geometrÍa analÍtica en el espacio … geometrÍa analÍtica en el espacio (Ángulos, distancias y...

15
1 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS El ángulo formado por dos rectas que se cortan en un punto, o bien por dos rectas que se cruzan, es el ángulo que forman sus vectores directores. ) u u (u u ) v v (v v 3 2 1 3 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1 1 u u u v v v u · v u · v u · v cos Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas 2t 4 z t 1 y 3t 2 x (r) y 1 3 z 4 1 y 5 2 x (s) Los vectores directores de ambas rectas son: 2) 1, 3, ( v y 1) 4, (5, u 122'42º 0'536) ( arccos 0'536 42 14 13 1) ( 4 5 2 1 3) ( 1) ( · 2 4 · 1 5 · 3) ( cos 2 2 2 2 2 2 Por convenio, se considera que el ángulo entre dos rectas, es el menor de los dos ángulos que forman, es decir: 57'58º 122'42º 180º 180º ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO El ángulo que forma una recta (r) y un plano ) ( al cortarse, es el ángulo complementario del que forman el vector director de la recta v y el vector asociado al plano n .

Upload: phamthien

Post on 25-Apr-2018

232 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

1

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS)

ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

El ángulo formado por dos rectas que se

cortan en un punto, o bien por dos rectas

que se cruzan, es el ángulo que forman

sus vectores directores.

)uu(uu )vv(vv 321321

23

22

21

23

22

21

332211

uuuvvv

u·vu·vu·vcos

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman las rectas

2t4z

t1y

3t2x

(r) y 1

3z

4

1y

5

2x(s)

Los vectores directores de ambas rectas son: 2)1,3,(v

y 1)4,(5,u

122'42º0'536)(arccos

0'5364214

13

1)(45213)(

1)(·24·15·3)(cos

222222

Por convenio, se considera que el ángulo entre dos rectas, es el menor de los dos ángulos que

forman, es decir:

57'58º 122'42º180º180º

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

El ángulo que forma una recta (r) y un plano )( al cortarse, es el ángulo complementario del

que forman el vector director de la recta v y el vector asociado al plano n

.

Page 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

2

3

3

2

2

1

1

v

az

v

ay

v

ax(r)

0dzcybxa

)(

90º

vvvcba

v·cv·bv·acos

23

22

21

222

321

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman la recta 1

2z

3

7y

2

1x(r)

y el plano de

ecuación 083z5yx )(

El vector director de la recta es 1)3,(2,v

, y el asociado al plano 3)5,(1,n

.

º 64'6

25'4º90º90º

25'37º0'91435

20

13)(235)(1

1·33)5)((2·1cos

222222

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

El ángulo que forman dos planos que se cortan en una recta, es el ángulo que forman sus

vectores normales o asociados.

)c,b,a(v0dzcybxa

c)b,(a,v 0dzcybxa

)(

)(

Page 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

3

222222 cbacba

c·cb·ba·acos

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman los planos de ecuaciones:

012z4y2x )( y 084z5y3x )(

Los vectores asociados a ambos planos son: 2)4,2,(v

y 4)5,(3,u

50'57º

0'63cosarc0'63

5024

22

453242)(

4·25·43·2)(cos

222222

Page 4: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

4

DISTANCIAS EN EL ESPACIO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos )aa(aA 321 y )bb(bB 321 , se define como el módulo del vector

que une dichos puntos, es decir de AB .

2

332

222

11 )a(b)a(b)a(bBAB)d(A,

Ejemplo:

Hallar la distancia que existe entre los puntos 6)2,(3,A y 1)4,(7,B :

u8'8 77222 6)(12))((43)(7B)d(A,

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia entre un punto )pp(pP 321 y una recta (r), se puede definir, entre otras maneras,

como la altura “h” del triángulo de lados los vectores AP y v.

El punto )aa(aA 321 es un punto cualquiera de

la recta (r), y )vv(vv 321

su vector director.

Por una parte, el área del triángulo

sombreado de la figura, es la mitad del

producto vectorial de los vectores AP y v,

mientras que por otra, es la mitad del

producto de la base “v” por la altura “h”.

h·v2

1S

vAP2

1S

h·v2

1vAP

2

1

despejando h, que es la distancia entre P y (r) :

v

vAPh(r))d(P,

Page 5: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

5

Ejemplo:

Hallar la distancia del punto 5)1,P(2, a la recta (r) 1

3z

2

6y

3

1x

.

La recta (r) pasa por el punto 3)6,A(1, y su vector director es 1)2,(3,v

2)5,(1,3)6,(1,5)1,(2,APAP

137,9,23

51,

13

2 1,

12

2 5vAP

29913)(79)(vAP 222

141)(23v 222

u4'614

299(r))d(P,

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Se define la distancia del punto

)ppP(p 321 al plano )( de ecuación

0dczbyax , como la distancia

entre el punto P y el punto Q, que es la

proyección de P sobre el plano )( .

Como el vector QP es paralelo a v v·QPcos0º·v·QPvQP

Despejando v

vQPQPd(P

))(, , y como )qp,qp,q(pQP 332211 y c)b,(a,v

222

321321

222

332211

cba

)qcqbq(apcpbpa

cba

c)q(pb)q(pa)q(p))(d(P,

Como Q pertenece al plano )( , verificará la ecuación del plano:

)qcqbq(ad0dqcqbqa 321321 con lo que al sustituir queda:

222

321

cba

dpcpbpa)d(P,

)(

Page 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

6

Ejemplo:

Hallar la distancia del punto 4)1,P(3, al plano )( , de ecuación 0106z5y2x

u4'1

65

33

65

33

65

102456

6)(52

10)(4·6)(1)(·53·2))(d(P,

222

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

La distancia entre dos rectas paralelas

(r) y (s), se define como la distancia que hay

entre un punto P de una de las rectas y la

otra recta.

(s))d(P,(s))d((r),

Ejemplo:

Hallar la distancia entre las rectas 3

z

1

2y

2

1x(r)

y

3

1z

1

y

2

2x(s)

3)1,(2,v

0)2,(1,A

3

z

1

2y

2

1x(r)

3)1,(2,u

1)0,2,(B

3

1z

1

y

2

2x(s)

Las rectas son paralelas ya que los vectores

directores coinciden.

1)2,(3,1)2,0,(0)2,(1,BABA

3)1,(2,u

14312u 222

751)(7)(5uBA1)7,(5,12

23,

32

13,

31

12uBA 222

u2'314

75(s))d((r),

Page 7: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

7

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

La distancia entre dos rectas

(r) y (s) que se cruzan, es la

distancia que existe entre el

plano paralelo a la recta (r) y

que pasa por (s), y el paralelo a

(s) y que pasa por (r).

)vv(vv

)aa(aA(r)

321

321

)uu(uu

)bb(bB(s)

321

321

La distancia “d” entre las dos rectas, es la altura del paralepípedo

Por un lado, el volumen del paralepípedo viene dado por: AB,u,vdetV

, siendo

A y B dos puntos cualesquiera de las rectas (r) y (s), respectivamente.

Por otra parte, el volumen es igual al área de la base por la altura, es decir:

d·uvd·SV

, siendo v y u

los vectores directores de las rectas.

Igualando las dos expresiones del volumen, tenemos: d·uvAB,u,vdet

uv

AB,u,vd(s))((r),d

Ejemplo:

Hallar la distancia entre 2

8z

2

9y

3

3x(r)

y

2

1z

1

2y

2

3x(s)

2)2,(3,v

8)9,3,(A(r)

2)1,2,(u

1)2,(3,B(s) 7)7,(6,8)9,3,(1)2,(3,ABAB

Como 09

2 1 2

223

776

, las rectas (r) y (s) se cruzan

Page 8: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

8

1)2,2,(1 2

23 ,

2 2

23 ,

2 1

22uv

31)(2)(2)(uv 222

u3

3

9

uv

AB,u,v(s))((r),d

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Solo tiene sentido hallar la distancia entre

una recta (r) y un plano )( cuando ambos

son paralelos. En este caso, la distancia es

la que existe desde un punto P cualquiera

de la recta, al plano.

))((P,d))(((r),d

Ejemplo:

Hallar la distancia entre la recta 1

4z

1

7y

2

3x(r)

y el plano de ecuación

0105zy3x )(

Como el producto escalar del vector director de la recta 1)1,2,(v

y el asociado

al plano 5)1,(3,n

vale cero, ambos vectores son perpendiculares, por lo que la recta

(r) y el plano )( , son paralelos.

05·11)(·1)(3·2)(nv

El punto 4)7,P(3, es un punto de la recta (r), por lo que aplicando la fórmula de la

distancia de un punto a un plano, se tiene que:

u1'01

35

6

51)(3

104)(·57)(·1)(3·3)(P,d

222)(

Page 9: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

9

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS

La distancia entre dos planos

paralelos, es la diferencia de las

distancias de cada uno de ellos al

origen de coordenadas.

21 δδδ

0dczbyax )( 1

0dzcybxa )( 2

2221cba

2222cba

222222 cba

d

cba

dδ)d(

)(),( 21

Ejemplo:

Hallar la distancia entre 085zy3x )( 1 y 01210z2y6x )( 2

Como los coeficientes de ambos planos son proporcionales, los planos son paralelos

10

5

2

1

6

3

. Aplicando la fórmula que da la distancia entre dos planos paralelos:

u2'36

140

12

35

8

10)(26)(

12

51)(3

8))(π),((πd

22222221

Page 10: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

10

HACES DE PLANOS EN EL ESPACIO

HAZ DE PLANOS PARALELOS

Al conjunto de todos los planos, que son paralelos a un plano )( 0dczbyax ,

se llama haz de planos paralelos.

Como se sabe, los planos que son paralelos entre sí,

tienen proporcionales los coeficientes de la “x”, la “y”

y la “z”, aunque no lo son sus términos independientes.

Es decir, todos ellos tienen el mismo vector asociado

c)b,(a,n

, aunque diferente término independiente

“d”.

Cualquier plano perteneciente al haz de planos

paralelos al plano )( , se puede expresar de la forma

0dczbyax

siendo “a”, “b” y “c” números fijos y “d” un número que puede tomar cualquier valor.

Ejemplo:

Dado el plano de ecuación )( 065z3y2x , escribir la ecuación del haz de planos

paralelo a él, y calcular de todos ellos, el que pasa por el punto 1)2,A(4, .

La ecuación de todos los planos paralelos al plano )( 065z3y2x es:

0d5z3y2x (haz de planos)

Para calcular el plano de este haz que pasa por el punto 1)2,A(4, , se sustituye el punto

en la ecuación del haz y se calcula el valor de “d”.

3d 0d5680d1)(·52·34·2

El plano buscado es: )( 035z3y2x

Page 11: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

11

HAZ DE PLANOS SECANTES

Al conjunto de todos los planos que contienen a la recta (r), se llama haz de planos secantes.

Dicha recta se llama arista del haz.

Si dos planos )( 1 0dczbyax Y

)( 2 0dzcybxa se cortan según una recta

(r), cualquier otro plan )( , que contenga a (r), se puede

expresar como combinación lineal de )( 1 y )( 2 .

)( 0dzcybxadczbyax )()(

Si dividimos por y hacemos

k , la ecuación del haz queda de la siguiente manera:

)( 0)dzcybxa(kd)czby(ax

Ejemplo:

Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos, cuyo eje es la recta:

023z2yx

09z3y2x r y que pasa:

a) por el punto 3)2,P(3,

b) por el punto 1)3,Q(5,

a) El haz de planos de arista (r) es: 02)3z2yx( k9z3y2x

Para hallar el plano del haz que pasa por el punto 3)2,P(3, , sustituimos las

coordenadas del punto P en la ecuación del haz:

1k 02)943( k936603)3(2·23k(93)(2·33·2 2

Sustituyendo este valor en la ecuación del haz y simplificando queda:

072z5yx 02)3z2yx(9z3y2x

b) Para hallar el plano del haz que pasa por el punto 1)3,Q(5, , hacemos lo mismo que

en anterior apartado, sustituyendo las coordenadas de Q en la ecuación del haz.

ecuación) la verifique que k de real valor ningún hay (no11k·008)k(811

02)365k(9191002)1)3(3·25k(91)(3·35·2

Page 12: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

12

SIMETRÍAS EN EL ESPACIO

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO PUNTO

El simétrico de un punto 𝑨 respecto a otro

punto 𝑪 , llamado centro de simetría, es el

punto 𝑨′ que se calcula teniendo en cuenta

que el punto 𝑪 es el punto medio del

segmento 𝑨𝑨′. Si las coordenadas de los puntos 𝑨 , 𝑨′ y 𝑪 , son: 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑), 𝑨′(𝒂′

𝟏, 𝒂′𝟐, 𝒂

′𝟑) 𝒚 𝑪(𝒄𝟏, 𝒄𝟐, 𝒄𝟑) ,

tenemos que:

𝒄𝟏 =𝒂𝟏 + 𝒂′

𝟏

𝟐

𝒄𝟐 =𝒂𝟐 + 𝒂′

𝟐

𝟐

𝒄𝟑 =𝒂𝟑 + 𝒂′

𝟑

𝟐

𝟐𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒂′𝟏

𝟐𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒂′𝟐

𝟐𝒄𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒂′𝟑

𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏

𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐

𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA

Para calcular el punto 𝑨′, simétrico del punto 𝑨

respecto de la recta (𝑟) , se dan los siguientes pasos:

1) Se calcula la ecuación del plano (𝝅) perpendicular

a la recta (𝒓) y que contiene al punto 𝑨 .

2) Se calculan las coordenadas del punto 𝑪 como

intersección de la recta (𝒓) dada y el plano (𝝅)

calculado.

3) Se calculan las coordenadas del punto 𝑨′ como

simétrico del punto 𝑨 respecto de 𝑪 .

𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏

𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐

𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑

El punto 𝑪 es la proyección ortogonal del punto 𝑨 sobre la recta (𝒓)

Page 13: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

13

Ejemplo.

Hallar las coordenadas del punto simétrico del punto 𝑨(−𝟒,−𝟐, 𝟏) respecto de la recta de ecuación:

(𝒓) 𝒙 − 𝟏

𝟏=

𝒚 − 𝟐

𝟐=

𝒛

𝟏 ⟹ (𝒓) {

𝒙 = 𝟏 + 𝒕

𝒚 = 𝟐 + 𝟐𝒕

𝒛 = 𝒕

1) El plano (𝝅) perpendicular a la recta (𝒓) , tiene como vector asociado al vector director de la

recta.

(𝒓) 𝒙 − 𝟏

𝟏=

𝒚 − 𝟐

𝟐=

𝒛

𝟏 ⟹ �⃗� (𝟏, 𝟐, 𝟏)

Por lo tanto 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝟏 · 𝒙 + 𝟐 · 𝒚 + 𝟏 · 𝒛 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝒅 = 𝟎 Como el punto 𝑨(−𝟒,−𝟐, 𝟏) está contenido en el plano (𝝅) , tendrá que verificar su ecuación:

−𝟒 + 𝟐 · (−𝟐) + 𝟏 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ −𝟕 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝒅 = 𝟕

(𝝅) ≡ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟕 = 𝟎 2) La intersección de la recta (𝒓) y el plano (𝝅) calculado, es el punto 𝑪 (centro de simetría).

{

(𝝅) 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟕 = 𝟎

(𝒓) {𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒚 = 𝟐 + 𝟐𝒕

𝒛 = 𝒕

⟹ (𝟏 + 𝒕) + 𝟐 · (𝟐 + 𝟐𝒕) + 𝒕 + 𝟕 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒕 = −𝟏𝟐 ⟹ 𝒕 = −𝟐

Las coordenadas del punto 𝑪 son: {𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒚 = 𝟐 + 𝟐𝒕

𝒛 = 𝒕 ⟹ {

𝒙 = 𝟏 + (−𝟐) = −𝟏𝒚 = 𝟐 + 𝟐 · (−𝟐) = −𝟐

𝒛 = −𝟐

⟹ 𝑪(−𝟏,−𝟐,−𝟐)

3) Las coordenadas del punto simétrico de 𝑨 respecto de 𝑪 son:

𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏 = 𝟐 · (−𝟏) − (−𝟒) = 𝟐

𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 = 𝟐 · (−𝟐) − (−𝟐) = −𝟐

𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑 = 𝟐 · (−𝟐) − 𝟏 = −𝟓

⟹ 𝑨′(𝟐,−𝟐,−𝟓)

Page 14: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

14

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO

Para calcular el punto 𝑨′, simétrico del punto

𝑨 respecto del plano (𝝅) , se dan

los siguientes pasos:

1) Se calcula la ecuación de la recta (𝒓)

perpendicular al plano (𝝅) y que pasa por

el punto 𝑨 .

2) Se calculan las coordenadas del punto 𝑪

como intersección de la recta (𝒓)

calculada y el plano (𝝅) dado.

3) Se calculan las coordenadas del punto 𝑨′

como simétrico del punto 𝑨 respecto de 𝑪 .

𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏

𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐

𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑

El punto 𝑪 es la proyección ortogonal del punto 𝑨 sobre el plano (𝝅)

Ejemplo.

Hallar el punto simétrico del punto 𝑨(𝟐, 𝟑, 𝟐) respecto al plano (𝝅) ≡ 𝒙 − 𝟐𝒛 − 𝟑 = 𝟎

1) La recta (𝒓) pasa por el punto 𝑨(𝟐, 𝟑, 𝟐) y tiene como vector director al asociado al plano

(𝝅) , es decir, el vector director es �⃗⃗� (𝟏, 𝟎, −𝟐).

(𝒓)(𝑨, �⃗⃗� ) ⟹ {𝒙 = 𝟐 + 𝒕

𝒚 = 𝟑𝒛 = 𝟐 − 𝟐𝒕

2) El punto 𝑪 (centro de simetría), es la intersección de la recta calculada con el plano dado.

{

(𝝅) 𝒙 − 𝟐𝒛 − 𝟑 = 𝟎

(𝒓) {𝒙 = 𝟐 + 𝒕

𝒚 = 𝟑𝒛 = 𝟐 − 𝟐𝒕

⟹ 𝟐 + 𝒕 − 𝟐 · (𝟐 − 𝟐𝒕) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒕 = 𝟒 ⟹ 𝒕 = 𝟏 ⟹ 𝑪(𝟑, 𝟑, 𝟎)

3) Las coordenadas de 𝑨′, son:

𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏 = 𝟐 · 𝟑 − 𝟐 = 𝟒

𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 = 𝟐 · 𝟑 − 𝟑 = 𝟑

𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑 = 𝟐 · 𝟎 − 𝟐 = −𝟐

⟹ 𝑨′(𝟒, 𝟑,−𝟐)

Page 15: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO … GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS) ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS …

15