reglas para el cálculo de límites propiedades de los límites la regla del sandwich ejemplos
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Reglas para el Cálculo de Límites
Propiedades de los límitesLa regla del SandwichEjemplos
Límites de Funciones
Definición
Una función f tiene el límite finito L en el punto x0 si los valores f(x) se aproximan al número finito L cuando x se acerca a x0.
Esta definición se aplica con modificaciones al caso de límites infinitos en puntos finitos y en el caso de límites en el infinito (positivo y negativo).
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
Propiedades de los límites
Supongamos que y sea c R.
limx x0
f x a limx x0
g x b
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
44
0
flim suponiendo que 0.
gx x
x ab
x b
33 limx x0
f x g x ab
22 limx x0
c f x ca
11 limx x0
f x g x a b
Propiedades de los límites
La regla del SandwichLa regla del Sandwich
Si , entonces
existe y
limx x
0
g x a. limx x
0
g x
Supongamos que en números “próximos” a x0, no necesariamente el x0, se verifica f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
limx x
0
f x limx x
0
h x a
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
h
f
g
La Regla de Sandwich gráficamenteLa Regla de SandwichLa Regla de Sandwich
, entonces existe,
y limx x
0
g x a. limx x
0
g x Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) cerca de x0, y
limx x
0
f x limx x
0
h x a
Los valores de la función g cerca del punto x0 están acotados entre los valores de las funciones f y h. Por tanto g tiene el mismo límite que h y que f.
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
Cómo Calcular Límites (1)
Métodos para calcular límites:
1. Si la función f está definida por una expresión algebraica que tiene un valor finito en el punto, entonces este valor finito es el límite.
2. Si la función f está definida por una expresión cuyo valor es una indeterminación en el punto, entonces o se reescribe la expresión o se usa la regla del sandwich .
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
Cómo Calcular Límites(2)
EjemplosEjemplos
11 limx1
x 1
1 x2
1 1
1 120
22
21
1s n
lim1 cosx
ex
x
2
s n 1
1 cos 1
e
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
Cómo Calcular Límites (3)Ejemplo que requiere reescribir la funciónEjemplo que requiere reescribir la función
11
limx 0
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para librarse de las raíces cuadradas del denominador.
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
limx 0
x
1 x 1 x
Cómo Calcular Límites (4)Ejemplo que requiere reescribir la funciónEjemplo que requiere reescribir la función
11
limx 0
x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2
limx 0
x 1 x 1 x 1 x 1 x
limx 0
x 1 x 1 x 2x
lim
x 0
1 x 1 x 2
1
limx 0
x
1 x 1 x
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
Cómo Calcular Límites (5)Aplicación de la Regla de Sandwich Aplicación de la Regla de Sandwich
11
0
1lim s nx
x ex Para todo α, -1 ≤ sen(α) ≤ 1.
Por tanto para todo x ≠ 0.
1s nx x e x
x
Como , podemos usar la
Regla de Sandwich para afirmar que
limx 0
x limx 0
x 0
0
1lim s n 0.x
x ex
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
Sin Límite
EjemploEjemplo
La función f no tiene límite en x=0 ya que cerca de x=0 la función f toma cualquier valor entre -1 y 1.
Sea
1s n , 0
f
0, 0
e xx x
x
Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.
Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä
Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa