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GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. Lilian Candido
6 Estudo analítico de cônicas e quádricas
6.1 Parábola, elipse e hipérbole
6.1.1 Parábola
Sejam r uma reta e F um ponto não pertencente a ela. O lugar geométrico P dospontos equidistantes de F e r chama-se parábola.
b
b
V
F
r
Xb
p
p
Considerando a figura, tem-se os seguintes elementos da parábola P :
Foco: ponto F
Diretriz: reta r
Parâmetro: número positivo p tal que d(F, r) = 2p
Eixo: reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz
Vértice: ponto V de interseção da parábola com o seu eixo
Corda: qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertençam à parábola
Amplitude focal: comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular ao eixo
Triângulo fundamental: triângulo V AB, onde A e B são as extremidades da corda quecontém o foco da parábola e é perpendicular ao seu eixo; trata-se de um triânguloequilátero isósceles, de base igual à amplitude focal e altura igual ao parâmetro p
Para obter a equação da parábola, consideremos um sistema de coordenadas carte-siano xOy e uma parábola cujo vértice é a origem do sistema de coordenadas e cujo focopertence ao semi-eixo positivo das ordenadas y:
x
y
b
b
V
F (0, p)
r
X(x, y)b
p
p
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Se um ponto X = (x, y) do espaço pertence à parábola P , então
d(X,F ) = d(X, r)
√
x2 + (y − p)2 = |y + p|x2 + (y − p)2 = (y + p)2
x2 + y2 − 2py + p2 = y2 + 2py + p2
ou, simplesmente,x2 = 4py
Esta equação é chamada equação reduzida da parábola P . Indica-se P : x2 = 4py.Podemos obter equações tão simples quanto esta optando por outros sistemas de
coordenadas: o segredo é tomar o vértice V como origem e escolher os eixos de modoque o foco pertença a um deles. Assim, podemos ter os seguintes casos, incluindo o jámostrado, de parábolas com vértice na origem do sistema de coordenadas:
- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo positivo das ordenadas:
x
y
b
b
V
F
r
p
p
P : x2 = 4py
- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo negativo das ordenadas:
x
y
b
b
V
F
rp
p
P : x2 = −4py
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- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo positivo das abscissas:
x
y
b bV F
r
p p
P : x2 = −4py
- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo negativo das abscissas:
x
y
bbVF
r
p p
P : x2 = −4py
Exercício 6.1: Obtenha o parâmetro, o foco e a diretriz das parábola P , nos casos:
a) P : y2 = 5x
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b) P : y2 = −5x
c) P : y = 10x2
d) P : y + x2 = 0
Exercício 6.2: Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice(0, 0).
a) O parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
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b) O parâmetro é 18
e o foco está no semi-eixo negativo das ordenadas.
c) A diretriz é r : x− 1 = 0
6.1.2 Elipse
Sejam F1 e F2 pontos distintos, d(F1, F2) = 2c e a um número real tal que a > c. Olugar geométrico E dos pontos X tais que d(X,F1) + d(X,F2) = 2a chama-se elipse.
b b
b
b b
b
b
F1 F2
X
CA1 A2
B1
B2
c
b a
Considerando a figura, tem-se os seguintes elementos da elipse E:
Focos: pontos F1 e F2
Segmento focal: segmento F1F2
Centro: ponto médio C do segmento focal
Distância focal: distância 2c entre os focos
Reta focal: reta F1F2
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Corda: qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertençam à elipse
Vértices: pontos A1, A2, B1, B2
Eixo maior: segmento A1A2, de comprimento 2a
Eixo menor: segmento B1B2, de comprimento 2b
Amplitude focal: comprimento de uma corda que contém um foco e é perpendicular aosegmento focal
Coroa fundamental: coroa circular de raios a e b
Observação: Em toda elipse, vale a relação: a2 = b2 + c2.
Equação da elipse
Para obter a equação da elipse E, consideremos um sistema de coordenadas carte-siano xOy e uma elipse cujo centro é a origem do sistema de coordenadas e cujos focospertencem ao eixo das abscissas Ox:
b b
b
F1(−c, 0) F2(c, 0)
X(x, y)
x
y
Se um ponto X = (x, y) do espaço pertence à elipse E, então
d(X,F1) + d(X,F2) = 2a
√
(x+ c)2 + y2 +√
(x− c)2 + y2 = 2a√
(x+ c)2 + y2 = 2a−√
(x− c)2 + y2
(x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2
x2 + 2cx+ c2 = 4a2 − 4a√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2
4a√
(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4cx
a2[
(x− c)2 + y2]
= a2 − cx
a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2cx+ c2x2
a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2
a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
Mas, a2 = b2 + c2, que implica em a2 − c2 = b2. Então, a equação fica:
b2x2 + a2y2 = a2b2
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Dividindo a equação por a2b2, obtemos
x2
a2+
y2
b2= 1
Esta equação é chamada equação reduzida da elipse E. Indica-se E :x2
a2+
y2
b2= 1.
Poderíamos ter, também, uma elipse com centro na origem do sistema de coordena-das, e focos sobre o eixo das ordenadas. Assim, podemos ter os seguintes casos, incluindoo já mostrado:
- elipse com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das abscissas x
b b
F1 F2 x
y
E :x2
a2+
y2
b2= 1
- elipse com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das ordenadas y
b
b
F1
F2
y
x
E :x2
b2+
y2
a2= 1
Tendo em vista que a2 = b2 + c2, segue-se que a > b.Então, sempre o maior dos denominadores na equação reduzida da elipse representa
o número a2, onde a é a medida do semi-eixo maior.Além disso, se na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse tem
seu eixo maior sobre o eixo das abscissas x. Por outro lado, se a2 é denominador de y2, aelipse tem seu eixo maior sobre o eixo das ordenadas y.
Excentricidade da elipse
A excentricidade da elipse é o número dado por
e =c
a
Tendo em vista que c < a, tem-se: 0 < e < 1, sendo que:
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• Se e está próximo de 0, tem-se uma elipse mais arredondada, aproximando-se deuma circunferência.
• Se e está próximo de 1, tem-se uma elipse mais alongada, aproximando-se de umsegmento de reta.
Exercício 6.3: Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma elipse de centroO e focos em Ox ou Oy. Calcule as medidas dos eixos maior e menor e a distância focal.Escreva as coordenadas dos vértices e dos focos.
a) 16x2 + y2 = 1
b) 25x2 + 169y2 = 9
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Exercício 6.4: Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da elipse E.
a) E tem centro O e focos em Ox; o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
b) Os focos são F1(−4, 0) e F2(4, 0), e o eixo maior tem medida 10.
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c) Os focos são F1(0,−2) e F2(0, 2), e o eixo menor tem medida 4.
d) P = (2, 3), Q = (−2,−3) e R = (2,−3) são vértices do retângulo fundamental deE.
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6.1.3 Hipérbole
Sejam F1 e F2 pontos distintos, d(F1, F2) = 2c, e a um número real tal que 0 < a < c.O lugar geométrico H dos pontos X tais que |d(X,F1)−d(X,F2)| = 2a chama-se hipérbole.
b b
b
b b
b
b
F1 F2
X
A1 A2
B1
B2
a
bc
Considerando a figura, tem-se os seguintes elementos da hipérbole H:
Focos: pontos F1 e F2
Segmento focal: segmento F1F2
Centro: ponto médio C do segmento focal
Distância focal: medida 2c do segmento focal
Reta focal: reta F1F2
Corda: qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem à hipérbole
Vértices: pontos A1 e A2
Eixo transverso: segmento A1A2
Eixo conjugado: segmento B1B2
Amplitude focal: comprimento de uma corda que contém um foco e é perpendicular aosegmento focal
Observação: Em toda elipse, vale a relação: a2 = b2 + c2.
Consideremos, agora, uma circunferência de raio c cujo centro é o centro C dahipérbole. Tomemos um valor arbitrário para a e marquemos os vértices A1 e A2 dahipérbole. Por estes pontos tracemos perpendiculares ao diâmetro F1F2. As interseçõesdestas perpendiculares com a circunferência são os vértices de um retângulo MNPQ, quetem dimensões 2a e 2b, chamado de retângulo fundamental das hipérbole.
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b bb b
b
b
F1 F2A1 A2
B1
B2M N
PQ
a
bc
As retas que contêm as diagonais do referido retângulo chamam-se assíntotas dahipérbole, das quais a hipérbole se aproxima à medida que os pontos de afastam dos focos.
Equação da hipérbole
Para obter a equação da hipérbole, consideremos um sistema de coordenadas car-tesiano xOy e uma hipérbole cujo centro é a origem do sistema de coordenadas e cujosfocos pertencem ao eixo das abscissas x:
b b
b
F1(−c, 0) F2(c, 0)
X(x, y)
x
y
Se um ponto X(x, y) do espaço pertence à hipérbole H, então
|d(X,F1) + d(X,F2)| = 2a
d(X,F1) + d(X,F2) = ±2a√
(x+ c)2 + y2 +√
(x− c)2 + y2 = ±2a√
(x+ c)2 + y2 = ±2a−√
(x− c)2 + y2
(x+ c)2 + y2 = 4a2 ± 4a√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2
x2 + 2cx+ c2 = 4a2 ± 4a√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2
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±4a√
(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4cx
a2[
(x− c)2 + y2]
= a2 − cx
a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2cx+ c2x2
a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2
a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
Multiplicando a equação acima por −1, temos
(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)
Mas, a2 + b2 = c2, que implica em b2 = c2 − a2. Então, a equação fica:
b2x2 − a2y2 = a2b2
Dividindo a equação por a2b2, obtemos
x2
a2− y2
b2= 1
Esta equação é chamada equação reduzida da hipérbole H.
Indica-se H :x2
a2− y2
b2= 1.
Poderíamos ter, também, uma hipérbole com centro na origem do sistema de co-ordenadas, e focos sobre o eixo das ordenadas. Assim, podemos ter os seguintes casos,incluindo o já mostrado:
- hipérbole com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das abscissas x
b b
F1 F2 x
y H :x2
a2− y2
b2= 1
Assíntotas: y = ± bax
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- hipérbole com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das ordenadas y
b
b
F1
F2
x
y
H : −x2
b2+
y2
a2= 1
Assíntotas: y = ±abx
Excentricidade a hipérbole
Chama-se excentricidade da hipérbole ao número e dado por
e =c
a
Como c > a, então e > 1.
• Quando e está próximo de 1, c está próximo de a, e a medida b do semi-eixo imagi-nário está próxima de zero. Neste caso, os ramos da hipérbole são mais fechados.
• Quando e é muito maior que 1, c é muito maior que a, a medida b do semi-eixoimaginário é muito grande. Neste caso, os ramos da hipérbole são mais abertos.
Exercício 6.5: Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma hipérbole decentro O e focos em Ox ou Oy. Calcule as medidas dos eixos transverso e conjugado ea distância focal. Escreva as coordenadas dos vértices, dos focos e das extremidades doeixo conjugado.
a) 25x2 − 144y2 = 9
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b) 16x2 = y2 − 1
Exercício 6.6: Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da hipérbole H e equaçõesde suas assíntotas.
a) Os focos são F1(−√13, 0), F2(
√13, 0), e a medida do eixo transverso é 6.
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b) Um foco é F1(0,−√11), o centro é a origem, e o eixo conjugado mede 2
√7.
c) A distância focal é√20, os focos pertencem a Oy, e uma das assíntotas tem equação
y + 3x = 0.
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6.2 Seções Cônicas
Sejam duas retas e e r concorrentes em O e não perpendiculares. Conservemos fixaa reta e e façamos r girar 360o em torno de e mantendo constante o ângulo entre as retas.Nestas condições, a reta r gera uma superfície cônica circular infinita formada por duasfolhas separadas pelo vértice O.
Chama-se seção cônica ao conjunto de pontos que formam a interseção de um planocom a superfície cônica. Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π
qualquer que não passa pelo vértice O, a seção cônica será:
- uma circunferência se π for perpendicular ao eixo e da superfície
- uma elipse se π for oblíquo ao eixo e, cortando apenas uma das folhas da superfície
- uma parábola se π for paralelo a uma geratriz da superfície
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- uma hipérbole se π for paralelo ao eixo e
No caso de o plano π passar pelo vértice O, obtemos as cônicas degeneradas:
- um ponto se π só tem o ponto O em comum com a superfície
- uma reta se π tangencia a superfície cônica
- duas retas se π forma com o eixo um ângulo menor do que este faz com a geratriz.paralelo a uma geratriz da superfície
6.3 Definição de Cônica
Fixado um sistema ortogonal de coordenadas, chama-se cônica o lugar geométricodos pontos X = (x, y) que satisfazem uma equação de segundo grau g(x, y) = 0, em que
g(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F
A condição sobre o grau significa que ao menos um dos números A,B,C é diferentede zero. Dizemos que Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0 é uma equação da cônica; Ax2,Bxy e Cy2 são os termos quadráticos, e para distinguir Bxy dos outros dois referimo-nosa ele como termo quadrático misto. Por sua vez, Dx e Dy são os termos lineares e F é otermo independente.
Eis alguns exemplos:
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• Conjunto vazio: a equação x2 + y2 + 1 = 0 não é satisfeita por nenhum (x, y).
• Conjunto formado por um ponto: a equação x2+y2−2x+1 = 0, isto é, (x−1)2+y2 =0, admite apenas a solução (1, 0).
• Reta: a equação x2 + 2xy + y2 = 0, isto é, (x+ y)2, descreve a reta r : x+ y = 0.
• Reunião de duas retas paralelas: a equação x2 + 2xy + y2 + x + y = 0, isto é,(x+ y)(x+ y+1) = 0, descreve a reunião das retas r : x+ y = 0 e s : x+ y+1 = 0.
• Reunião de duas retas concorrentes: a equação x2−y2 = 0, isto é, (x−y)(x+y) = 0,descreve a reunião das retas r : x− y = 0 e s : x+ y = 0.
• Circunferência: a equação x2 + y2 − 2x− 4y+ 1 = 0, isto é, (x− 1)2 + (y− 2)2 = 4,descreve a circunferência de centro (1, 2) e raio 2.
• Parábola: x− y2 = 0.
• Elipse: x2 + 2y2 − 1 = 0.
• Hipérbole: x2 − y2 − 1 = 0.
Para identificar e esboçar uma cônica, conhecendo sua equação, a ideia é eliminar otermo quadrático misto utilizando uma rotação e tentar eliminar os termos lineares utili-zando uma translação. A equação obtida, com certeza mais simples, pode eventualmenteser transformada em uma das equações reduzidas conhecidas ou, pelo menos, em umaequação que favoreça a identificação da cônica. Para esta última etapa, dispomos dosrecursos da Álgebra Elementar, incluídas as técnicas de completação de quadrados e afatoracão.
6.3.1 Translação de eixos e eliminação dos termos lineares
Sejam xOy um sistema cartesiano ortogonal bidimensional e H um ponto do planocom coordenadas (h, k). Define-se um novo sistema de coordenadas x′O′y′ da seguintemaneira: os eixos O′x′ e O′y′ são paralelos aos eixos Ox e Oy, respectivamente, e têm amesma unidade de comprimento e sentido positivo destes; e a origem O′ coincide com oponto H. Diz-se que o sistema x′O′y′ é uma translação de eixos de centro H.
b
O
O′
x
x′
yy′
x
x′
y y′
h
k
P
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Seja P um ponto qualquer do plano com coordenadas (x, y) em relação ao sistemaxOy e (x′, y′) em relação ao sistema x′O′y′. Pela figura, obtém-se:
x = x′ + h e y = y′ + k
ou, equivalentemente,x′ = x− h e y′ = y − k
Dada uma curva no plano, suponha que no sistema cartesiano ortogonal bidimensi-onal xOy a equação da curva seja
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
Se A 6= 0 e C 6= 0, a equação pode ser reescrita da forma
A
(
x+D
2A
)2
+ C
(
y +E
2C
)2
+ F − D2
4A− E2
4C= 0
Fazendo uma translação de eixos de centro H(
− D2A,− E
2C
)
, temos
x′ = x+D
2Ae y′ = y +
E
2C
e então a equação da curva, no sistema x′O′y′ é
A (x′)2+ C (y′)
2+ F ′ = 0
Se A 6= 0 ou C 6= 0 pode-se determinar, de maneira análoga, uma translação deeixos e a equação da curva no novo sistema de coordenadas.
Equação da parábola de vértice fora da origem
Caso 1 : O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y: (x− h)2 = ±4p(y − k)Caso 2 : O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x: (y − k)2 = ±4p(x− h)
Equação da elipse de centro fora da origem
Caso 1 : O eixo maior é paralelo ao eixo dos x: (x−h)2
a2+ (y−k)2
b2= 1
Caso 2 : O eixo maior é paralelo ao eixo dos y: (x−h)2
b2+ (y−k)2
a2= 1
Equação da hipérbole de centro fora da origem
Caso 1 : O eixo transverso é paralelo ao eixo dos x: (x−h)2
a2− (y−k)2
b2= 1
Caso 2 : O eixo transverso é paralelo ao eixo dos y: − (x−h)2
b2+ (y−k)2
a2= 1
Exercício 6.7: Determinar a equação da parábola de vértice V (3,−1), sabendo que y−1 = 0 é a equação de sua diretriz.
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Exercício 6.8: Determinar a equação da parábola de foco em F (1, 2), sendo x = 5 aequação da diretriz.
Exercício 6.9: Determinar o vértice, um esboço do gráfico, o foco e a equação da diretrizda parábola y2 + 6y − 8x+ 1 = 0.
Exercício 6.10: Uma elipse, cujo eixo transverso é paralelo ao eixo dos y, tem centroC(4,−2), excentricidade e = 1
1e eixo conjugado de medida 6. Qual a equação desta
elipse?
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Exercício 6.11: Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipsede equação:
4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
Exercício 6.12: Determinar a equação da hipérbole de vértices A1(1,−2) e A2(5,−2),sabendo que F (6,−2) é um de seus focos.
Exercício 6.13: Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos dahipérbole de equação:
9x2 − 4y2 − 30x− 16y + 9 = 0
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6.4 Superfície esférica
Dados um ponto C e um número real positivo ρ, a superfície esférica S de centroC e raio ρ é o lugar geométrico dos pontos X do espaço tais que d(X,C) = ρ, ou,equivalentemente, d2(X,C) = ρ2.
Suponhamos que C = (x0, y0, z0) e X = (x, y, z). Então, X pertence a S se, esomente se,
(x− x0)2 + (y − y0)
2 + (z − z0)2 = ρ2
Esta equação é chamada equação reduzida de superfície esférica.Desenvolvendo os quadrados e passando ρ2 para o primeiro membro, obtemos
x2 + y2 + z2 − 2x0x− 2y0y − 2z0z + x20 + y20 + z20 − ρ2 = 0
que é da formax2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0
Uma equação da superfície esférica S, quando escrita sob esta forma, chama-seequação geral de S.
Proposição: A equação x2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0 descreve
(a) a superfície esférica de centro C e raio ρ, se a2 + b2 + c2 − 4d > 0;
(b) o conjunto pelo ponto (−a2,− b
2,− c
2), se a2 + b2 + c2 − 4d = 0;
(c) o conjunto vazio, se a2 + b2 + c2 − 4d < 0.
Exercício 6.14:
a) Obtenha a equação reduzida e a equação geral da superfície esférica de centro(1,−1, 3) e raio 4.
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b) Mostre que x2+ y2+ z2− 4x− 2y+8z+12 = 0 é a equação geral de uma superfícieesférica e obtenha o centro e o raio.
c) Qual é conjunto descrito pela equação x2 + y2 + z2 −√3x− 4y + 8 = 0?
6.5 Quádricas
Pelo nome genérico de quádrica vamos designar algumas superfícies de E3 que podemser consideradas, por assim dizer, a versão tridimensional das cônicas.
Chama-se quádrica qualquer subconjunto Ω de E3 que possa ser descrito, em relaçãoa um sistema ortogonal de coordenadas, por uma equação de segundo grau
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0
em que pelo menos um dos números A,B,C,D,E, F é diferente de zero.Observemos que se a superfície quádrica dada pela equação acima for cortada pelos
planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica,chamada traço da superfície no plano.
A seguir destacamos algumas quádricas e suas equações na forma reduzida.
6.5.1 Elipsóide
O elipsóide é a superfície descrita pela equação
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
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em que todos os coeficientes dos termos do primeiro membro são positivos, e a, b e c sãoreais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide.
O traço no plano xOy é a elipsex2
a2+
y2
b2= 1.
O traço no plano xOz é a elipsex2
a2+
z2
c2= 1.
O traço no plano yOz é a elipsey2
b2+
z2
z2= 1.
Obs: Se a, b, c fossem iguais, Ω seria uma superfície esférica de centro (0, 0, 0) e raio a, eos traços nos planos coordenados seriam circunferências.
6.5.2 Hiperbolóide de uma folha
Se na equação
±x2
a2± y2
b2± z2
c2= 1
dois coeficientes dos termos do primeiro membro são positivos e um é negativo, a equaçãorepresenta um hiperbolóide de uma folha.
A equaçãox2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1 é a forma canônica do hiperbolóide de uma folha ao
longo do eixo z, neste caso chamado eixo distinguido.
As outras duas formas canônicas são
x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1 e − x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
e representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos y e x, respectivamente.O traço no plano coordenado perpendicular a eixo distiguido é uma elipse (ou cir-
cunferência), enquanto os traços nos outros dois planos coordenados são hipérboles.
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6.5.3 Hiperbolóide de duas folhas
Se na equação
±x2
a2± y2
b2± z2
c2= 1
um coeficiente dos termos do primeiro membro é positivo e dois são negativos, a equaçãorepresenta um hiperbolóide de duas folhas.
A equação −x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 1 é a forma canônica do hiperbolóide de duas folhas
ao longo do eixo y, neste caso chamado eixo distinguido.
As outras duas formas canônicas são
x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1 e − x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 1
e representam hiperbolóides de duas folhas ao longo dos eixos x e z, respectivamente.O traço no plano coordenado perpendicular a eixo distiguido é o conjunto vazio,
enquanto os traços nos outros dois planos coordenados são hipérboles.
6.5.4 Parabolóide Elíptico
Se nas equações
±x2
a2± y2
b2= cz ± x2
a2± z2
c2= by ± y2
b2± z2
c2= ax
os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais iguais, a equação representa umparabolóide elíptico.
A equaçãox2
a2+
y2
b2= cz é uma forma canônica da equação do parabolóide elíptico
ao longo do eixo z, neste caso chamado eixo de simetria.
As outras duas formas canônicas são
x2
a2+
z2
c2= by
y2
b2+
z2
c2= ax
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e representam parabolóides elípticos ao longo dos eixos y e x respectivamente.Se o coeficiente do termo linear do segundo membro da equação for positivo, a su-
perfície situa-se inteiramente para o sentido positivo do eixo de simetria. Se tal coeficientefor negativo, a superfície situa-se inteiramente para o sentido negativo do eixo de simetria.
O traço no plano coordenado perpendicular ao eixo de simetria consiste em um únicoponto, a origem O = (0, 0, 0); enquanto o traços nos outros dois planos coordenados sãoparábolas.
6.5.5 Parabolóide Hiperbólico
Se nas equações
±x2
a2± y2
b2= cz ± x2
a2± z2
c2= by ± y2
b2± z2
c2= ax
os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais contrário, a equação representaum parabolóide hiperbólico.
A equação −x2
a2+
y2
b2= cz é uma forma canônica da equação do parabolóide hiper-
bólico ao longo do eixo z, neste cao chamado eixo de simetria.
As outras duas formas canônicas são
−x2
a2+
z2
c2= by − y2
b2+
z2
c2= ax
e representam parabolóides hiperbólicos ao longo dos eixos y e x respectivamente.O traço no plano coordenado perpendicular ao eixo de simetria consiste em um par
de retas; enquanto o traços nos outros dois planos coordenados são parábolas.
6.6 Superfície cilíndrica
Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano.Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente
à reta fixa f em contato permanente com a curva C.A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície
cilíndrica.Vamos considerar apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se
encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo coordenadonão contido no plano. Neste caso, a equação da superfície cilíndrica é a mesma de suadiretriz.
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Conforma a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a super-fície cilíndrica é chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.
É importante observar que, em geral, o gráfico de uma equação que não contémuma determinada variável corresponde a uma superfície cilíndrica cujas geratrizes sãoparalelas ao eixo da variável ausente e cuja diretriz é o gráfico da equação dada no planocorrespondente.
6.7 Superfície cônica
Superfície cônica é uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numacurva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano dessacurva.
A reta é denominada geratriz, a curva plana é a diretriz e o ponto fixo dado é ovértice da superfície cônica.
Consideremos o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse (oucircunferência) com o vértice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixoscoordenados.
Nestas condições, a superfície cônica cujo eixo é o eixo dos z tem equação:
x2
a2+
y2
b2− z2
c2= 0
As superfícies cônicas cujos eixos são os eixos do x e do y têm equações
−x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 0 e
x2
a2− y2
b2+
z2
c2= 0
respectivamente.
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Exercício 6.15: Identifique e faça um esboço da superfície dada pela equação.
a) x2
4+ y2
16+ z2
4= 1
b) 4x2 − y2 + 25z2 = 100
c) 4x2 − 25y2 − z2 = 100
d) 3y2 + 12z2 = 16x
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e) 3y2 − 12z2 = 16x
f) x2 + 2z2 − 6x− y + 10 = 0
g) x2 = 2y
h) x2
4+ z2
9= 1
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i) 4x2 − y2 + 25z2 = 0
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. V. 2. São Paulo: Bookman, 2007.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. SãoPaulo: Prentice Hall, 2005.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 2. São Paulo: Harbra, 1994.
STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Educa-tion do Brasil, 1987.
STEWART, J. Cálculo. V. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
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