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ÁLGEBRA LINEAR
1 – O VETOR
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante
definidos:
• comprimento (denominado módulo)
• direção
• sentido (de A para B)
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos
orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos
orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo
sentido de AB.
Assim, a ideia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:
Para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos
orientados que o compõe. Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo
símbolo:
Podemos classificar os vetores em três tipos fundamentais:
Vetor livre – aquele que fica completamente caracterizado, conhecendo-se o seu
módulo, a sua direção e o seu sentido.
Exemplo: o vetor u das figuras acima.
Vetor deslizante – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos
conhecer além da sua direção, do seu módulo e do seu sentido, também a reta
suporte que o contém. Os vetores deslizantes são conhecidos também como
cursores.
Notação: (u, r) – vetor deslizante (cursor) cujo suporte é a reta r.
Exemplo: ver figura abaixo
Vetor ligado – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos
conhecer além da sua direção, módulo e sentido, também o ponto no qual está
localizado a sua origem.
Notação: (u, O) – vetor ligado ao ponto O.
Exemplo: ver figura abaixo.
Notas:
a) o vetor ligado também é conhecido como vetor de posição.
b) os vetores deslizantes e os vetores ligados, possuem muitas aplicações no
estudo de Mecânica R
1.1 – O VETOR OPOSTO
Dado o vetor u , existe o vetor – u , que possui o mesmo módulo e mesma direção
do vetor u , porém , de sentido oposto.
1.2 – O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual
à unidade, ou seja:
| u | = u = 1.
1.3 – O VETOR NULO
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.
Notação: 0
2 – A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO
Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo q com o eixo r.
Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida
algébrica igual a
ux = u . cos q . Observe que se q = 90º , teremos cos q = 0 e, portanto, a projeção
do vetor segundo o eixo r, será nula.
3 – A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORES
Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a
extremidade final do vetor.
Grassmann (matemático alemão – 1809/1877) interpretou a
situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de vetor u.
Assim, pode-se escrever:
B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B – A
Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos,
permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na
seqüência deste trabalho.
4 – UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura
abaixo:
Pela notação de Grassmann, poderemos escrever:
P = O + u
u = P – O
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas
cartesianas e, por conseguinte,
O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o
ponto P(x, y).
Substituindo acima, vem:
u = P – O = (x, y) – (0, 0) = (x – 0 , y – 0 ) = (x, y).
Portanto,
u = (x, y)
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do
sistema de coordenadas cartesianas.
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção
adotada acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por:
5 – UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS
Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar
um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y ,
conforme figura abaixo:
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2,
ou seja, base do plano cartesiano Oxy.
Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:
u = x.i + y.j
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R
3,
poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e
Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria:
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .
O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:
6 – OPERAÇÕES COM VETORES
6.1 – ADIÇÃO
Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas
figuras abaixo.
Regra do triângulo Regra do paralelogramo
6. 2 – SUBTRAÇÃO
Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u –
v , como sendo igual
à soma u + ( -v ) .
Veja a figura abaixo:
6.3 – MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
Dado um vetor u e um escalar l Î R, define-se o vetor l .u , que possui a mesma
direção de u e sentido coincidente para l > 0 e sentido oposto para l < 0. O módulo
do vetor l .u será igual a|l |.u .
Exemplos de soma de vetores representada geometricamente
São dados os vetores a e b. Represente o vetor s soma dos vetores a e b. Análise
os casos:
Resolução :
No exercício b Para fazermos a soma desses vetores (a+b) devemos seguir uma
regra básica: Unir a ponta do primeira com o início do segundo e traçar um vetor
resultante do início do primeiro para a ponta do segundo.
E se fosse uma subtração?
A subtração dos vetores a e b(a-b), deve ser vista da seguinte forma: a + (-b). A
subtração de vetores é a soma do primeiro vetor com o inverso do segundo vetor.
Visualizando:
Atividades:
Pegue na biblioteca o livro Vetores e Geometria Analítica do Paulo Winterle.
Leia os exemplos das páginas 6, 7,9, 10,16
Faça os exercícios 1, 2, 4 e 5 da página 15 do livro.
6.4 – PRODUTO INTERNO DE VETORES
Dados dois vetores u e v , define-se o produto interno desses vetores como segue:
u . v = u . v . cos b onde u e v são os módulos dos vetores e b o ângulo formado
entre eles.
Da definição acima, infere-se imediatamente que:
a) se dois vetores são paralelos, (b = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno
deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.
b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu
módulo, pois neste caso,
b = 0º e cos 0º = 1 u.u = u.u.1 = u2
c) se dois vetores são perpendiculares, (b = 90º e cos 90º = 0) então o produto
interno deles será nulo.
d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.
e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.
6.4.1 – CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS
COORDENADAS DO VETOR
Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j
Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v.
u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j
Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as
conclusões acima, teremos:
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0
Daí, fazendo as substituições, vem:
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd
Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos
produtos das componentes correspondentes ou homônimas.
Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)
Já sabemos que: u.v = u.v.cos b = ac + bd
Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:
Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas
coordenadas.
Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o
produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo
estará determinado.
Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto
interno de vetores.
Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:
É óbvio que: w = u + v
Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:
w2 = u
2 + 2.u.v + v
2
Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w
2 , u
2 = u
2 , v
2 = v
2 e u.v = 0
(lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares).
Assim, substituindo, vem:
w2 = u
2 + 2.0 + v
2 , ou, finalmente: w
2 = u
2 + v
2 (o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos).
7. Vetores com coordenadas no plano
As componentes de um vetor:
Qualquer vetor v = AB considerado no plano cartesiano tem sempre um
representante (segmento orientado OP) cujo ponto inicial é a origem.
Em nosso estudo, vamos considerar geralmente vetores representados por segmentos
orientados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano
é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y) individualiza o
vetor v =OP e escreve-se v = (x, y). As coordenadas de P são identificadas como as
componentes do vetor.
Igualdade de vetores:
Dois vetores u = (a, b) e v = (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d.
O módulo de um vetor
Seja o vetor v = (x, y).
Pelo teorema de Pitágoras vem que │ v │2 = x2 + y2 │ v │= 22 yx .
Exemplo: Sendo v = (-2, 3), temos que │ v │ = 13)3()2( 22 .
Exercícios:
1) Represente graficamente v = OP sendo:
a) P(2, 3)
b) P(1,-1)
c) P(0, 1)
d) P(-½, -1)
e) P(-2, 1)
f) P(-3, 0)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Sendo u = (x+1, 4) e v = (5, 2y - 6), determine x e y sabendo que u = v .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Dados os vetores u = (-1, 1), v = (-2, 3) e w = (8, -6), calcule:
a) │u │
b) │ v │
c) │ w │
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Determine os valores de a para que o vetor v = (a, -2) tenha módulo 4.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soma de vetores tratamento algébrico:
Sendo u = (x1, y1) e v = (x2, y2), definimos u + v = (x1+x2, y1+y2).
Vejamos agora como a definição algébrica da soma de vetores dada acima coincide
com a definição geométrica vista anteriormente.
Observe os vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2), bem como sua soma:
Como OAPB é paralelogramo temos que os triângulos OAF e BPG, da figura 1, são
congruentes, por LAAo. Assim, OF = BG e então a abscissa de P é x1 + x2.
De modo análogo, temos que os triângulos ADP e OEB, da figura 2, são congruentes,
por LAAo. Assim, PD = BE e então a ordenada de P é y2 + y1.
Assim, as coordenadas de P são (x2 + x1, y2 + y1).
Multiplicação de um vetor por um escalar:
Sendo u = (x1, y1) e k IR, definimos k. u = (k.x1, k.x2).
Vejamos agora como a definição algébrica do produto por escalar dada acima coincide
com a definição geométrica vista anteriormente.
O módulo de v = (k.x1, k.x2) é dado por:
│ v │= 2
1
2
1 ).().( ykxk
│ v │= )(2
1
2
1
2 yxk
│ v │= )(2
1
2
1 yxk
│ v │= k │u │
Assim, o módulo igual ao de u multiplicado por k .
Observe a figura:
Os vetores u = OP = (x1, y1) e v = 'OP = (k.x1, k.y1) têm a mesma direção, pois as
retas OP e OP’ têm a mesma inclinação y1/x1.
Os pontos P e P’ estão do mesmo lado de O quando k > 0 e em lados opostos quando
k < 0, assim fica evidente que u = OP e v = 'OP têm mesmo sentido se k > 0 e
sentido contrário se k < 0.
Exemplos:
1) Sendou = (3, 2) e v = (1, 2) determine u + v :
u + v = (3, 2) + (1, 2) = (4, 4)
2) Sendo v = (3, -4), determinar o vetor u com a mesma direção e o mesmo sentido
de v , porém de comprimento unitário.
Procuramos um vetor u que é múltiplo de v , isto é, u = k. v = (3k, 4k). Como o
comprimento deve ser unitário temos que:
│u │ = 1 22 )4(.)3( kk = 1
225k = 1 1.5 k 5
1k
5
1k
Como u deve possuir o mesmo sentido de v , temos que k = 1/5.
Exercícios resolvidos de vetores
Vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.
1 – Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i – 5 j e v = i + j , pede-se determinar:
a) o vetor soma u + v
b) o módulo do vetor u + v
c) o vetor diferença u – v
d) o vetor 3 u – 2 v
e) o produto interno u.v
SOLUÇÃO:
a) Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i – 4 j
b) | u + v| = Ö 32 + 4
2 = Ö 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
c) u – v = (2, -5) – (1, 1) = (1, -6) = i – 6 j
d) 3u – 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i – 17 j
e) u.v = 2.1 + (-5).1 = – 3
Exercícios:
1) Dados os vetores u = (2, -3) e v = (-1, 4), determinar:
a) 3u + 2 v
b) 3u - 2 v
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Encontre o vetor x tal que 3 x + 2u = 0,5 v + x , sendo dados u = (3, -1) e v = (-
2, 4).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Encontre os números reais m e n tais que v = m . 1v + n . 2v , sendo v = (10, 2),
1v = (3, 5) e 2v = (-1, 2).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Sendo A(-2, 4) e B(4, 1) determine as coordenadas dos pontos F e G que dividem o
segmento AB em três partes iguais.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) Dados os vetores u = (-1, 1), v =(-2, 3) e w =(8, -6), calcule:
a) │u + v │
b) │2u - w │
c) │ w -3u │
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vetor definido por dois pontos:
Consideremos o vetor AB de origem em A(xa, ya) e extremidade em B(xb, yb).
Da figura vem que:
OA + AB = OB ; AB = OB – OA ; AB = (xb, yb) – (xa, ya) = (xb – xa, yb – ya).
Observação importante: Sempre que tivermos v = AB ou v = B - A podemos concluir
também que B = A + v ou B = A + AB , isto é, o vetor v transporta o ponto inicial A
para o ponto extremo B.
Exemplo: Seja v = (2, 1).
Temos que:
B = A + v = (1, 2) + (2, 1) = (3, 3)
D = C + v = (-3, 1) + (2, 1) = (-1, 2)
Leitura iriigida.
Leia com atenção, refazendo os exemplos o livro Vetores e Geometria Analítica , do
Paulo Winterle, da página 27 a 40.
Depois faça os problemas propostos de 1 a 5 da página 40.
Produto escalar e o ângulo entre dois vetores.
Produto Escalar v . w é dado por
v = (a1, b1, c1), w = (a2, b2, c2),
v . w = a1 a2 + b1 b2 + c2 c1
Exemplo
(2,3,1) . (-4, 2, 5) = 2. (-4) + 3.2 + 1 . 5 = -8 + 6 +5 = 3
O produto escalar de um vetor por si próprio é ||v||2.
Produto escalar e o ângulo
cos 𝜃 = 𝑣 .𝑤
||𝑣|| ||𝑤||
Lembrando:
Projeção ortogonal:
A projeção ortogonal é calculada através de
ev = ((𝑢.𝑣
𝑣.𝑣) 𝑣
Observe os exemplos do livro Vetores e Geometria Analítica , do Paulo Winterle
1 e 2 da página 49.
página 52
1, 2 e 3 páginas 54 e 55.
Leia todo o livro do Winterle da página 49 a 66, e depois faça os exercícios 1 a 8 da
página 66.
ATENÇÃO: vale 1,0 ponto extra para a avaliação objetiva do G1, Pode ser entregue
individualmente ou em dupla.
Produto vetorial
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.
u × v =
Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.
u × v = = (-3,6,-3)
Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.
Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.
Propriedades do Produto Vetorial
(PV1) v × w = - w × v
(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w
(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)
(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0
(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j
(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos
ângulo entre dois vetores
O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
v × w = |v| |w| sen(t) U
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.
Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos:
|v × w| = |v| |w| sen(t)
e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:
sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)
sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].
Aplicações do produto vetorial
Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.
A(paralelogramo) = | v × w |
Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:
A(triângulo) = ½ | v × w |
Produto misto
Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante
[u,v,w] = u·(v×w) =
Aplicações do produto misto
Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.
Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.
V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|
Atividades
Leia com atenção o livro Vetores e Geometria Analítica do Paulo Winterle, da p[agina
73 a 86.
Depois resolva os exercícios 1 e 2 da página 87.
Geometria analítica: retas Introdução Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um pontoO dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
Medida algébrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
Plano cartesiano A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se
representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:
Exemplos:
A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.
Distância entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
Exercícios:
1. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos:
A) (1, -2) B (-3, 3) C(4,4 ) D (0,3) E (-1,-5) F(-4, 0)
2. Calcule a distância entre os pontos
a) A (3, 7) e B (1, 4)
b) E (3, - 1) e F ( 3, 5)
c) H (-2 , -5) e (0, 0)
d) M (0, -2) e N (√5 , -2)
3. A distância do ponto A (a, 1) ao ponto B(0,2) é igual a 3 calcule o valor da abcissa a.
4. Um ponto P pertence ao eixo das abcissas e é equidistante dos pontos A (-1, 2) e
B(1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?
5. Demonstre que um triângulo com vértices A(0, 5) B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles e
calcule seu perímetro.
6. Qual a distância do ponto A(cos a, sena) são ponto B(sen a, - cos a)?
Ponto médio
O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir
o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de
um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.
O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM,
yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três
ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre
os segmentos que formam os triângulos. Veja:
Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do
segmento AB. Temos:
xP – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2xM – 2xA
2xM = xB – xA + 2xA
2xM = xA + xB
xM = (xA + xB)/2
Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.
Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão
matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no
plano cartesiano:
Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos
pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas
dos pontos A e B.
Exemplo 1
Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB,
determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.
xA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10
xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6
yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8
As coordenadas do ponto médio do segmento AB é xM (6, 8).
Exemplo 2
Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do
segmento PQ.
xM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2
yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4
Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.
Atividade
1 – Determine o Ponto Médio do segmento de extremidades:
a) A (2, 3) e B (8, 5) b) C (3, -2) e D (-1, -6)
c) E(-2, -4) e F (5, 2) d) H (0, 7) e I (6, 0)
e) J (3, 2) e K (5, 4) f) P (-3, -4) e Q (-7, 0)
2 – Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as coordenadas dos
pontos médios dos segmentos:
a) AB b) AD c) BD d) AC e) CD
3 – Calcule os pontos médios dos lados de um triângulo com vértices:
a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2)
b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4)
c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)
Baricentro(ou centro de gravidade) de um triângulo
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :
Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo
Exercícios
1-Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
2-Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
Resposta BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).
3-Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2. Resp: 850
4-A soma das coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sendo A (0, 0), B (4, 1) e C (2, 8) é:
a) -1 b) 1 c) 5 d) 15 e) 7
Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão
alinhados, se e somente se:
0
1
1
1
.
YcXc
YbXb
YaXa
01-O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:
a) 0 b) 10 c) 3 d) 12 e) - 4
02-Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:
a) k = 11 b)k = 12 c)k = 13 d)k = 14 e) k = 15
3. Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), determine se estão alinhados.
Resposta: estão alinhados
4. Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?
R. k' = - 2 e k'' = 5
A(xA, yA)
B(xB, yB)
C(xC, yC)
5. Determine o valor de a para que os pontos A(2, 1), B(a+1, 2) e C(-3, -1) sejam os
vértices de um triângulo.
Resposta: a ≠ 7/2
6. Determine m para que os pontos A(0, -3), B(-2m, 11) e C(-1, 10) estejam em linha
reta.
Resposta: m = 7/13
Posições relativas entre retas
Considere duas retas distintas do plano cartesiano:
Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.
Retas Paralelas
As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.
Assim para r//s, temos:
Retas Concorrentes
As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.
Assim para r e s concorrentes, temos:
Retas Perpendiculares
É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes
angulares são tais que:
Sistemas Lineares
Sistemas escalonados
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)
Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:
Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Então, x=2, y=-1 e z=3
Exemplos
Sistemas Lineares
Resolução
Resolução
O sistema obtido está na forma escalonada e é do 1o tipo (no de equações igual ao no de incógnitas), portanto, é um sistema possível e determinado.
Observação
Dado um sistema linear, sempre podemos “tentar” o seu escalonamento. Caso ele seja impossível, isto ficará evidente pela presença de uma equação que não é satisfeita por valores reais (exemplo: 0x + 0y = 3). No entanto, se o sistema é possível, nós sempre conseguimos um sistema escalonado equivalente, que terá no de equações igual ao no de incógnitas (possível e determinado), ou então o n
o de equações
será menor que o no de incógnitas (possível e indeterminado).
Este tratamento dado a um sistema linear para a sua resolução é chamado de método de eliminação de Gauss.
Exercícios Resolvidos
Escalonar e resolver os sistemas abaixo:
01.
O sistema está escalonado e z =
3. Substituindo z = 3 na 2a equação: y + 3 = 5 y = 2 Substituindo z = 3 e y = 2 na 1a
equação: x + 2 + 3 = 6 x = 1 Portanto, teremos: S = {(1,2,3)}
02. Resolução
O sistema é impossível, pois a 3a
equação nunca será satisfeita. Assim:
1) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.
a)
35
032
42
zyx
zyx
zyx
b)
6345
423
6
zyx
zyx
zyx
c)
14633
10422
52
zyx
zyx
zyx
d)
9723
5432
43
zyx
zyx
zyx
Respostas
a) S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado.
b) S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado
c) o sistema não possui solução.
d) S = { 5
217 z,
5
23 z, z }. O sistema é possível e indeterminado.
Geometria Analítica: Circunferência
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo,
desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)
2 + (y - b)
2 =r
2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar
os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x
2 + y
2 = r
2 .
Equação geral Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )
2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Atividades
1) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r, nos seguintes casos:
a) C(3,2) e r = 7 b) C(-3,4) e r = 3
Equação reduzida da circunferência
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem:
a) C(2,5) r = 3 b) C(-1,-4) r = 2
3) Determine o centro e o raio das circunferências de equações:
a) (x - 4) ² + (y - 5)² = 9 b) x ² + y ² = 2
Posições relativas entre ponto e circunferência
O ponto é interno à circunferência. Isso ocorre apenas se a distância do ponto ao
centro for menor do que o raio.
• O ponto pertence à circunferência. Isso ocorre se a distância desse ponto até o
centro for igual ao raio.
• O ponto é externo à circunferência. Isso ocorre quando a distância do ponto ao
centro é maior que o raio.
Sendo assim, quando tivermos que verificar a posição relativa de um ponto em
relação a uma circunferência, devemos calcular a distância entre o centro e o ponto,
ou então substituir as coordenadas do ponto na equação da circunferência e verificar o
valor numérico obtido.
Exemplo:
Quando a equação da circunferência estiver na sua forma reduzida, você não
necessita utilizar a fórmula da distância, pois a equação reduzida lhe dá a distância
desses dois pontos, basta você resolver o lado esquerdo da igualdade e comparar o
resultado ao raio (4²).
• Ponto H (2,3);
Como a distância do ponto H foi igual ao raio, podemos afirmar que esse ponto
pertence à circunferência.
• Ponto I (3,3);
Nesse caso, igualamos a 16 esperando que o resultado seja 16 para que o
ponto pertença à circunferência, mas ao realizar os cálculos obtemos um valor maior
que o raio, por isso o ponto é externo à circunferência.
• Ponto J (3,2);
Mas com analisaríamos o ponto se a equação da circunferência viesse na sua
forma geral? O procedimento é bem parecido, entretanto na equação geral não temos
uma expressão algébrica igualada ao raio da circunferência. Vejamos a mesma
circunferência do exemplo anterior, mas escrita na sua forma geral.
Note que se pegarmos pontos que pertencem à circunferência, a equação
acima deverá ser igual a zero. Caso isso não ocorra, o ponto não pertence à
circunferência. Vejamos os mesmos pontos do exemplo anterior, porém utilizando a
equação geral:
• Ponto H (2,3);
Como a distância do ponto H foi igual ao raio, podemos afirmar que esse ponto
pertence à circunferência.
• Ponto I (3,3);
Nesse caso, igualamos a 16 esperando que o resultado seja 16 para que o
ponto pertença à circunferência, mas ao realizar os cálculos obtemos um valor maior
que o raio, por isso o ponto é externo à circunferência.
• Ponto J (3,2);
Atividades:
1. Dados o ponto P e a circunferência 𝜆 , determine a posição e P em relação a 𝜆.
a) P( -1, 2) e 𝜆: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52
b) P( 2, 2) e 𝜆: x2 + y2 – 10x + 8y – 1 = 0
c) P( 3, 1) e 𝜆: x2 + y2 – 8x + 5 = 0
d) P( 3, -4 ) e 𝜆: x2 + y2 – 2x + 4y – 3 = 0
2. Lembrando que todo triângulo retângulo é inscritível em um semicírculo (e o
diâmetro coincide com a hipotenusa), encontre a equação da circunferência que passa
pelos pontos P(0,0), Q(6,0) e R(0,8).