parÁbola, elipse e hipÉrbole geometria analÍtica e Álgebra linear seÇÕes cÔnicas me. gilcimar...
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PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLE
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
SEÇÕES CÔNICAS
ME. Gilcimar Bermond Ruezzene
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SEÇÕES CÔNICASSEÇÕES CÔNICAS
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APLICAÇÕES
ELIPSE
•SAÚDE;
•ACÚSTICA;
•ASTRONOMIA;
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APLICAÇÕES
PARÁBOLA
•ANTENAS
PARABÓLICAS;
•FAROIS DE VEÍCULOS;
•FORNOS SOLARES;
•TELESCÓPIOS;
•PONTES SUSPENSAS;
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APLICAÇÕES
HIPÉRBOLE
TELESCÓPIO;
ARQUITETURA;
TORRES DE
REFRIGERAÇÃO DE USINAS
NUCLEARES;
NAVEGAÇÃO DE LONGA
DISTÂNCIA;
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PARÁBOLAPARÁBOLA
• Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F (denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais.
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PARÁBOLAPARÁBOLA
• Obteremos uma equação particularmente simples para uma parábola se colocarmos o vértice na origem O e sua diretriz paralela ao eixo x.
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PARÁBOLAPARÁBOLA
1º CASO 2º CASO
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PARÁBOLAPARÁBOLA
3º CASO 4º CASO
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• Nos exemplos 1 e 2 encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
1) x² = 8y
2) x = 2y²
EXEMPLOSEXEMPLOS
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ELIPSEELIPSE
• Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é uma constante.
• Esses dois pontos são chamados focos.
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ELIPSEELIPSE
• Uma das Leis de Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são elipses, com o Sol em um dos focos.
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EIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE XEIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE X
• Os pontos correspondentes (a, 0) e (-a, 0) são chamados vértices da elipse, e o segmento de reta que une os vértices é dito eixo maior.
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ELIPSEELIPSE
• Para encontrar as interseções com o eixo y fazemos x = 0 e obtemos y2 = b2.
ou seja, y = ± b.
Observe que, se os focos coincidirem, então c = 0, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio r = a = b.
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EIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE YEIXO MAIOR DA ELIPSE SOBRE Y
• Se os focos de uma elipse estiverem localizados no eixo y em
(0, ± c), então podemos encontrar sua equação trocando x e y.
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ELIPSEELIPSE
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EXEMPLOSEXEMPLOS
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HIPÉRBOLE
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
vértices: os pontos A1 e A2
centro da hipérbole: o ponto O,
que é o ponto médio de
semi-eixo real: a
semi-eixo imaginário: b
semidistância focal: c
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• Excentricidade• Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
• Como c > a, temos e > 1.
• Equações• Vamos considerar os seguintes casos:
• a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c
distância focal:
eixo real:
eixo imaginário:
ELEMENTOS
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HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE
• Observe que a definição de uma hipérbole é similar àquela de uma elipse.
A única mudança é que a soma das distâncias torna-se uma diferença das distâncias.
• De fato, a dedução da equação de uma hipérbole é também similar àquela dada anteriormente para uma elipse.
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EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO XEQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO X
2 2
2 21
x y
a b
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HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE
• Observe que:
• As interseções com o eixo x são novamente ± a.
• Os pontos (a, 0) e (–a, 0) são os vértices da hipérbole.
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RAMOSRAMOS
• Portanto, temos
x ≥ a ou x ≤ –a
• Isso significa que a hipérbole consiste em duas partes, chamadas
ramos.
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ASSÍNTOTASASSÍNTOTAS
• Ao desenhar uma hipérbole, tenha em mente que é útil desenhar primeiro suas assíntotas, que são as retas y = (b/a)x e y = –(b/a)x.
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HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE
• Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então, trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte informação.
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EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO Y EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE – FOCOS NO EIXO Y
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HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE
• Veja a ilustração
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EXEMPLOSEXEMPLOS
1) Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole 9x2 – 16y2 = 144 e esboce seu gráfico.
2) Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices (0, ±1) e assíntota y = 2x.
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EXEMPLO