geometria analítica e Álgebra linear - páginas...
TRANSCRIPT
2018/Sem_02
NOTAS DE AULA
Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Matrizes e Determinantes
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Geometria Analítica e Álgebra Linear
ii
Índice 1 Matrizes e Determinantes ......................................................................................... 1
1.1 Matrizes ............................................................................................................ 1 1.2 Determinantes e Matriz Inversa ........................................................................ 8
Referências Bibliográficas ............................................................................................ 16
Prof. Nunes 1
Geometria Analítica e Álgebra Linear
1 Matrizes e Determinantes
1.1 Matrizes
1.1.1 Noção de matriz:
Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas.
1.1.2 Representação
Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por:
mnmm
n
n
nm
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,
os elementos são indicados por jia , onde 1 i m, 1 j n.
Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz,
podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e
n.
O símbolo nmM indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem nm de
elementos reais.
Exemplos:
1) Se
305
212
011
A , então temos que: 111 a , 112 a , 013 a , 221 a ,
122 a , 223 a , 531 a , 032 a , 333 a .
2) Se
270
5293B , então temos que: 311 b , 912 b , 213 b , 514 b ,
021 b , 722 b , 223 b , 24b .
3) Se
187
34
2/13/2
C , então temos que: 3
211 c ,
2
112 c , 421 c , 322 b ,
021 b , 731 c , 1832 c .
1.1.3 Igualdade de matrizes
Duas matrizes nmA e srB , com elementos do tipo ija e ijb , respectivamente, são
iguais, se e somente se:
jiba
sn
rm
ijij ,
Neste caso escrevemos BA
Prof. Nunes 2
Geometria Analítica e Álgebra Linear
1.1.4 Tipos Especiais de Matrizes
Matriz Quadrada
É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n.
Exemplos:
1)
302
715
010
A , 8B e
73
49C .
Matriz Nula
É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, 0ija para todo i e j.
Exemplos:
1)
000
000
000
A e
00
00B e
0
0
0
0
C
Matriz Linha
É aquela onde m = 1.
Exemplos:
1) 2309 A e 31B
Matriz Coluna
É aquela onde n = 1.
Exemplos:
1)
1
2
9
7
A e
2
3B
Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada (m = n) onde 0ija , para ji .
Exemplos:
200
040
001
A e
3000
0100
0040
0009
B
Prof. Nunes 3
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Matriz Identidade
É uma matriz diagonal onde
jiparaa
ejiparaa
ij
ij
1
0
Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por nnI ou apenas nI .
Exemplos:
1.
100
010
001
A ,
10
01B e
1000
0100
0010
0001
C
Matriz Triangular Superior
É uma matriz quadrada onde 0ija para i > j.
Exemplos:
1)
100
270
091
A ,
10
91B ,
1000
2100
0600
3031
C
Matriz Triangular Inferior
É uma matriz quadrada onde 0ija para i < j.
Exemplos:
1)
17
029
004
A ,
13
01B e
1002
0934
0056
0001
C
1.1.5 Operações com matrizes
Adição
Dadas duas matrizes nmA e nmB , com elementos do tipo ija e ijb , respectivamente,
então:
BA é a matriz com os elementos ijij ba , isto é, soma-se os elementos nas posições
correspondentes.
Observação: A e B devem ser de mesma ordem.
Exemplo:
1) Se
171
229
104
A e
126
031
812
B , então
095
2510
716
BA
Prof. Nunes 4
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Propriedades da Adição de Matrizes
i) Associatividade: ,CBACBA nmMCBA ,,
ii) Comutatividade: ABBA , nmMBA,
iii) Elemento Neutro: A0A , onde 0 denota a matriz nula nm , nmMA
iv) Oposto: Dada nmMA , existe a matriz A nmM , tal que 0AA
Multiplicação de matriz por escalar
Dada uma matriz nmA , de elementos
ija e um escalar , então:
A é a matriz cujos elementos são do tipo ija . (isto é, multiplicamos todos os
elementos de A por ).
Exemplos:
1) Se
471
269
103
A e 2 , então
8142
41218
206
2 AA
2) Se
252
143B e 3 , então
6156
31293 BB
Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar
i) AA , ,,nmMA
ii) AAA , ,,nmMA
iii) BABA , ,, nmMBA
iv) AA 1 , nmMA
v) 0A0 , nmMA obs.: 0 e nmM0
Multiplicação de matrizes
Dadas duas matrizes nmA e pnB , com elementos do tipo ija )1,(1 njmi e
jkb )1,(1 pknj , respectivamente, então:
BA é a matriz de elementos do tipo ikc )1,(1 pkmi , definidos por:
n
j
jkijnkinkikikiik bababababac1
332211 .....
Observações:
1) O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda
matriz;
Prof. Nunes 5
Geometria Analítica e Álgebra Linear
2) A matriz resultante do produto terá a mesma quantidade de linhas da primeira matriz e a
mesma quantidade de colunas da segunda matriz.
Exemplos:
1) Se
2221
1211
aa
aaA e
232221
131211
bbb
bbbB , então
232221
131211
ccc
cccC , onde:
2
1
2211
j
jkijkikiik bababac , isto é:
2112111111 babac
2212121112 babac
2312131113 babac
2122112121 babac
2222122122 babac
2322132123 babac
2) Se
112
131A e
6021
1125
1304
B , então
24232221
14131211
cccc
ccccC , onde:
1211534111 c
821230112 c
001133113 c
461131114 c
211514221 c
421210222 c
501113223 c
761111224 c
Logo
7542
40812C
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
(Desde que sejam possíveis as operações)
i) ,AAIIA sendo I a matriz identidade
ii) CABACBA e CBCACBA
iii) CBACBA
iv) 0A0 e 00A
Observação: Em geral ABBA , podendo inclusive um dos membros da igualdade estar
definido e o outro não.
Prof. Nunes 6
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Transposição de matrizes
Dada uma matriz nmA , com elementos do tipo
ija )1,(1 njmi , denomina-se
transposta de A, a matriz TA , com elementos do tipo jib )1,(1 minj , cujas linhas são
as colunas de A, isto é: jiij ab .
Isto é, é a matriz obtida com a troca ordenada das linhas pelas colunas das matriz
original.
Exemplos:
1) Se
471
269
103
A , então
421
760
193TA
2) Se
52
40
13
B , então
541
203TB
Propriedades da Transposição de Matrizes
i) TTTBABA
ii) TTAA , onde
iii) AATT
iv) TTTABBA
Definições:
Seja A uma matriz quadrada, então:
a) A é dita simétrica, se e somente se, AAT .
Exemplo:
1)
571
720
103
A AAT
571
720
103
b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, AAT .
Exemplo:
1)
053
501
310
A AAT
053
501
310
Prof. Nunes 7
Geometria Analítica e Álgebra Linear
1.1.6 Alguns exercícios resolvidos sobre matrizes
1) Para cada , considere a matriz
cossen
sencosT
a) Mostre que TTT
Resolução:
cossen
sencos
cossen
sencosTT
=
coscossensencossencossen
cossencossensensencoscos
T
cossen
sencos
b) Ache T
Resolução:
TTT
cossen
sencos
cossen
sencos
2) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
Resolução:
Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT .
BABABA TTT .
3) Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica.
Resolução:
Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo AAT e BBT .
.BABABABA TTT
4) Mostre que se A é uma matriz quadrada, então TAA é uma matriz simétrica.
Resolução:
TTTTTTT AAAAAAAA
5) Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica.
Resolução:
Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT .
ABABBA TTT .
6) Se 0BA , então podemos afirmar que 0A ou 0B ?
Resolução:
Não! Encontre alguns contra-exemplos.
Prof. Nunes 8
Geometria Analítica e Álgebra Linear
7) Suponha que 0A e CABA , então podemos afirmar que B=C ?
Resolução:
Não!
CABA 0CABA 0CBA . Sabemos que 0A , e que podemos ter
0CBA sem que 0CB , Logo B não é necessariamente igual a C.
8) Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que IAY , podemos
afirmar que B=C ?
Resolução:
Sim !
CABA CAYBAY CAYBAY CIBI B=C
9) Podemos dizer que a seguinte igualdade 2222 BBAABA é verdadeira?
Resolução:
Não!
22 BABBAABBABBAAABABA
10) Podemos dizer que a seguinte igualdade 2222 BBAABA é verdadeira?
Resolução:
Não!
22 BABBAABBABBAAABABA
1.2 Determinantes e Matriz Inversa
1.2.1 Determinantes
Definições:
Se 11aA 11det aA
Se
2221
1211
aa
aaA 21122211det aaaaA
Se
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 312213322113312312
332112322311332211det
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaA
Definição:
Dada uma permutação dos inteiros n,.....,2,1 , existe uma inversão quando um inteiro
precede outro menor que ele.
Permutação Número de inversões
( 1 2 3 ) 0
( 1 3 2 ) 1
( 2 1 3 ) 1
( 2 3 1 ) 2
Prof. Nunes 9
Geometria Analítica e Álgebra Linear
( 3 1 2 ) 2
( 3 2 1 ) 3
Definição:
Seja A uma matriz quadrada nn .
Então nnjjjj
JaaaaA ......1det
321 321
Onde ),....,,,,( 321 njjjjJJ é o número de inversões da
permutação ),....,,,,( 321 njjjj e indica que a soma e estendida para todas as n!
permutações.
Observações:
i) o coeficiente J1 dá o sinal de cada parcela da somatória.
ii) em cada termo existe um e só um elemento de cada linha e um e só um elemento de cada
coluna.
iii) Através de reordenações, mostra-se também que: njjjjJ
naaaaA ......1det 321 321
Propriedades dos determinantes
i) TAA detdet
ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por k , o determinante fica multiplicado
por k.
iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.
iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero.
v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos
correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.
vi) BABA detdetdet
Definição de submatriz
Seja A uma matriz quadrada nn . Uma submatriz ijA de A é uma matriz obtida de A
eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
Exemplo:
1) Se
432
304
121
A então
32
2123A ,
30
1231A , etc.
Prof. Nunes 10
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Definição de cofator
Seja A uma matriz quadrada nn . O cofator ou complemento algébrico de um
elemento ija de A é o número: ijji
ij Adet1
.
Exemplo:
1) Se
432
304
121
A então:
943
30det1det1
211
1111
A ,
732
21det1det1
523
3223
A , etc.
Desenvolvimento de Laplace (Para calcular o determinante de qualquer matriz quadrada)
Seja A uma matriz com n linhas e n colunas. Então,
ij
n
j
ijaA 1
det , para qualquer linha i.
(É a soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna), pelos seus
respectivos cofatores).
Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: ij
n
i
ijaA 1
det para
qualquer coluna j.
Exemplos:
1) Se
432
304
121
A então calcule .det A
Resolução:
Escolhendo, por exemplo, a segunda linha )2( i
2323222221212
3
1
2det aaaaA j
j
j
43
12det14
12+
42
11det10
22
32
21det13
32
1736054
2) Seja A uma matriz triangular superior. Calcule o determinante de A.
Prof. Nunes 11
Geometria Analítica e Álgebra Linear
nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
A
000
00
0
333
22322
1131211
Aplicando Laplace sucessivamente 1111det aA
=
nn
n
n
a
a
aa
a
00
0det1
3
222
1111
=
nn
n
n
a
a
aa
aa
00
0det1
4
333
112211
=
nn
n
n
a
a
aa
aaa
00
0det1
5
444
11332211
=........... nnaaaa ...........332211
1.2.2 Matriz Inversa
Seja A é uma matriz quadrada n n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz
B, também n n, que satisfaz a seguinte propriedade: IABBA , em que nII é a
matriz identidade n n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 1A , logo: IAAAA 11
Exemplo:
1) Ache a inversa da matriz
41
32A
Resolução:
10
01
41
32
dc
ba
10
01
44
3232
dbca
dbca
04
132
ca
ca
5
4a e
5
1c e
14
032
db
db
5
3b e
5
2d
Logo
5
2
5
15
3
5
4
1A
Observação: O mesmo resultado seria obtido fazendo:
10
01
41
32
dc
ba
Teorema:
Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.
Demonstração:
Vamos supor que a matriz A possui duas inversas 11A e 1
2A . Logo temos que
AAIAA 11
11 e AAIAA 1
21
2 .
Prof. Nunes 12
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Assim 12
12
12
11
12
11
11
11
AAIAAAAAAIAA .
Portanto 12
11
AA e a inversa é única.
Observações:
i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então BA é também invertível e
111 ABBA .
ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 0det A .
iii) Se A é uma matriz quadrada e 0det A , então A
Adet
1det 1 .
Demonstração de (iii):
Sabemos que BABA detdetdet . Se IAA 1 , então temos que
IAAAA detdetdetdet 11 A
Adet
1det 1 .
iv) AA 11 .
v) 11 TTAA .
Definição:
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes
operações:
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;
ii) a multiplicação de uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;
iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma
constante diferente de zero.
Teorema:
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas
linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 1A .
Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a
matriz inversa de A:
][ IA
.. elemop
][ 1AI
Exemplo:
1) Ache a inversa da matriz
321
121
121
A
Resolução:
Prof. Nunes 13
Geometria Analítica e Álgebra Linear
100321
010121
001121
21 LL
100321
001121
010121
133
122
LLL
LLL
110440
011240
010121
224
1LL
110440
04
1
4
1
2
110
010121
233
211
4
2
LLL
LLL
101200
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
332
1LL
2
10
2
1100
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
3222
1LLL
2
10
2
1100
4
1
4
1
2
1010
02
1
2
1001
. Assim,
2
10
2
14
1
4
1
2
1
02
1
2
1
1A .
Definição:
Seja A uma matriz quadrada nn . Então a matriz dos cofatores de A, é a matriz
indicada pelo símbolo A , cujos elementos são os cofatores )( ij dos elementos da matriz A.
Exemplo:
1) Se
13
12A então
21
31
2221
1211A
Pois,
11111
11
,
33121
12
,
11121
21
,
22122
22
Definição:
Seja A uma matriz quadrada nn . Chama-se matriz adjunta de A, a matriz
TAAadj , isto é, a transposta da matriz dos cofatores.
Exemplo:
1) Se
13
12A então
23
11
21
31T
Aadj
Teorema:
Seja A uma matriz quadrada nn , tal que 0det A . Então: nIAadjAA det .
Prof. Nunes 14
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Deste teorema podemos concluir que:
nIAadjAA det nIA
adjAA
det
A
adjAA
det
1
Definição:
Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é invertível e TAA 1 .
Exemplos:
1) Determinar, se possível, todos os valores x e y reais, a fim de que a matriz A seja
ortogonal.
A =
2/1
2/1
y
x
Resolução:
2
3e
2
3
ou
2
3e
2
3
2
31
4
1
022
2
31
4
1
10
01
2/1
2/1
2/1
2/1
2
2
yx
yx
yy
xy
xx
x
y
y
xR
Resposta:
2
3e
2
3
ou
2
3e
2
3
yx
yx
2) Verifique (genericamente) que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz
ortogonal.
Resolução:
Se A e B são matrizes ortogonais, então TAA 1 e TBB 1
.
Sabe-se que TTT BAABABBA )(111
.
1.3 Exercícios propostos
1) Sendo A uma matriz quadrada nn e, verifique que AA n detdet .
2) Sendo A =
2 1
3 0
2 -1
; B = 2 3
1 5
; C =
1 0 5
4 3 1, encontre, se existir, a matriz X para
cada situação a seguir:
a) TCXA Resposta: Não existe
Prof. Nunes 15
Geometria Analítica e Álgebra Linear
b) BXCA T Resposta:
357
3
7
1210
X
c) TT ACX Resposta:
91511
303
632
X
3) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor
de x na equação xAA T 4)2(det ?
Resposta: 32x
4) Seja a matriz quadrada A , 22 , tal que
ji
jiji
aij
se j+i
sen
= se .2
cos
=
.
Calcule o determinante de A. Se 0det A , ache 1A .
Respostas: 4
3det A e
3
4
3
32
3
320
1A
5) Dada a matriz A =
1 2 7
0 3 1
0 5 2
, ache TA )( 1 e 1)( TA .Conclua que TA )( 1 = 1)( TA .
6) Encontre as matrizes
z t
x y que comutam com a matriz
1 0
1 1, isto é, ache as matrizes
z t
x y, tais que
z t
x y.
1 0
1 1=
1 0
1 1.
z t
x y
Resposta:
x
yx
0
7) Encontre a matriz inversa da matriz A, utilizando operações elementares com linhas, sendo
A =
831
121
210
.
Resposta:
1 1 5
2 2 9
3 2 311A
Prof. Nunes 16
Geometria Analítica e Álgebra Linear
8) Resolva a equação matricial:
yx
x
z
yx
8
1 3
8
Resposta: 7e4,3 zyx
9) Dada a matriz A, resolva a equação: AAXA T 1 e ache X para A =
8 3 1
1 2 1
2 1 0
.
Respostas: TAAX 12 e X =
119 233 318
15 31 39
30 59 80
10) Ache os valores dos determinantes das seguintes matrizes:
a)
3301
0400
2105
1243
Resposta: 208
b)
01
0
0010
10
ab
baa
ba
Resposta: 22 ba
Referências Bibliográficas
1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do
Brasil, 1980.
2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,
1990.
3. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro:
Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.
4. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
5. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.a Edição. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2010.
6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2.a Edição. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.