análisis matricial de estructuras

Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Civil

PRINCIPIOS COMPUTACIONALES EN INGENIERIA Profesor: Ing. Víctor Rojas

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

1. GENERALIDADES

→ Representar mediante un modelo matemático un sistema físico real.

→ El propósito del análisis es determinar la respuesta del modelo matemático que está sometido a un

conjunto de cargas dadas o fuerzas externas.

→ Respuesta:

ü esfuerzos, deformaciones

ü propiedades de vibración

ü condiciones de estabilidad

→ Cargas:

ü cargas estáticas (independientes del tiempo)

ü cargas dinámicas (interviene el tiempo)

ü generadas por cambios de temperatura (representada como carga)

→ Para el problema estático:

2. TIPOS DE IDEALIZACION

A) ESTRUCTURAS RETICULARES

→ Formada por elementos unidimensionales unidos en ciertos puntos llamados nudos.

→ Se clasifican según la disposición (geometría) de elementos y tipos de unión:

⊗ Por geometría y aplicación de carga: PLANAS y ESPACIALES.

⊗ Por el tipo de conexión: ARMADURAS y PORTICOS RIGIDOS.

armadura viga continua

GEOMETRIA

PROP. FISICAS

x

y

MODELO

MATEMATICO

ACCIONES

EXTERNAS

ESTATICAS

ANALISIS

ESTRUCTURAL

FUERZAS

(ESFUERZOS)

DESPLAZAMIENTOS

(DEFORMACIONES)



retícula espacial parrilla

en las estructuras reticulares se cumple:

B) ESTRUCTURAS CONTINUAS

Ejemplo: cascarones, placas, sólidos de revolución, etc.

→ El análisis se realiza mediante el Método de los Elementos Finitos.

→ Los elementos a considerar no son lineales, tienen otras características.

triangular cuadrangular cuadrangular

3 nudos 4 nudos 8 nudos

L >> B, H

LH

B

y

z

x



3. PRINCIPIOS DEL ANALISIS

A) COMPATIBILIDAD

Los desplazamientos nodales deben ser consistentes.

B) RELACION FUERZA-DEFORMACION

Ley constitutiva del material.

P = k ∆

PAE

L=

∆

C) EQUILIBRIO

Toda las estructuras o cualquier parte de ella debe estar en equilibrio bajo la acción de cargas

externas y fuerzas internas.

Equilibrio de una porción de la estructura

Equilibrio de todo el sistema

Equilibrio del elemento Equilibrio del nudo

Hooke (Ley constitutiva para

materiales elásticos)

CARGAS

EXTERNAS

REACCIONES

θθ

j'i

j

i'

L

∆P

A, E, k

P2

P1

P2

P1

W

P2

P1



D) CONDICIONES DE BORDE

Caso particular de los principios de compatibilidad y equilibrio.

→ Por compatibilidad:

Condiciones de borde geométricas o cinéticas.

→ Por equilibrio:

Condiciones de borde naturales o físicas.

4. SISTEMAS DE COORDENADAS

A) SISTEMA LOCAL DE REFERENCIA

El sistema local de referencia es propio para cada elemento e independiente uno del otro.

Elemento en

el espacio

1

2

3

X3

3

2

1

X2

X1

Y2

Y3

Y1

ZL

XL

YL



B) SISTEMA GLOBAL DE REFERENCIA

5. GRADOS DE LIBERTAD

Armadura espacial Pórtico plano

Parrilla Pórtico espacial

ZG

YG

XG

Ux

2 G.L. / nudoArmadura

plana

Uy

3 G.L. / nudo

θz Ux

Uy

x

y

z

Ux

Uy

Uz

3 G.L. / nudo

6 G.L. / nudo

θy

θxδz

x

zy



6. CONVENCION DE SIGNOS

7. COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS

A) DEL PUNTO DE VISTA DEL MATERIAL

⊗ ELASTICO E INELASTICO

(+)

(+)

X

Y

My, θy

Mx, θx

Mz, θz

Fz, Uz

Fx, Ux

Fy,

Z

X

Y

E

L

A

S

T

I

C

O

I

N

E

L

A

S

T

I

C

O

P

Ur

Uf

Carga

Uf

Descarga

(elástica)

Inelástica

U

Ur

P



⊗ COMPORTAMIENTO LINEAL Y PIEZO-LINEAL

⊗ PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Para una estructura elástica-lineal

U

UfUo

P

K

K2

K1

P

P

U

P2P1

Pf

+

U2U1

=

Uf

P2P1

f

2

1

P

P

P



B) DEL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRIA

⊗ LINEAL: Deformaciones pequeñas

⊗ NO-LINEAL:

Deformaciones apreciables, se alteran los esfuerzos inducidos en la estructura.

8. INDETERMINACION ESTATICA Y CINEMATICA

A) INDETERMINACION ESTATICA

(grados de indeterminación o número de redundantes)

Se refiere al número de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externos y/o internos que deben

liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada.

B) INDETERMINACION CINEMATICA

(grados de libertad)

Se refiere al número de componentes de desplazamiento de nudo (traslación, rotación) que son

necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuración deformada del sistema.

Grado de Grado de

Indeterminación Indeterminación

Estática Cinemática

6 - 3 = 3º 3º

Estructura con

geometría inicial

(sin cargas)

Estructura deformada

(con cargas aplicadas)

Posición de equilibrio

α ≠ β(geometría no lineal)

U

θ2θ1

α

∆

H

H - ∆

P

β



Pórtico con

deformación

axial

G.I.E. = 8 - 3 = 5

G.I.C. = 5 x 3 + 1 = 16

9. METODOS DE ANALISIS

A) METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES

(grado de indeterminación estática)

En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática

determinada y estable.

Luego, se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y

debe resolverse un sistema de ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se

aplica la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.

B) METODO DE LAS RIGIDECES O DESPLAZAMIENTOS

(grado de indeterminación cinemática)

En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de

todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias

para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a

resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero se aplica el principio de

compatibilidad y luego el de equilibrio.

Pórtico sin

deformación

axial

G.I.C = 8 (θ1 a θ6, U1, U2)

U1 U1 U1

U2 U2



A) METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES

⊗ Equilibrio: Resolver cada sistema simple.

⊗ Compatibilidad.

θA = θAo

+ θA(1) × MA + θA

(2) × RB

δB = δBo

+ δB(1) × MA + δB

(2) × RB

0

0

=

=

+

×

θδ

θδ

θ θδ δ

A

B

A

B

A A

B B

MA

RB

o

o

(1) (2)

(1) (2)

θ θδ δ

θδ

A A

B B

MA

RB

A

B

(1) (2)

(1) (2)

o

o

×

= −

B × R = U

R = Vector de fuerzas redundantes

B = Matriz de flexibilidad

U = Vector de desplazamientos

G.I.E. = 5 - 3 = 2

Estructura real

Estructura primaria

(estática y estable)

soluciones

complementarias

P1 P2

MA

A B C

RB

θAo δB

o

A B C

P1 P2

× MA

1.0

(1)

θA(1) δB(1)

(2)

θA(2) δB(2)

1.0

× RB



B) METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS O RIGIDECES

⊗ Compatibilidad: Determinación de cada sistema.

⊗ Equilibrio.

0 = SBo

+ SB(1) × θ1 + SB

(2) × θ2

0 = SCo

+ SC(1) × θ1 + SC

(2) × θ2

0

0

=

+

×

SB

SC

SB SB

SC SC

o

o

(1) (2)

(1) (2)

1

2

θθ

SB SB

SC SC

SB

SC

(1) (2)

(1) (2)

o

o

1

2

×

= −

θθ

K × U = P

P = Vector de cargas nodales

K = Matriz de rigidez

U = Vector de desplazamientos nodales

G.I.C. = 2

Estructura real

Estructura primaria

(se bloquean los

desplazamientos)

Soluciones

complementarias

P2 θ2θ1P1

CB

A

SBo SC

o

P2P1

× θ1

× θ2

1.0

(1)

(2)

SB(1)

SB(2)

SC(1)

SC(2) 1.0



10. EJEMPLO: METODO DE RIGIDECES EN RESORTES COLOCADOS EN SERIE

A) Relación de compatibilidad deformación-desplazamiento:

ε1 = U2 - U1

ε2 = U3 - U2

ε3 = U4 - U3

B) Relación de constitutivas:

F1 = K1 ε1

F2 = K2 ε2

F3 = K3 ε3

C) Relación de equilibrio:

P1 = - F1

P2 = F1 - F2

P3 = F2 - F3

P4 = F3

Introduciendo las relaciones de compatibilidad en las ecuaciones constitutivas:

F1 = K1 (U2 - U1)

F2 = K2 (U3 - U2)

F3 = K3 (U4 - U3)

1

3

2

1

2

3

44

U1

U2

U3

U4

F1

F1

F1

P1

F2 F1

F2 P2

K1, ε1

F3

F3

F2F3 P3

F2

F3

P4

K2, ε2

K3, ε3



Ingresando estas últimas expresiones en las relaciones de equilibrio:

P1 = - K1 (U2 - U1)

P2 = K1 (U2 - U1) - K2 (U3 - U2)

P3 = K2 (U3 - U2) - K3 (U4 - U3)

P4 = K3 (U4 - U3)

ordenando matricialmente:

P

P

P

P

K K

K K K K

K K K K

K K

U

U

U

U

1

2

3

4

1 1

1 1 2 2

2 2 3 3

3 3

1

2

3

4

=

−

− + −

− + −

−

×

0 0

0

0

0 0

D) Introduciendo las condiciones de borde:

P

P

P

P

K K

K K K K

K K K K

K K

U

U

U

U

1

2

3

4

1 1

1 1 2 2

2 2 3 3

3 3

1

2

3

4

=

−

− + −

− + −

−

×

0 0

0

0

0 0

R

P

K K

K K

Uo

U

=

×

I, I I, II

II,I II, II

donde:

Uo

= desplazamientos conocidos o prescritos

U = desplazamientos incógnitas

R = reacciones de apoyos

P = cargas externas

Por lo tanto, la representación del sistema de ecuaciones se puede realizar como sigue:

R = K I,I × Uo

+ K I,II × U

P = K II,I × Uo

+ K II,II × U

En este caso, como Uo

= 0, (U1 = 0)

R = K I,II × U

P = K II,II × U ← a resolver



Finalmente,

P

P

P

K + K - K 0

- K K + K -K

0 - K K

U

U

U

2

3

4

1 2 3

2 2 3 3

3 3

2

3

4

=

×

Se resuelve el sistema de ecuaciones, obteniendo U2, U3 y U4 como resultados.

Para determinar las fuerzas en los elementos, se utilizan las relaciones constitutivas:

F1 = K1 (U2)

F2 = K2 (U3 - U2)

F3 = K3 (U4 - U3)

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO RESORTE

En el caso de análisis lineal se cumple FiUi

=∂∂U

donde:

U = ½ F ε = ½ F (U2 – U1)

de la relación constitutiva se tiene:

F = K (U2 – U1)

entonces:

U = ½ K (U2 – U1)2 = ½ K (U22 – 2 U2 U1 + U1

2)

si se considera:

2211 UKiUKiFiUi

×+×==∂∂U

ε

F U = ½ F ε(energía de deformación)

U1

U2

K



se tiene:

K)-U(U

121

×=∂∂

+ UU

K)UU(U

122

×=∂∂

−U

determinando la derivada parcial Uj∂∂

de la expresión anterior se tiene:

∂∂

∂∂

=UiUj

kijU

entonces, se determinan los valores de kij:

KUjUi

kk2

2112 −=∂∂

∂= =

U

KU

k2

1

2

11 =∂

∂=U

y KU

k2

2

2

22 =∂

∂=U

−

−=

=

KK

KK

KK

KK

2221

1211K

Para el ejemplo, se tienen tres resortes:

−

−=

11

111

KK

KKK ,

−

−=

22

222

KK

KKK y

−

−=

33

333

KK

KKK

Se ensambla la matriz de rigidez del conjunto, como sigue:

KT =

33

3322

2211

11

KK-00

K-K+KK-0

0K-K+KK-

00K-K

Luego, se introducen las condiciones de borde (apoyos). Se tiene que U1 = 0, así, se elimina la primera fila

y columna de la matriz de rigidez KT, obteniéndose finalmente:

KT =

33

3322

221

KK-0

K-K+KK-

0K-K+K

.

1 2 3

1

2

3

4

4



11. EJEMPLO: METODO DE RIGIDECES PARA ARMADURAS PLANAS

A) MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

Posición inicial Posición deformada

De la geometría inicial de la barra se pueden obtener las siguientes expresiones:

∆X = Xj - Xi

∆Y = Yj - Yi

L X2 Y2= +∆ ∆

CxX

L=

∆, Cy

L

Y=

∆

De la posición deformada de la barra, se conoce que la deformación ε de la barra esta dada por la

expresión:

ε =NL

EA

la geometría de la barra en esta posición expresa los desplazamientos como sigue:

U' i = U1 Cos θ + U2 Sen θ = Cx U1 + Cy U2

U' j = U3 Cos θ + U4 Sen θ = Cx U3 + Cy U4

La deformación se puede expresar como:

ε = −(U' U' ) =NL

EAj i

3

2

1

X

4

Y

j

i

X'

θ θ

Uj'

Ui'

U3

U4

U2

U1



por lo tanto, despejando N se tiene:

N =EA

L(U' U' )j i−

N =EA

L[ ( Cx U3 + Cy U4 ) - ( Cx U1 + Cy U2 ) ]

N =EA

L[ Cx ( U3 - U1 ) + Cy ( U4 - U2 ) ]

Por otro lado, la energía de deformación U está dada por la siguiente expresión:

U =

1

2V

( x x y y + z z + xy xy + xz xz + yz yz ) dV∫ +σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ

para la barra recta sometida a carga axial, se cumple:

σxN

A= σ σy y = 0= τ τ τxy xz = yz = 0=

reemplazando los términos de la integral, se tiene:

U =

1

2V

N

A

N

AEdV∫

U =

1

2L

N

A

N

AE( dA

A

) dx∫ ∫ =

N2

2AEdx

L∫

como la variación de U con respecto a los desplazamientos está dada, en este caso, por la expresión:

∂∂U

Ui= ki1 × U1 + ki2 × U2 + ki3 × U3 + ki4 × U4 .

La matriz de rigidez del elemento esta dada por la expresión:

K =

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

donde, kij = ∂

∂ ∂

2 U

Ui Uj



entonces:

kij = ∂

∂∂

∂Uj Ui

N2

2EAL

dx∫

= ∂

∂∂∂Uj

2NN

Ui

1

2EAL

dx∫

kij = ∂∂

∂∂

N

Ui

N

UjL

dx

EA∫

operando, se tiene:

∂∂

N

U

EA

LCx

1= −

∂∂

N

U

EA

LCx

3=

∂∂

N

U

EA

LCy

2= −

∂∂

N

U

EA

LCy

4=

A manera de ejemplo, se determinan los términos K11 y K12 como sigue:

k11 = ∂∂

∂∂

N

U

N

UL

dx

EA1 1∫ = −

∫

EA

LCx

2dx

EAL

= EA

LCx2

k12 = ∂∂

∂∂

N

U

N

UL

dx

EA1 12∫ = −

−

∫

EA

LCx

EA

LCy

dx

EAL

= EA

LCx Cy

por lo tanto:

K =

− −

− −

− −

− −

EA

L

Cx2 CxCy Cx 2 CxCy

CxCy Cy 2 CxCy Cy2

Cx2 CxCy Cx2 CxCy

CxCy Cy2 CxCy Cy2

KS S

S S=

−

−

EA

L

siendo:

S =

Cx2

CxCy

CxCy Cy2



B) SISTEMA DE ECUACIONES DEL EQUILIBRIO EN EL ELEMENTO

F

F

F

F

EA

L

Cx2 CxCy Cx2 CxCy

CxCy Cy 2 CxCy Cy 2

Cx2 CxCy Cx 2 CxCy

CxCy Cy2 CxCy Cy2

U

U

U

U

1

2

3

4

1

2

3

4

=

− −

− −

− −

− −

×

C) EJEMPLO DE APLICACION

Determinar los desplazamientos,

fuerzas en los elementos y reaccio-

nes en los apoyos de la estructura

mostrada, si se sabe que:

E = 2.1×106 kgf/cm2

A = 10 cm2

F3

F1

F4

F2

i

j

300 cm

2000 kgf

X

Y

300 cm

(1)

(5)

(6)

(2)

(3) (4)

X

Y

U7

U8

U5

U6

U1

U2U4

U3

1

4

3

2 (1)

(5)

(6)

(2)

(3) (4)

U4

V4

U3

V3

U1

V1V2

U2

1

4

3

2



⊗ MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

Elemento (1) :

∆x = 300 - 0 = 300

∆y = 0 - 0 = 0

L = 300

Cx = 300

3001=

Cy = 0

3000=

70000300

10102.1

L

EA 6

=××

=

Elemento (2) :

∆x = 300 - 0 = 300

∆y = 300 - 300 = 0

L = 300

Cx = 300

3001=

Cy = 0

3000=

70000300

10102.1

L

EA 6

=××

=

K(1) 70000

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

=

−

−

K (2)

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

=−

−

70000

X'

U2

V2

U1

V1

1 2

X'

U4

V4

U3

V3

3 4



Elemento (3) :

∆x = 0 - 0 = 0

∆y = 300 - 0 = 300

L = 300

Cx = 0

3000=

Cy = 300

3001=

70000300

10102.1

L

EA 6

=××

=

Elemento (4) :

∆x = 300 - 300 = 0

∆y = 300 - 0 = 300

L = 300

Cx = 0

3000=

Cy = 300

3001=

70000300

10102.1

L

EA 6

=××

=

K (3) 70000

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

=−

−

K (4) 70000

0 0 0 0

0 1 0 -1

0 0 0 0

0 -1 0 1

=

X'

U11

3

V1

V3

U3

X'

U22

4

V2

V4

U4



Elemento (5) :

∆x = 300 - 0 = 300

∆y = 300 - 0 = 300

L = 300 2

Cx = 2

2

2300

300=

Cy = 2

2

2300

300=

2

270000

2300

10102.1

L

EA 6

=××

=

Elemento (6) :

∆x = 0 - 300 = -300

∆y = 300 - 0 = 300

L = 300 2

Cx = 2

2

2300

300−=

−

Cy = 2

2

2300

300=

2

270000

2300

10102.1

L

EA 6

=××

=

U3

V3

V2

U2

3

2

X'

U4

V4

U1

V1

1

4

X'

−−−−

−−−−

=

1111

1111

1111

1111

24749(5)K

−−−−−−

−−

=

1111

1111

1111

1111

24749(6)K



⊗ ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

La matriz de rigidez del elemento (e) esta dada como sigue:

=

−

−=

2221

1211

L

EA(e)

KK

KK

SS

SSK

Luego, las matrices de los elementos se ensamblan en la matriz de la estructura así:

=

2221

1211

T

KK

KK

K

+−−−

+−−−

+−−−

−−+−

−−+−

−−+−

−−−+

−−−+

=

247497000024749007000002474924749

247492474970000

070000002474924749

002474970000

247492474924749700000

070000247492474970000

247492474900

70000024749247492474970000

2474900

002474924749247492474970000

070000

2474924749700000002474970000

24749

247492474900070000247492474970000

TK

Uj

Ui

Vj

Vi

i

j

(e)

i

j

i j

U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4

U1

V1

U2

V2

U3

V3

U4

V4



⊗ SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE LA ESTRUCTURA

Se introducen las condiciones de apoyo, U1 = V1 = V2 = 0. Considerando que sólo existe carga aplicada

en el nudo 3; se tiene:

×

−−

−−−−

=

4

4

3

3

2

V

U

V

U

U

9474024749000

24749947490700000

00947492474924749

070000247499474924749

00247492474994749

0

0

0

2000

0

P = KT × U

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:

cm

0.014286

0.054692

0.014286

0.068978

0.014286

−

=U

⊗ FUERZAS EN LOS ELEMENTOS

Elemento (1) :

[ ])V(V)U(UXL

AEN 1212 Y

2−+−= ∆∆

[ ]0.014286300(300)

(10))10(2.1N

2

6

×××

= = 1000 kgf

Elemento (2) :

[ ])V(V)U(UXL

AEN 3434 Y

2−+−= ∆∆

[ ]0.068978)-0.054692(300(300)

(10))10(2.1N

2

6

×××

= = -1000 kgf



Elemento (3) :

[ ])V(V)U(UXL

AEN 1313 Y

2−+−= ∆∆

[ ])14286.0(300(300)

(10))10(2.1N

2

6

×××

= = 1000 kgf

Elemento (4) :

[ ])V(V)U(UXL

AEN 2424 Y

2−+−= ∆∆

[ ]0.0)-0.014286(300(300)

(10))10(2.1N

2

6

−×××

= = -1000 kgf

Elemento (5) :

[ ])V(V)U(UXL

AEN 1434 Y

2−+−= ∆∆

[ ]0.0)-0.014286(3000.0)-0.054692(300)2(300

(10))10(2.1N

2

6

−×+×××

= = 1414 kgf

Elemento (6) :

[ ])V(V)U(UXL

AEN 2323 Y

2−+−= ∆∆

[ ]0.0)-0.014286(3000.014286)-0.068978(300)2(300

(10))10(2.1N

2

6

×+×××

=

N = -1414 kgf

RESULTADOS:

fuerzas y

reacciones (kgf)

2000 kgf

1000 (C)

1414 (C)

1414 (T)

1000 (C)

1000 (T)

1000 (T)

2000 kgf2000 kgf



12. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS CON BRAZOS

Compatibilidad de Desplazamientos en el Elemento

(sin considerar las deformaciones axiales en el elemento)

VA = Vi + θi × a

θA = θi

VB = Vj - θj × b

θB = θj

a ba b

i j

a b

Ui

I = ∞

L

I = ∞

Vi

θi

Uj

Vj

θj

i j

Ai jB

VA

ba L

θi θA

VB

θB

Vi

θj

Vj



V

V

1 a 0 0

0 1 0 0

0 0 1 b

0 0 0 1

Vi

i

Vj

j

A

A

B

B

θ

θ

θ

θ

=−

×

U H U= ×

Equilibrio en el Elemento

Vi = VA

Mi = VA × a + MA

Vj = VB

Mj = -VB × b + MB

Vi

Mi

Vj

Mj

1 0 0 0

a 1 0 0

0 0 1

0 0 -b 1

V

M

V

M

A

A

B

B

=

×

0

f H f= ×T

Mi

ViVA VB

A

VAMA

MA

MB

MB

VBMj

a b

jBi

MBMi

ViVA

MA

VB Vj

Mj

L ba

A jBi



Se tiene la matriz de rigidez del segmento AB de longitud L: K U f× = , donde:

K =

12EI

L6

EI

L-12

EI

L6

EI

L

6EI

L4

EI

L-6

EI

L2

EI

L

-12EI

L-6

EI

L12

EI

L-6

EI

L

6EI

L2

EI

L-6

EI

L4

EI

L

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

pero, U H U= × , entonces:

K (H U f× × =)

premultiplicando por H T se tiene:

H K H U H fT T× × × = ×

(H K H) U fT × × × =

K H K He = × ×T

Ke

12EI

L6

EI

L12

EI

La -12

EI

L6

EI

L12

EI

Lb

4EI

L12

EI

La 12

EI

La -6

EI

L12

EI

La 12

EI

L12

EI

L12

EI

L

12EI

L-6

EI

L12

EI

Lb

sim 4EI

L12

EI

Lb 12

EI

Lb

3 2 3 3 2 3

2 3

2

2 3 3 3 3

3 2 3

2 3

2

=

+ +

+ + − + +

−

− − + +

a b

E, II = ∞

L

I = ∞

Vi

θi

Vj

θj

i j

E, I

L

Vi

θi

Vj

θj

i j



Fuerzas de empotramiento de elementos Viga con Brazos Rígidos

Equilibrio en el Elemento

donde:2

WLVA =

12

WLMM

2

BA =−=

ViWL

2W a= +

VjWL

2W b= +

MiWL

12

WL

2a

Wa

2

2 2

= + +

MjWL

12

WL

2b

Wb

2

2 2

= − + +( )

i

W

jBA

bLa

i

VA

Mi

Vi

ba

j

W

W W

MA

VA

MA

VB

MBVB

MB

Mj

Vj

A B

análisis matricial de estructuras

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