control predictivo para un sistema de tanques

i

CONTROL PREDICTIVO PARA UN SISTEMA DE TANQUES INTERACTUANTES NO

LINEAL

NICOLÁS BOLAÑOS ESCOBAR

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C

2012

ii

CONTROL PREDICTIVO PARA UN SISTEMA DE TANQUES INTERACTUANTES NO

LINEAL

NICOLÁS BOLAÑOS ESCOBAR

Trabajo de grado presentado como

requisito parcial para optar al

título de Ingeniero Electrónico

Director:

IE. DIEGO ALEJANDRO PATIÑO, Ph.D.




BOGOTÁ D.C

2012

iii




RECTOR MAGNÍFICO: Padre Joaquín Sánchez S.J.

DECANO ACADÉMICO: I.E Luis David Prieto, Ph.D.

DECANO DEL MEDIO UNIVERSITARIO: Padre Sergio Bernal S.J.

DIRECTOR DE CARRERA: I.E Jairo Alberto Hurtado, Ph.D.

DIRECTOR DEL PROYECTO: I.E Diego Alejandro Patiño, Ph.D.

iv

ARTÍCULO 23 DE LA RESOLUCIÓN No. 13 DE JUNIO DE 1946

“La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus proyectos de

grado. Solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque los trabajos

no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes bien, que se vea en ellos el anhelo de

buscar la verdad y la justicia”

Artículo 23 de la resolución No. 13, del 6 de

julio de 1946, por la cual se reglamenta lo

concerniente a tesis y exámenes de grado

en la Pontifica Universidad Javeriana

v

AGRADECIMIENTOS

A lo largo de este proyecto, he estado en un constante proceso de aprendizaje que me ha permitido ampliar

mis conocimientos en diferentes áreas. Quiero agradecer al director de este proyecto, I.E Diego Alejandro

Patiño, por su disposición y colaboración en todo momento, donde su experiencia y conocimiento del

tema fueron fundamentales para el desarrollo de este trabajo y poder lograr un resultado exitoso.

Igualmente, quiero dar gracias al I.E Andrés Ladino, por su apoyo y asistencia a lo largo de todo el

trabajo. Su ayuda permitió enriquecer aún más mi conocimiento del área, lo cual me favoreció para

cumplir con los objetivos de este proyecto.

vi

Tabla de contenido

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... 1

OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................................. 3

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................................................... 3

1. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................................... 4

1.1 ECUACIONES BÁSICAS DE LOS SISTEMAS HIDRAÚLICOS.................................................... 4

1.1.1 Ecuación de continuidad ............................................................................................................... 4

1.1.2 Ecuación de Bernoulli ................................................................................................................... 5

1.1.3 Flujo en un punto........................................................................................................................... 6

1.2 CONTROL PID ................................................................................................................................... 6

1.3 CONTROL PREDICTIVO .................................................................................................................. 6

2. MODELADO E IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA ............................................................................10

2.1 MODO DE OPERACIÓN 3 ..............................................................................................................10

2.2 MODO DE OPERACIÓN 4 ..............................................................................................................11

2.3 IDENTIFICACIÓN ............................................................................................................................12

2.3.1 Modo 3 ........................................................................................................................................13

2.3.2 Modo 4 ........................................................................................................................................20

2.4 MODELO DINÁMICO DE LA VÁLVULA ....................................................................................25

2.5 SIMULACIONES ..............................................................................................................................28

3. DISEÑO Y SIMULACIÓN DE LOS CONTROLADORES ...................................................................30

3.1 CONTROL PID .................................................................................................................................30

3.1.1 Modo de operación 3 ...................................................................................................................30


3.2 CONTROL PREDICTIVO ................................................................................................................38



4. ANÁLISIS DE RESULTADOS ..............................................................................................................59

4.1 CONTROL PID .................................................................................................................................59

4.1.1 Modo 3 ........................................................................................................................................59

4.1.2 Modo 4 ........................................................................................................................................60

4.2 CONTROL PREDICTIVO ................................................................................................................62

vii

4.2.1 Modo 3 ........................................................................................................................................62

4.2.2 Modo 4 ........................................................................................................................................69

4.3 CONTROL PREDICTIVO NO LINEAL ..........................................................................................77

4.3.1 Modo 3 ........................................................................................................................................77

4.3.2 Modo 4 ........................................................................................................................................81

5. CONCLUSIONES ...................................................................................................................................86

6. BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................................89

7. ANEXOS ..................................................................................................................................................90

7.1 INTERFAZ DE COMUNICACIÓN ..................................................................................................90

viii

Índice de figuras

Figura 1. Ecuación de Bernoulli ..................................................................................................................... 5

Figura 2. Estrategia del control predictivo ..................................................................................................... 7

Figura 3. Algoritmos para MPC ..................................................................................................................... 9

Figura 4. Modo de operación 3 ....................................................................................................................10

Figura 5. Modo de operación 4 ....................................................................................................................11

Figura 6. Flujo de entrada – Primera prueba ................................................................................................14

Figura 7. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Primera prueba ........................14

Figura 8. Señal de control – Segunda prueba ...............................................................................................14

Figura 9. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Segunda prueba .......................14

Figura 10. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Tercera prueba ......................15

Figura 11. Flujo de entrada – Tercera prueba ..............................................................................................15

Figura 12. Identificación sistema modo 3 – Primera prueba ........................................................................16

Figura 13. Identificación sistema modo 3 – Segunda prueba .......................................................................17

Figura 14. Identificación sistema modo 3 – Tercera prueba ........................................................................17

Figura 15. Validación del modelo obtenido – Primera validación ...............................................................18

Figura 16. Flujo de entrada – Primera validación ........................................................................................18

Figura 17. Validación del modelo obtenido – Segunda validación ..............................................................19

Figura 18. Flujo de entrada – Segunda validación .......................................................................................19

Figura 19. Validación del modelo obtenido – Tercera validación ...............................................................19

Figura 20. Flujo de entrada – Tercera validación .........................................................................................19

Figura 21. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Modo 4, primera prueba........20

Figura 22. Flujo de entrada – Modo 4, primera prueba ................................................................................20

Figura 23. Flujo de entrada – Modo 4, segunda prueba ...............................................................................21

Figura 24. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Modo 4, segunda prueba .......21

Figura 25. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Modo 4, tercera prueba .........21

Figura 26. Flujo de entrada – Modo 4, tercera prueba .................................................................................21

Figura 27. Identificación sistema modo 4 – Primera prueba ........................................................................22

Figura 28. Identificación sistema modo 4 – Segunda prueba .......................................................................22

Figura 29. Identificación sistema modo 4 – Tercera prueba ........................................................................23

Figura 30. Validación del modelo obtenido – Modo 4, primera validación .................................................24

Figura 31. Flujo de entrada – Modo 4, primera validación ..........................................................................24

Figura 32. Flujo de entrada – Modo 4, segunda validación .........................................................................24

Figura 33. Validación del modelo obtenido – Modo 4, segunda validación ................................................24

Figura 34. Validación del modelo obtenido – Modo 4, tercera validación ..................................................25

Figura 35. Flujo de entrada – Modo 4, tercera validación ...........................................................................25

Figura 36. Esquema de control del sistema ..................................................................................................25

Figura 37. Respuesta de la válvula ante una entrada paso ...........................................................................26

Figura 38. Validación modelo válvula – Segunda prueba ............................................................................27

Figura 39. Validación modelo válvula – Primera prueba ............................................................................27

Figura 40. Validación modelo válvula – Tercera prueba .............................................................................27

ix

Figura 41. Nivel de agua en los tanques ante un flujo de entrada constante en el modo de operación 3 .....28

Figura 42. Nivel de agua en los tanques ante un flujo de entrada constante en el modo de operación 4 .....29

Figura 43. Respuesta control PID sobre el modelo lineal - Modo 3 ............................................................31

Figura 44. Respuesta control PID sobre el modelo no lineal – Modo 3 .......................................................31

Figura 45. Señal de control del PID sobre modelo no lineal – Modo 3 .......................................................32

Figura 46. Cambio de referencia PID – Simulación modo 3 .......................................................................32

Figura 47. Señal de control PID ante un cambio de referencia – Simulación modo 3 .................................32

Figura 48. Variación en el flujo de salida PID – Simulación modo 3 ..........................................................33

Figura 49. Señal de control PID ante una variación en el flujo de salida – Simulación modo 3 .................33

Figura 50. Perturbación nivel PID – Simulación modo 3 ............................................................................33

Figura 51. Señal de control PID ante una perturbación en el nivel del tanque cilíndrico – Simulación modo

3 ....................................................................................................................................................................33

Figura 52. Respuesta control PID sobre el modelo lineal – Modo 4 ............................................................35

Figura 53. . Respuesta control PID sobre el modelo no lineal – Modo 4 .....................................................35

Figura 54. Señal de control PID sobre modelo no lineal – Modo 3 .............................................................36

Figura 55. Señal de control PID ante un cambio de referencia – Simulación modo 4 .................................36

Figura 56. Cambio de referencia PID – Simulación modo 4 .......................................................................36

Figura 57. Variación en el flujo de salida PID – Simulación modo 4 ..........................................................37

Figura 58. Señal de control PID ante una variación en el flujo de salida – Simulación modo 4 .................37

Figura 59. Perturbación nivel PID – Simulación modo 4 ............................................................................37

Figura 60. Señal de control ante una perturbación en el nivel del tanque no lineal – Simulación modo 4 ..37

Figura 61. Desempeño control del primer modelo – Modo 3 ......................................................................42

Figura 62. Señal de control, primer modelo – Modo 3 ................................................................................42

Figura 63. Señal de control, segundo modelo – Modo 3 ..............................................................................43

Figura 64. Desempeño control del segundo modelo – Modo 3 ....................................................................43

Figura 65. Desempeño control del tercer modelo – Modo 3 ........................................................................43

Figura 66. Señal de control, tercer modelo – Modo 3 ..................................................................................43

Figura 67. Acercamiento señal de control en Fig. 62 ...................................................................................44

Figura 68. Señal de control MPC considerando el modelo de la .................................................................45

Figura 69. Simulación MPC considerando el modelo de la .........................................................................45

Figura 70. Señal de control MPC (Ts = 5 s) – Modo 3 ................................................................................45

Figura 71. Simulación MPC (Ts = 5 s) – Modo 3 ........................................................................................45





Figura 76. Simulación MPC (Np = 8) – Modo 3 .........................................................................................47

Figura 77. Señal de control MPC (Np = 8) – Modo 3 ..................................................................................47

Figura 78. Simulación control (Np = 9) – Modo 3 .......................................................................................47

Figura 79. Señal de control (Np = 9) – Modo 3 ...........................................................................................47

Figura 80. Señal de control MPC (Np = 10) – Modo 3 ................................................................................48

Figura 81. Simulación MPC (Np = 10) – Modo 3 .......................................................................................48

Figura 82. Cambio de referencia (MPC) – Simulación modo 3 ...................................................................49

x

Figura 83. Señal de control (MPC) ante un cambio de referencia – Simulación modo 3 ............................49

Figura 84. Variación en el flujo (MPC) – Simulación modo 3 ....................................................................49

Figura 85. Señal de control ante una variación en el flujo de salida (MPC) – Simulación modo 3 .............49

Figura 86. Señal de control ante una perturbación en el nivel de agua (MPC) – Simulación modo 3 .........50

Figura 87. Perturbación nivel (MPC) – Simulación modo 3 ........................................................................50

Figura 88. Señal de control, primer modelo – Modo 4 ................................................................................52

Figura 89. Desempeño control del primer modelo – Modo 4 ......................................................................52

Figura 90. Señal de control, segundo modelo – Modo 4 ..............................................................................53

Figura 91. Desempeño control del segundo modelo – Modo 4 ....................................................................53

Figura 92. Desempeño control del tercer modelo – Modo 4 ........................................................................53

Figura 93. Señal de control, tercer modelo – Modo 4 ..................................................................................53







Figura 100. Señal de control MPC (Np = 9) – Modo 4 ................................................................................55

Figura 101. Simulación MPC (Np = 9) – Modo 4 .......................................................................................55

Figura 102. Señal de control MPC (Np = 11) – Modo 4 ..............................................................................56

Figura 103. Simulación MPC (Np = 11) – Modo 4 .....................................................................................56

Figura 104. Cambio de referencia (MPC) – Simulación modo 4 .................................................................57

Figura 105. Señal de control ante un cambio de referencia (MPC) – Simulación modo 4 ..........................57

Figura 106. Variación flujo (MPC) – Simulación modo 4 ...........................................................................57

Figura 107. Señal de control ante una variación en el flujo de salida (MPC) – Simulación modo 4 ..........57

Figura 108. Perturbación nivel (MPC) – Simulación modo 4 ......................................................................58

Figura 109. Señal de control ante una perturbación en el nivel del tanque no lineal – Simulación modo 4 58

Figura 110. Respuesta PID – Modo 3 sistemas de tanques interactuantes ...................................................59

Figura 111. Señal de control PID – Modo 3 sistema de tanques interactuantes ..........................................59

Figura 112. Respuesta PID – Simulación modo 3........................................................................................60

Figura 113. Señal de control PID – Simulación modo 3 ..............................................................................60

Figura 114. Señal de control PID – Modo 4 sistema de tanques interactuantes ..........................................61

Figura 115. . Respuesta PID – Modo 4 sistemas de tanques interactuantes .................................................61

Figura 116. Señal de control PID – Simulación modo 4 ..............................................................................61

Figura 117. Respuesta PID – Simulación modo 4........................................................................................61

Figura 118. Respuesta MPC – Modo 3 sistema de tanques interactuantes ..................................................62

Figura 119. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) – Modo 3 sistemas de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................63

Figura 120. Señal de control (gpm) – Modo 3 sistemas de tanques interactuantes ......................................63

Figura 121. Señal de control MPC – Simulación modo 3 ............................................................................63

Figura 122. Respuesta MPC – Simulación modo 3......................................................................................63

Figura 123. Respuesta MPC ante un cambio de referencia – Modo 3 sistema de tanques interactuantes ...64

xi

Figura 124. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) ante un cambio de referencia – Modo

3 sistemas de tanques interactuantes ............................................................................................................64

Figura 125. Señal de control (gpm) ante un cambio de referencia – Modo 3 sistemas de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................64

Figura 126. Señal de control MPC ante un cambio de referencia – Simulación modo 3 .............................65

Figura 127. Respuesta MPC ante un cambio de referencia – Simulación modo 3.......................................65

Figura 128. Respuesta MPC ante una variación en el flujo de salida – Modo 3 sistema de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................65

Figura 129. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) ante una variación en el flujo de salida–

Modo 3 sistemas de tanques interactuantes ..................................................................................................66

Figura 130. Señal de control (gpm) ante una variación en el flujo de salida– Modo 3 sistemas de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................66

Figura 131. Señal de control MPC ante una variación en el flujo de salida – Simulación modo 3 .............66

Figura 132. Respuesta MPC ante una variación en el flujo de salida - Simulación modo 3 ........................66

Figura 133. Respuesta MPC ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 3 sistema de

tanques interactuantes ..................................................................................................................................67

Figura 134. Señal de control (gpm) ante una perturbación en el nivel del tanque lineal– Modo 3 sistemas

de tanques interactuantes ..............................................................................................................................67

Figura 135. Señal de control Porcentaje de apertura de la válvula) ante una perturbación en el nivel del

tanque lineal– Modo 3 sistemas de tanques interactuantes ..........................................................................67

Figura 136. Señal de control MPC ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Simulación modo 3

......................................................................................................................................................................67

Figura 137. Respuesta MPC ante una perturbación en el nivel del tanque lineal - Simulación modo 3 ......67

Figura 138. Respuesta MPC – Modo 4 sistema de tanques interactuantes ..................................................69

Figura 139. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) – Modo 4 sistemas de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................70

Figura 140. Señal de control (gpm) – Modo 4 sistemas de tanques interactuantes ......................................70

Figura 141. Respuesta MPC – Simulación modo 4......................................................................................71

Figura 142. Señal de control MPC – Simulación modo 4 ............................................................................71

Figura 143. Respuesta MPC ante un cambio de referencia – Modo 4 sistema de tanques interactuantes ...72

Figura 144. Señal de control Porcentaje de apertura de la válvula) ante un cambio de referencia – Modo 4

sistemas de tanques interactuantes ...............................................................................................................72

Figura 145. Señal de control (gpm) ante un cambio de referencia – Modo 4 sistemas de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................72

Figura 146. Señal de control MPC ante un cambio de referencia – Simulación modo 4 .............................72

Figura 147. Respuesta MPC ante un cambio de referencia – Simulación modo 4.......................................72

Figura 148. Respuesta MPC ante una variación en el flujo de salida – Modo 4 sistema de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................73

Figura 149. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) ante una variación en el flujo de salida–

Modo 4 sistemas de tanques interactuantes ..................................................................................................73

Figura 150. Señal de control (gpm) ante una variación en el flujo de salida– Modo 4 sistemas de tanques

interactuantes ................................................................................................................................................73

Figura 151. Respuesta MPC ante una variación en el flujo de salida - Simulación modo 4 ........................74

Figura 152. Señal de control MPC ante una variación en el flujo de salida - Simulación modo 4 ..............74

xii

Figura 153. Respuesta MPC ante una perturbación en el nivel del tanque no lineal – Modo 4 sistema de

tanques interactuantes ..................................................................................................................................74

Figura 154. Señal de control (gpm) ante una perturbación en el nivel del tanque no lineal– Modo 4

sistemas de tanques interactuantes ...............................................................................................................75

Figura 155. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) ante una perturbación en el nivel del

tanque no lineal– Modo 4 sistemas de tanques interactuantes .....................................................................75

Figura 156. Señal de control MPC ante una perturbación en el nivel del tanque no lineal - Simulación

modo 4 ..........................................................................................................................................................75

Figura 157. Respuesta MPC ante una perturbación en el nivel del tanque no lineal - Simulación modo 4 .75

Figura 158. MPC no lineal – Modo 3 ...........................................................................................................78

Figura 159. Señal de control (gpm) – Modo 3 .............................................................................................78

Figura 160. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) – Modo 3 ...........................................78

Figura 161. Señal de control – Simulación MPC no lineal, modo 3 ............................................................79

Figura 162. Simulación MPC no lineal – Modo 3 .......................................................................................79

Figura 163. Respuesta MPC no lineal ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 3 .........79

Figura 164. Señal de control no lineal (Porcentaje de apertura de la válvula) ante una perturbación en el

nivel del tanque lineal – Modo 3 ..................................................................................................................79

Figura 165. Señal de control no lineal (gpm) ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 3

......................................................................................................................................................................79

Figura 166. Respuesta MPC no lineal ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Simulación

modo 3 ..........................................................................................................................................................80

Figura 167. Señal de control ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Simulación modo 3 .....80

Figura 168. Respuesta MPC no lineal ante una variación en el flujo de salida – Modo 3 ...........................80

Figura 169. Señal de control no lineal (gpm) ante una variación en el flujo de salida – Modo 3 ................80

Figura 170. Señal de control no lineal (Porcentaje de apertura de la válvula) ante una variación en el flujo

de salida – Modo 3 .......................................................................................................................................80

Figura 171. Respuesta MPC no lineal ante una variación en el flujo de salida – Simulación modo 3 ........81

Figura 172. Señal de control no lineal ante una variación en el flujo de salida – Simulación modo 3 ........81

Figura 173. MPC no lineal – Modo 4 ...........................................................................................................82

Figura 174. Señal de control (gpm) – Modo 4 .............................................................................................82

Figura 175. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) – Modo 4 ...........................................82

Figura 176. Simulación MPC no lineal – Modo 4 .......................................................................................83

Figura 177. Señal de control – Simulación MPC no lineal, modo 4 ...........................................................83

Figura 178. Respuesta MPC no lineal ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 4 .........83

Figura 179. Señal de control no lineal (gpm) ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 4

......................................................................................................................................................................83

Figura 180. Señal de control no lineal (Porcentaje de apertura de la válvula) ante una perturbación en el

nivel del tanque lineal – Modo 4 ..................................................................................................................83

Figura 181. Señal de control ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Simulación modo 4 .....84

Figura 182. Respuesta MPC no lineal ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Simulación

modo 4 ..........................................................................................................................................................84

Figura 183. Respuesta MPC no lineal ante una variación en el flujo de salida – Modo 4 ...........................84

Figura 184. Señal de control no lineal (Porcentaje de apertura de la válvula) ante una variación en el flujo

de salida – Modo 4 .......................................................................................................................................84

xiii

Figura 185. Señal de control no lineal (gpm) ante una variación en el flujo de salida – Modo 4 ................84

Figura 186. Señal de control no lineal ante una variación en el flujo de salida – Simulación modo 4 ........85

Figura 187. Respuesta MPC no lineal ante una variación en el flujo de salida – Simulación modo 4 ........85

xiv

Índice de tablas

Tabla 1. Parámetros iniciales modo 3 ..........................................................................................................13

Tabla 2. FIT obtenido con diferentes parámetros – Modo 3 ........................................................................18

Tabla 3. Parámetros iniciales modo 4 ..........................................................................................................20

Tabla 4. FIT obtenido con diferentes parámetros – Modo 4 ........................................................................23

Tabla 5. Desempeño control PID – Simulación modo 3 ..............................................................................34

Tabla 6. Desempeño control PID – Simulación modo 4 ..............................................................................38

Tabla 7. Desempeño control MPC –Simulación modo 3 .............................................................................50

Tabla 8. Desempeño control MPC – Simulación modo 4 ............................................................................58

Tabla 9. Características respuesta MPC – Modo 3 sistemas de tanques interactuantes ...............................62

Tabla 10. Desempeño MPC – Modo 3 sistemas de tanques interactuantes .................................................68

Tabla 11. Características respuesta MPC – Modo 4 sistemas de tanques interactuantes .............................70

Tabla 12. Desempeño MPC – Modo 4 sistemas de tanques interactuantes .................................................76

1

INTRODUCCIÓN

El control de nivel es un factor clave en los procesos industriales donde se requiere transportar, bombear y

almacenar fluidos permanentemente por todo un sistema. Actualmente estos sistemas hacen parte de todo

un proceso de producción que se debe mantener en observación permanentemente, pues cualquier falla

podría representar grandes pérdidas, lo cual se desea evitar al máximo. Los sistemas de tanques son y han

sido la mejor opción para cumplir con esta tarea dada su adaptabilidad a trabajar en diferentes procesos. El

diseño y modo de operación de estos tanques depende fuertemente de varios factores como la aplicación

en la que será usado, componente a transportar y las regulaciones ambientales. Por ejemplo, si el sistema

es bajo tierra, muchas consideraciones se deben tener en cuenta como el punto de ebullición del fluido, la

presión, temperatura, etc.

Estos factores llevan entonces a que los sistemas de tanques sean objeto de muchos estudios dado sus

diversas aplicaciones. En [1] se encuentra el diseño de todo un sistema de tanques interactuantes que

cuenta con diferentes modos de operación que son de interés para el presente trabajo. Se cuenta con un

tanque no lineal donde el área transversal depende del nivel de agua y con un tanque cilíndrico de área

transversal constante. Para este caso, los modos de interés son los llamados tres y cuatro debido a la

interacción presente en los tanques. En el modo tres, el flujo ingresa al tanque no lineal (tanque 1) que a su

vez está comunicado por medio de una tubería en su parte inferior con el tanque cilíndrico (tanque 2); de

esta manera parte del agua que ingresa al tanque no lineal se transfiere al tanque cilíndrico donde la

válvula que controla el flujo de salida se encuentra abierta. Para el modo de operación 4, el flujo de

entrada llega al tanque lineal donde por medio de la tubería mencionada anteriormente, un porcentaje de

agua es trasladado al tanque no lineal en el cual la válvula de control del flujo de salida está abierta. Más

adelante, se explicarán detalladamente los modos de operación.

Independientemente del número de tanques o si son o no interactuantes, existen variables que se deben

controlar como el nivel del fluido, con el fin de evitar su derrame, evaporación o filtración. Luego es

importante regular permanentemente este tipo de factores con el fin de obtener los resultados esperados y

asegurar la protección para las personas, los equipos y el medio ambiente. Para ello, en los sistemas de

control, existen diferentes técnicas y métodos que pueden ser aplicados para mantener el proceso bajo los

parámetros deseados.

Hacia finales de 1970 el control predictivo o MPC por sus siglas en inglés (Model Predictive Control)

surge como una técnica muy abierta a diferentes tipos de problemas, por lo que ha sido bien recibido en el

mundo académico y en la industria. Con el tiempo, su desempeño y presencia en los procesos industriales

se ha venido incrementando debido a los estudios y avances que se han desarrollado, como la creación de

nuevos algoritmos enfocados a aplicaciones en particular. El control predictivo no define una estrategia de

control en especial, sino por el contrario un amplio rango de métodos que se basan en cierto modelo del

sistema para encontrar la ley de control mediante la minimización de una función objetivo sujeta a las

restricciones del sistema. Los diferentes algoritmos que actualmente existen, se diferencian en la forma en

que modelan el sistema, los disturbios y la manera en que definen la función objetivo. Existe una gran

cantidad de aplicaciones de esta técnica de control, no solo en la industria y en el ámbito académico sino

también en procesos relacionados con aplicaciones que van desde la robótica hasta la electro medicina. El

gran auge del MPC surge en la industria, debido a su alto rendimiento y eficiencia para operar durante

largos periodos de tiempo sin necesidad de intervención alguna. MPC se volvió popular particularmente

2

en industrias de procesos químicos, debido a la simplicidad del algoritmo y del modelo utilizado

(respuesta paso).

Como ya se mencionó anteriormente, el control predictivo ha venido y continúa avanzando, brindando la

capacidad de tener en cuenta restricciones más complejas y así mismo la minimización de funciones

objetivo más complicadas. Se han obtenido avances también en la robustez del control, teniendo en cuenta

incertidumbres del proceso y diseñando el MPC de tal forma que se minimice la función objetivo para el

peor caso de incertidumbre. De esta manera, estos adelantos hacen pensar entonces que el control

predictivo continuará experimentando un gran crecimiento tanto en el mundo académico como en el

práctico. Un ejemplo de ello, es Honeywell, uno de los grandes fabricantes de sistemas de control

distribuido, quien ha venido implementando control predictivo robusto y multivariable en sus equipos de

control.

El presente proyecto, nace con la idea de estudiar, diseñar e implementar un método de control más

avanzado que las técnicas tradicionales sobre los modos de operación 3 y 4 del sistema de tanques

interactuantes presente en [1]. Dado la interacción entre los tanques, la no linealidad del sistema, lo que

dificulta el diseño del control, y el alcance del control predictivo el cual es regular sistemas que presenten

dinámicas complejas, es decir procesos inestables, multivariables, con la presencia de contantes

perturbaciones, con retardos, etc. el objetivo de este proyecto es regular el nivel de agua en los tanques

mediante la aplicación de un control predictivo. A continuación se realiza un estudio del modelo del

sistema de tanques interactuantes no lineal obtenido en [1] para los modos de operación 3 y 4. Mediante

pruebas realizadas sobre el sistema directamente, se efectúa una identificación de lo modos ya

mencionados con el fin de hacer una corrección de los parámetros que definen las ecuaciones diferenciales

que describen el comportamiento del nivel de agua en cada tanque. Posteriormente, mediante simulaciones

desarrolladas en MATLAB se hace un estudio del comportamiento de cada uno de los modos (3 y 4) y la

interacción de los tanques. Consecutivamente, se diseña un control PID y junto con la ayuda del toolbox

de MATLAB MPT (Multi Parametric Toolbox ), un control predictivo incluyendo el desempeño de cada

técnica sobre los modelos no lineales de cada modo. Finalmente, se hace un análisis del desempeño de los

controles diseñados al ser implementados directamente sobre el sistema de tanques interactuantes; y

mediante criterios de desempeño como tiempo de establecimiento, error de estado estacionario, máximo

pico porcentual, esfuerzo de la señal de control, entre otros, se hace una comparación entre los

controladores y los resultados obtenidos en simulación con el fin de destacar las ventajas del MPC frente a

las demás técnicas clásicas de control.

3

OBJETIVO GENERAL

Diseñar un control predictivo para un sistema de tanques interactuantes no lineal.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

- Realizar un estudio del modelo del sistema de tanques interactuantes no lineal contenido en [4] y

validarlo con mediciones.

- Aplicar un control clásico al sistema.

- Escoger y diseñar una estrategia MPC basada en el conocimiento del modelo y las restricciones

del sistema.

- Implementar el controlador MPC en el sistema de tanques interactuantes.

4

1. MARCO TEÓRICO

Para llevar a cabo un análisis completo de un sistema, es necesario conocer los modelos físicos, leyes,

ecuaciones y limitaciones que se apliquen para desarrollar correctamente el modelo que lo represente. Es

importante tener presente el número de entradas y salidas de la planta, pues es un factor clave en la

simulación. Cuando se habla de una única entrada y una salida, se hace referencia a un modelo SISO

(Single Input Single Output) y uno de tipo multivariable corresponde entonces a los sistemas MIMO

(Multiple Input Multiple Output).

Dado que la mayoría de los sistemas son de naturaleza variable, y sus salidas varían con el tiempo, por

medio de ecuaciones diferenciales es posible describir su comportamiento. Por lo tanto, para modelar este

tipo de sistemas se requiere el mismo número de ecuaciones que de parámetros de salida. De esta manera,

el orden y la linealidad de la ecuación diferencial descriptiva, define asimismo el orden de la dinámica del

sistema si es de tipo SISO. Es decir, si la ecuación es lineal, por ende el sistema también lo es. Para

encontrar la solución al modelo, se puede hacer uso de distintos métodos como el de la transformada de

Laplace que simplifica bastante la solución. En algunos casos, muchos de los parámetros son

desconocidos y a causa de la complejidad del sistema, es necesario realizar inducciones acerca de la

operación del sistema para llenar todos los parámetros.

Con el fin de entender el comportamiento de los sistemas hidráulicos, y a partir de las ecuaciones

características de estos sistemas lograr modelar el sistema de tanques interactuantes, a continuación se

incluyen las principales leyes relacionadas con este tipo de plantas.

1.1 ECUACIONES BÁSICAS DE LOS SISTEMAS HIDRAÚLICOS

Los sistemas hidráulicos están compuestos por cuatro componentes básicos que son:

1. Espacio para almacenar el flujo.

2. Una bomba para circular el fluido por todo el sistema.

3. Válvulas para regular el flujo.

A partir de estos componentes, los circuitos hidráulicos pueden generar diferentes combinaciones de

movimiento y fuerza.

1.1.1 Ecuación de continuidad

A partir del principio de conservación de la masa del flujo, la ecuación de continuidad define que la masa

de fluido que entra por un extremo es igual a la cantidad de masa que sale por el otro extremo, es decir que

para un líquido incompresible, el flujo es constante en todas las secciones transversales, luego se cumple

que:

2211 vAvA

5

donde,

A1: Área de la sección 1

A2: Área de la sección 2

v1: Velocidad del fluido en la sección 1

v2: Velocidad del fluido en la sección 2

1.1.2 Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli establece que a lo largo de una tubería, para un fluido incompresible y sin

fricción, la energía se mantiene constante. Está energía está compuesta por la energía cinética,

correspondiente a la velocidad del fluido, la potencial gravitacional dada la altura del líquido, y la energía

de flujo causada por la presión de este. De esta manera, la ecuación de Bernoulli se plantea como:

.2

2

CtegzPv

con,

v: Velocidad del fluido

ρ: Densidad del fluido

P: Presión del fluido

G: Gravedad

z: Altura del fluido respecto a un punto de referencia

El teorema puede ser aplicado a dos puntos cualesquiera como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Ecuación de Bernoulli

A partir de la figura 1, es posible plantear la siguiente ecuación:

2222

2

2111

1

2

1

22gzP

vgzP

v

6

1.1.3 Flujo en un punto

La cantidad de flujo en cierto punto, se puede determinar a partir de su velocidad y el área transversal en

dicho punto. De esta manera, el flujo (Q) se define como:

vAQ

siendo,

A: Área transversal en el punto de salida del fluido

v: Velocidad del fluido

1.2 CONTROL PID

Una de las técnicas clásicas de control más usadas, es el PID (Proporcional Integral Derivativo); método

que se basa en la unión de tres controladores, el proporcional, integral y derivativo. Se fundamenta en la

medición del error, es decir en la diferencia entre la referencia y la salida del sistema, pues a partir de esta

señal de error el controlador toma acciones correctivas. Con e(t) la señal de error y u(t) la señal de salida

del controlador, las acciones de cada modo son:

- Proporcional: La salida es directamente proporcional a la señal de error mediante una constante de

ganancia Kp como se muestra a continuación.

teKptu

- Integral: Actúa un poco lento debido a que su salida es proporcional a la acumulación del error por una

constante de ganancia Ki, definiéndola como:

t

deKitu0

- Derivativo: La acción de este modo, es proporcional a la velocidad de cambio del error, es decir a su

derivada y la constante Kd.

dt

tdeKdtu

1.3 CONTROL PREDICTIVO

A inicios de los años 70, el control predictivo surge con el objetivo de mejorar las técnicas clásicas de

control y optimizar los componentes de los procesos. Desde entonces ha sido ampliamente utilizado en la

industria debido a su fácil implementación, posibilidad de considerar restricciones y limitaciones físicas

de las plantas. El control predictivo se ha destacado como uno de los métodos más eficientes dado que

operan por largos periodos de tiempo y además requieren poca intervención del hombre. La estrategia de

esta técnica de control se ilustra en la figura 2.

7

Figura 2. Estrategia del control predictivo

El control predictivo hace uso del modelo del sistema para predecir las salidas en tiempos futuros. En

primer lugar, se definirá un horizonte de predicción N que depende de los valores pasados de las entradas

y salidas conocidos. Luego, la predicción tanto para la señal de salida como para la señal de control se

hará cada instante de tiempo t hasta N, expresando la salida como tkty para Nk ,....,2,1 [1] y la

señal de control como tktu para 1,....,2,1 Nk [1]. Teniendo en cuenta las restricciones del

sistema, se calculará la futura señal de control mediante la optimización de una función cuadrática del

error entre las señales predichas para la salida y la referencia, para enviarla al modelo donde sólo se

recibirá la señal ttu dado que ya se conoce el valor de la salida para los siguientes instantes de tiempo

( tkty para Nk ,....,2,1 ).

El modelo utilizado para la predicción de las salidas, debe ser lo más simple posible pero a su vez lo más

preciso. Por ejemplo, para un modelo lineal, la dependencia lineal entre las predicciones y las decisiones

futuras de control, facilita la optimización y el análisis del comportamiento en lazo cerrado. Por lo tanto el

modelo que genera las predicciones del sistema debe tener la mayor precisión posible para cumplir con el

propósito establecido. A diferencia del control PID, el control predictivo requiere y utiliza mayor

información del modelo, haciendo del diseño un proceso más completo debido a la consideración de más

características de la planta. La predicción realizada, debe ser suficiente para considerar todas las

dinámicas del sistema y así mismo debe ser aquella que logre minimizar la función objetivo, pues la idea

es optimizar el rendimiento de la predicción sujeto a ciertas limitaciones. Con la función de costo

apropiada, la estabilidad y sintonización se cumplen indirectamente. Lo importante es encontrar un

balance entre el rendimiento en diferentes lazos y tiempo de respuesta.

Los elementos básicos de los controladores predictivos son entonces:

1. Modelo de predicción: Se encarga como ya se mencionó, de realizar las predicciones para las

salidas del sistema representando lo más cerca posible las dinámicas de la planta. Existen

+ -

8

diferentes modelos que pueden ser utilizados como respuesta impulso, respuesta paso, función de

transferencia y espacio de estados.

2. Función objetivo: A partir de la predicción de las salidas, la secuencia uk,uk+1,…,uk+N es calculada

con la optimización de la función objetivo. Existe una gran variedad de funciones de desempeño

dado los diferentes algoritmos que hay para MPC. Sin embargo, de manera general, el objetivo del

control es lograr que la salida del sistema siga una señal de referencia w considerando el cambio

de la señal de control Δu, o simplemente su valor u. Dicha función objetivo puede ser representada

a partir de una forma cuadrática como se muestra a continuación.

CN

j

N

Nj

u jkujjkwtjkyjNNNJ1

22

21 1,,2

1

21, NN : Horizontes de predicción

NC: Horizonte de control

jj , : Pesos para el problema de optimización

De acuerdo con [8], una forma equivalente de representar la función J en su forma cuadrática es:

URUYRQYRJ TT

donde R es el vector de referencias para el vector de salidas Y y Q y R son matrices diagonales

definidas positivas que fijan pesos sobre los componente R, Y y ΔU.

3. Obtención de la ley de control: Para obtener los valores de la señal de control u(t+k|t) es

indispensable minimizar la función objetivo. Una vez se cuenta con la secuencia uk,uk+1,…,uk+N, el

primer término (uk) es aplicado al modelo, actualizando los estados y repitiendo el proceso

nuevamente.

Existe una gran variedad en los algoritmos de control a ser implementados. La figura 3 muestra los más

implementados.

9

Figura 3. Algoritmos para MPC

En [2] se presenta una mayor información acerca del modo de trabajo de cada uno de estos algoritmos.

La presencia de restricciones en el sistema para el diseño del control predictivo implica:

- Definición de los límites operacionales de la planta, y restricciones para la señal de entrada, su

tasa de cambio, los estados y las salidas.

- El objetivo del control se convierte entonces en la minimización de la función de desempeño

sujeto a restricciones de desigualdad, donde la señal de control es la variable de decisión.

- Resolver el problema de optimización con restricciones usando un método de programación

cuadrática en cada tiempo de muestreo para encontrar la solución óptima.

Para encontrar solución al problema de programación cuadrática, existen diferentes métodos de solución

como multiplicadores de Lagrange, condiciones de Karush Kuhn Tucker, primal y dual, entre otros.

10

2. MODELADO E IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA

Este capítulo se centra en la obtención del modelo general que contiene toda la dinámica del sistema para

posteriormente desarrollar una identificación que permita obtener el valor de los parámetros que logren un

mayor acercamiento del modelo. Teniendo en cuenta la teoría de mecánica de fluidos que estudia el

movimiento de estos y las fuerzas que lo provocan, se hará un estudio de los modos de operación 3 y 4

con el fin de establecer las ecuaciones que describen el comportamiento de cada modo. Así mismo, por

medio de un modelo dinámico, es necesario incluir la incidencia de la válvula que controla el flujo de

entrada al sistema.

2.1 MODO DE OPERACIÓN 3

Figura 4. Modo de operación 3

La figura 4 muestra el sentido de flujo del agua, que ingresa por el tanque con características no lineales y

se comunica por medio de una válvula con el tanque cilíndrico que contiene el orifico de salida hacia el

tanque de reserva.

Para desarrollar el modelo matemático es necesario plantear la ecuación de balance de masa para cada

tanque. Para el tanque no lineal se tiene:

121

11 QQdt

dhhA in

Donde A1 es el área de la sección transversal del tanque no lineal la cual está en función de la altura del

agua en ese mismo tanque (h1), Qin el flujo de entrada y Q12 el flujo de salida del tanque no lineal que sería

el mismo flujo de entrada para el tanque cilíndrico. De esta manera, la ecuación de balance de masa para

este último es:

outQQdt

dhA 12

22

11

Con A2 el área de la sección transversal del tanque cilíndrico, h2 el nivel del agua en el tanque lineal y Qout

el flujo de salida.

De acuerdo con el planteamiento desarrollado en [1], el flujo Q12 depende de la válvula que comunica los

dos tanques; luego este flujo se define como:

f

vG

ththgCQ 21

12

Siendo Cv el coeficiente de la válvula, ρ la densidad del agua, g la gravedad y Gf la gravedad específica del

agua.

Finalmente, las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de la altura para cada tanque

son:

2111

21

1

2 ththRL

G

ththgCQ

dt

dh f

vin

Con L el ancho del tanque 1 y R1 su radio.

2

2

21

2

R

QG

ththgC

dt

dhout

f

v

donde R2 es el radio del tanque cilíndrico.

2.2 MODO DE OPERACIÓN 4

Figura 5. Modo de operación 4

12

En este modo, el flujo ingresa por el tanque cilíndrico y sale por el tanque no lineal. Teniendo en cuenta

las mismas consideraciones que en el modo 3, la ecuación de balance de masa para el tanque cilíndrico es:

212

2 QQdt

dhA in

Siendo Q21 el flujo de salida del tanque cilíndrico y el de entrada para el tanque no lineal. La ecuación de

balance de masa para este último es:

outQQdt

dhA 21

11

Por lo tanto, las ecuaciones que describen la dinámica del sistema en este modo de operación son las

siguientes.

2

2

12

2

R

G

ththgCQ

dt

dh f

vin

2

111

12

1

2 hhRL

QG

ththgC

dt

dhout

f

v

2.3 IDENTIFICACIÓN

Con el fin de validar el modelo del sistema descrito por las anteriores ecuaciones para cada modo de

operación, es necesario comparar el comportamiento del sistema físico con los resultados obtenidos en

simulaciones implementadas en MATLAB. Para ello se llevó a cabo una serie de pruebas donde se varió

la amplitud del flujo de entrada aleatoriamente, su frecuencia y las condiciones iniciales para el nivel de

agua en cada tanque. Es importante resaltar que los niveles de medición mínimos de los sensores son 17

cm para el tanque no lineal y 25 cm para el lineal. Luego, con la misma señal de entrada aplicada al

sistema, se alimenta el modelo para lograr simular su respuesta y poder comparar ambas respuestas,

observando que existe una diferencia la cual es necesaria reducir para lograr un mejor acercamiento del

modelo al comportamiento del sistema.

Después de realizar unas pruebas iniciales con la válvula que controla el flujo de salida de los tanques

totalmente abierta, no era posible lograr que la altura del agua en el tanque cuyo nivel se quería controlar

aumentara un poco más de 1 cm de su condición inicial, incluso con el flujo máximo de entrada. Lo

anterior se debe a que la velocidad del flujo de salida es bastante parecido al de entrada, cuando la válvula

13

se encuentra totalmente abierta, luego para alcanzar un mayor rango, el flujo de salida debía disminuir, lo

cual se logró cerrando la válvula hasta cierto punto. Luego es importante anotar que las pruebas a

continuación fueron desarrolladas bajo ciertas condiciones que se deben tener en cuenta y que serán

especificadas para cada modo.

2.3.1 Modo 3

Para el modo de operación 3, las pruebas fueron desarrolladas bajo los siguientes parámetros:

- La válvula de salida del tanque lineal parcialmente cerrada.

- La válvula de salida del tanque no lineal totalmente cerrada.

- La válvula que comunica los dos tanques, abierta al 100 %.

En cuanto al modelo simulado, los valores de los parámetros de las ecuaciones descritas anteriormente se

encuentran en la siguiente tabla.

Parámetro Valor Unidad

Densidad del agua (ρ) 1000 Kg/m3

Coeficiente de la válvula que

comunica los tanques (Cv) 4,55883×10

-6

Pa

sm 3

Gravedad (g) 9,807 m/s2

Gravedad específica del agua (Gf) 1

Radio tanque cilíndrico (R2) 0,3 m

Radio tanque no lineal (R1) 0,6 m

Altura tanque no lineal (Z) 0,6 m

Área del orificio de salida del

tanque 2 (Ao) 1,2272×10

-4 m

2

Tabla 1. Parámetros iniciales modo 3

Las gráficas incluidas a continuación muestran la respuesta del sistema y el modelo ante un mismo flujo

de entrada el cual va indicado. La señal de entrada seleccionada para las pruebas es una señal cuya

amplitud y frecuencia varían aleatoriamente para poder observar el comportamiento del sistema ante

diferentes valores de flujo de entrada. Esta aleatoriedad en el flujo marca una diferencia en las pruebas que

evita tener un comportamiento similar en ellas el cual puede llevar a una identificación errónea del

sistema.

Las figuras correspondientes a los niveles de agua en los tanques están compuestas por cuatro señales. Las

azules corresponden a los datos obtenidos del sistema real y las rojas a los resultados obtenidos de

simulación. Para cada caso, la señal que siempre se encuentra por encima de la otra de igual color, es el

nivel de agua en el tanque 1 y la restante es el nivel en el tanque 2.

14

Prueba # 1

Prueba # 2

Prueba # 3

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

0 100 200 300 400 500 600 700 800-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

Figura 7. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación –

Figura 9. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Segunda prueba

15

A partir de los resultados mostrados anteriormente, se puede observar que existe una diferencia en el

comportamiento de las alturas entre el sistema real y la simulación del modelo. Luego es necesario

corregir el modelo realizando una identificación del sistema con el fin de obtener una representación

apropiada para el diseño de los controladores. Para llevar a cabo la identificación, se hizo uso del toolbox

de MATLAB “System Identification Toolbox”, el cual cuenta con una gran variedad de herramientas para

la identificación de sistemas.

Para este caso, el método usado consiste en la estimación de modelos no lineales por caja gris a partir de

un conjunto de datos de la salida y entrada del sistema. Los modelos de caja gris describen el sistema por

medio de ecuaciones diferenciales cuyos parámetros son desconocidos. A través de valores iniciales

definidos con anterioridad para los parámetros de las ecuaciones, se hace una comparación entre los datos

obtenidos para la entrada y salida del sistema y la respuesta de la ecuación diferencial al mismo arreglo de

datos de entrada. Es decir, se definen las ecuaciones diferenciales que describan el sistema a identificar,

luego con el vector de entrada obtenido experimentalmente se alimentan las ecuaciones para observar

simultáneamente sus salidas con las del sistema físico. Finalmente, de acuerdo con el resultado de dicha

comparación, se definen los parámetros de las ecuaciones diferenciales que se deseen estimar. La

estimación se desarrolla utilizando un método iterativo de minimización del error cuya función objetivo a

minimizar es:

N

t

teOF1

2.

tytyte~

donde,

simulado modelo del obtenido salidas deVector :

pruebas las de obtenido salidas deVector :

~

ty

ty

0 50 100 150 200 250 300 3500

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

Figura 11. Flujo de entrada – Tercera prueba Figura 10. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación –

16

Para la estimación de los parámetros se debe tener en cuenta que la densidad del agua, la gravedad, la

gravedad específica, los radios y las alturas de los tanques y el área de la sección transversal del tanque

cilíndrico están definidos. Dado que la mayoría de los parámetros del modelo son conocidos, la estimación

se efectúa únicamente sobre el coeficiente de la válvula de comunicación entre los tanques (Cv) y el área

de salida del flujo (Ao). Para lograr obtener una medida de la aproximación del modelo estimado al

sistema real se calcula el FIT (dado su significado en inglés que es ajuste), el cual es una medida que

establece el porcentaje de acercamiento entre el modelo y el sistema. Este es calculado mediante la

siguiente formula establecida en [7].

%1001

yy

yy

FIT

yy

y

y

vector del medioValor :

sistema del salida deVector :

simulado modelo del salida deVector :^

Las figuras a continuación comparan los datos obtenidos experimentalmente de las pruebas mostradas

anteriormente con la simulación del modelo a partir de los parámetros estimados de cada prueba con el fin

de obtener el modelo del sistema con el mejor FIT.

Prueba # 1

Coeficiente de la válvula: 2,3×10-6

Pa

sm 3

Área de salida: 9,5×10-6

m2

0 200 400 600

0.45

0.5

0.55

Nivel Tanque No Lineal. (sim)

Niv

el T

anque N

o L

ineal (m

)

z; measured

nlgr; fit: 90.95%

0 200 400 6000.42

0.44

0.46

0.48

Nivel Tanque Cilíndrico. (sim)

Time (s)

Niv

el T

anque C

ilíndrico (

m)

z; measured

nlgr; fit: 95.65%

Figura 12. Identificación sistema modo 3 – Primera prueba

17

Prueba # 2


gpm/psi


Pa

sm 3


m2

Prueba # 3

0 50 100 150 200 250 3000.45

0.5

0.55


Niv

el T

anque N

o L

ineal (m

)

z; measured

nlgr; fit: 91.68%

0 50 100 150 200 250 300

0.46

0.47

0.48

0.49


Time (s)

Niv

el T

anque C

ilíndrico (

m)

z; measured

nlgr; fit: 94.04%

0 200 400 600 800

0.4

0.45

0.5

0.55


Niv

el T

anque N

o L

ineal (m

)

z; measured

nlgr; fit: 76.73%

0 200 400 600 800

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42


Time (s)

Niv

el T

anque C

ilíndrico (

m)

z; measured

nlgr; fit: 89.11%

Figura 13. Identificación sistema modo 3 – Segunda prueba

18


Pa

sm 3


m2

A partir de los anteriores resultados y demás pruebas desarrolladas, se presenta la siguiente tabla

indicando la estimación de los parámetros y el FIT de los tanques para cada prueba.

Cv [

⁄

]

Ao [m] FIT Tanque Lineal

[%]

FIT Tanque No

Lineal[%]

2,3×10-6

9,5×10-6

90,95 95,65

2,1×10-6

1,1×10-6

89,11 76,73

2,4×10-6

7,4×10-6

94,04 91,68

1,9×10-6

1,1×10-5

83,86 92,19

2,9×10-5

2,6×10-6

25,53 88,63

2,1×10-6

9,7×10-6

92,58 86,95 Tabla 2. FIT obtenido con diferentes parámetros – Modo 3

De las estimaciones obtenidas anteriormente, se seleccionan los parámetros con los que se obtiene un

mejor FIT para ambos tanques. Los nuevos parámetros a remplazar en el modelo desarrollado en [1] son

entonces:

Coeficiente de la válvula: 2.41954×10-6

Pa

sm 3

Área de salida: 7.4191×10-6

m2

Una vez seleccionado los valores para los anteriores parámetros, es necesario validar el nuevo modelo y

verificar que represente de manera adecuada las dinámicas del sistema. Para ello se realizaron nuevas

pruebas utilizando el mismo procedimiento que las anteriores, es decir, alimentando el sistema de tanques

interactuantes con un flujo de entrada aleatorio y observando el comportamiento del nivel de agua en cada

tanque. Luego con la misma señal de entrada se simula el sistema con los nuevos parámetros y se compara

la respuesta del sistema con la obtenida en simulación encontrando el FIT de cada tanque.

Prueba # 1

0 50 100 150 200 250 300

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

Figura 15. Validación del modelo obtenido – Primera validación

19

FIT (Tanque Cilíndrico) = 95,4653 % FIT (Tanque No Lineal) = 89,5705 %

Prueba # 2


Prueba # 3


0 50 100 150 200 250 300-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

0 50 100 150 200 250 300

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 50 100 150 200 250 300 350

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 50 100 150 200 250 300 350-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

Figura 19. Validación del modelo obtenido – Tercera validación

20

Como se puede observar, el FIT obtenido en cada prueba es bastante alto, indicando entonces que el

modelo representa al sistema real. Luego el modelo identificado puede ser usado para el diseño de las

técnicas de control.

2.3.2 Modo 4

Para el modo de operación 4, las pruebas fueron desarrolladas bajo los siguientes parámetros:

- La válvula de salida del tanque lineal totalmente cerrada.

- La válvula de salida del tanque no lineal parcialmente cerrada.

- La válvula que comunica los dos tanques, abierta.

En cuanto al modelo simulado, los valores de los parámetros de las ecuaciones descritas anteriormente se

encuentran en la siguiente tabla.

Parámetro Valor Unidad

Densidad del agua (ρ) 1000 Kg/m3

Coeficiente de la válvula que

comunica los tanques (Cv) 4,55883×10

-6

Pa

sm 3

Gravedad (g) 9,807 m/s2

Gravedad específica del agua (Gf) 1

Radio tanque cilíndrico (R2) 0,3 m

Radio tanque no lineal (R1) 0,6 m

Altura tanque no lineal (Z) 0,6 m

Área del orificio de salida del

tanque 1 (Ao) 1,2272×10

-4 m

2

Tabla 3. Parámetros iniciales modo 4

Las gráficas a continuación muestran la respuesta del sistema y el modelo ante un mismo flujo de entrada

el cual también va indicado. Esta señal de entrada seleccionada para las pruebas es una señal cuyo valor y

frecuencia varían aleatoriamente con el fin de observar el comportamiento del sistema ante diferentes

valores para el flujo de entrada. La aleatoriedad en el flujo marca una diferencia en las pruebas que evita

tener un comportamiento similar en ellas el cual puede llevar a una identificación errónea del sistema.

Prueba # 1

Figura 21. Flujo de entrada – Modo 4, primera prueba

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

21

Prueba # 2

Prueba # 3

De la misma manera que en el modo 3, existe una diferencia en el comportamiento de las alturas entre el

modelo y el sistema como tal. Luego es necesario realizar una corrección al modelo para tener un mejor

acercamiento al verdadero comportamiento del sistema. Mediante el mismo método trabajado en el modo

3, la identificación desarrollada arrojó los siguientes resultados en cuanto a la estimación del modelo:

Prueba # 1

Figura 23. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Modo

4, segunda prueba

Figura 24. Flujo de entrada – Modo 4, segunda prueba

Figura 25. Comparación nivel de los tanques del sistema con simulación – Modo 4, Figura 26. Flujo de entrada – Modo 4, tercera prueba

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Flujo de entrada

0 100 200 300 400 500 6000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Flujo de entrada

22

Figura 27. Identificación sistema modo 4 – Primera prueba


Pa

sm 3


m2

Prueba # 2

0 100 200 3000.22

0.24

0.26

0.28


Niv

el T

anque N

o L

ineal (m

)

z; measured

nlgr; fit: 80.27%

0 100 200 300

0.4

0.5

0.6


Time (s)

Niv

el T

anque C

ilíndrico (

m)

z; measured

nlgr; fit: 94.49%

0 100 200 300

0.3

0.32

0.34


Niv

el T

anque N

o L

ineal (m

)

z; measured

nlgr; fit: 84.76%

0 100 200 300

0.4

0.5

0.6


Time (s)

Niv

el T

anque C

ilíndrico (

m)

z; measured

nlgr; fit: 88.67%

Figura 28. Identificación sistema modo 4 – Segunda prueba

23


Pa

sm 3

Área de salida: 3.2087×10-6

m2

Prueba # 3

Figura 29. Identificación sistema modo 4 – Tercera prueba

Coeficiente de la válvula: 1,16758 ×10-6

Pa

sm 3


m2

Teniendo en cuenta los anteriores resultados de la identificación del sistema y junto con otras pruebas

adicionales se presenta la siguiente tabla que indica el valor de los parámetros obtenidos en cada prueba

junto con el FIT de cada tanque.

Cv [

⁄

]

Ao [m] FIT Tanque Lineal

[%]

FIT Tanque No

Lineal[%]

1,3×10-6

4,9×10-6

94,49 80,27

1,1×10-6

3.2×10-6

88,67 84,76

1,2×10-6

2,8×10-6

91,88 85,54

1,4×10-6

5,9×10-6

88,37 88,98

1,3×10-6

5,4×10-6

94,22 81,87

1,2×10-6

8,5×10-6

90,77 75,73 Tabla 4. FIT obtenido con diferentes parámetros – Modo 4

0 100 200 300 400 500

0.26

0.28

0.3

0.32

Nivel Tanque No Lineal. (sim)N

ivel T

anque N

o L

ineal (m

)

z; measured

nlgr; fit: 85.54%

0 100 200 300 400 5000.3

0.4

0.5

0.6


Time (s)

Niv

el T

anque C

ilíndrico (

m)

z; measured

nlgr; fit: 91.98%

24

A partir de la tabla, se observa que para algunos de los parámetros el FIT es bastante parecido, sin

embargo, teniendo en cuenta las diferencias numéricas entre los porcentajes, es posible establecer que los

parámetros con los que se obtiene un mejor FIT son:

Coeficiente de la válvula: 1,2 ×10-6

Pa

sm 3


m2

De igual forma que con el modelo obtenido para el modo 3, es necesario validar el modelo para este modo

de operación. Utilizando el mismo procedimiento, a continuación se muestran los resultados obtenidos con

pruebas adicionales para la validación del modelo con lo anteriores parámetros.

Prueba # 1


Prueba # 2

Figura 32. Validación del modelo obtenido – Modo 4, segunda

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

0 100 200 300 400 500 6000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

25


Prueba # 3


De acuerdo con el FIT obtenido en las anteriores pruebas, se observa que el modelo presenta un buen

acercamiento al sistema de tanques interactuantes, luego el modelo establecido será usado para el diseño

de los controladores a ser implementados en el modo de operación 4.

2.4 MODELO DINÁMICO DE LA VÁLVULA

Es importante tener en cuenta que la válvula que controla el flujo de entrada al sistema recibe un número

de 0 a 100 como entrada, que indica el porcentaje de apertura al cual debe abrirse para permitir el paso del

agua. Sin embargo el tiempo de respuesta de la válvula no es inmediato, lo cual afecta el desempeño del

control. Entonces, es necesario tener en cuenta ese tiempo de reacción mediante un modelo de la válvula.

De esta manera se tiene el siguiente esquema de control:

VÁLVULA SISTEMA

TANQUES

CONTROL

SETPOINT

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Real

Modelo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Flujo de entrada

26

Para definir el modelo de la válvula se envió como entrada una señal tipo paso a la válvula de una

amplitud del 40 % con el fin de observar su respuesta a una entrada tipo paso y a partir de ella, obtener un

modelo de primer orden para la válvula.

Figura 37. Respuesta de la válvula ante una entrada paso

De la figura 37 se observa que hay un tiempo de retardo de 1 segundo en la respuesta de la válvula, luego

es necesario obtener un modelo de primer orden más tiempo muerto. De acuerdo con la metodología

presente en [6] para modelar un sistema cuya respuesta a una entrada paso es de la forma anterior, el

modelo de la válvula es entonces:

155,1

002,11

sesG s

válvula

De igual forma que con los modelos de los modos de operación, el modelo obtenido anteriormente

requiere de una validación. Para ello se realizaron pruebas adicionales con el fin de observar el

comportamiento simultáneo de la válvula y su modelo, para posteriormente calcular el FIT obtenido con la

simulación de tal forma que permita tener una medida del acercamiento del modelo a la válvula como tal.

Las gráficas a continuación indican la referencia a seguir de la válvula, junto con su respuesta y la del

modelo.

0 5 10 15 20 250

20

40

60Respuesta de la válvula a una entrada paso

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

[%

]

6 7 8 9 10 11 12

10

20

30

40

50

Respuesta de la válvula a una entrada paso

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

[%

]

Respuesta válvula

Referencia

Respuesta válvula

Referencia

27

FIT = 71,9910 % FIT = 79,8226 %

Figura 40. Validación modelo válvula – Tercera prueba

FIT = 88,2545 %

A partir de las anteriores figuras, se observa que la respuesta del modelo de primer orden más tiempo

presenta un comportamiento similar al de la válvula a pesar de ser la respuesta del modelo un poco más

suave. Los tiempos de establecimiento son muy parecidos para ambos casos al igual que el tiempo de

retardo. Luego, el modelo obtenido de primer orden representa correctamente el comportamiento de la

válvula y de esta manera puede ser usado en el esquema de control presentado anteriormente en la figura

36.

0 5 10 15 20 250.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5Respuesta paso

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

[%

]

Real

Referencia

Simulación

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2045

50

55

60

65

70

75Respuesta paso

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

Real

Referencia

Simulación

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2020

25

30

35

40

45

50

55Respuesta paso

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

[%

]

Real

Referencia

Simulación

28

2.5 SIMULACIONES

Para simular el comportamiento del sistema a partir de las ecuaciones que describen la dinámica de cada

modo de operación, se hace uso de MATLAB junto con Simulink. A partir de las ecuaciones diferenciales

descritas anteriormente, se desarrolla una función en MATLAB con parámetros de entrada el nivel de

agua en cada tanque y como salida la derivada de cada nivel respecto al tiempo. Mediante la

implementación gráfica de dicha función en Simulink por interconexión de bloques, es posible observar

las señales de interés en el tiempo para lograr observar la respuesta del sistema ante ciertos valores de

flujo de entrada, el tiempo de estabilización y relación entre los niveles para luego diseñar las técnicas de

control.

Usando un flujo de entrada de 4,9 3

4

s

m 104 , el cual es el flujo máximo para el sistema, y con las

mínimas condiciones iniciales (17 cm para el tanque no lineal y 25 para el cilíndrico) el nivel en los

tanques presenta el comportamiento mostrado a continuación.

Figura 41. Nivel de agua en los tanques ante un flujo de entrada constante en el modo de operación 3

A partir de la gráfica se observa que el nivel del tanque 1 (TK-01) llega a su nivel máximo de 0,6 metros

en aproximadamente 340 s iniciando en su nivel mínimo de 0.17 m. Así mismo, en este tiempo el nivel en

el tanque cilíndrico llega hasta los 0.33 m. Entonces, el rango de nivel para las condiciones iniciales

mínimas de cada tanque, en el que puede ser controlado el tanque 2 (tanque cilíndrico) es entre los 0.26 m

y 0.33 m dado la limitación del sensor, la dinámica del sistema y la interacción entre los dos tanques. Sin

embargo, para otras condiciones iniciales, el nivel de referencia para el controlador puede aumentar un

poco, dependiendo de la relación entre las alturas de los tanques. Por ejemplo, si ambos tanques

comienzan en 0.33 m, la altura del tanque lineal va a incrementarse, no en la misma proporción que al

empezar en su nivel mínimo, pero aumenta. No obstante, esto no significa que el rango de control aumente

en la misma cantidad, ya que para mantener el nivel de referencia establecido en el tanque lineal, su nivel

de agua tiene que tener cierta relación con el nivel en el tanque no lineal, pues la altura en este último debe

ser mayor para lograr un estado estable en el sistema.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque No Lineal

Nivel Tanque Lineal

29

Empleando el flujo máximo en el modo 4 y con las condiciones iniciales mínimas de cada tanque, se tiene

la siguiente gráfica descriptiva del nivel de agua en los tanques.

Figura 42. Nivel de agua en los tanques ante un flujo de entrada constante en el modo de operación 4

En este modo de operación, el nivel en el tanque 2 (TK-02) alcanza su altura máxima en un tiempo

aproximadamente de 320 s. Así mismo, el tanque no lineal en dicho tiempo alcanza una altura de 0.24 m,

lo que significa que este valor será el máximo a regular para las condiciones iniciales mínimas. Sin

embargo, se debe tener en cuenta que al cambiar las condiciones iniciales, el rango puede aumentar

dependiendo de la dinámica para este modo y la relación que exista entre los niveles de agua en cada

tanque como ya se explicó anteriormente para el modo 3.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


30

3. DISEÑO Y SIMULACIÓN DE LOS CONTROLADORES

3.1 CONTROL PID

El siguiente capítulo se centra en el diseño de un control PID sobre el sistema linealizado del modelo del

sistema de tanques interactuantes para cada modo de operación. Una vez se cuenta con el modelo del

controlador, se hará un análisis del efecto del control sobre el modelo no lineal a través de simulaciones

que permitan observar su desempeño.

Tradicionalmente, los controladores PID son sintonizados o bien manualmente o basándose en métodos

manuales que son iterativos y consumen demasiado tiempo. Adicionalmente, estos métodos presentan

ciertas limitaciones en el tipo de sistema ya que no soportan sistemas inestables y de orden elevado. De

esta manera, para el diseño del controlador PID se hizo uso de la herramienta “Simulink Control Design

PID Tuner” la cual sintoniza las ganancias PID automáticamente en un sistema que contenga el bloque “

PID controller (2DOF)”. Este sintonizador brinda la posibilidad de lograr un buen balance entre

desempeño y robustez del controlador.

El esquema del control PID utilizado es el siguiente:

yr

sN

NKyr

sKyrK dip

1

1

1 (1)

donde,

r: Referencia

y: Salida

Kp = Constante proporcional

Ki = Constante integral

Kd = Constante derivativa

N = Coeficiente del filtro

Utilizando entonces este método para el diseño del PID, a continuación se incluyen los valores de cada

ganancia (Kp, Ki, Kd) y del coeficiente del filtro obtenidos al sintonizar el controlador para cada modo.

3.1.1 Modo de operación 3

Después de sintonizar los parámetros del controlador para regular el nivel en TK-02 con el fin de lograr un

tiempo de respuesta alrededor de los 3000 s y un error en estado estable menor al 1 %, se obtuvieron los

siguientes valores para los parámetros del controlador:

Kp= 0.012

Ki= 2.09×10-6

Kd= -0.40

N= 0.02

31

Al simular el desempeño del control sobre el modelo lineal ante una referencia unitaria, el resultado

obtenido es el siguiente:

Figura 43. Respuesta control PID sobre el modelo lineal - Modo 3

De la respuesta anterior, se observa que el control presenta un buen desempeño ya que alcanza el setpoint

satisfactoriamente y con un buen tiempo de respuesta teniendo en cuenta que el sistema en sí es lento. Sin

embargo, al simularlo sobre el modelo no lineal directamente, con condiciones iniciales iguales a las del

punto de operación (Nivel tanque lineal = 0,29 m y Nivel tanque no lineal = 0,31 m) el resultado es

totalmente diferente, tal y como se muestra a continuación.

Figura 44. Respuesta control PID sobre el modelo no lineal – Modo 3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0.29

0.295

0.3

0.305

0.31

0.315

0.32

0.325

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3

Referencia

Nivel Tanque Lineal


32

Figura 45. Señal de control del PID sobre modelo no lineal – Modo 3

Con el objetivo de analizar el desempeño del control PID sobre el modelo simulado del modo 3, se

desarrollaron pruebas de robustez tales como respuesta del control a un cambio de referencia, perturbación

en el nivel de agua del tanque cilíndrico y variación en el flujo de salida, manteniendo las mismas

condiciones iniciales de la anterior respuesta (Nivel tanque cilíndrico = 0,29 m y nivel tanque no lineal =

0,31 m). A continuación se incluyen los resultados obtenidos para cada prueba.

Cambio de referencia

En esta prueba, se hizo un cambio de referencia al control de 0,3 m a 0,32 m después de haber alcanzado

el estado estable para el primer setpoint. Los resultados fueron:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

1

2

x 10-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

33

Variación en el flujo de salida

Para esta prueba, después de llegar al estado estable, se aumentó el flujo de salida del tanque cilíndrico en

un factor de dos. El comportamiento obtenido es el siguiente:

Perturbación en el nivel del tanque cilíndrico

En este caso, se perturbó el nivel de agua en el tanque lineal reduciendo su nivel en 0,1 m después de

estabilizarse en la referencia.

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

0.29

0.295

0.3

0.305

0.31

0.315

0.32

0.325

0.33

0.335

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

-5

Tiempo [s]F

lujo

de e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

Figura 48. Variación en el flujo de salida PID – Simulación modo 3

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

0.29

0.295

0.3

0.305

0.31

0.315

0.32

0.325

0.33

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

Figura 50. Perturbación nivel PID – Simulación modo 3

34

La tabla a continuación contiene los valores de cada una de las características para las anteriores pruebas

realizadas.

Característica Respuesta a una

referencia

Cambio de

referencia

Ampliación del

área de salida por

un factor de 2

Perturbación de

0,1 m en el

tanque 2

Tiempo de

establecimiento

(s)

2036 3515 6200 2801

Error en

estado estable

(%)

0,333 0,6250 0,2667 0,2333

Tiempo de

subida (s) 141 190 372 153

Tiempo de pico

(s) 322 540 502 359

Porcentaje de

sobre pico (%) 2,0401 7,5448 0,5682 2,4

Máximo valor

de la señal de

control (gpm)

1,3082 3.5655 1,2749

1,65

Tabla 5. Desempeño control PID – Simulación modo 3

Como se puede observar, ante una variación en el flujo de salida el tiempo de estabilización aumenta

bastante, no obstante la señal de control presenta un buen comportamiento ya que no contiene cambios

bruscos y lograr estabilizarse en su valor final, lo que es una conducta deseada para ser aplicada al sistema

de tanques interactuantes como tal. El porcentaje de error en estado estable para todos los casos no pasa

del 1 % lo cual es bueno.


Conservando el mismo esquema presente en la ecuación (1), los valores para los parámetros obtenidos de

igual forma que en el modo 3 son:

Kp= 0.006

Ki= 2.4×10-6

Kd= 3.22

N= 0.02

La repuesta del modelo lineal ante la implementación del controlador es:

35

Figura 52. Respuesta control PID sobre el modelo lineal – Modo 4

Como se puede observar, el desempeño del control sobre el modelo lineal del sistema para el modo de

operación 4, presenta un buen tiempo de respuesta y llega a la referencia sin problema alguno. No

obstante, el efecto del control al simularlo sobre el modelo no lineal con condiciones iniciales iguales a las

del punto de operación (Nivel tanque lineal = 0,31 m y Nivel tanque no lineal = 0,28 m) cambia un poco

tal y como se ve en la figura 53.

Figura 53. . Respuesta control PID sobre el modelo no lineal – Modo 4

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4

Referencia

Nivel Tanque Lineal


36

Figura 54. Señal de control PID sobre modelo no lineal – Modo 3

Con el propósito de analizar el desempeño del control PID sobre el modelo simulado del modo 4, se

desarrollaron las mismas pruebas de robustez que en el modo 3, manteniendo las mismas condiciones

iniciales de la anterior respuesta (Nivel tanque cilíndrico = 0,28 m y nivel tanque no lineal = 0,317 m). A

continuación se incluyen los resultados obtenidos para cada prueba.


La respuesta del control ante un cambio de referencia de 0,30 m a 0,32 m se muestra a continuación.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

1

2

3

4

5

6x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

1

2

3

4

5

6x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

37


Ante un aumento en el flujo de salida por un factor de 2, la respuesta del PID es:

Perturbación en el nivel del tanque no lineal

Tras una perturbación en el nivel del tanque no lineal la cual consistió en una reducción de 0,1 m en la

altura del agua, la respuesta del controlador es:

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

1

2

3

4

5

6x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

Figura 58. Señal de control PID ante una variación en el flujo de salida –

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

1

2

3

4

5

6x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

Figura 60. Señal de control ante una perturbación en el nivel del

38

La tabla a continuación contiene los valores de cada una de las características para las anteriores pruebas

realizadas.


referencia

Cambio de

referencia

Ampliación del

área de salida por

un factor de 2

Perturbación de

0,1 m en el

tanque 2

Tiempo de

establecimiento

(s)

4930 4097 4757 4608

Error en

estado estable

(%)

0,1667 0,25 0,10 0,20

Tiempo de

subida (s) 520 389 2941 252

Tiempo de pico

(s) 774 869 3817 656

Porcentaje de

sobre pico (%) 0,667 2,6250 0,067 2,0333

Máximo valor

de la señal de

control (gpm)

7,7890 7,7890 4,7720 7,7890

Tabla 6. Desempeño control PID – Simulación modo 4

De acuerdo con la tabla anteriormente mostrada, el control diseñado presenta un buen desempeño ya que

el esfuerzo de la señal de control no es alto, el error en estado estable es menor al 1 % y los tiempos de

respuesta son rápidos considerando la dinámica del sistema para este modo. Luego el control PID puede

implementarse sobre el sistema directamente con el fin de esperar un comportamiento similar al

presentado.


Este capítulo se centra en el diseño y evaluación del control predictivo sobre el modelo matemático del

sistema haciendo uso del toolbox MPT (Multi-Parametric Toolbox) [8] en MATLAB y verificando su

desempeño mediante simulaciones implementadas en Simulink.

El toolbox MPT es usado para el diseño, análisis y despliegue de controles óptimos para problemas con

limitaciones físicas y sistemas tanto no lineales como híbridos. La eficiencia del código implementado es

bastante alta dado que cuenta con una extensa librería de algoritmos computacionales geométricos y de

optimización. Posee una amplia gama de algoritmos compilados en un formato fácil de usar y accesible;

desde problemas con objetivos de rendimiento diferentes como lineal hasta cuadrático. Brinda la

posibilidad de agregar restricciones de acuerdo con las limitaciones físicas del sistema, y desarrollar

funciones objetivo personalizadas.

39

Antes de diseñar el control predictivo, es importante conocer cómo ajustar sus parámetros para cumplir

con los requerimientos del problema. Para ello se debe tener en cuenta que:

- Se debe seleccionar el horizonte de control de tal forma que se obtenga la mejor relación entre el

tiempo de predicción y complejidad del problema, dado que un horizonte pequeño disminuye el

tiempo en el que el controlador MPC predice las salidas. Sin embargo un horizonte extenso,

representa un mayor número de muestras para realizar la predicción, pero así mismo se

incrementan los cálculos necesarios para la solución del problema de optimización.

- La regla de Bryson es una herramienta útil para seleccionar el valor de las matrices de peso Q y R

de la función objetivo. Aunque esta regla puede brindar buenos resultados, en ocasiones es sólo un

valor de inicio para un proceso de prueba y error para la selección de dichas matrices.

- Es posible contemplar restricciones sobre las variables de estado, las salidas y así mismo las

entradas del sistema.

Es importante tener en cuenta que al ser un problema de programación cuadrática con funciones de costo

cuadráticas, la función objetivo se hace convexa, lo cual garantiza una solución al problema para cierto

punto. De esta manera, el problema a optimizar es el siguiente:

maxmin

maxmin

maxmin

0

1

0

,,

ykyy

ukuu

ukuu

kwkukxgky

kuRkukwkyQkwky

dyn

Nc

k

TN

k

T

donde,

Δu vector que representa la tasa de cambio de la entrada – variable de decisión

y vector de salida

w vector de referencia

N horizonte de predicción

Nc horizonte de control

Q matriz de peso de las salidas

R matriz de peso del cambio en las entradas

umin, umax restricciones de las entradas

Δumin, Δumax restricciones en los cambios de las entradas

ymin, ymax restricciones en las salidas

El término gdyn(x(k),u(k)) corresponde a la función de actualización de las salidas.

ts

Nuu

.

min)1(),...,0(

40

La definición de los valores de los parámetros del MPC no se rige bajo ninguna norma ni método, esta se

realiza teniendo en cuenta la dinámica del proceso, si es un sistema lento o no, las restricciones, los

objetivos del control y demás, para iniciar con ciertos valores, y a partir del comportamiento del control

realizar ajustes en los parámetros teniendo en cuenta el efecto de cada uno sobre la planta. No obstante,

existen ciertos métodos que dan un indicio para definir el valor de algunos parámetros. De acuerdo con la

regla de Bryson [10], el término Q es una matriz diagonal cuyos valores de la diagonal pueden ser

obtenidos mediante la siguiente ecuación:

n1,2,3,...,

12

isalidaslasparaaceptablevalormáximo

Qii

donde n es el número de salidas.

A continuación se incluye el proceso de diseño del control predictivo y su desempeño sobre el modelo no

lineal de los modos de operación 3 y 4.


Debido a que el diseño del control, requiere de un modelo linealizado del sistema, es necesario encontrar

aquel modelo lineal que brinde un mejor desempeño del control. Teniendo en cuenta las simulaciones

desarrolladas en la sección 2.5, y considerando que el nivel de agua máximo para el tanque lineal es 0,69

m, se define de antemano un nivel de referencia para este último de 0,3 m. De esta manera, se obtuvieron

diferentes modelos linealizados de las ecuaciones diferenciales descritas anteriormente alrededor de dicho

punto con el fin de diseñar un control a partir de cada modelo y examinar el comportamiento del control

sobre el modelo no lineal del modo de operación 3.

Siendo el nivel 1, el nivel en el tanque no lineal y el nivel 2, el nivel en el tanque no lineal, los modelos

linealizados son:

- Nivel 2: 0,3 m Nivel 1: 0,31 m Flujo de entrada: 2,36×10-5

m3/s (Primer modelo)

004343,0004237,0

003801,00038,0A

0

173,3B

10

01C

0

0D


m3/s (Segundo modelo)

41

003102,0002996,0

002661,0002657,0A

0

141,3B

10

01C

0

0D


m3/s (Tercer modelo)

002552,0002446,0

002152,0002147,0A

0

111,3B

10

01C

0

0D

La ecuación para cada modelo está en la forma matricial que es:

BuAxx

DuCxy

Con,

2

1

h

hx

inQu

Teniendo en consideración los modelos anteriores y la regla de Bryson, los parámetros seleccionados para

un primer diseño del controlador son:

- Periodo de muestreo: 1 s

- Valor mínimo para la señal de control: 0 m3/s

- Valor máximo para la señal de control: 4,9 x 10-4

m3/s

- Valor mínimo para los estados y las salidas (nivel en los tanques): 0 m

- Nivel máximo para el tanque lineal: 0,69 m

- Nivel máximo para el tanque no lineal: 0,59 m

- Horizonte de predicción: 5

- Horizonte de control: 1

- Nivel de referencia para el tanque cilíndrico: 0,30 m

- Norma matricial: 2

42

-

20

02Q

- 1R

Dado que para el control no es de interés que el nivel de agua en el tanque no lineal siga una referencia, la

matriz de peso para las salidas Q se define como:

20

00Q

Habiendo precisado los parámetros del controlador mediante un código implementado en MATLAB [8] y

simulado junto con el toolbox de MPT, el comportamiento obtenido para las salidas del modelo no lineal

(nivel de agua en los tanques), y la ley de control para cada uno de los modelos indicados anteriomente

son:

- Nivel 2: 0,3 m Nivel 1: 0,31 m

- Nivel 2: 0,3 m Nivel 1: 0,32

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

3

4

5

6x 10

-4 Señal de control

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Figura 62. Señal de control, primer modelo – Modo 3

43

- Nivel 2: 0,3 m Nivel 1: 0,33 m

De los resultados anteriores se puede observar que la simulación del control sobre el modelo no lineal,

funciona correctamente con el primer modelo dado que se estabiliza en la referencia de 0,30 metros

mientras que en los demás, el nivel de agua en los tanques no logra estabilizarse. Lo anterior puede ser

resultado del bajo horizonte de predicción el cual no es suficiente para lograr la estabilidad en los últimos

dos modelos. Entonces, con el primer modelo, se observa que el nivel de agua en el tanque cilíndrico

alcanza efectivamente la referencia de 0,30 m respetando las limitaciones de nivel de agua para cada

tanque y el rango de valores permitidos para el flujo de entrada del sistema. Adicionalmente la señal de

control no presenta un comportamiento brusco lo cual se puede observar mejor en la figura 67 la cual es

un acercamiento de la figura 62. Luego el control diseñado sobre el primer modelo es un primer inicio el

cual puede ser implementado directamente sobre el sistema.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

3

4

5

6x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

3

4

5

6x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Figura 64. Desempeño control del segundo modelo – Modo 3 Figura 63. Señal de control, segundo modelo – Modo 3

Figura 66. Señal de control, tercer modelo – Modo 3

44

Figura 67. Acercamiento señal de control en Fig. 62

Sin embargo para el diseño del control es necesario tener en cuenta el modelo dinámico de la válvula

debido a que su respuesta no es inmediata lo que hace necesario considerar su tiempo de reacción. De

acuerdo con el esquema de control presente en la figura 36, el sistema equivalente seria la multiplicación

del modelo lineal del modo 3 obtenido anteriormente, con el de la válvula. Entonces, el sistema final

es descrito por las siguientes matrices:

6452,000

0004343,0004237,0

051,2003801,00038,0

A

1

0

0

B

010

001C

0

0D

Es importante resaltar que la matriz de controlabilidad del anterior sistema, definida como C =[B AB A2B]

es de rango completo; luego, de acuerdo con [14], el sistema es controlable.

Manteniendo los mismos parámetros definidos anteriormente para el controlador, el diseño del control

sobre el anterior modelo que tiene en cuenta el efecto de la válvula presenta el siguiente comportamiento

tras haber sido simulado sobre el modelo no lineal.

3950 4000 4050 4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 10-4

Tiempo [min]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Acercamiento señal de Control

45

Como se puede observar, el comportamiento del control al considerar el efecto de la válvula no es el

esperado, como en el primer caso donde su desempeño fue bueno. En esta ocasión, el nivel nunca llega a

la referencia y se queda oscilando alrededor de esta, el cual no es el objetivo. Sin embargo al tener en

cuenta el tiempo de reacción de la válvula, la señal de control se suaviza mucho más como se puede

observar en la figura 68.

Considerando que el sistema de los tanques interactuantes presenta una dinámica lenta, la frecuencia de

muestreo puede ser un poco más baja con el fin de esperar una señal de control cuya tasa de cambio sea

menor. Para estudiar el efecto del tiempo de muestreo sobre el control, se desarrollaron pruebas

adicionales donde se varía el periodo de muestreo únicamente manteniendo los mismos valores para los

demás parámetros. Los resultados obtenidos se muestran a continuación.

- Ts = 5 s

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Figura 71. Simulación MPC (Ts = 5 s) – Modo 3 Figura 70. Señal de control MPC (Ts = 5 s) – Modo 3

46

- Ts = 6 s

- Ts = 7 s

De las gráficas anteriores se observa que a medida que el periodo de muestreo aumenta, el tiempo de

respuesta del control se disminuye haciéndolo más rápido pero al mismo tiempo se aleja más de la

referencia. Adicionalmente, la señal de control reduce su amplitud, haciendo sus cambios de valor más

suaves. De esta manera, es necesario seleccionar un valor para Ts que brinde un buen tiempo de respuesta,

suavice la señal de control y al mismo tiempo reduzca al mínimo el error de estado estacionario. Para este

caso, el valor a seleccionar para el tiempo de muestreo de aquí en adelante es de 6 s, ya que garantiza un

buen tiempo de respuesta y reduce el error en estado estable.

En cuanto al horizonte de predicción, al aumentarlo, es de esperarse que el nivel en los tanques logre

estabilizarse dado que se cuenta con un mayor número de muestras sobre las cuales desarrollar la

predicción y así equilibrar el peso de la matriz Q sobre todas las muestras de la salida. Para analizar el

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Figura 75. Simulación MPC (Ts = 7 s) – Modo 3

Figura 74. Señal de control MPC (Ts = 7 s) – Modo 3

47

efecto del horizonte de predicción sobre el control, se diseñaron controladores con horizontes más

elevados para ser simulados sobre el modelo no lineal.




0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10


Tiempo [s]F

lujo

de e

ntr

ada [

m3/s

]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Figura 76. Simulación MPC (Np = 8) – Modo 3

Figura 78. Simulación control (Np = 9) – Modo 3

48

De los resultados anteriores es posible notar que a medida que aumenta el horizonte de predicción, el

sistema alcanza la referencia un poco más rápido y así mismo la señal de control se hace mucho más

suave. Sin embargo, el error de estado estacionario se incrementa y el control se hace más complejo, es

decir, las regiones politópicas sobre las que está definido aumentan. De acuerdo con lo anterior, es

necesario seleccionar un horizonte que permita obtener un balance entre las características ya

mencionadas. Con el objetivo de tener una señal de control lo más suave posible de tal forma que la

válvula tenga el tiempo suficiente de reacción, el horizonte de predicción seleccionado es de 10.

De las anteriores figuras se puede observar el efecto que presenta el tiempo de muestreo y el horizonte de

predicción sobre la señal de control, al aumentar el valor de estos parámetros, la variación de la señal de

control se hace más suave a cambio de un mayor porcentaje de error en estado estacionario. Luego, el

efecto de R sobre la velocidad de cambio de la señal de control, es logrado también mediante la

sintonización del horizonte de predicción y el periodo de muestreo. Entonces, el valor para R se deja como

1 debido a que si se aumenta su valor, efectivamente los cambios en la señal de control se suavizan un

poco, pero el tiempo de estabilización aumenta o en algunos casos, los niveles no se logran estabilizar y

no se obtiene un desempeño de la misma calidad que se obtiene al sintonizar el horizonte de predicción y

el periodo de muestreo correctamente.

Finalmente los parámetros del control MPC a ser implementado sobre el modo 3 del sistema de tanques

interactuantes son:




m3/s







0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Modo 3

Tiempo [s]

Niv

el [m

]


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10


Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

49

-

20

00Q

- 1R

De la misma forma que para el PID diseñado anteriormente, se desarrollaron las mismas pruebas para el

control MPC sobre el modelo del sistema con el fin de analizar la robustez del controlador. Los

parámetros bajo los cuales fueron desarrolladas las pruebas son los mismos que los utilizados en el PID

con el objetivo de comparar el desempeño de ambos controladores. Los resultados obtenidos fueron:



0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

1

2

x 10-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

x 10-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

Figura 84. Variación en el flujo (MPC) – Simulación modo 3 Figura 85. Señal de control ante una variación en el flujo de

50

Perturbación en el nivel del agua

La tabla a continuación incluye las características obtenidas del controlador a partir de cada una de las

pruebas anteriores.


referencia

Cambio de

referencia

Ampliación del

área de salida por

un factor de 2

Perturbación de

0,1 m en el

tanque 2

Tiempo de

establecimiento

(s)

1536 1177 115 1127

Error en

estado estable

(%)

3,33 2,7813 1,1613 3,33

Tiempo de

subida (s) 181 197 N/A 125

Tiempo de pico

(s) 513 528 N/A 395

Porcentaje de

sobre pico (%) 11,267 7,5707 N/A 4,0313

Máximo valor

de la señal de

control (gpm)

4,0980 4,3285 1,4062 3,1538

Tabla 7. Desempeño control MPC –Simulación modo 3

A partir de la tabla 7 se observa claramente que el control MPC muestra un buen comportamiento frente a

las perturbaciones en los estados y variaciones en el flujo de salida, así mismo la señal de control expone

una conducta bastante suave lo cual es muy conveniente al momento de implementar el control

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

x 10-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

51

directamente sobre el sistema de tanques interactuantes. Por otro lado, es importante aclarar que los

sobreimpulsos presentes al inicio de todas las respuestas, son debido a la interacción entre los tanques. Ya

que para incrementar el nivel del tanque cilíndrico es necesario aumentar en una gran cantidad la altura del

agua del tanque no lineal con el fin de que se transfiera gran parte del agua al tanque lineal.


Al igual que en el modo de operación 3, se define un nivel de referencia de 0,3 m con el propósito de

obtener varios modelos linealizados alrededor de dicho punto y diseñar un control sobre cada modelo para

examinar su comportamiento. Los modelos resultantes se muestran a continuación.


m3/s (Primer modelo)

0009144,00009144,0

0008293,00009334,0A

537,3

0B

10

01C

0

0D


m3/s (Segundo modelo)

0008348,00008348,0

000757,000087,0A

537,3

0B

10

01C

0

0D

-


m3/s (Tercer modelo)

0007728,00007728,0

0007009,00008219,0A

537,3

0B

10

01C

0

0D

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos del diseño del control para el modo de operación 3, los

parámetros iniciales para el diseño del control son:

52




m3/s






- Nivel de referencia para el tanque no lineal: 0,30 m


-

00

02Q

- 1R

Al igual que para el control diseñado para el modo de operación 3, se diseña un control sobre cada uno de

los modelos anteriormente obtenidos teniendo en cuenta igualmente el modelo de la válvula para simular

el controlador sobre el modelo no lineal del modo 4, con el ánimo de observar las diferencias entre los

modelos.

- Nivel 2: 0,35 m Nivel 1: 0,30 m

- Nivel 2: 0,36 m Nivel 1: 0,30 m

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control

53

- Nivel 2: 0,37 m Nivel 1: 0,30 m

Como se puede observar, el control diseñado a partir del primer modelo presenta un tiempo de respuesta

un poco más rápido que los demás, a pesar de que todos mantienen el mismo comportamiento en cuanto al

nivel de agua en los tanques y la señal de control. Siendo así, el modelo a seleccionar sería el primero el

cual teniendo en cuenta el modelo de la válvula según el esquema de control es:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Tiempo [s]

Altura

[m

]Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control

Figura 91. Desempeño control del segundo modelo – Modo 4 Figura 90. Señal de control, segundo modelo – Modo 4

Figura 92. Desempeño control del tercer modelo – Modo 4 Figura 93. Señal de control, tercer modelo – Modo 4

54

6452,000

287,20009144,00009144,0

00008293,00009334,0

A

1

0

0

B

001

010C

0

0D

De igual forma, se puede verificar la controlabilidad del anterior sistema de la misma manera en que se

realizó para el anterior modo. Manteniendo los mismos parámetros definidos anteriormente para el

controlador, se diseñan nuevos controles definiendo periodos de muestreo diferentes para cada uno, con el

propósito de observar su efecto en el desempeño del modelo no lineal. Los resultados obtenidos son:

- Ts = 6 s

- Ts = 8 s

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control


55

- Ts = 9 s

De las anteriores figuras se observa que el efecto del periodo de muestreo es el mismo que en el modo 3,

al aumentarlo, se obtiene una señal de control un poco más suave y una respuesta más rápida, al mismo

tiempo que el nivel se aleja de la referencia. Luego, con el fin de lograr un balance entre los anteriores

criterios, se selecciona un tiempo de muestreo de 8 s.

Para la selección del horizonte de predicción, se obtuvieron leyes de control diseñadas a partir de

diferentes valores para dicho horizonte, con el fin de estudiar el efecto sobre el modelo no lineal. Los

resultados se encuentran a continuación.



0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control


Figura 101. Simulación MPC (Np = 9) – Modo 4 Figura 100. Señal de control MPC (Np = 9) – Modo 4

56


Dado el efecto del horizonte de predicción en el control, el cual es el mismo que se obtuvo para el modo

de operación 3, un horizonte de 10 de acuerdo con los resultados, proporciona un balance entre tiempo de

respuesta, esfuerzo de la señal de control y error en estado estable. Finalmente los parámetros del control

predictivo a ser implementado directamente sobre el sistema de tanques interactuantes son:




m3/s







-

00

02Q

- 1R

De la misma forma que para el PID diseñado anteriormente para el modo de operación 4, se desarrollaron

las mismas pruebas para el control MPC sobre el modelo del sistema con el fin de analizar la robustez del

controlador. Los parámetros bajo los cuales fueron desarrolladas las pruebas son los mismos que los

utilizados en el PID con el objetivo de comparar el desempeño de ambos controladores. Los resultados

obtenidos fueron:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control

Figura 102. Señal de control MPC (Np = 11) – Modo 4

57



Perturbación en el nivel de tanque no lineal

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

Figura 104. Cambio de referencia (MPC) – Simulación modo 4

58

La tabla 8 contiene las características del control obtenidas a partir de cada una de las pruebas realizadas

anteriormente.


referencia

Cambio de

referencia

Variación en el

flujo de salida

Perturbación en

el nivel de agua

Tiempo de

establecimiento

(s)

3036 3331 1092 2189

Error en

estado estable

(%)

0,8667 1,1563 5,4 0,9667

Tiempo de

subida (s) 416 379 504 263

Tiempo de pico

(s) 1304 1310 759 934

Porcentaje de

sobre pico (%) 11,4 10,2813 0,74 6

Máximo valor

de la señal de

control (gpm)

4,9119 4,8530 4,9213 4,3491

Tabla 8. Desempeño control MPC – Simulación modo 4

De acuerdo con la tabla 8, se observa claramente que el MPC presenta un buen desempeño. La señal de

control presenta un buen comportamiento, especialmente en cuanto a su baja tasa de cambio lo cual es

muy indicado para la implementación del controlador sobre el sistema de tanques de interactuantes. De

igual forma que en el modo 3, los sobre impulsos presentes al inicio de las respuestas son debido a la

interacción de los tanques como ya se explicó anteriormente.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de control

59

4. ANÁLISIS DE RESULTADOS

En este capítulo se describen las pruebas realizadas y los resultados obtenidos al implementar el control

PID y el MPC para los modos de operación tres y cuatro del sistema de tanques interactuantes. Las

pruebas son desarrolladas en MATLAB con la ayuda del toolbox MPT (Multi-Parametric Toolbox) y, a

través de una interfaz de comunicación entre Simulink y Labview permitiendo obtener y enviar las

variables necesarias para la implementación del controlador.

4.1 CONTROL PID

Esta sección se centra en el análisis del desempeño de los controladores PID al ser

implementados directamente sobre el sistema de tanques interactuantes. Para cada modo se

incluyen graficas descriptivas del comportamiento de lo niveles de agua en los tanques y la señal

de control. Adicionalmente se anexan el comportamiento obtenido al simular los controladores

sobre el modelo no lineal, con el fin de comparar las respuestas y establecer conclusiones acerca

de las diferencias existentes.

4.1.1 Modo 3

A partir del control PID diseñado anteriormente para este modo, se realizó la implementación de dicho

control directamente sobre el modo de operación 3 del sistema de tanques interactuantes con el ánimo de

esperar un resultado semejante al obtenido en simulación. Las figuras 110 y 111 describen el

comportamiento de las alturas para cada tanque y la señal de control respectivamente.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

60

De acuerdo con la figura 110, el nivel de agua en los tanques no presenta el mismo comportamiento

obtenido en simulación donde los niveles de los tanques se establecieron alrededor de los 3000 segundos.

En este caso, los niveles presentan una oscilación de mayor duración llevando a no poder observar la

estabilización de las alturas debido a la limitación del tiempo disponible a causa del entorno de

comunicación con el sistema. Al simular exactamente el mismo control sobre el modo 3 del modelo no

lineal bajo las mismas condiciones iniciales de la prueba anterior, el comportamiento obtenido es el

siguiente:

De la figura 110 es posible detallar que la altura del agua en el tanque lineal una vez pasa por debajo de la

referencia, la señal de control se incrementa tratando de corregir el error, lo cual lleva a que el nivel de

agua presente cierto comportamiento oscilatorio alrededor del setpoint. Esto puede ser debido al bajo valor

de la ganancia Ki la cual se encarga de reducir al mínimo el error en estado estable, luego al ser tan

pequeña su efecto puede que no sea considerable al momento de reducir dicho error. Sin embargo, al

aumentar la ganancia Ki usando la herramienta “PID Tuner GUI”, el tiempo de respuesta se aumentaba

demasiado, sobrepasando el límite de tiempo disponible para la toma de datos del sistema. Entonces, no es

posible sintonizar un PID para el sistema con una alta ganancia Ki sin que el tiempo de respuesta sea

demasiado alto.

4.1.2 Modo 4

Al ser implementado el control PID diseñado para este modo sobre el sistema de tanques interactuantes, el

resultado obtenido es:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.27

0.28

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 3

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

61

Al igual que en el modo de operación 3, las oscilaciones presentes en los niveles de los tanques no

permiten observar el instante de tiempo en el que las alturas logran llegar al estado estable. Con el fin de

comparar el anterior resultado con la simulación del control sobre el modelo no lineal, considerando las

mismas condiciones iniciales, a continuación se incluyen las gráficas resultantes de la simulación.

Como se puede ver, el control implementado sobre el modelo no lineal funciona correctamente dado que

logra estabilizar las alturas en ambos tanques por medio de una señal de control bastante suave y siempre

manteniéndose al margen de las restricciones del sistema.

A partir de la figura 115 es posible observar que el control reacciona de la misma manera que en el modo

3. Esto puede ser debido igualmente al bajo valor que presenta la ganancia Ki la cual es la encargada de

reducir el error en estado estacionario. Entonces, es posible reducirlas oscilaciones presentes con un

aumento en dicha ganancia pero, teniendo en cuenta que el tiempo de estabilización puede aumentar.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

Tiempo [s]

Altura

[m

]

Modo 4

Referencia

Nivel Tanque Lineal


0 500 1000 1500 2000 2500 30000

1

2

3

4

5

6x 10

-4

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

m3/s

]

Señal de Control

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

Figura 114. Señal de control PID – Modo 4 sistema de tanques interactuantes

Figura 117. Respuesta PID – Simulación modo 4

Figura 116. Señal de control PID – Simulación modo 4

62


En la siguiente sección se incluyen los resultados obtenidos al aplicar el controlador predictivo sobre el

sistema de taques interactuantes y así mismo sobre el modelo de cada modo de operación con el propósito

de resaltar las similitudes y diferencias presentes en ambas respuestas.

4.2.1 Modo 3

Considerando los mismos parámetros bajos los cuales se desarrollaron las pruebas para la identificación

del sistema, la respuesta del sistema ante una referencia de 0,33 m y con condiciones iniciales de 0,2877 m

para el tanque lineal y 0,3064 m para el no lineal es:

Figura 118. Respuesta MPC – Modo 3 sistema de tanques interactuantes

A partir de la anterior respuesta se obtienen las siguientes características:

Característica Valor

Tiempo de asentamiento 1295 s

Error en estado estable 0,5758 %

Tiempo de subida 261 s

Tiempo de pico 617 s

Porcentaje de sobre pico 7,439 % Tabla 9. Características respuesta MPC – Modo 3 sistemas de tanques interactuantes

La señal de control necesaria para lograr el anterior comportamiento en el modo de operación tres se

muestra en las figuras 119 y 120.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

63

Con base en los resultados obtenidos, es claro que el control presenta un buen comportamiento sobre el

sistema dado que el nivel de agua en el tanque lineal alcanza la referencia satisfactoriamente con un error

menor al 1 % y con un buen tiempo de estabilización. El tiempo de subida indica el excelente tiempo de

respuesta del control debido a lo rápido que la altura del agua llega a la referencia, considerando la

diferencia de alturas en los tanques en la que se encontraban inicialmente. La señal de control exhibe un

buen comportamiento ya que no tiene cambios bruscos a los cuales la válvula no pueda responder

satisfactoriamente. Lo anterior se puede detallar en la figura 119 donde se observa que la salida de la

válvula es bastante semejante a su entrada la cual es la señal de control. Sin embargo, al comparar los

resultados experimentales con los obtenidos en simulación, existen ciertas diferencias, principalmente en

el tiempo de establecimiento y en el error de estado estacionario como se muestra a continuación.

Al comparar el resultado arrojado por la simulación con el obtenido a partir del sistema directamente, se

observa que el desempeño del control MPC sobre el modo tres del sistema de tanques interactuantes es

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

Simulación - Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

Figura 121. Señal de control MPC – Simulación modo 3

64

mucho mejor dado que su tiempo de establecimiento es mucho menor al igual que el porcentaje de error

en estado estable donde en simulación dicho valor es de aproximadamente el 3 %.

A continuación se incluyen los resultados adquiridos al realizar pruebas del control que permitan concluir

acerca de su desempeño. Pruebas como respuesta ante un cambio de referencia, variación en el flujo de

salida y perturbación en el nivel de agua del tanque lineal. Lo anterior se desarrolla igualmente con el

ánimo de analizar el comportamiento del controlador sobre el sistema y el modelo no lineal, para

posteriormente concluir acerca de las diferencias existentes entre el modelo y el sistema como se vio

anteriormente.


Esta prueba consistió, como su nombre lo dice, en realizar un cambio en el setpoint del controlador. La

referencia inicial es de 0,30 m y después de que las alturas se lograron estabilizar, se hizo un cambio en la

referencia a 0,31 m. Los resultados obtenidos son:

Figura 123. Respuesta MPC ante un cambio de referencia – Modo 3 sistema de tanques interactuantes

0 500 1000 1500 2000 25000.27

0.28

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 25000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

0 500 1000 1500 2000 25000

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

Figura 125. Señal de control (gpm) ante un cambio de referencia –

65


Para esta prueba, después de llegar al estado estable, se abrió un poco más la válvula manual que controla

el flujo de salida con el fin de incrementar este último. El comportamiento de los niveles de agua en los

tanques y la señal de control se muestra a continuación.

Figura 128. Respuesta MPC ante una variación en el flujo de salida – Modo 3 sistema de tanques interactuantes

0 500 1000 1500 2000 25000.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37

0.38Simulación - Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

66

Perturbación en el nivel de tanque lineal

La perturbación en el nivel de tanque lineal se realizó reduciendo su nivel de agua un poco más de medio

centímetro, después de haberse estabilizado en la referencia. El resultado obtenido es:

0 500 1000 1500 2000 25000

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]Señal de control

67

Figura 133. Respuesta MPC ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 3 sistema de tanques interactuantes

0 500 1000 1500 2000 25000

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviado

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

500 1000 1500 2000

0.27

0.28

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

68

Con el propósito analizar cuantitativamente los resultados obtenidos anteriormente del control MPC sobre

el modo tres del sistema de tanques interactuantes, en la tabla a continuación se encuentran los valores

para ciertas características que definen el desempeño del control en cada prueba.

Característica

Respuesta

a una

referencia

Cambio de

referencia

Variación en el

flujo de salida

Perturbación en el nivel

de agua

Antes

del

cambio

Después

del

cambio

Antes de

la

variación

Después

de la

variación

Antes de la

perturbación

Después de

la

perturbación

Condiciones

iniciales (m)

h1 = 0,3064

h2 = 0,2877

h1 = 0,2723

h2 = 0,2833

h1 = 0,2258

h2 = 0,2736

h1 = 0,2647

h2 = 0,2805

Tiempo de

establecimiento

(s)

1295 1028 657 1425 649 1259 510

Error en

estado estable

(%)

0,5758 0,0333 0,3226 0,1 1,30 0,0345 0,8276

Tiempo de

subida (s) 261 189 153 287 226 203 357

Tiempo de pico

(s) 617 422 300 615 366 481 405

Porcentaje de

sobre pico (%) 7,439 3,6 0,9032 8,1667 2,2667 5,4828 2,1034

Máximo valor

de la señal de

control (gpm)

5,345 5,408 5,23 5,426 2,032 5,322 4,798

Tabla 10. Desempeño MPC – Modo 3 sistemas de tanques interactuantes

De los anteriores resultados, se observa que el control predictivo implementado sobre el modo de

operación 3 del sistema de tanques interactuantes presenta un buen desempeño. Responde correctamente

frente a los niveles de referencias enviados, estabilizándose rápidamente y sobre todo con un error en

estado estacionario mínimo (menor al 1 %). Las restricciones del sistema referentes a los niveles máximos

y mínimos de agua en cada uno de los tanques siempre son respetadas. La señal de control no presenta un

comportamiento brusco y así mismo, siempre se mantiene dentro del rango de operación definido. El

porcentaje de apertura real de la válvula es muy semejante al setpoint enviado, lo cual indica una baja tasa

de cambio para la señal de control. El MPC diseñado se ajusta, y logra compensar el efecto causado por la

perturbación en el nivel del tanque lineal, llevando nuevamente el sistema a su estado estable rápidamente.

De la misma manera, ante la variación en el área del orificio de salida del tanque lineal, el control

responde adecuadamente llevando la altura del agua del tanque al nivel indicado, estableciendo el flujo de

entrada necesario para lograr estabilizar el sistema nuevamente.

Como se puede ver, el control se comporta mucho mejor sobre el sistema real que el simulado en

Simulink, dado que en simulación los tiempos de establecimiento son mayores y el error en estado

69

estacionario es mayor (alrededor del 3 %). A pesar de las diferencias en los valores de los niveles de agua

y la señal de control, el comportamiento de las alturas es semejante en ambos casos, al igual que las

señales de control obtenidas; como se puede ver, todas siguen una misma estructura. Sin embargo, las

diferencias existentes se deben principalmente a las discrepancias presentes entre el sistema y el modelo

identificado. En primer lugar, el proceso de identificación no arrojó un modelo totalmente idéntico al

sistema ni a la válvula, pues como se observó anteriormente, el FIT de los modelos identificados es alto,

pero no es del 100 %. Adicionalmente, el modelo del sistema no tiene en cuenta las pérdidas generadas en

los codos de las tuberías y el tiempo de circulación del agua por estas mismas, ya que el modelo considera

el flujo ingresando directamente en los tanques. En segundo lugar, el control fue diseñado a partir de un

modelo lineal del sistema identificado el cual es válido únicamente alrededor del punto de operación

definido. Luego, si el modelo obtenido no representa en un 100 % todas las dinámicas del sistema, la

linealización de este, arrojará un modelo lineal aún más distante del sistema de tanques interactuantes, ya

que será válido únicamente en las cercanías del punto de operación para el modelo no lineal y no para el

sistema.

4.2.2 Modo 4

Los resultados a continuación fueron obtenidos bajo los siguientes parámetros:

- La válvula de salida de TK-01 parcialmente cerrada.

- La válvula de salida del tanque lineal totalmente cerrada.

- La válvula que comunica los dos tanques, abierta.

La respuesta del sistema ante una referencia de 0,32 m y condiciones iniciales de 0,35 m para el tanque

lineal y 0,2940 m para el no lineal es:

Figura 138. Respuesta MPC – Modo 4 sistema de tanques interactuantes

0 200 400 600 800 1000 1200 14000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

70

De la anterior respuesta se obtienen las siguientes características con el fin de analizar el desempeño del

control.

Característica Valor

Tiempo de asentamiento 946 s

Error en estado estable 1,6563 %

Tiempo de subida 248 s

Tiempo de pico 482 s

Porcentaje de sobre pico 1,9063 % Tabla 11. Características respuesta MPC – Modo 4 sistemas de tanques interactuantes

La señal de control obtenida para lograr mantener constante el nivel de agua en los tanques se muestra a

continuación.

A partir de las figuras mostradas anteriormente, es posible detallar que el MPC demuestra un buen

desempeño sobre el modo de operación 4 del sistema de tanques interactuantes, ya que la altura del agua

en el tanque no lineal se estabiliza en el setpoint con un bajo error en estado estable y un tiempo de

establecimiento bajo. A pesar de la interacción de los tanques en este modo, la cual hace que el agua en el

tanque no lineal aumente más lento que en el tanque lineal en el modo 3, el control presenta un tiempo de

respuesta como lo deja ver su tiempo de subida. La señal de control muestra un comportamiento suave con

una tasa de cambia baja logrando que el porcentaje de apertura de la válvula sea muy parecida a la

referencia enviada por el control MPC. No obstante, al confrontar los resultados experimentales con los

obtenidos en simulación, resultan ciertas discrepancias, principalmente en el tiempo de establecimiento el

cual es mucho mayor en simulación.

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 200 400 600 800 1000 1200 1400-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

Figura 140. Señal de control (gpm) – Modo 4 sistemas de tanques

interactuantes

Figura 139. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) –

Modo 4 sistemas de tanques interactuantes

71

Como se puede observar, el comportamiento de los niveles de agua en los tanques y de la señal de control

en simulación es muy similar al obtenido experimentalmente. Sin embargo, es posible detallar que el

desempeño del control MPC sobre el modo 4 del sistema de tanques interactuantes es mejor debido a la

gran diferencia en los tiempos con la simulación del control, ya que en este, el tiempo de establecimiento

es alrededor de los 3500 segundos mientras que en el sistema es de 1000.

Las gráficas a continuación representan los resultados alcanzados al realizar las mismas pruebas que en el

modo 3 para detallar mejor el desempeño del control. Lo anterior se desarrolla con el propósito de analizar

el comportamiento del controlador sobre el sistema y el modelo no lineal, para posteriormente concluir

acerca de las diferencias existentes entre el modelo y el sistema como se vio anteriormente.


Esta prueba consistió, como su nombre lo dice, en realizar un cambio en el setpoint del controlador. La

referencia inicial es de 0,3 m y después de que las alturas se lograron estabilizar, se hizo un cambio en la

referencia a 0,31 m. Los resultados obtenidos son:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Figura 141. Respuesta MPC – Simulación modo 4 Figura 142. Señal de control MPC – Simulación modo 4

72

Figura 143. Respuesta MPC ante un cambio de referencia – Modo 4 sistema de tanques interactuantes


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-1

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Figura 146. Señal de control MPC ante un cambio de referencia –

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

73


Para esta prueba, después de llegar al estado estable, se abrió un poco más la válvula manual que controla

el flujo de salida con el fin de incrementar este último. El comportamiento de los niveles de agua en los

tanques y la señal de control se muestra a continuación.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-1

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

74

Perturbación en el nivel del tanque no lineal

La perturbación en el nivel de tanque no lineal se realizó reduciendo su nivel de agua un poco más de

medio centímetro, después de haberse estabilizado en la referencia. El resultado obtenido es

Figura 153. Respuesta MPC ante una perturbación en el nivel del tanque no lineal – Modo 4 sistema de tanques interactuantes

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal

Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

75

De igual forma que con el análisis desarrollado en el modo 3, con el fin de analizar cuantitativamente los

resultados obtenidos anteriormente del control MPC sobre el modo 4 del sistema de tanques

interactuantes, en la tabla a continuación se encuentran los valores para ciertas características que definen

el desempeño del control en cada prueba.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-1

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]Señal de control

Figura 154. Señal de control (gpm) ante una perturbación en el nivel Figura 155. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula)

Figura 156. Señal de control MPC ante una perturbación en el nivel

76

Característica

Respuesta

a una

referencia

Cambio de

referencia

Variación en el

flujo de salida

Perturbación en el nivel

de agua

Antes

del

cambio

Después

del

cambio

Antes de

la

variación

Después

de la

variación

Antes de la

perturbación

Después de

la

perturbación

Condiciones

iniciales (m)

h1 = 0,2940

h2 = 0,3500

h1 = 0,2899

h2 = 0,3526

h1 = 0,3002

h2 = 0,3642

h1 = 0,2647

h2 = 0,2805

Tiempo de

establecimiento

(s)

946 1101 1307 1172 314 1087 726

Error en

estado estable

(%)

1,6563 0,4839 0,5938 0,6875 1,9688 0,6875 1,3438

Tiempo de

subida (s) 248 200 159 213 261 206 233

Tiempo de pico

(s) 482 542 561 615 635 531 443

Porcentaje de

sobre pico (%) 1,9063 6,8387 6,9394 5,7813 1,3393 5,4375 2,3123

Máximo valor

de la señal de

control (gpm)

5,531 5,466 5,447 5,469 5,441 5,441 5,432

Tabla 12. Desempeño MPC – Modo 4 sistemas de tanques interactuantes

De las pruebas mostradas anteriormente para analizar el desempeño del control predictivo sobre el modo 4

del sistema de tanques interactuantes, es claro que este responde muy bien ya que se comporta de manera

adecuada frente a los cambios en los niveles de referencia, presentando un tiempo de estabilización bajo y

un error en estado estacionario menor al 3 %. Al igual que el control en el modo 3, los límites para los

niveles de agua en los tanques y la señal de control, nunca se sobrepasan. Las leyes de control presentan

un comportamiento suave con una velocidad de cambio baja de tal forma que la válvula es capaz de seguir

la referencia dada por el control MPC. La respuesta del control se ajusta, y logra compensar el efecto

causado por la perturbación en el nivel del tanque lineal, llevando nuevamente al sistema a su estado

estable rápidamente. De la misma manera, ante la variación en el área del orificio de salida del tanque

lineal, el control responde adecuadamente llevando la altura del agua del tanque al nivel indicado y así

mismo fijando un nuevo valor para el flujo de entrada que logre estabilizar el sistema con el nuevo orificio

de salida.

Como se puede observar, el comportamiento de las alturas en este modo también es semejante tanto en

simulación como en las pruebas realizadas. Al igual que las señales de control obtenidas, todas siguen una

misma estructura. Sin embargo, el desempeño del control es mucho mejor sobre el sistema de tanques

interactuantes que sobre el modelo no lineal ya que en simulación los tiempos de establecimiento son más

grandes. Estas discrepancias son debido a la misma razón por la que se explicó anteriormente para el

modo 3, donde se resaltó que los modelos obtenidos de cada modo, no representan en un 100 % todas las

dinámicas del sistema y además el hecho de que los controles MPC fueron diseñados a partir de un

modelo linealizado de estos modelos.

77

4.3 CONTROL PREDICTIVO NO LINEAL

Actualmente existen muchos sistemas de características no lineales de diferentes grados de severidad.

Aunque en muchas ocasiones estos procesos pueden estar operando alrededor de un punto de equilibrio, y

por ende una representación lineal sería suficiente, existen muchos casos en los que esto no sucede. En

primer lugar, hay sistemas cuya no linealidad es tan marcada, que incluso alrededor de los puntos de

equilibrio, un modelo lineal no es suficiente para representar el sistema. En segundo lugar, algunas plantas

experimentan continuas transiciones y permanecen un gran tiempo por fuera de la vecindad del punto de

operación, o incluso hay algunos sistemas que nunca se encuentran en estado estable. Para estos sistemas,

un control lineal no es muy útil, requiriendo entonces de un control no lineal que permita mejorar el

desempeño de sistemas de control sobre procesos no lineales.

A partir de esta idea, las siguientes secciones se centran en el mejoramiento de los MPC diseñados,

haciendo uso del modelo no lineal para la predicción de las salidas en vez del modelo lineal trabajado

anteriormente. El diseño y las simulaciones incluidas a continuación son desarrolladas en MATLAB con

el toolkit ACADO el cual es un entorno de software y colección de algoritmos escritos en C++ para el

área de control y la optimización dinámica, que proporciona un marco general para el uso de una gran

variedad de algoritmos a ser aplicados en problemas de control óptimo incluyendo el control predictivo no

lineal.

4.3.1 Modo 3

De acuerdo con el algoritmo de ACADO para el desarrollo de MPC, el problema a resolver para este

modo es de la siguiente forma:

],0[

.

min ,, 21

p

Qhh

Nt

ts

in

pN

Qdtrty

0

2

m 69,0m 0

m 59,0m 0

s 109,4

s 0

,

2

2

1

34

3

21

2

2

21

2

2

111

21

1

h

h

mQ

m

ththty

R

QG

ththgC

dt

dh

hhRZ

G

ththgCQ

dt

dh

in

T

out

f

v

f

vin

78

Teniendo en cuenta los parámetros definidos anteriormente para el control lineal del modo de operación 3,

y después de sintonizar algunos de estos con el fin de obtener un mejor desempeño del MPC usando el

modelo no lineal, se obtuvieron los siguientes valores:


- Horizonte de predicción (Np): 90


-

20

00Q

Habiendo definido todos los parámetros necesarios para el control no lineal, a continuación se incluyen los

resultados obtenidos de ciertas pruebas realizadas sobre el sistema y así mismo sobre simulación con el fin

de comparar ambas respuestas.

La respuesta ante una referencia de 0,30 m y condiciones iniciales de 0,28 m para el tanque lineal y 0,34

para el no lineal es:

Figura 158. MPC no lineal – Modo 3

0 500 1000 1500

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37Control no lineal - Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 15000

1

2

3

4

5

6

7

8Señal de control

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Tiempo [s]

Real

Enviada

0 500 1000 1500-20

0

20

40

60

80

100Señal de control

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

[%

]

Tiempo [s]

Real

Enviada

79

La respuesta del control ante una perturbación en el nivel del tanque lineal de aproximadamente 0,1 m es:

Figura 163. Respuesta MPC no lineal ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-20

0

20

40

60

80

100

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37Simulación control no lineal- Modo 3

Altura

[m

]

Tiempo [s]


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Figura 162. Simulación MPC no lineal – Modo 3 Figura 161. Señal de control – Simulación MPC no lineal, modo 3

80

Ante una variación en el flujo de salida, el comportamiento mostrado por el control no lineal es:

Figura 168. Respuesta MPC no lineal ante una variación en el flujo de salida – Modo 3

0 500 1000 1500 2000 25000.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37

0.38


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500-20

0

20

40

60

80

100

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36


Altura

[m

]

Tiempo [s]


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

81

4.3.2 Modo 4

Para el modo 4, el problema a resolver es de la siguiente forma:

Después de sintonizar algunos de los parámetros con el fin de obtener un mejor desempeño del MPC sobre

el modelo no lineal, se obtuvieron los siguientes valores:

],0[

.

min ,, 21

p

Qhh

Nt

ts

in

pN

Qdtrty

0

2

m 7,0m 0

m 6,0m 0

s 109,4

s 0

,

2

2

1

34

3

21

2

2

12

2

2

111

12

1

h

h

mQ

m

ththty

R

G

ththgCQ

dt

dh

hhRZ

QG

ththgC

dt

dh

in

T

f

vin

out

f

v

0 500 1000 1500 2000 25000.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35


Altura

[m

]

Tiempo [s]


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

82


- Horizonte de predicción (Np): 150


-

00

02Q

De igual forma que para el modo 3, a continuación se incluyen los resultados obtenidos de diferentes

pruebas que permiten analizar el desempeño del control no lineal sobre el sistema y el modelo no lineal.

La respuesta del control, ante una referencia de 0,30 m y condiciones iniciales de 0,28 m para el tanque no

lineal y 0,31 m para el lineal es:

Figura 173. MPC no lineal – Modo 4

0 500 1000 15000.25

0.3

0.35

0.4

0.45


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 15000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

Figura 175. Señal de control (Porcentaje de apertura de la válvula) –

83

Ante una perturbación de 0,1 m en el nivel del tanque no lineal después de haber alcanzado su estado

estable, la respuesta del control es:

Figura 178. Respuesta MPC no lineal ante una perturbación en el nivel del tanque lineal – Modo 4

0 500 1000 1500 2000 25000.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500-20

0

20

40

60

80

100

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 15000.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

Simulación control no lineal- Modo 4

Altura

[m

]

Tiempo [s]


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Figura 176. Simulación MPC no lineal – Modo 4

84

Al aumentar el flujo de salida del sistema después de haberse estabilizado sobre la referencia, el

comportamiento exhibido por el control es:

Figura 183. Respuesta MPC no lineal ante una variación en el flujo de salida – Modo 4

0 500 1000 1500 2000 25000.25

0.3

0.35

0.4

0.45


Altura

[m

]

Tiempo [s]

Nivel Tanque Lineal


Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 25000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo [s]

Porc

enta

je d

e a

pert

ura

de la v

álv

ula

(%

)

Señal de control

Real

Enviada

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.25

0.3

0.35

0.4

0.45


Altura

[m

]

Tiempo [s]


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

85

Como se puede observar a partir de los resultados obtenidos en ambos modos de operación del sistema y

en simulación, el desempeño del control mejora notablemente al utilizar el modelo no lineal para la

predicción de las salidas. En comparación con las simulaciones desarrolladas con el control diseñado a

partir del modelo lineal, el tiempo de respuesta se disminuye considerablemente (alrededor de 500

segundos para el modo 3 y 1500 para el modo 4), al igual que el error en estado estacionario que se reduce

aproximadamente 2,5 % para el modo 3. Sobre el sistema, es posible observar que el tiempo de respuesta

también disminuye un poco y así mismo, el porcentaje de sobre impulso. La respuesta del control ante

perturbaciones en los niveles de los tanques y variaciones en el flujo de salida es bastante parecida a la

obtenida con el control lineal, respondiendo rápidamente para llevar el sistema nuevamente a su estado

estable. Es importante resaltar que el comportamiento del control obtenido en el sistema y en simulación

es bastante parecido, lo cual no sucedió para el caso del control lineal. En este caso, los tiempos de

establecimiento son muy cercanos, al igual que los valores para las alturas y los porcentajes de error en

estado estable y de sobre pico. Luego, se notan claramente los beneficios y mejoras logradas al

implementar un control predictivo basado en un modelo no lineal del sistema que sobre uno lineal.

0 500 1000 1500 2000 25000.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55


Altura

[m

]

Tiempo [s]


Nivel Tanque Lineal

Referencia

0 500 1000 1500 2000 2500-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo [s]

Flu

jo d

e e

ntr

ada [

gpm

]

Señal de control

86

5. CONCLUSIONES

Si bien es cierto, el control predictivo al enfrentarse a problemas no lineales que llevan a funciones de

desempeño bastante complejas, requiere de una gran capacidad computacional; es una de las técnicas con

mayor crecimiento hoy en día y a la espera de nuevos desarrollos. La consideración de las restricciones

del sistema, las limitaciones en los valores para la señal de entrada y su tasa de cambio, la poca

intervención humana requerida, la gran cantidad de algoritmos para encontrar solución al problema, entre

otros factores, hacen del control predictivo un excelente método para ser estudiado y trabajado en todo

tipo de ámbitos. Estas restricciones siempre están presentes en los sistemas de control debido a las

limitaciones físicas, ambientales y económicas en la operación de la planta, y el manejo sistemático de

estas restricciones por parte del control predictivo permite obtener mejoras significativas en el desempeño

de los sistemas sobre las demás técnicas clásicas de control. Es importante resaltar que el MPC no se rige

por una ley de control específica. Las características del sistema, si es lineal o no lineal, si es multivariable

o no, el modelo empleado para la predicción, la función de desempeño a optimizar, sus restricciones, los

diferentes algoritmos existentes y demás factores, llevan a obtener una gran cantidad de leyes de control

que pueden ser implementadas en el sistema. Conforme a los objetivos del control, se enfoca el problema

a encontrar una ley de control que cumpla con los requerimientos establecidos para el tiempo de

establecimiento, esfuerzo de la señal de control, error en estado estable, máximo pico porcentual, tiempo

de subida, rechazo a perturbaciones y demás parámetros. Cada parámetro de diseño, tiene su efecto en el

desempeño del control, luego es muy importante tener en cuenta la acción de cada uno parar lograr

obtener el comportamiento deseado.

El objetivo del controlador es determinar la acción de control de tal forma que se obtenga el

comportamiento deseado en las salidas. Luego se requiere de la capacidad de predecir el futuro

comportamiento del sistema. Debido a que la acción de control adecuada, depende de las características

dinámicas de la planta a ser controlada, el problema de control es basado en un modelo de planta que

describa estas características, o al menos aproximadamente para realizar la predicción del comportamiento

futuro de la planta. Un aspecto clave es entonces el modelo del sistema utilizado para el diseño del

control, especialmente para sistemas no lineales, donde la diferencia del modelo con el sistema es un poco

más grande, pues entre mejor sea el modelo obtenido, el desempeño del control incrementará. Lo anterior

se pudo observar al utilizar el modelo no lineal para realizar la predicción de las salidas, obteniendo

notables mejoras en el desempeño del control tanto en simulación como en el sistema. Un buen modelo

marca la primera pauta para el diseño del MPC, ya que es a partir de él de donde se desprenden los demás

parámetros a establecer del control. Mediante una identificación adecuada del sistema, es posible obtener

un modelo que presente un buen FIT como el obtenido en este proyecto, donde por medio de un estudio de

las ecuaciones desarrolladas en [1] se realizó una identificación apropiada del sistema para cada uno de los

modos que llevó a la obtención de un modelo que permitió el buen desempeño del control.

La implementación del control clásico en el sistema, se logró mediante la aplicación de un control PID

cuyo desempeño no fue del todo bueno dado que no fue posible observar la estabilización de los niveles

de agua en los tanques debido a la oscilación presente alrededor de la referencia. Dada la naturaleza del

sistema, el diseño del control lleva a que el nivel de agua en el tanque tarde mucho en alcanzar el set point

con una señal de control suave de tal forma que pueda ser seguida efectivamente por la válvula. Sin

embargo, dicho tiempo puede ser reducido pero a cambio de una ganancia Ki más pequeña, lo cual

aumentaría aún más las oscilaciones existentes. Luego un control PID puede llegar a regular el sistema en

87

un tiempo muy extenso o en un menor tiempo con oscilaciones de amplitud baja pero aun así sin lograr un

estado estable en este último.

El diseño del control predictivo sobre el sistema de tanques interactuantes permite considerar aspectos del

sistema tales como niveles máximos y mínimos para el nivel de agua en cada tanque, limitar el rango

deseado tanto para la entrada como para la salida; así mismo es posible “guiar” la ley de control de

acuerdo con el objetivo, ya que su tasa de variación puede ser regulada e igualmente establecer la

importancia con que las salidas deben seguir su referencia mediante las matrices de peso, como en este

caso donde solo era de interés que un solo nivel se mantuviera en la referencia establecida mientras que el

otro estado permanecía libre. Es importante tener en cuenta que el error en estado estacionario presente en

las pruebas realizadas puede ser reducido diseñando el control con una acción integral tal y como se

desarrolla en [3]. Al ser el sistema de tanques interactuantes algo lento, el control predictivo tiene grandes

ventajas sobre las demás técnicas de control. Cuenta con un mayor tiempo para realizar la predicción cada

periodo de muestreo, la señal de control se anticipa a los cambios conociendo la dinámica del sistema,

llevando a tener una respuesta más rápida del sistema. Un horizonte de predicción mayor brinda una

mayor ventana de predicción del sistema, lo que es bastante útil para la señal de control reduciendo su

esfuerzo y obteniendo una respuesta más rápida; sin embargo la complejidad de la función objetivo

aumenta y por ende del problema en general, incrementando la regiones del politopo sobre las cuales está

definido el control lo cual puede demandar un mayor tiempo de búsqueda de la solución en el politopo.

Luego es fundamental tener presente dicho efecto del horizonte de predicción sobre el sistema el cual

aparte de aumentar la complejidad del problema y por ende requerir mayor capacidad computacional,

puede alejar un poco la salida de la referencia como en este caso.

La capacidad de predecir el comportamiento del sistema para definir la ley de control, es una gran ventaja

del MPC sobre las demás técnicas de control clásicas existentes. Esta ventaja se observa en cuanto a que el

control se anticipa al sistema, ganando tiempo como en este caso donde el flujo de entrada se iba a cero

antes de que la salida llegara a la referencia, pues el control “conoce” que dado la dinámica del sistema, el

nivel va a continuar aumentando a pesar de no tener un flujo de entrada si el nivel del otro tanque esta por

encima debido a la interacción de los tanques. Sin embargo, con el PID este no es el caso ya que el flujo se

iba a cero un poco después de que se alcanzará la referencia dado que el control mide el error entre la

salida y el setpoint. Lo anterior se comprueba con lo resultados presentes en este trabajo, donde se observa

claramente la superioridad del MPC sobre el PID en muchos aspectos tanto en simulación como en el

sistema de tanques interactuantes.

Al ser demasiados los parámetros del control MPC, la cantidad de leyes de control que pueden obtenerse

es innumerable. Las restricciones del sistema, el periodo de muestreo, el horizonte de predicción y de

control, el modelo del sistema, la función objetivo junto con las matrices de peso de cada término y la

norma matricial, todos llevan a cumplir con el objetivo deseado con la correcta definición de sus valores.

Es primordial conocer y entender el sistema a controlar, sus limitaciones físicas, rango para los valores

admisibles de la señal de entrada, su dinámica, etc., para posteriormente lograr identificar adecuadamente

el efecto de cada parámetro del MPC sobre el sistema. Pues aunque existan algunos métodos o reglas para

la definición de sus valores, estos no son definitivos, luego es mejor experimentar la influencia de cada

uno sobre el sistema, analizar y deducir igualmente la relación entre ellos y su peso sobre el control. Así,

de acuerdo con el objetivo del control sobre el sistema, se seleccionan los valores adecuados para los

parámetros que permitan cumplir con el objetivo planteado respetando todo tipo de restricciones

presentes.

88

Como trabajos futuros se propone:

- Mejorar el desempeño del control PID sobre el sistema real teniendo en cuenta ciertas técnicas

como el anti-windup.

- Realizar un estudio de la teoría de robustez para el control predictivo, relacionada con el diseño de

controladores multivariables y los diferentes métodos existentes para modelar las perturbaciones

del sistema, con el fin de diseñar un control más robusto.

- En algunos casos, los cálculos para la ley de control se vuelven complejos con ciertos modelos, y

si el estado no es accesible, se requiere del uso de un observador de estados. De esta manera, se

propone entonces la implementación de un observador de estados para realizar la predicción de las

salidas del sistema.

- Diseñar otra técnica de control clásica con el fin de comparar el desempeño del MPC frente a otro

método de control distinto al PID.

- Diseñar e implementar una técnica de control predictivo para cada uno de los modos de operación

considerando el tanque de retardo presente en [1].

89

6. BIBLIOGRAFÍA

[1] J. Albarracín, A. Argüelles. “Ingeniería Detallada, Modelado y Simulación de un Sistema de Tanques

Interactuantes No Lineales”. Trabajo de grado. Departamento Ing. Electrónica, Pontificia Universidad

Javeriana, Bogotá 2010.

[2] E.F Camacho, C. Bordons “Model Predictive Control”. Editorial Springer-Verlag, Segunda edición,

2007.

[3] L. Wang “Model Predictive Control System Design and Implementation Using MATLAB”. Editorial

Springer, Primera edición, 2009.

[4] Rossiter, J.A “Model-Based Predictive Control a Practical Aproach”. Editorial CRC Press, Primera

edición, 2003.

[5] K. Ogata “Dinámica de Sistemas”. Prentice-Hall. Primera edición en español, 1987.

[6] C. Smith y A. Corripio “Principles and Practice of Automatic Process Control”. John Wiley & Sons,

Inc. Segunda edición, 1997.

[7] B. Laurent “Identification of switched Linear Systems Via Sparse Optimization”. Automatica,

Volumen 47, Abril 2011, Páginas 668-677.

[8] M. Kvasnica, P. Grieder, M. Baotíc, F.J Christophersen “Multi-Parametric Toolbox (MPT)”(2006)

[9] G.F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini “Feedback Control of Dynamic Systems”. Prentice Hall,

Cuarta edición, 2002.

[10] Al-Younes “Linear Vs Nonlinear Control Techniques for a Quadrotor Vehicle”. Prentice Hall,

Cuarta edición, 2002.

[11] A. Ladino. “On Predictive Control for Hybrid Systems Subject to Variable Time Delays”. Trabajo de

investigación. Departamento Ing. Electrónica, Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá 2012.

[12] D. Limón. “Control predictivo de sistemas no lineales con restricciones: estabilidad y robustez”.

Tesis doctoral. Departamento Ing. Industrial, Universidad de Sevilla, Sevilla 2002.

[13] B. Kouvaritakis, M. Cannon, J.A Rossiter “Who needs QP for lineal MPC anyway”. Automatica,

Volumen 38, Mayo 2002, Páginas 879-884.

[14] J. Bay “Fundamentals of Linear State Space Systems”. Editorial McGraw-Hill, Primera edición,

1999.

[15] P. Tondel, T. Johansen, A. Bemporad “An algorithm for multi-parametric quadratic programming

and explicit MPC solutions”. Automatica, Volumen 39, Marzo 2003, Páginas 489-497.

90

[16] G. Shah, S. Engell “Tuning MPC for desired closed-loop performance for MIMO systems”.

American Control Conference, 2011, Páginas: 4404 - 4409.

7. ANEXOS

7.1 INTERFAZ DE COMUNICACIÓN

Debido a que el control predictivo fue diseñado utilizando el toolbox MPT el cual solo trabaja con

MATLAB, era necesario realizar una comunicación entre Simulink y Labview para poder cerrar el lazo de

control. Para lograr dicha comunicación se hizo uso del protocolo UDP (User Datagram Protocol) el cual

proporciona una comunicación muy sencilla entre diferentes aplicaciones, computadores e instrumentos.

El intercambio de información se da a través de la red sin necesidad de que se haya realizado una

conexión previa. Los procesos se comunican enviando y recibiendo datagramas a puertos ubicados en el

software. Estos puertos representan una ubicación para el envío y recibimiento de los mensajes.

En MATLAB, la comunicación vía UDP se logra a través del toolbox “Instrument Control Toolbox” el

cual es usado para conectar aplicaciones de software remotas con MATLAB y Simulink. En Simulink se

cuenta con dos bloques llamados “UDP Receive” y “UDP Send”, los cuales se encargan de recibir y

enviar los datos respectivamente. Los pasos a seguir para establecer de manera correcta la comunicación

en Simulink son:

1. Ingresar los bloques “UDP Receive” y “UDP Send” en Simulink.

2. Hacer doble click sobre cada bloque para definir sus parámetros.

3. Ingresar la dirección IP que cada bloque utilizará para la transmisión de la información. Es

importante resaltar que estas direcciones deben ser diferentes si se van a usar más de un bloque

“UDP Receive”, de lo contrario la misma dirección se define para ambos bloques. Las direcciones

que se pueden utilizar son “localhost” la cual es la dirección propia del computador y la dirección

a través de la cual el computador se comunica con el PLC. Actualmente, esta última es:

192.168.0.4

4. Especificar el número de puerto remoto (Ubicado en Labview) con el cual se desea establecer la

conexión. El valor por defecto es 9090, pero los valores válidos para los puertos van desde 1 hasta

65535.

5. Definir el número de puerto local. Este último corresponde al puerto que identifica cada bloque

cuyo valor por defecto es -1, lo que significa que asigna un puerto automáticamente. Sin embargo

es posible seleccionar un número entre el rango ya establecido.

6. Para el bloque “UDP Send” se debe especificar el tamaño de la información que se va a recibir, el

cual va expresado como la dimensión de un vector; es decir si se va a recibir un solo dato el

tamaño es “[1]”, con dos datos sería “[1 2]” y así sucesivamente. . Adicionalmente se debe definir

el tipo de variable que se obtendrá, algunas de las opciones a elegir son: single, double, int8,

int16, entre otros.

7. Deshabilitar la opción “Enable blocking mode” la cual evita el bloqueo de la simulación.

8. Especificar el tiempo de muestreo el cual va indicado en segundos.

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En Labview, se cuenta con los bloques “UDP Write” y “UDP Read” quienes se encargan de enviar y

recibir la información respectivamente. Para enviar datos, es necesario suministrar la dirección del destino

y el puerto de llegada; análogamente, para recibirlos se requiere la dirección del origen y su puerto. Los

pasos a seguir para crear el entorno adecuado para el envío de información a Simulink son:

1. Se debe crear un ciclo “for” con el fin de que el bloque “UDP Write” esté enviando los datos

continuamente. En este ciclo, agregar el anterior bloque junto con la información a enviar que

puede ser una variable local del variable en si.

2. Es importante tener en cuenta que Labview envía la información en cadenas, luego es necesario

convertir la información usando el bloque “Flatten To String” antes de realizar la conexión con

“UDP Write”.

3. Por fuera del ciclo, agregar el bloque “UDP Open” el cual se encarga de crear el puerto local para

el bloque “UDP Write”.

4. Es necesario suministrar la dirección IP sobre la cual se va a enviar la información y el puerto

remoto (ubicado en Simulink) al cual llegarán los datos.

La siguiente imagen representa el esquema y las conexiones adecuadas en Labview para lograr el envío

efectivo de los datos.

Para recibir la información proveniente de Simulink, se parte de un esquema modificado de Labview. La

idea es básicamente la misma que la anterior; se debe tener en cuenta que:

1. Todo es ejecutado dentro de un ciclo while que se ejecuta continuamente hasta que deje de recibir

información por un tiempo fijo.

2. Es necesario crear el puerto local para el bloque “UDP Read” haciendo uso del bloque “UDP

Open”.

3. De igual manera que con el envío de la información, Labview recibe los datos en cadenas, luego

es necesario realizar la conversión al tipo de dato apropiado.

4. Se debe definir el número máximo de bytes que va a recibir el bloque.

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Teniendo en cuenta lo anterior, la interconexión de los bloques para recibir la información se muestra a

continuación.

Una vez se cuenta con la conexión adecuada en ambos programas, se debe tener en cuenta los siguientes

puntos:

- El puerto remoto del bloque “UDP Send” de Simulink debe coincidir con el puerto local del

bloque “UDP Read” de Labview.

- El puerto remoto del bloque “UDP Write” de Labview tiene que ser el mismo que el puerto local

definido para el bloque “UDP Receive” de Simulink.

- El puerto local del bloque “UDP Write” debe ser igual que el puerto remoto del bloque “UDP

Receive”.

- Seleccionar el número más grande posible para las iteraciones del ciclo for para evitar que este

pare.

- El tipo de dato a recibir ya sea en Simulink o en Labview debe coincidir con el enviado desde

cualquier a de los anteriores.

Finalmente, teniendo especial cuidado en que las direcciones y puertos coincidan tanto en Simulink como

en Labview, y que el tamaño y tipo de información que esté circulando sea la definida en los bloques de

ambos programas, la comunicación se logra efectivamente y en tiempo real.

control predictivo para un sistema de tanques

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