introduccion analisis matricial

Introducción.1.1.- Importancia

El análisis estructural es el estudio de las estructuras comosistemas discretos. La teoría de las estructuras se basaesencialmente en los fundamentos de la mecánica con lo cualse formulan los distintos elementos estructurales.

Las leyes o reglas que definen el equilibrio y la continuidadde una estructura se pueden expresar de distintas maneras, porejemplo:

-) Ecuaciones diferenciales parciales de un medio continuotridimensional.

-) Ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a una barra oa las distintas teorías de vigas.

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ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

Importancia

El análisis estructural puede abordarse utilizando tresenfoques principalmente:

a) Formulaciones tensoriales (mecánica newtoniana ovectorial).

b) Formulaciones basadas en los principios de trabajo virtual.

c) Formulaciones basadas en la mecánica clásica.

1.2.- Principios FundamentalesAquí se ve los principios aplicados al medio continuo en los

que se fundamenta el análisis de estructuras cuando sucomportamiento es elástico, lineal, homogéneo e isotrópico ylas deformaciones de los elementos son pequeñas.

1.2.1.-Primer Principio: Continuidad.- En todo elemento oestructura, los desplazamientos deben poder representarse porfunciones continuas. En la siguiente figura se representa a unaestructura que se encuentra sujeta a una serie de fuerzasexternas.

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P

P’

u

x

y

z

El vector de desplazamiento debe estar caracterizado porfunciones continuas con respecto al sistema coordenado dereferencia. El vector de desplazamiento {ū} de una partículacualquiera P de la estructura que se desplaza a una posición P’,puede expresarse como:

{ ū } =uvw

donde u, v y w son funciones continuas.

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Las deformaciones pueden obtenerse directamente si seconocen los desplazamientos. Considérese ahora la barracontinua de la siguiente figura. Recordando que paradeformaciones pequeñas la relación existente entre ladeformación total y la deformación unitaria en una direccióndada puede expresarse como:

P

P’

x

LPa

P’au = / L; u = *x/L

∂u =

∂x L

x = ∂u = (∂ )*u∂x ∂x

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Generalizando, podemos encontrar las ecuaciones decontinuidad, que están definidas por las reacciones existentesentre las deformaciones (axiales y por cortante) y losdesplazamientos.

x = ∂u∂x

y = ∂v∂y

z = ∂w∂z

xy = xy = ∂u + ∂v∂y ∂x

xz = zx = ∂u + ∂w∂z ∂x

yz = zy = ∂v + ∂w∂z ∂y

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Las ecuaciones de continuidad pueden expresarse en formamatricial como :

x

y

z

xy

xz

yz

∂ 0 0∂x

∂ ∂ 0∂y ∂x

∂ 0 ∂∂z ∂x

∂ ∂∂z ∂y

0 ∂ 0 ∂y

0 0 ∂ ∂z

=uvw

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De forma más general, las ecuaciones de continuidad sepueden expresar matricialmente como:

e = A u

donde los vectores {e} y {u}, que representan a lasdeformaciones y los desplazamientos, respectivamente, estánrelacionados por la matriz [A], que es la matriz de continuidad.

1.2.2.-Segundo Principio: Modelos Constitutivos.- En el análisisde estructuras no se requiere conocer exclusivamente lasdeformaciones que los distintos elementos estructuralesexperimentan, sino que en muchas ocasiones se deben conocer,además, los esfuerzos o fuerzas internas a que se ven sujetos.Por lo tanto, es necesario encontrar las relaciones que existenentre las deformaciones de los elementos y los esfuerzosasociados a ellas.

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A las ecuaciones que relacionan a los esfuerzos de unelementos o cuerpo con sus respectivas deformaciones se lesdenominan relaciones constitutivas, modelos constitutivos e,inclusive, algunos las llaman propiedades del material.

Se han propuesto un gran número de modelos constitutivospara el análisis de elementos estructurales, dependiendo de si elcomportamiento del material se supone elástico o inelástico, ydentro de este último si el material va estar sujeto a cargasestáticas de corta duración, cargas estáticas de larga duración ocargas dinámicas. Para el presente curso se supondrá para elanálisis que los elementos estructurales tienen uncomportamiento elástico lineal, por lo cual se puede utilizar laconocida Ley de Hooke.

Para esto se estudia la partícula tridimensional que sepresenta en la siguiente figura, la cual se encuentra sujeta a unestado de esfuerzos. En su forma más generalizada, la Ley deHooke relaciona a las componentes de esfuerzo y deformación deun material elástico lineal en función de 81 términos, los cuales se

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reducen a 21 términos independientes, si suponemos que elmaterial a utilizar en el modelo, es homogéneo estos términosindependientes se convierten en 21 constantes. Si ademásconsideramos que el material es isotrópico, es decir, que laspropiedades del material en un punto dado son independientes dela dirección, entonces el número de constantes o módulosindependientes se reduce de 21 a dos, a los cuales conocemosgeneralmente como E (módulo de elasticidad o de Young) y (relación de Poisson).

Z

xx = x

xy

xz

z

zx

zy

zxz

zy

x

xy

xz

yy = y

yx

yz

yy = y

yx

yz

X

Y

dx

dz

x =1/E*[x - *(y+z)]

y =1/E*[y - *(x+z)]

z =1/E*[z - *(y+z)]

xy =xy / G

xz =xz / G

yz =yz / G

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Estas relaciones constitutivas pueden expresarse en forma matricialcomo:

x

y

z

xy

xz

yz

1 - - 0 0 0E E E- -1 - 0 0 0E E E- - 1 0 0 0E E E 0 0 0 1 0 0

G0 0 0 0 1 0

G0 0 0 0 0 1

G

=

x

y

z

xy

xz

yz

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o en función de dos constantes independientes:

x

y

z

xy

xz

yz

x

y

z

xy

xz

yz

= 1/E *

De forma más general, las ecuaciones constitutivas se puedenexpresar matricialmente como:

e = f s

donde los vectores e y s representan a las deformaciones y a losesfuerzos respectivamente y están relacionados por la matriz f ,que es la matriz constitutiva de flexibilidad. Se puede ver que lamatriz f es no singular y, por tanto posee inversa:

s = f e = K e-1

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donde la matriz [k] es conocida como la matriz de rigidez y es lainversa de la matriz de flexibilidad [f], para lo cual tenemos:

k

1- 0 0 0 1- 0 0 0 - 1 0 0 00 0 0 (1-2 )*0.5 0 00 0 0 0 (1-2 )*0.5 00 0 0 0 0 (1-2 )*0.5

= E(1+)*(1-2*)

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1.2.3.-Tercer principio: Equilibrio.- Las ecuaciones de equilibriointerno relacionan las nueve componentes de esfuerzo (tresesfuerzos normales y seis esfuerzos cortantes) y se derivanconsiderando el equilibrio de momentos y fuerzas que actúanen una partícula tridimensional (o paralelepípedo). Tomandomomentos de primer orden con respecto a los ejes x, y y z sepuede demostrar que en ausencia de momentos de cuerpo:

Z

xx = x

xy

xz

z

zx

zy

zxz

zy

x

xy

xz

yy = y

yx

yz

yy = y

yx

yz

X

Y

dx

dz

ij = ji

Por lo que:

xy = yx; xz = zx; yz = zy

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y, por lo tanto, únicamente tenemos seis componentes deesfuerzo independientes (tres esfuerzos normales y tresesfuerzos cortantes).

Resolviendo para las fuerzas internas en las direcciones x, yy z, obtenemos las tres ecuaciones diferenciales en derivadasparciales del equilibrio interno de la partícula.

Z

xx = x

xy

xz

z

zx

zy

zxz

zy

x

xy

xz

yy = y

yx

yz

yy = y

yx

yz

X

Y

dx

dz

∂x + ∂xy + ∂xz + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z

∂xy + ∂y + ∂yz + Fy = 0 ∂x ∂y ∂z

∂xz + ∂yz + ∂z + Fz = 0 ∂x ∂y ∂z

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donde Fx, Fy y Fz son las fuerzas de cuerpo en las direcciones x,y y z, respectivamente. Estas ecuaciones de equilibrio internose pueden escribir de forma matricial de la siguiente manera:

∂ 0 0 ∂ ∂ 0∂x ∂y ∂z0 ∂ 0 ∂ 0 ∂

∂y ∂x ∂z0 0 ∂ 0 ∂ ∂

∂z ∂x ∂y

x

y

z

xy

xz

yz

+

FX

FY

FZ

=

000

o en forma compacta:

[A] * {s} + {F} = 0-1

donde los vectores {s} y {F}, que representan a los esfuerzosinternos y a las fuerzas de cuerpo, respectivamente, estánrelacionados para el equilibrio por medio de una transpuestade la matriz [A] que, viene hacer la matriz de continuidad.

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