Sucesiones.

ÍNDICE.1. SUCESIONES. 2.  SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES3.  SUCESIONES MONÓTONAS4.  SUCESIONES ACOTADAS5. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES6. OPERACIONES CON SUCESIONES7.  CÁLCULO DE LÍMITES ELEMENTALES8.  LÍMITE DE LA SUMA DE SUCESIONES9.  LÍMITE DEL PRODUCTO DE SUCESIONES10. LÍMITES DEL COCIENTE DE SUCESIONES11. LÍMITES DEL TIPO Infinito/Infinito12. LÍMITES DEL TIPO Infinito - Infinito13. LÍMITES DE LA POTENCIA DE DOS SUCESIONES14. EL NÚMERO e15. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 1infinito

16. LOGARITMO DE UN NÚMERO17. LOGARITMOS DECIMALES Y NEPERIANOS O NATURALES18. PROPIEDADES DE LOGARITMOS19. CAMBIO DE BASE LOGARÍTMICA

Sucesiones.

Sucesiones

Una SUCESIÓN de números reales es una aplicación que le asocia a cada número

natural un número real, es decir una función:

De tal forma que la sucesión se escribe por sus imágenes

o también .Donde ai es el término i de la sucesión.

Ejemplo: En la sucesión de números reales 2, 4, 6, 8, 10, …. , el término 1 es 2, el

término 2 es 4, y así sucesivamente.

Se denomina TÉRMINO GENERAL de una sucesión a la expresión algebraica

general de cada uno de sus términos.

Ejemplo: La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … , tiene por término general.

Una SUCESIÓN de números reales se puede representar gráficamente, o

bien por sus valores en la recta real, indicando sobre cada punto el término al que

hace referencia, o bien en el plano, representando en el eje de abscisas los números

naturales (que hacen referencia al término n-ésimo) y en el eje de ordenadas los

valores de la sucesión .

( ): : ifi fi a® ® =¥ ¡

Sucesiones

Ejemplo: La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … , que tiene por término general , la

podemos representar en la recta real:.

O la podemos representar en el plano

Sucesiones

Una SUCESIÓN de números reales puede venir determinada por:

Una propiedad característica:.

Ejemplo: Los números naturales múltiplos de 3, que son 3, 6, 9, 12, 15, … , 99, … .

Su término general:

Ejemplo:

Obteniendo la sucesión

Ejemplo: La sucesión de término general an = 3 n + n – 1, tiene por términos: 3, 7,

11, 15, 19, … ,

Por una relación de recurrencia:

Progresión aritmética

o Una PROGRESIÓN ARITMÉTICA es una sucesión 1i ia

en la cual d >0,

tal que para todo n > 1 se cumple 1n na a d —

Que si conocemos 1a por recurrencia obtenemos:

1 ( 1).na a n d

Además si 1 2 3 4 1...n n nS a a a a a a , como dicha suma se puede poner

como:

1 1 1 1 12 ... 2 1ni S a a d a d a n d a n d

2 ... 2 1n n n n n nii S a a d a d a n d a n d

Efectuando la operación

2

i ii, obtenemos:

1

2n

n

a aS n

Ejemplo de Progresión aritmética

Ejemplo: La suma de todos los números impares desde el 1 hasta el 100 es:

1 199100 10000

2nS

Progresión geométrica o Una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA es una sucesión 1i i

a

en la cual r 0,

tal que para todo n > 1 se cumple 1

n

n

ar

a

—

Que si conocemos 1a por recurrencia obtenemos:

11

nna a r

Además si 1 2 3 4 1...n n nS a a a a a a , como dicha suma se puede poner como:

2 3 2 11 1 ... n n

ni S a r r r r r

Y si multiplicamos nS por r, obtenemos:

2 3 4 11 ... n n

nii r S a r r r r r r

Restando i ii , obtenemos:

1 1n

n nS r S a a r

Y despejando S n, se obtiene:

1 1

1

n

n

a a rS

r

Ejemplo de Progresión geométrica

Ejemplo: Para calcular la suma de los 10 primeros términos de la sucesión:

3, 6, 12, 24, 48, ...

1 11

10

10

Como el termino general es

3 2

3 3 23069

1 2

n nna a r

S

Sucesiones monótonas crecientes Una SUCESIÓN 1i i

a

es MONÓTONA CRECIENTE cuando para todo número

natural n se cumple 1n na a

Ejemplo.- La sucesión dada por el término general 2na n , es MONÓTONA

CRECIENTE

Sucesiones monótonas decrecientes Una SUCESIÓN 1i i

a

es MONÓTONA DECRECIENTE cuando para todo

número natural n se cumple 1n na a Ejemplo.- La sucesión dada por el término general

2

1na

n , es MONÓTONA

DECRECIENTE

Sucesiones monótonas Una SUCESIÓN 1i i

a

es MONÓTONA cuando es MONÓTONA CRECIENTE ó

MONÓTONA DECRECIENTE.

Si la SUCESIÓN 1i ia

tiene todos sus términos iguales, es decir

1 2 3 4 5 ... ...na a a a a a k , decimos que es una sucesión constante

Sucesiones acotadas superiormente Una SUCESIÓN 1i i

a

está ACOTADA SUPERIORMENTE cuando existe un

M Î ¡ , tal que ,na M n£ " Î ¥

Ejemplo.- La sucesión dada por el término general

1na

n , está ACOTADA

SUPERIORMENTE, ya que tomando por ejemplo M = 1, se cumple: 1,na n£ " Î ¥

Sucesiones acotadas inferiormente

Una SUCESIÓN 1i ia

está ACOTADA INFERIORMENTE cuando existe un

m Î ¥ , tal que ,nm a n£ " Î ¥

Ejemplo.- La sucesión dada por el término general 1na n + , está ACOTADA

INFERIORMENTE, ya que tomando por ejemplo M = 2, se cumple: 2 ,na n£ " Î ¥

Sucesiones acotadas

Una SUCESIÓN 1i ia

está ACOTADA cuando lo esta SUPERIOR e

INFERIORMENTE.

o Si la SUCESIÓN 1i ia

está ACOTADA, sucesión existe un ,mM Î ¡ , tal que

,nm a M n£ £ " Î ¥

Ejemplo.- La sucesión dada por el término general

1

1nan

, está ACOTADA

SUPERIORMENTE, ya que tomando por ejemplo m = 0 y M = ½ , se cumple:

10 ,2na n£ £ " Î ¥ , dado que es una sucesión monótona decreciente, de términos:

½ , 1/3, ¼, …, 1/n, …, que además, su límite (cuando n ), es 0.

Propiedades de las sucesiones

1.- Toda SUCESIÓN 1i ia

CONVERGENTE está ACOTADA.

o Hay que observar que el recíproco no tiene por que cumplirse, pues hay sucesiones

acotadas que no son convergentes. Por ejemplo: la sucesión dada por el término

general 1n

na está acotada ya que 1,na n£ " Î ¥ , pero no es monótona,

y tampoco es DIVERGENTE, pues si n es para dicha sucesión tiende a 1 y si n es

impar tiende a -1.

2.- Toda SUCESIÓN 1i ia

MONÓTONA y ACOTADA es CONVERGENTE.

o Hay que observar que no si no se cumplen las dos condiciones (monotonía y

acotada) no tiene que cumplirse la convergencia.

Ejemplos de propiedades de las sucesiones Por ejemplo: la sucesión dada por el término general 2na n es monótona (u términos

son: 2, 4, 6, 8, 10, ….) pero no está acotada (pues crece indefinidamente).Esta sucesión

es DIVERGENTE.

Por ejemplo: la sucesión dada por el término general 1n

na está acotada ya que

1,na n£ " Î ¥ , y sin embargo es evidente que es DIVERGENTE.

o Hay que observar, que si una sucesión es convergente, no tiene por que ser

monótona y acotada. Por ejemplo: la sucesión dada por el término general

1n

nan

—

es convergentes, ya

que sus términos son: 1 1 1 1 1 1

1; ; ; ; ; ; ;...2 3 4 5 6 7

— — — — que converge a 0. Además, dado que

todos sus valores se encuentras en e intervalo [ - 1 , ½ ], está acotada, y si embargo no

es monótona.

Operaciones con sucesiones Por comodidad y abusando de la notación matemática, representaremos la

sucesión 1i ia

por la expresión na .

Dadas dos sucesiones na y nb , podemos utilizar las siguientes operaciones (que

da como resultado otra nueva sucesión):

1.- Suma de sucesiones: n n n na b a b .

2.- Resta de sucesiones: n n n na b a b .

3.- Producto de sucesiones: n n n na b a b .

4.- División de sucesiones:

( )( )

; 0;n nn

n n

a aSi b n

b b

æ ö÷ç ÷= ¹ " Îç ÷ç ÷çè ø¥ .

Ejemplos de operaciones con sucesiones

Ejemplos.- Dadas las sucesiones (1,4,7,10,...)na y (0,2,4,6,...)nb

La sucesión (1,6,11,16,...)n na b

La sucesión (1,2,3,4,...)n na b

La sucesión (0,8,28,60,...)n na b

Hay que observar que la sucesión n

n

a

b

, no se puede calcular, ya que b1 =0

Límites de operaciones con sucesiones Además si se cumple:

n nLim a a y n nLim a b

Se cumplirá:

1.- n n nLim a b a b

2.- n n nLim a b a b

3.- n n nLim a b a b

4.- ; 0n

nn

a aLim si b

b b

5.- ; 0n n nb Lim b bn n n nLim a Lim a a si a

Cálculo de límites elementales

1.- Si na k , siendo k una constante., entonces, se cumple: nLim k k

Ejemplo.- Dada la sucesión (2,2,2,2,2,,...)na , se cumple, 2n nLim a

2.- Si 1 2 11 2 1 0...p p p

n p p pa c n c n c n c n c , se cumple:

1 2 11 2 1 0

0( ... )

0pp p p

n p p pp

si cLim c n c n c n c n c

si c

Ejemplos.- Dada la sucesión por el término general 3 23 5na n n , se

cumple, n nLim a

Dada la sucesión por el término general 4 33 5na n n n , se

cumple, n nLim a

Cálculo de límites elementales

3.- Si n q

ka

n

, siendo q > 0, entonces, se cumple:

0n q

kLim

n

Ejemplo.- Dada la sucesión por el término general 3

2na

n , se cumple, 0n nLim a

Dada la sucesión por el término general 2

1na

n , se cumple, n nLim a

Límites de sumas de sucesiones

Cuando sumamos dos sucesiones na y nb , el límite de la sucesión suma

n na b dependerá de los límites de las sucesiones na y nb , obteniendo los

siguientes resultados (a y b se consideran números reales):

n nLim a n nLim b n n nLim a b

b

INDETERMINACIÓN

a

a b a+b

a

INDETERMINACIÓN

b

Teniendo en cuenta que en el caso de indeterminación, dicho límite dependerá

exclusivamente de las sucesiones que sumemos, pudiendo tener o no tener límite.

Ejemplo de límites de sumas de sucesiones

Ejemplos.- Dada las sucesiones cuyo término general es 3na y 33 2nb n se

cumple, 3n n nLim a b

Dada las sucesiones cuyo término general es 2 1na n y 2nb n , se cumple,

2 21 1 2 2n n n n nLim a b Lim n n Lim

Límites de producto de sucesiones

Cuando multiplicamos dos sucesiones na y nb , el límite de la sucesión producto

n na b dependerá de los límites de las sucesiones na y nb , obteniendo los

siguientes resultados (a y b se consideran números reales positivos):

n nLim a n nLim b n n nLim a b

-b 0 INDETERMINACIÓN b -a -a -b a.b -a 0 0 -a b -a.b -a 0 INDETERMINACIÓN 0 -b 0 0 0 0 0 b 0 0 INDETERMINACIÓN a a -b -a.b a 0 0 a b a.b a -b 0 INDETERMINACIÓN b

Teniendo en cuenta que en el caso de indeterminación, dicho límite dependerá exclusivamente de las sucesiones que multipliquemos, pudiendo tener o no tener límite.

Ejemplo de límites de producto de sucesiones

Ejemplos.- Dada las sucesiones cuyo término general es 3na n y 33 2nb n se

cumple, n n nLim a b

Dada las sucesiones cuyo término general es 23 1na n y 2

1nb

n

, se cumple,

2

2 2 2 2

22

22 2

3 1 133 1

3111 1

n n n n n n

nn n n nLim a b Lim Lim Lim

nnnn n

Límites de cociente de sucesiones Cuando tomamos el cociente de dos sucesiones na y nb con 0nb n¹ " Î ¥ el

límite de la sucesión cociente n

n

a

b

dependerá de los límites de las sucesiones na y

nb , obteniendo los siguientes resultados (a y b se consideran números reales

positivos):

n nLim a n nLim b n

nn

aLim

b

INDETERMINACIÓN -b 0 b INDETERMINACIÓN -a 0

-a -b a/b -a 0 -a b -a/b -a 0

0 0 0 -b 0 0 0 INDETERMINACIÓN 0 b 0 0 0 a 0 a -b -a/b a 0 a b a/b a 0 INDETERMINACIÓN -b 0 b INDETERMINACIÓN

Teniendo en cuenta que en el caso de indeterminación, dicho límite dependerá exclusivamente de las sucesiones que multipliquemos, pudiendo tener o no tener límite.

Ejemplo de límites de cociente de sucesiones

Ejemplos.- Dada las sucesiones cuyo término general es 2na n— y

1nb

n se cumple,

2

3

1nn n n

n nn n n

n

Lim na Lim aLim Lim n

b Lim b Limn

—

— —

Dada las sucesiones cuyo término general es 2na n— y

2nb

n— se cumple,

2

322

nn n nn n

n n nn

Lim na Lim aLim Lim n

b Lim bLim

n

—

—

Dada las sucesiones cuyo término general es 2na n— y 4nb — se cumple,

2

4 2nn n n

n nn n n n

Lim na Lim a nLim Lim

b Lim b Lim

—

—

Cociente de polinomios

El límite del cociente de dos polinomios de grado mayor o igual que uno genera

indeterminaciones de tipo , para resolverlas basta con dividir el numerador y el

denominador por la variable del monomio de mayor grado del denominador:

Ejemplo de cociente de polinomios

Ejemplos.- Dada las sucesiones cuyo término general es 25 7na n n y 3nb n se

cumple,

25 75 7 7

3 3 1 01

nn n n

n

n na nn nLim Lim Lim

nbn n n

Dada las sucesiones cuyo término general es 26 5na n n y 22 3nb n se cumple,

2

2 2

2

22 2

6 5 56 6 0

332 3 2 02

nn n n

n

n na n n nLim Lim Lim

nbnn n

Dada las sucesiones cuyo término general es 3 2na n y 2 5 2nb n n se cumple,

2 2 2

2

22 2 2

3 2 3 20 0

05 25 2 1 0 01

nn n n

n

na n n n nLim Lim Lim

n nbn nn n n

Cociente de polinomios

En general podemos concluir:

1 21 2 0

1 21 2 0

si p > q

si p = q

0 si p < q

p p pp p p p

n q q qq q q q

a n a n a n a aLim

b n b n b n b b

Donde el resultado depende de los signos de los coeficientes de mayor grado de los

polinomios del numerador y del denominador.

Diferencia entre expresiones sin radicales

Si el límite de una diferencia de diversas expresiones es una determinación de la

forma - , bastará con que efectuemos la diferencia de dichas expresiones

algebraicas y posteriormente calcular el límite.

Ejemplo:

( )22 2 2

2

5 7 35 5 7 21lim 7 lim lim

3 3 3

6 26 6 26lim lim 33 1

n n n

n n

n n n nn n n n n nn

n n n

n n nn

n

¥ ¥

®¥ ®¥ ®¥

¥¥

®¥ ®¥

æ ö × +÷ç ÷= = =ç ÷ç ÷ç + + +è ø

= = = ¥+ +

– – –– – – ––

– – – ––

Diferencia entre expresiones con radicales

Si el límite de una diferencia de diversas expresiones que contienen una raíz, es

una determinación de la forma - , bastará con que multipliquemos por una

fracción cuyo numerador y denominador sea la expresión conjugada y

posteriormente calcular el límite.

Ejemplo:

( )( ) ( )3 3 3

lim 3 lim lim3 3

3lim

3

n n n

n

n n n n n nn n

n n n n

n n

¥ ¥

®¥ ®¥ ®¥

®¥

æ ö+ × + ÷ç +÷ç ÷+ = = =ç ÷ç ÷+ +÷çç ÷è ø

= = +¥+

– – + ––

+ +

+

Límite de potencias de dos sucesiones

( )lim nb

nna

®¥

Dadas las sucesiones (an) y (bn), con bn ≥ 0 para todo n, para el cálculo del límite:

Hay que tener en cuenta que si lim n an = a y lim n bn = b, obtenemos:

Lim n ∞ (bn)

Lim n ∞ (an) - ∞ < 0 0 > 0 + ∞

0 + ∞ + ∞ Indeterm. 0 0

(0,1) + ∞ ab 1 ab 0

1 Indeterm. 1 1 1 Indeterm.

> 1 0 ab 1 ab + ∞

+ ∞ 0 0 Indeterm. + ∞ + ∞

Diferencia entre expresiones con radicales

2 3lim lim

3 2

n n

n n

nn

+¥

®¥ ®¥

æ ö æ + ö÷ ÷ç ç= = +¥ = +¥÷ ÷ç ç ÷ç÷÷ç è øè ø+

–

( )6

2

2 3lim 0 0

5

n

n

nn n

+¥

®¥

æ ö+ ÷ç = =÷ç ÷÷çè ø+

( ) ( )lim 3 0n

nn ¥

®¥= +¥ =– –

Ejemplos:

102

2

5 3 5lim 1

2 1 2

n

n

nn®¥

æ ö+ æö÷ç ÷ç÷ = =ç ÷ç÷ ÷çç ÷ç è øè ø–

El número e

1lim 1

na

nn

ea®¥

æ ö÷ç ÷+ =ç ÷ç ÷÷çè ø

Si (an) es una sucesión que tiende a infinito, se cumple:

Donde e es un número irracional, e 2,718280469 …

Ejemplo:

1lim 1

n

ne

n®¥

æ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø

Indeterminación de la forma e elevado a infinito

Los límites de la forma 1+ y 1- son del tipo er para algún número real r, y se

resuelven mediante manipulaciones algebraicas que impliquen el número e

Ejemplo:

1

2 33 2

5 5 5 2 3lim lim 1 1 lim 1 lim 1

2 2 2 2

1 1lim 1 lim 12 2

3 3

n n n n

n n n n

nn

n

n n

n n n nn n n n

n n

+¥

®¥ ®¥ ®¥ ®¥

+× ×

+

®¥ ®¥

æ ö æ ö æ ö æ ö+ + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + = + = + =÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø+ + + +

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= + = +÷ ÷ç ç÷ ÷+ +ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷

— ——

32 2

33

lim 32n

nn n

nne e®¥

+ +

æ ö÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è ø+

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ = =ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷

Logaritmo de un número

log ; 0; 1xa x y a y a a= Û = > ¹

32

log 8 3, ya que 2 8= =4

412

1log 16 4, ya que 2 16

2æö÷ç= = =÷ç ÷çè ø

–

–

El logaritmo de un número x (x>0) en una base a { (0, + ∞ ) – {1} }, se expresa y

se define como sigue:

Ejemplos:

( )12

log 2 1, ya que 2 2= =

Logaritmo decimal y neperiano o natural

1 1log0,1 1, ya que 10 0,1

10= = =––

Cuando la base de un logaritmo es a = 10, denominamos logaritmo decimal y

denominamos por log x

Ejemplo:

2 2

1 1ln 2, ya que ee e

= =– 2–

Cuando la base de un logaritmo es a = e, denominamos logaritmo natural o

neperiano y denominamos por ln x

Ejemplo:

Propiedades de los logaritmos

2. log log loga a a

xx y

y

æö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø) –

( )1. log log loga a ax y x y× = +)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )14 4 33

1ln ln ln 4 ln ln

3x y x y x y× = + = × + ×

Ejemplo:

( )3. log logna ax n x= ×)

Cambio de base de logaritmos

Tomando logaritmos en b a ambos lados de la ecuación, obtenemos:

Como log ya x y a x= Þ =

( )log

log log log loglog

y bb b b b

b

xa x y a x y

a= Þ × = Þ =

3

log7log 7 1,77712

log3= »

Es decir:

Ejemplo:

loglog

logb

a

b

xx

a=

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Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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Dr. Juan Medina Molina

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atematicas.htm)

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