fundamentos de control predictivo de procesos instrumentación y control de procesos

7/29/2019 Fundamentos de Control Predictivo de Procesos Instrumentacin y Control de Procesos

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11.1. INTRODUCCION

En los ltimos diez aos el Control Predictivo Basado enModelos (CPBM) ha alcanzado un nivel muy significativode aceptabilidad industrial en aplicaciones prcticas decontrol de procesos. Es una estrategia de control que se ba-sa en la utilizacin de forma explcita de un modelo delproceso para predecir el valor de las variables controladas alo largo de un horizonte temporal especificado por el usua-rio, calculndose el valor de las variables manipuladas parahacer que en ese horizonte las variables controladas estnen sus valores de referencia. Existen muchos mtodos decontrol predictivo que han sido aplicados con xito: GPC,IDCOM, DMC, APC, PFC, EPSAC, RCA, MUSMAR,NPC, UPC, SCAP, HPC, etc. En este captulo trataremosde mostrar las ideas comunes que subyacen en todos ellos.

Es un hecho bien conocido que la mayora de los proble-mas de control del nivel inferior se pueden resolver me-diante simples reguladores PID. Sin embargo, existe unaserie de lazos de control econmicamente muy significa-tivos que, debido a su dificultad (procesos con mltiplesvariables que interaccionan, retardos, dinmica compleja,etc.) o a la calidad del control exigida, requieren tcnicasde control ms avanzadas. Estas aplicaciones tienden aaumentar debido a una serie de factores: exigencias cre-cientes de calidad, ahorro de energa, seguridad, etc., fle-xibilidad en la produccin, necesidad de integrar decisio-nes econmicas y sistemas de control, diseo integradode plantas y sistemas de control, etc. El CPBM se puedeconsiderar como un buen compromiso entre comporta-miento y simplicidad y puede ofrecer una herramienta efi-caz y fcilmente accesible para los ingenieros de control.Desde el punto de vista de las aplicaciones industriales, el

INSTRUMENTACION YCONTROL DE PROCESOS

Los controladores predictivos gestionan

situaciones complejas donde se necesita unamejora del control tradicional, y dan posibilidades

a la optimizacin del proceso. En los ltimos aos

han alcanzado un nivel sustancial de aceptacin,

solucionando situaciones de exigencias crecientes

de calidad, seguridad y gestin econmica de la

planta.

El presente artculo nos introduce en los

elementos comunes a todos los controladores

predictivos, principalmente en el uso de modelos

matemticos, desde los simples de una entrada y

una salida, a los multivariables con variasentradas, salidas y perturbaciones.

CESAR DE PRADADpto. de Ingeniera de Sistemas y Automtica.

Facultad de Ciencias. Universidad de Valladolid

INGENIERIA QUIMICA - MARZO 1997

Captulo 11. Fundamentos de Control Predictivo de Procesos

LOS MANUALES DE

INGENIERIA QUIMICA

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mtodo tiene algunas ventajas importantes sobre otrastcnicas de control:

1. Permite tratar de forma sencilla sistemas multivaria-bles con distinto nmero de entradas y salidas.

2. Incorpora de forma natural la compensacinfeedfor-ward, proporciona varianza mnima en las variables con-troladas y puede utilizarse en sistemas de dinmica dif-cil, con retardos, respuesta inversa, etc.

3. Es posible la introduccin de restricciones en las varia-bles de entrada y salida.

4. Es conceptualmente simple de comprender y ajustarpor el personal tcnico.

5. Existen controladores comerciales en el mercado conadecuado soporte tcnico.

11.2. ELEMENTOS DECONTROL PREDICTIVO

Hay una serie de elementos comunes a todos los controla-dores predictivos:

- El uso de un modelo matemtico del proceso que se uti-liza para predecir la evolucin futura de las variables con-troladas sobre un horizonte de prediccin.

- La imposicin de una estructura en las variables mani-puladas futuras.

- El establecimiento de una trayectoria deseada futura, oreferencia, para las variables controladas.

- El clculo de las variables manipuladas optimizando unacierta funcin de coste.

- La aplicacin del control siguiendo una poltica de hori-zonte mvil.

Esta metodologa est sintetizada en la figura 1, donde, enun instante de tiempo t, utilizando un modelo e informa-cin pasada de entrada y salida, pueden calcularse las pre-dicciones de la variable controladay(t+j),j = 0,...,N2, enfuncin de los valores futuros de la variable manipuladau(t+j), a la cual en la figura se la obliga a permanecerconstante despues del instante t+Nu - 1. Se ha establecidouna trayectoria deseada r(t+j) para ir desde el valor actual

y(t) de la variable controlada, a la referencia w(t), y se tra-ta de determinar la secuencia u(t+j) de valores de la sealde control que llevan las prediccionesy(t+j) tan cerca co-mo sea posible de la trayectoria r(t+j).

Una vez calculada toda la secuencia u(t+j) se aplica el

valor u(t) en el instante t, y en el perodo de muestreo si-guiente, t+ 1, se repiten otra vez todos los clculos en lu-gar de utilizar los obtenidos en t, de acuerdo a la polticade horizonte mvil mencionada.

11.3. MODELOS

El modelo interno suele ser un modelo lineal discreto querelaciona cada salida (y) con las variables manipuladas(u) y las perturbaciones medibles (v) o no medibles. Pue-den usarse varios tipos de modelos del proceso tanto parala parte que hace referencia a las variables manipuladascomo para las perturbaciones. El modelo interno y lasmedidas de las variables del proceso permiten predecir la

evolucin futura del sistema como funcin de los valoresfuturos de las variables manipuladas.

Refirindonos, por simplicidad, al caso de una entrada yuna salida, los modelos suelen incluir al menos dos trmi-nos: uno que depende de la variable manipulada y otroque trata de reflejar la influencia de perturbaciones y rui-dos que actan sobre el sistema (Fig. 2). Es posible utili-zar tipos de modelos muy distintos, as, por ejemplo, en elcaso de un modelo de respuesta impulsional con una en-trada y una salida tendramos:

y(t) = hiu(t- i) + n(t)i=1

Donde n(t) representa una perturbacin externa y h loscoeficientes de la respuesta impulsional, siendo y(t) unacombinacin lineal de infinitos valores pasados de la en-trada.

Para un modelo tipo respuesta salto, la formulacin sera:

y(t) = gi u(t- i) + n(t)i=1

Siendo el operador diferencia temporal y g los coefi-cientes de la respuesta salto, con lo quey(t) es una combi-nacin lineal de infinitos valores pasados de los cambiosen la entrada. Y para el caso de una funcin de transferen-cia:

q-kB(q-1)y(t) = u(t) + n(t)

A(q-1)

DondeB yA son polinomios en el operador retardo q-1, e


Fig. 1. Problema de control predictivo y poltica dehorizonte mvil en un sistema monovariable

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y(t) es una combinacin lineal de un nmero finito de va-lores pasados de la entrada y la salida del sistema.

A menudo las perturbaciones no medibles, tales comoruidos, influencias impredecibles, etc., se modelan como

procesos ARMA (Auto-Regresive Moving Average), estoes, ruidos blancos de media nula (t) filtrados por unafuncin de transferencia adecuada:

T(q-1) t0q-1 +...+t1q-1n(t) = (t) = (t)

A(q-1) 1 + a1q-1+...+anq-n

o se estiman por diferencias entre las medidas ym(t) y laparte determinista del modelo:

n(t) =ym(t) - gi u(t- i)i=1

mientras que las perturbaciones medibles llevan asocia-do un modelo DARMA similar al de las variables mani-puladas.

11.4. PREDICCIONES: EJEMPLO DELCONTROLADOR DMC

Para fijar ideas de como es posible calcular prediccionescon un modelo y estimar los valores ptimos de las varia-bles manipuladas, nos referiremos a un caso sencillo ybien conocido, el representado por el DMC (Dynamic

Matrix Controller), para el caso de un sistema de una en-trada, una salida y una perturbacin medible. Este regula-

dor utiliza un modelo tipo respuesta salto, dado por:

y(t) = gi u(t- i) + di v(t- i) + n(t) (1)i=1 i=1

dondey(t) es la salida del proceso o variable controlada,u(t) es la variable manipulada o seal de control, v(t) esuna perturbacin medible y n(t) representa el efecto deperturbaciones no medibles, gi son coeficientes de la res-puesta salto de u(t) y di los mismos coeficientes del mo-delo de la perturbacin medible v(t). A partir de este mo-delo deben calcularse las predicciones de la salida en ins-tantes futuros de tiempo t+j, a lo largo de un horizonte

de prediccinj = 1,....,N2.Veamos ahora cmo efectuar el clculo de las prediccio-nesy^(t+j). Para ello simplemente podemos sustituir tport+j en el modelo (1). Ademas, y cara a facilitar la solu-cin del problema de optimizacin, es conveniente sepa-

rar aquellos trminos de los sumatorios que dependen s-lo de valores pasados (y que por tanto son conocidos en elinstante t) y los que dependen de las acciones presentes yfuturas u(t+ k) que son nuestras variables de decisin.As obtendremos:

j

y(t+j) = gi u(t+j - i) + gi u(t+j - i) +i=1 i=j+1

j

+ di v(t+j - i) + di v(t+j - i) + n(t+j) (2)i=1 i=j+1

En esta expresin el valor de las perturbaciones futurasn(t+j) es desconocido, por lo que debemos hacer algunahiptesis sobre el mismo. En el DMC se supone que lamejor estimacin de n(t+j) es su valor actual n(t), el cualpuede estimarse mediante:

n(t+j) = n(t) =y(t) - gi u(t- i) - di v(t- i) (3)i=1 i=1

en cuyo lado derecho slo hay magnitudes conocidas ent. Sustituyendo este valor en (2) se obtiene:

j

y^ (t+j) = gi u(t+j - i) + gi u(t+j - i) +i=1 i=j+1

j

+ di v(t+j - i) + di v(t+j - i) +i=1 i=j+1

+ y(t) - gi u(t- i) - di v(t- i)i=1 i=1

o en forma ms compacta

j

y^ (t+j) = gi u(t+j - i) +pj (4)i=1

dondepj representa la respuesta libre del sistema dadapor:

pj =y(t) + gi u(t+j - i) - gi u(t- i) +i=j+1 i=1

j

+ di v(t+j - i) - di v(t- i) + di v(t+j - i) (5)i=j+1 i=1 i=1

que slo contiene valores pasados de la variable manipu-lada y puede ser, por tanto, conocida en el instante t. Ope-rando, (5) puede escribirse como:

pj =y(t) + (gj+i - gi)u(t- i) + (dj+i - di)v(t- i) + +i=1 i=1

j

+ di v(t+j - i) (6)i=1

Ntese que si u (t+j) fuera igual a cero paraj = 0,...,N2,entonces en (4)y(t+j) =pj de ah quepj se pueda ver co-

mo una estimacin de la respuesta libre del sistema.

Esta expresin depi no es muy til porque envuelve unnmero infinito de sumandos, sin embargo, en procesosasintticamente estables, los gs tienden a un valor cons-tante, y la expresin anterior se puede escribir como:


Fig. 2. Estructura de un modelo interno tpico

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N N

pj =y(t) + (gj+i - gi)u(t- i) + (dj+i - di)v(t- i) + +i=1 i=1

j

+ di v(t+j - i) (7)i=1

dondeNes un nmero para el cual

gj+i - gi 0 dj+i - di 0 i >N, j =N1,...,N2 (8)

de modo que la aplicabilidad de la formula est limitada aese tipo de procesos. Por otro lado, debe notarse que incor-pora el efecto de la perturbacin medible v(t), los valoresfuturos de la cual se suelen considerar iguales al valor pre-sente, aunque esta hiptesis se corrige cada perodo demuestreo debido a la poltica de horizonte mvil que aplica.

11.5. EL PROBLEMA DE CONTROL

Si se desea que esas predicciones estn prximas a unosvalores de referencia deseados r(t+ j), entonces puedeplantearse el problema de control como obtener la se-cuencia de valores presentes y futuros de la variable ma-nipulada u, que minimizan una funcin de coste tal como:

N2 Nu -1

J= [y (t+j) - r(t+j)]2 + [u(t+j)]2 (9)j=N1 j=0

Donde no slo se penalizan las desviaciones de las pre-dicciones de la salida y (t+j) sobre sus valores deseadosr(t+j), sino tambin los cambios de la variable manipu-lada u(t+j), con un cierto peso , a fin de conseguir uncontrol suave.

Normalmente los r(t+j) se definen como trayectorias queunen el valor actual de la variable y(t) con un valor futurodeseado w(t+N2), por ejemplo mediante la expresin:

r(t+j) = r(t+j - 1) + (1 - ) w(t+N2)(10)

r(t) =y(t) j = 1,N2

Si w(t+N2) es conocido esto permite seguir una trayecto-ria planificada. En el caso ms frecuente, w es constante yw(t+N2) se hace igual a w(t) (Fig. 3).

Si ahora se sustituye la expresin de las predicciones (4):

j

y (t+j) = giu(t+j - 1) +pji=1

en el ndice J, este resulta ser una funcin cuadrtica deu(t+j),j = 0,...,N2-1, cambios de la variable manipula-

da en el horizonte de prediccin, y puede calcularse fcil-mente la secuencia de valores que minimizanJ.

Normalmente se impone alguna condicin o estructurasobre los valores de u(t+j). Por ejemplo suele hacerseque la variable manipulada permanezca constante despuesde un cierto nmero,Nu, de perodos de muestreo futuros,el denominado horizonte de control, o sea: u(t+j) = 0paraj Nu (Fig. 4). De este modo se favorecen solucio-nes estables y se reduce la dimensionalidad del problemadeN2-1 aNu incognitas, facilitando los clculos.

Definiendo los vectores u(t)' = [u(t), u(t+ 1), ...,u(t+Nu -1] de controles futuros, y e0' = [r(t+N1) - PN1, r(t+N1 + 1) -pN1+1,...,r(t+N2) - pN2] de errores de la res-puesta libre, y la matriz G formada con coeficientes delmodelo de respuesta salto, y denominada matriz dinmica,

gN1 ... g1 0 ... 0gN1+1 ... g2 g1 0 ... 0

G = [ ... ... ... ... ... ... 0 ]... ... ... ... ... ... ...gN2 ... ... ... ... ... gN2-Nu +1

el ndiceJpuede escribirse en forma matricial como unafuncin cuadrtica de u(t):

J= u'(t)[G'G + I]u(t) - 2e0' Gu(t) + e0'e0 (11)

Si no consideramos restricciones en los valores de las va-riables, el valor de u(t) que minimiza (11) puede obte-nerse derivandoJrespecto a u(t) e igualando a cero, ob-tenindose la solucin analtica:

u(t) = [G'G + I]-1 Ge0 (12)

que daNu valores de los cambios a aplicar en la variablemanipulada. De stos slo se implementa en el instante tel primero, u(t), y en el siguiente perodo de muestreo t+ 1, se vuelven a realizar todos los clculos de acuerdocon la poltica de horizonte mvil.

11.6. RESTRICCIONES EN LAS VARIABLES

Las restricciones, o lmites, en las variables aparecen deforma natural en los problemas de control, bien como li-mitaciones fsicas (una vlvula no puede exceder el rango0-100% de apertura, etc.), bien como lmites tecnolgi-cos, de seguridad, calidad, etc. y su consideracin explci-ta en un problema de control es muy importante en laprctica.

Normalmente se expresan como valores mximos y mni-mos permitidos, bien en las variables controladas y mani-puladas, o en su velocidad de variacin (Fig. 5), esto es:

- Restricciones sobre la velocidad de cambio de la varia-ble manipulada:

Dm u(t+j) DM j = 0,...,Nu-1 (13)

Donde lasD son lmites inferiores y superiores.


Fig. 3. Evoluc in de la referencia interna r(t + j)

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- Restricciones sobre los valores futuros de la variablemanipulada, que pueden expresarse como u(t- 1) ms su-mas de incrementos de u:

j

Um u(t+j) = u(t- 1) + u(t+ i) UM j = 0,...,Nu-1 (14)i=0

Donde las Uson lmites inferiores y superiores.

- Restricciones sobre los valores futuros de las variablescontroladas, usando (4):

j

Lm y (t+j) = giu(t+j - i) +pj LM j =N3,...,N4 (15)i=1

Donde lasL son lmites inferiores y superiores, y N3,N4un rango donde se aplican las restricciones, conN4 N2.

Muchos controladores limitan los valores de la seal decontrol y su velocidad de cambio de una manera artifi-cial, calculando dicha seal sin considerar restricciones ylimitndola posteriormente si excede el rango permitido.Esta poltica puede dar resultados diferentes que la obte-nida considerando la mejor seal de control entre aque-llas que cumplen las restricciones y, adems, puede darorigen a comportamientos oscilatorios. Por otra parte, s-lo efectuando predicciones se pueden poner lmites efec-tivos sobre las variables calculadas, ya que dichas pre-dicciones permiten tomar en el instante tdecisiones queeviten que las variables controladas en t+j excedan loslmites deseados. Esta es una caracterstica diferen-cial de los mtodos del control predictivo que no po-seen otro tipo de controladores.

Un tratamiento correcto del problema de incluir lasrestricciones (13), (14) y (15) en la optimizacin, sepuede obtener teniendo en cuenta que todas las res-tricciones son funciones lineales de u(t+j) y que lafuncin de coste (11) es una funcin cuadrtica en es-tas variables, con lo que el problema de encontrar elvector u(t) que minimice (11) sujeto al conjunto derestricciones es un problema de programacin cuadr-tica. Estos problemas pueden resolverse numrica-mente con algoritmos especficos bastante eficientes y

robustos, que permiten trabajar con cientos o miles de va-riables.

11.7. CASO MULTIVARIABLE

Esta formulacin bsica puede extenderse fcilmente alcaso de sistemas multivariables. As en el caso de la figu-ra 6 para un proceso con dos entradas, tres salidas, unaperturbacin medible (v) y otras no medibles, podremosformular un modelo interno en el que cada salida dependede todas y cada una de las entradas y la perturbacin me-dible a travs de una funcin de transferencia o modelode respuesta en salto, y est afectada por un trmino deruido que representa las perturbaciones no medibles, talcomo:

y1(t) = gi11u1(t- i) + gi12u2(t- i) + gi13v(t- i) + n1(t)i=1 i=1 i=1



(16)

De forma similar puede escribirse un modelo para el casogeneral. Utilizando este modelo y siguiendo un caminototalmente paralelo al caso monovariable, es posible de-ducir una expresin para las predicciones de las salidas,que para el ejemplo anterior y un controlador tipo DMCresultaran ser del tipo:

j j

y1(t + j) = gi11u1(t- i +j) + gi12u2(t- i +j) +p1(t+j)i=1 i=1

j j


j j


Donde los horizontes de prediccinN2i pueden ser distin-tos para cada variable.

Aqu se contempla el efecto de cada cambio en las varia-bles manipuladas sobre todas las salidas simultneamen-

te, as como el efecto de las perturbaciones y la historiadel sistema a travs de las respuestas librespi.

Del mismo modo se pueden definir trayectorias ri (t+j) de-seadas para que cada variable controlada alcance su con-signa wi (t) en el futuro, horizontes de controlNui para cadavariable manipulada y una funcin de coste que tenga en


Fig. 4. Problema de control predictivo

Fig. 5. Lmites en las variables

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cuenta las desviaciones de las predicciones de cada varia-ble controlada sobre cada ri (t+j) as como los esfuerzosde control de cada variable manipulada, por ejemplo:

N2

J= [1(y1(t+j) - r1(t+j))]2 + [2(y2(t+j) - r2(t+j))]2 +j=N1

NU-1

+ [1 u1(t+j)]2 + [2 u2(t+j)]2 (17)j=0

Donde los coeficientes dan un peso relativo, o impor-

tancia, al cumplimiento de cada consigna. Los coeficien-tes son los factores de peso, que penalizan los cambiosen la variable manipulada.

El problema de control se plantea ahora, de forma similar,como encontrar los valores de ui (t+j),j = 0, ...,Nu-1, i= 1,...M, tales que las salidas predichas evolucionen de laforma deseada y se cumplan al mismo tiempo las restric-ciones del problema sobre las variables manipuladas ycontroladas, que tambin se pueden formular de la mismamanera. La solucin se obtiene formalmente resolviendoel correspondiente problema de programacin cuadrticay no presenta, excepto en su dimensionalidad, ningnproblema adicional al caso monovariable.

Es importante sealar que no se asocia ninguna seal decontrol a ninguna variable controlada en particular, sinoque el problema se resuelve globalmente teniendo encuenta todas las interacciones presentes entre variablescontroladas, manipuladas y perturbaciones medibles.

Tambin es posible no asignar una consigna a una varia-ble controlada, sino nicamente imponer la condicin deque est en un determinado rango mediante las correspon-dientes restricciones sobre el valor de sus predicciones.

11.8. CONCLUSIONES

Como ha podido observarse en las ecuaciones anteriores,los controladores predictivos gestionan problemas com-plejos de forma ptima, siendo una herramienta de granvalor para abordar problemas donde se necesita una mejo-ra de la regulacin, sin una complejidad conceptual eleva-da. Utilizan una serie de parmetros cuyo significado esfcil de comprender y para los que existen reglas de se-leccin que hacen la sintona y el mantenimiento asequi-ble al usuario.

En resumen, son el horizonte de prediccin [N1,N2], quese suele tomar como el tiempo de asentamiento del siste-ma, el parmetro , que en el rango [0,1] nos indica la ve-locidad con la que queremos que la variable controladavaya a la referencia, el parmetro , que pesa los cambiosde los esfuerzos de control y los , que dan la importanciarelativa que tiene el que cada variable controlada est ensu consigna, y, finalmemte Un, que es el nmero de cam-bios permitidos a la variable manipulada para llevar la sa-lida a la referencia. Los distintos controladores ponen msnfasis en unos u otros, pudindose utilizar tanto el hori-zonte [N1,N2], como la velocidad , o el factor de peso para fijar el compromiso velocidad de respuesta/robustezpresente en todo controlador. En las versiones comercialesde muchos controladores se tiende a utilizar un solo par-

metro como elemento de sintona a fin de facilitar su utili-zacin.

En todo caso, la sintona no suele ser un problema en con-trol predictivo, donde el esfuerzo y el tiempo de diseo,se pone en la obtencin y validacin de un modelo. Sien-do despus relativamente sencillo escoger el tipo de res-puesta deseada para el controlador.

La mejora del control abre la puerta a otra serie de posibi-lidades, entre las que se encuentra la optimizacin delproceso considerada desde un punto de vista econmico.La relacin entre mejor control y optimizacin puede ver-se en la figura 7, donde se representa una variable osci-lando en torno a un valor de consigna fijado de tal modoque la variable no supere un lmite superior establecido.En la parte derecha se observa que la reduccin de las os-cilaciones de la variable permite mover la referencia aotro valor sin que se supere el valor mximo permitido.Este cambio de consigna que permite operar en otro pun-


Fig. 6. Sistema multivariable

Fig. 7. Relacin entrecontrol, optimizaciny lmites en las varia-bles

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to ms favorable econmicamente, est ligado a la reduc-cin de varianza, o sea, a la mejora del control. Adems,el hecho de disponer de un modelo para el controlador,permite utilizar dicho modelo para las tareas de optimiza-cin y otras.

El control predictivo es una tecnologa probada y con nu-merosas aplicaciones industriales en la que, adems, serealizan continuamente nuevas formulaciones para abor-dar problemas de robustez, modelos no-lineales, aplica-cin a nuevos sistemas, etc.

11.9. BIBLIOGRAFIA

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Ponencia presentada a las II Jornadas de Control de Procesos, organiza-das por INGENIERIA QUIMICA y Expoquimia, celebradas en octubre

de 1996.


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