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ContenidoSucesiones Geometricas

Objetivos

Sucesiones Geometricas

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo 2

Rivera-Morales, Carlos A. Sucesiones Geometricas


Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos

1 Sucesiones GeometricasDefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas



Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

definicion de sucesion o progresion geometrica

sumas parciales de sucesiones geometricas

series geometricas

ejercicios y aplicaciones



DefinicionSumas Parciales de Sucesiones GeometricasSeries Geometricas


Sucesion Geometricas:

Definicion: Una sucesion o progresion geometrica es unasucesion de la forma

a1, a1r, a1r2, a1r

3, a1r4, ..., r 6= 0

El numero a1 es el primer termino y r es la razon comun orazon constante de la sucesion. El n-esimo terminoesta dado por

an = a1rn−1





Ejemplos:

1 Si a1 = 3 y 2 = 2, entonces se tiene la sucesion aritmetica

3, 3× 2, 3× 4, 3× 8, ..., o bien,3, 6, 12, 24, ...

La razon entre cualquiera dos terminos de esta sucesion esr = 2. El n-esimo termino es an = 3× 2n−1.

2 Considere la sucesion geometrica

8, 4, 2 , 1 , 12 ,14 ,....

En este caso la razon comun es r = 12 . El n-esimo termino

es an = 8× (12)n−1.





Ejercicios:

1 Determine el decimo termino de la progresion geometrica4,8,16,... .

2 En una progresion geometrica a6 = 1458 y r = 3.Determine a1 y a4.

3 ¿Que termino de la sucesion geometrica 2, 6, 18, ... es118098?

4 El tercer termino de una sucesion geometrica es 10 y elsexto es 80. Determine su razon comun.

5 En una progresion geometrica a1, a2, a3, ..., an, ... se tiene:

a1 + a2 + a3 = 7a4 + a5 + a6 = 56

Determine a1 + a4 .




Sumas Parciale de Sucesiones Geometricas

Si queremos sumar los primeros n terminos de una sucesiongeometrica escribimos la suma Sn y despues multiplicamos porla razon comun.

Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r

3 + ... + a1rn−2 + a1r

n−1.

rSn = a1r + a1r2 + a1r

3 + a1r4 + ... + a1r

n−1 + a1rn.

Ahora, hallamos la diferencia Sn − rSn.Sn − rSn = a1 − a1r

n

Sn(1− r) = a1(1− rn)Por lo tanto

Sn = a1(1−rn)1−r , siempre que r 6= 1






Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r

3 + ... + a1rn−2 + a1r

n−1.


3 + a1r4 + ... + a1r

n−1 + a1rn.


n

Sn(1− r) = a1(1− rn)

Por lo tanto







Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r

3 + ... + a1rn−2 + a1r

n−1.


3 + a1r4 + ... + a1r

n−1 + a1rn.


n

Sn(1− r) = a1(1− rn)Por lo tanto





Sumas Parciales de Sucesiones Geometricas

Sumas Parciales de una Sucesion Geometrica (r 6= 1):

En el caso de la sucesion geometrica an = a1rn−1 esta dada por:

Sn = a1(1−rn)1−r , r 6= 1

Notas:

1 La formula anterior tambien se puede expresar de la forma

Sn = a1(rn−1)r−1

2 Si r = 1, entonces Sn = na1.





Ejercicios Sumas Parciales:

1 Calcule la suma de los seis primeros terminos de unaprogresion geometrica en la que a1 = 4 y r = 3.

2 Calcule la suma∑10

i=0 3(12)k.

3 Se hace un deposito de $50 el primer dıa de cada mes enuna cuenta de ahorros que paga 6 % de interes compuestomensualmente. ¿Cual es el monto al termino de 2 anos?(Nota: Este tipo de plan de ahorros se denominaanualidad creciente.)




Series Geometricas

Definicion: La suma de los terminos de una sucesiongeometrica infinita se denomina serie geometrica infinita o,simplemente, serie geometrica.

Nota: La formula para la n− esima suma parcial, Sn de unasucesion geometrica finita, dependiento del valor de r, se puedegeneralizar para obtener una formula para la suma S de unaserie geometrica infinita. Especıficamente, si la razon comun rtiene la propiedad |r| < 1 se puede demostrar que rn tiende acero si n aumenta sin lımite. Como consecuencia,

a1(1−rn1−r ) −→ a1(

1−01−r ), si n−→ +∞




Series Geometricas

Suma de una Serie Geometrica infinita:

Si |r| < 1, la serie geometrica infinita

a1 + a1r + a1r2 + a1r

3 + ...

tiene por suma

S =∑∞

i=0 a1ri = a1

1−r

Nota: Si |r| ≥ 1, la serie no tiene suma.




Series Geometricas

Ejercicios: Determine cada suma:

1∑∞

n=0 4(0.6)n−1

2 3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...

3 1− 12 + 1

4 −18 + . . .


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