geostatistik kriging 21.01.02sarah böckmann1 geostatistik kriging
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Geostatistik Kriging
GeostatistikKriging
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Geostatistik Kriging
Gliederung• Einleitung• Theoretisches Semivariogramm• Empirisches Semivariogramm• Umsetzung in ArcGIS• Aufgabe 1• Anwendung des Semivariogramms auf Kriging• Kriging-Varianz• Umsetzung in ArcGIS• Aufgabe 2
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Geostatistik Kriging
Bisher:deterministische Interpolation
ist relativ genau, falls die Messwerte:- regelmäßig und- in einer relativ hohen Dichteüber das zu untersuchende Gebiet verteilt liegen
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Geostatistik Kriging
Neu:
Geostatistische Interpolationwird verwendet, falls die Messwerte- unregelmäßig und- in relativ niedriger Dichte vorliegen
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Geostatistik Kriging
Besonderheiten geostatistischer Verfahren:
mit geostatistischen Interpolationstechniken kann man :
• Vorhersagen für bestimmte Orte machenUND
• diese Vorhersagen auf ihre Genauigkeit prüfen
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Geostatistik Kriging
Geschichte des Verfahrens:• wurde nach dem südafrikanischen Bauingeneur
D.G.Krige benannt• Mitte des 20.Jahrhunderts von G.Matheron in
Frankreich zur Anwendung im Bergbau weiterentwickelt
• zur gleichen Zeit von L.S.Gandin in der Sowjetunion entwickelt, in dem Bereich Meterologie angewandt
• heute: Anwendung in allen Geowissenschaften
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Geostatistik Kriging
Eigenschaften des Verfahrens:• im Mittel ist der Schätzfehler minimal (best)
• als gewichtetes Mittel ist er linear
• im Mittel wird richtig geschätzt (unbiased)
B L U E
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Geostatistik Kriging
Das geostatistische Modell
Z(x) = m(x) + ´(x) + ´´(x)
Mittelwert Rauschenvom Ort abhängige Zufallsvariable
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Geostatistik Kriging
Voraussetzungen für Kriging:
Intrinsche Hypothese
Semivariogramm
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Intrinische Hypothese1. Der Erwartungswert von Z im Untersuchungsgebiet ist konstant
E[Z(x) – Z(x+h)] = 0
2. Der räumliche Zusammenhang zwischen 2 Variablen hängt nicht von deren absoluter Lage ab, sondern nur von deren Abstandsvektoren:
E[{Z(x) – Z(x+h)}²] = 2(h)
Semivarianz
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Geostatistik Kriging
Definition Semivarianz
(h) = 1/2n{z(xi) – z(xi+h)}²
Abstandsvektor
Anzahl der Punktpaare mit Abstand h
2 Variablen mit Abstand h
ein Graph von (h) wird das „empirische Variogramm“ genannt
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Geostatistik Kriging
Das empirisches Variogramm
• Vorgehensweise:1. Abstände zwischen jedem existierenden
Punktpaar werden berechnet2. Für jeden Abstand h wird ein Variogrammwert (h) bestimmt3. In der Praxis bestimmt man Abstandsklassen, da nur wenige Punktpaare exakt den gleichen Abstand haben
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Geostatistik Kriging
Das empirisches Variogramm
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Geostatistik Kriging
Das theoretische Variogramm
• Bisher: Aussage über den räumlichen
Zusammenhang der Stichprobe
• Neu:Variogrammwert auch für Abstände,
die nicht in der Stichprobe vorkommen
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Geostatistik Kriging
Das theoretische Variogramm
Annahme:- empirisches Variogramm zeigt den groben Verlauf Lösung: - Verlauf wird einer Funktion angepasst
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Geostatistik Kriging
• 3 Modelle- Sphärisches Modell- Exponentielles Modell- Gaussches Modell
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Geostatistik Kriging
Das theoretische Variogramm
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Geostatistik Kriging
Vom empirischen zum theoretischen Variogramm
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Geostatistik Kriging
Kenngrößen des Variogramms
• SchwellenwertSchwellenwert: Maximum von (h)• AussageweiteAussageweite:: Abstand bei dem das Variogramm einen
Schwellenwert erreicht• NuggetNugget: Schnittpunkt mit der y-Achse, existiert, wenn das
Variogramm nicht durch den Ursprung verläuft (Rauschen)
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Geostatistik Kriging
Umsetzung in ArcGIS Semivariogramm
Klick auf „Semivariogramm“
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Geostatistik Kriging
wähle Layer und Attribut aus
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Geostatistik Kriging
durch Anklicken eines Punktes im Semivariogrammwird das entsprechende Punktpaar in der Karte angezeigt
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Geostatistik Kriging
Aufgabe 1• Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\
proseminar2001\böckmann_otte die Datei „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“
• Erstellt ein Semivariogramm• Findet die Punkte im Semivariogramm
dessen Punktpaare in der Karte -1. den größten und -2. den kleinsten Abstand voneinander haben
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Geostatistik Kriging
Kriging-SchätzerAufgabe:Aufgabe: Ein unbekannter Wert wird durch ein gewichtetes Mittel der bekannten Nachbarwerte geschätzt.
z*(x0) = i z(xi)
gesuchter Wert
Gewichte gemessener Wert
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Geostatistik Kriging
Die Gewichte
• Werden so bestimmt, dass:1. der Schätzfehler im Mittel 0 ist E[F(x0)] = 0
2. die Varianz des Schätzfehlers minimal ist Var [F(x0)] = min
3. die Summe der Gewichte = 1 i = 1
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Geostatistik Kriging
Berechnung der Gewichte Berechnung erfolgt aus den BLUE-Anforderungen:
• Linearität => gewogenes Mittel => z*(x0) = iz(xi)
• Erwartungstreue =>Schätzfehler Null => z*(x0) – z(x0) = 0• Beste Schätzung => minimale Varianz des Schätzfehlers
=> VAR [z*(x0) – z(x0)] = min
Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
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Geostatistik Kriging
Lösung in Matrizenform11 . . .1n 1 1 10
: : : : :n1 . . .nn 1 * n = n0
1 . . . 1 0 m m
Semivariogramm-werte zwischen allen Paaren gemessener Orten
Semivariogrammwerte zwischen den gemessenen Orten und dem zu schätzenden Ort
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Geostatistik Kriging
Nun ist es möglich die Gewichte zu bestimmen und damit den Wert für einen nicht-gemessenen Ort vorherzusagen!
= -1 * z*(x0) = i z(xi)
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Geostatistik Kriging
Die Kriging-Varianz
• Der Vorteil statistischer Interpolation: Genauigkeit der Vorhersage feststellen
• Die Kriging-Varianz berechnet sich nach² = i(xi, xk) +
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Geostatistik Kriging
Umsetzung in ArcGISKreieren einer Oberfläche
Klick auf Geostatistical Analyst, wähle den Geostatistical Wizard
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Geostatistik Kriging
Wähle aus den Daten die „ca_ozone_pts“
Klick auf„Kriging“
Klick auf „Next“
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Geostatistik Kriging
Wähle unter „Ordinary Kriging“ die „Prediction Map“
Klick auf „Next“
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Geostatistik Kriging
Nugget
Schwellenwert
Aussageweite
Klick auf „Next“
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Geostatistik Kriging
Klick auf „Next“
Anzahl der Nachbarn in einem Sektor
„Nachbarn“ und deren Gewichte
vorherzusa-gender Ort
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Klick auf „Finish“
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Geostatistik Kriging
Klick auf „OK“
zur Überprüfung der Eingaben
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Geostatistik Kriging
Die Vorhersage
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Geostatistik Kriging
Klick auf „Create Prediction Standard Error Map“
Genauigkeit der Vorhersage kann anhand einer Genauigkeits-Karte überprüft werden
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Geostatistik Kriging
Vorhersage und ihre Genauigkeit
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Geostatistik Kriging
Aufgabe 2
• Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\proseminar2001\böckmann_otte die Dateien „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“
• erstellt eine Karte mit Kriging• und die dazugehörige Genauigkeitskarte