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victor gilberto aparcero

04242618719 04141879669 04166378431

E

I objetivo principal de este capitulo es aproxi-

mar funciones mediante series de potencias. Sin

embargo, antes del estudio de las series de po -tencias se prepororc el terreno. S e in ic iara con el estudio

de aproximaciones palinomiales en 1 0 secci6n 8.1, con Em-

fasis en los polinomios de Taylor, los cuales se generali-

zoron despues en la secci6n 8.9.

En la secci6n 8.2 se Irota la funcion sucesion, la cuol

es uno funci6n cuyo dominio es el conjunto de nurneros en-

teros positivos y cuyo contradominio consiste de los ele-

mentos de la sucesi6n. En el suplernento de la secci6n 8.2

encontroro 1 0 demoslraci6n de la equivalencia de conver-

gencia y sucesiones monotonas aco/adas (tearemas 8.2.10

y 8.2.13) basada en la propiedad de completez de los nu-

meros rea/es. En 1 0 secci6n 8.3, se define la suma de una

serie infinita como el limite de un tipo particular de suce-

si6n. En esta secci6n tombien se tratan los tearemas acerca

de series infinitas. Los crilerios de convergencia de seriesinfinltos se presentan en 1 0 secci6n 8.3 asi como en la sec-

ci6n 8.4, donde se consideran series de terminos posit ives,

y en la secci6n 8.5 en la que se estudian series cuyos

h~rminos son posit ivos y negativos. La secci6n 8.6 contiene

un resumen de los criterios de convergencia y divergencia

estudiodos en las secciones 8.3 a 8.5.

Despues de la int roducci6n a las series d e potencias en

1 0 secci6n 8.7, oprendero en las secciones 8.8 a 8. io a uti li-zar dichas series pora expresar como series infinitas muchas

funciones; por ejemplo: funciones racionales, trigonornelri.

cas, exponenciales y logaritrnicas. Las series de potencias

se aplican a l in de aproximar numeros irracionales tales

como¢9. n. e, In 5 y sen 0.3, asi como para opro-

ximor integrales definidos cuyo integrando no tenga

antiderivada en forma cerrada. Por ejemplo, las series

de potencias pueden emplearse con el objeto de

cakular valores de integrales como:

Lo,5e-t2dt Io 'cos x2dx LOJln(l + sen x)dx

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8.1 APROXIMACIONES POLiNOMIALES MEDIANTE L A F OR MU LA DETAYLOR 639

8.1 APROXIMACIONES POLiNOMIALES MEDIANTE#

LA FORMULA DE TAYLOR

Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden detenninarse

efectuando un numero finito de adiciones y multiplicaciones. otras funciones,

entre elias las funciones logarttmicas, exponenciales y.trigonometric as, no

pueden evaluarse tan facilmente. En esta secci6n se mostrara que muchas

funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en

.lugar de la funci6n original. puede emplearse para realizar calculos cuando

la diferencia entre el valor real de la funci6n y la aproximaci6n polinomial

es suficientemente pequeiia.

Varios metodos pueden emplearse para aproximar una funci6n dada

mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente uti lizados hace usc de la

formula de Tay lor, llamada as! en honor del matematico Ingles Brook Taylor(1685-1731). EI teorema siguiente, el cual puede considerarse como una

generalizaci6n del teorema del valor medio, proporciona la f6nnula de Taylor.

8.1.1 Teoremo

SeaIna funci60 tal qu eI lUIprimeras n t te ri va da s s ou c o nt in ua s e n

el intervalo cerrado ta . b). AdemAs, coosidere qu e I(ft+ 1 ) (%) ~te paratoda z del ~ abierto (a, b). Entooces exiate un odm e r o z en el

im.ervalo ahieno (a. b) tal que

fCa) /''(a) ~I(b) = I(a) + It C b - a) + ""21(b - G,- + ...

+ p")(a) (b _ a)" + p,,+I) (z), (b - a),,+1

II! . (II + 1) 1

La (:Cuaci60 (1) ~ 8C C U i d P I e l1·b <, .Q; en·taI ~ la,b] 8C

~mplaza po r lb . a]. y (0.b ) se luscituye pol' . ( b . (I).

(I)

Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en

I(b)=I(a) + f'(z)(b - a)

donde z esta entre a y b, Esta es la conclusi6n del teorema del valor medio.

La demostraci6n del teorema 8.1.1 se presentara posterionnente en esta

\.0 O r . ~ _/,,4secci6n. Si en (I) se reemplaza b por x. se obtiene la r6rmula de Taylor:

~~A'- . .

" /(11+1)'(' 1 .+ (x - ca)" + l { :Z - 4)1+1

{n + 1 )1 . .

. r(d)' ·1["(a)I(x) = f(a) + 11 (x - a) ,+ 2! (.r~ af + ...

donde z o s" entre a y.x.

La condicion en la que se cumple (2) es que / y sus primeras n deri-

vadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la

(n + l j -esima derivada de jexista en todos Ios puntos del intervalo abierto

correspondiente. La formula (2) puede escribirse como

(2)

(3).

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640 CAPiTULO 8 APROXIMACIONES POUNOMIALES, SUCESIONESY SERIESINFINITAS

[-3,3] po r [0, 4)

l ex ) =e'

Po(x) = 1

FIGURA I

[-3,3) po r [0,4]

lex) =e'

P,(x)=I+x

FIGURA 2

donde

P,,(x) = I(a) + r:,a) (X - a) + / ' i ~ ) (x - a)2 + ... + I(~~!(a) (X - a)" (4)

y

j(IHI)( ) .

R (x) = z (x - a),,+1 d e n d e z csU e a e e a y o XIt. (n+ 1 )1 . (5)

Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-esimo grado de la funcionj'en

el rnimero a, y Rn(x) se lIama residuo. EI termino Rn(x), dado en (5), se deno-

mina forma de Lagrange del residuo, Hamada asi en honor al matematico

frances Joseph L. Lagrange ( 1736- I813).

EI easo especial de la f6rmula de Taylor que se obtiene al eonsiderar

a = 0 en (2) es

donde z esta entre 0 y x. Esta formula recibe el nombre de formula de

Maclaurin, en honor al matematico escoces Colin Maclaurin (1698- 1746).

Sin embargo, la f6rmula fue obtenida por Taylor y por otro matematico

Ingles, James Stirl ing (1692-1770). EI polinomio de Maclaurin de n-esimo

grado para una funcion j,obtenido a partir de (4) con a = 0, es

P,,(x) = 1(0) + I':!O) x + f'~~O),,2 + . , . + I("~~O) x" (6)

De este modo, una funcion puede aproximarse por medio de un polinomio

de Taylor en un numero a 0por un polinomio de Maclaurin.

I > EJEM PLO ILUSTRA TIVO 1 Se calculara el polinomio

de Maclaurin de n-esimo grado para la funcion exponencial natural. Si

f(x) = e X , entonees todas las derivadas def en x son iguales a e X y las deri-

vadas evaluadas en eero son I. Por tanto, de (6),

(7)

Asf, los primeros euatro poIinornios de Maclaurin de la funcion exponencial

natural son

Po(x) = 1

P1(x) = I+ x

P2(x) = 1 + x + 4.12

P3(x) = 1 + x + 4.12 + ~x3

Las figuras I a 4 muestran la grafica de f(x) = e X junto con las grill -

cas de Po(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectangulo

de inspeeci6n de [-3, 3] por [0,4]. En la figura 5 se muestran las graficas de

los cuatro polinomios de Maclaurin y la grafica de f(x) = e X en el mismo

sistema eoordenado. Observe como los polinomios aproximan e X para

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8.1 APROXIMACIONES POlINOMIALES MEDIANTE LAF6RMULA DETAYLOR 641

Tabla I Tabla 2

n eO .4 p.(O.4) e°.4 - p.(O.4) n eO.2 P.(0.2) eO .2 - P.(0.2)

[-3.3] por [0, 4]

a 1.4918 0.4918 a 1.2214 0.2214j ( x ) = e' 1 1.4918 1.4 0.0918 1.2214 1.2 0.0214

P2(x) = I + x + ; x > 2 1.4918 1.48 0.0118 2 1.2214 1.22 0.0014

1.4918 1.4907 0.0011 3 1.2214 1.2213 0.0001

FIGURA 3

[-3.3) por [0, 4]

j(x) = eX

P3(x) = 1 + .r + ~X2 + ~x3

FIGURA 4

FIGURA 5

valores de x cercanos acero, y note que conforme n se incrementa, la

aproximaci6n mejora. Las tablas I y 2 proporcionan los valores de eX , Pn(x)

(cuando n es igual a 0, I, 2 Y 3) Y eX - Pn(x) para x = ,0.4 Y x = 0.2,

respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x

esta mas cerca de 0, es mejor la aproximaci6n para un Pn(x) especifico. ~

De (5), la forma de Lagrange del residuo, cuando Pn(x) es el polinomio de

Maclaurin de n-esirno grado para la funci6n exponencial natural, es

R ( )e Z n+1

n X = (n + I)! xdonde z esta entre 0 y x

En particular, si P3(x) se emplea para aproximar e", entonces

eZR 3(x ) = - x44!

donde z esta entre 0 y x

y

~ EJEM PLO ' Utilice un polinomio de Maclaurin para determinar

el valor de -F e con una exactitud de cuatro cifras decimales.

Solucion Sif(x) = e " , entonces el polinomio de Maclaurin de n-esirno

grado de f esta dado por (7) y la forma de Lagrange del residuo esta dada por

(8). Si se considera x = ~en (8), entonces

donde 0 < z < ~

Asi,

Como e < 4, entonees el /2 < 2, de modo que

I R ( i \ I < 2 Jn 2 ) 2n+l(n + I)! = 2n(n + I)!

Debido a que el valor de .J e se aproximara con cuatro cifras deeimales, se

desea que I R n( ~) I sea menor que 0.00005; I R n( i ) I sera menor que

0.00005 si 1/2n(n + I)! < 0.00005. Cuando n = 5,

1

2" (n + I)! (32)(720)

= 0.00004

( 8 )

I

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6 42 C AP iT uLO 8 A PROX IMACIONES POUNOM IA LE S, S UC ES IO NE S Y S ER IE SIN FIN IT AS

I'~ \4.1f' •

J"I,

\.'

)."

I~

[-1.1] po r [-0.0001. 0,0001]

,( x2 Xl X. x5)y=e - I+x+-+-+-+-2! 3! 4! 5!

y = O ,O OO O S Y y = -0.00005

FIGURA 6

[-6,6) po r [-4. 4)

f(x) = senx

P,(.r) = x

F IG UR A 7

[-6.6] po r [-4. 4)

f(x) = senxxl

Plx) = x - 6'

FIGURA 8

Como 0.00004 < 0.00005, se considera P s ( i ) como la aproximaci6n de F e

con una exactitud de cuatro cifras decimales. De (7),

Ps ( _ I _ ) = 1 - _ I _ - _ I _ - _ l_ - .L- _1-2 2 8 48 384 3840

de donde se obtiene .fe '" 1.6487.

~ EJEMPLO 2 Estime en la graficadora los valores de x para los

cuales P5(x ) aproxima eX con uria exactitud de cuatro cifras decimales.

Solucion Si Ps(x) aproxima a eX con una exactitud de cuatro cifras

decirnales, entonces

I eX - Ps(x) I < 0.00005

La figura 6 muestra la grafica de y = e X , - P5(x), es decir,

y = eX - (l + x + x2/2! + x3/3 ! + x4/4! + xS/5!)

y las rectas y = ±0.00005 trazadas en el rectangulo de inspecci6n de (-I, 1]

por (-0.0001,0.0001]. Al emplear el procedimiento de intersecci6n

(intersect),0

los de rastreo y aumento (trace y zoom-in), de la graficadora,se determina que la curva y la recta y = 0.00005 se intersectan cuan-

do x = -0.5824 Y x = 0.5667. De esta forma, se concluye que cuando

-0.5824 < x < 0.5667, P5(x) aproxima eX con una exactitud de cuatro

cifras decimales.

Esta respuesta apoya la conclusi6n del ejemplo I de que P5( ~ ) apro-

xima a .fe con una exactitud de cuatro cifras decimales. ~

[) EJEMPLO ILUSTRA T IVO 2 Ahora se deterrninara el

polinonio de Maclaurin de n-esimo grado para la funci6n seno. Sif(x) = sen x,

entonces

I'(x) = cos x

f(4)(x) = sen x

j"(x) = -sen x

f(5)(x) = cos x

f"'(x) = +cos x

f(6l(x) = -sen x

y as! sucesivamente. De esta forma,f(O) = 0,

1'(0) = 1

etcetera. De (6),

1"'(0) = -I f(4)(0)"(0) = 0

_ x 3 x 5 X 7 n-I x 2n -1

Pn(X) - x-3T+5T-7T+ ... +(-I) (2n-I)!

De esta forma, Po(x) = 0,

PI(x) =X P2(x) =X

P3(x)x3

P4(x)x3

x-- x--

6 6

Ps(x)x3 x5

P6(x)x3 x5

x-(;+ 120 = X-(;+ 120

x3 x5 x 7 - x3 x5 x7P7(x) x-(;+ 120- 5040 Ps(x) X-(;+120-5040

y asf sucesivarnente.

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8.1 APROXIMACIONES POUNOMIALES MEDIANTE LA FORMULA DETAYLOR 643

[-6.6] po r [-4, 4]

f(x) = senx

x 3 x S

P,(x) = x-6' + 120

FIGURA 9

[-6,6] po r [-4. 4]

f(x) = sen x

x3 XS x1

P,(x) = x - "6+ 120- 5040

FlGURA 10

P,(x)y

FIGURA 11

, -r

/./

I

/1-1,1] por [-0.0000002. 0.0000002]

y=senx-(x-f+;2~-5~0)

y = 0.0000001 Y y = -0.0000001

FlGURA 12

Las figuras 7 a 10 muestran la grafica de la funci6n seno junto con las

graficas de sus polinomiosde Maclaurin de grados 1.3,5 Y 7. respectivamente,

trazadas en el rectangulo de inspeccion de [-6. 6] por [-4. 4]. La figura II

muestra las graficas de estos cuatro polinomios de Maclaurin y la grafica de

j(x) = sen x dibujados en el mismo sistema coordenado. Observe que las

aproximaciones polinomiales mejoran confonne n se incrementa. ...

~ EJEMPLO 3 (8) Determine la exactitud cuando se utiliza el

polinomio de Maclaurin de grade 7 de la funci6n seno, P7(x), para aproximar

sen 0.5. (b) Apoye graficamente la respuesta del inciso (a): (c) Calcule P7(0.5)

para aproximar sen 0.5 con una exactitud en el mimero de cifras decimales

considerado en la respuesta del inciso (a).

501ucion

(8) De (3)conj(x) = senxyn = 7,setiene

sen x = P7(x) + R7(x)

ASI,

sen 0.5 = P7(0.5) + R7(0.5)

donde, de (5) con x = 0.5 y a = 0,

R7(0.5) = j(8~?) (0.5)8 donde z e st a entre 0 y 0.5

= 0.0000001 sen z

Como I sen z I < I, entonces

I R7(0.5) I < 0.0000001

Por tanto, se concluye que cuando P7(0.5) se emplea para aproximar

sen 0.5, el valor es aproximado a seis cifras decimales.

(b) A fin de apoyar la respuesta del inciso (a), debe mostrarse que cuando

x = 0.5, IR7(x) I < 0.000000 l. Como R7(x) = sen x - P7(x), y del

calculo del ejemplo i1ustrativo 2, para la funci6n seno,

se trazan las graficas de

(x 3 x 5 x7)

Y = sen x - x - 6 120 - 5 04 0 Y Y = ±O.OOOOOOI

en el rectangulo de inspeccion de [-I, I] por [-0.0000002.0.0000002] •

como se muestra en la figura 12. Si se utiliza el procedimiento de inter-

seccion (intersect), 0 los de rastreo y aumento (trace y zoom-in), de la

graficadora, se determina que la curva y las rectas se intersectan en los

puntos donde x = ±0.6921. Como -0.6921 < 0.5 < 0.6921, se ha

apoyado la respuesta del inciso (a).

(c) AI sustituir 0.5 por x en la expresi6n para P7(x), se tiene

P (0 5)- 05 _ (0.5)3 (0.5)~ _ (0.5)1

7· -' 6 + 120 5 040

=: 0.47942553

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644 CAPitulO 8 APROXIMACIONES POUNOMIALES, SUCESIONESY SERIESINFINITAS

[-Ir. It J por [-2. 2)

j(x) = cos x

FIGURA 13

DeJ inciso (a), este calculo es preciso can seis cifras decimales. Par tanto,

sen 0.5 = 0.479426

~ EJEMPLO 4 Determine el polinomio de Taylor de tercer grade

de Jafunci6n coseno en ~n y la forma de Lagrange del residuo. Trace las grafi-

cas del polinomio y de la funci6n coseno en el mismo rectangulo de inspecci6n.

Solucion Seaf(x) = cos x. Entonces de (4),

( " ) f ' ( Tr)( ") /"(* x) ( " ) 23 (X) = f"4 + " 4 x - '4 + --2!- x - " 4 +/"'(* T r ) (

3! x -

Como f(x) = cos x,j'(x) = -sen x,/,,(x) = +cos x,f"'(x) = sen x,

fqn) = ~.j2 f'qTr) = -~.j2 f"qTr) = -~.J2 rqn) = ~.J2

Por tanto,

P3(x) = -21 .j2 - -2

1 .j2 (x - -41 T r ) - ~.J2 (x - ~ n)2 + ..!...j2(x - ~ n)3

4 4 12 4

Como f(4)(x) = cos x, de (5) se obtiene

R3(x)

=~(cos z)(x - ~ Tr)4 donde z esta entre iT r y x

Debido a que I cos z I :5 1, se concluye que I R3(x) I :s; ~(x - ~n)4 para

toda x.

La figura 13 muestra las graficas de P3(x) y de f(x) = cos x trazadas

en el rectangulo de inspecci6n de [-no T r) por [-2, 2). Observe c6mo la grafica

del polinomio aproxima la grafica de la funci6n coseno cerca de x = * n. ....

~ EJEMPLO 5 Util ice el polinomio de Taylor de tercer grado de

la funci6n coseno en i n , detenninado en el ejemplo 4, para calcular un

valor aproximado de cos 47°, y determine la exactitud del resultado.

Solucion 47° - I~ T r rad. Por tanto en la soluci6n del ejemplo 4 se

considera x = I~~ n y x - i n = ~ x, Y

donde

R3( I~ T r) = ~cos z( ~ Tr)4

Como 0 < cos z < .1,

donde i T r < z < I~ T r

o < R3( I~ T r) < ~(~ Tr)4 < 0.00000007

Si se considera ~ x '" 0.0349066, de (9) se obtiene

cos 47° '" 0.681998

10 cual tiene una exactitud de seis cifras decimales debido a la desigual-

dad (10). ....

Ahora se dernostrara el teorema 8.1.1. Se conocen varias dernostra-

ciones de este teorema, aunque ninguna esta bien motivada. La siguiente

demostraci6n utiliza el teorema de del valor medio de Cauchy (7.7.3).

(10)

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8.1 APROXIMACIONES POUNOMIAUS MEDIANTE LA F6itMuLA DE T AYlOR 645

Demostracion del teorema 8.1.1 Sean F y G dos funciones defini-

das por

f"( ) f(n-I)( ) f(n)( )F(x) = feb) - f(x) - j'(x}(b - x) - ~ (b - x)2 - ... - (n _ I;! (b - x)n-I - --T (b' - x )" (l1)

y

(b - x)n+1G(x) = (n + I)! (12)

Entonces se deduce que F(b) = 0 y G(b) = O.Al diferenciar (II) se obtiene

F "(x) = - j'(x) + r(x) _ j"(x)(b _ x) + 2j"(x)(b - x) _ j'''(x)(b - x)2 + 3j"'(x)(b - x)2. 2! 2! 3!

f(4)(x)(b - x) . (n - I)f(n-I)(x)(b - x)n-2 f(n)(x)(b - x)n-I

3! + ... + (n-I)! .- (n-I)!

nf(n)(x)(b - x)n-I f(n+l)(x)(b - x)"+ n! - "----'-'n'"'"! -----'~

Al reducir terrninos semejantes se observa que la suma de cada termino

impar y el siguiente termino par es igual a cero; de modo que s610 queda el

ultimo termino. Por tanto,

f(n+')( )r(x) = - x (b _ x)n

n!

(13)

Si se deriva en (12) se obtiene

G'(x) = -.!.(b - x)nnl

(I4)

Al verificar la hipotesis del teorema del valor medio de Cauchy se ob-

serva que

(i) F YG son continuas en la, b];

(li) F y G son diferenciables en (a, b);

(iii) para toda x en (a, b), G'(x) ~ O.

De modo que, por la conclusion del teorema,

F(b) - F(a) F'(z)

Gtb) - G(a) = G'(z)

donde z esta en (a, b). Pero F(b) = 0 YG(b) = O. Por 10que

F'(z)F(a) = G'(z) G(a)

para alguna z en (a, b).

Si se considera x :: a en (12), x = z en (13) y x = zen (14), y si se

sustituyen en (15) se obtiene

(15)

F(a)f(n+')(Z) [n!] (b - a)n+1

- (b-z)n ----n! (b- z)" (n + I)!

f(n+')( )F(a) = z (b - a)n+1

(n + I)!

Si x = a en (11), resulta

rea) f(n-')(a) _ f(n)(a)F(a) = feb) - f(a) - j'(a)(b - a) - -2!-(b - a)2 - ... - (n _ I)! (b - a)" 1 - -n-! -(b - a)"

(16)

AI sustituir de (16) en la ecuaci6n anterior, se tiene

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646 CAPiTULO 8 APROXIMACIONES POLiNOMIALES, SUCESIONESY SERIESINFINITAS

r: ) f(n)( ) f(n+l)( )feb) = f(a) + !'(a)(b - a) + ~(b - a)2 + ... + ~(b - a)" + (n + I)~(b - a)n+1

10 cual es el resultado deseado. EI teorema se cumple si b < a debido a que

la conclusion del teorema del valor medio de Cauchy no se afecta si a y b

se intercambian. _

Existen otras formas del residuo de la formula de Taylor. Dependiendo

de la funcion, puede convenir emplear una forma del residuo mas que otra.EI teorema siguiente, llarnado f6rmula de Taylor can forma integral del

residua. expresa el residuo como una integral.

8.1.2 Teorema Formula de Taylor can forma integral

del residua

Sifes una fuoci6n cuyas primeras n + 1 d eriv ad as so n continuas en un

intervale cerrado que contiene a a y x, 'ento1lCesf(x) = Pix) + R,,(x),

donde Pn(x) es el polinomio de Taylor de n~nesimo gtado defcn a y

R,,(x) es el residuo dado por

R (x) ;;:; .! . f X (x - tf f(n+ .)(1) dt

" n!}a

La dernostracion de este teorema se deja como ejercicio (vea el ejer-cicio 40).

Se ha visto como una funcion puede aproximarse mediante una suce-

sion de polinomios de Taylor. Los valores de estos polinomios para una valor

dado de x puede considerarse como una sucesion de numeros, tema de la

siguiente seccion. EI polinomio de Taylor de n-esirno grado es la suma de

n + I terminos, y conforme n crece sin limite. la suma puede 0 no aproxi-

marse a un Ifmite. Tales consideraciones forman las bases de las series in-

finitas, definidas en la seccion 8.3 y es el tema principal de este capitulo.

EJERCICIOS 8. 1

En los ejercicios I 10. determine elpolinomio de Maclaurin del

grado indicado para Lafuncion f con el residuo en L a forma deLagrange. Trace las graficas defy del polinomio en el mismo

rectdngulo de inspeccion y observe como L a grdfica del po/i-

nomio aproxima Lagrdfica def cerca del punto donde x = O .

1. f(x) =1 . 2. f(x) = _I -3 ; grado 5_ 2,grado4

x+

3. f(x) = e-X;gradoS 4. f(x) = tan x; grado 3

5. f(x) = cos x; grade 6 6. f(x) '" cosh x; grado 4.

7. f(x) = senh X; grado 4 8. f(x) = e-x2; grade 3

9. f(x) = (1 + x)3/2; grado 3

10 . f(x) = (I - x)-1/2; grado 4

En los ejercicios 1 I a 18 . determine el polinomio de Taylor del

grado indicado enelnumero a para lafuncion] con elresidua en L alonna de Lagrange. Trace la s grdficas de f y del polinomio en

el mismo rectdngulo de inspeccion y observe como L a grafica del

polinomio aproxima la grtifiea deI cerca del punto donde x = a.

11. [(x) = iJ12; a = 4; grado 3

12 . [(x) = - I X ; a = 4; grado 4

13. [(x) = sen x; a = i : l t ; grado 314. I(x) = cos x; a = ~:It; grado 4

15. I(x) = In x; a = J; grado 5

16. I(x) = in(x + 2); a = -I;grade 3

17. [(x) '" In cos x; a = ~:It; grade 3

18. [(x) = x sen .r; a = i : l t ; grade 5

19. Calcule el valor de e con una exactitud de cinco cifras

decirnales, y demuestre que la respuesta tiene la exactitud

requerida. Apoye graficamente Ja respuesta.

20. Realice el ejercicio 19 para eJ valor de e-I/2 .

21. Calcule sen 31 0con una exactitud de Ires cifras decimalesempleando un polinomio de Taylor y demuestre que la

respuesta tiene la exactitud requerida. Apoye graficamen-

te la respuesta.

5/17/2018 8.1 Sucesiones - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/81-sucesiones 10/10

8.2 SUCESIONES647

22. Calcule cos 59° con una exactitud de tres cifras decima-

les empleando un polinomio de Taylor y demuestre que la

respuesta tiene la exactitud requerida, Apoye graficamen-

te la respuesta.

23. Estime el error que resulta cuando cos x se sustituye por

I - '4 x 2 si I x I < 0.1.

24. Estirne el error que resulta cuando sen x se sustituye por

x - ix3 si I x l < 0.05.

25. Estime el error que resulta cuando ~ se sustituye

por I + ~x si 0 < x < 0.01.

26. Estime el error que resulta cuando I j - J X se sustituye por

~ - 4x si 0.99 < x < 1.01. Sugerencia: sea ~ - ~x =

I-~(x - I).

27. Estime el error que resulta cuando e X se sustimye por

I + x + 4 x2 si I x I < O . Q I .

28. Utilice el polinomio de Maclaur in para la funci6n defini-

da por I(x) = In(l + x) para calcular el valor de In 1.2

con una exactitud de cuatro cifras decimales.

29. Emplee el polinomio de Maclaurin para la funcion defi-

nida por

I(x) = In I + xI-x

para calcular el valor de In 1.2con una exactitud de cuatro

cifras decimales. Compare elcalculo con el del ejercicio 28.

30. Demuestre que si 0 S x st. entonces

x3

sen x = x - 3 T + R(x)

donde I R(x) I < 3 ~o·

31. Utilice el resul tado del ejercicio 30 para deterrninar un

valor aproximado de f ~ / . J 2 sen x2 dx, y estime el error.

32. Demuestre que la f6rmula (I + x)l/2 ~ I + ~x es exacta

con Ires cifras decimales si -0.03 s x s O .

33. Demuestre que la f6rmula (I + x)-1/2 = I - ~x es exactacon dos cifras decimales si -0.1 sx sO .

34. Dibuje la gnl.fica de y = sen x y y = mx en el mismo

sistema de ejes. Observe que si m es positivo y cercano a

cero, entonces las graficas se intersectan en un punto cuya

abscisa esta cerca de x. Detenninando el polinomio de

Taylor de segundo grado en T r para la funcionj' definida por

I(x) = sen x - mx. muestre que una soluci6n aproxima-

da de la ecuaci6n sen x = mx, donde m es positive y esta

cerca de cero, esta dada por x = T r I O + m).

35. Emplee el metodo descrito en el ejercicio 34 para deter-

minar una soluci6n aproximada de la ecuaci6n cot

x = mx cuando m es positivo y esta cerca de cero.

36. (a) Util ice el polinomio de Maclaurin de primer grado para

aproximar ek si 0 < k < 0.01. (b) Estime el error en ter-

minos de k .

37. Aplique la f6rmula de Taylor para expresar el pol inomio

P(x) = x4 - xl + 2x2 - 3x + I

como un polinomio en potencias de x - I.

38. (a) Derive termino a termino el polinomio de Maclaurin de

n-esimo grado para e' y compare el nuevo pol inomio con

el polinomio para e', (b) Integre termino a termino el

polinomio de Maclaurin de n-esirno grado para e', deter-

mine la constante de integracion y compare el nuevo po-

linomio con el polinomio para e X .

39. (a) Derive termino a terrnino el polinomio de Maclaurin de

n-esimo grado para sen x y compare el nuevo polinomio

con el polinomio para cos x. (b) Integre termino a termino

el polinomio de Maclaurin de n-esimo grado para sen x,

determine la constante de integraci6n y compare el nuevo

polinomio con el polinomio para -cos x.

40. Dernuestre el teorema 8.1.2. Sugerencia: del teorema 4.7.2

1 : /'(1) d I = I(x) - I(a). Resuelva para I(x) e integre

1 : /'(1) dl por partes considerando u = /'(1) y dv = dt.

Repita este proceso, y el resultado deseado se deduce me-

diante inducci6n rnatematica.

41. (a) Demuestre que los rerminos del polinomio de Maclaurin

de n-esimo grado de una funci6n impar contienen s610

potencias impares de x. (b) Demuestre que los terminos

del polinomio de Maclaurin de n-esimo grado de una

funci6n par contienen s610potencias pares de x.

42. Cuando se emplea un polinomio de Taylor en poteacias de

x - a para aproximar un valor de funci6n en un mimero

particular XI' ~que hechos influyen en la eleccion de a ?

Ilustre la respuesta para las funciones definidas por

I(x) = e' y g(x) = sen x.

. . . .