Álgebra matricial - estructuras 3

7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3

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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOFACULTAD DE INGENIERIAE.P. DE INGENIERIA CIVIL

CURSO : INGENIERA ESTRUCTURAL III

TEMA : ALGEBRA MATRICIAL

CICLO : VII

DOCENTE :

ALUMNO :

FECHA : 24, de Mayo de 2013

Trujillo Per

2013


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1. LGEBRA MATRICIAL

1.1 INTRODUCCIN:

En muchos anlisis se supone que las variables que intervienen estn relacionadas mediante un conjunto

de ecuaciones lineales. El lgebra matricial proporciona una notacin concisa y clara para la formulacin

y resolucin de tales problemas, muchos de los cuales seran casi imposibles de plantear con la notacin

algebraica ordinaria.

A continuacin, se definen los vectores y las matrices, as como las operaciones correspondientes. Se

consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matri, las matrices subdivididas y el

determinante de una matri. !ambi"n se tratan y aplican a la resolucin de ecuaciones lineales

simultneas, la dependencia lineal de un conjunto de vectores, y el rango y la inversa de una matri. As

mismo, se define e ilustra la diferenciacin vectorial.

1.2 DEFINICIN DE MATRIZ:

#na matri es una disposicin $o %arreglo&' rectangular de n(meros en la forma

A =

a11

a12

L a1n

a21

a22

L a2n

M M M M

am1 am 2 L amn

o A =

a11

a12

L a1n

a21

a22

L a2n

M M M M

am1 am 2 L amn

)as letras ai j representan n(meros reales, que son los elementos de la matri. *tese que ai j designa al

elemento en la i+"sima fila y la j+"sima columna de la matri A la matri Ase denota tambi"n a veces por

$

ai j ' o por -

ai j . #na matri que tiene m filas y n columnas se dice que es una matri m / n $%m por

n&', o bien, una matri de orden m / n. Si m 0 n, se e/presa que la matri es cuadrada. 1uando han de

realiarse varias operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subndices, por ejemplo,

A mn , o bien, ai j( )mn .


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EJEMPLO

1 0 2 6

4 8 3 9

6 6 3

3 8 21 0 0

5 8 2

12 10 1

13 9 32 7 6

6 4 10

1 1

1 1

es una matriz2 4 es una matriz33 (cuadrada) es una matriz5 3 es una matriz2 2 (cuadrada)

Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes

son tambi"n iguales, es decir, si las matrices son id"nticas. 2bservemos que, por definicin, las matrices

que son de diferente orden no pueden ser iguales.

EJEMPLO

Si

A= 2 2

2 2

B=

2 2 2

2 2 2

C=

2 2

2 2

D =

2 2

2 2

A=D, pero A B, AC, BC, BD, y CD.

DEFINICIN DE VECTOR (EN LGEBRA MATRICIAL)

#na matri que consta de una sola columna, es decir, una matri m / l se conoce como vector columna, y

se e/presa como

u =

u1

u2

M

um

o bien u =

u1

u2

M

um

)as letras u i son n(meros reales3 los componentes del vector u i es el i+"simo componente del vector u.

#n vector columna que tiene m filas se dice que es un vector de m componentes, o que es m+dimensional.

Anlogamente, una matri que contiene una sola fila, es decir, una matri 4 / n, se dice que es un vector

fila y se e/presa como3


4/31

v0 v1, v2, ..., vn( ) o bien v0 v1, v2, ..., vn[ ]

)as letras vj son n(meros reales3 los componentes del vector vj es el j+"simo componente del vector

v. #n vector fila con n columnas se dice que es un vector de n componentes, o que es n+dimensional.

EJEMPLO

1

1

,es una matri 5 / 4, o sea, un vector columna de 5 dimensiones $o bidimensional'

0

0

3

0

2

,es una matri 6 / 4, o sea, un vector columna de 6 dimensiones $o pentadimensional'

0, 3, 0[ ] ,es una matri 4 / 7, o sea, un vector fila de 7 dimensiones $o tridimensional'

1, 1, 5, 1[ ] ,es una matri 4 / 8, o sea, un vector fila de 8 dimensiones $o tetradimensional'

9os vectores fila que tienen el mismo n(mero de columnas, o dos vectores columna que tienen el mismo

n(mero de filas, se dice que son iguales solamente si todos los elementos correspondientes son tambi"n

iguales, es decir, si los vectores son id"nticos.

EJEMPLO

u01,

3

[ ] v01

3

w01,

3

[ ] 03,

1

[ ]u0 w, pero u: v, u: , y v: w, v: , y w: .

*2!A3 1on frecuencia es (til considerar a una matri como compuesta de una serie de vectores fila o de

vectores columna por ejemplo, la matri


5/31

1 6

2 2

3 4

se puede considerar constituida por los dos vectores columna

1

2

3

y

6

2

4

o bien, compuesta de los tres vectores fila 1, 6[ ] 2, 2[ ] y 3, 4[ ]

1.! OPERACIONE" CON MATRICE":

2peraciones anlogas a las de adicin. Sustraccin, multiplicacin y divisin de n(meros reales se

pueden definir para las matrices. ;uesto que una matri es una disposicin de n(meros reales, en lugar de

un solo n(mero real, algunas propiedades de las operaciones para los n(meros reales no tienen

equivalencia en las operaciones anlogas con matrices ejemplos especficos se dan en las siguientes

secciones. En esta seccin se definen e ilustran la adicin y la sustraccin de matrices, la multiplicacin

de una matri por un escalar, y la multiplicacin de matrices entre s.

ADICIN # "U"TRACCIN DE MATRICE".

)as matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. )a suma o la diferencia de dos

matrices m / n es otra matri m / n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos

correspondientes de las matrices originales de modo que si

A =a

11L a

1n

M M

am1 L amn

B =b

11L b

1n

M M

bm1 L bmn

entonces A < = 0 1

en donde

C=

a11b

11L a

1n b1nM M

am1 bm1 L amn bmn

=

c11

L c1n

M M

cm1 L cmn

es decir, ai j( )+ bi j( )= ci j( ), en donde ci j =ai j + bi j para toda i y toda j.


6/31

EJEMPLO

a( )3 2 4

5 6 8

3 0 0

+

0 3 8

5 6 2

0 0 4

=

3 5 4

0 0 10

3 0 4

b( ) 3 10

11 25

6 4

22 21

=

9 6

33 46

c( ) 4, 6, 12[ ]+ 3, 2, 12[ ]= 1, 8, 0[ ]

(d)

1

1

2

4

1

1

1

2

4

1

=

0

0

0

0

0

(e)2 3

6 4

+

1 1

1 2

0 0

6 4

=

3 4

1 2

( f )

1

1

1

+

3

2

4

6

8

10

+

0

1

0

=

2

4

5

(g) 2, 1[ ]+ 3, 4[ ]+ 6, 7[ ] 11, 12[ ]= 0, 0[ ]

(h)

1 4

2 6

3 8

0 5

7 9

11 12

10 13

20 0

1 0

=

9 14

25

3

9 4

PROBLEMA"

2btener la matri que resulta de cada una de las siguientes operaciones3

1.

2 3 6

5 4 5

0 1 9

1 3 4

0 2 5

1 0 1

2.6 1 04 2 1

+

5 0 2

0 1 3

+

2 1 34 1 1

3.

1

3

4

2

0

2

+

3

1

2

4.2 1

1 2

+

1 0

0 1

2 2

2 2

5. 1, 3, +1, 2[ ] 0, 1, 2, 3[ ] 6. 1, 2[ ] 3, 4[ ]+ 1, 2[ ] 6, 5[ ]


7/31

R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+

1.

1 0 2

5 6 0

1 1 8

3.

2

4

0

5. 1, 2, 1, 1[ ]

MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN E"CALAR

#n solo n(mero real $que equivale a una matri 4 / 4' se denomina escalar en las operaciones del lgebramatricial. 1uando una matri se multiplica por un escalar, cada elemento de la matri queda multiplicado

por ese escalar $que es una constante' por lo tanto, si

A =

a11

L a1n

M M

am1 L amn

y > es cualquier escalar $o constante'

entonces

kAmn =kAmn =

ka11

L ka1n

M M

kam1 L kamn

=k ai j( )mn

= kai j( )mn

EJEMPLO


8/31

a( ) 34 3

8 2

1 0

=

12 9

24 6

3 0

b( ) 50

1

0

=

0

5

0

c( ) 1 6, 2, 3[ ]= 6, 2, 3[ ] d( ) a5 6 2 4

3 1 0 6

=

5a 6a 2a 4a

3a a 0 6a

e( ) b

0

2

3

1

5

=

0

2b

3b

b

5b

f( ) c 0, 0, 0, 0, 16[ ]= 0, 0, 0, 0, 16c[ ]

MULTIPLICACIN DE MATRICE"

9os matrices se pueden multiplicar entre s slo si el n(mero de columnas en una de ellas es igual aln(mero de filas en la otra. En particular, la matri producto ABest definida solamente si el n(mero de

columnas en Aes el mismo que el n(mero de filas en B en este caso se dice que las matrices Ay Bson

compatibles ante la multiplicacin, y la matri producto tiene el mismo n(mero de filas que Ay el mismo

n(mero de columnas que B. As, una matri m / n se puede multiplicar con una matri n / p para obtener

una matri m / p.

9E?@*@1@*3 1uando un vector fila 4 / n multiplica a un vector columna n / 4, el resultado es un

escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productosde los componentes de los vectores. ;or lo tanto si

u0 u1, L , un[ ] y v0v

1

M

vn

entonces u4/nvn/40 B $un escalar', en donde w =u1v1 + u2v2 +L + unvn = uivii=1

n

.

1uando se multiplican dos matrices, el elemento en la i+"sima fila y en la j+"sima columna de la matri

producto, es el producto interior del i+"simo vector fila de la primera matri con el j+"simo vector

columna de la segunda. 9e acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede e/presarse como

una matri de sus productos interiores3 Si A = ai j( )mn y B = bi j( )np , entonces AB0 C, en donde


9/31

C= ci k( )mp

=

a1jbj1

j=1

n

L a1jbjmj=1

n

M M

amjbj1j=1

n

L amjbjnj=1

n

es decir, ci k= ai jbj kj=1

n

.

EJEMPLO

a( )

1 3 1

2 0 0

0 1 6

33

1 0

1 2

1 3

32

=

3 3

2 0

7 16

32

en donde

1( )1( )+ 3( )1( )+ 1( )1( )=3

2( )1( )+ 0( )1( )+ 0( )1( )= 2

0( )1( )+ 1( )1( )+ 6( )1( )= 7

1( )0( )+ 3( )2( )+ 1( ) 3( )= 3

2( )0( )+ 0( )2( )+ 0( ) 3( )= 0

0( )0( )+ 1( )2( )+ 6( ) 3( )=16

b( ) 1, 0, 6, 3, 2[ ]15

3 0

4 0

2 3

1 8

0 2

52

= 12, 38[ ]12

en donde

1( ) 3( )+ 0( ) 4( )+ 6( )2( )+ 3( )1( )+ 2( )0( )= 12

1( )0( )+ 0( ) 0( )+ 6( ) 3( )+ 3( )8( )+ 2( )2( )= 38

En la multiplicacin de matrices, el orden $o sucesin' seg(n el cual se efect(a la multiplicacin es muy

importante. Si Aes m / n y Bes n / m, entonces es posible obtener las matrices producto AB, y BA sin


10/31

embargo, en general AB : BA. En el producto matricial AB, se dice que A premultiplica a B, o

alternativamente, que Bposmultiplica a A. 1omo, en general, la premultiplicacin y la posmultiplicacin

dan resultados diferentes, aun cuando ambos estn definidos, se debe tener cuidado en mantener el orden

apropiado en todas las multiplicaciones de matrices. Esta precaucin no es necesaria en la multiplicacin

de n(meros, como se recordar.


11/31

EJEMPLO

$a' Si

A = 4 6 1 3

0 1 2 1

y

B=

1 2

1 1

1 6

2 3

entonces

AB= 4 6 1 3

0 1 2 1

24

1 2

1 1

1 6

2 3

42

= 3 17

5 14

22

BA=

1 2

1 1

1 6

2 3

42

4 6 1 3

0 1 2 1

24

=

4 4 3 5

4 7 3 2

4 0 11 9

8 9 4 9

44

$b' Si

A =

5 6

1 0

0 3

y

B=1 8 3

0 10 4

entonces

AB=

5 6

1 0

0 3

32

1 8 30 10 4

23

=

5 20 9

1 8 3

0 30 12

33

BA =1 8 3

0 10 4

23

5 6

1 0

0 3

32

=13 3

10 12

22

$c' Si

A =

1 3 1

2 0 2

0 4 5

y

B=

0 2 3

8 1 9

2 0 5

entonces


12/31

AB=

1 3 1

2 0 2

0 4 5

33

0 2 3

8 1 9

2 0 5

33

=

22 5 29

4 4 4

22 4 61

33

BA=

0 2 3

8 1 9

2 0 5

33

1 3 1

2 0 2

0 4 5

33

=

4 12 11

10 60 55

2 14 23

33

*2!A31uando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es un producto interior, es

decir, un escalar cuyo valor es la suma de los productos de los elementos de los dos vectores. 1uando un

vector columna n / 4 premultiplica a un vector fila 4 / n, el resultado es una matri cuadrada n / n cuyos

elementos son los productos interiores de los vectores dados por tanto, si

u0 u1, L , un[ ] y v0v

1

M

vn

entonces, como se indic anteriormente, u4/nvn/40 B $un escalar', en donde w = uivii=1

n

, y vn/4u4/n0

n/n$una matri cuadrada', siendo xi j =viuj .

EJEMPLO

a( ) 1, 3, 6[ ]2

4

1

= 2 +12 6 = 4

2

4

1

1, 3, 6[ ]=2 6 12

4 12 24

1 3 6


13/31

b( ) 1, 0, 0, 2, 3[ ]

0

1

4

3

2

= 0 +0 +0 6 +6 = 0

0

1

4

3

2

1, 0, 0, 2, 3[ ]=

0 0 0 0 0

1 0 0 2 3

4 0 0 8 12

3 0 0 6 9

2 0 0 4 6

Aunque el orden seg(n el cual se multiplican dos matrices afecta al resultado, el orden en el que se

multiplican tres o ms matrices no influye en el resultado, siempre y cuando se conserve la secuencia de

las operaciones, Es decir,

Am/nBn/pCp/q0 Am/n$Bn/pCp/q' 0 $Am/nBn/p'Cp/q

#na propiedad correspondiente se tiene en el caso de la multiplicacin de n(meros. En resumen, la

adicin de matrices es conmutativa, o sea, AC B0 BC A, y tanto la adicin como la sustraccin son

asociativas, es decir, A< B < C0 A< $B< C' 0 $A< B' < C la multiplicacin de dos matrices no es

conmutativa $es decir, AB: BA' pero la de tres o ms es asociativa, es decir ABC0 A$BC' 0 $AB'C.

!ratndose de n(meros, la adicin, la sustraccin y la multiplicacin son asociativas y conmutativas.

EJEMPLO"A.

A B C = A BC = ABC

1 1 0

2 3 4

0 0 1

33

3

1

1

31

0, 2, 1[ ]13

=

1 1 0

2 3 4

0 0 1

33

0 6 3

0 2 1

0 2 1

33

=

0 4 2

0 2 1

0 2 1

33

2 por asociatividad,

A B C =AB C = ABC

1 1 0

2 3 4

0 0 1

33

3

1

1

31

0, 2, 1[ ]13

=

2

1

1

31

0, 2, 1[ ]13

=

0 4 2

0 2 1

0 2 1

33

B.


14/31

A B C = A BC = ABC

1 1

6 10

22

5 2 3

8 0 6

23

1

0

4

31

= 1 1

6 10

22

17

16

21

=1

262

21

2 bien por asociatividad,

A B C = AB C = ABC

1 1

6 10

22

5 2 3

8 0 6

23

1

0

4

31

= 13 2 3

50 12 78

23

1

0

4

31

=1

262

21

C.

A B C = A BC = ABC

3 4

4 3

22

0 1

1 0

22

6 8 10

5 5 4

23

= 3 4

4 3

22

5 5 4

6 8 10

23

= 9 47 28

2 44 14

23

2 por asociatividad,

A B C = AB C = ABC

3 44 3

22

0 11 0

22

6 8 105 5 4

23

= 4 33 4

22

6 8 105 5 4

23

= 9 47 282 44 14

23

D.

A B C = A BC = ABC

1, 1, 4, 2[ ]14

0

2

1

0

41

1, 0, 6[ ]13

= 1, 1, 4, 2[ ]14

0 0 0

2 0 12

1 0 6

0 0 0

43

= 6, 0, 36[ ]1

Alternativamente, por asociatividad,


15/31

A B C =AB C = ABC

1, 1, 4, 2[ ]14

0

2

1

0

41

1, 0, 6[ ]13

= 6 1, 0, 6[ ]13

= 6, 0, 36[ ]13

PROBLEMA"

2btener la matri resultante de cada una de las siguientes operaciones3

1. 3

+1 2 3 4

0 1 1 2

1 2 0 3

2.

2 1

1 0

3 3

2 1

1 0

3. 1, 1, 0, 2[ ]

2 1

1 3

1 0

0 2

4. 1, 2, 0[ ]1 13 0

2 1

2

1

5.

1 1

1 1

2 0

0 2

1 1 1

1 1 1

6. 1, 1, 1[ ]

2 0

0 2

2 2

1 0

0 1

R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+

1.

3 6 9 12

0 3 3 6

3 6 0 9

3. 1, 2

[ ] 5.

0 0 0

0 0 0

1.0 TIPO" E"PECIALE" DE MATRICE":


16/31

En esta seccin se estudiarn tres tipos especiales de matrices3 las matrices diagonales, las matrices

identidad y las matrices nulas.

MATRICE" DIAGONALE":

#na matri diagonal es una matri cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, e/cepto los que

pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del e/tremo superior iquierdo al e/tremo inferior

derecho as pues,

A =

a11

L a1n

M M

am1 L amn

= ai j( )nn

es una matri diagonal si y slo si

ai j = 0 para i : j

ai j 0 si al menos i 0 j $cuando todos los elementos de una matri son ceros, se trata de una

matri nula, la cual se describir ms adelante'

#na matri diagonal n / n puede indicarse por la notacin

A =

a11

0

O

0 ann

o

a1

0

O

0 an

o bien, por

Dn =

d1

0

O

0 dn

EJEMPLO


17/31

1 0 0

0 3 0

0 0 10

y

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 7

son matrices diagonales.

MATRICE" IDENTIDAD:

#na matri identidad es una matri diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al

n(mero uno. ;or consiguiente,

A =

a11

L a1n

M Mam1 L amn

= ai j( )nn

es una matri identidad si y slo si

ai j = 0 para i : j

ai j =1 para i 0 j

o en forma equivalente, una matri diagonal Dnes una matri identidad si y slo si

di =1 para i 0 4, 5, D, n

#na matri identidad n / n se representa por In.

EJEMPLO


18/31

I3=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

y I6=

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

son las matrices identidad 7 / 7 y / .

*tese que al premultiplicar o posmultiplicar una matri por la matri identidad del tamaFo $u orden'

apropiado, no cambia la matri dada es decir,

Am/n0 @mAm/n0 Am/n@n 0 Am/n

EJEMPLO"

A.

A24 I2 A24 A24 I4

2 3 6 4

1 1 0 3

24

= 1 0

0 1

22

2 3 6 4

1 1 0 3

24

= 2 3 6 4

1 1 0 3

24

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

4

B.

A33 I3 A33 A33 I3 A33

3 0 0

0 2 0

0 0 6

33

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

33

3 0 0

0 2 0

0 0 6

33

=

3 0 0

0 2 0

0 0 6

33

1 0 0

0 1 0

0 0 1

33

=

3 0 0

0 2 0

0 0 6

33

MATRICE" NULA":


19/31

#na matri nula es una matri m / n cuyos elementos son todos iguales a cero se simbolia con O.

1uando una matri nula del orden $o tamaFo' apropiado se suma o se resta de otra matri, esta (ltima no

cambia es decir,

Am/n< Om/n0 Am/n

;remultiplicar o posmultiplicar una matri nula de orden apropiado da lugar a otra matri nula es decir,

O>/mAm/n0 O>/n y Am/nOn/40 Om/4

EJEMPLO"

A.

A23 O23 = A23

0 1 0

10 0 3

23

0 0 0

0 0 0

23

= 0 1 0

10 0 3

23

B.

O33 A24 O34

0 0

0 0

0 0

32

1 6 4 10

1 20 13 11

24

=0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

34

A24 O41 O21

1 6 4 10

1 20 13 11

24

0

0

0

0

41

= 0

0

21

1. TRAN"PUE"TA DE UNA MATRIZ:


20/31

En muchos anlisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la transpuesta de una matri.

En esta seccin se define la transpuesta de una matri, le de una suma o diferencia de matrices, y la de un

producto de matrices.

)a transpuesta de una matri Ade orden m / n es una matri de orden n / m, denotada por A, cuyas

filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. ;or tanto, si

Amn =

a11

L a1n

M M

am1 L amn

= ai j( )mn

Entonces la transpuesta de Aes

Anm =

a11

L a1n

M M

am1 L amn

=

a11

L a1n

M M

am1 L amn

= ai j( )nm

= ai j( )mn

*tese que la transpuesta de un vector fila n+dimensional es un vector columna tambi"n n+dimensional, y

anlogamente, la transpuesta de un vector columna de n+dimensiones es un vector fila de n+dimensiones

tambi"n. )a transpuesta de una matri diagonal es la misma matri diagonal.

EJEMPLO

Si A = 3 2 0

6 0 1

23

, entonces A =

3 6

2 0

0 1

32

Si A = 6, 2, 1, 0, 5[ ]15 , entonces A =

6

2

1

0

5

51


21/31

Si A =

6 8 10

2 0 7

30 40 0

33

, entonces A =

6 2 30

8 0 40

10 7 0

33

Si A =

3

0

1

4

41

, entonces A = 3, 0, 1, 4[ ]14

Si A =

1 5 3

5 0 4

3 4 9

33

, entonces A =

1 5 3

5 0 4

3 4 9

33

Si A =

6 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 5

44

, entonces A =

6 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 5

44

Si una matri $cuadrada' y su transpuesta son iguales, es decir, ai j =a j i para toda i y toda j, entonces la

matri se denomina sim"trica $con respecto a su diagonal principal'. En los dos (ltimos ejemplos citados,

las matrices son sim"tricas.

#na matri sim"trica que al multiplicarse por si misma queda igual, se dice que es idempotente. ;or tanto,

Aes idempotente slo si

A0 A y AA0 A

EJEMPLO"

A.

#na matri identidad $de cualquier orden' es idempotente, puesto que

I30 I3 y I3I30 I3

B.


22/31

)a matri

1

5

2

5

2

5

4

5

es idempotente, puesto que

1

5

2

5

2

5

4

5

=1

5

2

5

2

5

4

5

y

1

5

2

5

2

5

4

5

1

5

2

5

2

5

4

5

=

1

5

2

5

2

5

4

5

TRAN"PUE"TA DE UNA "UMA O DE UNA DIFERENCIA DE MATRICE"

)a transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de las transpuestas de

las matrices por consiguiente,

(Am/n< Bm/n


23/31

entonces HA+ BC CIG 04 10

10 11

=

4 10

10 11

o, alternativamente, A+ BC CG 02 0

1 1

6 10

8 12

+

0 0

1 0

=

4 10

10 11

TRAN"PUE"TA DE UN PRODUCTO DE MATRICE"

)a transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de las matrices tomadas

en orden inverso por tanto,

4Am/nBn/pCp/q5G0 CGq/pBp/nAn/m

EJEMPLO"

A.

Si

A = 3 0

4 1

B=

3 5 7

0 1 8

C=

6

1

0

entonces

ABC= 9 15 21

12 19 20

6

1

0

= 39

53

ABC[ ] =

39

53

= 39, 53[ ]

o en forma alternativa,

ABC[ ] = CBA = 6, 1, 0[ ]3 0

5 1

7 8

3 4

0 1

= 1 3, 1[ ]

3 4

0 1

= 39, 53[ ]

B.

Si

A = 3, 1, 0[ ] B =6 0

7 2

0 3

C= 0

1

entoncesJABC 0 26 2[ ] 0

1

= 2 y asimismo HABCIG0 +5 $la transpuesta de un escalar es el mismo

escalar', o de otra manera,

*N. Del R. Est resultado es una matriz de orden 1 que slo puede multiplicarse con matrices de orden 1 x n, y no es propiamente el

escalar 2. Un escalar puede multiplicarse con cualquier matriz.


24/31

4ABC5 0 CBA0

0, 1[ ] 6 7 0

0 2 3

3

1

0

= 0 2 3[ ]3

1

0

= 2

PROBLEMA"

2btenga la transpuesta de cada una de las siguientes matrices

1.2 6

5 3

2.

36

5

2

3.7 5 6

8 10 3

4.

1 6 31 4 8

0 5 7

5. 3, 2, 4, 9[ ] 6.1 3

2 1

4 2

7. Si A = 1 2

2 1

, B=

2 3

4 0

, C=

0 1

2 3

; encuentre :

a. A+B[ ] b. B+C[ ] c. AB[ ] d. ABC[ ]

8. Si A=

2 1

1 2

0 1

32

, B= 3

1

21

, C= 3 0 2

1 2 4

23

y D =3 0 2

1 2 4

23

, encuentre:

a. AB[ ] b. C+D[ ] c. D C[ ] d. A+ D + C

R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+

1.2 5

6 3

3.

7 8

5 10

6 3

5.

3

2

4

9

7. a.1 6

5 1

b.

2 6

2 3

c.

6 0

3 6

d.

6 12

3 18

1.6 MATRICE" "UBDIVIDIDA":

1on frecuencia es conveniente subdividir $o particionar' una matri descomponi"ndola en sub+matrices.

Kstas se pueden considerar como escalares al efectuar operaciones sobre la matri original. )a particin o

subdivisin de una matri se indica mediante lneas punteadas horiontales o verticales traadas entre

filas o columnas.

;or ejemplo, la matri Ade orden m n se pueden subdividir como sigue3


25/31

A = A1

A2( )

en donde A1es de orden m n1, A2es de orden m n2 , y n1 +n2 =n . )a transpuesta de una matri

subdividida se puede escribir en t"rminos de las transpuestas de sus submatrices. As pues,

A = A1

A2

EJEMPLO

Si

A=

A1 A2[ ]=

4 3 5 0

2 1 1 6

8 2 3 7

entonces

A

= A1

A2

4 2 8

3 1 2

5 1 3

0 6 7

Si se subdividen en forma compatible, las matrices particionadas se pueden sumar, restar o multiplicar. Si

una matri Ade orden m n se subdivide como A = A1 A2[ ], en donde A1es

m n1, A2es m n2 ,

y n1+n

2=n y si una matri B de orden m n se particiona como B= B1 B2[ ], en donde B1 es

m n1, B2es m n2 , y n1 +n2 =n , entonces

AB= A1B

1 A

2B

2[ ]

9e igual modo, si

A = A

1

A2

en donde Aes m n , A1es m1 n , A2es m2 n , y m1+ m2 = m y

B= B

1

B2

en donde Bes m n , B1es m1 n , B2es m2 n y m1+ m2 = m , entonces

AB= A

1B

1

A1B

2


26/31

EJEMPLO

Si

A =

3 4 2 0

1 0 5 6

7 3 3 2

y

B=

3 0 2 4

1 1 2 5

5 4 3 1

entonces

A +B = A1

A2( )+ B1 B2( )=

3 4 2 0

1 0 5 6

7 3 3 2

+

3 0 2 4

1 1 2 5

5 4 3 1

=

0 4 0 4

2 1 3 11

12 7 6 3

= A1+B

1 A[

o bien,

A +B= A

1

A2

+

B1

B2

=

3 4 2 0

1 0 5 6

7 3 3 2

+

3 0 2 4

1 1 2 5

5 4 3 1

=

0 4 0 4

2 1 3 1 1

12 7 6 3

= A

1+B

1

A2+B

2

2tras muchas subdivisiones posibles conducen al mismo resultado.

;articionar o subdividir una matri es frecuente y conceptualmente conveniente cuando las matrices han

de ser sumadas o restadas, pero las ventajas computacionales de la subdivisin de matrices se utilian

principalmente en la multiplicacin y en otras operaciones ms complicadas. )as matrices deben

subdividirse en forma compatible para la multiplicacin. Si una matri Ade orden m n se subdivide

como A = A1 A2[ ], en donde A1es m n1, A2es m n2 , y n1 +n2 =n y una matri Bde ordenn p se subdivide como

B= B

1

B2

en donde B1es n1 p y B2es n2 p , entonces

AB= A1

A2[ ]

B1

B2

=A1B1 +A2B2


27/31

EJEMPLO

Si

A =

3 0 1

2 4 1

1 1 2

y B=

2 1

1 3

1 1

entonces

AB=

3 0 1

2 4 1

1 1 2

2 1

1 3

1 1

=

3 0

2 4

1 1

2 1

1 3

+

1

1

2

1, 1[ ]=6 3

0 10

1 2

+

1 1

1 1

2 2

=

7 2

1 11

1 0

lo que puede verificarse por multiplicacin matricial directa.

)as matrices se pueden subdividir en ms de dos submatrices. 9e hecho, es posible particionar una matri

m n en un m/imo de mn submatrices observemos que la particin m/ima equivale a no subdividir

en absoluto la matri, puesto que cada elemento se trata como una matri escalar. A menos que se tenga

una particin lgica en t"rminos de las variables de un problema, las matrices se deben subdividir para

facilitar los clculo esto implica un compromiso raonable entre minimiar el n(mero de submatrices y

minimiar su tamaFo m/imo.

)as matrices se particionan ya sea horiontalmente o verticalmente. ;or tanto, la matri A de orden

m n se puede subdividir en la forma

A = A

11 A

12

A21

A22

en donde A11es m1 n1 , A12es m1 n2 , A21es m2 n1 , A22es m2 n2 , y asimismo, m1 m2 = m ,

n1 n

2= n . Entonces

A = A

11 A

12

A21

A22

=

A11

A12

A21

A22


28/31

Si la matri B de orden n p se particiona como

B= B

11 B

12

B21

B22

en donde B11 es n1 p1 , B12 es n1 p2 , B21 es n2 p1 , B22 es n2 p2 , y asimismo, n1 n2 = n ,

p1 p

2= p , entonces Ay B estn particionadas en forma compatible para la multiplicacin y

AB= A

11 A

12

A21

A22

B11

B12

B21

B22

=

A11

B11+A

12B

21 A

11B

12+A

12B

22

A21

B11+A

22B

21 A

21B

12+A

22B

22

EJEMPLO

Si A =

1 3 1

1 0 1

2 1 4

0 2 3

y B=

3 2 1 0 1

5 1 4 3 2

3 2 0 1 1

entonces

AB = A

11 A

12

A21

A22

B11

B12

B21

B22

=

1 3 1

1 0 1

2 1 4

0 2 3

3 2 1 0 1

5 1 4 3 2

3 2 0 1 1

y

A11B

11+A

12B

21=

1 3

1 0

2 1

3 2

5 1

+

1

1

4

3, 2[ ]=18 5

3 2

1 3

+

3 2

3 2

12 8

=

21 7

0 0

13 11

A11B

12+A

12B

22=

1 3

1 0

2 1

1 0 1

4 3 2

+

1

1

4

0, 1, 1[ ]=13 9 5

1 0 1

2 3 4

+

0 1 1

0 1 1

0 4 4

=

13

1

2

A21B

11+A

22B

21= 0, 2[ ]

3 2

5 1

+ 3[ ] 3, 2[ ]= 10, 2[ ]+ 9, 6[ ]= 1, 4[ ]

A21B

12+A

22B

22= 0, 2[ ]

1 0 1

4 3 2

+ 3[ ] 0, 1, 1[ ]= 8, 6, 4[ ]+ 0, 3, 3[ ]= 8, 9, [


29/31

En consecuencia,

AB = A

11B

11+A

12B

21 A

11B

12+A

12B

22

A21

B11+A

22B

21 A

21B

12+A

22B

22

=

21 7 13 8 4

0 0 1 1 0

13 11 2 7 8

1 4 8 9 7

lo cual se puede verificar por multiplicacin matricial directa.

PROBLEMA"

1.1alcule lo siguiente3

a. 2

6 1

0 3

1 2

3

4 2

0 1

5 1

b.6 0 1

1 3 2

4 2

0 1

5 1

Emplee matrices subdivididas para verificar los resultados.

2.Si U= 1, 1, 4[ ], X= 0, 1, 2[ ], V=5

0

1

y Y=

1

1

2

, obtenga

a. UV+XY b. 5UV+10 X 2VY( )[ ]

!.Si Aes 2 3 , Bes 4 3 , Ces 3 3 , y D es 3 2 , determine la disposicin u orden de

a. AC b. DA c. AD d. BC e. DAC f . BCDA

0.Si

A =

1 2 3

0 1 1

2 3 0

B=

3 1 0

1 1 2

0 2 1

eval(e 2ABBA( )y emplee matrices subdivididas para verificar el resultado.


30/31

.Si

A =

1 2 2

1 2 1

1 1 0

B =

3 6 2

2 4 1

2 3 0

C=

5 8 0

3 5 0

1 2 1

demuestre que

a. A2 =B2 = C2 =I b. AB=BA = C c. BC = CB=A d. AC = CA =B

Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.

6.Si

A =

5 4 2

4 5 2

2 2 2

demuestre que A2 11A+10I=O. #tilice matrices particionadas para verificar el resultado.

7.Si

A = 1 0

1 0

B=

0 0

1 1

C=

2 2

2 2

D =

2 3

4 25

eval(e

a. AB2CD b. A2 c. BC ( )2

8.Si

U= 1, 0, 1[ ] V=1

2

3

X=

4 2 1

1 3 0

0 1 1

Y=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

encuentre

a. UV b. VU +X c. XY

Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.

9.Si

U=

2 2 4

1 3 4

1 2 3

V=

1 2 4

1 2 4

1 2 4


31/31

demuestre que

a. U2 =U y V2 =V b. UV =VU= O c. U +V=I

#tilice matrices subdivididas para comprobar los resultados.

1.Si

X=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

demuestre que X2 = O . #tilice matrices con subdivisin para comprobar el resultado.

11.Si

A =

1 2 1

2 1 35 2 3

X=

2 5 1 7

2 1 3 43 2 1 2

Y=

3 6 0 6

1 2 4 54 3 2 3

demuestre que AXAY$aunque X Y' y emplee matrices particionadas para verificar el resultado.

12.Si

A =

1 2

0 3

2 1

B = 0 2 3

0 1 3

C=

2

3

3

D =

=1

1

2

determine ABCD .

R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+

1. a.

0 4

0 9

13 7

b.29 13

6 3

3. a. 23 b. 33 c. 22 d. 43 e. 33 f . 43

7. a.24 32

24 32

b.

1 0

1 0

c.

0 0

16 16

Álgebra matricial - estructuras 3

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