Convergencia de Sucesiones

Las Sucesiones y sus LímitesPropiedades de los Límites de Sucesiones

Sucesiones. Convergencia 1

Sucesiones. Convergencia 1

Convergencia de Sucesiones

DefiniciónDefinición

Una sucesión (an)=(a1, a2, a3,…) es una aplicación que asigna un número an a cada número entero positivo n.

Una sucesión (an) converge a un numero a si los términos an se van acercando cada vez más a a cuando n aumenta.

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Límites de Sucesiones

NotaciónNotación lim .nna a

Sucesiones. Convergencia 1

Ejemplos de Límites

La sucesión (1/n) tiene límite 0 ya que cuando n aumenta 1/n se va acercando cada vez más a 0.

EjemplosEjemplos

1lim 0.n n

Sucesiones. Convergencia 1

Límites

EjemploEjemplo

La sucesión converge a ½.2

2

12 2n nn n

2 2

2

2

1 111 1 0 0 1

.1 2 2 0 0 22 2 2

n

n n n nn n

n n

Esto se comprueba sabiendo que

y reescribiendo esta expresión de la forma

1lim 0n n

2

1lim 0,n n

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Propiedades de los límites de Sucesiones

TeoremaTeorema

Supongamos que , y c . lim nna a

lim nn

b b

Entonces lim lim lim ,n n n nn n na b a b a b

lim lim ,n nn nca c a ca

lim lim lim ,n n n nn n na b a b ab

ylim

limlim

nnn

nn nn

aa ab b b

siempre que b ≠ 0.

Sucesiones. Convergencia 1

Reglas Básicas En el ejemplo anterior hemos usado la siguiente propiedad general: Si la sucesión an tiene límite ∞ cuando n ∞, es decir, si los términos an se hacen muy grandes cuando n crece, entonces

0 si 01 1

lim 0, lim 0, lim .si 0

1 si 0

pnn n n

n n

pa p

a ap

RecuerdaRecuerda (a – b)(a + b) = a2 – b2 y

.x y x y x y

Sucesiones. Convergencia 1

Límites

EjemploEjemplo Calcular lim 2 1 .n

n n

Sucesiones. Convergencia 1

Ejemplo

EjemploEjemplo Calcular lim 2 1 .n

n n

2 1 2 1 2 1

2 1

n n n nn n

n n

Solución Solución

2 1 10.

2 1 2 1 n

n n

n n n n

Por lo tanto lim 2 1 0.n

n n

Sucesiones. Convergencia 1

Límites

EjemploEjemplo

Calcular2

52

2 1lim .

2n

n n

n n n n

Sucesiones. Convergencia 1

Límites

EjemploEjemplo Calcular2

52

2 1lim .

2n

n n

n n n n

2 3 2 2

5 12 2

2

1 11 22 1

1 1 2

2

n n n n

n n n n nn nn

Solución Solución

Por lo tanto2

52

2 10.

2n

n n

n n n n

Este término tiende a 0 cuando n crece.

Sucesiones. Convergencia 1

Fórmula Útil

RecuerdaRecuerda (a – b)(a + b) = a2 – b2 y

,

.

x y x y x y

x yx y

x y

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Resumen

Si la expresión an tiene límite ∞ cuando n ∞, es decir, si los términos an se hacen muy grandes cuando n aumenta, entonces

0 si 01 1

lim 0, lim 0, lim .si 0

1 si 0

pnn n n

n n

pa p

a ap

lim lim lim ,n n n nn n na b a b a b

lim lim lim ,n n n nn n na b a b ab

limlim , 0.

lim

nnn

nn nn

aa ab

b b b

Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa