index faq límites de sucesiones de números reales sucesiones de números reales límites por...

Index FAQ

Límites de Sucesiones de Números Reales

Sucesiones de Números RealesLímites por definición Regla de SandwichUso de la Regla de Sandwich Sucesiones Monótonas

Sucesiones. Recopilación teoría

Index FAQSucesiones. Recopilación teoría

Sucesiones Numéricas

1 2 3Una ,x ,x , es una aplicación (regla) que asigna

a cada número natural n el n

su

úm

cesión

ero . n

x

x

K

1 1 11, , , , .

2 4 8K

1,1.4,1.41,1.414,1.4142, .K

Definición

Ejemplos 1

2

1, 3,5, 7,9, .K3


Límites de Sucesiones

1 2 3

Un número finito es el de la sucesión

,x ,x ,. si los números se van acercando

cada vez más al número

li

cuando crec

mit

.

e

en

L

x x

L n

K

1 1 1La sucesión 1, , , , converge

2 4 8

y su límite es 0.

K

La sucesión 1,1.4,1.41,1.414,1.4142, converge

y su límite es 2.

K

Definición

Ejemplos 1

2

3

Notación lim nnx L

Si una sucesión tiene límite finito, decimos que la sucesión es convergente o que converge. En caso contrario la sucesión diverge o es divergente.

La sucesión (1,-2,3,-4,…) diverge.


Cálculo de Límites de Sucesiones (1) El límite de una sucesión se obtiene haciendo tender a en la

fórmula que define el término general . Si la expresión resultante se puede evaluar

y el resultado es finito, entonces este va

n

n

x n

x

lor finito es el límite de la

sucesión. Esto suele requerir reescribir el término gemeral de otra forma. nx

2 2 2

2 2

2

11

1 1El límite de la sucesión es 1 porque operando

11 1 1

y haciendo tender a obtenemos como resultado 1.

n n nn n

nn

Ejemplos 1

2

1

1

1 1 1 1El límite de la sucesión 1, , , , es 0 porque

2 4 8 2

1haciendo tender a en la fórmula obtenemos 0.

2

n

n nn x

K


Cálculo de Límite de Sucesiones

El límite de la sucesión 1 es 0 porque al multiplicar

y dividir esta expresión por su conjugado obtenemos:

n n

1 11

1

n n n nn n

n n

Si hacemos tender a obtenemos el límite 0.n

Ejemplos continuación

3

1 1 .

1 1

n n

n n n n


Cálculo de Límites con MapleComandos de Maple Limit y limit

Llamada a la Sucesión

Limit(f,x=a,dir) y

limit(f,x=a,dir)

Este comando calcula el límite de la expresión f cuando la variable x se aproxima al valor a. La opción dir puede ser usada para elegir la dirección por la que la variable x se aproxima al valor a.

Cuando calculamos el límite de una sucesión, f es el término general de la sucesión y la variable x toma sólo valores enteros positivos y se aproxima a infinito.


Definición Formal de Límite de Sucesiones

1 2 3

Un número finito es el de una sucesión

, , , si

0 : tal que

límit

.

e

n

L

x x x

n n n x L

K

Definición

Ejemplo

1

lim 0 ya que dado 0 , se tienen n

1 1 1

0 si .n nn n


Límite de Sumas

Si los límites lim y lim son finitos, entonces

lim .

n nn n

n nn

x x y y

x y x y

Para ello observamos que también 0.

2

Teorema

Demostración

Dado 0 , enemos que encontrar un

número tal que

.n n

t

n

n n x y x y

1 2

1 2

Entonces existen dos números y tales que

y .2 2n n

n n

n n x x n n y y

1 2Tomando =max , , tenemos

.2 2n n n n

n n n

n n x y x y x x y y

Por la Desigualdad Triangular


Límite de Productos

2

1Sean 1 e . Entonces lim 0 y

el límite lim no existe. Sin embargo lim 0.

n

n n nn

n n nn n

x n y yn

x x y

El mismo razonamiento que para las sumas puede utilizarse para demostrar la siguiente propiedad.

Si los límites lim y lim son finitos, entonces

lim .

n nn n

n nn

x x y y

x y x y

Teorema

Observación

Ejemplo

Los límites lim y lim pueden existir y ser finitos

incluso si los límites lim y lim no existen.

n n n nn n

n nn n

x y x y

x y


Regla de Sandwich para Sucesiones

Entonces el límite lim existe y

lim lim lim .

nn

n n nn n n

y

y x z

Supongamos que : y que

lim lim .n n n

n nn n

n x y z

x z a

Teorema

Sea max , . Entonces

max , .

y x z

y n n n

n n n

n n a y a x a z

Sea 0. Ya que lim lim , , tales

que y .

n n x zn n

x n z n

x z a n n

n n x a n n z a

Demostración

Esto es así ya que .n n nx y z n


Uso de la Regla de Sandwich

Además

1 2 3 1! 1 2 3 1

n

n nn n n

n n n n n n n n n nn

!Calcular lim .

nn

nn

Ejemplo

! 1

Por lo tanto 0 .n

nnn

!

Se tiene que 0< para todo 0.n

nn

n

Solución Esto es difícil de calcular usando los métodos estandar porque n! está definido sólo si n es un número natural.

Así los términos de la sucesión en cuestión no vienen dados por una función elemental a la cual podamos aplicar técnicas como la regla de L’Hopital.

1 !Como lim 0, por la Regla de Sandwich lim 0 .

nn n

nn n

Aquí cada término k/n < 1.

1

.n


Uso de la Regla de Sandwich

s n( )¿La sucesión es convergente?

cos( )

Si lo es, hallar su límite.

e n

n nProblema

Solución

1 1Como lim lim 0 podemos concluir que la sucesión

-1 -1

s n( ) s n( ) es convergente y que lim 0.

cos( ) cos( )

n n

n

n n

e n e n

n n n n

1 s n( ) 1

Por lo tanto .1 cos( ) 1

e n

n n n n

KSabemos que 1 s n( ) 1 y 1 cos( ) 1 para todo 2,3,4, . e n n n


Sucesiones Monótonas

Definición

Una sucesión (a1,a2,a3,…) es decreciente si an+1 ≤ an para todo n.

Una sucesión (a1,a2,a3,…) es creciente si an ≤ an+1 para todo n.

Una sucesión (a1,a2,a3,…) es monótona si es o bien creciente o decreciente.

Teorema

Una sucesión (a1,a2,a3,…) está acotada si existen dos números M y m tales que m ≤ an ≤ M para todo n.

Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es convergente).

Observesé que es suficiente con demostrar el teorema para las sucesiones crecientes (an), ya que si (an) es decreciente, entonces se considera la sucesión creciente (-an).


Sucesiones MonótonasTeorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es

convergente).

Demostración Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada.

Entonces el conjunto {a1,a2,a3,…} está acotado superiormente

Por el hecho de que el conjunto de números reales es completo,

s=sup {a1,a2,a3,…} es finito.

lim .nna s

Afirmación


Sucesiones MonótonasTeorema Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es

convergente).

Demostración Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada.

Sea s=sup {a1,a2,a3,…}.

lim .nna s

Afirmación

Demostración de la afirmación Sea 0.

Tenemos que encontrar un número que cumpla

que .n

n

n n a s

.Como sup , existe un elemento tal que n n n ss a a s a

Al ser creciente, .n n na n n s a a s

Por lo tanto .nn n a s

En consecuencia lim .nna s

Index FAQ

Cálculo en una variable

Autor: Mika SeppäläTraducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa

index faq límites de sucesiones de números reales sucesiones de números reales límites por...

Documents