geometría Ángulos - njctlcontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/...2015/09/06 ·...

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New Jersey Center for Teaching and Learning

Iniciativa de Matemática Progres iva®

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Geometría

Ángulos

www.njctl.org

2015-06-16

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Tabla de contenidos click sobre el tema para ir a la sección

Bisectrices y Construcciones

Bisectrices

Preguntas PARCC

Ángulos

Ángulos congruentes

Transportadores

Ángulos y Postulado de la suma de ángulos

Pares especiales de ángulosDemostraciones de ángulos especiales

Locus y construcciones angulares

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Tabla de Contenidos para videos de demostraciones de

construcciones

Bisectrices


click sobre el tema para ir a ese video

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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

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Ángulos

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A

B C

x

Ángulos

Cuando sea que semirrectas o segmentos se

intersequen en un plano, formarán un

ángulo.

Definición 8: un ángulo es la inclinación entre sí de dos rectas en un plano que se encuentran entre sí y no se encuentran en una línea recta

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A

B C

x

Ángulos

La medida del ángulo es la cantidad que una recta, una semirrecta o un segmento necesitaría rotar a fin de superponerse

con el otro.

En este caso, la semirrecta BA tendría que rotar a lo largo del ángulo x a fin de superponerse con la semirrecta BC.

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A

B C

x

Ángulos

En este curso, los ángulos serán medidos en grados, con el símbolo º.

Rotar la semirrecta BA alrededor de la semirrecta BC, y volver a la misma semirrecta representaría un ángulo de 360º

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Medición de ángulos en grados

El uso de 360 grados para representar una rotación completa volviendo a la posición originaria es arbitrario

360º

Se podría usar cualquier número, pero 360 grados para una rotación se ha convertido

en estándar.

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Se piensa que el uso del 360 para una rotación completa proviene de la antigua Babilonia, en donde se usaba un sistema numéricao

basado en 60.

Su sistema numérico podría también vincularse al hecho de que hay 365 días en un año lo cuál es muy cercano a 360.

360 es un número mucho más fácil para trabajar con él que con 365 ya que se puede dividir por muchos números sin resto.

Incluídos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12.

Medición de ángulos en grados

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Definición 10: Cuando se ubica una recta vertical sobre una línea recta se forman ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto, y se dice que la línea recta vertical es perpendicular a aquella sobre la cuál se asienta.

Ángulos rectos

A

Bxx

CD

La única forma en la que dos rectas pueden intersecarse como se muestra y formar ángulos adyacentes iguales, de modo que los ángulos mostrados aquí donde m∠ ABC = m∠ ABD, es si ellos son ángulos rectos, es decir que miden 90º.

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Cuarto postulado: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Ángulos rectos

A

Bxºxº

CD

No sólo son ángulos rectos adyacentes iguales entre sí como se muestra abajo, todos los ángulos rectos son iguales, incluso si no son adyacentes, por ejemplo, los tres ángulos rectos mostrados

abajo son iguales entre sí.

A

B C90º

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A

B C90º

Esta definición no ha cambiado actualmente y te debería ser familiar. Las rectas, segmentos o semirrectas perpendiculares forman ángulos

rectos.

Si se cortan rectas para formar ángulos adyacentes iguales,

entonces son perpendiculares y la medida de los ángulos formados es

90º.

Cuando se encuentran rectas perpendiculares, forman ángulos adyacentes iguales y su medida es 90º.

Ángulos rectos

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A

B C

Aquí hay un indicador especial de ángulos rectos.

En este caso se muestra en rojo para reconocerlo más

fácilmente.

Ángulos rectos

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Definición 11: Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.

Ángulos obtusos

A

B C135º

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Definición 12: Un ángulo agudo es un ángulo menor a un ángulo recto.

Ángulos agudos

A

B C45º

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A B C

Una definición que no necesitamos usar en Los Elementos es la de "ángulo llano". Es el ángulo de una línea recta.

Ángulo llano

2 preguntas para discutir con un compañero:

¿Es un ángulo agudo u obtuso? Explica por qué.

¿Cuál es la medida en grados del ángulo?

Res

pues

ta

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Otra definición moderna que no fue usada en Los Elementos es la de "angulo reflejo". Este es el ángulo que es mayor que 180º.

Ángulo reflejo

B C

A

235º

También es un tipo de ángulo obtuso.

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Ángulos

En las siguientes diapositivas usaremos los respondedores para revisar los nombres de ángulos a partir de mostrar ángulos desde

0º a 360º aumentando de a 45º

Los ángulos pueden ser de cualquier tamaño, no sólo aumentando de a 45º, pero esto es sólo para dar una idea que como se ve un

giro completo.

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1 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican

A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano

AB C

0º

Res

pues

ta

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2 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.

A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano

A

45ºB C

Res

pues

ta

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3 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican.

A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano

A

B C90º

Res

pues

ta

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4 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican.

A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano

A

B C135º

Res

pues

ta

/ 190


A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano

A B C180º R

espu

esta

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6 Este es un ejemplo de un ángulo_______ . Elige todas las que aplican.

A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano

B C235º

A

Res

pues

ta

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A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano A

B270º

C

Res

pues

ta

Slide 28 / 190


A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llanoA

B

C315º

Res

pues

ta

Slide 29 / 190


A agudo

B obtuso

C recto

D reflejo

E llano

AB C

360º Res

pues

ta

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Nombrando ángulos

A

B Cθ

lado

ladovértice

Un ángulo tiene tres partes, dos lados y un vértice que es donde los lados se encuentran.

En este ejemplo, los lados son las semirrectas BA y BC

y el vértice es B.

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Interior de los ángulos

θ

A

InteriorExterior

B C

Cualquier ángulo con una medida de menos de 180º tiene un exterior y un interior como se muestra abajo.

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Nombrando ángulos

A

B Cθ

lado

ladovértice

· por su vértice (B en el ejemplo de abajo)

· por un punto en su lado, su vértice y un punto sobre el otro lado (o ABC o CBA en el ejemplo de abajo)

· O por un número o por un símbolo ubicado dentro del ángulo (ej., letra griega θ, en la figura)

Un ángulo puede ser nombrado en tres diferentes maneras:

Slide 33 / 190

AB

32°

C

La medida del ∠ABC es 32 grados, esto puede ser reescrito como m∠ABC = 32º.

Al ángulo mostrado abajo se lo puede llamar ∠ABC , ∠CBA, ó ∠B.

Cuando no hay lugar a confusión, el ángulo podría también ser identificado por

su vértice B.

Los lados de ∠ABCson las semirrectas BC

y BA

Nombrando ángulos

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Nombrando ángulos

Usar el vértice para nombrar un ángulo no funciona en algunos casos. ¿Por qué sería no muy claro usar el

vértice para nombrar al ángulo en la imagen de abajo?

¿Cuántos ángulos cuentas en la

imagen?

A

α

D

θ

B C

Res

pues

ta

Slide 35 / 190

A

α

D

θ

B C

Nombrando ángulos

¿Cómo podrías nombrar aquellos 3 ángulos usando las letras ubicadas dentro de los ángulos?

¿De qué otras maneras podrías nombrar ∠ABC, ∠ABD y ∠DBC en el caso de abajo? (usando el lado - vértice - método de los lados)

Res

pues

ta

Slide 36 / 190

A

B C

θ

Rectas que se cortan forman ángulos

Cuando se forma un ángulo a partir de dos semirrectas o dos segmentos que comparten un vértice, se forma un ángulo

incluido. Se lo muestra como θ en el diagrama de la izquierda.

Cuando dos rectas se intersecan, se forman 4 ángulos, se los numera como en el diagrama de abajo a la derecha.

1

3 4

2

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A

B C

θ

Estos números usados no tienen un significado especial, sólo muestran los 4 ángulos. Cuando semirrectas o segmentos se intersecan pero no tienen un vértice común, también forman 4

ángulos.

1

3 4

2

Rectas que se cortan forman ángulos

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10 Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

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11 Un ángulo que mide 90º __________ es un ángulo recto.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

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12 Un ángulo que es menor a 90 grados___________ es obtuso.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

Slide 41 / 190

13 Un ángulo que es mayor que 180 grados se lo conoce _______ como un ángulo reflejo.

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

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Ángulos Congruentes


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Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes.

Congruencia

a

bTambién, todos los segmentos de igual

longitud son congruentes.

¿Estos segmentos son congruentes?

Explica tu respuesta.

Slide 44 / 190

¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes?

¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser congruentes?

Congruencia

A

B C

D

E

F

Slide 45 / 190

Si dos ángulos tienen la misma medida, son congruentes ya que pueden ser rotados y movidos para superponerse en cada punto.

Congruencia

A

B C

D

E F

Slide 46 / 190

Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto.

Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.

Congruencia

A

B C D E

F¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu

respuesta.

Slide 47 / 190

Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto.

Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.

Congruencia

A

B C

D

E F

Aquí puedes ver claramente cuando

rotamos los dos ángulos de la

diapositiva anterior, no tienen la misma

medida.

Slide 48 / 190

A

B C

xº

D

xº


Una manera para indicar que dos ángulos tienen igual medida es nombrarlos con la misma variable.

Por ejemplo, nombrando ambos de esos ángulos con xº indicamos que tienen igual medida.

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Otra manera de mostrar que los ángulos son congruentes es marcar el ángulo con una recta. Si hay 2 conjuntos iguales de

ángulos, el segundo conjunto podría ser marcado con dos rectas.

A

B C

D

E

F


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14 ¿El ∠B es congruente al ∠E ?

Sí

A

B C

D

E

F

No Res

pues

ta

Slide 51 / 190

15 Los ángulos congruentes ___________ tienen igual medida

A Siempre

B Algunas veces

C Nunca

Res

pues

ta

Slide 52 / 190

16 El ∠A y el∠B son ______.

A Congruentes

B No Congruentes

C No se puede determinar

A

B

Res

pues

ta

Slide 53 / 190

17 El ∠E y el ∠F son _______.

A Congruentes

B No Congruentes


E

F

Res

pues

ta

Slide 54 / 190

18 El ∠C y el ∠D son congruentes.

A Verdadero

B Falso


D

C

Res

pues

ta

/ 190

19 El ∠C y el ∠D son congruentes

Verdadero

C

D

Falso

Res

pues

ta

Slide 56 / 190


Ángulos y Postulado de la Suma de

Ángulos

Slide 57 / 190

A

B C

D

Ángulos adyacentes

Los ángulos adyacentes comparten un vértice y un lado.

Los dos ángulos están lado a lado o adyacentes.

En este caso, el ángulo DBA es adyacente al ángulo ABC.

Slide 58 / 190

A

B C

DEl postulado de la suma de ángulos dice que la suma

de las medidas de los ángulos adyacentes forma

la medida del ángulo formado por sus

semirrectas exteriores.

Postulado de la Suma de Ángulos

En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

Slide 59 / 190

A

B C

D

Además, dice que si cualquier punto descansa en el interior de un ángulo, entonces la semirrecta conectando ese punto al vértice, forma dos ángulos adyacentes cuya suma es la del ángulo original.

Si A descansa en el interior del ángulo DBC entoncesm∠DBA + m∠ABC = m∠DBC

Postulado de la Suma de Ángulos

Lo cual da el mismo resultado que teníamos antes.

m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

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32°

26°

P

S

RQ

m∠PQS = 32°m∠SQR = 26°

¿Cuál es la medida del ∠PQR?

Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos

Res

pues

ta

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B

A

J(7x+11)°

(15x+24)°

N

A está en el interior de ∠BNJ.

Si m∠ANJ = (7x +11)°,

m∠ANB = (15x + 24)°,

y m∠BNJ = (9x + 204)°.

Resuelve para x.

Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos

Res

pues

ta

Slide 62 / 190

20 Dados m∠ ABC = 22° y m∠ DBC = 46°.

Calcula m∠ ABD.

BA

C

D

22°

46°

Res

pues

ta

Slide 63 / 190

21 Dados m∠OLM = 64° y m∠OLN = 53°. Calcula m∠ NLM.

A 28

B 15

C 11

D 117

64°

53°

O

LM

N

Res

pues

ta

Slide 64 / 190

22 Dados m∠ ABD = 95° y m∠ CBA = 48°.

Calcula m∠ DBC.

95°

48°

A

B D

C

Res

pues

ta

Slide 65 / 190

23 Dados m∠ KLJ = 145° y m∠ KLH = 61°.

Calcula m∠ HLJ.

61°

145°

K

H

JL

Res

pues

ta

Slide 66 / 190

24 Dados m∠ TRS = 61° y m∠ SRQ = 153°.

Calcula m∠QRT.

S

R

Q

T

61°

153°

Res

pues

ta

/ 190

25 C está en el interior de ∠ TUV.

Si m∠ TUV = (10x + 72)⁰,

m∠ TUC = (14x + 18)⁰ y

m∠CUV = (9x + 2)⁰

Resuelve para x. Res

pues

ta

Slide 68 / 190

26 D está en el interior de ∠ ABC.

Si m∠CBA = (11x + 66)⁰,

m∠DBA = (5x + 3)⁰ y

m∠CBD= (13x + 7)⁰

Resuelve para x.

Res

pues

ta

Slide 69 / 190

27 F está en el interior de ∠DQP.

m∠DQP = (3x + 44)⁰

m∠FQP = (8x + 3)⁰

m∠DQF= (5x + 1)⁰

Resuelve para x.

Res

pues

ta

Slide 70 / 190

28 En base a la figura, ¿cuál de las afirmaciones individuales proveerían suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p?

Selecciona todas las que aplican.

A m∠2 = 90° B m∠ 6 = 90° C m∠3 = m∠6

D m∠1 + m∠6 = 90° E m∠3 + m∠4 = 90° F m∠4 + m∠5 = 90°

no está hecho a escala

r n

p

12

345

6

La figura muestra las rectas r, n, and p intersecándose para formar ángulos numerados como 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Todas las rectas están en el mismo plano.

Pregunta 2/25

From EOY PARCC sample test

Res

pues

ta

Slide 71 / 190

Transportadores


Slide 72 / 190

Transportadores

Los ángulos se miden en grados usando un transportador.

Cada ángulo tiene una medida que va de 0 a 180 degrees.

Se puede dibujar ángulos de cualquier tamaño.

http://epat-parcc.testnav.com/client/index.html#tests

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/ 190

A

B C

La medida del ∠ABC es 23° grados

∠ABC es un ángulo de 23° grados

Transportadores

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B C

D

∠DBC es un ángulo de 118° .La medida del ∠DBC es 118°.

Transportadores

Slide 75 / 190

A partir de nuestros resultados anteriores sabemos que m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.

De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?

B C

D

A

Transportadores

Slide 76 / 190

Sin aquellos primeros resultados, podríamos leer en el transportador el valor de 118° y 23° obtener la medida del ángulo incluido 95°.

B C

D

A

Transportadores

Slide 77 / 190

29 ¿Cuál es la m del ∠CJD?

A 39°

B 54°

C 130°

D 180°

J

D

E

F

G

HC

Res

pues

ta

Slide 78 / 190

J

D

E

F

G

HC

30 ¿Cuál es la m del ∠CJG

A 39°

B 54°

C 130°

D 180°

Res

pues

ta

/ 190

31 ¿Cuál es la m del∠DJE?

A 141°

B 54°

C 39°

D 15°

J

D

E

F

G

HC

Res

pues

ta

Slide 80 / 190

32 ¿Cuál es la m del ∠EJG?

A 54°

B 76°

C 90°

D 130°

J

D

E

F

G

HC

Res

pues

ta

Slide 81 / 190

33 ¿Cuál es la m del ∠DJF?

A 39°

B 51°

C 90°

D 141°

J

D

E

F

G

HC

Res

pues

ta

Slide 82 / 190

J

K

LM

N

OP

34 m∠ PJK =

Res

pues

ta

Slide 83 / 190

35 m∠ PJM =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

Slide 84 / 190

36 m∠ PJO =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

/ 190

37 m∠ PJL =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

Slide 86 / 190

38 m∠ PJN =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

Slide 87 / 190

39 m∠NJM =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

Slide 88 / 190

40 m∠MJL =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

Slide 89 / 190

41 m∠ LJK =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

Slide 90 / 190

42 m∠NJK =

J

K

LM

N

OP

Res

pues

ta

/ 190

Pares Especiales de Ángulos


Slide 92 / 190

Ángulos Complementarios

Los ángulos complementarios son ángulos cuya suma mide 90º.

Se dice que un ángulo tal es complementario al otro.

Podrían ser adyacentes, pero no es necesario.

25o65o

25o

65oComplementarios Adyacentes

Complementarios no adyacentes

Slide 93 / 190

A

B C

D

Los ángulos adyacentes complementarios formar un ángulo recto.

El ángulo ABD y el ángulo DBC son complementarios ya que forman el ángulo ABC, que es un ángulo recto.

Ángulos Complementarios

Slide 94 / 190

43 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 72°?

Res

pues

ta

Slide 95 / 190

44 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 28°?

Res

pues

ta

Slide 96 / 190

Ejemplo

Llamamos x = ángulo pequeño; llamamos = 2x al ángulo más grande

Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande tiene dos veces la medida del ángulo

más pequeño. ¿Cuál es la medida de ambos ángulos? Res

pues

ta

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/ 190

45 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.

¿Cuál es su medida?

Res

pues

ta

Slide 98 / 190

46 Un ángulo tiene 14° que su complementario.

¿Cuál es la medida del ángulo?

Res

pues

ta

Slide 99 / 190

Ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios son ángulos cuya suma mide 180º.

Los ángulos suplementarios pueden ser adyacentes, pero no necesariamente.

Se dice que un ángulo es suplementario al otro.

25o155o

Suplementarios adyacentes

también conocidos como. Par lineal

25o

155o

Suplementarios no adyacentes

Slide 100 / 190

A B C

D

Dos ángulos cualquiera que o llano son suplementarios.

O, dos ángulos adyacentes cuyos lados exteriores sean semirrectas opuestas son suplementarios.

Si el ángulo ABC es un ángulo llano, su medida es 180°.

Entonces el ángulo ABD y el ángulo DBC son suplementarios ya que la suma de sus medidas es 180°.

Ángulos suplementarios

Slide 101 / 190

Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios

Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. :- Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y suplementarios significa que sumandos dan 180º- Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .

C SAgregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º

Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º

Slide 102 / 190

47 ¿Cuál es el suplementario del ángulo cuya medida es 72°?

Res

pues

ta

/ 190

48 ¿Cuál es el suplementario de un ángulo cuya medida es 28°?

Res

pues

ta

Slide 104 / 190

49 Lo medida de un ángulo es 98° más que su suplementario.


Res

pues

ta

Slide 105 / 190

50 La medida de un ángulo es 74° menos que su suplementario


Res

pues

ta

Slide 106 / 190

51 La medida de un ángulo es 26° más que su suplementario.


Res

pues

ta

Slide 107 / 190

Ángulos opuestos por el vértice (verticales)

Los ángulos verticales son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de semirrectas opuestas.

Donde sea que dos rectas se corten, se forman dos pares de ángulos verticales.

∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales y ∠ABE & ∠CBD son ángulos verticales.

A

B C

D

E

Slide 108 / 190

Ángulos verticales

C

D

∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales

∠ABE y ∠CBD son ángulos verticales.

C

D

A

E B

A

E B

/ 190

Podemos demostrar importantes propiedades sobre esos tres casos especiales: ángulos que son complementarios, ángulos que son suplementariosy ángulos verticales.

La demostración usa dos columnas, una columna hace una afirmación y la columna siguiente provee la razón.Debajo hay una demostración con formato 2 columnas usadas para calcular el valor de x en el diagrama de la derecha.

Vamos a usar mucho las demostraciones, de manera que vamos a usar el formato como ese ejemplo para demostrar los tres teoremas.

(Ver la siguiente diapositiva.)

DA

BC

(11x + 66)⁰

(5x +

3)⁰

(13x + 7)⁰

Ángulos verticales

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DA

BC

(11x + 66)⁰

(5x +

3)⁰

(13x + 7)⁰

Afirmaciones Razones 1) m∠ABD = (5x + 3)° m∠DBC = (13x + 7)° m∠ABC = (11x + 66)°

1) Dadas

2) m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC

2) Postulado Suma de Ángulos

3) 5x + 3 + 13x + 7 = 11x + 66

3) Sustitución Propiedad de igualdad

4) 18x + 10 = 11x + 66 4) Combinar términos semejantes/Simplificar

5) 7x + 10 = 66 5) Resta Propiedad de igualdad

6) 7x = 56 6) Resta Propiedad de igualdad

7) x = 8 7) División Propiedad de igualdad

Demostración de Ángulos verticales

Slide 111 / 190

Demostraciones

Ángulos especiales


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Demostraciones de dos columnas

Las demostraciones comienzan con un objetivo: aquello que estamos intentando demostrar.

No son exploraciones abiertas-cerradas, pero están directamente dirigidas a un fin específico.

Conocemos la última afirmación de cada prueba cuando comenzamos esto es lo que estamos intentando probar.

No conocemos la razón por anticipado.

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Teorema de los Complementos Congruentes

Teorema: Los ángulos que son complementarios al mismo ángulo son iguales.

Dados: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios

Demostración: m∠2 = m∠3

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Teorema: Los ángulos complementarios al mismo ángulo son iguales.

Afirmación 1 Los ángulos 1 y 2 son complementariosLos ángulos 1 y 3 son complementarios

¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?

Razón 1Dado

page20svg

/ 190


Razón 2Definición de ángulos complementarios

Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90m∠1 + m∠3 = 90

Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.

Slide 116 / 190

Razón 3Sustitución propiedad de igualdad

Afirmación 3m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3

¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?


Slide 117 / 190

Razón 4Resta propiedad de igualdad

Afirmación 4 m∠2 = m∠3

¿Qué podemos hacer establecer la demostración?


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Afirmación Razón

Los ángulos 1 y 2 son complementariosLos ángulos 1 y 3 son complementarios

Dado

m∠ 1 + m∠ 2 = 90m∠ 1 + m∠ 3 = 90

Definición de ángulos complementarios

m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3 Sustitución Propiedad de igualdad

m∠ 2 = m∠ 3 Resta propiedad de igualdad

Teorema de los Complementos CongruentesDado: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios

Prueba: m∠2 = m∠3

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Teorema de los suplementarios congruentes

Teorema: Los ángulos que son suplementarios al mismo ángulo son iguales

Dado: Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios


Esta es por tanto la última prueba que vamos a hacer a partir de la que examinaremos la prueba total.

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Afirmación Razón

Los ángulos 1 y 2 son suplementariosLos ángulos 1 y 3 son suplementarios

Dadps

m∠ 1 + m∠ 2 = 180m∠ 1 + m∠ 3 = 180

Definición de ángulos suplementarios

m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3 Sustitución propiedad de igualdad

m∠ 2 = m∠ 3 Resta propiedad de igualdad

Dado: Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios


Teorema de los suplementarios congruentes

/ 190

Teorema de los ángulos verticales

Los ángulos verticales tienen igual medida

Dado: recta AD y recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. Probar: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4

2134

A

B C

D

E

Slide 122 / 190


La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual hace a esta situación única.

En este caso, es sólo lo dado

2134

A

B C

D

E

Slide 123 / 190


Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4

Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también

∠ 2 y ∠ 4¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda

ayudarnos con ellos?

Razón 1Dado

2134

A

B C

D

E

Slide 124 / 190

52 Sabemos que los ángulos _____________.

A ∠1 y ∠4 son suplementariosB ∠1 y ∠2 son suplementariosC ∠2 y ∠3 son suplementariosD ∠3 y ∠4 son suplementariosE Todos los de arriba

2134

A

B C

D

E

Res

pues

ta

Slide 125 / 190


Razón 2

Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios∠2 y ∠3 son suplementarios∠3 y ∠4 son suplementarios

¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?

2134

A

B C

D

E

Slide 126 / 190


Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.

2134

A

B C

D

E

Razón 2


Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios∠2 y ∠3 son suplementarios∠3 y ∠4 son suplementarios

/ 190


Razón 3

Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Pero aquellos son los pares de ángulos verticales que nos disponemos a probar que son iguales.

De manera que, nuestra prueba terminó: los ángulos verticales son iguales.

Afirmación 3

m∠1 = m∠3m∠2 = m∠4

2134

A

B C

D

E

Slide 128 / 190

Afirmación Razón

La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4.

Dado

∠ 1 y ∠ 2 son suplementarios∠ 1 y ∠ 4 son suplementarios∠ 2 y ∠ 3 son suplementarios∠ 3 y ∠ 4 son suplementarios


m∠ 1 = m∠ 3 y m∠ 2 = m∠ 4 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Teorema de los ángulos verticalesDado: AD y EC son ángulos horizontales que se cortan en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4

Prueba: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4

2134

A

B C

D

E

Slide 129 / 190


Hemos demostrado que los ángulos verticales son congruentes.

Esto se convierte en un teorema que podemos usar en pruebas futuras.

También podemos resolver problemas con él.

Slide 130 / 190

Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z.

Ángulos verticales

C

A

B

D

E55o

yo zo

xo

Slide 131 / 190

Dado: m∠ABC = 55°

Ángulos verticales

Sabemos que x + 55 = 180°, ya que son suplementariosY que y = 55°, ya que son ángulos verticales.y que x = z por la misma razón.

C

A

B

D

E55o

55o 125o

125o

Slide 132 / 190

Ejemplo

Calcula m∠1, m∠2 y m∠3. Explica tu respuesta

m∠2 = 36°; Los ángulos verticales son congruentes (ángulo original y m∠2)m∠3 = 144°; Los ángulos verticales son congruentes (m∠1 y m∠3)

36 + m∠1 = 180m∠1 = 144°Los pares de ángulos lineales son suplementarios

36o 123

/ 190

53 ¿Cuánto mide el ángulo 1?

A 77°B 103°C 113°D ninguno de los de

arriba77°1

2 3

Res

pues

ta

Slide 134 / 190



arriba77°1

2 3

Res

pues

ta

Slide 135 / 190



arriba 77°12 3

Res

pues

ta

Slide 136 / 190



arriba

112°46 5

Res

pues

ta

D) medida del ángulo 4 = 68o

BSlide 137 / 190



arriba

112°46 5

Res

pues

ta

Slide 138 / 190

58 ¿Cuál es la m∠6?


arriba

112°46 5

Res

pues

ta

/ 190

Ejemplo

Calcula el valor de x Los ángulos mostrados son verticales de manera que son congruentes.

(13x + 16)°

(14x + 7)°

Res

pues

ta

Slide 140 / 190

Ejemplo

Calcula el valor de x. Los ángulos mostrados son suplementarios

(3x + 17)°(2x + 8)° Res

pues

ta

Slide 141 / 190

59 Calcula el valor de x

A 95B 50C 45D 40

(2x - 5)o85o

Res

pues

ta

Slide 142 / 190

60 Calcula el valor de x

A 75B 17C 13D 12

(6x + 3)o

75o

Res

pues

ta

Slide 143 / 190

61 Calcula el valor de x.

A 13.1B 14C 15D 122

(9x - 4)o

122o

Res

pues

ta

Slide 144 / 190

62 Calculal el valor de x.

A 12B 13C 42D 138

(7x + 54)o 42o

Res

pues

ta

/ 190

Bisectrices


Slide 146 / 190

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta o recta que comienza en el vértice y corta a un ángulo en dos mitades iguales

Bisectar significa cortar en dos partes iguales. La "bisectriz" es la cosa que corta.

La bisectriz de un ángulo es equidistante desde los lados del ángulo medido a lo largo de un segmento perpendicular a los lados del

ángulo.

A

B C

X

La semirrecta BX bisecta al ∠ABC

Slide 147 / 190

A

B C

D

52°

Calculando la medida que falta

Ejemplo: el ∠ABC es bisectado por la semirrecta BD. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.

Res

pues

ta

Slide 148 / 190

63 El ∠ EFG es bisectado por FH. La m∠ EFG = 56º. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.

H

F G

E

56o Res

pues

ta

Slide 149 / 190

64 MO bisecta a ∠LMN. Calcula el valor de x.

L

M

N

(3x - 20)o

(x + 10)o

O

Res

pues

ta

Slide 150 / 190

65 La semirrecta NP bisecta a ∠MNO Dado que m∠MNP = 57°, ¿cuál es la m∠MNO?

Pista:

¿Qué significa bisectar?Dibuja y coloca nombres a la imagen

click para revelar R

espu

esta

page20svg

/ 190

66 La semirrecta RT bisecta a ∠QRS. Dado que m∠QRT = 78°, ¿cuál es la m∠QRS?

Res

pues

ta

Slide 152 / 190

67 La semirrecta VY bisecta a ∠UVW. Dado que m∠UVW = 165o, ¿cuál es la m∠UVY?

Res

pues

ta

Slide 153 / 190

D

B

A

(11x - 25)o

(7x + 3)o

C

68 La semirrecta BD bisecta a ∠ABC. Calcula el valor de x.

Res

pues

ta

Slide 154 / 190

H

F

E

(3x + 49)o

(9x - 17)o

G

69 La semirrecta FH bisecta a ∠EFG. Calcula el valor de x.

Res

pues

ta

Slide 155 / 190

I

J

L

(12x - 19)o

(7x + 1)o

K

70 La semirrecta JL bisecta a ∠IJK. Calcula el valor de x.

Res

pues

ta

Slide 156 / 190

Locusy

Constructiones de ángulos


page20svg

/ 190

Nuestro enfoque estará basado en la idea que la medida de un ángulo es cuánto habríamos rotado una semirrecta para superponerla con la otra.

Cuanto más grande la medida de un ángulo, más separadas ellas están a medida que las mueves desde el vértice.

Dado: ∠FGHConstruye: ∠ABC de modo que ∠ABC ≅ ∠FGH

F

GH

Construcción de ángulos congruentes

Slide 158 / 190

De modo que, si salimos una distancia fijada desde el vértice sobre ambas semirrectas y dibujamos puntos ahí, la distancia en que aquellos puntos se apartan uno del otro define la medida del ángulo.

A mayor distancia, mayor la medida del ángulo.

Si construimos otro ángulo cuyas semirrectas están separadas a la misma distancia desde el vértice, este será congruente al primer ángulo.

F

GH


Slide 159 / 190

1. Dibuja una recta de referencia con el lado horizontal. Ubica un punto de referencia (B) para indicar donde la nueva semirreca comenzará sobre la recta.

F

GH B


Slide 160 / 190

2. Ubica la punta del compás sobre el vértice G y ábrelo para cualquier longitud siempre y cuando el arco trazado corte ambas semirrectas.

3. Dibuja un arco que corte ambas semirrectas del ∠FGH.

(Esto define una distancia común desde el vértice en ambas semirrectas ya que el arco es parte de un círculo y todos sus puntos son equidistantes desde el centro del círculo)

F

G H B


Slide 161 / 190


4. Sin cambiar la extensión del compás, ubica la punta del compás en el punto de referencia B y mueve un arco de vaya desde la recta y por encima de él.

(Esto define igual distancia desde el vértice sobre ambas, nuestra semirrecta de referencia y la semirrecta que usábamos para el ángulo original).

F

G H B

Slide 162 / 190

5. Ahora ubicaremos nuestro compás donde el arco corta una semirrecta del ángulo original y lo fijaremos de modo que se pueda dibujar un arco donde se cruza con la otra semirrecta. (Esto define cuán apartadas están las semirrectas a esa distancia desde el vértice)


F

G H B

/ 190

6. Sin cambiar la apertura del compás ubica la punta del compás donde el primer arco cruza a la primera semirrecta y dibuja un arco que corta al arco sobre la semirrecta.

(Esto hará la separación entre las seirrectas igual a la misma distancia desde el nuevo vérticce coo era el caso para el ángulo original)


F

G H B

Slide 164 / 190

6. Ahora usa tu lado horizontal para dibujar la segunda semirrecta del nuevo ángulo que es congruente con el primer ángulo.


F

G H

A

CB

Slide 165 / 190

Debería estar claro que esos dos ángulos son congruentes. La semirrecta FG tendría que ser rotada la misma cantidad para superponerse con la semirrecta GH que la semirrecta AB para superponerse con la semirrecta BC.

Observa que donde ubicamos el punto no es relevante, sólo la forma del ángulo indica congruencia.


F

G H

A

CB

Slide 166 / 190


A

CB

F

G H

Podemos confirmar poniendo un sobre el otro.

Slide 167 / 190

Intenta ésto!

Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado.

1)

A

B

P Q

R

Not

as p

ara

el

prof

esor

Slide 168 / 190

EC

L

KJ

Intenta ésto!

Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado.

2)

/ 190

Video demostrativo de construcción de ángulos congruentes usando el Software

de Geometría dinámica

Click aquí para ver el video

Slide 170 / 190

Bisectrices y Construcciones


Slide 171 / 190

Construcción de bisectricesComo aprendimos anteriormente, una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes de igual medida.

Para dibujar una bisectriz usaremos un enfoque similar al que usamos para construir un ángulo congruente, ya que, en este caso, estaremos construyendo dos ángulos congruentes.

U

VW

Slide 172 / 190

Construcción de bisectrices

1. Con la punta del compás sobre el vértice, dibuja un arco que corte ambas semirrectas.

(Esto establecerá una distancia fijada desde el vértice en ambas semirrectas).

U

VW

Slide 173 / 190

Construcción de bisectrices

U

VW

2. Sin cambiar la apertura del compás, ubica la punta del comàs sobre la intersección de cada arco y la semirrecta y dibuja un nuevo arco de tal manera que los dos arcos se corten en el interior del ángulo.

(Esto fija la distancia desde cada semirrecta original al la nueva

semirrecta para ser la misma, de manera que los dos nuevos ángulos

serán congruentes)

Slide 174 / 190

U

VW

X

Construcción de bisectrices3. Con una regla, dibuja una semirrecta desde el vértice y pasando por la intersección de los arcos y coloca el nombre a un punto allí.

Porque sabemos que la distancia de cada semirrecta original a la nueva semirrecta es la misma, en la misma distancia desde el vértice, sabemos que las medidas de los nuevos ángulos es la misma y que m∠UVX = m∠XVW

http://youtu.be/0K65Qop1MUo

page20svg

/ 190

Intenta ésto!

Bisecta el ángulo

3)

Not

as p

ara

el

prof

esor

Slide 176 / 190

Intenta ésto!

Bisecta el ángulo

4)

Slide 177 / 190

Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla

Todo lo que hacemos con un compás puede ser hecho con una varilla y una cuerda. En ambos casos, la idea es marcar un centro (o la punta del compás o la varilla) y luego dibujar una parte de un círculo manteniendo un radio fijo (con la apertura del compás o la longitud de la cuerda fijos).

Slide 178 / 190

1. Con la varilla sobre el vértice, dibujamos un arco cruzando a cada lado.

V

U

W


Slide 179 / 190

V

U

W

2. Ubicamos la varilla sobre la intersecciones de cada arco con los lados y dibujamos 2 arcos, uno desde cada lado de manera que quede un punto de intersección entre ellos.


Slide 180 / 190

V

U

W

X

3. Con una regla, conectamos el vértice con la intersección de los arcos. Nombra ese punto.

m∠UVX = m∠XVW


/ 190

Intenta ésto!

Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 5)

Slide 182 / 190

Intenta ésto!

Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla.

6)

Slide 183 / 190

Construcción de bisectrices mediante plegado

1. Sobre tu papel de calcar, traza cualquier ángulo que elijas. Hazlo tan grande como el papel. Marca los puntos A, B y C.

Slide 184 / 190

2. Pliega tu papel de calcar de manera que la semirrecta BA quede alineada. Se forma un pliegue.


Slide 185 / 190

3. Despliega el papel. Dibuja una semirrecta a lo largo del pliegue, comenzando desde el punto B. Dibuja y coloca nombre a un punto sobre la semirrecta.


Slide 186 / 190

Intenta ésto!

Bisecta el ángulo mediante plegado. 7)

/ 190

Intenta ésto!

Bisecta el ángulo mediante plegado. 8)

Slide 188 / 190

Videos demostrativos para la construcción de bisectrices usando

Software de Geometría

Click aquí para ver video usando compás y la

herramienta segmento

Click aquí para ver video usando el menú opciones

Slide 189 / 190

Preguntas de muestra para la prueba. PARCC

La diapositiva restantes de esta presentación contiene una pregunta tomada de la prueba de muestra PARCC. Después de terminar la unidad 2, deberías ser capaz de responder esta pregunta.

Buena suerte!


Slide 190 / 190

71 En base a la figura, ¿Cuál de las afirmaciones proveería suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p? Selecciona todas las que aplican.

A m∠2 = 90°

B m∠ 6 = 90°

C m∠3 = m∠6

D m∠1 + m∠6 = 90°

E m∠3 + m∠4 = 90°

F m∠4 + m∠5 = 90°

no está hechoa escala

r n

p

12

345

6

La figura muestra la intersección de las rectas r, n, y p que forman los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Las tres rectas están en el mismo plano.

Pregunta 2/25

Res

pues

ta

http://youtu.be/EA-NkCJtwN4

http://youtu.be/iiMgioj1zeU

page2svg

geometría Ángulos - njctlcontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/...2015/09/06 ·...

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