1

INTRODUCCION AL ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Para el anlisis de estructuras matricialmente hay dos tipos de mtodos generales: el de la flexibilidad o de Las Fuerzas donde las incgnitas son fuerzas redundantes en la estructura, que se obtienen a partir de una matriz llamada de flexibilidad, que puede variar de acuerdo a las redundantes seleccionadas, cuyos trminos son desplazamientos producidas por fuerzas unitarias y el mtodo de Rigidez, donde las incgnitas son desplazamientos o deformaciones, que se obtienen a partir de una matriz llamada de Rigidez de la estructura, que es nica para cada estructura, cuyos trminos son desplazamientos producidos por fuerzas unitarias. Debido a esto es un mtodo que lo hace programable. Dentro de este mtodo de rigidez utilizado para la resolucin de estructuras indeterminadas en el campo de Ingeniera Civil, se ha desarrollado el mtodo de Rigidez Directa, que explicamos a continuacin. METODO DE RIGIDEZ DIRECTA En general, aplicando el mtodo de superposicin descomponiendo el sistema original en la suma de dos sistemas como se indica a continuacin:

*

*

+

FE

SISTEMA ORIGINAL SISTEMA PRIMARIO

SISTEMA

Con desplazamientos Sistema Inmovilizado COMPLEMENTARIO

En las Juntas: Con Elementos de Sujecin Con cargas Equivalentes eF

D En las Juntas que y desplazamientos de

Definen EF

las juntas iguales al original D Donde:

* Sistema de cargas actuantes FE Fuerzas de Empotramientos lineales y momentos (ME) Fe Fuerzas Equivalentes iguales y de sentido contrario a las de empotramiento = -FE S.C.G. Es el sistema de coordenadas globales seleccionado para toda la estructura.

Fe

S.C.G

2

Los Sistemas primario y complementario tienen las mismas dimensiones y caractersticas fsicas que el original. Para un elemento o miembro cualquiera de la estructura se tiene que la posicin inicial y final una vez aplicadas las cargas son en el plano o espacio de dos dimensiones:

1 S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera)

5 3 6 j Posicin deformada del miembro i i j despus de aplicar las cargas reales.

y S.C.L. 2 Li j=L(Longitud del miembro)

o x i j Posicin inicial del elemento o miembro 4

En el espacio seran 12 desplazamientos en lugar de 6, seis en cada extremo: tres lineales y tres angulares. S.C.L. Es el Sistema de Coordenadas Locales para cada miembro en el que el eje x coincide con la direccin del eje del elemento. Aplicando el principio de superposicin se podra decir que este caso sera igual a la suma de los dos casos siguientes:

S.E.

+

Sistema (0) Posicin inmovilizada Con fuerzas de Empotramiento en los Extremos del miembro

FE

1

2

3

4

5

6

Sistema Complementario con deformaciones iguales al caso real. Se puede superponer como la suma de seis casos suplementarios, uno por cada desplazamiento.

3

Las fuerzas Fi en el sistema original real sern aplicando el principio de superposicin igual a la suma de las fuerzas de empotramiento EiF en el sistema (0) mas las fuerzas en los otros seis sistemas multiplicadas por los desplazamientos correspondientes, i ki.j , es decir: F1 = EF1 + 1k1,1 + 2 k1,2 + 3 k1,3 + 4 k1,4 + 5 k1,5 + 6 k1,6 F2 = EF2 + 1k2,1 + 2 k2,2 + 3 k2,3 + 4 k2,4 + 5 k2,5 + 6 k2,6

F2 = EF2 + 1 k6,1 + 2 k6,2 + + 6 k6,6 Expresada en nomenclatura matricial es:

ijiE

ie

iE

ii kFFFF , Para: i=1,2...6 ; j=1,26 Donde: Ki,j SON LOS VALORES DE LAS FUERZAS EN LA DIRECCION i, PRODUCIDOS POR UN DESPLAZAMIENTO UNITARIO EN LA DIRECCION j Y SE LLAMAN FACTORES DE RIGIDEZ.

Lektambinjik , Es la matriz formada por todos los factores de rigidez del elemento

considerado y en coordenadas locales. Como ejemplo para determinar los factores de rigidez, consideremos el caso de un desplazamiento angular unitario en el extremo i, es decir, en la direccin de 3 y para un miembro de eje recto:

K5,3

K1,1

K2,1 K3,1

K4,1

K5,1

K6,1

Sistema (1)

1

1 +

K2,2 K3,2

K4,2 K6,2 K1,2

K5,2

1

Sistema (2)

K2,3 K3,3

K4,3 K6,3 K1,3

K5,3 Sistema (3)

1

3 +

1

Sistema (4)

4 +

Sistema (6) 6 1

Sistema (5) 5 + +

1

2

K2,3 K3,3 K6,3 K1,3

i = 1 K4,3

4

Por equilibrio: y no hay fuerzas horizontales k1,3 = k1,6 = 0

k 2,3 = - k 5,3 = (k3,3 + K6,3)/L = )( CC

LEk

io

De tal manera que la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales (S.C.L.), L

ek es:

kjijkjikserPorbjtSimtrica

Rakijbikibjtbit

RaRa

LjikLek

..........

..

...

..................

0....0................................0...........................0.................

0....0.......0...0...

.

654321

extremootroenRotacinejeallarPerpendicu

ejedelDireccinextremounenRotacin

ejeallarPerpendicuejedelDireccin

......

....

....

......

....

....

6......5......4.......3.....2....1

LEAC

LEARaDonde A0: L

EICL

EIki i4

; 0 1er valor para

LEIC

LEIkj j

40

LEIC

LEIkij 2; 0 secciones variables

220 6)(

LEICC

LEIbi i 22

0 6)(;lEICC

LEIbj j 2do valor para

312)(

LEI

Lbjbi

t secciones constantes

Si se tiene un extremo articulado los valores para el extremo no articulado son:

LEI

CCC

LEIki

ji

320

Lkibi; 2; L

kit y para el articulado kj=bj=0

Para obtener la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales o generales, S.C.G. para toda la estructura es necesario tener presente la nomenclatura y convenciones de la siguiente figura:

Aplicando las ecuaciones de rotacin o cualquier otro procedimiento, como el primer Teorema de Castigliano, la derivada parcial de la energa de deformacin con respecto a un desplazamiento es igual a la fuerza en la direccin del desplazamiento, se obtiene: K3,3 = E Ko ji CxC 1 = E Ko Ci ( j = 0) K6,3 = E Ko 1CxxC jj = E Ko C

5

Donde se definen como: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Las Numeraciones de las direcciones positivas de fuerzas y desplazamientos en S.C.L. 3i-2, 3i-1, 3i, 3j-2, 3j-1, 3j Las Numeraciones de las direcciones positivas de fuerzas y desplazamientos Generales para toda la estructura en S.C.G seleccionado.

= Es el ngulo entre los dos sistemas S.C.G. y S.C.L. formado entre las direcciones positivas de los ejes x del S.C.G. hacia el del S.C.L. Los dos sistemas se relacionan con la matriz de transformacin siguiente:

1......................

1....t

t

T cos......

....cos:

sen

sentDonde

Busquemos una expresin que relaciona la matriz de rigidez de un elemento en S.C.G. ,es decir, Gek , y la misma matriz pero en S.C.L., es decir, Lek , Se tiene por transformacin de coordenadas:

Le

Ge FTF (a), vlida por equilibrio, LeGe T (b) , vlida por

compatibilidad de deformaciones y por definicin de matriz de rigidez, relacin fuerzas desplazamientos:

Le

Le

Le kF (c) de tal manera que premultiplicando ambos trminos de (b)

por 1T resulta:

Le

Ge TTT 11 operando L

e

GeT 1 y al sustituir esta expresin en (c) y

la que se obtiene en (a) resulta: GeLeGe TkTF 1 Por definicin de matriz de rigidez se puede decir que la matriz de rigidez en S.C.G. ser: 1TkTk LeGe Se hace notar que TTT 1 por ser una transformacin ortogonal. Al efectuar lo que indica esta ltima expresin matricial se obtiene la matriz de rigidez de un elemento cualquiera en coordenadas globales, como se indica a continuacin:

S.C.G.

S.C.L.

4 J 6 3j-1 3j

5 3j-2

2 3 3i-1 3i 1 i

3i-2

6

Numeracin Local de los Desplazamientos(Grados de Libertad) Numeracin Global de los Desplazamientos(Grados de libertad)

kjcbjtcRassbjcstcsRatsRacSimtricaMatrzkijcbisbiki

cbjtcRascstcsRacbitcRassbjcstcsRatsRacsbicstcsRatsRac

kkGjiG

e

....................................................................................................................

)............(................................................................................).........)......(..(.................................

....................................................................................................

))......()....()....()....(....(....................))......()....()...()...()....((

22

22

2222

2222

.

)3....(6)13....(5)23....(4

)3....(3)13....(2)23....(1

jjjiii

1 2 3 4 5 6 (3i-2) (3i-1) (3i) (3j-2 ) (3j-1) (3j) La expresin matricial en coordenadas globales para toda la estructura, sumando las fuerzas de cada sistema, inmvil y complementario, es:

GiGjiGE

iGe

iGE

iGi KFFFF , Donde:

Gi

= Es la matriz columna formada por los desplazamientos generales de la estructura desconocidos en coordenadas globales.

Gjik , = ES LA MATRZ DE RIGIDZ para toda la estructura en coordenadas globales, que SE OBTIENE SUMANDO TODAS LAS CONTRIBUCIONES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO EN S.C.G. PARA EL MISMO ELEMENTO QUE IDENTIFICA EL DESPLAZAMIENTO EN NUMERACION EN S.C.G. De tal manera que la matriz de rigidez es una matriz cuadrada de orden igual al nmero de desplazamientos globales.

GE

iF = matriz columna de fuerzas de empotramiento en cada direccin de los desplazamientos generales correspondientes de la estructura en S.C.G.

Ge

iF = matriz columna de fuerzas equivalentes en cada direccin de los desplazamientos generales correspondientes de la estructura en S.C.G. = - G

EiF

En el sistema complementario se tiene en coordenadas globales GiGjiGe

i kF , Por lo que premultiplicando por el inverso de la matriz de rigidez en S.C.G. para toda la estructura se obtienen los desplazamientos desconocidos:

GiFGjikGi1

,

con lo que queda resuelto el problema y se aplican las ecuaciones para

cada elemento en coordenadas globales y/o locales para obtener las fuerzas totales para cada elemento en la direccin de los desplazamientos correspondientes:

GiGikGE

iFGeiFG

EiFGiF

GiGikTTLEiFL

eiFL

EiFliF

7

CASOS ESPECIALES DE MATRICES DE RIGIDEZ

PARA VIGAS: Se desprecian los efectos de fuerza axial y rotacin como cuerpo rgido, es decir, los trminos Ra = bi = bj = t = 0 al hacerse nulos queda una matriz efectiva de 2 x 2, a saber:

kj

kijkijKi

k Lv

PARA PASADORES: Son miembros articulados en un solo extremo y en este extremo designndolo como el i se hacen ki = bi = 0

PARA MIEMBROS ARTICULADOS EN LOS DOS EXTREMOS: Como son armaduras (Traccin y compresin) y tirantes (Solo traccin) . Al existir solo esfuerzos axiales los trminos t = ki = kij = bi = bj = 0 y el nico trmino distinto de cero es Ra 0

8

EJERCICIO DEL METODO DE RIGIDEZ DIRECTA

1.- Numeral convenientemente las juntas:

La menor diferencia posible entre dos juntas convexas, para procesos computarizados, a fin de reducir el ancho de la banda de la matriz de rigidez a invertir, con elementos distintos de cero.

2.- Indicar y asignar los desplazamientos desconocidos en la estructura global:

En el sistema de coordenadas globales (S.C.G.) seleccionando para toda la estructura

Nota: Todos los miembros son de eje recto y seccin constante.

EI=1020 T-m2 EI/h=3400 T-m2 EA= 1.35x10-5 T E=2x106 T/m2

Excepto el tirante: E=2x106 T/m2

5101xt C-1

t =40

Ct=

20

C

Numeracin de los desplazamientos en funcin de la junta o nodo para programacin por computador.

Nota: Los 7 desplazamientos desconocidos para procedimientos manuales se pueden llamar en orden numrico comenzando por 1, es decir

4 = 1 , 5 = 2 , 6 = 3 7 = 4 , 8 = 5 , 13 = 6 14 = 7

i

9

3.- Determinacin de la Matriz de Rigidez en S.C.G. para cada miembro de la estructura.

De los 6x6 factores solo se consideran los que intervienen en los desplazamientos desconocidos como se efecta a continuacin:

kjcbjtcRassbjcstcsRatsRacSimtricaMatrzkijcbisbiki

cbjtcRascstcsRacbitcRassbjcstcsRatsRacsbicstcsRatsRac

kkGjiG

e

....................................................................................................................

)............(................................................................................).........)......(..(.................................

....................................................................................................

))......()....()....()....(....(....................))......()....()...()...()....((

22

22

2222

2222

.

1 2 3 4 5 6 (3i-2) (3i-1) (3i) (3j-2 ) (3j-1) (3j)

LEAC

LEARaDonde A0: L

EICL

EIki i4

; 0 1er valor para

LEIC

LEIkj j

40

LEIC

LEIkij 2; 0 secciones variables

220 6)(

LEICC

LEIbi i 22

0 6)(;lEICC

LEIbj j 2do valor para

312)(

LEI

Lbjbi

t secciones constantes

Si se tiene un extremo articulado los valores para el extremo no articulado son:

LEI

CCC

LEIki

ji

320

Lkibi; 2; L

kit y para el articulado kj=bj=0

)3....(6)13....(5)23....(4

)3....(3)13....(2)23....(1

jjj

i

i

i

10

Miembro 1-2

Miembro 2-3

L=5

cm

i

j

81688.74625.1731584.1951291367.9782

21 GK4

5

6

4 5 6

C=0 S=1

Ra = 90000 Ki = 2040 bi = 1360 = Ki/L t = 906.67 = Ki/L2

= 90

90000067.906013602040

900000090000067.9061360067.906

32 GK

4 5 6 7 8 4

5

6

7

8

2

3

i

j

11

Miembro 4-2

Miembro 6-5

Miembro 5-3

C=0 S=1

Ra = 33750 Kj = 1020 bj = 382.5 t = 191.25

= 90

1020033750

5.382025.19142 GK

4 5 6

4

5

6

4

2

i

j

C=0 S=1

Ra = 33750 t = 47.81

= 90

33750081.47

65 GK

13 14

13

14

6

5

i

j

4.0 447.40250

2.0 4472.05

1

8.0 8944.05

2

2

2

csRa

ss

cc

3 j

5 i

8050161003220032200161008050

16100322001610032200

43 GK

7 8 13 14

13

14

7

8

12

Miembro 2-5 Tirante (Solo traccin)

4.- Matriz de Rigidez para toda la estructura en S.C.G.

Se suman todas las contribuciones de los miembros para el mismo desplazamiento.

2 i 5 j

350035003500

35003

)105(101.2

42

77

GK

xx

LEAoRa

4 13

4

13

418008050

33750

16100

81.5747350032200

81.47

3220016100980508050

90000

16100322001610067.33106

3220067.906

0001360

387610202040

16

0090000088.146

25.1410653375090000

25.17315

03500067.906

66.78150.382

136084.195

12913

59.143803500

25.19167.906

67.9782

GK

13

5.- Determinar Fuerzas Equivalentes en los nodos en S.C.G., que son las fuerzas de empotramientos.

Si hay cambios de temperatura ( t) y to, desplazamientos en los apoyos, acortamientos o alargamientos de miembros, tambin se les buscan sus fuerzas de empotramiento y fuerzas equivalentes. Se hace miembro a miembro en S.C.G.

Miembro 1-2

Por to fuerza axial (compresin = PE) descompuesta en la direccin de VE Y HE

PE VE

HE

Tmxxxh

EIttMM

TxqlVV

TmqlMM

EE

EE

EE

68.03400)4020(101)(C 20 ti

C 30 2

4020 neutro) eje(En to

C 40 tera temperatude cambioPor

32

322

5.112

)3)(2(12

T/m 2 Vertical CargaPor

52112

2112

22

2112

1

2

t=40

Ct=2

0 C

VE21

HE21

ME21

HE12

VE12

ME12

T 4.32535.40

54

T 3.24535.40

53)103(1035,1

53

01221

21

4501221

ttEAVV

xH

xxttEAHH

EE

E

EE

14

Fuerzas de empotramiento totales en el miembro 1-2

T 3.24]3.24[21H T 4.35]4.323[21V

T 82.0]68.5.1[21M T 3.24]3.24[21H

T 4.29]4.323[12V T 82.0]68.05.1[12M

Miembro 3-5

Miembro 5-6

1.5 T = EV 5.3

T 5.13553 EE VV

3 T

1.5 T = EV 35

1 Tm

0.375 = EH 65

-0.375 = EH 56

0.5 Tm = EM 56

15

Cargas equivalentes en la estructura

Vector de cargas Equivalentes en la Direccin de Desplazamientos Desconocidos en S.C.G.

5.1375.05.1

082.0

4.296.16

14

13

8

7

6

5

4

FFFFFFF

F

FFF

Ge

juntasE

Ge

16

6.- Resolver sistema de ecuaciones siguientes:

GGG KF

Por inversa de matriz, eliminacin de Gauss o Cualquier otro.

GGG FK1

14

13

8

7

6

5

4

G

7.- Hallar las fuerzas en los extremos de cada miembro (Fuerzas definitivas)

GGEGG

d eKeFeF

Nota: La matriz GK y 1

GK sirve para cualquiera GF es decir para cualquier sistema de cargas