Het ontwerpen van stangenmechanismen

Citation for published version (APA):Dijksman, E. A. (1968). Het ontwerpen van stangenmechanismen. (Monografieen-reeks; Vol. 33). Culemborg:Stam.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1968

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Download date: 25. Feb. 2019

HET ONTWERPEN

VAN STANGENMECHANISMEN

Dr. E.A. Dijksman

\.,1\rn

\

I

!I

2345

6

789

101112131415161718192021n23242526272829303132

33

•

A. Zandstra

Ong, B.). Ing.A.).M. DingjanIr. c.A. Schulz

Ir. H.). de Vries

Otta Lichtwitz

G.W.M. PalmK. Kart/and

BA Bakhuizen Ing.Ir. P.A. de Lange e.a.

F.X.Ch. v. SwaayPraf. Ir. T.). Bezemer e.a.

). Ramein en L. TornF.D. Stuyvenberg en H. de Waal

N. WiskieProf. ).B. An.nga e.a.

P. VisserM. Westerlaken Ing.

Ong, B.). Ing.C.D. Kerkmeer Ing.

Prof. Ir. A. Heetman e.a.T. Kamstra

H.N. Andriesse Ing.Prof. E.A. van Genderen Stort

W.F. Bladergroen Ing.Ir. H. Gelling e.a.

C.H. DinkelaarIr. N.A. de Boer e.a.

). Bosschaart Ing.Th. W. Po/et

Ir. G. Snellink e.a.Duintjer e.a.

Dr. E.A. Dijksman

Monog rof; een- reeks

In deze serie ziJn verschenen:

Nieuwe en ver••nvoudi.de formul•• voor het berek.n." van platen, balken, T.balken

en excentrilch belaote kolommen van lewapend beton. (2. druk)

D. bl.dye.r. Een waardevol conltructi••lement in d. flJnmechanilche techniek.

Draallolftelefonie.

Ablorptie koelapparaten.

D. Iren••panninlltheorie Yol,en. Otto Mohr en d. to.paI.inC .ryan op conltructi••

in beton, lewapend beta" en YOOrl••pannen betan. (2e druk)

Mechanilmen vaor intermitterende bewe.inl. Handleidin. met tabellen vaor con­

Itruct.UrI.

Enkele richtli;nen bij het project.,." van leidinlen in iaallpanninllinltallati•••

Berek.nina en conltructie van on'.ltaa,de ma.ten.

Nieuwe wettelijke bepalinlen voor elektrilch hand,ereedlchap.

BouwfYlica. Voordrachten studieda,en 1961.

Maattolerantiea en waarachijnlijkheidarekenin•• Richtlijnen voor de conltructeur.

KOltenbelef. Voordrachten Studieda,en 1961.

C. inrichtin. van be.raarplaataen.

De hydraulilche aandrijvinl. (2. druk)

Intern tran.port.

Automatileren. Voordrachten Studieda,en 1963.

Bejaardenhuilve.tin••

Ce ontwikkelin. van betonprerabrica.e in de bouwwereld.

Het rekltrookje.

Problemen bij het keuren van .rote elektriache Inatallatie•.

Rekenmachinel. Voordrachten Studieda,en 1963.

Houten ,ordijn,evel••

Schakel..rl.

Conatructie.elementen van de Itaalbouw.

Superfijnen.

Inte.rale kwaliteitlzor•.

Toepa.ain. van netwerkplannin. in de bouwnijverheid.

Verkeerlordenin••

Grootheid = ,etal X eenheid.

Inleidin. tot de automati.che inrormatieverwerkende Iyatemen.

Aard.a. en indultrie.

De induotrie en het afvalwaterprobleem.

Het ontwerpen van Itan.enmechanilmen

Voor abonnees Op Polytechnisch tijdschrift en leden van hetNIRIA gelden gereduceerde priJzen.

38152

Dr."E.A.Dijksman

HET ONTWERPEN

VAN STANGENMECHANISMEN

Uitgegeven door

Technische Uitgeverij H. Stam N.V.

Culemborg-Keulen

in samenwerking met het

Nederlands Instituut van F\egister-Ingenieu-rs en

Afgestudeerden van Hogere Technische Scholen

Inhoud

Inleiding pag.4

1. De polenkromme pag. 51.1 De ontaardingen van de polenkromme pag.91.2' De cirkelliggingskromme en haar relatie tot de middelpuntskromme pag. 141'.3 De polenkromme als brandpuntskromme pag.18

2. Toegevoegde hoekell bij een stangenvierzijde pag.212.1 Toegevoegde hoeken tussen twee ~tanden pag.212.2 Toegevoegde hoeken tussen drie standen pag.222.3 Toegevoegde hoeken tussen vier standen pag.222.4 Toegevoegde hoeken bij de twee dode standen van een krukslingermechanisme pag.242.5 Toegevoegde hoeken tussen vijf standen pag 26

3. Het construeren van stangenvierzijden bij een voorgeschreven aantal koppelpunten pag.273.1 Inleiding pag 273.2 Vereenvoudiging door uiteenvallen van de middelpuntskromme van het koppelvlak ten opzichte van het gestel in een

cirkel en een rechte pag. 283.3 Vfereenvoudiging door positiereductie van het vaste draaipunt Bo. pag.29

4. De stelling van Roberts en de toevoeging van koppelpunten aan krukstanden pag.31

5. Toevoeging van koppelpunten aan krukstanden pag.4O5.1 Toevoeging van drie koppelpunten aan twee krukhoeken pag.4O5.2 Toevoeging van vier koppelpunten aan drie krukhoeken pag.4O

5.2.a. Oplossing met twee-voudige of enkelvoudige positiereductie pag. 405.2.b. Aigemene behandeling pag.42

5.3 Toev'oeging van vijf koppelpunten aan vier krukhoeken pag.44

6. De berekening van de vier Burmesterpunten bij vijf standen pag. 45Uitvoering van de berekening pag.46

© H. S,am Nederland N.V.. Cu/embarg. The Nelherlands. Fir.. r>ub/ished 1968.

Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/~f openboar gemoakt door middel van druk, foto­copie, microfilm of op welke andere wijze oak, zander yoorofgaande schri(telijke toestemming van deUltgever.No part of this book may be reproduced in any form, by print, photoprint. microfrlm or any other me':Jnswithout written permission from the publisher.

Bindwerk.- Baekbinderij l.A. v.d. Sanden N.V.

Voorwoord

Standaardmethoden voor het ontwerpen van stangenmechanismen. die aan scherp omschreveneisenmoeten voldoen, zijn voor vele constructeurs uit het vakgebied van de bedrijfsmechanisatie nog onbekend.Enkele zijn vertrouwd met de behandeling voor een bepaaldepositie van zulke mechanismen: een be­handeling. die behoort tot het vakgebied van de momentane bewegingsleer.Voor het ontwerpen van stangenmechanismen is deze behandeling echter veelal niet toereikend, omdateen momentane beschouwing de bewegingstoestand van slechts een ogenblik weergeeft.De onderlinge samenhang tussen de verschi/lende posities van het mechanisme heeft geleid tot de ont­wikkeling vande zogenaamde discrete bewegingsleer. waarvan vooral L. Burmester met zijn "Lehrbuchder Kinematik" uit 1888 de grondlegger is geweest. Het is juist deze theorie die voor de ontwerper hetmeest praktische nut heeft. omdat nu tegelijkertijd meerdere posities van het totale bewegingspatroonvan een mechanisme in de beschouwing zijn opgenomen.In deze monografie nu zijn standaardmethoden beschreven die. uitgaande van een aantal eisen met be­trekking tot de onderscheiden posities van het mechanisme. aangeven op welke wijze de hoofdafmetirigenvan zulk een mechanisme verkregen kunnen worden. Deze methoden zijn omschreven in de delen 2.3 en5. De delen 1,4 en 6 vormen hiervoor de theoretische ondergrond. die evenwel door de meer praktischingestelde mens kan worden overgeslagen.Voor de totstandkoming van deze monografie zij veel dank verschuldigd aan de heer H. A. Bulten. die mijvaak goede raad heeft gegeven. waardoor de uitgave,aan praktische bruikbaarheid heeft gewonnen.De groep numerieke wiskunde van de Technische Hogeschool te Eindhoven betuig ik mijn dank voor haarbereidwilligheid om de berekening der coordinaten van de Burmester-centra in de rekenmachinetaalAlgol om te zetten. Van deze groep dank ik in het bijzonder drs. A.J.Geurts en zijn medewerkster mej.H.J. R. A.J. van Beek.Tenslottekomt de uitgever veel dank toe voor de goede zorgen aan het uiterlijk besteed.

E. A. DijksmanEindhoven. september 1968

Inleiding

Naast de behandeling en de. toepassing van mechanismen welke ontworpen zijn onder gebruikmakingvan de momentane kinematica heeft men die waarbij gebruik gemaakt wordt van de kinematica der discretestanden~

Het is mogelijk door samenvallen van deze standen de bewegingsleer van de momentane positie af teleiden.Hoewel het nuttig is beide theorieen met elkaar te kunnen vergelijken, geeft dit anderzijds aanleidingtot veel onoverzichtelijkheden in de te behandelen stof. zodat dit in een beknopte behandeling van delenuit beide theorieen beter achterwege kan blijven. In het boek van Rudolph Beyer getiteld: "KinematischeGetriebesynthese" worden daarentegen beide theorieen op de hiervoor omschreven wijze met elkaarin verband ge~racht en is de theorie van de momentane positie geheel ontwikkeld Uit die van het discreteaantal posities.Toepasssingen vancomblnaties' van beide theorieen zijn mogelijk. In het laatste geval wordt slechts eendeel van het totaalbeschikbare aantal posities tot samenvalling gebracht.Voorbeelden hiervan zullen in een later stadium worden behandeld. Primair voigt de behandeling vande kinematica der discrete standen. Een indeling kan worden gemaakt naar het type mechanisme datmen denkt toe te passen; een indeling die dan onderverdeeld kan worden naar de keuze van de in- enuitgangsschakel in de kinematische keten. In dit deel wordt gestreefd naar een beperking. door zich voor­namelijk te bepalen tot de mogelijke varianten van de stangenvierzijde en tot de. uit de daarbij ontwikkeldetheorieen voortkomende. andere kinematische ketens.Een voortgezette onderverdeling is te maken naar het aantal posities van de in- en van de uitgangs­schakel, en naar .het aantal voorgeschreven coordinaten van elk van deze posities. Voor de stangen­vierzijde Is doorgaans een van beide krukken de ingangsschakel. terwijl voor de uitgangsschakel of deoverblijvende kruk of de koppelstang wordt genomen.In het laatste geval drijft dan een punt van het met de koppelstang meebewegende koppelvlak het volgen­de mechanisme aan. Is zowel de ingangs- als de uitgangsschakel een kruk. dan komt elk voorschrift overhun posities ten opzichte van het gestel. neer op het geven van overeenkomstige hoekverdraaiingen(in het vervolg "toegevoegde hoeken" genoemd).Is de uitgangsschakel de koppelstang. dan kan men voor het "drijvende" punt, dat koppel punt wordtgenoemd, een zeker aantal posities voorschrijven, die al of niet gerelateerd zijn aan de overeenkomstigeposities van de ingangsschakel.In de tekst zal de stangenvierzijde worden aangeduid met de lettercombinatie (abed) of met (AoABBJ.

-_.- -Steeds is AoA de ingangsschakel, AoBo het gestel en AB de koppelstang, terwijl AoA = a. AB = b,- --

BoB = c en AoBo = d.

Opmerking:Bij de samenstelling van deze monografiezijnde V.D.I.-(Vereln Deutscherlngenieure)Rlchtiinlen 2133/2134en 2135 uit het V.D.I./A.W.F.-Handbuch Getriebetechnik als uitgangspunt genomen. Deze "Richtlinien"zijn omschreven in het "Lehrgangshandbuch Getriebetechnik" V.D.I.-Bildungswerk Dusseldorf. Prinz­Georg-Strasse 77-79 door Ing. K. Hain onder het hoofdstuk: "Kurbelgetriebe - geometrische Verfahren".

De tekeningen in deze monografie zijn verzorgd door de Heer H.A. Bulten. .

4

1 De polenkromme

De polenkromme wordt gedefinieerd als de meetkundigeplaats van de punten die twee overstaande zijden van eenzogenaamde comp/ementaire po/envierhoek PikPklPljPjionder de z elf de hoek zien met inachtneming van hetteken van deze hoek.Hierbij verstaat men onder de "zichthoek" in het punt X

met betrekking tot de zijde PikPkl de kleinste hoek tussende lijnen XPik en XPkl. In absolute grootte is zij dus steeds~ 7t/2.Met i < I, komt de orientatiezin van deze hoek overeenmet de richting waarin de lijn X~k verdraaid dient te

worden om deze, bij verdraaiing over de kleinste hoek,met de lijn XPk.!.te kunnen laten samenvallen. Is de rotatie

linksom, dan is de zichthoek positief. anders negatief.(De gemaak~e afspraak voor de richtingszin van de zicht­hoeken heeh, het voordeel dat de zichthoeken van tweeoverstaande zijden van een polenvierhoek nooit 180" metelkaar kunnen nrschillen).

Meetkundig is nu eenvoudig in·te zien. dat wanneer eenwillekeurig punt twee overstaande zijden:,van een com­plementaire polenvierhoek onder gelijke hoeken ziet. ditook het geval is met de twee andere overstaande zijden.Allereerst zal worden aangetoond, dat de polenkrommevan de graad 3 is. Dit is het geval. wanneer het aantal(reele of complexe) doorsnijdingen van deze kromme meteen vrij te kiezen rechte juist 3 bedraagt.

te wijzen, dat elkaar daar in het algemeen niet raakt. Hetsnijpunt TIli van de rechten PikPkl en PIjPji is ook eenpunt van de polenkromme. omdat TIn beide overstaande

-- --zijden PikPkl en PjiPlj onder de nulhoek ziet. De rechtenPikPkl en PJjPji zijn dus twee corresponderende exem·plaren uit d.. twee cirkelbundels voor het punt TIn. Ookdit punt kan in het algemeen geen reeel dubbell'unt zijn,doordat slechts een stel corresponderende exemplarenvoor dat punt is aan te wijzen. Het tweede reele snijpuntvan de bij TIli horende corresponderende exemplaren.ligt op de oneindig verre rechte, aangezien beide exem­plaren in dit geval uiteengevallen zijn in een rechte en inde oneigenlijke rec.hte door de twee isotrope punten vanhet vlak. Dit is dan een asymptotisch punt van de polen­kromme. Het zal in het algemeen niet op de rechte PikPklof op de rechte PjiPli liggen. omdat voorkeur voor eenvan de twee rechten tot verbijzondering leidt.

Het aantal ree/e doorsnijdingen van dl:. polenkromme metde rechte PikPkl bedraagt drie. te weten de enkelvoudigte tellen punten Pik. Pkl en TIn; ieder eindig punt op dezerechte. dat niet met een van deze drie punten samenvalt,

-- --ziet de twee overstaande zijden PikPkl en PjiPlj onderhoeken. waarvan de een steeds gelijk en de ander steedsongelijk aan nul is. Zoals reeds is aangetoond, komt eenreeel oneigenlijk punt van de rechte PikPkl niet in aan­merking.

De meetkundige plaats van de punten die de zijde PikPklonderde hoek cp zien. is een cirkel door de punten Pik enPkl. Daarnaast is de meetkundige plaats van de punten die

de zijde PjiPli onder de hoek cp zien een cirkel door depunten Pji en Pli' De snijpunter, van deze twee cirkels zijnpunten van de polenkromme. De polenkromrile kan dusgezien worden als de meetkundige plaats van de snij­punten van overeenkomstige exemplaren van twee cir­kelbundels. Dit betekent. dat ook de isotrope punten')I, en I. van het vlak op de polenkromme liggen. zodat depolenkromme een circulaire kromme is. De vier polenPik, Pkl. Plj en Pji zijn zelf ook punten van de kromme.orndat bijvoorbeeld voor het hoekpunt Pkl van de vier­hoek, de twee corresponderende exemplaren uit de tweedrkelbundels direct aanwijsbaar zijn:Een exemplaar is de cirkel door de punten Pkl. Plj en Pjimet zichthoek -t PljPklPji; het corresponderende exem­plaar is een cirke! door Pik en Pkl, die in Pkl aan de lijn traakt. waarvoor -t tPklPik = -t PljPklPji (zie figuur 1).De rechte t is tevens raaklijn aan de polenkromme in h~

hoekpunt Pkl. In het algemeen is Pkl, en zo ook de anderedrie polen. geen (reeel) dubbelpunt. omdat slel:hts eenstel corresponderende cirkels voor dat hoekpunt is aan

') ledere cirkel goat door de beide isotrope punten van het vlak. Hetz.ijn de snijpunten van een cil kel met de oneindig verre rechte. 1.

5

Tenslotte kunnen de comp/exe doorsnijdingen van depolenkromme met de rechte PikPkl alleengevonden wor­den, wanneer de rechte PikPkl de machtlijn is van tweE!elkaar niet reeel snijdende corresponderende cirkels uitde twee cirkelbundels. Maar dat betekent, dat geen vande cirkels de rechte PikPkl mag snijden, hetgeen in strijdis· met het feit, dat althans een daarvan door de puntenPik en Pkl gaat. Er zijr. dus geen complexe doorsnijdingenvan de polenkromme met de rechte PikPkl. Het totaleaantal doorsnijdingen bedraagt dus drie. De po/enkrommeis dus een circu/aire kromme van de 3e graad.De polenkromme heeft als vergelijking:

LkCj - LjCk = 0 (1)

Hierbij is

Lk == het produkt van de lengte van het lijnstuk PikPklen de normaalvorm van Hesse voor de rechtePikPkl;

Lj == het produkt van de lengte van het lijnstuk PijPjlen de normaalvorm van Hesse voor de rechtePijPjl (Lk = 0 en Lj = 0 zijn dus de vergelijkingen

van de respectieve rechten PikPkl en PijPjl);

Ck == het linkerdeel van de vergelijking Ck = 0 voor de

cirkel met mlddellijn PikPkl en

Cj == het linkerdeel van de vergelijking Cj = 0 voor de

cirkel met middellijn PjjPjl. (De coefficienten vanx' en y' zijn in de twee laatstgenoemde uitdrukkin­gen gelijk aan 1 gedacht).

Om dit te bewijzen, is het voldoende te laten zien, datde polenkromme en de kromme, voorgesteld door devergelijking (1), tien punten gemeen hebben. Beide krom­men zijn namelijk van de 3e graad. Bovendien hebben tweeverschillende krommen van de 3e graad nooit meer dan3 x 3 = 9 punten gemeen. Hieruit voigt, dat twee 3egraadskrommen met 10 gemeenschappelijke punten iden­tiekzijn.Zoals reeds is aangetoond, gaat de polenkromme door deisotrope punten I, en I., door de 4 polen Pik. Pkl, Plj enPji' en door de punten Illi en Ilkj. De cirkels Cj en Ckzijn op grond vah hun definltie twee corresponderendeexemplaren van de twee genoemde cirkelbundels, zodatook nog de twee eindige (reele of complexe) snijpuntenT, en T. van Cj en Ck op de polenkromme zijn gelegen.Aan de vergelijking (1) voldoen Illi, Pklo Pik' Pjio PIi' T" T.,I, en I•.Er zijn dus nu reeds negen gemeenschappelijke puntengevonden. .Blijft nog over te bewijzen, dat ook het 10e punt Ilkj aan(1) voldoet•

. Daartoe wordt de vergelijking van de cirkel door Pik,Pkl en Ilkj geschreven in de gedaante:

CUk == Ck - AkLk = 0,

en de cirkel door Plj, Pji en Ilkj in de gedaante:

CjAj == Cj - AjLj = O.Voor ieder punt van de cirkel CkAk heeft Ak dezelfde

waarde Ck/Lk. Voor het sn.ijpunt Sk van de middellood­

lijn van het lijnstuk PikP~1 met de cirkel CkAk wordt dit:

CkAk=-=

Lk

de macht van Sk ten opzichte van de cirkel Ck =

PikPkl maal de afstand van Sk tot de rechte Lk

Si:Nk 2 - ~k12 Si:Nk 2 - Si:Nk. NkTkPikPkl . SkNk PikPkl . SkNk

SkNk-NkTk

PikPkl

6

(~k + s;MUk) - (~Uk - ~Nk)

PikPkl

MUkN k

NkPkl

en analoog

MjA; NjAj = (zie figu ur 2).

NjPlj

Aangezien <}: PklMUk Nk = <}: PklIIkjPik = <}: PljIlkjPji =

= <}: PljMjA j Nj, zijn de twee rechthoekige driehoeken

f::, PklMkA kNk en f::, PrjMjA j Nj gelijkvormig. Hieruit

voigt, dat Ak = Aj.Het punt Ilkj voldoet dus aan de twee vergelijkingen

Ck - AkLk = 0 en Cj - AkLj = O.

Het voldoet dus ook aan de vergelijking, waaruit Akgeelimineerd is:

LkCj - LjCk = O.

Ook het 10e punt Ilkj voldoet dus aan (1), zodat (1) devergelijking van de polenkromme voorstelt.

De polen Pil en Pkj, die geen hoekpunt zijn van de polen­vierhoek waarvan werd uitgegaan, blijken eveneens op depolenkromme te liggen. Om dit te kunnen bewijzen,wordt allereerst aangetoond, dat de hoek waarmee eenhoekpunt van een zogenaamde pooldriehoek PikPkjPjide overstaande zijde in deze driehoek ziet, juist de halveverdraaiingshoek is, waarmee het bewegende vlak om dedesbetreffende pool (hoekpunt) wordt verdraaid, om detwee hierop betrekking hebbende standen in elkaar tedoen overgaan.Daarbij wordt aangenomen, dat iedere verdraaiingshoektussen -"7t en +1t in ligt. Het punt Ai dat zich in de standi op de plaats Ai bevindt, draait dus over de k/einste hoekCPik = <}: AiPikAk om het rotatiecentrum Pik naar depositie Ak toe, zodat -1t :s; cpik <1t (ziefiguur 3). Dezeafspraak wordt op dezelfde wijze ook voor elke andereverd raaiingshoek aangehouden.Het rotatlecentrum Pkj, dat men kan beschouwen als eenpunt van stand k, Is vanuit de stand i over de hoek cpikom de pool Pik gedraaid. Pkj kan men echter ook opvattenals een punt van stand i; een positie die bereikt is doorrotatie vanuit de stand i om de pool Pji over de hoek cpij.In stand i bevond het betrokken baanpunt zich dus in hetpunt pi kj, dat het tweede snijpunt is van twee cirkels metde respectieve middelpunten in Pik en Pji en met de res­

pectieve stralen PikPkj en PjiPkj (zie figuur 4). pi kj is dushet spiegelbeeldpunt van Pkj ten aanzien van dezijde PikPji.Uit het een en ander voigt, dat de hoek waarmee Pik de

overstaande zijde PkjPji van de pooldriehoek PikPkjPji ziet,juist gelijk is aan cpik/2. Het overeenkomstige geldt voorde twee andere hoekpunten van de pooldriehoek en voortsvoor iedere pooldriehoek waarvan de hoekpunten derotatiecentra zijn, dje behoren bij drie standen van hetbewegende vlak.

De pool Pil is een hoekpunt van de pooldriehoek PilPlkPki.

Dit punt ziet dus de zijde PlkPki onder de hoek cpil/2.Het is echter ook een hoekpunt van de pooldriehoek

PilPljPji, zodat Pil de zijde PljPji van de poolvierhoekPikPklPljPii eveneens ziet onder de hoek cpil/2. Het puntPH ziet dustwee overstaande zijden van de poolvierhoekon­derdezelfde hoek, zodat Pil een punt is van de polenkrom­me. Op dezelfde wijze wordt bewezen, dat ook Pkj eenpunt is van de polenkromme.

6.

5.

4.

2.

3.

Bij vier standen van het bewegende vlak horen 6 polen,te weten:P12' p••, p.., p... P24 en P13' 4 pooldriehoeken te wetenP12P..p.,, P12P24P." P13P..p., en p••p••p.. en 3 pool­vierhoeken te weten: p,.P24P..p." P13P••P24P., en pup.."poop.,·

STELLING 1:Het is onverschi/lig van welke van de drie poolvierhaeken menultgaat: elke poolvierhoek leidt steeds tot dezelfde po/en­kromme.

Bewijs:

Stel de, bij de polenvierhoeken p,.p••p..p., en p,.p..p••p.,horende, polenkrommen zijn respectievelijk p en p'. De6 polen zijn aile op ieder van deze polenkrommen terugte vinden. Daar p en p' bovendien circulair zijn, betekentdit, dat p en p' in elk geval reeds 8 gemeenschappelijkepunten bezitten, te weten de 6 polen en de 2 isotropepunten van het vlak. Het blijkt, dat in de twee gemeen­schappelijke hoekpunten p,. en P24 beide krommen ookdezelfde raaklijn hebben (zie figuur .5).De richting van de raaklijn t in .het hoekpuntP24 aan pvoigt uit het gelijk zijn van'de zichthoeken vanuit een vanp•• "naburig" punt op p. Hierui,t volg~, dat,1: P13P24P•• =

<}: p,.p..t. Voorts is <}: p,.p••p., = C!l.. = <}: P••P••p..,. 2

zodat ook <}: p••p••p,. =<}: p••p••p., en dus is dan volgensde figuur ook <}: p..p••t = <}: P13P..p.,.Anderzijds geldt voor de raaklijn t' in het hoekpunt P24

aan p', dat <}: p..p..t' = <}: P13P..P.,. Vergelijking met hetvoorgaande geeft dus, dat t' = t.

Op dezelfde wijze wordt aangetoond, dat p en p' in hecgemeenschappelijke hoekpunt p,. dezelfde raaklijn bezit­ten. P13 en P24 tellen dus ieder dubbel als het aankomt ophet aantal. gemeenschappelijke punten van p en p'. Ditaantal is dus. nu in totaal reeds 10. Aangezien p en p'vande 3e graad zijn, en zo ze van elkaar verschillen, nooitmeer dan 3 X 3 = 9 gemeenschappelijke punten mogenhebben, is met 10 gemeenschappelijke punten p = p',

Op overEenkomstige wijze kan worden aangetoond, datde bij de polenvierhoek p,.p..p..p., horende polenkrom­me pH = p, zodat p = p' = p", hetgeen bewezen moestworden.De meetkundige plaats van de mlddelpunten van cirkels,waarop 4 baanpunten zijn gelegen, die behoren bij 4 stan­den van het bewegende vlak, wordt de middelpuntskrommegenoemd.Er zal worden l/.angetoond, dat de middelpuntskromme ende polenkromme van de 4 standen identlek zijn.Men gaat ult van 4 zulke baanpunten A" A., A. en A. opeen cirkel met middelpunt IX. De pool p,. ligt dan ergens

op de middelloodlijn van A,A.; P13 op de middelloodlijn

van A,A. enz. Deze middelloodlijnen gaan aile door hetmiddelpunt IX van de cirkel.Verande~ingvan de rigging van de polen p,., p.., p.. en p.,op deze middell90dlijnen hee.ft geen invloed op het karak­ter van het bewijs.. ,

In figuur 6 is:

<}: P,.IXP13 ;= t (<}: A,IXA. - <}: A,IXAJ = t <}: A.IXA.

terwijllXde zijde p••p•• ziet onder de hoek<}: P";IXP.. = t <}: A.ocA. - t <}: A.IXA. = t <}: A.IXA,.

7

Het middelpunt IX zie1:, dus de twee overstaande zijden-- --P'.P' 3 en p..p.. van de poolvierhoek ond.er dezelfde zieht-hoek. Dit betekent, dat IX 01' de polenkromme is gelegen.Aangezien IX willekeurig 01' de middelpuntskromme wasgenomen. is de middelpuntskromme identiek met depolenkromme.De constructie van de po/enkromme geschiedt bijv. uit­gaande van de polenvierhoek p••p..p..p•• 01' de volgendewijze: (zie figuur 7)

a. Trek een cirkel K door de 3 punten p••• p•• en II••.b. Teken vervolgens een willekeurige cirkel K" met mid­

delpunt M" door de punten p•• en p••.c. Snijd de lijn M"P.. met de cirkel K in de punten p•• en

lli~ .d. Trek voorts een cirkel K,,' doorde punten p•• en p.. met

mid del punt M,,' 01' de lijn II,,'P••.e. De cirkels K" en K,,' 'snijden elkaar in twee punten

C. en C,' van de polenkromme.f. Yariatie van het middelpunt M" van de cirkel K" 01' de

middelloodlijn 5 van pup.. maakt het mogelijk ailepunten van de polenkromme te bepalen.

g. Ter controle dienen ook de polen p.. en p•• 01' de polen­kromme gevonden te worden.

Door continue variatie kan de polenkromme verschillendegedaanten aannemen. Het vormverloop is in figuur 8gedemonstreerd.

STELLING 2:Worden voor de·hoekpunten van een po/envierhoek afwisse/endP- en II-punten genomen. dan verkrijgt men deze/fde polen­kromme als in het geval voor de hoekpunten uitsluitend P­punten worden genomen.

Bewijs:Yoor het bewijs van deze stelling kan men zieh voor dehoekpunten van de twee vierzijden bepalen tot die hoek­punten welke worden aangetroffen in een-en-deze/fde vol­ledige vierzijde: Dit komt omdat het onverschillig is, vanwelke P-puntenvierhoek men uitgaat. Dit is reeds eerderbetoogd.Wordt AU nog aangetoond, dat de polenkromme np. diebehoort bij de vierzijde II.,P..II••P43 dezelfde is als depolenkromme p. behorend bij de vierzijde p••p••p••p•••dan kan dit voor elke andere combinatie van II en P-pun­ten 01' analoge wijze bewezen worden.De hoekpunten II." Pu ' II.. en P43 van de vierzijde II.,Pu ­II..P•• liggen zowel 01' np als 01' p. Beide krommen zijncirculair. zodat de beide isotrope punten I, en I. even­eens gemeenschappelijke punten zijn van np en p.De punten P14 en p•• zien twee overstaande zijden van deDII•• P••II••P•• ieder onder dezelfde hoek. zodat p,. enp•• 01' np liggen. Het zijn ook punten van 1', zodat in totaalreeds 8 gemeenschappelijke punten van np en pzijn aan­getroffen. p•• is een hoekpunt van beide vierzijden. p••

-- --

ziet dus niet aileen II••P.. en Pull., onder gelijke hoeken,- -

maar ook de zijden p•• p.. en p..p••.Dit leidt tot de constructie van de raaklijn tnp in p.. aan np

en tot de constructie van de raaklijn t p in P12 aan p. Beide

raaklijn.richtingen vallen samen, zoals uit figuur 9 blijkt.

Dus ~np = t p.

01' analoge wijze toont men aan. dat de raaklijnen in p••aan np en aan I' samenvallen. De punten p.. en p.. moetendus dubbelgeteld worden als het gaat om het aantal ge­meenschappelijke punten van np en p.

7.

8

In, totaal hebben 7tpen p dus zeker 10 puntell gemeen.Beide krommen zijn van de 3e graad. die - wanneerzevErschillend zijn - ten hoogste 9 punten gemeen kunnenhebben. In het onderhavige geval stemmen de beidekrommen dus volledig overeen (7tp = p).

STELLING 3:Worden voor de hoekpunten van een po/envierhoek uitsluitendII-punten genomen. dan verkrijgt men dezelfde po/enkrommeals in het geval voor de hoekpunten afwisse/end P- en II-pun­ten worden genomen.

Bewijs: ,

De polenkromme die behoort bij 0 II3t P,.II••P43 wordtaangeduid met 7tp. De polenkromme die behoort bijo II3,IIt.II••II43 wordt aangeduid met 7t. Aangezien opgrond van de voorgaande stelling 7tp = p. zijn de hoekpun­ten II3,. II,.. II.. en II43 van de vierzijde die bij 7t behoort.gemeenschappelijke punten van,7t en van 7tp = p. Ookde' beide isotrope punten zijn punten die zowel tot 7t als

- -tot 7tp behoren. Voorts ziet Pt. de zijden P••P3' en P"P'3onder dezelfde hoek. Dezezichthoeken zijn dezelfde als

-- ----die waarmee Il,.II" en II..II3• vanuit Pt. worden gezien.Met andere woorden: ook P14 Iigt op 7t en is dus een ge­meenschappelijk punt van 7t en 7tp (zie figuur 10). Het­zelfde kan worden gezegd van p.3.Tenslotte ziet 1'•• op grond van de voorgaande stelling de

zijden II,3P14 en P23II•• onder dezelfde hoek,. Dit is echter

,dezelfde hoek als die waarmee II"II,. en Il""II2• vanuitp•• worden gezien. p•• is dus een pUltt van 7t, zodat p..een gemeenschappelijke punt is van 7t en 7tp. Op analogewijze kan worden aangetoond. dat P" een gemeen-

schappelijkpunt is van 7t en 7tp- In totaal zijn dus nu reeds10 gemeenschappelijkepunten van 7t en 7tp bekend. En datis voor deze 3e-graadskrommen all~~n mogelijk als7t= 7tp.

Het is onverschillig van welke II-vierhoek men uitgaat:ieder geeftaan.leiding tot dezelfde polenkromme.Men kiln dus uitgaan van 0 PiiPjkPklPli of van 0 PijIIik­Pklilli of van 0 IIijIIjkIIklilli. waarbij het er niet toe doetmet welke cijfers uit het viertal1. 2. 3 en 4 men i. j. k en Ilaatovereenstemmen jndien maar i '* j '* k '* I '* i '* ken I ,*j is.Men heeft dus zo voor debepaljng van de polenkrommede keuze uit 3 x 3 = 9 vierhoeken. waarvan elk steloverstaande zijden door ieder punt van de polenkromme,onder gelijke hoeken gezien wordt.Ook kan worden opgemerkt. dat de 6 punten II. waarbijdus 3 II-vierhoeken horen. waarvan de overstaande zijdenelkaar weer in 6 andere punten II' van de polenkrommesnijden. aanleidjng geven tot weer 3 nieuwe II'-vierhoekendie op hun beurt enz.Er is dus een oneindige verzameling van vierhoeken diebij de polenkromme behoren.Uit 6 punten Pij volgen 6 punten IIij en daaruit volgenweer 6 punten II'ij en zo door. AI deze punten Pij. IIii.II'ij. II"ii•... liggen op de polenkromme. hetgeen dus infeite een voortbrengingswijze van de polenkromme in­houdt.

1.1 De ontaardingen van de polenkromme

Deze hangen samen met een bijzondere Iigging van dehoekpunten (polen) van de poolvierhoeken.

III

I

I

I

I

II

I

I

II

I

I

IIn34

I

II

II

II

I

'\f112\" "-

\;'~"- ,\ \''\", ",,­

\ ,-',-\ '-,'-

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

10.9.

~

-e--e-+8.

9

Geval a. De poolvierhoek P13P32P..P., is een parallello­gram (zie figuur 11)

De polenkromme gaat nu. behalve door de beide isotropepunten I, en 12 van de oneigenlijke rechte, ook nog doorde oneigenlijke punten n: en n: .De polenkromme heeftdus zeker vier punten met I", gemeen. hetgeen voor eenkromme van de derde graad aileen mogelijkis, indien I",een tak is van die kromme. De polenkromme ontaardt in deoneindig verre rechte en in een kegelsnede door de 4 po­len P'3' p,., P23 en P2•.Men trekt nu door het snijpunt 0 der diagonalen, debinnen- en de buitenbissectrke van de -1: n: on:. Deze

staan loodrecht op elkaar. Is C het midden van p..p•• ensnijdt p..P2• de binnen- en de buitenbissectricein de res­pectieve punten E en F, dan is inde figuur direct te zien,dat -1: COF = -1: CFO. zodat CF = CO. Daar -1: EOF =rr/2 is dus ook CF = CO = CEo Aangezien C het midden

is van p..P2• is dan FP•• = EP... Op soortgelijke wijze kanworden aangetoond. dat het midden van elke andere zijdevan de poolvierhoek samenvalt met het midden tussen desnijpunten van zulk een zijde met de binnen- ende bui,ten­bissectrice '!'an -1: n: on: .Het is dus mogelijk door de 4 polen een orthogonale hyper­bool te trekkeh met de genoemde binnen- en buiten­bissectrice van -1: n: on: als haar asymptoten: voor elktweetal punten van de hyperbool, en in het bijzonder dU5ook voor ieder tweetal polen van de polenvierhoek. geldtdaarbij de eigenschap van de hyperbool. dat het middentussen zulk een tweetal punten samenvalt met het middentusse.n de snijpunten, van de verbind!ngslijn, van de twe~

punten met de beide asymptoten van de hyperbool. Om'tekunnen bewijzen. dat deze hyperbool ~n tak is van depolenkromme. is het voldoende te b~wijzen.dat de,hlper­bool S punten gemeen heeft met de eerder genoemdekegelsnede door de 4 polen P13• p... P23 en p... Daar ookde hyperbool door deze 4 polen gaat. behoeft nog slechtste worden bewezen. dat een enkel ander punt van dehyperbool tevens een punt is van de kegelsnede. Voor

zulk een punt wordt een van p....naburig" punt op dehyperbool gekozen. Men volstaat dan dus met te bewijzen.dat beide krommen in p.. dezelfde raaklijn bezitten.

Da raaklijn in p.. aan de hyperbool is de lijn KP..H. waar-- --

voor P..K = P..H. indien K en H ieder op een asymptootIiggen.

Daar -1: KOH = rr/2. is dus ook P..K =P..O.Daarbovendien -1:P..DO= -1:P..FKen -1:P..OD = -1:P..KF.is L::.P..OD ~ L::.P..KF, zodat -1:DP.. 0 = -1: FP..K en dusi.!'3~"~23 = -1: p..~..~ Een van p....naburig" punt op

-- --KP.. ziet de 2 overstaande zijden P23P.3 en p..p.. dus in-derdaad onder dezelfde hoek, zodat KP.. tevens raaklijn isvan de kegelsnede. welke een tak is van de polenkromme.De kegelsnede is dus inderdaad een orthogonale hyper­bool. De polenkromme bestaat dus in dit geval uit de 00.­

eindig verr~ rechte en een orthogonale hyperbool door de4 polen.Voor de 4 polen waarvan wordt uitgegaan, geldt de eigen­schap dat het midden tussen twee polen met ongelijkeindices (z.g. complementaire polen) samenvalt met hetsnijpunt 0 van de twee asymptoten van de hyperbool. Ditgeldt ook voor het overblijvende stel complementairepolen p... P"". 'Daar een orthogonale hyperbool aileen kan worden voort­gebracht, indien de polenvierhoek een parallellogram is,en het er niet toe doet van welke polenvierhoek wordtUitgegaan. is in dit geval elke poolvierhoek een parallello­gram; 'en Iiggen dus aile polen met ongelijke indices tenopzichtl! van 0 diametraal tegenover elkaar. Metn heeft dusde configuratie van figuur 12" indien aile polen, eindigepu nten zij n.

Geval b. De poolvierhoek P'3P32P..P•• is een antiparallello­gram (zie figuuur 13)

Het is in dit geval gemakkelijk te bewijzen, dat de tweediagonalen P"P'3 en p.3P.. van deze vierhoek evenwijdigzijn aan elkaar en dat de verbindingslijn van de snijpunten

t1. t2.

u.

u

t4.

10

II" en II3• van de overstaande zijden een symmetrielijnis van de figuur en loodrecht staat op de twee diagonalen.leder punt van de omgeschreven cirkel van het antiparal­lellogram ziet elk paar overstaande zijden onder dezelfdehoek. zodat deze cirkel een tak is van de polenkromme.Anderzijds is dit ook het geval met de symmetrielijnII12II34 van de figuur. zodat de polenkromme ontaard is inde omgeschreven cirkel van het antiparallellogram en inde verbindingslijn II12II3• door het middelpunt r van dezecirkel.Er zij n nu twee gevallen te onderscheiden:

Geval b1. Het resterende stel complementaire polen ligteveneens op de omschreven cirkel van het antiparallello­gram (zie figuur 13)

Daar ieder stel complementaire polen van het antiparal­lellogram spiegelbeeldig ligt ten opzichte van de sym­metrielijn door het middelpunt van de cirkel en dit mid-

-- --delpunt de overstaande zijden PI .P,3 en p..p43 van de vier-hoek P,.P13P3.P42 onder dezelfde hoek ziet, liggen ook P12

en P3• spiegelbeeldig ten opzichte van de symmetrielijn.Men heeft

STELLING 4:Liggen aile polen die betrekking hebben op vier standen van hetbewegende vlak. op een cirkel. dan zijn de complementairepolen elkaars spiegelbeeld ten opzichte van een lijn door hetmiddelpunt van deze cirkel. De zes punten IIik liggen olle opde symmetrielijn door het middelpunt van deze cirkel, eniedere complementaire polenvierhoek is een antiparallello­gram

Geval b2. Het resterende stel complementaire polen ligt opde symmetrielijn van het antiparallellogram (zie figuur 14)

Voor de raaklijn t in p•• aan de polenkromme geldt, dat~ P,3P••P,.= ~P3.P..t. Daar de omgeschreven .cirkelvan het antiparallellogram P13P3.P••P., een tak is van de

polenkromme. raakt t in p.. aan deze cirkel. Snijdt P••P3•deze cirkel in het punt II23 =I:' p•• en de lijn p••p,. de cirkelin het punt II,. =I:' p••, dan is op grond van het boven-

staande P.:'II14 = CII.3. Hieruit voigt. dat II.. en II'3symmetrisch zijn gelegen ten opzichte van de lijn P, .P34.Deze rechte snijdt de cirkel in de punten U en V. waarbijdus P••V en P..U binnen- respectievelijk buitenbissectricezijn van de hoek ~ P,.P••P34. Hiervoor geldt. dat

P V P P UP. .,. = _" 12= _' • zodat de dubbelverhoudlngVP3• p••P3• UP34

VP12 • UP,• _ 1(VUP,.P3.) = =-. ==-- - .

VP34 UP3•

Men zegt, dat P,. en P3.een harmonische ligging hebben tenopzichte van het puntenpaar U. V.Voorts is op te merken. dat de poolvierhoeken P'3P,.P••P34en P,.P12P.3P3• de gedaante van een vlieger hebben. Er zijnin dit geval dus twee vliegerpoolvierhoeken en een pool­vierhoek. die een antiparallellogram is.Daar het niet geeft van welke poolvierhoek men uitgaat.is hiermee tevens bewezen. dat in het geval de poolvier­hoek een vliegervierhoek is. de polenkromme ontaardtin de symmetrielijn van de "Iieger en in een cirkel door desnijpunten van de overstaande zijden en door het stelcomplementaire polen. dat niet op de symmetrielijn Iigt.

Geval c. De poolvierhoek P'3P3.P••P., is een vliegervierhoekZoals uit het voorgaande is gebleken. ontaardt hierbij depolenkromme in een cirkel en een rechte. Er zijn tweegevallen te onderscheiden:

Geval d. Het resterende stel complementaire polen ligtopde cirkel

Dit geval komt overeen met geval b2.

15.

16.

polenkromme

~/~~:V

Geval c2. Het resterende stel complementaire polen ligt opde rechte (zie figuur 15)

Op grond van het feit. dat voor de raaklijn t aan de cirkel.die een tak is van de polenkromme, weer geldt. dat~ tp..P34 = ~ P12P..P,3• voigt geheel overeenkomstig alsonder geval b2. dat P12 en P3• harmonisch zijn gelegen tenopzichte van de dubbelpunten U en V van de polenkromme.Dus zowel het complementaire stel polen P3•• p., als hetstel polen P34• P12 liggen harmonisch ten opzichte van dedubbelpunten van de polenkromme. P,3 en p.. liggensymmetrisch ten opzichte van de verbindingslijn van dezedubbelpunten.Men heeft in dit geval twee vliegerpoolvierhoeken P,3P3."p••p., en P13P3.P••P., en een poolvierhoek PI .P23P34P., •waarvan aile hoekpunten op een rechte liggen.Daar het onverschillig is, van welke poolvierhoek men uit­gaat. is hiermee.tevens bewezen. dat in hetgeval de pool­vierhoek, een vierhoek is. waarvan aile hoekpunten opeen rechte liggen, de polenkromme ontaardt in dezerechte en in een cirkel door het. ten opzichte van beideparen overstaande hoekpunten van deze vierhoek. har­monisch ~elegen puntenpaar U. V van deze rechte. Derechte UV is daarbij tevens een middellijn van de ge­noemde cirkel.Met behulp van figuur 16 kan men zien. dat het middelpuntM van de omgeschreven cirkel van f::, p,.p..p43 op de raak­lijn tin p.. aan de polenkromme ligt. Hieruit voigt. dat decirkels met middelpunten M en r elkaar in p•• loodrecht

.• -2 --snlJden. zodat rp .. = rp,•. rP34.-. -

Geheel analoog is ook rp .. = rP23 • rp.,. zodat- - ---

rp,•. rp34 = rp23 • rp., .

11

17.

Geval d. De poolvierhoek PU P32P2.P., ;5 een vierhoekwaarvon de hoekpunten op een rechte k liggen

Zoals uit het voorgaande is gebleken. ontaardt hierbij depolenkromme in het algemeen in een cirkel en eenrechte (k).Er zijn twee gevallen te onderscheiden:

Geval d1. Het resterende stel complementaire polen ligt opde cirke/.

Dit geval komt overeen met geval c2.Het probleem dat zich hier voordoet, is de cirkel te be­palen, die een tak is van de polenkromme. De rechte kdoor de 4 polen Pu ' P32, p.. en p., is daarbij een andere takvan de polenkromme.Analoog als onder geval c2 geldt voor het middelpunt rvan de cirkel, als tak van de polenkromme, de betrekking:- - -- - -2 -_.- 2

rp'3' rp2• = rp32 · rp., = ru = rv·Hierop berust een constructie van het harmonisch gelegenpuntenpaar U en V, waarmee deze drkel is vastgelegd(zie figuur 17).

Geval d2. Het resterende stel complementaire polen ligt opde rechte (k)

In dit geval liggen aile complementaire poolparen har­monisch ten opzichte van het puntenpaar U, V op derechte k. Daar in dit geval aile verdraaiingshoeken nul zijn,doet dit geval zich niet voor. (Het geval dat :llle polen zijnsamengetrokken tot het punt U of V, leidt tot een zichvoordoend geval van de momentane beweging).

Geval e. Voor de poolvierhoek P'3P32P2.P., geldt, datP32 = p.,

De overstaande zijden PU P32 enP,.P2• snijden elkaar nll inhet gemeenschappelijke hoekpunt P32 = p., van de vier­zijde (zie figuur 18). De polenkromme vertoont een dub­be/punt in dat hoekpunt. leder punt van de kromme kanworden gevonden door een exemplaar uit de cirkelbundelmet P3, en P32 als basispunten te snijden met het overeen­komstige exemplaar uit de cirkelbundel waarbij p., en p.2basispunten zijn (zie de algemene constructie van de polen­kromme in dit hoofdstuk). Beide exemplaren snijden elkaarsteeds in het punt P32 = p., en in nog een ander punt.Daar tel kens slechts een pur,t wordt voortgebracht, is depolenkromme een unicursa/e kromme. In het geval het varia­bele punt samenvalt met P32 = P", raken de twee exem­plaren uit de respectieve cirkelbundels elkaar en is de ge­meenschappelijke raaklijn in P32 = p., tevens raaklijn aande polenkromme il'dat punt. Daar hierbij M", en M",'(en zo ook N", en N",') op een rechte door P32 = p.,liggen, is de bissectrice t (en zo ook t') van 0:: P3,P14P.2de gemeenschappelijke raaklijn van beide cirkels. De bin­nen- en de buitenbissectrice van 0:: P3,P14P.2 zijn dus dedubbelpuntsraaklijnen in p., = P32 aan de polenkromme.De dubbelpuntsraaklijnen staan dus loodrecht op elkaar.

Bij gegeven poolvierhoek bestaat nog de vrijheid van keuzevan een van de twee resterende polen op de polenkromme.In figuur 19 is hiervoor P'2 genomen. De laatste pool p.3is dan volledig bepaald:

0:: P'2P2.P., = Cf!2./2 = 0:: P32P2.P43 en

0:: P23P3,P12 = Cf!3,/2 = 0:: P43P3,P,..

Daar tevens

0:: P'3P34P., = Cf!34/2 = 0:: P23P3.P.2 en

0:: P3,P12P23 = Cf!12/2 = 0:: P.,P12P2.'

gaar. de 4 bissectrices van poolvierhoek P'2P24P.3P3' dooreen punt, dat het dubbelpunt is van de polenkromme.Er zijn dus bij elkaar twee samengeknepen vliegerpoolvier­hoeken P'2P23P3.P., en PU P32P2.P., en een poolvierhoekmet eEn ingeschreven cirkel.

polen_krc.mme

/

/IIII

18. /II 19.

12

·t'

, ,

II

II

//

polenkr omm./

II

/, /, /

-;/ ',Pz4". !

';, ,~4

Daar het onverschillig is van welke poolvierhoek wordtuitgegaan, kan dus ook worden uitgegaan van een pool­vierhoek met een ingeschreven cirkel. Het middelpuntvan deze cirkel is dan tevens het dubbelpunt van de polen­kromme. De dubbelpuntsraaklijnen zijn de binnen- enbUitenbissectrice van de ~ P'30P••.

Geva/ f. De poo/vierhoek P'3P3'P••P., heeft een ingeschre­yen cirkel.

Zoals uit het voorgaande is gebleken, heeft de polen­kromme die bij deze poolvierhoek hoort, een dubbelpuntin het middelpunt 0 van de ingeschreven cirkel. Dedubbelpuntsraaklijnen zijn de binnen- en de buitenbissec­trice van ~ P'30P•• of van ~ P3,OP., (zie figuur 20). Bijde gegeven poolvierhoek bestaat nog de vrijheid van keuzevan een van de twee resterende polen op de polenkromme.De zesde en laatste pool is dan volledig bepaald.Met 0 als middelpunt wordt nu een kleinere cirkel ge­trokken. Men trekt vervolgens vanuit p•• en P,3 raak­Iijnen aan deze cirkel. Deze soijden elkaar buiten depunten p•• en P13 in nog 4 punten p",., P"'3' IT",. en IT".3'Er zal worden aangetoond, dat P"" en P".3 op de polen­kromme liggen en dat P"12 en P".3 als het nog ontbrekendestel complementaire polen kan worden genomen.De polenkromme p", die behoort bij de poolvierhoekp3,p""p,.p" ... heeft een dubbelpunt in 0 en haar dubbel­puntsraaklijnen zijn, evenals die van de polenkromme p,die behoort bij D P3,P,.P4,P.3, de binnen- en buitenbissec­trice van ~ P'30P.4' Daar P'30 in beide poolvierhoekenbissectrice is in het hoekpunt P'3' leidt de construetie voorde raaklijn aan een polenkromme in het hoekpunt van eenpoolvierhoek tot identiteit van de raaklijnen t en t" inP'3 aan p en p". Op soortgelijke wijze is aan te tonen, datp en p" in p.4 een gemeenschappelijke raaklijn bezitten.Beide krommen hebben dus gemeenschappelijke raak­lijnen in P'3 en p•• en dezelfde dubbelpuntsraaklijnen in O.Voortsgaanzowel pals p" door de isotrope punten I, en I•.Het aantal gemeenschappelijke punten van p en p" is dusminstens 10, hetgeen voor een tweetal krommen van de 3egraad aileen mogelijk is, indien ze volledigovereenstemmen.Dus p" = p. Hieruit voigt, dat P"12 en p"... op de polen-

kromme p zijn gelegen. Daar nu P"" en P"43 ook tweetegenover elkaar gelegen hoekpunten zijn in de poolvier­hoek P3,P",.P••P" ... van p, is het mogelijk' p,. = P"12 enP43 = p"... te nemen. -Op dezelfde wijze kan worden aangetoond, dat ook depoolvierhoek P"P'3P"P4' een ingeschreven cirkel heeftmet middelpunt in O.Men heeft zo

STELLING 5:Een po/enkromme ontaardt in een kromme met een dubbe/­punt, indien minstens een poo/vierhoek een ingeschrevencirke/ heeft. Het midde/punt van deze cirke/ va/t samen methet dubbe/punt van de kromme. De twee andere poo/vier­hoeken bezitten beide een ingeschreven cirke/, die concen­trisch is met de eerstgenoemde (in bijzondere gevallen is ditde nl!lcirkel in het dubbelpunt van de kromme).

De driehoek met als hoekpunten het dubbelpunt van dekromme en een stel complementaire polen, heeft eenbinnen- en een buitenbissectrice In het hoekpunt datdubbelpunt is, welke de dubbelpuntsraaklijnen zijn vande polenkromme.

Het omgekeerde van de voorgaande stelling leidt tot deSTELLING 6:Bezit de po/enkromme een dUbbe/punt, dan heeft iederepoo/vierhoek een ingeschreven cirke/ (zie figul!r 21)

Bewijs:Het is voldoende aan te tonen dat 0 P13P3,P'4P., een inge­schreven cirkel heeft. Daar in het dubbelpunt 0 van depolenkromme twee samenvallende punten Iiggen, dienenin overeenstemming met de constructie van de polen­kromme, twee aan elkaar toegevoegde cirkels uit de beidebundels, waarvan de hoekpunten van twee overstaandezijden van de poolvierhoek, baslspunten zijn, elkaar in 0te raken. (Zo dit niet het geval mocht zijn, snijden de tweecirkels door 0 elkaar slechts in het dan enkelvoudig tetellen punt 0 en in nog een ander punt v.an de polenkrom­me). Het onderling raken van de twee genoemde cirkelsis een nodige maar nog geen voldoende voorwaarde voor

20.

,,I,,,,~;

t=t"

II

I

Ipolenkromtne i

I

\2t.

13

een dubbelpunt in het raakpunt: is namelijk de gemeen­schappelijke raaklijn van beide cirkels tevens raaklijn vande polenkromme, dan wordt het raakpunt 0 ook dubbelgeteld. Een dergelijk punt is dan een enkelvoudig punt vande polenkromme. Men kan echter opmerken, dat de tweeaan elkaar toegevoegde cirkels, die ieder door de hoek­punten van de twee andere overstaande zijden van depoolvierhoek gaan, elkaar ook in 0 moeten raken.Pas indien de gemeenschappelijke raaklijn van dit cirkel­paar niet komt samen te vallen met de gemeenschappe­lijke raaklijn van het eerder genoemde cirkelpaar, is hetsnijpunt 0 van de 4 cirkels een dubbelpunt van de polen­kromme.Voor de hierbij horende configuratie geldt, dat

<1: (A. + C, + B, + D,) = 180" l.q: (A, + C. + B, + D,) = 180°.q: (A, + C, + B, + D,) = 180°<1: (A, + C, + B, + D,) = 180°,

zodat

.q: (A, - A,) = .q: (C, - C,) en

.q: (B, - B,) = .q: (D, - D,).

Daar 0 een punt is van de polenkromme, geldt ook, dat:

.q: (A, + C, + B, + D,) = 180" en I

.q: (A, + C, + B, + DJ = 180° \

zodat in combinatie met de eerste vier betn!kkingen:

.q: (C, - C,) = .q: (B, - B,).

Er geldt dus, dat

.q: (A, - A,) = .q: (B, - B,) = .q: (C, - C,) =

.q: (D, - D,).

Daar op grond van stelling 2 in plaats van 0 P'3P3'P,.P.,ook mag worden' uitgegaan van 0 II.,P"II34P42 kan opovereenkomstige gronden worden bewezen, dat

.q: (E, - E,) = .q: (D, - D,) = .q: (F, - F,) =

.q: (B, - B,), zodat uiteindelijk ook

.q: (A, - A,) = .q: (B, - B,) = .q: (E, - E,).

Hieruit voigt, dat indien .q: A, > .q: A" dat dan ook.q: B, > .q: B, en .q: E, > .q: E, is. In geen enkele drie­hoek, en dus ook niet in f:, ABE, waarbij de drie hoek­transversalen door een punt 0 gaan, is dit mogelijk.De onderstelling, dat .q: A, > .q: A, was dus onjuist. Is.q: A. < .q: A" dan voigt een soortgelijke redenering. Deconclusie is dus, dat .q: A. = .q: A" zodat tevens

.q: B. = .q: B" .q: C. = .q: C" .q: D. = .q: D" .q: E. =

.q: E, en .q: F. = .q: F, is.

De poolvierhoek P32P..P.,P'3 heeft dus een ingeschrevencirkel en is evenals oII., p,3II34P•• een raaklijnenvierhoek.Voor iedere andere poolvierhoek geldt dit ook, zodat hetbewijs van de stelling geleverd is.

1.2 De cirkelliggingskromme en haar relatie tot demiddelpuntskromme

Figuur 22 laat zien, dat voor de drie spiegelbeeldpuntenA" A. en A3 van een punt FA ten opzichte van de zijdenvan de pooldriehoek p..Pn P3,:

.q: A,P..A. = 2 . .q: P3,P..P23 = cp..

.q: A,P23A3 = 2 . .q: p,.P.3P3, = CP23

.q: A3P3,A, = 2 . .q: P.3P3,P.. = CP3'en voorts, dat

P..A, = P..A., P.3A. = P.3A3 en P3,A3 = P3,A,.

14

De punten A" A. en A3zijn dus de opeenvolgende posities\'an een punt A in de standen 1, 2 en 3 van het bewegendevlak. Het bijbehorende punt FA wordt het fundamentaal­punt genoemd.Voor het middelpunt IX ~an de cirkel door A" A. en A3geldt, dat:

IXL, + L,FA = IXA, = IXA. = IXL. + L.FA = IXA. =- - -IXA3 = IXL3 + L3FA.

L" L. en L3 Iiggen dus op een ellips, waarvan IX en FAbrandpunten zijn.Daar .q: P3,L,IX = .q: FAL,P,., is op grond van de raaklijn­constructie voor het punt L, van de ellips, de pool­driehoekszijde p,.p3, een raaklijn van de ellips. OokP"P'3 en P23P3, zijn raaklijnen van deze ellips.Twee raaklijnen aan een ellips maken gelijke hoeken metde verbindingslijnen van het snijpunt van de t'l'lee raak­lijnen en de beide brandpunten.Hieruit voigt. dat.q: P3,P..IX = .q: FAP,.P.3. Net zo is ook.q: P..P.3FA = .q: IXP.3P3, en .q: P.3P3,FA = .q: IXP3,P...Punten IX en FA, die deze hoekeigenschappen bezitten•heten isogonaal aan elkaar toegevoegde punten ten opzichtevan de driehoek P..P'3P3"

De meetkundige plaats van die punten A" die samen metA., A3 en A. op een cirkel om IX liggen wordt de cirkel­Iiggingskromme van de stand 1 genoemd.Zoals bekend, is de meetkunige plaats van de overeen­komstige middelpunten IX. de middelpuntskromme. Daarbij omkering (inversie) van de beweging, baanpunt (A,)en middelpunt (IX) van plaats verwisselen, is de cirkel­Iiggingskromme de middelpuntskromme van de inversebeweging. (In dit geval dus de beweging van het gestel tenopzichte van stand 1). De cirkelliggingskromme is dus,evenals de middelpuntskromme, een polenkromme, enwei een polenkromme door de 6 polen p.., P"3' P". P,.,P'3. en p' ••.De volgende overwegingen liggen hieraan ten grondslag:De pool p,. kan beschouwd worden als de pool waaromhet met stand 1 verbonden vlak ten opzichte van het gestelverdraaid dient te worden om in stand 2 te komen. Daar­bij wordt gedraaid over de verdraaiingshoek cp, •. Omge­keerd is datzelfde punt p.. ook de pool waarom het gestelten opzichte van het met stand 1 verbonden vlak kan wor­den bewogen om stand 2 tot dekking te brengen metstand 1. Bij deze omkering van de beweging is de ver­draaiingshoek gelijk -cp.. = cp., .De pooldriehoek die behoort bij de standen 1, 2 en 3 vanhet gestel ten opzichte van het met stand 1 verbondenoorspronkelijke bewegende vlak, rekent dus P12 en zo ookP" zeker tot haar hoekpunten. De daarbij behorendehoeken zijn cp.,/2 en cp3,/2. Dit leidt onmiddellijk tot het3e hoekpunt P'n' dat dan, zoals blijkt uit figuur 23, hetspiegelbeeldpunt is van p.3 ten opzichte van P..P'3'De pooldriehoek p,.P'nP3' is dus de pooldriehoek die be­hoort bij de standen 1, 2 en 3 van het gestel ten opzichtevan het met stand 1 verbonden oorspronkelijke bewegendevlak.Op dezelfde wijze wordt gevonden, dat p'.. het spiegel­beeldpunt is van p•• ten opzichte van de rechte P12P,. en te­vens hoekpunt is van de pooldriehoek P..P' ••P41' die be­hoort bij de standen 1, 2 en 4 van. het gestel ten opzichtevan het met stand 1 verbonden oorspronkelijke bewegen­de vlak. Tenslotte is ook P'34 het spiegelbeeldpunt van P34ten opzichte van de rechte P"P,. en tevens hoekpunt vande pooldriehoek P'3P'34P."

De zes genoemde polen behoren dus tot de cirkelliggings­kromme. leder punt van deze kromme ziet twee over­staande zijden van een van de drie complementaire pool­vierhoeken P,.P'.3P'34P." p..P'••P'.3P3' en P'3P'3.P' ••P.,dus onder dezelfde zichthoek.

22.

23.

De cirkelliggingskromme in stand 1 wordt verkregen uit demiddelpuntskromme door isogonale transformatie ten opzichtevan de pooldriehoek P12P23P3" gevolgd door een spiegeling tenopzichte van de zijde P12P'3'

Hetzelfde resultaat wordt verkregen indien voor de pool­driehoek de /':, P'2P2.P., of de /':, P13P3.P., wordt genomen.De spiegeling vindt dan plaats ten opzichte van de res­pectieve zijden P12P., of P'3P."

Omgekeerd wordt de middelpuntskromme uit de cirkelliggings­kromme in stand 1 verkregen door isogonale transformatie tenopzichte van de driehoek P12P'23P31' gevolgd door een spiege­ling ten opzichte van de zijde P12P3,.

Het is duidelijk, dOlt de isogonale transformatie en despiegelingstransformatie mogen worden verwisseld, indiende isogonale transformatie genomen wordt ten opzichtevan de gespiegelde pooldriehoek.

Van belang zijn nu de aan elkaar toegevoegde ontaardingenvan de polenkromme, door mid del van het zojuist gelegdeverband tussen de middelpuntskromme en de cirkel­liggingskromme.Daartoe zijn twee hulpstellingen van betekenis.

STELLING 7:

De isogonaal toegevoegde van een rechte door een van dehoekpunten van de fundamentaaldriehoek, ten opzichte waar­van de isogonale transformatie wordt genomen, is weer eenrechte, welke het ~piegelbeeld is van deoorspronkelijke rechteten opzichte van de bissectrice door dot hoekpunt.

STELLING 8:

De isogonaal getransformeerde van een willekeurige rechte,is een kegelsnede door de hoekpunten van de fundamentaal­driehoek, ten opzichte waarvan de isogonale transformatiewordt genomen en omgekeerd.

isogonaalaan de rechtetoellevoegde kromme

~2

De eerstgerioemde stelling vloeit onmiddellijk voort uitde definitie van isogonaal aan elkaar toegevoegde punten.Het bewijs van de laatstgenoemde stelling is meetkundig:de willekeurige rechte snijdt iederezijdevan defundamen­taal-driehoek in een punt waarvan het isogonaal toege­voegde punt het tegenover die zijde gelegen hoekpunt vande fundamentaaldriehoek is. De isogonaal aan de rechtetoegevoegde kromme, is dus een kromme door de hoek­punten van de fundamentaaldriehoek. ledere rechte dooreen hoekpunt van de fundamentaaldriehoek snijdt dezekromme in nog slechts een ander punt, dOlt isogonaal istoegevoegd aah het snijpunt van het ten opzichte van debissectrice van dOlt hoekpunt genomen spiegelbee\d vandeze rechte met de willekeurige rechte waarvaD werduitgeiaan. Daar ledere lijn van t!le lijnenwaaier, metals basis­punt een punt van de kromme, de kromme in nogslechtseen ander punt snijdt, is deze kromme van de 2e graad endus een kegelsnede door de hoekpunten van de fundamen­taald riehoek (zie figu ur 24).Daar de isogonale transformatie omkeerbaar is, geldt dusook het omgekeerde.De raaklijn in een hoekpunt van de fundamentaliidriehoekaan de kegelsnede is de isogonaal toegevoeide rechte vande verbindingslijn van dat hoekpunt met het snijpunt vande willekeurige rechte waarvan werd uitgegaan, met detegenover dat hoekpunt gelegen zijde van de fundamen­taald riehoek.

STELLING 9:

Is de middelpuntskromme ontaard in een cirkel en een rechte,waarbij aile polen op de cirkel zijn ge/egen, dan is de over­eenkomstige cirkettiggingskromme ontaard in een orthogonalehyperbool door de polen P'2' P13' p,., P'.3' P'3. en p'.. en inde oneigenlijke rechte, en omgekeerd (zie figuur 26)

Bewijs:

Daar de middelpuntskromme \lit twee takken bestaat,kan de isogonale transformatie van deze kromme,tak voor

fS

25.

tak gebeuren: de isogonaal getransformeerde van de om­geschreven cirkel van t:, p,.p••p., is de oneigenlijke rechte(zie figuur 25). Dit voigt uit het feit. dOlt ieder punt van dezecirkel zich iso~onaal transfo.rmeert naar een oneindig verpunt: voor een willekeurlg punt R van de omgeschrevencirkel geldt. dOlt

~ QP..p., = ~ P••P,.R = ~ RP.. P•• = ~ p,.p.,Q. zo­dOlt p,.Q//p.,Q en Q = Q<O .

Ook na spiegeling ten opzichte van de zijde p..p.. blijft deoneigenlijke rechte zichzelf. De cirkelliggingskromme isdus ontaard in de oneindig verre rllchte en in een krommedie dan aileen nog van de 2e graad kan zijn. De rechte kdoor het middelpunt van de omgeschreven cirkel vant:, p,.p••p., gaat in het algemeen niet door een van depolen en heeft dus 0115 isogonaal getransformeerde eenkromme die een kegelsnede is door de hoekpunten vant:, p..p••p.,. De snijpunten U en V van de rechte k met deomgeschreven cirkel van t:, p,.p••p., zijn isogonaal toe­gevoegd aan twee verschillende oneigenlijke punten uj<Oen Vj<O, zodat de kegelsnede twee verschillende reelepunten op 1<0 bezit. De kegelsnede is dus een hyperbool.Daar

~. UP••Vj<O = ~ UP••p.. - ~ Vj<O p••p.. =~ p;.P23Uj<O - ~ p,.p••V = ~ VP••Uj<O

en

~ UP••V = 7t/2,is ook

~ Vj<O p••Uj'" = 7t/2.

De asymptotische richtingen van de hyperbool staan dusloodrecht op elkaar; de hyperbool is dus een orthogonalehyperbool.Na spiegeling ten opzichte van p..p,. van deze orthogonalehyperbool wordt een tak van de cirkelliggingsKrom~einstand 1 verkregen. De op deze wijze verkregen tak IS dusweer een orthogonale hyperbool. Daar aile polen eindigepunten zijn, is dit ook het geval met de polen p'••• p'•• enp'... De clrkelliggingskromme in stand 1 is dus ontaard inde oneigenlijke rechte en in een orthogonale hyperbooldoor de zes polen p,•• p' ••• p.,. p.., p' •• en p'••. De driepoolvierhoeken p,.p'••p'..p." p,.p'••p'..p., en P13P'••p'••­P ziJ'n aile parallellogrammen. Het snijpunt van de diago-

41 .•nalen in ieder parallellogram is tevens het snlJpunt van deasymptoten van de orthogonale hyperbool.De asymptoten maken gelijke hoeken met twee aan­grenzende parallellogramzijden. Daarmee is de stellingbewezen.Het omgekeerde van de stelling voigt door omkering vande beweging. Voorts voigt uit de omkeerbaarheid van deisogonale transformatie:

STELLING 10:

Is de middelpuntskromme ontaard in de oneindig verre rechteen in een orthogonale hyperbool door de polen P,., p••• p.,. p, ••p•• en p.., dan is de cirkel/iggingskromme van stand f. ont­aard in een cirkel door de polen p... p' ••, p." p,•• p'.. enp'•• en in een rechte door het middelpunt van deze cirke/. enomgekeerd (zie figuur 27).

STELLING 11:

Is de mlddelpuntskromme ontaard in een cirkel door de polenp... p••• p•• en p., en in de rechte pup•• door het middelpuntvan deze cirke/. dan is de cirkel/iggingskromme van stand fontaard in een cirke( door de polen P13• p'••, p' •• en Pd en inde rechte p,.p'•• door het middelpunt van den cirke/. en om­gekeerd (zie figuur 28)

Bewijs:

De isogonaal toegevoegde aan de rechte p..p,. door hethoekpunt p.. van de pooldriehoek p,.p••p., is weer eenrechte, die het spiegelbeeld is van p••p.. ten opzichte vande bissectrice door het hoekpunt p,. van de poofdriehoek.

ku

26.

/" J~~il'td..IPUl'lt5_~// / krolT'lh"llt

j~4uj

vi

27.

16

28.

,II,I

,,,,,

\r1

,,,,,, .\~k

-~---~~~,,,

Deze cirkel gaat dus door de punten P'3' P'32' P' .... en p.,.Wordt pooldriehoek P"P3.P., tot fundamentaaldriehoekgekozen. dan gaat de isogonaal getransformeerde rechtevan P,.P3• door P3• en na spiegeling ten opzichte van P'3P,.dus door P',.. De rechte. die een tak is van de cirkellig­gingskromme gaat dus door P'3.' Deze rechte is dus derechte P12P'3.' waarmee het bewijs geleverd is. Het omge­keerde van de stelling voIgt door omkering van de be­weging.

STELLING 12:

Is de middelpuntskromme ontaard in een rechte door de polenp.., p••• p.3 en P3, en in een cirke/, anders dan de nu/cirke/,door de poten p,. en p.3 • dan ontaardt de cirkelliggingskrommevan stand 1 in een circulalre kromme van de 3e graad met eendubbelpunt in de pool P'.3 = p,. dat aan de rechte is toege­voegd, en omgekeerd. De dubbelpuntsraaklijnen staan daarbijloodrecht op elkaar (zie figuur 29).

Spiegeling van deze isogonaal toegevoegde rechte aan dezijde P"P'3 geeft een tak van de cirkelliggingskrornme instand 1.Dit is dus een rechte door de pool p... De cirkelliggings­kromme is een circulaire krom.me van de graad 3. De an­dere tak van de cirkelliggingskromme is dus ee.n krommevan de 2e graad. die door de isotrope punten moet gaan.Dit is dus een cirkel. De cirkelliggingskromme is dus ont­aard in- een cirkel en een rechte. die zoals bekend uit hetonderzoek van de ontaardingen van zulk soort krommen,door het middelpunt van de cirkel gaat.Bewezen is dus nu, dat de isogonaal toegevoegde van eenci rkel door twee hoekpu nten van de fu ndamentaald riehoekna splegeling ten opzichte van een van de zijden van dezedriehoek weer een cirkel oplevert. Aangezien de eerstecirkel de respectieve zijden p..p,,' en p.3P,. snijdt in derespectieve punten X en Y, waarvan p.3 en P" respectie­velijk de isogonaal getransformeerde punten zijn, gaatde isogonaal getransformeerde cirkel na spiegeling tenopzichtevan p..p,:> dus door de pu nten ~"3 en P'3'Wordt in plaats van 6 p,.P.3P3, de pooldriehoek P,.P2.P.,tot fundamentaaldriehoek gekozen, dan geeft een overaen­komstige redenering de uitkomst. dat p'•• en p,. op decirkel liggen, die een tak is van de cirkelliggingskromme.

. ;'

middelPuntskrl?~~'.::: W1

Q

29.

Bewijs:

De rechte door de polen P12' p••, p.3 en P3, is een zijdevan de pooldriehoek P12P.3P3" Van welke zijde de pool p.3de isogonaal getransformeerde is ten opzichte van dezedriehoek. Spiegeling ten opzichte van P12P" geeft slechtseen punt. teweten hat punt P'.3 van de cirkelliggingskrom­me in stand 1.Daar ook de snijpunten U en V van de rechte P12P'3 metde tirkel door p,. en p.3zich, na isogonale transformatie enspiegeling ten opzichte van de rechte P12P'3' naar hEit puntP'.3 transformeren, bestaat de cirkelliggingskromme vanstand 1. als de van de cirkel isogonaal getransformeerde engespiegelde kromme, uit een trek. De cirkelliggingskrom­me is dus een unicursale kromme.

Daar twee verschillende punten U en V van de cirkel zichnaar hetzelfde punt P'.3 transformeren, is P'.3 een dubbe/­punt van de cirkelliggingskromme van stand 1.Twee diametraal tegenover elkaar gelegen punten W, enW. van de cirkel door p,. en p.3 zijn isogonaal toegevoegdaan de respectieve p'unten Wi, en Wi .' waarvoor4: Wi,p.3Wi. = rt/2,omdat oak4: W,p.3W. = rt/2.

30.

17

- \

Het midden M'" van het lijnstuk Wi,Wi. ligt op de lijndoor p.. in de asymptotische richting van deisogonaal aande cirkel toegevoegde kromme. Deze asymptotischerichting heeft de riehting van een lijn naar dat punt Qivan de oneigenlijke rechte. dat isogonaaJ is toegevoegdaan het snijpunt Q OF p•• van de omgeschreven cirkel van6 PUP"P" met de cirkel door P14 en p••.De lijnen Wi, Wi. gaan steeds door hetzelfde punt r', dattevens een punt is van de isogonaal aan de cirkel toege­voegde kromme. (Een bewijs wordt hier niet gegeven).

Nadert W, tot U en W. tot V, dan zijn Wi ,p•• en Wi .p••de dubbelpuntsraaklijnen aan de isogonaal aan de cirkeltoegevoegde kromme. Deze staan dus loodrecht op elkaarNa spiegeling ten opziehte van de zijde pup,. is dit dus ooknog het geval.Men heeft het ontaardingsgeval, dat voor de middelpunts­kromme besproken is onder geval e: Er zijn twee sam en·geknepen vliegerpoolvierhoeken p,.p'••p' ••p., en P'3P",~

p' ••p., en een poolvierhoek P,.P,.P'••p'•• met een inge­schreven cirkel.(Merk op. dat p'•• = P,.),

Daar de isogonale transformatie omkeerbaar is. komt menook tot de

STELLING 13:

Is de middelpuntskromme ontaard in een circulaire krommevan de 3e graad met een dubbelpunt in de pool p•• = p,••dan ontaa'dt de cirke/liggingskromme van stand 1 in eenrechte door de polen P,., pl••• p••' en p., en in een cirke! doorde polen p,. en pI... en omgekeerd.

De snijpunten van de cirkel met de rechte liggen harmo­nisch ten opziehtf. van het stel puntenparen Pu ' pl•• enp' ••• p., (ziefiguuI3C).

Tenslotte heeft men nog

STELLING 14:

Is de middelpuntskromme ontaard in een circulaire krommevan de 3e graad met een dubbelpunt, dat niet met een van depolen samenvalt. dan is dat in het algemeen ook het geval metde cirkel/iggingskromme in de stand 1. Daarbij heert iederepoolvierhoek een ingeschreven c"ke/. en omgekeerd (ziefiguur :t1).

Het bewijs voigt onmiddellijk uit de overweging. dat in hetalgemeen een dubbelpunt na isogonale tr ansformatie in eenander dubbelpunt wordt getransformeerd.

1.3 De polenkromme als brandpuntskromme

De polenkromme is van de 3e graad. Zij heeft met I", detwee isotrope punten en een asymptotisch punt gemeen.Daar de polenkromme volledig is vastgelegd door een pool­vierhoek, is hiermee ook de asymptotische richting be­paald.Zij gegeven de poolvierhoek P'3P3.P••P." (zie figuur 31 a).leder punt X op de polenkromme p "ziet" dan de lijn­stukken p,.p•• en p..p•• onder dezelfde hoek. De bissec­trice van -1: p••XP,. snijdt de diagonalen p,.p•• en P3.p..van de poolvierhoek in de respectieve punten Z, en Z •.Het is duidelijk. dat nu P'3X/P••X = P'3Z,/Z,P" enp••XfP,.X = p••Z./Z.P14•

Voor het asymptotisch punt X'" van p naderen de linkerleden van deze gelijkheden tot 1. Hieruit voigt. dat hetasymptotisch punt van p gevonden wordt op de verbin­dingsrechte van de middens der diagonalen van de pool.vierhoek.

STELLING 15Twee complementaire polen. dat zijn diametraal tegenoverelkaar gelegen hoekpunten van een po/envierhoek. zijnonderling isogonaal verwant ten opzichte van Llt*lkPkjPji.indien It*ik het complementaire punt van ltik is.(zie figuur 31 b).

Bewijs:Het is voldoende om voor de fundamentaaldriehoek ten op­ziehte waarvan de isogonale verwantschap wordt bekekeneen der mogelijke driehoeken bijvoorbeeld Llt*.. p..p.,te nemen. Daar het puntlt*.. = It•• op P ligt, is -1: P3.lt* ..P••= -1: p..lt*..p., = -1: p..lt* ..p,3' Decomplementaire polenP,. en p•• liggen dus respectievelijk op onderling isogonaalverwante rechten door het hoekpunt It* .. van de gekozenfundamentaaldriehoek. De pool P,3 ziet de overstaande zij­den p,.p,. en p..P3• van de poolvierhoek p..p••p••p.,onder gelijke ziehthoeken, zodat ook -1: p,.p,.lt*,. =-1: P••PI.P••.De complementaire polen p,. en p•• liggen dus ook res­pectievelijk op onderling isogonaal verwante rechten doorhet hoekpunt P,. van de fundamentaaldriehoek. Bij elkaar

31a.

x

31.

18

31b.

genomen zijn dus de complementaire polen p,. en p••isogonaal verwant ten opzichte van /'::, n* ••P••P31 •

Op grond van stelling 2 kan men laten zien. dat hetzelfdegeldt voor het stel complementaire punten (n••• n••) enevenzo voor het stel (n ••• n,.).[Ook voor de stellen complementaire n-punten met een~nkel-of een meervoudig accent (zie stelling 3) is de stellingvan toepassing.]De polenkromme is volledig vastgelegd door de ligging vande 4 polen. bijv. p... P••• p•• en P.,. die de hoekpunten zijnvan een polenvierhoek. Een vijfde pool, bijv. p,., mag. metbetrekking tot het onderzoek der eigenschappen van p.nog wil/ekeurig op p worden aangenomen. De zesde pool,nl. p••• is dan volledig bepaald als het ten opzichte van/'::,n..P••P•• isogonaal toegevoegde punt; dat dan vanzelfop p komt te liggen: In plaats van de keuze van p•• op p.kan ook worden uitgegaan van een gekozen Iigging van n..op p. Aileen ten behoeve van het onderzoek naar de eigen­schappen van p wordt nu n.. in het asymptotisch punt vanp gekozen. Dus n,. = n:'!.. Het isogonaal aan dit punttoegevoegde punt n•• ligt dan. op grond van de configuratievan' fig. 25. op de omgeschreven cirkel van/'::,n*,.P..P31 •

Het ligt geheel analoog ook op de omgeschreven cirkel van/'::, n*,.p••p., enz.led ere /'::, n*ikPkjPji heeft dus een omgeschreven cirkel wel­ke door het punt n•• gaat. Dit bijzondere. aan het asympto­tisch punt van p. isogonaal toegevoegde punt zal voortaanhet brandpunt r van p worden genoemd.Dus r = n... Daar n.. = n:'!. is de polenvierhoekp,.p••p••p•• een trapezium. omdat p••p••IIP,.p••. (ziefiguur 31c).

. Zoals bekend, is L,C.-L.C, = 0 de vergelijking van p.Hierbij is bijvoorbeeld L, de rechte p..p••• L. de rechtep••p••• C, de cirkel met het Iijnstuk p,.p.. als middellijn enC. de cirkel. die het lijnstuk p••p•• tot middellijn heeft.Stelt men L./L. = A.. dan is:

C). == C.-leC. = 0 } (1)enLA == L.-leL. = 0 (2)C A is nierblj een exemplaar uit een cirke/bundel. welke desnijpunten A en B van C, ell C. tot basispunten heeft.LA is een exemplaar uit de lijnenwaaier. die het snijpuntn•• = r van L, en L. tot basispunt heeft. De snijpunten vanC). en LA Iiggen tel kens op p. omdat voor zulke punten zo­wei aan (1) als aan (2) voldaan is en de coordinaten van dezesnijpunten dus ook voldoen aan de betrekking L,C. ­L.C. = O. waaruit Ie geelimineerd is.Het middelpunt MA van de cirkel C A ligt op de ver­bindingsrechte M,M. van de middelpunten M, en M. vanrespectievelijk C, en C•.Deze rechte is de middelloodlijn van het lijnstuk AB enloopt evenwijdig met de rechten p,.p•• en p••p••. Hetasymptotisch punt n:'!. van p Iigt dus op M,M •. De rechteM,M. is tevens de verbindingsrechte der middens van dediagonalen p,.p•• en p..p••. Daar n:'!. op deze rechteIigt en ook op de verbindingsrechte van de middens van dediagonalen p••p•• en p••p.. in D p,.p••p•• p••• gaat M.M.door het midden van p••p... p••p•• en p••p•• en voortsdoor het midden van ieder ander stel complementairepunten. zoals (n, •• n••). (n... n2') enz.

Ten einde te bewijzen. dat MA steeds op LA kan wordenaangetroffen. wordt de kromme f. voortgebracht door tel­kens twee sn ij pu nten van C A en LA waarbij dit inderdaadhet geval is, vergeleken met de polenkromme p. De focus­kromme f gaat door de beide isofrope punten I. en I.omdat tel kens een cirkel met een rechte wordt gesnedenen de isotrope punten op iedere cirkel worden aangetrof­fen en dus ook snijpunten zijn van C A en de cirkel die ont­aard is ill LA en leo. De focuskromme gaat ook door devier hoekpunten p,., p••• p•• en p•• van het trapezium,omdat L. inderdaad door het midden M, van C, gaat en de

cirkel C, door A en B. de rechte L. uit de Iijnenwaaierinderdaad in p.. en P,. snijdt en iets dergelijks gezegdkan worden ten aanzien van L. en C•. Ook het punt r iseen punt van f. omdat de cirkel C A door A. B en r derechte MA r in r snijdt. Zo voortgaande vindt men, datook de basispunten A en B van de cirkelbundel op f IIggen.omdat zowel voor het punt A als voor het punt B aan el­kaar toegevoegde exemplaren uit de lijnenwaaier en decirkelbundel kunnen worden aangewezen. Tenslotte isook het punt n~ een punt van f, omdat met MA in n~ decirkel C A uiteengevallen is in de machtlijn AB en leo ende laatste de rechte LA = rM A in het punt IT:'!. snijdt.De kromme f is van de 3e graad. omdat telkens een rechte.die van de 1e graad is. gesneden wordt met een cirkel,welke een 2e graads kromme is.De polenkromme p is eveneens van de 3e graad en gaat ookdoor de punten p••• Pi•• p••• p••• n... n:'!.. I•• I., A en B.Voor twee krommen van de 3e graad zijn 10 gemeenschap­pelijke punten aileen mogelijk. indien f == p. Zodat MA opL~ Iigt.Op de in het voorgaande ontwikkelde theorie berust eenconstructie van de polenkromme. welke de meest een­voudige is. en daardoor sneller kan worden uitgevoerd:

Brandpuntsconstructie van p (zie figuur 31 d).1. Teken een der drie poolvierhoeken bijvoorbeeld

D p..p••p••p.,.2. Snijd p••p., en p••p•• in het punt n12 en p••p•• met

p,.p,. in n••.3. Snljd de omgeschreven cirkels van de driehoeken

n,.P,.P, •• n,.P••P••• n ••P••p., en n••P••p•• met elkaarin het brandpunt r van de polenkromme.

4. Verbind de middens van de Iijnstukken n,.n••• p••p•• enp..p••.De verbindingsrechte van deze drie punten is de zoge­naamde brandas van de polenkromme.

5. Snijd de rechte rp.4 met de brandas in het punt M'en de rechte rp,. met de brandas in het punt M".

6. Snijd de cirkels met middelpunten M' en M" en derespectieve stralen M'P•• en M"P.. in de zogenaamde;basispunten A en B van p.

7. Trek een willekeurige rechte LA door r en snijd dezemet de brandas in het punt MA •

8. De cirkel CA met middelpunt MA • die door de puntenA en B gaat. snijdt LA in twee punten van p.

9. Herhaal de constructie zo lang tot ieder gewenst puntvan de polenkromme op papier staat.

.- - ---IT':

'k,--II-o..-4..,rl!e:.----------I------- IT':

31e.

19

Opmerking 1 :De constructie zegt niets over de werkelijke Iigging van decomplementaire'polen P,. en P3 • op p indien aileen van depolenvierhoek P13P3.P••?, wordt uitgegaan! (Dus in hetalgemeen n.3 =I r).

Opmerking 2:De constructie van de basispunten A en B volgens de pun­ten 5 en 6 kan ook op andere wijze plaats vinden: Daartoeis nodig het bekend zijn van de ligging van 2 punten van depolenkromme, die niet op een lijn met het brandpunt rIiggen. Voorts dient de Iigging van r en de brandas bekendte zijn. Zijn de genoemde punten bijvoorbeeld p.3 en p••da n wordt de constructie:5. Snijd de rechte r p.3 met de brandas in het punt M en

de rechte rp•• met de brandas in M'.'6. Snijd de cirkels met middeipunten M en M' en de res­

pectieve stralen MP.3 en M'P•• in de zogenaamde basis­punten A en B van p.

De asymptoot van pDe cirkel door de basispunten A en B en door het brand­punt r heeft een middelpunt op de brandas. dat verbondenmet r een raaklijn in r aan de polenkromme oplevert.In het algemeen snijdt iedere lijn LA uit de Iijnenwaaierdoor r de polenkromme in 3 punten, te weten het brand-

branda.

----~---

31d.

20

. punt r en de 2 snijpunten van L). met de cirkel CA doorA en B met middelpunt MA op de brandas en op LA . Indit bijzondere geval zijn 2 van de 3 punten samengevallennl. r en een van de beide snijpunten van LA en CA .Hieruit voigt i nderdaad. dat de verbindingslijn van r methet middelpunt van de cirkel door A~B en r een ra?klijnmoet zijn van p in r. Deze raaklijn snijdt p in nog slechtseen ander punt van p.Kies. ten behoeve van het onderzoeknaar de ligging van de asymptoot van p, de pool p.. in ditpunt. De isogonaal getransformeerde kromme van de raak­lijn in r aan p ten opzichte van 6n*31P"P'3 isdan weereenrechte door het hoekpunt P,. van de fundamentaal drie­hoek n*31P"P'3' Nu is r isogonaal toegevoegd aan hetasymptotisch punt van p. Voorts heeft de raaklijn in r aanp twee punten met p gemeen. Dit is dus ook het geval metde isogonaal getransformeerde van deze raaklijn, omdatp aan zichzelf is toegevoegd. De isogonaal getransformeer­de van de raaklijn in r aan p ten opzichte van 6 n*31P..p.3is dus de asymptoot van p. want deze raakt aan p in hetasymptotisch punt van p.

Conclusie:De asymptoot van p gaat door het 3e snijpunt van p met deraaklijn in r aan p. Dit 3e snijpunt is het snijpunt van deraaklijn in r aan p en de cirkel door A, B en r. dat nietmet r samenvalt.

. .

2 T oegevoegde hoeken bij een stangenvierzijde

(6)

of

of

/

1 - sin ~min ~ :;:.0cos IJmin~

> Oen < 1

4 (old)' :;:. 0cos' ~min

1 + sin ~min lcos ~min )~

>1

Voor reele oplossingen is van deze vierkantsvergelijkingin (eld)' de discriminant 0 :;:. o. :j:odat

O={(:Y+1r-( d

a)2 + 1 __ 2 (old) :;:. 0cos ~min

(d +a)' =b' +e' +2be cos ~min (2)

Opgeteld geven (1) en (2) de relatie

a'+d'=b'+e' (3)

en van elkaar afgetrokken komt er

ad = be cos ~min (4)

Eliminatie van bid geeft de betrekking

(a )2 1 ( e )2 (old)' ofd + = d + (eld)" cos' ~mjn

(~r-{(:y+ 1 } ( ~y+ co~b!~~in = 0 (5)

32.

33.

2.1 Toegevoegde hoeken tussen twee standen

De koppelstang van de vierzijde bereikt de standen A,B, enen AdB•• Daarbij Ilggen de punteri A, en A, op een cirkel omhet gestelpunt Ao en de punten B, en B. op een cirkel omhet gestelpunt Bo• Uitgaande van stand 2 van de koppel­stang. kan deze in stand 1 worden gebracht door rotatieom Bo• gevolgd door rotatie om B,.De "tussenpositie" van de koppelstang Is A"B" waarbij

6 A.,B,Bo~ 6 A.B.Bo· Bij de rotatie om B, is A"B, =-- -A,B,. zodat B, op de middelloodlijn van A,A., ligt. De rotatieom Bo van 6 A.B.Bo naar 6 A.,B,Bo maakt. dat

-9: B, BoB. = -9: A., BoA•.

Zijn gegeven de hoeken 'P,. = -9: A,AoA. en ~" =-9: B,BoB•• dan is de volgende constructie voor de vierzijdete geven: (zie figuur 32}

a. Kies het gestel AoBo.b. Kies de positie van het punt A,.c. Maak -9: A,AoA. = 'P12 (in overeenstemming met de

gewenste draairichting van de primaire schakel) en zorg- -

dat AoA. = AoA,.d. Bepaal het punt A., met de condities. dat -9: A.,BoA. =

~" en A.,Bo = A.Bo.e. Kies het punt B, op de mlddelloodlijn g,. van A,A.,.

Doorloopt de schakel M o vanuit de gegeven positie instand 1 de hoek 'P,•• dan doorloopt BBo de hoek ~".

Men heeft hierbij vrijheid van keuze voor de gestellengte.de lengte en de pasitie van schakel AoA en de lengte van dekoppe/stang.

en

Voor de twee standen geeft de cosinusregel de betrek­kingen

(d - a)' = b' + e' - 2be cos IJmin (1)

De overbrengingshoeken') in de 2 standen van het mecha­nisme zijnIJ., =-9: A, B, Bo en ~. =-9: A.B.Bo =-9: A" B, Bo.Men bereikt voor deze 2 standen een optimale situatie door~, = ~. te stellen. Zoals uit figuur 33 blijkt. dient B, dan

gekozen te worden in het voetpunt van de loodlijn vanBo op g12'Wil men rekening houden met aile bereikbare standenvan de vierzijde en is deze een krukslinger- of een dubbel­krukmechanisme. dan wordt een optimum bereikt doorin de twee standen waarbij de kruk AoA in een lijn ligt methet gestel. de overbrengingshoeken aan elkaar gelijk tenemen")

t) De overbrengingshoek is te beschouwen als een maat voar de kwaliteitvan de krachtsoverbrenging i'n de stangenvierzijde. Des te groter deoverbrengingshoek is, des te bater vindt de bewegingsoverdrachtplaats.

'j In elke andere stand is I' > I'min.

21

34.

35.

2.3 Toegevoegde hoeken tussen vier standen

Opgave: Construeer de stangenvierzijde als gegeven is,dat

-t A,AoA. = CP12' -t A,AoA3 = CP13' -t A,AoA. = cp,.,-t B,BoB. = \jJ12' -t B,BoB3 = \jJ13' -t B,BoB. = \jJ,•.

Uitwerking: zie figuur 36.Bij dit probleem komen nu vier punten A.. A,.. A3 , enA., op een cirkel rond B, te liggen. Deze 4 punten zijn dande opeenvolgende posities van het punt A ten opzichtevan de schakel B,Bo. Net zo liggen de vier opeenvalgendepasities B.. B... B3 , en B., van het pu nt B ten opzichte vande schakel A,Ao op een cirkel rond A,.Uit de eerstgenaemde eigenschap voigt, dat B, op demiddelpuntskromme mpk ligt, die hoort bij de vier stan­den van AAo ten opzichte van B,Bo. In deel1 is aangetoond,dat zulk een middelpuntskromme gecanstrueerd kanworden, indien deligging van de bij deze vier standenhorende rotatiecentra Rik bekend is. Een constructievan de vierzijde die hierop &ebaseerd is, heeft het volgendeverloop (zie figuur 36):

a. Kies de beide gestelpunten Ao en Bo•

b. Bepaal de opeenvolgende posities Ao = A01' Ao.' A03en A04 van het punt Ao die biJ de vier standen van AAoten opzichte van B,Bo horen. Deze punten liggen samenmet Ao op een cirkel om Bo' waarbij-1: Ao,BoA02 = -\jJ12' -1: Ao,BoA03 = -!f'3 en

-1: Ao,BoAo. = -\jJ14'

c. Trek de middelloodtijn van Ao,Ao• door Bo. Het rota­tiecentrum R12 Iigt dan op deze lijn, die een hoek tergrootte van -\jJ12/2 met de gestellijn AoBo maakt.Voorts is -1: Ao,R12Ao• = cp,. - \jJ,. (rechtsam draaiendaileen als het rechterlid > 0 is), zodat -1: Ao, R12Bo =

CP12 ,_, \jJ122 2 •

Men vindt hieruit, dat R12Ao een hoek ter grootte van

2.2. Toegevoegde hoeken tussen drie standen

Opgave: Construeer de stangenvierzijde als gegeven is,dat

-t A,AoA. = CP12' -t A,AoA3 = CP'3

-t B,BoB. = \jJ12 en -t B,BoB3 = \jJ'3'Uitwerking: zie figuur 35.

a. Ga uit van een bepaalde gestellengte AoBo = d,b. Kies aid #- 1,

c. Kies het punt A, zo, dat A,Ao = a,d. Bepaal de punten A. en A3 op de krukcirkel om Ao'

e. Construeer de punten A., en A3 , op overeenkomstigewijze als in de voorgaande paragraaf,

f. Neem het punt B, in het snijpunt van de middellood-- --

lijnen g,. en g'3 resp. van A,A., en van A,A3"g. Variatie van het gekozen punt A, op de krukcirkel

maakt het mogelijk zo gunstig mogelijke overbrengings­hoeken veor de vierzijde te verkrijgen.

e. Bepaal het punt A., met de condities, dat -t A"BoA. =\jJ,. en A;.,Bo = A.Bo.

f. Snijd de middelloodlijn van het lijnstuk A,A., met de

cirkel, die het lijnstuk A,Bo tot midde\lijn heeft, intwee snijpunten, waarvan er een B,-punt kan zijn.

g. Herhaal de constructie voor andere waarden van aid enbepaal voor ieder van deze waarden de grootte van~min' De constructie wordt zo lang herhaald tot~min :2: 300

•

~I'·I'··'··-'-.--L ad/bed < - 0.914---

.. .. O,e15

" " 0.84'" ,,' ~~__-.J

,os~minll';0.9 ~in<30·

t 0.8 Ilmjn~---0.i-LI I

0,7 I I I I ,'" U'o :: - "_';:sl" io1.'d

d . b ,'O~ 173.2

'~i~.. 190 173 125,5

" 200 179.3 131.5

" 220 195.5 140.5

Voor een krukslingermechanisme (waarvoor (aid) < 1) ishieraan voldaan, wanneer

~ :s: 1 - sin ~min « 1) (krukslingermechanisme) (6a)d cos ~min

Het rechterlid is een manataan dalende functie van ~min,

zodat bij groter worden van de gewenste ~min, steedskleinere waarden voor aid mogelijk zijn.In het geval ~min = 300, dient aid :s: 0,577 te zijn.Voor een dubbelkrukmechanisme (waarvoor aid> 1) isaan (6) voldaan, wanneer ,

a 1 + sil" ~min- :2: (> 1) (dubbelkrukmechanisme) (6b)d cos ~min

Het rechterlid is een monotoon stijgende functie van ~min,

zodat bij groter worden van de gewenste ~min ook steedsminder kleine waarden voor aid mogelijk zijn.In het geval ~min = 300 dient aid :2: 1,732 te zijn.Zorgt men dat ook aan (3) is voldaan, dan zijn de over­brengingshoeken in de standen waarin de kruk in een lijnligt met het gestel, aan elkaar gelijk.Een constructle die met het voorgaande in overeenstem­ming is, heeft het volgende verloop: (zie figuur 34).

a. Kies het gestel AoBo.b. Neem a/d.:S: 0,577, indien een krukslingermechanisme

gewenst is en :2: 1,732, indien een dubbelkrukmechanis­me de voorkeur heeft.

c. Zorg dat -t A,AoBo = 900 en A,Ao = a.d. Bepaal het punt,A.. met het gegeven, dat -t A,AoA. =

cp,. en AoA. = AoA,.

22

B,-----------

A,38.

./

/

36.

/

ii~mPtoot

-<P12/2 met de gestellijn A"Bo maakt. De Iigging van R12is d us te bepalen.

d. Bepaal op dezelfde wijze als onder c de ligging van derotatiecentra R'3 en R,•.

e. Uit het behandelde in·deel 1 voigt. dat ieder hoekpuntvan een pooldriehoek de overstaande zijde onder de bijdie pool horende halve verdraaiingshoek ziet. Dit be­tekent, dat bijvoorbeeld in de pooldriehoek R12R.3R3,:

.q: R3, R,.R'3 = <P12 _ ~122 2

en .q: R., R13R32 = ~. _ ~;"

. De rechterleden zijn de halve verdraaiingshoeken vanAAo ten opzichte van B,Bo' Dit zijn juist de tophoekenin de driehoeken A"BoR12 en A"BoR'3' Met behulp hier­van wordt de juiste ligging van de pool R.. vastgelegd.·Op analoge wijze bepaalt men de pool R.. als hoekpuntvan /::; R12R..R., en de pool R.. als hoekpunt van/::; R13R..R.,.

f. Men bepaalt de middelpuntskromme mpk met behulpvan een van de drie complementaire polenvierhoeken.In figuur 36 is 0 R12R..RooR3, genomen. De kromme gaatbehalve door de zes rotatiecentra R, •• R... R3,. R... Rooen R•• ook door de vastgehouden punten Bo en B,. Demiddelpuntskromme is dus tevens een meetkundigeplaats voor B,.De keuze van B, op deze kromme kan afhankelijk wor­den gesteld van de later vast te stellen l-lmin van destangeovierzijde.

g. Kies B, op mp.k en bepaal de punten B•• B. en B•• diesamen met B, op een cirkel om Bo liggen en wei zoo dat.q: B,BoB. = ~12' .q: B,BoB. = ~t3 en .q: B,BoB. = ~'"

h. Bij het terugbrengen van /::; A.AoB. naar de positie van/::; A,AoB., door rotatie om. A" over de hoek <p., =----<P12 wordt B., gevonden met de relaties .q: BAB.. =

<p., en B.,Ao = B.Ao. Op analoge wijze bepaalt men depunten B., en B., in het vlak van tekening.

i. Aangezien door rotatie van A,B., om A, de positie A,B,van de koppelstang wordt verkregen en dit evenzeer

----- -het geval is met A,B3 , en A,B.,. is A, het middelpuntvan een ci rkel door B,. B." '83 , en B.,.

j. De vierzijde AoA,B,Bo voldoet aan de gestelde opgave.

Een vereenvoudigde constructie. waarbij echter de vrijekeuze van de grootte van de krukcirkel in het gedingkomt. is die waarbij gebruik gemaakt wordt van de zo­genaamde positiereductie. Dit komt neer op het latensamenvallen van een wezenlijk punt met een rotatie­centrum. Zo kan bijvoorbeeld. het punt A,. dat een puntvan de cirkelliggingskromme .) is. in een van de rotatie­centra die op deze kromme liggen. gekozen worden.In figuur 37 is voor dit rotatiecentrum het punt R,. ge­kozen, zodat A, = R.. = A.,. Doordat nu de punten A.,en A, samenvallen, Iiggen de punten A" A." A., en A., zekerop een cirkel en is het middelpunt 5, eenduidig bepaalddoor het snijpunt van de middelloodlijnen g12 en g,. resp.

3) Zie pag. I.: De cirkelliggingskromme en haar relatie tot de miildel­puntskromme.

23

Ian A,A2 , en A,A". Bij deze constructie is echter de lengte

van de kruk A,Ao niet meer vrij te kiezen, doordat hetrotatiecentrum R'4 bepaald is door de hoeken rp14/2 en~14/2 en door de ligging van de vaste draaipunten Ao en Bo•

Overigens kan men nog opmerken, dat bij deze construe­tie de punten A, en A. symmetrisch liggen ten opzichte vande gestellijn AcBo' zodat het rotatiecentrum P14' dat be­hoort bij de vier standen van de koppelstang ten opzichtevan het gestel, met het vaste draaipunt Bo samenvalt.Andere vereenvoudigde oplossingen verkrijgt men doortwee andere pu nten van het viertal A" A2 " A" en A4 , totsamenvallen te brengen. De zes mogelij!<heden zijn achter­e.envolgens:

1. A, = R14 = A41' waarbij dus Bo = P14

2. A, = R" = A,,, waarbij Bo = P"

3. At = R12 = A2" waarbij Bo = P'2

4. A" = R2, = A,,, waarbij Bo = P2"-- -- --

doordat A2Bo = A2,Bo = A"Bo = A,Bo.

5. A" = R2• = A41' waarbij Bo = P24,

6. A" = R'4 = A." waarbij Bo = P34•

Verwisseling van de letters A en B geeft nog weer zesander mogelijkheden, waarbij positiereductie is toegepast.Deze corresponderen dus met de situaties, waarbij Aosuccessievelijk samenvalt met de polen P14, P,., P'2' P2" P2•en P'4'

De mogelijkheden zijn achtereenvolgjlns:

7. B, = R'4 = B4, met Ao = P'4

8. B, = R" = B" met Ao = P"9. B, = R12 = B2/met Ao = P12

10. B., = R", = B" met Ao = P2,

11. B" = R"4 = B4, met Ao = P2412. B" = R"4 = B., metAo = P'4'

In figuur 38 is het geval genomen, waarbij P14 = Ao'

waardoor de punten B, en B. symmetrisch liggen ten op­zichte van de gestellijn en B" B2" 8" en B4 , op een cirkelom A, liggen.

2.4. Toegevoegde hoeken blj de twee dodestanden van een krukslingermechanisme4

)

Opgave: Ccnstrueer een krukslingermechanisme met zogroot mogelijke >lmin' als de hoek tussen deuiterste standen van de slingerstang ~o en deovereenkomstige hoek aan de krukzijde rpo be­draagt (zie figuur 39).

Uitwerking:

De twee uiterste posties van de slingerstang BBo zijnmomentane rustposities. Het is om deze reden zinvol debeide uiterste posities op te vatten als twee samenvallendeposities, waarvande rotatiecentra samenvallen met depolen van de momentane beweging. De opgave is dus tebeschouwen als een waarbij zowel de discrete als de' mo­mentane kinematica haar toepassing vindt.De stand van de koppel stang, waarbij de kruk de koppel­stang voor een deel overlapt, wordt aangeduid met AjBi'en de gestrekte stand met AuBu. We beschouwen de be­weging van de slingerstang ten opzichte van AjAo. In destanden 1 en 2 bevindt de sfingerstang zich in de positieB;Bo. Het rotatiecentrum R12 voor deze standen. valt sa­men met de momentane pool in Ao. Stand 3 wordt, uit­gaande van stand 2, bereikt door een rotatie om Bo = R'2,'over ~o rechtsom, gevolgd door een rotatie om Ao = R'2',over rpo linksom. Het rotatiecentrum R'23' dat in de stan­den 2 en 3 hetzelfde punt is, roteert dus eerst om Bo over~o rechtsom naar R"2' en daarna om Ao over rpo linksomweer terug naar R'2' (zie figuur 40).Daar rp steeds groter is dan ~, heeft men de configuratlevan figuur 40, waarbij R'2' gevonden wordt door de halvehoekverdraaiingen op de wijze zoals in de figuur is uitge­voerd, vanaf de gestellijn uit te zetten en de vrije armenvan deze hoeken. met elkaar te snijden in het punt R'23(,0, R'2,'R',',R"2 wordt ook wei de pooldriehoek genoemdvoor de standen 2, 2' en 3).In de standen 3 en 4 bevindt de slingerstang zich in de po­sitie B'uB'o (zie figuur 39). Het rotatiecentrum R',. voordeze twee standen, valt samen met de momentane pool in

Ao•

') Alt. H.: Obe,' die Totlagen des Gelenkvierecks. ZAMM. 5 (1925)5. 337-5346.

39.

42.

24

40.

43.

41.

44.

45. 46.

g'

g

(T'S'R'3R'..) = - 1.

Men zegt dat de punten S' en T' harmonisch ge/egen zijnten opzichte van de polen R'3 en R'24' Hieruit voigt. dat S'en T' twee punten zijn, die onafhankelijk zijn van de liggingvan Ai op de polenkromme.

-1: R'34AjR,3 = -1: R'24AjR12•

Door zulk een punt wordt een cirkel k' geconstrueerd.die tevens gaat door de punten R'2 en R'34' Aangezien

R'3R'24 de middelloodlljn is van R'2R'34' ligt het middel­punt van k' op R"R'24'De drkel k' snijdt de rechte R'3R'24 in de punten S' en T'.Daarmee is -1: R'34A,T' =-1: T'Ai R,2'Opgrond van het gegeven .-1: R'34AjR,3 = -1: R'24AjR12

is dan -1: R"AjT' =' -1: T'AjR'24' Daar S'T' de middellijnvormt van k'. is ~ S'AjT' = 90", zodat AjT' en AiS'respectievelijk de binnen- en de buitenbissectrice zijn van

-1: R"AjR'24'Hiervoor geldt, dat

S'R'3 R'2R'3 R..T'

S'R':: = R12R'24 = f'R'24 •

Samenvattend kan gezegd worden. dat Ao = R'2 = R'34'terwijl R'23 = R.. = R14 = R'24' •De posities van de zes rotatiecentra. R'2' R'34' R'23' R'3'R14 en R'24 zijn dus bekend.Voor de constructie van de vierzijde is het van belang demeetkundige plaats te kennen van de punten Aj. Bij de 4standen van BBo ten opzichte van AjAo zijn Aj en Ao cen­trumpunten. dat zijn punten van de middelpuntskromme,zodat de meetkundige plaats van Ai de middelpunts­kromme is, die bepaald werd door de zes hiervoor ge­noemde rotatiecentra.Deze middelpuntskromme, ook wei de polenkromme ge­noemd, is tevens de meetkundige plaats van de punten dievan de vierhoek R'2R'24R"R'34 de overstaande zijden-- --

R12R'24 en R'3R'34 onder gelijke hoeken zien en gaat doorde polen R14 en R'23'Liggen in het algemeen R'2 en R'a4 symmetrisch ten op­zichte van de verbindingslijn der polen R'3 en R'24' danontaardt de polenkromme in een drkel en een rechte,zoals blijkt uit het volgende: (zie figuur 41).

Elk punt van de rechte R"R'24 "ziet" R'2R'24 en R'3R'34onder dezelfde hoek op grand van de symmetrische lig­ging der polen R'2 en R'34' zodat de rechte R'3R.'24 eentak is van de po/enkromme.Voor een punt Ai op de polenkromme buiten deze rechte.geldt dat

zodat

of

T'R,3

T'R'24S'~" = -1.

S'R'24

Buiten de punten van de rechte g' = R'3R'24' is dus iederpunt Aj te vinden op de drkel k', welke S'T' tot middel­lijn·heeft. De drkel k' is dus een tak van de polenkromme.

Valt R'3 samen met R'24 .dan is g' de middelloodlijn van het

lijnstuk R12R'34' terwijl k' een drkel is door R12, R'34 en

R'3 = R'24'In het hier ter sprake komende geval valt R12 bovendiensamen met R'... zodat g' = R'2R'24' terwijl k' het lijnstuk

R'2R'24 tot middellijn heeft. In figuur 42 zijn de meetkun­dige plaatsen g' en k' voor de punten Ai aangegeven.·

Analoog aan het voorgaande is de meetkundige plaats vande punten Bj de middelpuntskromme. die behoort bij devier standen van AAo ten opzichte van BiBo' Deze krommeis identiek met de polenkromme, welke bepaald is doorde zes rotatiecentra R12' R". R14' R23, R24 en R34, die bij degenoemde standen behoren. In de standen 1 en 2 bevindtde kruk zich in de positie AjAo• waarbij R12 = Ao (ziefiguur 43). Stand 3 wordt. uitgaande van stand 2, bereiktdoor een rotatie om Ao = 'R2: over <:po rechtsom, gevolgddeor een rotatie om Bo = R:3 over \jJo Iinksom.Het rotatiecentrum R23, dat in de standen 2 en 3 hetzelfde

.punt is, roteert dus eerst om Ao over <:po rechtsom naarR.." en daarna om Bo over \jJo linksom weer terug naarR23 (zie figuur 44). Het rotatiecentrum R.. kan men dusvinden in het snijpunt van de vrije armen van de halveverdraaiingshoeken, die vanaf de gestellijn in de respec­tieve gestelpunten Ao en Bo in negatieve zin zijn uitgezet(zie figuur 45).

Daarbij is I:::, K22,R:3R32 weer een pooldriehoek voor efestanden 2 en 3 met de tussenstand 2'.In de standen 3' en 4 bevindt <.Ie kruk zich in de positieA'oA'u. zoals getekend in figuur 43. Het rotatiecentrumR34 voor deze twee standen, valt samen met de momen­tane pool in A'o. Dit punt valt samen met het spiegelbeeld­punt van Ao ten aanzien van de lijn R23Bo. Voorts is R.. =R23 = R24 = R'4'Loals in het voorgaande uiteen werd gezet, valt de mlddel­puntskromme door deze polen uiteen in de middellood-

lijn van R,.R34 (dat is R23Bo = g) en in een drkel k doorR'2' R" = R24 en R34. De meetkundige plaatsen voor depunten Bi zijn dus g en k. Het middelpunt van k is het

snijpunt van R23Bo met de middelloodlijn van AoR23.In figuur 46 zijn de meetkundige plaatsen voor de steeds opeen lijn door Ao liggende punten Aj en Bj in een figuur ge­tekend. DlIarbij is het noodzakelijk, dat de kruk de kop­pelstang voor een deel overlapt, zodat Ao steeds tussen depunten Ai en Bj ligt.Depunten Bj van de lijn g komen niet in aanmerking,aangezien daarbij de punten Bu en Bi aan weerszijde van

25

47.

48.

Bo

de gestellijn komen te liggen, hetgeen aileen mogelijkis voor vierzijden die niet aan de voorwaarde van Grashofvoldoen.

(Daar ~ BiBoBu = ~, ~ AoBoBi = - ~/2 of 1800 - IjJ2 I

en BjBo = BuBo liggen Bj en Bu symmetrisch ten opzichtevan de gestellijn AoBo). Punten Aj van de lijn g/ komen inhet algemeen ook niet in aanmerking, omdat zlJlke puntentoegevoegd zijn aan het punt Bj = R23, dat een punt van gis.Van de cirkels k en k/. die overblijven zijn delen van deomtrek uitgeslcten, doordat Bj en Ai door Ao gescheidenpuntenparen zijn. Omvat de cirkel k het punt Bo' dan zijnaileen de punten Bi realiseerbaar die gelegen zijn op hetstuk cirkeJomtrek tussen de punten Ao en H, dat boven degestellijn Hgt (zie figuur 47).Ligt het punt Bo buiten de cirkel k dan zijn aileen de puntenBj realiseerbaar die gelegen zijn op het stuk cirkelomtrektussen de punten Ao en S, dat boven de gestellijn Hgt (ziefiglJur 48). In beide gevallen zijn de punten Bi op de cir­kelomtrek tussen S en H van de bijbehorende Bu-puntengescheiden door de gestellijn. waardoor niet aan de veor­waarde van Grashof wordt voldaan. (Het punt S is het vanAo verschillende snijpunt van k met de gestellijn).De resterende entwerpvrijheidsgraad kan men gebruikenbij het cptimaliseren van de minimum-overbrengingshoek

\.Imin·

/

..........m,234

~ymPtaot1235

49.

26

/2.5 Toegevoegde hoeken tussen vljf standen

bpgave: C:onstrueer de stangenvierzijde als gegeven is,dat

~ A,AoA2 = cpu, ~ A,AoA3 = CP'3'~ A,AoA4 = cp... ~ A,AoA. = cpu.

~ B,BoB2 = ~... ~ B,BoB3 = ~'3'

~ B,BoB4 =~.. en ~ B,BoB. = ~, •.

Ultwerking:

voor iedere oplossing van het probleem liggen de vijfpunten A,. A21' A31' A4, en A., op ~~n cirkel. terwijl ookB" B2" B3,. B4 , en Bs, op ~~n cirkel tiggen.

Hierop berust de volgende constructie: (zie figuur 49)

a. Kles 2 gestelpunten Ao en Bo•b. Bepaal de middelpuntskromme m..34 die behoort bij de

- standen 1 tIm 4 van AAo ten opzichte van B,Bo'c. Bepaal vervolgens de middelpuntskromme m..35 toe­

gevoegd aan de standen 1. 2, 3 en 5 van AAo ten op­zichte van B, Bo.

d. Snijd m..... met m'235 in de rotatiecentra R.., R'3 en R23en tevens In ten hoogste vier reele centrumpunten vanBurmester '). E~n centrum punt van Burmester valtsamen met het reeds gekozen vaste draaipunt Bo•Hieruit voigt. dat er drie reele Burmesterpunten (of~~n reeel Burmesterpunt) overblijven, die B,-puntkunnen zijn.

e. Controleer het op ~~n cirkel Iiggen van de punten B,.B.. , B3" B4, en B.,.

f. Bepaal het punt A, in het middelpunt van genoemdecirkel.

Het is duidelijk, dat in totaal maximaal drie oplossingengevonden kunnen worden, waarvan die met de gunstigste\.Imin de voorkeur verdient.

5.) Zie voor de berekening en de constructie van deze punten pag.45.

3 Het construeren van stangenvierzijden bijeen voorgeschreven aantal koppelpunten

3.1. Inleiding

Men kan opmerken, dat op grond van de stelling van Ro­berts') steeds drie oplossingen van het probleem zijn aan

\ ....\ '., .

P,5\ \P34

1) Voor hec Dewijs van deze stelling zie pag. 311.

te wijzen. De voorkeur verdient in het algemeen die welkede minste plaatsruimte in beslag neemt.Het is tot op heden nog niet gelukt langs constructieveweg bij negen voorieschreven koppelpunten een daarbijhorende stangenvierzijde te vinden. De Iiteratuur geeftbenaderingsoplossingen voor maximaal zeven punten.De overblijvende twee vrijheidsgraden worden gebruikt"oor de vrije keuze van bepaalde stanglengten, waarvande variatie buiten het bereik van de constructieve uitvoer­baarheid ligt. 'Het moge duidelijk zijn, dat deze vrijheidsgl'ilden ook tendienste staan van eniie vereenvoudiging van een construc­tief mo!elijke Oplo~slng, teneinde de· uitvoerbaarheids­mate te vergroten of een voorgeschreven punt meer op dekoppelkromme te krijgen.Weliswaar gaat dit ten koste van het theoretisch maximaleaantal voor te schrijven koppelpunten, maar dit aantal kani.n de praktijk toch niet bereikt worden.Met name zijnbedoelde vereenvoudigingen te vinden,door de bij deze constructies te pas komende middel­puntskromme uiteen te laten vallen in een cirkel en eenrechte. (In een enkel geval is dit een hyperbool en de on­elgenlijke rechte).Ook de z.g. positiereductie geeft een vereenvoudiging vande gewenste soort.Past men deze vereenvoudiging niet toe, dan geeft dit

. voor de constructeur extra ballast, zoalsbliJkt uit de hier­na volgende constructie: (zie figuur 50).Bij dit voorbeeld zijn minstens 5 punten van de koppel­kromme voorgeschreven, zodat ten hoogste 40ntwerpvrij.heidsgraden overblijven, waarvan er 2 voor de keuzevan het draaipu.(lt Ao' 1 voor de kruklengte a, en 1 voor

de ziJde AK gereserveerd worden.De 5 koppelpunten, de ligging van de krukcirkel en de ge-

kozen lengte AK bepalen dan de 5 standen A, K" A.K••... ,A,K, van het koppelvlak ten opzichte van het gestel. Bijdeze 5 standen horen maximaal 4 reele Burmester-centra,waarvan het reeds gekozen punt Ao er een is. Er zijn voordeze 5 standen dus 1 of 3 reele Burmester-centra aan tewijzen, die ieder Bo-punt kunnen ziJn. (In het geval er bui­ten Ao slechts een reeel Burmester-centrum is aan te wij­zen, zijn de beide andere complex). Het punt B" dat cir­kelliggingspunt Is, ligt dan samen met B., B:i, B. en B, op eencirkel om het aangewezen Bo·punt.Heeft men het punt Bo eenmaal gevonden, dan voigt 8,uit de eigenschap, oat ~ A,P,.Ao = ~ B,P..Bo en ~

A,P13Ao = ~ B,P13Bo, (de hoeken kunnen in plaats vanaan elkaar gelijk ook elkaars supplement zijn). Dez~"con­struetie heeft het nadeel, dat voor het vinden van de·Bur­mester'punten twee middelpuntskrommen punt ":"oorpunt moeten worden geconstrueerd om de ligging van dEsnijpunten te kunnen vaststellen.Bij de gevonden oplossing bepaalt men de kortste afstand

50.

STELLING: Er kunnen niet meer dan negen punten op dekoppelkromme worden voor/!eschreven.Bewijs:Het aantal ter beschikking staande ontwerpvrijheids­graden is 'Z voor het draaipunt Ao' 'Z voor Bo' 1 voor de,kruklengte a, 1 voor de koppelstang b, 1 voor c en 'Z voorde opstaande zijden van de koppeldriehoek. Hettotaal is dusdus 9.Er is voorts een conditie nodig, opdat een (gegeven) puntop de koppelkromme ligt. Dit is dus in totaal 9 X te con­ditioneren.

27

.van een zesde (gegeven) punt tot de koppelkromme. Men

herhaalt de constructie voor een andere lengte AK en dedaarbij horende kortste afstand van het 6e punt tot de

koppelkromme. In een grafiek van AK tegen deze kortsteafstand heeft men zo twee punten gevonden. die met el-

kaar verbonden, de AK-as snijden in een waarde voor AK.die voor een volgende corlstructie wordt aangehouden.Hieruit vindt men weer een punt in de grafiek. Mensnijdt nu de verbindingslijn van de twee het dichtstbij de

AK-~iggende punten met de AK-as in een punt, waarvan

de AK-waarde weer voor de volgende constructie wordtgenomen. Dit proces herhaalt men net zo lang tot ook het6e punt op de koppelkromme ligt.

In principe geeft variatie van het punt Ao langs een of an­dere gekozen lijn. een mogelijkheid om door herhalingvan het voorgaande bij ieder punt Ao op deze lijn ook nogeen 7e punt op de koppelkromme te krijgen.In de praktijk is dit onmogelijk uit te voeren. mede doorhet feit, dat in het algemeen de tel kens weer te tekenenmiddelpuntskromme niet uiteenvalt in een onmiddellijkoptekenbare kromme.

Opmerking:Het is voorstelbaar. dat met een op deze constructie ge­baseerd rekenschema, ingevoerd in de elektronischerekenmachine. het toch mogelijk blijkt een oplossing te

___- __E, .

28

vinden, waarbij 9 koppelpunten zijn voorgeschreven.Daarbij worden dus 4 grootheden op cumulatieve wijzegevarieerd, en wei net zo lang tot de juiste oplossing be­reikt is.

3.2. Vereenvoudiging door uiteenvallen van demiddelpuntskromme van het koppelvlak tenopzichte van het gestel in een cirkel en eenrechte

Een vereenvoudiging van de in het voorgaande behandeldeconstructie treedt op. indien de middelpuntskromme, dievan de 3e graad is. uiteenvalt in een cirkel en een rechtedoor het middelpunt van deze cirkel.Op een gegeven kromme IX. zijn vooreerst vijf koppel­punten gekozen, waardoor een koppelkromme zo goedmogelijk de kromme IX dient te benade~en (zie figuur 51).Y,oor vier standen van het koppelvlak b.v. de standen 1,2. 4 en 5 past men positiereductie toe door het draaipu nt Bachtereenvolgens met twee rotatiecentra te laten samen­vallen. Bijvoorbeeld 8. = B5 = p. 5 en B. = B. = p••.Deze veronderstelling heeft tot gevolg, dat de vier rotatie­centr'~., p••, p.5 en p.5 op de middelloodlijn van het lijn­

stuk B.B. terecht komen. De middelpuntskromme door depolen p••, P,., p••• P45' PIS en p.. is. zoals bekend, van de 3e

graad. De middelloodlijn van 8,B. heeft de vier rotatie­centra gemeen met deze kromme. Dit is voor een 3e-graads­kromme pas mogelijk, wanneer de genoemde middellood-

lijn zelf een tak is van de middelpuntskromme. Het isvoorts bekend, dOlt de middelpuntskromme een circulairekromme is. hetgeen wil zeggen, dOlt de kromme door dezogenaamde isotrope punten 2) van het vlak gaat. De mid­delpuntskromme is dus uiteengevallen in een rechte eneen kegelsnede door de isotrope punten, dOlt is in dit gevaleen cirkel door p.. en P,.. De rechte, die een tak is van demiddelpuntskromme, gaat, zoals duidelijk zal zijn, door hetmiddelpunt van deze cirkel.De polenkromme, die identiek is met de middelpunts­kromme. is de meetkundige plaats van de punten die tweeoverstaande zijden van de polenvierhoek 0 P.2P2.P.. P'4 on­der gelijke hoeken "zien".De polenkromme gaat tevens door de polen die geen hoek­punt zijn van de polenvierhoek.Het snijpunt II,. van de overstaande zijden P24P., en p,.p,.is, op grond van de in deer 1 afgeleide vergelijking vande polenkromme. een punt van deze kromme. Evenzo Iigthet snijpunt II•• van de overstaande zijden P"P25 en P"P14

op de polenkromme. De cirkel, die een tak is van de polen­kromme. gaat in het onderhavige geval behalve door depunten p.. en p•• dus ook nog door II,. en II••.De constrL.ctie heeft nu het volgende verloop: (zie flguur52)

a. Kies de lengte BKb. Bepaal de punten B, = B. = p.. en B. = B. = p•• op

grond van het starheidsprincipe. waaruit voigt. dat_ ..- _.._- -B, K, = B.K. = B.K. = B.K.

c. Bepaal vervolgens de polen P14 en p•• in de respectieve

snijpunten van de middelloodlijnen van K,K. en i<;K.met de middelloodlijn van B,B•.

d. Bepaal voorts het snijpunt II12 van de rechten p••p., enp..p•••

e. Trek een cirkel k door de punten B" B. en II12.

f. Kies het draaipunt Ao op de cirkel k, (keuze van Ao op

de middelloodlijn van B,B. leidt tot een strekbare vier-zijde). .

g. Bepaal het punt Ao• door rotatie van het punt Ao = Ao'om P12 over de hoek E., = - E12 = - -1: 'K,P12K•.Daarbij is P12 het snijpunt van de middelloodlijnen van

- -de Iijnstukken B,B. en K,K•. (Bij de vier standen vanAoBo ten opzichte van A, B, bezet het punt Ao achtereen­volgens de punten Ao = Ao" Ao•• Ao.' Ao• op een cirkelrond A,. De bij deze vier standen horende verdraaiings­hoeken zijn net tegengesteld aan die welke horen bij devier standen van AB ten opzichte van AoBo).

h. Bepaal het punt Aos door rotatie van het punt Ao = Ao'om PIS over de hoek E.. = - E.. = - -1: K, PISK•.

i. Neem A, in het middelpunt van een cirkel door depunten Ao" Ao• en Ao.' (Ter controle kan worden nage­gaan of ook Ao• op deze cirkel ligt).

j. Teken d:_krukcirkel om Ao; bepaal het punt A3 met

A, K, = A3K3; bepaal vervolgens het punt B3 met deeigenschap. dOlt D. A,B,K, 'Q D. A3B3K3 en neem ten­slotte het punt Bo in het middelpunt van een cirkeldoor de pu nten B" B. en B3.

Er zijn steeds 15 verschillende oplossingsmogelijkheden;men vindt ze door positiereductie toe te passen met depoolparen: P12' P3.; p,., P3.; P12• p.. ; P'3' p•• ; P'3' P25 ;

Pu ' P4S; PUt P23; P14' P2S; PUt P:Js; pu • P23; Pu, P24; P15' P34;p.3• p•• ; p••• P3.; en p••• P3•.Voor vijf gegeven punten op de koppelkromme laat de con­structi.e nog de vrije keuze van twee grootheden toe,

namelijk de lengte BK en de coordinaat. die de positie vanAo op k aangeeft.Doordat tweema?1 een positiereductie is toegepast, zijn

2) ledere cirkel gaat door de beide isotrope punten van het vlak. Het'zijn de snijpunten van een cirkel met de oneindig verre rechte.

ook twee ontwerpvrijheidsgraden verloren gegaan. Deeerste is de keuze van het punt B, in het punt PIS van decirke/ligging.kromme voor de '.and I, de tweede is de keuzevan het punt B2 in het punt p•• van de cirkelligging.krommevoor de s:and 2. (Het uiteenvallen van de middelpunts­kromme kost geen ontwerpvrijheidsgraad, daar dit eengevolg is van de tweevoudige positiereductie).Variatie van het punt Ao op k geeft voorts de mogelijkheideen 6e voor te schrijven punt op. de koppelkromme te

krijgen. Bovendien brengt variatie van de lengte BK doorherhaling van het voorgaande bij iedere waarde voor dezelengte ook nog een 7e punt op de koppelkromme. Meerdan 7 puriten kunnen op grond van deze constructie nietworden voorgeschreven.

3.3. Vereenvoudiging door positiereductie voorhet vaste draaipunt 8 0

De eerste positiereductie wordt bereikt door twee polenvan de middelpuntskromme met elkaar te'laten samen­vallen. In flguur 53 is dit gebeurd met de polen PIS en P23•

Dit gaat ten koste van een ontwerpvrijheidsgraad. Detwecde positiereductie wordt verkregen door het vastedraaipunt Bo' dOlt eveneens een punt is van de middelpunts­kromme. met de beide hiervoor genoemde polen te latensamenvallen. Dit gaat ten koste van een tweede ontwerp­vrijheidsgraad.Bij vijf gegeven koppelpunten E" E•• ... , E. verloopt deconstructie OIls voigt:

a. Bepaal het punt Bo = p.. = p.3 in het snijpunt van de

middelloodlijnen van E,E. en E.E~.

b. Stel vast, dOlt twee verdraaiingshoeken van het koppel­vlak bekend zijn, omdat tjJ" = -1: E,PISE. en tjJ.3 =-1: E.P.3E3'

c. Stel voorts vast, dOlt tengevolge van de tweevoudige po-

sitiereductie de middelloodlijnen van A,A. en A.A3 sa­menvallen met de gestellijn AoBo'

d. Kles de richting X o van de gestellijn.

e. Kies de len&te EA.

8,

8 /8,

54.

29

f. Bepaal het punt A, z6danlg. dat A,E, = AE en

.q: xoB.,A, =- t ~ 5"g. Zorg dat A.E. = AE en .q: xoBoA. = t ~3"h. Bepaal het punt Ao in het snijpunt van de middelloodlijn

van A,A. met xo' de gestellijn.i. Daar het punt Bo een cirkelliggingspunt is van stand 1

bij de vier standen van het gestel ten opzichte van hetkoppelvlak. Iiggen bij deze vier standen de puntenB01' Bo•• Boo en Bos op een cirkel. Deze punten wordenllevonden door telkenmale de positie van het punt Boten opzichte van een stand van het koppelvlak te be­palen en over te brengen naar een overeenkomstigepositie. waarbiJ het koppelvlak tot dekking is gebrachtmet stand 1.

Dit betekent. dat D. A5 E5 Bo $Q D. A,E,B05•

D. A.E.Bo $Q D. A,E,BD"

D. A3E3 Bo $Q D. A,E,B03'

en D. A.E.Bo $Q D. A,E,B02'

Doordat Bo = p.. is Bo = Bo, = Bos en doordatBo = p.3 is ook Bo• = B03 = P'.3' het naar stand"teruggebrachte" punt.Door de tweevoudige positiereductie zijn de 5 puntenBo" Boo. 803, Bo• en Bos niet meer dan 3 punten.

j. Het middelpunt van een cirkel door deze 3 punten ishet gezochte punt B,.

30

Evenals inhet voorgaande geval zijn weer 15 oplossings­mogelijkheden denkbaar bij iedere gekozen gestellijn-

richting en lengte AE.Zijn zes koppe/punten voorgeschreven. dan zijn nog meerwerkwijzen mogelijk:

1e. Door voortgezette positiered uctie kan ervoor ge­zorgd worden. dat ook de zes punten B01' Bo•• ••.• B06

op een cirkel Iiggen. De lengte AE dient dan. door va­riatie van deze, zodanig te worden vastgesteld. dat hetmid del punt van 3 krukpunten A op de eenmaal geko­zen gestellijnrichting xo terecht komt. (zie figuur 54).(Deze methode heeft het nadeel • dat het 6e punt opeen zo goed mogelijk te benaderen kromme (X nietwillekeurig mag worden voorgeschreven: er dienendan namelijk 3 middelloodlijnen van verbindingslijn­stukken van voorgeschreven koppelpunten door hetvaste draaipunt Bo te gaan).

2e. Men kan ook. uitgaande van de constructie voor 5

koppelpunten. de lengte AEzo lang varieren totook het6e nu willekeurig gegeven koppelpunt op de koppel­kromme komt.

Bij 7 voorgeschreven koppelpunten moet behalve de lengte

AE ook nog de gestellijnrichting worden gevarieerd omtot de oplossing te geraken.

4 De stelling van Roberts en de toevoeging vankoppelpunten aan krukstanden

De STELLING van Roberts luidt:Eenze/fde koppe/kromme kan worden beschreven door het.koppe/punt van drie verschil/ende stangenvierzijden.

en

ontstaat de vierzijde (BoIIB ICIIColI) en de koppeldrie­hoek BIIClIEII (zie figuur 56). Het is duidelijk, dat nuBolIBlIllBE en BIIEIIIIBBo' Tenslotte wordt de met deindex II aangeduide figuur meetkundig vermenigvu/digd met

de constante factor A = -I BE I BA I. Het meetkundigevermenigvuldigingscentrum wordt z6 genomen, dat daar­bij Boll in Bo overgaat. Er ontstaat de vierzijde (BoB"C"Co)met haar koppeldriehoek B"C"E" (zie figuur 57). Nu geldt,dat BoB" II BolIBII II BE en B"E" II BIIEII II BBo·Voorts is

Hieruit voigt, dat E" = E.

Met andere woorden: er is in iedere stand van de stangen­vierzijde, waarvan men is uitgegaan, ~en toegevoegdevierzijde te vinden, waarbij het koppelpunt met het oor­spronkelijke koppelpunt samenvalt. Uitde ontstaanswijzeblijkt ook, dat de afmetingen van de toegevoegde vierzijdeen van haar koppeldriehoek onafhankelijk zijn van de pasi­tie van de ingangsschakel AoA van de oorspronkelijkevierzijde ten opzichte van haar gestel AoBo. Hieruit voigt,dat voor iedere positie van de kruk AoA de koppelpuntenE" en E samenvallen, zodat de koppelkromme die behoortbij de toegevoegde vierzijde, identiek is met die welkebehoort bij de oorspronkelijke vierzijde.Voorts is aangetoond, dat D BoBEB" een parallellogram is,terwijl uit de ontstaanswijze van de toegevoegde vierzijdevolgt,dat de geste!driehoek AoB"Co gelijkvormig is met debeide koppeldriehoeken. Dus1":.AoBoCo f\.., 1":.ABE f\., 1":.EB"C".

Men vindt zo doorgaande, dat aan de vierzijde (BoB"C"Co)met koppeldriehoek B"C"E' is toegevoegd de vierzijde(CoC'A/Ao) met de koppeldriehoek C/A/E (zie figuur 58).Aan de laatste vierzijde is weer de oorspronkelijke vier­zijde toegevoegd, zodat dan de kring is gesloten en geennieuwe vierzijden meer verkregen worden. De stellingvan Roberts is hiermee bewezen. Men kan nog opmerken,dat in de configuratie van Roberts, waarin de drie vierzij­den en hun respectieve koppeldriehoeken zijn opgenomen,drie parallellogrammen optreden, te weten DBoBEB",OCoC"EC' en DAoA/EA.Voorts is 1":.AoBoCo f\., 1":.ABE f\., 1":.EB"C" f\., 1":.A/EC/.In het vervolg zal de configuratie van Roberts worden aan­geduid met CR. De C'yclische verwisseling in de bewegendestangen 'uit CR vindt plaats volgens het schema

abc --+ b c a --+ cab --+ abc

Ao Bo Bo Co Co Ao Ao Boc~

55.

56.

Bewijs:Er wordt uitgegaan van een willekeurige stangenvierzijde(AoABBo) met koppeldriehoek ABE. Het koppelpunt Ebeschrijft dan bij beweging van de stangenvierzijde eenzeer bepaalde koppelkromme.De ingangsschakel AoA van de stangenvierzijde (AoABBo)wordt nu in een willekeurige stand gezet. Aan dezevierzijde wordt dan een tweede vierzijde toegevoegd, dieuit de eerste wordt verkregen door verwisseling van devolgorde der bewegende stangen (zie figuur 55).Men verkrijgt zo de vierzijde (BoIBIClCol), waarbij

BolBI = AB, BICI = BBo' CICol = AoA en BolCol ==AoBo' terwijl bovendien BolBlllAB, BICI/lBBo enClCoIIIAoA.Op de nieuwe koppelstang wordt een koppeldriehoekBICI EI geplaatst en wei zo, dat 1":. BICIEI f\., 1":. BEA.De verkregen vierzijde (BoIBICICol) wordt vervolgenssamen met haar koppeldriehoek BICIEI om het punt Aorechtsom over de vaste hoek ~ = -1: ABE verdraaid. Er

E

3f

Ook kan worden opgemerkt. dat de verhoudingen derstanglengten van elke vierzijde uit CR <;mafhankelijk zijnvan de ligging van het koppelpunt in ieder van de driekoppelvlakken.Daar in CR drie parallellogrammen voorkomen. ziJn tel­kens drie stangen in CR aan te wijzen, die dezelfde hoek­verdraaiingen doorlopen. De hoekverdraaiingen van destangen AoA. A/C' en COCN kunnen daarom v.orden aan­geduid met dezelfde letter cp; de hoekverdraaiingen van destangen AB, AoA' en BoBN met de letter E en de hoekver­draaiingen van de stangen BoB. BNCN en CoC/ met ~.

De drie koppeldriehoeken ABE. EBNCN en A/EC' doorlo­pen de respectieve hoekverdraaingen E, ~ en cpo

STELLING 1:Aan elk punt X van de koppeldriehoek ABE uit CR is een puntX/ van de koppeldriehoek A/C/E toegevoegd. waarvan dekoppelkromme gelijkvormig is met die welke door het punt Xwardt door/open.Daarbij wordt het aan het punt X toegevoegde punt X/ ge~on­

den met behulp van de gelijkvormigheidsrelatie:

6ABX 0v 6A/X/C/.

(De stelling is cye/i5ch vaartzetbaar in CRY.

Het bewijs van deze stelling voigt uit de ontstaanswijze vande figuur. van Roberts:Aangetoond is reeds. dat de door de pu nten E en EI be­schreven koppelkrommen onderling gelijkvormig zijn.mits 6ABE 0v 6 EIBICI.Dit geldt voor ieder stel overeenkomstige punten X en XI.Voorwaarde daartoe is steeds, dat 6ABX 0v 6XIBICI en

dat X resp. Xl een punt is van !let met AB respectievelijkmet BICI meebewegend koppelvlak. Daar bij de overgangvan de met het romeinse cijfer I aangeduide vierzijde methaar koppeldriehoek, naar de met een dubbel accent aange­duide figuur. uitsluitend sprake is van een gelijkvormigheids­transformatie, waarbij ook de gelijkvormigheid van dedoor ieder punt uit het koppelvlak beschreven koppel­kromme bev.aard blijft, is het duidelijk dat ook de puntenX en XN gelijkvormige koppelkrommen beschrijven, mits6ABX 0v 6XNBNCN.Het gelijkvormigheidsprincipe is dus nu bewezen voorovereenkomstige punten van de koppeldriehoeken ABEen EBNCN uit CR.Dit proces op cyclische wijze in CR voortzettend. vindtmen, dat het gelijkvormigheidsprincipe ook geldt voorQvereenkomstige punten van de koppeldriehoeken EBNCN

en A/EC/.Voor deze punten geldt, dat 6XNBNCNI\., 6A/X/C/, zodattenslotte het gelijkvormigheidsprincipe ook geldt voor de

~'-

'-" "-

"-"-EJ\------------~~.>!li \ "' ..... '" C", \ .....

I \ ...............i ..........i \ ..............., ra-J \I \I \i \i \i \. \

/ \··_-+---·--~Bo

iiij

i""", ..-.a'~

57.

. koppeldriehoeken ABEen A/EC/. mits 6ABX0v 6A/X/C/.Daarmee is de stelling bewezen.

Wordt de opgave gesteldeen stangenvierzijde te c6nstru­eren als gegeven zijn de vier opeenvolgende positiesE" E•• E. en E4 van het koppelpunt en bovendien deovereenkomstige door de stang a doorlopen hoeken<r.A,AoA. = CPt.. <r.A,AoA.·= cpu en <r. A,AoA4 = CP14'dan zijn daarmee, op grond van het voorgaande, drie hoek­verdraaiingen van de koppeldriehoek A/EC' bekend (ziefiguur 59). Aangezien van deze koppeldriehoek bovendienvier positles van het koppel punt E gegeven zijn. zijn vierposities van het met deze koppeldriehoek .verbondenkoppelvlak bekend.Er is dus voor de vier standen van dit koppelvlak ten op­zichte van de gesteldriehoek een polenkromme te con­strueren. waarop de gestelpunten Ao en Co kunnen wor­den gekozen. Deze polenkromme gaat door de zes polen5,•• 5••, 5.,. 5,4' 54. en 54.' die zij n vastgelegd door de be-

- -trekkingen: 5ijEj = 5ijEj en <r.Ei5ijEj = CPij = CPik - CPjk(waarbij i =f= j =f= k =f= i en i, i en k = 1. 2. 3, of 4).

58. 59.

Bo

~:4po.itie._hftk~tp!,lnIE

IbijbtlhlrOlldskNkhotk'"

32

Voorts is .q:A,'512A.' = <P12 en daar Ao samen met 512 op

de middellood·lijn van A/,A/. ligt. is .q:A/.512Ao = <P12/2.

Net zoo is <r.A, '5. 3Ao = <p,,/2.Uit de gevonden posities van de polen 512 en 5'3 eneenge­kozen positie van het punt Ao op de polenkromme (5­kromme) is de ligging van het punt A/, dus vast te stellen.Analoog kan ook met .q:C/,512CO = <P12/2 en .q:C/,5"Co == <P'3/2 de ligging van het punt C/, worden bepaald. Destangenvierzijde (CoC/.A/,Ao) en haar koppeld riehoekC,'A,/E, is dan volledig vastgelegd.Met behulp van de configuratie van Roberts kunnen nu detwee toegevoegde vierzijden worden geconstrlleerd. die danbeide aan de gestelde opgave voldoen. Dit laatste voigt uit

het feit. dat de vierzijde met AoBo respectievelijk B:C~ als-- --

gestel een stang AoA respectievelijk CoC" bezit. die metde gegeven hoekverdraaiingen <P12' <p" en <P14 om een ge­stelpunt Ao respectievelijk Co roteert.Zijn 4 standen van een van de drie koppeldriehoeken uitde configuratie van Roberts gegeven. dan vindt men Co enAo op de 5-kromme; dat is de middelpuntskromme die

behoort bij de vier standen van ,6C/A/E ten opzichte vande gesteldriehoek AoBoCo; voorts vindt men Ao en Bo opde P-kromme; dat is de middelpuntskromme die behoortbij de vier standen van ,6ABE teJ1 opzichte van de gestel­driehoek en men vindt Bo en Coop de T-kromme. demiddelpuntskromme toegevoegd aan de vier standen van,6B"C"E ten opzichte van de gesteldriehoek. De drie doormiddel van CR aan elkaar toegevoegde 5-. P- en T-krommesnijden elkaar achtereenvolgens in de gestelpunten Ao• Boen Co (zie figuur 60).Is Ao eenmaal op de 5-kromme gekozen. dan kan men inplaats van de keuze van Co op de 5-kromme. ook Bo op denieuw te tekenen P-kromme kiezen. De P-kromme wordtdan vastgelegd door de vier standen van de zijde AE. diegevonden worden uit de vier standen van de zijde A/E metbehulp van het parallellogram AoA/EA. De P-krolTlme geefteen onmiddellijke indicatie van de mogelijke ligging vanhet punt Bo.Uit de afleiding van de stelling van Roberts voigt. dat dekoppelkromme. voortgebracht door het koppelpunt E,gelijkvormig is met de koppelkromme die behoort bij devierzijde (BoI BICICoI) en wordt voortgebracht door hetkoppel punt EI.Wordt het koppel punt E, in de pool p,. van het koppel­vlak (A,B,) gekozen. dan is E, een dubbelpunt van dekoppelkromme, omdat de twee standen A.B,E. en A.B.E.hetzelfde punt E. = E. = P12 opleveren (zie figuur 61).Op grond van de in het voorgaande aangewezen gelijk­vormigheid der koppelkrommen. is dan ook E.I eendubbelpunt.Hieruit voigt, dat E.I = E.I = P12I. zodat tenslotte

,6A,B,P•• rv ,6p12IB,IC,I rv ,6P12IIB,IIC.II rv

rv ,6P",.B".C". ~ ,6T12B,"C,"rv ,6A/,5,.C/•.

Evenzois

,6A,B,P'3 rv ,6A/,5'3C/, en ,6A,B,P14 r'u ,6A/,514C,'.En voorts ook

,6A.B.P.3rv ,6A/.5.3C/. en ,6A.B.P•• rv ,6A/.5••C/. en

,6A3B3P3.rv ,6A/353.C/3·

Worden de polen P." p•• en P3• en evenzo de polen 5'3'5.. en 534 overgebracht naar de stand 1 van de configuratieen worden deze polen aangeduid door de respectieve pun­ten P'." p'••• P'34 en 5"3' 5' ••• 5'3" dan kunnen de volgendegelijkvormigheden worden genoteerd (zie figuur 62):

,6A.B,P" 3rv ,6A.B.P.3rv ,6A/.5.3C/. rv ,6A/.5'.3C/,

,6A.B,P'•• rv ,6A.B.P•• rv ,6A/.5••C.' rv ,6A/.5'••C/,

en

,6A,B,P'3' rv ,6A:iB3P3. rv ,6A/353,C/31\.. ,6A/,5'3.C/,

De polen p••• p". p,•• p'.3• p'•• en p". zijn de polen die be­horen bijde vier standen van AcBoten opzichte van A,B,.Ze liggen dus ook op de middelpuntskromme van deze

vier standen ten opzichte van A.B,. Daardeze krommedoorde cirkelliggingspunten A. en B. gaat, wordt de krommeook wei de cirke/liggingskromme van de stand 1 genoemd.die behoort bij de vier standen van AB ten opzichte vanAoBo' (In het vervolg wordt deze kromme kortweg metP'-kromme aangeduid).Evenzo zijn de polen 512, 5'3.5,•• 5'.,.5'•• en 5'3. de polendie behoren bij de vier standen van AoCo ten opzichte van

A/.C',. Ze Iiggen op de middelpuntskromme die bij dezevier standen hoort. De genoemde kromme is tevens decirkelliggingskromme van stand 1. die hoort bij de vier

standen van A/C' ten opzichte van AoCo. De krommegaat door de cirkelliggingspunten A/, en C/, van het bij-

. behorende koppelvlak uit de configuratie. Ze zal in hetvervolg 5'-kromme worden genoemd.Tenslotte is de T'-kromme de cirkelliggingskromme vanstand 1, die behoort bij de vier standen van ,6 B"C"E tenopzichte van ,6 AoBoCo·

33

~.....,.

62.

\.,

\\

63.

64.

34

STELLING 2:Indien een punt X', een punt is van de S'-kromm~ uit CR, danis ·het punt X" waarvoor L::,.A,B,X, rv L::,.A',X',C',. een puntvan de P'-kromme.

Bewijs:Aangezien op grond van stelling 1 van dit hoofdstuk depunten X en X' gelijkvormige koppelkrommen doorlo­pen, geldt voor de standen 1. 2, 3 en 4 van CR de relatie:

DX',X'2X'3X'. rv DX,X2X3X.

Is DX',X'2X'3X'. een koordevierhoek. dan is DX,X2X3X.dat oak. Hieruit voigt, dat in het geval X', een cirkellig­gingspunt is van L::,.A',C',E,. dat ook het geval is met hetpunt X, van L::,.A,B,E,. Daarmee is het gestelde bewezen.(De stelling is cyclisch voortzetbaar in CR).

STELLING 3:leder punt X van de koppeldriehoek ABE uit CR, dot is toegll­voegd aan een overeenkomstig punt X' van de koppeldriehoekC'A'E waarbij L::,.ABX rv L::,.A'X'C', kan worden verkregenuit het punt X' door een zelfde afbeelding, die bestaat uit hetprodukt van een gelijkvarmigheidstransformatie, een inversie

aan een cirkel met middelpunt A en straal AB en een spiege­ling ten opzichte van de koppe/stang AB.

... orthogonale hyperbool

'-.'-.

STELLING 4: ---+De inversie aan een cirke/ AB voert een cirke/ die n;et door Agoat, opnieuw in een c"ke/ over. De drie cirke/s hebben de­ze/fde macht/ijn (zie figuur 64).

Bewijs:ledere lijn door de oorsprong snijdt de ongetransformeer­de cirkel in twee punten F, en F2, die, indien ze reeel zijn.in twee andere punten F', en F'2 worden getransformeerd.Men heeft:

AB4AF', . AF'2 = -----= constant.

'-.

65.

Bewijs:Bij de gelijkvormigheidstransformatie wordt ieder punt X'van het koppelvlak A'C'E in een zodanig punt Y getrans­formeerd, dat daarbij A' in A en C' in B overgaat. Dit kangebeuren door rotatie om een vast punt, gevolgd door eenmeetkundige vermenigvuldiging met datzelfde punt alsvermenigvuldigingscentrum. (Het is hier overigens nietnoodzakelijk het rotatiecentrum en het vermenigvuldi­gingscentrum te laten samenvallen). Het is duidelijk, datbij deze tran~formatie bepaalde krommen in daarmee ge­lijkvormige krommen overgaan.Ook geldt, dat f::,A'X'C'n..., f::,AYB, zodat met het gegevenwaarbij f::,A'X'C' n..., f::,ABX, tussen de punten X en Y derelatie f::,AYBn..., f::,ABX moet bestaan.

. Hieruit voigt, dat AY .AX = AB2 en dat <tBAY= - <tBAX

(zie figuur 63).De met deze betrekking"n overeenkomende transfor­matie is inderdaad het produkt van een inversie aan een

cirkel met middelpunt A en straal AB, en een spiegelingten. opzichte van de koppelstang AB. Het bewijs van destelling is hiermee geleverd. (De stelling is cyclisch voort­zetbaar in CR)'

---+Het is duidelijk, dat aileen bij de inversie aan de cirkel AB,de vorm van een kromme kan veranderen.

Opmerking: Gaat de ongetransformeerde cirkel wei doorhet punt A, dan is de machtlijn de getransformeerde vandeze cirkel. Dit voigt uit het feit, dat de getransformeerdecirkel een oneindig grote straal krijgt.Daar de inversie aan een cirkel een omkeerbare transfor­matie is, is ook het omgekeerde waar: De inversie aan eencirkel voert een rechte, die niet door A gaat, in een cirkelover, welkedoorde A en door de snijpunten van de rechte......met de cirkel AB gaat.Een rechte die wei door A loopt, gaat na transformatie inzichzelf over.

AF,. AF2De macht van het punt A ten opzichte van de getransfor­meerde kromme is constant; de getransformeerde krom­me is dus een cirkel. Daar de snijpunten van de ongetrans-

---+formeerde cirkel met de cirkel AB invariant zijn ten aan-zien van de transformatie. gaat ook de getransformeerdecirkel door deze punten en is de verbindingslijn hiervande machtlijn van de drie cirkels.

STELLING 5:---+

De inversie aan een cirke/ AB voert een orthogona/e hyperboo/,die door het punt A goat, over in een circu/aire kromme vonde derde graad met een dubbe/punt ;n A en met /oodrecht ope/kaar staande' dubbe/puntsraaklijnen, en omgekeerd (ziefiguur 65).

Bewijs:Daar de twee loodrecht op elkaarstaande asymptoten vande hyperbool zich transformeren in twee cirkels, die in Aloodrecht op elkaar staan en de raaklijnen aan deze cirkelssamenvallen met de raaklijnen aan de getransformeerdekromme in het punt A, is het punt A een dubbelpunt vandeze kromme en staan in A de dubbelpuntsraaklijnen lood­recht op elkaar. ledere rechte door A snijdt de getrans­formeerde kromme in drie punten. te weten, in het dubbelte tellen punt A en in nog een derde punt, dat het getrans­formeerde punt is van het snijpunt van de rechte met dehyperbool dat niet met A samenvalt.De getransformeerde kromme is dus van de 3e graad.De raaklijn in het punt A aan de hyperbool is tevens deenige asymptotische richting van de getransformeerdekromme: de oneindig verre' rechte snijdt deze krommedus in het asymptotisch punt en in twee toegevoegde com­plexe punteri.De hyperbool kan beschouwd worden als de meetkundigeplaats van snijpunten van overeenkomstige exemplaren

van twee Iijnenwaaiers. De inversie aan de cirkell:'Btransformeert iedere lijnenwaaier met een basis punt, datniet met A samenvalt, in een cirkelbundel met basispuntenin A en in het getransformeerde basispunt van de lijnen­waaier. De getransformeerde kromme is dus de meetkun­dige plaats van desnijpunten van overeenkomstige exem­plaren van twee cirkelbundels. Hiertoe horen ook deisotrope punten, zodat de getransformeerde kromme eencirculaire kromme is. Hiermee is het bewijs van de stellinggeleverd.Uit de stellingen 2 en 3 voigt onmiddellijk:

IT~kromme

~ Bo.·/

66.

35

68.

5TELLING 6:De 5'-kromme uit CR is gelijkvormig met een kromme, die naspiegeling ten opzichte van de koppe/stang AB de, ten op.

zichte van een cirke/ met midde/punt in A en straa/ AB geno­men inverse is van de P'-kromme.(De stelling is cyclisch voortzetbaar in CR).Uit het voorgaande is tevens gebleken, dat de zes polen5,2.5'23.513,5,•• 5'2' en 5'34' diedehoekpuntenzijn vandriepoolvierhoeken, waarvan elk stel overstaand~ zijden doorieder punt van de 5'-kromme onder gelljke hoeken wordtgezien, zich op dezelfde wijze tran~formeren naar het over­eenkomstige stel polen van de P'-kromme. als ieder anderpunt van de5'-kromme.

Bewijs:Daar bijvoorbeeld 05135'325'2.5., een parallellogram is. isde 5'-kromme uiteengevallen in de oneigenlijke rechteen in een orthogonale hyperbool door de vier polen 513,5'23.514 en 5'2. en door de punten A', en C',.Op grond van de stellingen 5 en 6 is de P'-kromme danontaard in een circulaire kromme door B, met loodrechtop elkaar staande dubbelpuntsraaklijnen in het punt A,.Toepassing van stelling 6 deel1 leidt dan tot de conclusie.dat ieder vande drie poolvierhoeken PuP' 23P'3.P41'P'2P'2.P'.3P3' en P13P'32P'2.P., een raaklijnenvierhoek is.Daar bij de overgang van 6ABE naar 6B"C"E het van B,afkomstige punt B," inversiecentrum is. behoudt daarbijde cirkelliggingskromme haar dubbelpunt. Dit punt ispunt ct. aangezien bij de daarop volgeride overgang van6B"C"E naar 6A'C'E een orthogonale hyperbool doorhet inversiecentrum C', ontstaat. De T'-kromme is duseen polenkromme door B," met loodrecht op elkaar staan­de dubbelpuntsraaklijnen in het punt C," (zie figuur 66).OT31T'32T'2.T., is dus ook een raaklijnenvierhoek. waar­mee de stelling bewezen is.

5TELLING 8:/s de 5'-kromme uit CR een po/enkromme met een dubbe/puntdat niet samenva/t met een der uiteinden van de koppe/stang

A'C'. dan zijn ook de p'. en de T'-kromme po/enkrommen meteen dubbe/punt dat niet met een der uiteinden Yan de betrok­ken koppe/stang samem"a/t (zie figuur 67).

Daar in dit geval het dubbelpunt van de 5'-kromme nietmet A', of met C', samenvalt. valt geen enkel dubbelpuntmet een inversiecentrum samen, zodat ieder dubbelpuntaan een eindig daarop volgend dubbelpunt wordt toege­voegd.leder van de drie aan elkaar toegevoegde cirkelliggings­krommen heeft dus een dubbelpunt. zodat de daarbijhorende poolvierhoeken raaklijnenvierhoeken zijn.

In het vervolg zal worden nagegaan hoe het verband istussen de onderscheiden ontaardingsgevallen van de cirkel­liggil'gskrornmen van de drie koppeldriehoeken uit deconfiguratie van Roberts.

5TELLING 7:/s de 5'-kromme uit CR uiteengeval/en in een orthogona/ehyperboo/ door minstens vier po/en en in de oneigenlijkerechte. dan is de P'-kromme ontaard in een po/enkromme meteen dubbe/punt in A, en de T'-kromme in een po/enkrommemet een dubbe/punt in C",; of cyclisch voortgezet in CR (ziefiguur 66).

5TELLING 9:Is de cirkel/iggingskromme in de stand 1 van enige koppe/­driehoek uit CR ontaard in een cirke/ en een rechte door hetmidde/punt yan deze cirke/. dan is dat in het a/gemeen ook hetgeva/ met de cirkel/iggingskrommen van de beide anderekoppe/f/riehoeken uit CR. Ligt een der bewegende draaipuntenin de stand 1 van CR op de cirke/ respectievelijk de rechte a/stak ran de bijbehorende cirkelliggingskromme, dan is dat ookhat geva/ met het bewegende draaipunt dat bij hetze/fde geste/­punt van CR hoort.A/s niet iedere koppe/stang een tak is van de cirkelliggings­kromme, is in het a/gemeen steeds een en nooit meer don eenrechte o/s tak te 'linden. waarop zich geen enke/ bewegenddraaipunt bevindt (zie figuur 68).

Bewijs:Het is geen verbijzondering. wanneer van de 5'-krommewordt aangenomen, dat zij ontaardt in een cirkel en eenrechte. Gaat men uit van het geval dat de cirkelliggings­punten A', en C,'beide op de cirke/ liggen, dan is volgensstelling 4 en de opmerking onderdeze stelling en stelling 6,de P'·kromme uiteengevallen in een cirke/ door A, en een"

Po,

67.

36

T-kromml'

69.

70.

.=;::-yc..//

././ / ..

/'/

/

/

rechte door B, en door het middelpunt van deze cirkel. Zetmen dit voort, dan blijkt de T'-kromme een rechte door B",en een cirkel door C", te zij n.Op dezelfde wijze leidt men af, dat in het geval de S'·kromme bestaat uit een cirkel door A', en een rechte doorC'" dat dan de P'-kromme bestaat uit een cirkel door A,en B, en uit een rechte, en dat de T'-kromme is opgebouwduit een cirkel door B", en een rechte door C",.Is de S'-kromme uiteengevallen in een rechte door A', eneen cirkel door C'" dan is de P'-kromme uiteengevallenin een cirkel door B, en een rechte door A, en de T'-krom­me in een cirkel door B", en C", en in een rechte door hetmiddelpunt van deze cirkel.Is tenslotte de koppelstang A, 'C,' een tak van de S'-krom­me, dan is iedere koppelstang van de configuratie een takvan de daarbij horende cirkelliggingskromme. Het bewijsvan de stelling is daarmee geleverd. Figuur 68 geeft een vande hier besproken gevallen weer.

STELLING 10:Is de middelpuntskromme van enige koppeldriehoek uit CRuiteengevallen in een orthogonale hyperbool door de zes polenen door de twee vaste draaipunten van de betrokken stangen­vierzijde en in de oneigenlijke rechte, don is dot ook het gevolmet de middelpuntskrammen van de beide andere koppeldrie­hoeken uit C R- (zie figuur 69).

Bewijs:Het is geen verbijzondering, wanneer van de 5-krommewordt aangenomen, dat zij uiteengevallen is in een ortho­gonale hyperbool door Ao en Co en in de oneigenlijkerechte. Op grond van stelling 10 deer 1 is dan de hierbijhorende 5'-kromme uiteengevallen in de rechte A',C', enin een cirkel door. de. polen 5,., 5'23' 53" 5,., 5"2' en 5'43'(Daar de punten van de oneigenlijke rechte aan deze cirkelzijn toegevoegd, kunnen A', en C', die zijn toegevoegdaan de respectieve punten Ao en Co van de hyperbool,allet:n op de rechte liggen, die een tak is van de cirkellig­gingskromme).

37

Bewijs:Op grond van stelling 12 deer 1 ontaardt de S'-kromme ineen polenkromme door C', met een dubbelpunt in S'.3 =

STELLING 11:Is de S-kromme ~'an CR ontaard in een rechte door vier polen enAo en in een cirkel door twee polen en Co' dan is de P-krommeuiteengevallen in een orthogonale hyperbool door vier polen enAo en Bo en indeoneigenlijkerechte door twee polen. terwijl deT-kromme uiteengevallen is in een rechte door vier polen enBo en in een cirkel door twee polen en Co' en cyelisch voortge­zet in CR (zie figuur 70).

Op grond van stelling 9 ontaardt dan de P'-kromme in derechte A,B, en in een cirkel.Daarhet inversiecentrum het punt A, is. dat een puntvormt van deze rechte. is bij overgang van ,6A',C',E naar,6A,B,E de cirkel in een cirkel en de rechte in een andllrerecnte overgegaan. De P'-kromme is dus uiteengevallen inde rechte A, B, en in de cirkel door de zes polen P,.. ,P'3'P'.3' p' ... pT'3 en P'1" De overeenkomstige middelpunts­kromme is dus op grond van 'stelling 10 deel 1 weer uit­eengevallen in een hyperbool door Ao en Bo en in de on­eigenlijke rechte. De redenering is cyclisch voortzetbaar~

zodat de stelling bewezen is.

= S14 dat samenvalt met A',. doordat bij de isogonaletransformatie de gehele rechte door Ao aan een punt istoegevoegd. Met behulp van stelling 7 kan worden afge­leid. dat de P'-kromme bestaat uit een orthogonale hyper­booI door A, en B, en door de hoekpunten van het paral­lellogram P,.P'••P'.3P3' en uit de oneigenlijke rechte doorP': en p:,:. Voorts is de T'-kromme een polenkromme doo.rC," met een dubbelpunt in B," = T'.3 = T,•.Daar DP,.p••P.3P3T weer een parallellogram is. bestapt deP-kromme uit een orthogonale hyperbool door vier polenen Ao en Bo en uit de oneigenlijke rechte door P: ~n P~4'Tenslotte leidt de gedaante van de T'-kromme met stelling12 deel1 tot de ontaarding van de T-kromrr.e in een cirkeldoor twee polen en Co en in een rechte door vier polen enBo' (HetdubbelpuntB," = T'.3 = T,. is daarbij weer toege­voegd aan de rechte door T,.. T••• T43 en T3, en door Bo).

Bewijs:Op grond van stelling 12 deel 1 leidt de gedaante van deS-kromme tot de ontaarding van de S'-kromme in eenpolenkromme door A', en C', met een dubbelpunt inS'.3 = Sf~' Met stelling 8 leidt dit tot de ontaarding van deP'-kromme in een polenkromme door A, en B, met eendubbelpunt in P'.3 = p, •. Stelling 12 deel1 geeft daarmeeeen uiteenvallen van de P-kromme in een rechte door vierpolen en in een cirkel door de gestelpunten Ao en Bo endoor twee polen. Voor de gedaante van de T-kromme geldteen overeenkomstige afleiding.

STELLING 13:Is de S-kromme van CR ontaard in een cirkel door vier polenen in de geste/lijn door twee polen. dan is dit ook het geval metde p. en de T-kromme van CR (zie figuur 71).

STELLING 12:Is de S-kromme van CR ontaard in een rechte door vier polenen in een cirkel door de twee gestelpunten en door twee polen.dan is dit ook het geval met de P- en de T-kromme van CR(zie fig uur 72).

Bewijs:Op grond van stelling 11 deel 1 leidt de gedaante van deS-kromme tot de ontaarding van de S'-kromme in eerfcirkel door vier polen en in een rechte door twee polen.Daar de rechte aan de gestellijn AoCo is toegevoegd. is dezerechte de koppelstang A',C',. Stelling 9 geeft daarmee eenuiteenvallen van de P'-kromme in een cirkel door vierpolen en in de koppelstang A,B, door twee polen. Met stel­ling 11 deer 1 is dan de P-kromme ontaard in een cirkeldoor vier polen en in de gestelliJn AoBo door twee polen.Voor de gedaante van de T-krommegeldteenovereenkom­stige afleid ing.

'. . ,

,);?~~...T"

5"

~s.kromrTlll

71.

73.\

38

74.

STELLING 14:/s de S·kromme van CR ontaard ;n een rechte door twee po/enen ;n een c;rke/ door vier po/en en door Ao en Co' dan is deP-kromme ontaard ;n een po/enkromme door Ao met een'dubbe/punt ;n Bo en de T-kromme;n een po/enkromme door Comet een dubbe/punt ;n Bo• en cyclisch voortgezet ;n CR (ziefiguur 73).

Bewijs:Op grond van stelling 11 deel 1 leidt de gedaante van deS-kromme tot de ontaarding van de S'-kromme in eencirkel door vier polen en in een rechte door twee polen.Daar deze cirkel aan de cirkel door Ao en Co is toegevoegd,gaat de eerstgenoemde door A', en C',. Stelling 9 geeftdaarmee een uiteenvallen van de P'-kromme in een cirkeldoor twee polen en door A, en in een rechte door vierpolen en door B,. Nogmaals toepassen van stelling 9 leidttot de ontaarding van de T'·kromme in een cirkel doortwee polen en door C", en in een rechte door vier polenen door B",. Op grond van stelling 13 deel1 is dan de T­kromme een polenkromme door Co met een dl'bbelpuntin T•• = T'4' Daar hierbij de rechte door B", aan het dubbel­punt is toegevoegd en B", het punt Bo bij zich heeft, isBo = T14 = T••. Dezelfde stelling geeft voor de P-krommeeen polenkromme door Ao met een dubbelpunt in Bo == P14 = p•••

STELLING 15:/s de S-kromme van CR ontaard in een cirke/ door Vier po/en enCo en ;n een rechte door twee po/en en Ao' dan ;s de P-krommeuiteengevallen ;n een cirke/ door vier po/en en Bo en ;n eenrechte door twee po/en en Ao• terw;j/ de T-kromme ontaard ;s;n een po/enkromme door Bo en Co met een dubbe/punt. dat n;etin Bo of Co /;gt (zie figuur 74).

Bewijs:Op grand van stelling 11 deel 1 leidt de gedaante van deS·kromme tot de ontaarding van de S'·kromme in eencirkel door vier polen en C', en in een rechte door tweepolen en A',. Stelling 9 geeft daarmee een uiteenvallen vande P'-kromme in een cirkel door vier polen en B, en in eenrechte doortwee polen en A,. Herhaald toepassen van stel­ling 9 leidt dan tot het uiteenvallen van de T'-kromme ineen cirkel door twee polen en door C", en B"" en in eenrechte door vier polen. De gedaante van de P'-krommegeeft dan met stelling 11 deel 1 een cirkel door vier polenen Bo en een rechte door twee polen en Ao voor de ge­daante van de P-kromme. Voorts leidt de gedaante van deT'"kromme met stelling 13 deel1 tot de ontaarding van deT-kromme in een polenkromme door Bo en Co met eendubbelpunt in T,. = T34 dat buiten de gestelpunten ligt.

STELLING 16:Bestaat de S-kromme ;n CR u;t een cirke/ door zes po/en en u;tde gestellijn AoCo• dan ;s de P-kromme een po/enkromme doorBo met een dubbe/punt ;n Ao en de T-kromme ;s een po/en­kromme door Bo met een dubbe/punt ;n Co' en cyclisch voort­gezet ;n CR (zie figuur 75).

Bewijs:Op grond van stelling 9 deel 1 bestaat de S'·kromme uiteen orthogonale hyperbool door zes eindige polen en A',en C', en uit de oneigenlijke rechte (zie ook figuur 66).De P'-kromme is dan op grond van stelling 7 een polen­kromme door B, met een dubbelpunt in A,. Hieruit voigtmet stelling 14 deel1. dat de P-kromme een polenkrommeis door Bo met een dubbelpunt in Ao' Anderzijds leidt degedaante van de P'·kromme op grand van stelling 7 tot eenpolenkromme door B", met een dubbelpunt in C", als T'­kromme. De T-kromme is dan op grond van stelling 14deel1 een polenkromme door Bo met een dubbelpunt in Co

75.

p~kromm=. _

~

S.krcmme

T.kromme

T"

5"

5"

39

5 Toevoeging van koppelpunten aan krukstanden

In deel 3 zijn constructies besproken, waarbij uitsluitendpunten op een koppelkromme werden voorgeschreven,Daarbij dient te worden afgewacht bij welke standen vande aangedreven kruk deze koppelpuntposities bereikt wor­den. Bij mechanismen' met een periode van rust bijvoor­beeld, kan het gewenst zijn, dat deze eenvoorgeschrevenduur neeft. De tijdens die rust door de met een eenparigehoeksnelheid aangedreven kruk doorlopen hoek is daneen maat voor de duur van de rust.

5.1 Toevoeging van drie koppelpunten aan tweekrukhoeken

Opgave: Construeer de stangenvierzijde. als drie koppel­punten E" E2 en E. gegeven zijn en bovendien de overeen­komstige door de kruk doorlopen hoeken: -tA,A.,A2 = <P'2en -tA,AoA. = <pu'

Uitwerking:Het gegeven zijn van een hoek tussen twee krukstanden is,wat het aantal ontwerpvrijheidsgraden betreft, gelijk­waardig met het voorschrijven van een punt van de koppel­kromme.De constructie verloopt als voigt: (zie figuur 76)a. Kies de draaipunten Ao en Bo' (I.p.v. Bo kan ook B, wor­

den gekozen).

40

b. Bepaal de opeenvolgende posities E2 , en E., van hetkoppel punt E ten opzichte van AoA,. Daarbij is-tE2AoE2, = <P2' = -<pu en -tE.A.,E., = <p., = -<p,•.

c. Bepaal het middelpunt A, van een cirkel door de puntenE" E2 , en E.,.

d. Bepaal de punten A2 en A. met de gegevens, waarbij-- -- --

-tA,AoA2 = <P'2' -tA,AoA3 = <p,. en A,Ao = A2Ao = A.A.,.e. De ten opzichte van het koppelvlak A,E, achtereenvol­

gens door Bo doorlopen punten Bo, (= Bo)' B02 enB03 worden gevonden met behulp van congruentie van

driehoeken:

[,A,'E,B03 ~ [,A.E.Bo

f:,.A,E,B02 ~ [,A2 E2 Bo'

f. Bepaal het middelpunt B, van een cirkel door de pimtenBo" B02 en B03'

g. De gezochte stangenvierzijde is DA.,A,B,Bo : de koppel-driehoek is [,A,B,E,.

opm. Door keuze van andere punten Ao of Bo kunnen inhet algemeen betere overbrengingshoeken worden be­dongen.

5.2 Toevoeging van vier koppelpunten aan driekrukhoeken

Opgave: Construeer de stangenvierzijde, als vier koppel­punten E" E2 , E. en E. gegeven zijn en bovendien de overeen­komstige door de kruk doorlopen hoeken -tA,AoA2 =

= <pu' -tA,AoA. = <p,. en -tA,AoA. = <p,..

5.2a Oplossing met tweevoudige of enkelvoudigepositiereductie

Uitwerking:De 9-4-3= 2 resterendeontwerpvrijheidsgraden kunnenworden gebruikt voor 2 positiereducties.Hiervoor zijn nog verschillende mogelijkheden. Een vandeze mogelijkheden zal aan de hand van figuur n wordentoegel icht:

a. Bepaal het punt 5,. op de middelloodlijn van E,E.,waarvoor -tE.514E, = <p., = -<P,•• Neem Ao = 5,•.Hiermee is de eerste positiereductie verwezenlijkt.omdat dan p., = Ao en daarmeesamenhangend E., = E,.

b. Bepaal vervolgens de achtereenvolgende posities E.2 ,

en E., van het koppelpunt E ten opzichte van AoA,.Daarbij is -tE2AoE2, = <P2' = -<pu en-t E.AcE., = <p., = -<pu'

c. Bepaal het middelpunt A, van een cirkel door de puntenE, = E.1.' E2, en E3,.

77a.

"/'A,/

/

//

/,,,

fAr -_, ,,,

nb.

8,

E,

oE,

d. Bepaal de punten A2 • A. en A. met de gegevens, waarbij

<;'A,AoA2 = cp'2~A,A.,A. = cp,.. <;.A,AoA. = cp,. en

A,Ao = A2Ao = A.Ao = A.Ao·

e. Neem het punt Bo in het snijpunt van de middelloodlij_-- --

nen van A,A2 en E,E2 • Daarmeeis de tweede positie-reduetie Yerwezenlijkt. omdat Bo = P'2' Een gevolghiervan is. dat Bo' = B02' omdat tevensL',A,E,Bo \a L',A,E2Bo \a L',A,E,B02'

f. De ten opzichte van het koppelvlak A,E, achtereenvol­gens door Bo doorlopen punten Bo• en Bo• worden ge­vonden met behulp van congruentie van driehoeken:

L',A,E,Bo• \a L',A.E.Bo

L',A,E,Bo• \a L',A.E.Bo'

g. Bepaal het middelpunt B, van een cirkel door de puntenBo' = B02' Boo en B04•

h. De gezochte stangenvierzijde is DAaA,B,Bo; de koppel­driehoek is L',A,B,E,.

Opm. Variatie van het punt Bo (=i'P12) op de middelpunts­kromme. die bepaald is door de vier standen A,E" A2 E,.A.E. en A.E•• maakt het mogelijk het mechanisme te vindenmet optimale I1min' (Bij deze benadering van het probleemwordt dus slechts een enkelvoudige positiereductie toege­past).

A., kan behalve in 5,. ook gekozen worden in de punten512.5, •• 52" 5.. en 5... De zes punten 5ij zijn daarbij de top­punten van de gelijkbenige driehoeken Ei5ijEj, waarvan

gegeven: 4 posities van het koppelpunt E3 bijbehorende krukhoeken

i/

78.

I /

! i

/

is;;

... /'

............

/".

/,.,

............

/,.-

............. 80

81

41

elke tophoek .q:Ej5jjEj = CPij = CPik + CPki = CPik - CPjk.(Is bijv. A" = 5••, dan is p.. = Ao en ook E2, = E.,. doordatL,AoA,E21 ~ L,AoA2E2~ L,AoA.E. ~ L,A"A,E.,). Voor dekeuze van Ao leidt de eerste positiered uctie dus in totaaltotzes mogelijkheden. Omdat de rot.atiehoeken €kl van hetkoppelvlak in het algemeen niet gelijk zijn aan de overeen­komstige rotatiehoeken cpkl van de kruk, is Pkl oF 5kl vooriedere k en I oF k. Indien echter €ij = CPij. dan is ookPij = Ao= 5ij' Bij iedere keuze van Aoineenvandezes 5-pun­ten, resteren voor de keuze van Bo dus niet meer dan vijfP-punten. De tweevoudige positiereductie leidt dus tot6.5 = 30 onderscheiden oplossingen van het vraagstuk.

5.2b Aigemene behandeling

De opgave, zoals deze in het begin van punt 5.2 is gesteld.kan ook worden benaderd zonder gebruik te maken vanenige positiereductie. In het voorgaande is de mogelijk­heid aangegeven om met de tweede positiereductie af terekenen, door Bo op de middelpuntskromme buiten enigrotatiecentrum te nemen.En met de eerste positiereduetie kan worden afgerekend.door op te merken. dat van de opeenvolgende positiesE" E2,. E., en E.,. die bereikt worden bij de beweging vanhet koppel punt E ten opzichte van AOA,. er niet noodzake­lijk twee behoeven samen te vallen. Voor de oplossingvan het probleem is het voldoende als E,. E2" E., en E•• opeen cirkel liggen. Daarbij moet gezocht worden naar eenmeetkundige plaats voor de punten Ao' Voor ieder punt

-- --A" van de meetkundige plaats geldt. dat A"E. = A"E2,.

AoE. = AoE." A"E. = AoE." ldat .q:E2AoE2, = CP2' == -CP'2' .q:E.A"E., = cp., = -cp,•• .q:E.AoE., = cp., =

= --cp.. en dat.E,. E2,,~E., en E•• op een cirkel komen.De meetkundige plaats van de punten Ao' waarvoor dit hetgeval~is. zal de 5-kromme worden genoemd. De construc­tie van deze kromme gaat uit van de ligging van de punten5ij. Deze:punten spelen eenzelfde rol ten opzichte van de5-kromme als de polen flij ten opzichte van de polenkrom­me.Ook de meetkundige eigenschappen van de 5-kromme zijndezelfde als dje van de polenkromme. (Voor het bewijs hier­van wordt verwezen naar deel 4).Voor de keuze van het punt Bo blijft de middelpuntskrom­me (P-kromme) aangewezen. Deze is afhankelijk van dekeuze van het punt Ao op de 5-kromme.

g. Construeer de parallellogrammen A"A,E,A', enCoC",E,C',.

h. Bepaal het punt B, met.de conditie:

L,A,B,E,r'V L,A',E,C',.

i. Construeer het parallellogram E,B,BoB",.

Devierzijden (A"A,B,Bo) en (CoC,"B",Bo) met de respec­tieve koppeldriehoeken A,B,E, en C",B",E, zijn oplossin­gen van het vraagstuk. (Hierbij doorlopen A"A en CoC"de gewenste krukstanden. die zijn toegevoegd aan de ge­geven posities E,. E2, E. en E. van het koppel punt).

In de hierna volgende opgave is de constructie van deP-kromme echter onvermijdelijk:

Opgave: Construeer een stangenvierzijde met een gege­

ven kruklengte AoA en een gegeven gestellengte AoBo alsbovendien vier posities E,. E2• E. en E4 van het koppel puntgegeven zijn en de overeenkomstige door de kruk door­lopen hoeken

.q:A,AoA2 = CP12' .q:A,A"A. = cp,. en .q:A,A"A. = CP...

Uitwerking: (zie flguur 79).

a. Bepaal de zes punten 512, 52" 5.,. 5,., 5.. en 5.. met be­hulp van de condities:

SijEi = 5ijEj en .q: Ej5ijEj = CPij = CPik - CPjk met

i oF j oF k oF i en i, j en k = 1, 2. 3 of 4.b. Bepaal het spiegelbeeld 5'2. van 52. ten aanzien van de

rechte 5'25...c. Bepaal het spiegelbeeld 5' .. van 5•• ten aanzien van de

rechte 5,.5...d. Bepaal het spiegelbeeld 5'2. van 52. ten aanzien van de

rechte 5125,•.e. Teken de 5'·kromme door dezes punten 512, 5'.., 5,••5,.,

5'.. en 5'2. met behulp van een der drie poolvierhoeken5125' 2.5' ••5.,. 5125' ..5' ••5., en 5,.5'..5'2.5.,.

In plaats van de keuze van het punt Boop de P-kromme. kanook het toppunt Co van de gesteldriehoek AoBoCo op dereeds getekende 5-kromme worden aangenomen. Hetpunt Bo wordt dan via de conflguratie van Roberts vastge­legd.De constructie verloopt als voigt: (zie flguur 78)

a. Bepaal de zes punten 5u ' 5.., 5.,. 5,•• 5.. en 5'2 met be--- --

hulp van de condities: 5ijEj = 5jjEj en.q:Ei5ijEj = CPij = CPik - CPjk met i oF j oF k oF i en i. jen k= 1. 2. 30f4.

b. Teken de 5-kromme door de zes punten 5ij met be­hulp van een der drie poolvierhoeken 5125..5..5."

.5125..5..5.; en 5,.5'252.5.,.c. Kies de punten A" en Co op de 5-kromme.d. Bepaal het punt A', met de condities:

.q:A0 512A', = cp2,/2 en .q:A,,5,.A', = cp.,/2

en ga na of inderdaad .q:A,,5..A', = cp.,/2.

e. Bepaal het puntC', met de condities:

.q:C0 512C', = cp2,/2en .q:C05..C', = cp.,/2

en ga na of inderdaad .q:C0 5,.C', = cp.,/2.f. Bepaal het punt Bo met de conditie:

L,A"BoCor'V L,A',E,C',.

42

~v----

~2[j'_~:___

\i!!.479. ~

gtg,ven:

trukl.ngl. AvA!illitentl1ljjlt "'Sa4positi.IV4InhttkOllptlpunlE3bljb.hor.nd.krukho.k.n IP

Indien zowel de 5'_ als de P-kromme ontaardt in een cirkelen een rechte. krijgt men een sterke vereenvoudiging vande zojuist besproken constructie. Een belangrijk voorbeeldhiervan vindt men in de volgende opgave:

Opgave: Construeer een stangenvierzijde met een ge'geven

kruklengte AoA en een, gegeven gestellengte AoBo als het

f. Neem A', in een der snijpuntenvan de cirkel met mid--- --

delpunt E, en straal E,A', = A"A, met de 5'-kromme.g. Bepaal het punt Ao met de conditie~:

<;:A,,5,.A', = ~.,/2 en <;:A,,5'3A', =.,~3,/2

en ga na of inderdaad <;:A05,.A', = ~,,/2.

h. Teken het parallellogram AoA,E,A',.i. Bepaal de posities A,. A3 en A. van het punt A met de

condities:

<;:A,AoA. ':" ~,., <;:A,A"A3= ~13 en <;:A,A.,A. = ~".

j. Bepaal dezespolen p,•• P13• P32• p... P.. en P... die behoren-- -- -- --bij de vier standen A\E,~ A.E•• A.E. en A.E. van hetkoppelvlak ABE.

k., Teken de P-kromme door de zes polen Pij met behl!lpvan een der drie poolvierhoeken p,.p..p..p.,. p,.p..p..p3'en p,.p••p••p.,.

I. Neem Bo in een der snijpunten van de cirkel met

middelpunt Ao en straal AoBo met de P-kromme.m. Bepaal het spiegelbeeld P,.FB van de rechte P,.Bo ten

aanzien van de bissectrice in het h6ekpunt p,. vanL::::.P,.P••P3,; bepaal evenzo het spiegelbeeld P13FB vande rechte P'3BO ten aanzien van de bissectrice in hethoekpunt P'3 van L::::. p,.p..p.,. (Zieook fig. 22)

n. Bepaal het spiegelbeeld B, van het snijpunt FB van derechten P,.FB en P'3FB ten aa'nzlen van de rechte P,.P13•

o. De vierzijde (A"A,B,Bo) met de.j(oppeldriehoek A,B,E,voldoet aan de gestelde opgave.

koppel punt E de vier gegeven posities E,. E•• E. en E. van

een rechte doorloopt. Gegeven is bovendien. dat E,E. =-- --E.E3 = E3E. en dat <;:A,AoA. = <;:A,AOA,. = <;:A3AaA•.Ookde grootte van deze hoek is gegeven.

Uitwerking: (zie figuur 80).a. Bepaal het punt 5,. met behulp van de condities:

5,.E, = 5,.E. en <;:E,5,.E. = <;:A,A"A. = ~1.',

b. Bepaal het punt 5.. met behulp van de condities:

5,.E, = 5..E. en <;:E,5,.E.= 3(<;:A,AoA.) = 3 ~...

c. Trek de rechte E,5,•.d. Neem A', in een der twee snijpunten van de cirkel met

-- --middelpunt E, en straal E,A', = A"A, met de rechteEi5,. (de rechte E,5,. is' een'takvan de 5'-kromme.)

e. Bepaal hetpunt A'. met de cqndities:

5,.A', = 5,.A'. en <;:A,'5,.A'. = ~..

f. Neem Ao in het snijpunt van de middelloodlijnen van

A',A'. en E.E3 (de laatstgenoemde middelloodlijn valtsamen met de rechte 5,.E~ • die een tak is van de 5­kromme).

g. Teken het parallellogram AoA,E,~',.

h. Bepaal de posities A•• A. en A. van het punt A met decondities:

A.Ao = A3Ao = A.Ao = A,Ao en

~,. = <;:A,A"A. = <;:A.AoA3 = <;:A3A"A. =~...

i. Bepaal de polen p,. en P13• die behoren bij de drie stan­

den A,E,. A.E. en A,E3 van het koppelvlak ABE.

j. Teken de cirkeldoor p,. en P13• die de middelloodlijn

van E.E. tot middellijn heeft (zowel deze cirkel als de

middelloodlijn van E.E3 is een tak van de P-kromme.).k. Neem Bo irieen der vier snijpunten van de cirkel met

middelpunt Ao en straal A"Bo met de P·kromme. ,I., De ten opzichte van het koppelvlakA, E,achtereenvol­

'gens doorBo doorlopen punten Bo' = B""Bo•• Boi,enB04 worden gevonden met behulp van. congruentie -':andriehoeken: ' '

L::::.A,E,B04 <:,QL::::.A.E.BoL::::.A,E,Bo• <:,QL::::.A.E3BoL::::.A,E,Bo• <:,QL::::.A.E.Bo·

m. Het punt B, is het middelpunt van de cirkel door depu nten Bo• Bo•• B03 en Bo•.

n. De vierzijde (A"A,B,Bo) met de koppeldriehoek A,B,E,voldoet aan de gestelde opgave. (Er zijn 2',4 = 8op­lossingen voor het gestelde v.raagstuk.)

Taelichting: Ten gevolge van de symmetrische ligging Y;lnde punten E" E2• E3 en E. ten opzichte van de middellood­

lijn van E.E3 en de,onderlinge overeenkomst tussen dehoeken ~... ~2' en ~•• ontaardt de 5-kromme in een cirkeldoor de polen S... 513, 5.. en 5.. en in de rechte 5,.52, doorhet oneigenlijke punt E~ . Op grond van stelling 11. deel1is dan de 5'-kromme uiteengevallen in een cirkel door depolen 5... 5'3.5'.. en 5' .. en in de rechte 5,.5'.3 door hetcirkelliggingspunt E, .Bij keuze van A', op de rechte als tak van de 5'-krommevalt ook de P-kromme uiteen in een cirkel door de vierpolen p... P13• p.. en p.. en in de rechte p,.p.. door A, enhet oneigenlijke punt E~ . Dit voigt uit de corifiguratie vanfiguur 71 of uit die van figuur 74. Het eerstgenoemde gevaldoet zich voor. wanneer Bo op de rechte P,. P23 wordt ge­nomen; het tweede. wanneer Bo op de cirkel als tak vande P-kromme wordt genomen.

koppelkromma

, ~3'___ S_~ro",""" Irec:hte t~1

P~"romm. (rechte 1~1-,--,

s"

~-- S.kf1llTl"" O'e,hlelak)s~

/

\"----')f.:!.-.+--fff--tr----';E;!.. .'5'E........

80.

J/

~\

\80

43

5~3 Toevoeging van vijf koppelpunten aan vierkrukhoeken ')

Opgave: Construeer de stangenvierzijde. als vijf koppel­punten E,. E2• E•• E. en E. gegeven zijn en bovendien deovereenkomstige door de kruk doorlopen hoeken1:A,ArA2 = rp'2' 1:A,ArA. = rp,.. 4.A,A"A. = rp14 en1:A,A.;A. = rp, •.

Uitwerking: (zie figuur 81).De constructie verloopt als voigt:

a. Bepaal de S-kromme 5,.... die behoort bij de vier kop­pelpunten E" E2• E. en E. en bij de drie hoeken rp'2'rp,. en rp...

') Freudenstein F. en Sandor G. N.: "Synthesis of Path Generating Me­chanisms by means of a Programmed Digital Computer", Trans.ASME Series B. Journal of Engineering for Industry 80 (1959) May, p.159·168.

~..•- ..•-..,.~

/ \/"" I

! I/

/.I

i

..•.•...•..................

..............................

.•.•............

..........

gegeYln: 5 pOlities van htl kopJHtlpunt EL b~behortnde kruthotken.,

81.

44

..-

b. Bepaal vervolgens de S-kromme 52345, die behoort bij devier koppelpunten E2• E•• E. ~n E. en bij de driehoekenrp2.' rp2. en ~...

c. Kies A" in een van de reele snijpunten van de beide S­krommen. die niet samenvallen metS... S25 en S... Ditaantal snijpunten is ten hoogste vier. te weten 3 x 3.verminderd met de twee isotrope punten. waardoor dekrommen gaan en de drie hiervoor genoemde puntenS2.' S25 en S...

d. Bepaal het punt A.' met de condities:4.A"S12A', = rp2,/2 en 1:A"S13A', = rp.,/2 en ga na ofinderdaad 1:A"S14A', = rp.,/2 en 1:AoS..A,' =·rp.,/2.

e. Neem het punt Co. dat een hoekpunt is van de gestel­driehoek AoBoCo• in een van de nog resterende snij­punten van de beide S-krommen. Voor de keuze vanhet punt Co zijn ten hoogste drie reele punten aanwijs­baar.

f. Bepaal het punt C.' met de condities:

1:CoS12C', = qJ,2,/2 en 1CoS,.C', = rp.,/2 en ga na ofinderdaad 1:CoS14C', = rp.,/2 en 1:CoS..C', = rps,/2.

g. Construeer het parallellogram A"A,E,A',.

h. Bepaal het gestelpunt Bo met de conditie:

/':,.A', E,C', "-' /':,.A"BoCo.

i. Bepaal het punt B, met de conditie:

/':,.A',E,C',"-' /':,.A,B,E,.

j. De gezochte stangenvierzijde is DArA,B,Bo; de koppel­driehoek is /':,.A,B,E,.

Opm.: Een tweede oplossing van het vraagstuk wordt on­middellijk gevonden. indien de constructie wordt vervolgdmet:

k. Construeer het parallellogram CoC',E,C", en het paral­lellogram BoB,E,B,".

I. De vierzijde CoC",B",Bo met de koppeldriehoekC",B",E, is dan een tweede oplossing van het vraagstuk.Daarbij doorloopt de kruk CoC", de gevraagde hoeken.De twee aan elkaar toegevoegde oplossingen makendeel uit van de configuratie van Roberts.

Het aantal oplossingen is maximaal gelijk aan

4.32.--= 12•

2

dat optreedt. indien de twee S-krommen elkaar in vierreele Burmester-centra snijden.Snijden de beide S-krommen elkaar in slechts twee reeleBurmestercentra. dan is het aantal oplossingen terugge­bracht tot twee.Zijnalie Burmester-centra complex. dan iser geen enkele oplossing. Er zijn dus nul. twee of twaalf op­lossingen van het vraagstuk. Dit aantal is in aile gevalleneven. doordat bij iedere oplossing een toegevoegde oplos­sing met behulp van de configuratie van Roberts te vindenis.

6 De berekening van de vier Burmesterpunten bijvijf standen·

Bij vijfstanden van het bewegende vlak heeft men de tienpolen p, •• p••• p.,. PIA' p••• Pos• P.,.. P34 ' P4$ en Ps,. Hierbijhoren de middelpuntskrommen: m,•••• ml235• m,24$' m'345en m.345•Twee van deze krommen snijden elkaar in 3 x 3 = 9 pun­ten. waaronder de twee isotrope punten en een drietalpolen. die in het algemeen geen middelpunten kunnen zijnvan cirkels waarop vijf posities van een baanpunt zijn gele­gen. Voor de resterende vier snijpunten is dit laatste weihet geval. Zulke punten worden de punten van Burmestergenoemd. De vier punten van Burmester Iiggen aile op devijf hiervoor genoemde middelpuntskrommen. Voor deconstructie van de punten van Burmester is het voldoende.wanneer men de snijpunten opzoekt van twee middelpunts­krommen en daarbij,de drie polen af laat vallen.

De juiste posities van de vier Burmesterpunten kunnen alsvoigt worden berekend:

• De berekening is omgezet in de rekenmachinetaal "Algol"en is verkrijgbaar bij de T.H. te Eindhoven.

82a.

De mlddelpuntskromme heeft op grond van haar identifi­cering met de polenkromme, de vergelijking:

LkCj - LiCk = 0 (m,...) (1)

Hierbij zijn de rechten Lk en Lj twee overstaande zijdenvan een polenvierhoek en Ck en Cj de cirkels. die dezezelfde zijden tot middellijn hebben (zie deeI 1).Bij vier standen horen drie polenvjerhoeken(DP,.P..P..p.,. DP"P"P"P" en DP14P..p••p., bij de standen1.2.3 en 4). die ieder twee paren overstaande zijden be­zitten. zodat er 3 x 2 = 6 verschillende betekenissen aande notatie (1) kunnen worden gegeven.Bij vijf standen bestaan vijf polenkrommen. Van belang zijnnu de snijpunten van twee van de:z.e krommen. bijvoor­beeld ml234 en m'235' Deze laatste hebben behalve de tweeisotrope punten en de vier punten van Burmester ook nogde polen P12• p•• en p., gemeen. Van deze wetenschap kan.

. bij he~ opstellen van de vergelijkingen van de beide polen­krommen. gebruik worden gemaakt. door zowel voor m'23.als voor m'235 uit te gaan van een polenvierhoek, waarvanalthans een zijde een zijde van de pooldriehoek P,.P23P3, is.Dit kan nog op drie manieren.Maar elk van de:z.e stelt ons in staat zowel de vergelijkingvoor ml234 als die voor'm'235 met een gemeenschappelijkeuitdrukking voor Lj en een voor Cj te noteren. Kiest men

bijvoorbeeld de zijde p,.p•• van de pooldriehoek als degemeenschappelijke zijde van de twee poolvierhoeken.dan heeft men voor deze poolvierhoeken geen anderekeuze dan DP,.P.3 P34P., behorend bij ml234 enDP,.p.3P35Ps, behorend bjj mU35 (zie figuur 82).Lj en Cj hebben dan in vergelijking (1) betrekking op de

gemeenschappelijke zijde p,.p••• terwijl Lk en Ck slaan op

de overstaande :z.ijde P34P., van DP12P••P34P.,.Analooghebben Lj en Cj in de vergelijking

L'kC; - LjC'k = 0 (m,.35) (2)

betrekking op de gemeenschappelijke zijde P,.P23• terwijl

L'k en C'k slaan op de overstaande zijde P35Ps, vanDP12P23P..ps,·In parametervorm krijgt (1) de gedaante:

(m12..> { Ck-ACj = 0 (3)

Lk -A Lj = 0 (4)

en analoog

(m12••) ~C'k-A'Cj = 0 (5)

L'k-A'Lj = 0 (6)

Elk punt van Burmester voldoet aan de laatste vier verge­Iijkingen voor :z.eer bepaalde waarden van A en A'.Ze votdoen dus ook aile vier aan de betrekking

(1 - A') (Ck - ACj) - (1 - A) (C'k - A'Cj) = 0

en dus aan

45

(Lk - Lj) - fl. (L'k - Lj) = 0 (9)

Betrekking (8) stelt een lijnenwaaier voor. Betrekking (9)ook. Eliminatie van fl. leidt dus tot de kegelsnede:

(Ck - Cj) W'k - Lj) - (C'k - Cj) (Lk - Lj) = 0 (10)

En dit is een kegelsnede door de vier punten van Burmes­ter en door de pool P'3'De kegersnede gaat niet meer door de isotrope punten,zoals ook de machtlijn C. - C, = 0 van de cirkels C, en C.een lijn is zonder isotrope punten.Ook de polen p,. en P23 zijn niet meer op de kegelsnede(10) terug te vinden. Dit kan worden verklaard uit het felt,dat zowel Voor het gemeenschappelijke punt P'2 als voor

Na deling door 1 - t..' en met de verkorte schrijfwijze

1-t.. I1-).' = fl.

komt er

en analoog

(7)

(8)

het gemeenschappelijke punt P.3 van m'234 en m12:is:'1/). = 11"'" = O. Uit (7) voigt, dat beide punten p,. en P23•

zo ze punten van de kegelsnede (10) zijn. worden aan­gewezen door de parameterwaarde fl. ;". 1. Dit Is onmo­gelijk. omdat iedere waarde voor fl. met slechts een puntvan de kegelsnede correspondeert. De gemaakte onder­stelling, dat p,. en P23 beide op de kegelsnede lagen. wasdus onjuist. (Voorkeur voor een van beide punten kanworden uitgesloten, wegens hun gelijkwaardigheid in dezeproblematiek).De kegelsnede (10) is door vijf punter. bepaald. Deze zijnin dit geval onmiddellijk aan te wijzen:het snijpunt E van de machtlijn met als vergelijkingCk - Cj = 0 van de cirkels Ck en Ci met de machtlijn(C'k - Ci = 0) van de cirkels C'k en Cj.het snijpunt F van de machtlijn van de c1rkels Ck en Cj metde rechte gaande door het snjjpunt van de rechten Lk enLj in een richting evenwijdig aan de verbindingslijn van demiddens van de diagonalen van DP,2P..P34P., (de vergelij­king van de bedoelde rechte door F is Lk -'- Lj = 0),het snijpunt G van de machtlijn van de cirkels C'k en Cjmet de rechte gaande door het snijpunt van de rechtenL'k en Lj in een richting evenwijdig aan de verbindingslijnvan de middens van de diagonalen van DP,2P23P..ps, (devergelijking van deze rechte is L'k - Lj = 0).het snijpuntH van de rechte L'k - Lj = 0 met de rechteLk - Lj = 0 en tenslottehet punt P'3'

82b. Constructie Van de kegelsnede door vijf punten E, F"G, H, en K = P13. lederestraal door G en iederestraaldoor F, die elkaar in een punt van de kegelsnedesnijden,snijden twee wil/ekeurfg gekozen rechten gG en gF door

K in respectieve punten, waarvan de verbindingslijn door, een vast punt X gaat

1) Teken twee rechten gG en gF door K

2) Snijd EG met gG en EF m,"t gF en verbind de snijpunten

3) Snijd HG met gG en HF met gF en verbind de snijpunten

4) Het snijpunt van de verbindingsfijnen is het punt X5) Snijd een wil/ekeurige straal door X respectieve/ijk met

gG en met gF ,

6) Verbind het snijpu'nt van de straal met gG met G e; he!!

snijpunt van de straal met gF met F

7) Het snijpunt van de twee verbindingsfijnen geeft daneen p,unt van de kegelsnede

46

Wordteen anderezijde van de pooldriehoek P'2P23P3' ge­nomen als gemeenschappelijke zijde van de twee pool­vierhoeken. dan wordt een andere kegelsnede verkregen.Op deze wijze doorgaande verkrijgt men in totaal driekegelsneden. die aile door dezelfde vier punten vanBurmester gaan en ieder van deze -kegelsneden gaat dooreen ander hoekpunt van de pooldriehoek P'2P.3P3,' Zebehorenalle drle tot dezelfde bundel kegelsneden.

In totaal ku nnen op tien verschillende manieren twee uitvijf polenkrommen met elkaar worden gecombineerd.ledere combinatie leidt tot drie kegelsneden. I'n totaal dusdertig kegelsneden. die ieder door de vier punten vanBurmester en door een pool gaan. Er zijn slechts tien polenen dus ook niet meer dan tien onderling verschillendekegelsneden. omdat twee kegelsneden. die een zelfde poolen vier Burmesterpunten gemeen hebben, identiek zijn.Ze behoren aile tien tot dezelfde bundel kegelsneden.(In dit verband is het interessant op te merken. datE. Hackmiiller (2) in 1938 dezelfde kegelsneden verkreegdoor gebruik' te maken van een uitdrukking voor demiddelpuntskromme in complexe coordinaten (1».

.'Uitvoering van de berekening

Er wordt uitgegaan van de coordinaten van de polen:

P'2(XO' Yo); P23(x,. y,);P34(X2• Y2); p.,(X3'Y3); P'3(X•• Y.);l'..(x". Ys); P54(x•• Y.); 'P.2(X7• Y7); P2S(x•• Y.) en Ps,(x•• Y.)zodatp"p.. == Lk =='(x - x,), (y, - y,) - (y - y,),(x, - x,)

::= x(y, - y,) - y(x, - x,) - x,y, + x,y,(= 0)en analoog

P"P" == L'k == x(y, - y,) - y(x, - x,) - x,y, + x,y, (= 0)

p"p.. == Lj == x(Yo- y,) - y(xo - x.) - X'Yo + XoY' (= 0)

en voorts

Ck ==(x_X, ~ X')'+ (y _y, :y,)'_{ CX'-;x,)' +

+ e';- y')' } == x'+y' - (x,+x,)x - (y,+y,)y+x,x,+ y,y, (= 0)

en analoog

C'k == x' + y' - (x, + x,)x - (y, + y,) y + x,x, + y.Y. (= 0)

Cj == x' + y' - (xo + x,) x - (Yo + y,)y + XoX' + YoY' (=; 0)

Hieruit valet dat

{ Ck - Cj == (x. + x, - x. - x,) x + (y. + y, - y. - y.)y, +,. + X:aX:a - xox, + YIY3 - YoY'

I C'k -C j ==(x. + x,-x.-x,)x + (y.+ y,-y.-y,)y +

\ +XSX.-X~1+Y'Y'-YOYI

(a.. - ~'b..)Q.. - (..; - ~'b,')Q.. + (a.. - ~'b..)Q.. = 0(a.. - ~'b")Q,, - (a.. - ~'b")Q.. + (a.. - ~'b,,)Q.. = 0

zodat

a..Q" - a..Q.. + ...Q.. - ~'(b"Q" - b..Q.. + b..Q..) = 0a.,031 - a410 32 + a.430 23 - 1l/(b.,03' - b.20 31 + b.30 n ) = 0

terwijlEliminatie van Il' uit de laatste twee betrekkingen leidt tot de determi·nant:

- Lj == (y, -Y.- Y. + y.)x - (x, - x.- x. + x.)y ++ x'Yo - X"Y:a - xoy, + X2Y,

- Lj == (y, - y. - y, + y,)x - (~,-x. - x, + x,)y ++ x,Yo - x,y, - xoY' + x,Ys

I(al,02' - aU 0 32 + a330 23)(a..,02' - a.20 22 + a.30,,)

of

(b..Q.. - b..Q.. + b..Q..) I ~ 0(b"Q.. - b..Q.. + b"Q..)

Q -I a" - ~b"3' - a

22--: Ilb

21

Stelt men

Xo + x, - x2 - x. = all

Yo + Y, ,- Y2 - Y. = a12

x2x. + Y2Y. - Xax, - YaY, = a..

Y, - Yo- Y2 + Y. a2,

~x, + Xo + x2 - x. a22

X,Yo - x2Y. - XoY, + X.Y2 =~.

(a3,b., - a.,b3,}0:11 2 + (a.,b" - a"b.1 - a2lb., ++aO b3,}02,O'1 + (a3I b"3 - a.,b 32 + aub., - a.3b2,}03'OU ++ (~2b.1 - anb:n}0322 + (-aU b.3+ a.2bu-a33bo ++ a..b..)Q..Q.. + (...b.. -a..b..)Q,,· =0 (17)

Hierin is

a" - ~b"l 'a22

_ Ilb:u = (a'2a23 - a13a21) - (aubu +

+ bn a23 - aubu """7'" aub:za}1l + (b 12b33 - bu b13}1J2en overeenkomstig

Gaat men uit van de vierzijden P12PUP:a4P41 en Pu PU PU PS2 met P1lP12 alsde gemeenschappelijke zijde, dan verkrijgt men de analoge betrekkingen

(a" - ~'b,,)x + (a.. - ~'b..)Y + a.. - ~'b.. = 0 (13)

\a" - ~'b,,)x + (a.. ~ ~'b,,)y + a.. - ~'b.... 0 (14)

dan krijgt (8) de gedaante:

(a" - ~b,,)x + (a" - ~b,,)y + a" - I'b" = 0en (9) wordt:

(a" - I'b,,)x + (a" - ~b..)y + a.. - ~b.. = 0

031 = (a"a23 - auCla,) .- (a"b23 + b"a23 -ll,:,b,. - a13bl ,h" ++ (b"b.. - bl1b,,)~'

0 33 = (a"a2l - a12~')'- (~"b22 + b"a32 - 3,:,bu - aU b2,}1J :I­+ (b,;b.. - b.. b,,)~·

Stelt men nu:

~,b,u - a.,b3, = Cn

a.,b32 - a:l1 bo - '3Ib.., + a~b3' . = Cn

~lb.2 - a.,bn + aub... - a~b3' -== C'3~2b.2 - aubn = C21

- aU b.3 + aobu - aU b.2 + a.2bu = CIIaU b.2 - a.3bu = C32

= Co= C,

= CI

a,.au - a12~2

- (a12b21 + buau :-- a22b13 - a13bn )b'lbn - bn b13

en voorts

(11)

(12)

bllb12

b13

b20

= b22= b23

en

Xa + x, - x. - x.

Yo + Y, .-: Y. - Y.

x.x. - Xax, + Y.Y. - YaY,

Y'-Yo-Y' + Y.

-X" + Xo + X. - X.

x,Yo - x.Y. - xoY, + X.Y.

Hierbij zijn de polen PUt pu • P:a4' Pot,. Pu en Pn achtereenvoicens vervan~

gen door de polen Pu , Pn , P:ll4' P42. P:u en P2S' zodat de indices van huncoordinaten, te weten O. 1, 2, 3, 5 en 9 vervangen worden door de op­eenvoigende cetallen 0, 4. 2, 7, 5 en 8.

Men vindt zo de betrekki ngen:

a"au - a13a1 , = C3

- (a"b23 + b"au - a21 b12 - aI3b2,) = C.b'lb33 - b2,b u = Csa" a21 .- a12a2, = C.- (a"b22 + b"a:za - a2,b,. - anb2')~ = e.,b"bu - b21 b13 = C.

Eliminatie van x en y uit (11), (12) en (13) leidt tot de determinant

Xa + x. - x2 ' - X7 = a"

Yo + Y'-Y2-Y7 = a32

X2X7 + Y.Y7 - Xax. - YaY. = a••

Y'-YO-Y2+Y7 a.,

-x.+ Xo + X2 - X7 a..

x.Yo - X2Y7 -'XaY., + X7Y2 = a••

do = Cllc"2 + C'2c"C. + C"CoC. + C22C.. + C••C.C. + C..C"

d, = 2cllcOc, + C12(COC. + C,C.) + C,.(c"c, + C,C.) +

+ 2c..c.c. + C2.(c.c, + c.co> + 2c..c.c7.

d2 Cll (C,2 +2cOc2) + c12(COc. + c,c. + c2c.) +

+ c,.(coc. + c,c, + c2c.) + C22(C/ + 2c.c.) +

+ c,.(c.c. + c,c7 + c.co> + C..(c,2 + 2c.c.)

d. = 2cllc,C2 + c12(c,c. + c2c.) + c,.(c,c. + c2c,):+

+ 2c..c.c. + c2.(c.c" + c.c,) + 2c..c7c.

d. = cllc.. + C12C2C. + c13c.c. + c..c? + C2.C.C. + c..c.2

dan kriict (17) de cedaante:

waarbij

C,,":Co + IJCt + 1J2C3}2 + c12(Co + IJC, + 1J2C2} IC3 + IJC. + 1J2CS} ++ e,,(e. + ~e, + ~'e,) Ie, + ~e, + ~'e,) + e,,(e, + ~e. + ~·e.)· ++ e..(e. + ~e. + ~·e.) (e,.+ ~e, + ~'e,) + e..(e, + pc, + ~·e.)· = 0

of

ledere wortel van de viel"degraadsvergelijking (18) corres­pondeert met een van de vier punten van Burmester.Stelt men

(15)

(16)=0

=0

= b.,b'2

b..

b.,b..

b..

en

Xo + x. - x. - x.

Yo + Y. - Y. - Y.

x.x. - Xax. + y.Y. - YaY.

y.-Yo-Y. + Y.

-x. + Xo + x. - x.

x.Yo - x.Y. - xoY. + x.Y.

I

a" - Ilb" au - Ilb 12 au - 1.1 bu I3:11 """'- !Jb21 a22 - IJbn an - IJ b231a3, - lJ'b2, au - Il/bu an - lJ/bn

Eliminatie van x en y uit (11), (12) en (14) ceeft:

Ia" - IJb 1 , au - IJbn an - IJ bu I<lsi, - IJb21 <lsI2 - IJbn an - Il bu

I a., - !J'b., a.2 - ll'b.2 a.2 .- lJ'boOntwikkelt men beide determinanten naar de laatste rij, dan komt er:

47

dan wordt(18):

!L' + el!L' + e.!L" + e.!L + e. = 0 (19)De wortels van due vierdegraadsvergelijking kome" overee" met dewortels van de vierkantsvergelijking

-(24)

{

Ck - C'k - (A - A') Lj= 0

en analoog ook aan:lk - L'k - (A - A') Li = 0 (25)

En dit is een parametervoorstelling van een kegelsnede met als verge.Iijking:

C'k - A'Ij =0 (23)

leder punt van Burmester voldoet aan beide betrekkingen, .zodat voorzulk een punt ook voldaan is aan:

en betrekking (5):

Na een permutatie in de nummering der vijf standen zijn de twee on·

eigen lijke poten P:': en P:: .De cirkel Cj door de polen p.. en p~ heeft,een middelpunt,<Iat midden

tussen Pa en PC: ligt en dus met PC: samenvalt. D,e cirkel Cj is daarbij

uiteengevallen in de oneigenlijke rechte ~n in de rechte Lj door P.. lood­

recht op p..P:':. Voorts blijft Lj == p..p~, zodat Lj .L Lj •

Betrekking (3) wordt in dit geval:

Ck - Ali = 0 (22)

(20)

(2OA)

1" + (e, +:A) f + (v + e,vA-e,) = 0

indien

A_= ± V8v + e,'-4e.

en voor v iedere rei!/e wortel uit de derde gr33dsvergelijking

(8 v + e,' - 4e,) (e. - v') + (e,v - e,)' = 0kan worden genomen.

Stelt men hierin

(26)

= bu

= bll

= bu,

= bl,= b..= b..

en = ba,m6 = ba2- m6 Ya- x• = bu- m6 = b.,

= b..m6X. - Y, = b..a

en

-X,,-XI + X, + X, = all

- Y. - y, + y, + Y7 = a,.x..xa + Y..Ya - X,X, - Y,Y, = auYI-Y.. + Y,-Y, = a..,x..-XI-X,+X, :z::aa

- x.Ya + XIY. - X,Y, + X'YI = a.1

-XI-XI + Xa + X, = I.t,-y,-y, + Y. + Y. = ..,XIXI + YIYa - X.X, - YaY. = I.taYI - Y. + Y. - Y, == ~t

X,-",-x, + X, = ...- ",y, + x,Y. - x,Y. + x,y, = a"

Het resterende deel van de berekening verloopt dan precies heczelfdeals in het geval van uitsluitend eindige polen.

0) In afwijking van het gestelde op pag•. 6. dient in deze betrekkingzowel voor Lf als 'ioor Li de normaalvorm van Hesse te ~ordei1 ge:..bezigd. Daarbij is vermenigvuldiging met een zelfde factor nog toe­laatbaar.

i:j == m. (y -y,):+ (x- x,)

Due kegelsnede gaat. door de1Vier punten van Burmester, door de 2polen PUI en PII en,door het sriijpunt van Ck - C/k = 0 metLk - L'k = 0 van m 1345Verwisselt men de standencijfers 1 met 4 en 2 met 5. dan verkrijgt mengeheel analoog een kegelsnede, die door de vier punten van Burmesteren door de polen p., en p.. gaat. Beide kegelsneden snijden elkaar in devier punten van Burmester.

Voert men de berekening voor d1t geva) uit. dan wordt

Verwisseling van de standencijfers 1 met 4 en 2 met 5 komt neer op eenvervanging van de polenrij P,llI Pu • PM' p..,. P,a, Pas. p.... p..I, P'2S, Pa, doorde polenrij p.... p.I, PIliP,.., P43. PI2, P2t1 pu. PS2• Pu , zodat de indices 0.1.2,3.4,5,6,7,8 en 9 van de coordinaten van due polen achtereenvolgensvervangen worden door de indices 6. 5, 4, 3. 2. 1. O. 9. 8 en 7.Men verkrijgt zo met m, = y,/x, de reeks betrekkingen

Men stelt nu analoog als in het geval van uitsluitend eindige polen:

Ck - C'k == (x. + X, - x, - x,) x + (Y. + Y. - y, - y,) y +

+ X2XI + YIYa - XsX9 - Y.Y,

Lk - L'k == (y, -y, + Y. -Y.) x + (x, -x, -x. + XV) y­

- XIYa + XaYI - XsY, + x,Ya

Lj == y - y, - m. (x - x,). waarbij m. = Yolx.

c. In het geval juistdrie polen op oneindig liggen, zijndeze de I)oekpunten van een pooldriehoek, omdat inaile andere gevarlen meer dan drle polen op onelndig ko­men. Door permutatie In de nummering der vijf standen,is te bereiken. dat de oneigenlijke polen samenvallenmet de hoekpunten van de pooldriehoek P:': P: P:;' •De polenkromme P1234 heeft met 100 zeker vijf punten ge­meen, te weten: II' II' P:': ' P: en P:;' • Voor een 3e graads-

(21)

e,' e,(e,e, - 4e.) e'<4e, - e,') - e,'2q = - 108 + 24 + 8

3 etea- 4e.. eal

p= 4 -~

de gedaante:

dan krijgt de 3e graadsvergelijking met de subsitutie

De betrekkingen (11) en (12) geven dan zonder meer decoOrdinaten van de punten van Burmester

p' + 3pp + 2q = 0Is q' + p' ;;. 0, dan is de reille wortel

p = ~-<I + Vp'+ q' + },3/-q-VP'+q'

Is ql + pI < 0, dan is een van de reele wortels:

q A /- { n 1 I q I }p = + 2 TClT V I p I cos 3 + "3 arccos~

Met de gevonden waarden voor p kan v met (21) worden berekend enin de vergelijkingen (2OA) en (20) worden gesubstitueerd, waarmee devier waarden voor II kunnen worden vastgesteld.. (Complexe waardenvoar II kome" daarbij overeen met complexe punten van Burmester,reele waarden met reele en dus aanwijsbare punten van Burmester).

XBr = ----''---------------~-

a. In het zojuist beschreven proces komen de coordinatenvan de pool p.. niet voor. Hiervan maakt men gebruikvoor het geval ~~n pool een oneigenlijk punt is: daarbijvoert men een zodanige permutatie in de nummering dervijfstanden uit, dat de oneigenlijke pool met p.. komtsamen te vallen. De berekening van de posities van de vierpunten van Burmester, zoals hiervoor is aangegeven, kandan toch doorgang vinden.

en

YBr= ----7-------------'----

b. Bekijkt men nu het geval, datJjuisttwee polen op.oneindig liggen. leder van deze polen vertegenwoordigteen translatie. Ze hebben geen enkel indexcijfer gemeen,'omdat, zo dit wei het geval is, drie onderling evenwijdlgeposities zijn aan te wijzen, waarbij aile hoekpunten van debijbehorende pooldrlehoek op de oneigenlijke rechte ko­men, hetgeen instrijd is met de veronderstelling. dat tenhoogste twee polen op 100 liggen.

48

De collfficibtenreeks wordt dan in dit geval

kromme kan dit aileen, als Ico een tak is van deze kromme.De andere tak Is dan een kegelsnede. De polenkrommeP,234is dus ontaard In de onelndlg verre rechte en in eenkegelsnede.

De vergelijking van deze kegelsnede wordt als voigt afgeleid: men gaat

uit van de polenvierhoek P:P:P:wPott en men noteert em Ln - en Lm= 0 als vergelijking voor de polenkromme. waarbij dan Cm en Lm be-

---.0trekking hebben op de zijde p..p., en Cn en Ln op de daarvan over-

staande zijde PC:P'4 van de poolvierhoek. Analool als in het voorgaandegeval is em uiteengevallen in leo en in een rechte Lmdoor Pot, loodrecht

'"op p..,ptaoOok Cn is uiteengevallen in I", en in een rechteLn door P.. loodrethtop

P..P:. De vergelijking van de kegelsnede kriigt dus de gedaante:

L m · Ln- "LnLm = 0,- co - co

waarbij Lm .l.Lm == p..p., en Ln .L Ln == p..p...

Hetzelfde geldt vaor de polenkromme Pun. Oeze is uiteengevallen inI", en in de kegelsnede

L p . Lq-~ .Lp =0.

- co - cowaarbij Lp .1 Lp == p..p.. en Lq .1 Lq == p..p...

Bovendien Iigt daarbij P" opL p en p.. op~. De twee genoemde kegel­sneden snijden elkaar juist in de vier punten van Burmester. Dit voigtonder meer uit het feit, dat deze snijpunten in het algemeen geen polenxiiR, omdat Pt., PI' en P" op ICQ xij" gele,en.Men heeft in dit geval de betrekkingen

L,;, == mo (y - y,) + (x - x,) als mo = Yo/xo

Lm == y - y, - m. (x - x,)

r.; == m, (y - y,) + (x - x,) als m, = y,/x,

Ln ==y-y.-m,(x-x,)

L; == moly - Y.) + (x- x,)

Lp == y - y, - mo (x - x,)

Lq == m, (y - Y.) + (x - x.)

Lq == y - Y. - m, (x - x.)

=a" en -mo =:I btt

m. = a,. 1 = btl

- moy. -x, =~. mox, - YI/t,':= b,s1 --=~a,t -m, L= b..m, = .... = b..-m,Y.-x. = .... m,x. -Y. "" b..1 ""as. -m. := bs'm. = au 1 = baa

- may,-x, = ass max. -Yo = b..1 = a.., -m, = bot,m, = a.... 1 = b..-m,Y.-x. => a.. m.x.-y. = b..

e. In het geval meer dan vier polen op Ico liggen, liggen ailetien polen op de oneindig verre rechte: er is uitsluitendsprake van vljf onderling evenwljdlge positles. De vijf­hoeken A,A,A3A4A., B,B,B3B4 B., C,C,C3C4C. enz., waar­van de opeenvolgende hoekpunten overeenkomen met deopeenvolgende posities van een baanpunt, zljn daarbij aileonderling congruent.Behoudens In speciale gevallen, hoort hierbij geen enkelreeel Burmestercentrum.

(1) E. Hackmiiller, "Eine analytisch durchgefiihrte Ablel­tung der Kreispunkt- und Mittelpunktskurve", Z.angew. Math. Mech. Bd. 18 (1938) S. 252.

(2) E. Hackmiiller, "Zur Konstruktlon der BurmesterschenPunkte", Maschinenbau/8etrieb, Beilage Getriebetechnik(1938). S. 648-649.

Llteratuur

Het resterende deel van de berekening verloopt weer henelfde als inhet geval van uitsluitend eindige polen4

d. Voor het geval jpist vier polen op oneindlg liggen,zijn drie hlervan de hoekpunten van een pooldrlehoek,terwijl de vierde pool geen indexcijfer met een van dezedrle gemeen heeh. Door permutatle in de nummerlng dervijf standen.is te bereiken. dat de vier op Ico gelegen polensamenvallen met ~, "= ' P: en ~.Aangezien in het voorgaande geval geen gebruik is gemaaktvan de coordlnaten van P45' is de daar gevolgde berekeningook in dit geval van toepassing.

r;, -1l'Lp = 0

Lq -Il'Lq = 0

enL,;,- IlLm = 0

r.; - IlLn = 0

waarbij

49

BI; Technlsche Uitgeverij H. Stam N.V.

verscheen eveneens

De stangenvierzijde als aandrijvingsmechanisme

door Dr. E.A.Dljksman

In dit boek wordt het ontwerpen van stangenvierzijden besproken, die voor de aandrijving van Maltezer­

kruizen kunnen worden gebruikt. De intermitterende beweging van een op deze wijze aangedreven

sleuvenschijf heeft een veel gunstiger verloop dan wanneer de schijf aileen door een ronddraaiende

pen zou worden aangedreven.

In plaats van een cirkelvormige baan beschrijft de pen nu een peervormige kromme, waarvan de flanken

bij het begin en het einde van de beweging voor een goed deel samenvallen met twee opeenvolgende

sleuven van de schijt.

De kromme wordt beschreven door een met de koppelstang van de stangenvierzijde meebewegend punt,

het zogenaamde koppelpunt. Daar deze koppelkromme van bijzondere aard moet zijn, is in het eerste

hoofdstuk veeI aandacht geschonken aan het algemene karakter van deze kromme.

De hoofdafmetingen van het besproken mechanisme zijn in grafieken afleesbaar, zonodig dat elke

constructeur een dergelijk mechanisme zonder moeite kan toepassen. Anderzijds blijft aan de constructeur

de nodige vrijheid voorbehouden, o.a. de optimale keuze van de minimum overbrengingshoek, welke hoek

een maatstaf is voor de technische bruikbaarheid van het mechanisme; de keuze van het koppelpunt op

het verlengde van de koppelstang en een zo gunstig mogelijke bepaling van de verhouding tussen de

rusttijd en de bewegingstijd van de sleuvenschijf.

De algemene oonstructie van het voorschakelmechanisme voor het aandrijven van de omzetschijf blijkt,

indien men de meetkundige plaats van keuzepunten voor de twee bewegende draaipunten van de

stangenvierzijde laat ontaarden in een rechte en een kegelsnede, een aanzienlijke vereenvoudiging te

geven. De diverse mogelijkheden zijn zo uitgewerkt, dat tevens een volledig beeld is verkregen van

de voortgezette momentane kinematica, speciaal toegepast op stangenvierzijden.

De contructie van rechtgeleidingsmechanismen, zoals deze in het gemechaniseerde bedrijf worden

toegepast, kan steeds tot een van de hier behandelde principes worden teruggebracht.

Het boek zal van grote betekenis zijn voor constructeurs van produktiemachines. en daarnaast voor allen

die zich op de hoogte willen stellen van de directe toepassing van de analytische

meetkunde op een constructief probleem.

Inhoud:

De koppelkromme - relaties tussen geometrische grootheden bij stangenvierzijden met dezelfde koppel­

kromme - de ontaardingen van de cirkelloopkromme en/of van de middelpuntskromme bij de

stangenvierzijde - de cardanusontaarding van de ku-kromme (AoABBo), waarvoor BA = BBo = BK -

de algemeen-cycloidale ontaarding der ku- en ka-kromme bij de stangenvierzijde (AoABBo), waarvoor

BA = B8-0 = BK - algemene behandeling van het hoofdprobleem - toepassing - bijlagen ­

literatuurlijst - summary.

VII! + 127 pag. / 21 x30 em / 128 figuren en grafieken / prijs f 17,50.

Verkrijgbaar bij de boekhandel