matriz geometria analÍtica e Álgebra linear me. gilcimar bermond ruezzene
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MATRIZ
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Me. Gilcimar Bermond Ruezzene
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Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn =
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
= [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas
Elemento da linha ie coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
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TIPOS DE MATRIZES
1 2 2
1 1 3
4 1 2
Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos dadiagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos dadiagonal secundária:
2, 1 e 4
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2 1 1
0 1 2
0 0 4
Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares
2 0 0 0
1 1 0 0
2 3 4 0
4 5 7 2
Matriz triangular inferior
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.
Todas as matrizes triangulares são quadradas.
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Casos especiais de Matrizes Triangulares.
Matriz identidade
2 0 0
0 4 0
0 0 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da
diagonal principal são todos iguais a um.
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
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0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
Igualdade de Matrizes.
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos
correspondentes são iguais.
421
213
112
421
213
112
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Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )
2341
30
12
x
A
.
431
102=A
32
t
x
Matriz A transposta
Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
2223
31
x
A
.
23
31=A
22
t
x
Matriz A transposta
Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A
33013
102
320
x
A
.
013
102
320
=A
33
t
x
=Os elementos da transposta
são os opostos da original.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
01
52
40
52
04
11
53
52
31
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
É sempre possível somar matrizes?
Não!
Somente quando estas forem de mesma ordem.
+ =
O mesmo vale pra subtração.
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Multiplicação por escalar
62
204
Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.
31
102.2
3.21.2
10.22.2
Matriz A Matriz -2A
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Multiplicação de matriz por matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
2223
40
11.
35
24
12
xx
234.3)1(50.31.5
4.2)1(40.21.4
4.1)1(20.11.2
x
75
44
22
Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
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2223
40
11.
35
24
12
xx
75
44
222.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4
5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos
ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o
primeiro elemento da linha com o
primeiro elemento da coluna e por aí
vai...
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EXEMPLO 1
Calcule o produto das matrizes:
20
53
12
.
021
102
321
13
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EXEMPLO 2
Dadas as matrizes
65
43
21
A
102
231B
calcule a matriz A – Bt é:
14
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Inversão de Matrizes
nIAA 1.
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.
Calcule a inversa da matriz A =
EXEMPLO 3