaciones.

El cambiar el valor de Sill, no cambia los valores de las estimaciones, por lo que los mapas de estimaciones seguirán siendo los mismo, afecta a la variación de las estimaciones, un sill más alto indica, mayor variación en las estimaciones.

Error de Estimación.

Dado que no son estrictamente equivalentes, hay un error de estimación involucrado en los procedimientos. La aceptación de un método de

estimación será dado por la magnitud de los errores involucrados, el mejor método a considerar de be ser el que de los errores más pequeños,

considerando todos los bloques o puntos en la estimación.

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La Varianza en la Estimación.

La varianza indica la dispersión que presentan los valores estimados con respecto a los valores reales.

El Kriging no solo provee una estimación de mínimos cuadrados, también está ligado a la varianza del error.

La varianza del error es:

Dependiente en el modelo de la covarianza. La precisión de la estimación podría depender de la complejidad de la

variabilidad espacial de z, modelado por la covarianza. Dependiente en la configuración de los datos. La localización de los datos y sus distancias entre sí, son estimados. Independiente de los valores de los datos.

Para un modelo de covarianza dado, la configuración de dos datos idénticos podría producir la misma varianza Kriging, sin importar que los datos estuvieren.

KRIGING PUNTUAL

Utilizaremos el programa geovar

pág. 4

Luego abriremos el programa y seleccionaremos el archivo:

PROG1.BAS

pág. 5

pág. 6

2. kriging en Excel

Caso de estudio configuración del problema

APLICACIÓN

Caso I

MODELO ESFERICO:

γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]

C1

∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0

pág. 7

SOLUCION:

a) δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+

C04

γVB :?

Matriz de distancia

1 2 3 4

x11,41

3,16

3,16

4,24

x23,16

4,24

1,41

3,16

x34,24

3,16

3,16

1,41

x43,16

1,41

4,24

3,16

Matriz de variograma

1 2 3 4

x10,2101

0,4582

0,45822

0,59789

x20,4582

0,5979

0,2101 0,45822

x30,5979

0,4582

0,45822

0,2101

x40,4582

0,2101

0,59789

0,45822

γVB :0.4311

γBB=?

Matriz de distancia

1 2 3 4

1 0 2 22.83

2 2 0 2.83 2

3 22.83

0 2

42.83

2 2 0

Matriz de variograma

1 2 3 4

pág. 8

B

BV

V

BB

BB

1 00.296

0.296

0.413

20.296

00.413

0.296

30.296

0.413

0 0.296

40.413

0.296

0.296

0

γBB=∑ (γBB)16

=4.020716

=0.251

γVV=?

Matriz de distancia

X1 X2 X3 X4X1 0 4 5.66 4

X2 4 0 45.66

X35.66

4 0 4

X4 45.66

4 0

Matriz de variograma

X1 X2 X3 X4X1

0 0.5680.7583

0.568

X2

0.568 0 0.5680.7583

X3

0.7583 0.568 0 0.568

X4

0.5680.7583

0.568 0

γVV=∑ (γVV)16

=7.577416

=0.4736

ENTONCES:

δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+

C04δE2=2 (0.4311)− (0.251 )−(0.4736 )+ 0

4δE2=0.1376

pág. 9

VV

VV

APLICACIÓN

Caso II

γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]

C1

∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0

SOLUCION:

a) δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+

C04

γVB :?

Matriz de distancia

1 2 3 4

x01.41

1.41

1.41 1.41

x11,41

3,16

3,16 4,24

x23,16

4,24

1,41 3,16

x34,24

3,16

3,16 1,41

x43,16

1,41

4,24 3,16

Matriz de variograma

1 2 3 4X0 0,2101 0,2101 0,2101 0,2101x1 0,2101 0,4582 0,45822 0,59789x2 0,4582 0,5979 0,2101 0,45822x3 0,5979 0,4582 0,45822 0,2101x4 0,4582 0,2101 0,59789 0,45822

pág. 10

B

BV

V

γVB :0.3869

γBB=?

Matriz de distancia

1 2 3 4

1 0 2 22.83

2 2 0 2.83 2

3 22.83

0 2

42.83

2 2 0

Matriz de variograma

1 2 3 4

1 00.296

0.296

0.413

20.296

00.413

0.296

30.296

0.413

0 0.296

40.413

0.296

0.296

0

γBB=∑ (γBB)16

=4.020716

=0.251

γVV=?

Matriz de distancia

X0 X1 X2 X3 X4X0 0 2.83 2.83 2.83 2.83X1 2.83 0 4 5.66 4X2 2.83 4 0 4 5.66X3 2.83 5.66 4 0 4

X4

2.83

4 5.66 4 0

Matriz de variograma

X0 X1 X2 X3 X4X0 0 0.413 0.413 0.4132 0.413

pág. 11

BB

BB

V

VV

V

2 2 2

X10.4132

0 0.568 0.7583 0.568

X20.4132

0.568 0 0.5680.7583

X30.4132

0.7583

0.568 0 0.568

X4

0.4132

0.5680.7583

0.568 0

γVV=∑ (γVV)25

=10.882725

=0.4353

ENTONCES:

δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+

C04δE2=2 (0.3869 )−(0.251 )−(0.4353 )+ 0

4δE2=0.0875

KRIGING PUNTUAL

APLICACIÓN NUMERICA

MODELO ESFERICO:

xi Z(xi)x1 50x2 52x3 60x4 53

γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]

C1

∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0

pág. 12

SOLUCION:

n+1=(4 )+1=5

SISTEMA DE MATRICES:

λ1=0.27λ2=0.27λ3=0.27λ 4=0.27

M=−0.115

ENTONCES:

ZX 0=λ1 (Z X1 )+ λ2 (Z X2 )+ λ3 (ZX 3 )+λ 4 (ZX 4 )ZX 0=0.27 (50 )+0.27 (52 )+0.27 (60 )+0.27 (53)ZX 0=58.05

POR LO TANTO:

δK2=λ1 (γ 1 )+ λ2 ( γ 2 )+λ3 (γ 3 )+ λ4 (γ 4 )+M

δK2=0.27 (0.413 )+0.27 (0.413 )+0.27 (0.413 )+0.27 (0.413 )−0.115δK

2=0.33

APLICACIÓN

Caso III

pág. 13

Comprobar que siempre tiene que ser 1

xi=1Σ

γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]

C1

∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=¿

SOLUCION:

a) δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+

C04

γVB :?

Matriz de distancia

1 2 3 4x0 1.41 1.41 1.41 1.41x1 1,41 3,16 3,16 4,24x2 3,16 4,24 1,41 3,16x3 4,24 3,16 3,16 1,41x4 3,16 1,41 4,24 3,16

x5

5.10

5.10

3.16

3.16

Matriz de variograma

1 2 3 4X0 0,2101 0,2101 0,2101 0,2101x1 0,2101 0,4582 0,45822 0,59789

pág. 14

B

BV

V

x2 0,4582 0,5979 0,2101 0,45822x3 0,5979 0,4582 0,45822 0,2101x4 0,4582 0,2101 0,59789 0,45822x5 0.6987 0.6987 0.4582 0.4582

γVB :0.419

γBB=?

Matriz de distancia

1 2 3 4

1 0 2 22.83

2 2 0 2.83 2

3 22.83

0 2

42.83

2 2 0

Matriz de variograma

1 2 3 4

1 00.296

0.296

0.413

20.296

00.413

0.296

30.296

0.413

0 0.296

40.413

0.296

0.296

0

γBB=∑ (γBB)16

=4.020716

=0.251

γVV=?

Matriz de distancia

X0 X1 X2 X3 X4 X5X0 0 2.83 2.83 2.83 2.83 4X1 2.83 0 4 5.66 4 6.32X2 2.83 4 0 4 5.66 2.83X3 2.83 5.66 4 0 4 2.83

pág. 15

BB

BB

VV

X4

2.83

4 5.66 4 06.32

X5 4 6.32 2.83 2.83 6.32 0

Matriz de variograma

X0 X1 X2 X3 X4 X5

X0 00.4132

0.4132

0.4132

0.4132

0.568

X1 0.4132 0 0.5680.7583

0.568 0.8220

X2 0.4132 0.568 0 0.5680.7583

0.4132

X3 0.41320.7583

0.568 0 0.568 0.4132

X4

0.4132 0.5680.7583

0.568 0 0.8220

X50.5680

0.8220

0.4132

0.41320.8220

0

γVV=∑ (γVV)36

=16.9636

=0.471

ENTONCES:

δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+

C04δE2=2 (0.419 )−(0.251 )−(0.471 )+ 0

4δE2=0.116

KRIGING PUNTUAL

APLICACIÓN NUMERICA

MODELO ESFERICO:

xi Z(xi)X0 58

pág. 16

VV

X1 50X2 52X3 60X4

53

X5 ?

γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]

C1

∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0

SOLUCION:

n+1=(5 )+1=6

SISTEMA DE MATRICES:

λ0=−0.0305λ1=−0.0119λ2=0.5272λ3=0.5272λ 4=−0.0119M=0.1422

ENTONCES:

ZX 0=λ 0 (Z X 0 )+λ1 (ZX 1 )+λ2 (ZX 2 )+λ3 (Z X3 )+λ4 (Z X 4 )ZX 0=−0.0305 (58 )−0.0119 (50 )+0.5272 (52 )+0.5272 (60 )−0.0119(53)ZX 0=56.0517

POR LO TANTO:

pág. 17

Comprobar que siempre tiene que ser 1

xi=1Σ

δK2=λ0 ( γ 0 )+λ1 (γ 1 )+ λ2 ( γ 2 )+λ3 (γ 3 )+ λ4 (γ 4 )+MδK2=−0.0305 (0.568 )−0.0119 (0.822 )+0.5272 (0.4132 )+0.5272 (0.4132 )−0.0119 (0.822 )+0cionERICO :0.1422

δK2=0.541

pág. 18