sistema de control predictivo y cascada

7/17/2019 Sistema de Control Predictivo y Cascada

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Universidad Nacional de Trujillo

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DESISTEMAS

“SISTEMAS DE CONTROL PREDICTIVO Y DE CASCADA”

CURSO : Control Automático

DOCENTE : Ing. César Arellano Salazar.

INTEGRANTES:

1. Alayo Pacheco, Petter Steven.

2.

Burgos Gonzales, Miluska Geraldine.3. Chávez Gonzales, Grecia.4. Cortez Valderrama, Edgar Orlando.5. Guzmán Pasco, Fabiola Ruth.

CICLO: 6° & 8° ciclo.

TRUJILLO - PERÚ

2013



Universidad Nacional de Trujillo Ingeniería de Sistemas

Control Automático

1

Índice

I. Sistema de control Predictivo…………………………………………………2

1. Introducción……………………………………………………………2

1.1 Definición…………………………………………………….…2

1.2 Elementos del control predictivo………………..…….…..4

1.3 Formulación del control predictivo………………………..4

1.4 Ventajas e inconvenientes del MPC…………………..….5

1.4.1 Ventajas……………………………………………..5

1.4.2 Desventajas………………………………….…….6

1.5 Aplicaciones…………………………………………………….6

2. Estabilidad y robustez del control predictivo basado en

modelo……………………………………………………………………7

2.1 Introducción……………………………………………………..7

2.2 Controladores predictivos en la industria………………….8

2.3 El problema de la estabilidad: optimalidad no implica

estabilidad..………………………………………………………...10

2.3.1 Un Ejemple ilustrativo……………..……………….15

2.4 Controladores predictivos con estabilidad

garantizada...............................................................................17

2.5 Formulación general del MPC: necesidad de la región

terminal y el coste terminal…………………………………………18

II. Sistema de control Cascada………………………………………………..19

1. Definición……………………………………………………………….19

2. Estructura…………………………………………………………….….20

3. Ventajas…………………………………………………………………20

4. Diseño……………………………………………………………………21

5. Implementación…………………………………………………….…21

6. Tipos de Sistemas de control en cascada…………….…………22

6.1 Serie…………………………………………………………22

6.2 Paralelo………………………………………………….…27

7. Comparación con control por retroalimentación…………..…29




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2

I. Sistemas de Control Predictivo

1. Introducción

El problema de la predicción y del control es un único problema. Si se es capaz

de saber lo que va a pasar en el futuro, se puede forzar la dinámica para que

ese futuro sea como se desee. Implica un conocimiento preciso de la

dinámica.

Este trabajo se centra en la estabilidad y robustez de una técnica denominada

genéricamente control predictivo basado en modelo o MPC. Esta estrategia

también se conoce como control por horizonte deslizante, por ser ésta la forma

en la que se aplican las actuaciones.

El MPC se enmarca dentro de los controladores óptimos, es decir, aquellos en

los que las actuaciones responden a la optimización de un criterio. El criterio a

optimizar, o función de coste, está relacionado con el comportamiento futuro

del sistema, que se predice gracias a un modelo dinámico del mismo,

denominado modelo de predicción (de ahí el término predictivo basado en

modelo). El intervalo de tiempo futuro que se considera en la optimización se

denomina horizonte de predicción.

1.1 Definición

Son sistemas de control desarrollados e implementados en la década

del 1990, aunque sus principios metodológicos ya habían sido

introducidos en la década del 1970.

Permite manipular las variables para establecer una trayectoria

deseada a futuro. Además de las variables que están siendo

controladas, una vez manipuladas las variables se procede a su cálculo

optimizándolas con la función objetivo y siguiendo métodos de

horizonte móvil.

Para muchos el control predictivo no es una estrategia de control

específica, sino que se trata más bien de un campo muy amplio de

métodos de control desarrollados en torno a ciertas ideas comunes.

El control predictivo utiliza un modelo explícito para predecir la salida

del proceso en instantes futuros, mediante el uso de algoritmos para el

cálculo de señales de control minimizando una cierta función objetivo.

Una de las propiedades más atractivas del sistema de Control Predictivo

es su formulación abierta, que permite la incorporación de distintos tipos




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3

de modelos de predicción, sean lineales o no lineales, monovariables o

multivariables, y la consideración de restricciones sobre las señales del

sistema. Esto hace que sea una estrategia muy utilizada en diversas

áreas del control. Además, es una de las pocas técnicas que permiten

controlar sistemas con restricciones incorporando éstas en el propio

diseño del controlador.

Estas características han hecho del control predictivo una de las

escasas estrategias de control avanzado con un impacto importante en

problemas de ámbito industrial, por tal motivo es importante resaltar que

el control predictivo se ha desarrollado en el mundo de la industria, y ha

sido la comunidad investigadora la que se ha esforzado en dar un

soporte teórico a los resultados prácticos obtenidos.

Merece la pena destacar que el control predictivo es una técnica muy

potente que permite formular controladores para sistemas complejos y

con restricciones. Esta potencia tiene un precio asociado: el costecomputacional y la sintonización del controlador. Recientes avances en

el campo del Control Predictivo proveen un conocimiento más

profundo de estos controladores, obteniéndose resultados que permiten

relajar estos requerimientos. Así por ejemplo, se han establecido

condiciones generales para garantizar la estabilidad del controlador.

Existen muchos algoritmos de control predictivo que han sido aplicados

con éxito: GPC, IDCOM, DMC, APC, PFC, EPSAC, RCA, MUSMAR, NPC,

UPC, SCAP, HPC, etc.

El control por realimentación es análogo a manejar un auto mirando porel espejo retrovisor, el control predictivo es hacerlo mirando hacia

adelante.




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4

1.2 Elementos del control predictivo

La utilización de un modelo matemático de predicción.

La estructuración de las variables a manipular.

El cálculo de estas variables.

La aplicación de control.

1.3

Formulación del control predictivo

a. Modelo de predicción: Es el modelo matemático que describe el

comportamiento esperado del sistema. Este modelo puede ser lineal

o no lineal, en tiempo continuo o en tiempo discreto, en variables

de estado o en entrada salida.

El hecho de que el problema de optimización implicado se resuelva

mediante el computador, así como la técnica de horizonte

deslizante con la que se aplica la solución, hace que sea más

natural considerar modelos discretos que continuos. Por ello, en lo

que sigue se consideran modelos en tiempo discreto 2. Asimismo,

dado que los modelos en el espacio de estados son más generales

que los modelos entrada-salida, en lo que sigue se adopta dicha

formulación. Se considera además que el origen es el punto de

equilibrio en el que se quiere regular el sistema, lo cual no resta

generalidad pues se puede conseguir con un cambio de variables

adecuado. Así el modelo de predicción considerado tiene la forma:

Siendo x k pertenece a IRn el estado y u k pertenece a IRm las

actuaciones sobre el sistema en el instante k .

b. Función de coste: es la función que indica el criterio a optimizar. Es

una función definida positiva que expresa el coste asociado a una

determinada evolución del sistema a lo largo del horizonte de

predicción N . Esta función suele tener la forma

Siendo L (.,.) la función de coste de etapa y V (.) la función de coste

terminal.




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5

Estas funciones son definidas positivas.

c. Restricciones: indican los límites dentro de los cuales debe discurrir la

evolución del sistema. La evolución de las señales de un sistema no

debe exceder determinadas restricciones que, ya sea por límites

físicos o bien por motivos de seguridad, se imponen al sistema. Por

ejemplo, los límites de los actuadores forman parte de estas

restricciones. La necesidad, generalmente por motivos económicos,

de trabajar en puntos de operación cercanos a los límites físicos

admisibles del sistema han provocado la necesidad de incorporar

dichas restricciones en la síntesis de los controladores.

Estas restricciones se suelen expresar como conjuntos X y U ,

generalmente cerrados y acotados, en los cuales deben estar

contenidos los estados del sistema y las actuaciones en cada

instante, de forma que:

1.4 Ventajas e inconvenientes del MPC

Los controladores predictivos han tenido un notable éxito en el

campo de la industria así como en la comunidad investigadora. Esto

se debe a las propiedades que tienen estas técnicas de control, no

exentas, por otro lado, de desventajas.

1.4.1

Ventajas

- Formulación en el dominio del tiempo, lo cual le permite

ser una técnica flexible, abierta e intuitiva.

- Permite tratar con sistemas lineales y no lineales,

monovariables y multivariables utilizando la misma formulación

para los algoritmos del controlador.

- La ley de control responde a criterios de optimización.

- Permite la incorporación de restricciones en la síntesis oimplementación del controlador.

- Brinda la posibilidad de incorporar restricciones en el

cálculo de las actuaciones.

De todas estas ventajas, sin duda la más importante es la

posibilidad de incorporar restricciones en el cálculo de las

actuaciones, aspecto que las técnicas clásicas de control no

permiten.




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1.4.2 Desventajas

- Requiere el conocimiento de un modelo dinámico del sistema

suficientemente preciso.

- Requiere un algoritmo de optimización, por lo que solo se podría.- Implementarse por medio de una computadora.

- Requiere un alto coste computacional, lo que hace difícil su

aplicación a sistemas rápidos.

- Hasta hace relativamente poco, no se podía garantizar la

estabilidad de los controladores, especialmente en el caso con

restricciones. Esto hacía que el ajuste de estos controladores fuese

heurístico y sin un conocimiento de cómo podían influir los

parámetros en la estabilidad del sistema.

1.5 Aplicaciones

a.

Industria

Se introducen en primer lugar los conceptos fundamentales y las

metodologías de amplia implantación en la industria para pasar

posteriormente a la modificación de los algoritmos básicos, de forma

que puedan incorporar situaciones encontradas comúnmente en la

industria como perturbaciones medibles o restricciones.

b.

Química

Sirve para predecir la reacción de compuestos y reactivos a los que se

pueden, mediante el modelo matemático, variar las cantidades o

alguna otra propiedad medible, y observar los resultados posibles

obtenidos por el sistema; así se pueden utilizar mejor los recursos

químicos, que pueden ser o muy costosos o muy caros (en términos de

dinero y tiempo) o muy peligrosos de manipular.

c. Física

Al igual que en la química es costoso comprobar experimentalmente

teorías, modelos, etc. Es por eso que los sistemas de control predictivo

juegan un papel muy importante al permitir saber con cierto grado de

certeza la reacción o el comportamiento futuros de los fenómenos.

d. Marketing




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El control predictivo es muy aplicado para el análisis y predicción del

comportamiento de un sector del mercado, un claro ejemplo es

predecir, con cierto grado de confianza y teniendo en cuenta la

información histórica (valores que en algún momento tuvieron las

variables), el comportamiento del mercado en función de la demanda

de leche para el año 2011.

e.

Robótica

Un ejemplo son los brazos manipuladores, que al estar compuestos por

varias articulaciones unidas entre sí, poseen una dinámica altamente no

lineal, con un fuerte acoplamiento entre sus respectivas articulaciones.

Esto complica la utilización de sistemas de control tradicionales, en

especial por la sintonización ante altas velocidades o aceleraciones.

Una de las mejores soluciones es utilizar un control predictivo, mediante

modelos matemáticos con el fin de compensar los términos dinámicospresentes.

f. Inteligencia artificial

Una de las aplicaciones que promete un gran aporte para la

humanidad, en el futuro, es la utilización de sistemas de control

predictivo a las redes neuronales para la navegación de robots móviles,

se espera que con esta tendencia se pueda mejorar el tránsito vehicular

e incluso peatonal; reduciendo de manera significante los índices de

accidentes de tránsito, los cuales en nuestro país son realmente

alarmantes.

2. Estabilidad y robustez del control predictivo basado en modelo

2.1 Introducción

En este capítulo se hace un recorrido por la evolución del control

predictivo desde la perspectiva de la estabilidad y de la robustez.

Comienza poniendo de manifiesto el origen de la perdida de la

garantía de estabilidad en las formulaciones originales del controlador.

Este hecho aparecía como un problema importante y una merma delos beneficios de esta técnica de control. La incorporación de la teoría

de Lyapunov y la teoría de conjuntos invariantes arroja una nueva luz

sobre el problema. Esto provoca la aparición de trabajos que

profundizan en el conocimiento y solución del mismo, los cuales se

recogen en una sección del capítulo.




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La evolución de este estudio termina en la presentación de la

denominada formulación general del control predictivo. Esta

formulación viene a recoger la esencia de los controladores con

estabilidad garantizada y tal y como se muestra, resuelve los problemas

que originalmente provocaron la perdida de la garantía de estabilidad.A continuación se hace un balance de los principales resultados en la

robustez de controladores predictivos, centrándose en el caso de

sistemas no lineales, por ser ésta el área objeto del estudio realizado.

Antes de adentrarse en el capítulo, merece la pena destacar que el

recorrido por la estabilidad y robustez de los controladores MPC que se

va a exponer, se hace a la luz de la teoría de estabilidad de Lyapunov y

de la teoría de los conjuntos invariantes. Por ello, a lo largo del capítulo

se hacen numerosas referencias al apéndice A, en el cual se recopilanlos principales resultados en estos campos.

2.2 Controladores predictivos en la industria.

El control predictivo ha tenido una evolución peculiar en la disciplina del

control en tanto en cuanto ha sido una estrategia en la cual el campo

industrial ha ido por delante de la comunidad investigadora. Si bien los

controladores predictivos tienen su origen en el control ´optimo (Propoi1963, Lee & Markus 1967, Kwon & Pearson 1977), nuevas y más

avanzadas formulaciones surgieron en el seno de la industria,

principalmente en la industria petroquímica y de procesos. La

necesidad de controlar procesos en puntos de operación límites con el

objetivo de optimizar el proceso productivo llevó a la aparición de

controladores predictivos basados en modelos sencillos, orientados a la

resolución de los problemas de control asociados, tales como la

consideración de restricciones, incertidumbres y no linealidades. Entreotras formulaciones destacan las siguientes:

IDCOM o MPHC: (Identification-Command o Model Predictive

Heuristic Control) propuesto en (Richalet, Rault, Testud & Papon

1978), utiliza como modelo de predicción la respuesta impulsional




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(FIR), función de coste cuadrática, y restricciones en las entradas

y salidas. El algoritmo de optimización es heurístico.

DMC: (Dynamic Matrix Control) propuesto en (Cutler & Ramaker

1980), utiliza como modelo de predicción la respuesta ante

escalón, lo cual limita su aplicación a plantas estables, consideraun coste cuadrático penalizando el esfuerzo de control y no

considera restricciones en la optimización.

QDMC: (Quadratic Dynamic Matrix Control) propuesto en (García

& Morshedi 1986), surge de la extensión del DMC al caso con

restricciones. Este controlador forma parte de la denominada

segunda generación de controladores predictivos, en los que el

problema de optimización asociado se resuelve utilizando la

programación matemática. Establece dos tipos de restricciones:duras y blandas, permitiendo la violación de estas ´ultimas

durante algún periodo de tiempo.

SMOC: (Shell Multivariable Optimizing Control) propuesto en

(Marquis & Broustail 1988), forma parte de la tercera generación

de controladores predictivos. Permite la utilización de modelos en

espacios de estados e incorpora observadores y modelos de

perturbaciones. Introduce también restricciones duras, blandas y

con niveles de prioridad. GPC: (Generalized Predictive Control) propuesto en (Clarke,

Mohtadi & Tuffs 1987a, Clarke, Mohtadi & Tuffs 1987b), utiliza

como modelo de predicción la formulación CARIMA, que

incorpora una perturbación modelada como ruido blanco.

Incorpora restricciones y existen resultados asociados a la

estabilidad.

Se han propuesto otras formulaciones de controladores predictivos talescomo el RMPCT, el PCT o el PFC. Una lectura más profunda sobre todos

estos controladores se puede encontrar en (Camacho & Bordons 1999),

donde se analizan tanto en aspectos prácticos, como en los relativos a

la estabilidad y robustez.




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10

En la mayoría de estos controladores, la estabilidad no está

garantizada, requiriéndose un ajuste específico para cada sistema de

una forma heurística y sin garantías de éxito. Por ello, se establecen

reglas prácticas de ajuste, como la elección de un horizonte de

predicción del orden del tiempo de establecimiento de la planta ensistemas estables.

El problema de la estabilidad no estaba resuelto en general y resultaba

de hecho una suerte de barrera psicológica que los investigadores en

control predictivo ni siquiera intentaban superar 1, produciéndose un

vacío teórico que mermaba las características de estos controladores.

2.3 El problema de la estabilidad: optimalidad no implica

estabilidad

La ley de control obtenida en un controlador predictivo surge de la

optimización de un criterio relacionado con el comportamiento del

sistema, en el que se penaliza tanto el error respecto al punto de

equilibrio como el esfuerzo de control necesario para alcanzar dicho

equilibrio. Contrariamente a lo que dicta el sentido común, el hecho de

que la actuación aplicada sea ´optima no garantiza que el sistema en

bucle cerrado alcance el punto de equilibrio tal y como se desea. El

problema de la estabilidad tiene su origen en el desarrollo propio de los

controladores predictivos: la necesidad de utilizar un horizonte de

predicción finito e invariante en el tiempo y la estrategia de horizonte

deslizante.

El origen de los controladores predictivos está en el control ´optimo en el

cual se pretende calcular la ley de control u = K∞(x) que minimiza el

coste de regular el sistema al punto de equilibrio a lo largo de toda la

evolución del mismo. Así, la función de coste a optimizar es:




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Y el problema de optimización a resolver viene dado por

Siendo x (k + j|k) la predicción del estado del sistema en el instante k + j

a partir del estado en xk . Los conjuntos U y X definen las restricciones, de

forma que X es un conjunto acotado, U compacto y ambos contienenel origen en su interior.

Este problema de control, bajo ciertas condiciones de observabilidad

relacionadas con la función de coste de etapa 2, estabiliza

asintóticamente todo estado en cual exista una solución con un coste

asociado acotado. De hecho, todo punto asintóticamente estabilizable,

se puede estabilizar por esta estrategia de control.

El problema del control óptimo se puede resolver utilizando dos

técnicas: la primera se deriva del principio de optimalidad de Bellman(Bellman 1957, Bryson & Ho 1969), según el cual:

Siendo la ley de control la solución de este problema de optimización

en cada estado K∞(x) = u*(x). El conjunto X∞ es el conjunto de estados

asintóticamente estabilizables al origen de una forma admisible, y por lotanto el conjunto estabilizable en infinitos pasos al origen X∞ = S∞ (X, 0).

Es en este conjunto en el que está definido J∞* (x).

La solución de este problema se puede obtener a partir de las

ecuaciones de Hamilton- Jacobi-Bellman, cuya resolución es muy

compleja, si no imposible, salvo en casos especiales como el problema




Control Automático

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de regulación de un sistema lineal sin restricciones con una función de

coste de etapa cuadrática, que da lugar al regulador lineal cuadrático

o LQR (Bryson & Ho 1969).

Otro procedimiento para resolver este problema es la aplicación del

cálculo variacional, que conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange.La gran diferencia entre ambas resoluciones es que en las ecuaciones

de H-J-B la solución es la ley de control, conduciendo a soluciones

globales y en bucle cerrado, mientras la formulación de E-L conduce a

soluciones locales y en bucle abierto, si bien la resolución de estas

ecuaciones es más sencilla que la de H-J-B. Un análisis más exhaustivo,

pero con un carácter didáctico, sobre control óptimo puede

encontrarse en (Nevistić 1997).

La dificultad en la resolución de este problema llevó a adoptar

soluciones prácticas que hiciesen más sencilla su realización. Éstas ideas

son básicamente las siguientes:

Horizonte finito y fijo: considerando un horizonte finito, el

problema de optimización toma la forma habitual del control

predictivo:

Donde el

coste a optimizar

Siendo V(x) una función que penaliza el coste estado final de la

predicción (estado terminal), denominada función de coste




Control Automático

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terminal. Al conjunto - al que se restringe dicho estado se

denomina región terminal.

La principal ventaja de la adopción del horizonte finito reside en

que el problema de optimización tiene la forma de un problema

de programación matemática, el cual admite solución numéricagracias a los algoritmos existentes (Luenberger 1989). Nótese que

el coste computacional de la resolución de este problema puede

ser muy elevado si el modelo es no lineal.

Estrategia de horizonte deslizante: según esta técnica, en cada

periodo de muestreo se resuelve el problema de optimización y

se aplica tan solo la actuación obtenida para el siguiente

periodo de muestreo. En el siguiente periodo de muestreo setoma un nuevo estado del sistema y se repite la operación. Esto

dota de realimentación a la formulación basada en el problema

de optimización en bucle abierto, lo cual le confiere cierto grado

de robustez.

El problema de control óptimo con horizonte finito i se puede resolver

mediante el problema de programación dinámica asociado:

Siendo J0*(x) = V(x) y X0 = Ω.

De la solución de este problema se deriva la ley de control Ki(x) = u*. El

conjunto Xi-1 es el conjunto de estados que pueden ser llevados por una

ley de control admisible siguiendo una trayectoria admisible hasta el

conjunto Ω en i-1 pasos. Por tanto este conjunto es el conjuntocontrolable en i-1 pasos, es decir, Xi-1 = Ki-1(X, Ω) 3. Este problema de

optimización es factible en el conjunto

Xi = Ki(X, Ω), siendo éste el dominio de definición del controlador Ki(x) y

por lo tanto de Ji*(x).




Control Automático

14

Considérese un estado inicial tal que el problema de optimización con

horizonte N es factible, es decir ∈ . Entonces, aplicando sobre el

sistema la actuación óptima u0 = KN(x0), el estado evoluciona a x1. En

ese instante, la actuación óptima viene dada por la ley de control

óptima con un horizonte N - 1, por tanto u1 = KN-1(x1).Esto se debe al principio de optimalidad de Bellman. Entonces, en el

instante k, la actuación óptima vendrá dada por uk = KN-k (xk ), que es el

controlador ´óptimo para conducir al sistema en N - k pasos al conjunto

terminal Ω.

En consecuencia, el horizonte de predicción se va reduciendo en cada

instante, hasta el instante N en el cual el sistema alcanza la región

terminal Ω. En esta región, el problema de optimización dinámica no

está definido, requiriéndose un controlador alternativo.Sin embargo, en el control predictivo la estrategia de horizonte

deslizante y horizonte finito e invariante hace que siempre se aplique el

controlador con horizonte N. Por lo tanto, la ley de control del MPC es

invariante en el tiempo y viene dada por

Esto hace que la convergencia del controlador óptimo con horizonte

finito se pierda, pues no se reduce el horizonte y este controlador nogarantiza que el sistema evolucione hacia el punto de equilibrio, ni

siquiera que alcance la región terminal.

Una segunda consecuencia es la posible pérdida de la factibilidad del

problema.

En efecto, el hecho de que el problema tenga solución factible en el

instante ∈ ,Ω no garantiza la factibilidad del problema en el

instante k+1. Lo que si garantiza el controlador predictivo es que xk+1

pertenece al conjunto KN-1(X,Ω

). El conjunto KN-1(X,Ω

) no tiene por quéestar contenido en KN(X, Ω) (salvo en el caso en que el conjunto Ω sea

un conjunto invariante positivo o de control). Por lo tanto puede ocurrir

que el estado xk+1 esté en el conjunto KN-1(X, Ω) pero no esté contenido

en KN(X, Ω), por lo que el problema de optimización no tendría solución

factible.




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15

Por tanto, a pesar de que en cada instante se aplica una actuación

´optima, en el sentido que optimiza un coste y satisface unas

restricciones, esta actuación no garantiza ni la factibilidad ni la

convergencia del sistema en bucle cerrado.

Esta pérdida de la estabilidad supuso un grave problema de loscontroladores predictivos, haciendo necesario un ajuste del controlador

particular para cada sistema con el fin de garantizar la estabilidad, con

el temor añadido sobre cómo podía influir la variación de un parámetro

sobre ´esta. Por ello los controladores predictivos contaban entre sus

desventajas la dificultad del ajuste.

La comunidad investigadora tomó el reto del análisis de estabilidad de

los controladores predictivos, que dio como fruto una serie de

formulaciones que garantizan la estabilidad.

2.3.1 Un ejemplo ilustrativo

Para ilustrar cómo el MPC con restricción terminal no garantiza la

estabilidad, se va a considerar un sistema lineal correspondiente a un

doble integrador muestreado con Tm = 1s. Su modelo es xk+1 = A.xk +

B.uk

Siendo

Y está sujeto a las restricciones

Este sistema se va a controlar con un MPC con horizonte de

predicción N = 4, y se va a considerar un coste de etapa cuadrático

Siendo:




Control Automático

16

Y no se añade coste terminal. En el ejemplo se va a considerar una

región terminal

Figura 2.1: Evolución de un sistema controlado por un MPC sin

garantía de estabilidad que no es un invariante positivo del sistema.

Nótese que conjunto en que este controlador es factible es K4(X, Ω).

En la figura 2.1 se muestran los conjuntos controlables desde 1 paso

hasta 4 pasos.

Dado que la región terminal no es un invariante positivo del sistema,

estas regiones no tienen por qué estar anidadas y, de hecho, no lo

están. Esto hace que puedan existir estados iniciales factibles para

los cuales el controlador no estabiliza el sistema, perdiéndose en

algún instante la factibilidad (véase el recuadro aumentado). Nótese

que esto ocurre a pesar de que el problema es inicialmente factible,

es decir, que existe una secuencia admisible que conduce el sistema




Control Automático

17

hacia -. Sin embargo, estas actuaciones no son las que proporciona

el controlador MPC.

Esto no quiere decir, como también se muestra en la figura, que el

controlador no estabilice al sistema en ciertos estados iniciales. El

problema es que no se sabe a priori cuáles son.

2.4 Controladores predictivos con estabilidad garantizada

El rápido desarrollo de los controladores predictivos supuso un reto en la

comunidad investigadora para dar un soporte teórico bajo el cual se

garantizase la estabilidad. Esto dio lugar a una serie de formulaciones

con estabilidad garantizada, cuyo denominador común es la utilización

de la teoría de Lyapunov, y en particular, el coste óptimo como función

de Lyapunov. Estas formulaciones se pueden agrupar de la siguiente

forma:

MPC con restricción terminal de igualdad:

Fue propuesto para garantizar estabilidad del problema LQR con

restricciones en (Kwon & Pearson 1977) y extendido en (Keerthi &

Gilbert 1988) a sistemas no lineales con modelo en espacio de

estados, en tiempo discreto, sujetos a restricciones. La estabilidad

se garantiza imponiendo como restricción terminal

x(k + Njk) = 0

bajo ciertas condiciones de controlabilidad y observabilidad del

sistema. En este caso, la función de coste óptimo esestrictamente decreciente con el tiempo, por lo que es una

función de Lyapunov del sistema.

En (Mayne & Michalska 1990), se formula este controlador para

sistemas en tiempo continuo y se relajan las condiciones para

garantizar la estabilidad.

En (Chisci, & Mosca 1994, Bemporad, Chisci & Mosca 1995) se

extiende esta condición a sistemas lineales descritos por un

modelo CARMA, sin restricciones. En este caso, la restricci´on

terminal se traduce en una condici´on sobre las salidas y lasentradas del sistema.

MPC con coste terminal :

La estabilidad se logra incorporando en la función de coste, un

término que penalice el estado terminal mediante el

denominado coste terminal.




Control Automático

18

MPC con restricción terminal de desigualdad :

los problemas computacionales que supone el cumplimiento de

una restricción de igualdad, llevaron a relajar esta condición,

extendiendo la restricción terminal a una vecindad del origen.

Así, se establece una restricción terminal de desigualdad de la

forma x(k + N|k)Є - Ω

siendo el conjunto Ω el denominado conjunto terminal.

MPC con coste y restricción terminal :

Esta es la estructura en la que se enmarcan las más recientes

formulaciones del MPC. Es importante decir que en algunas de

las formulaciones propuestas en las que se garantiza estabilidad

con la adición únicamente de una función de coste terminal,

implícitamente se impone que la predicción alcance una

vecindad del origen. En consecuencia se deben considerar

también como formulaciones con restricción terminal.

2.5 Formulación general del MPC: necesidad de la región terminaly el coste terminal

Como se ha mostrado anteriormente, las formulaciones del control

predictivo con garantía de estabilidad han ido evolucionando hasta

llegar a la necesidad de la región terminal y del coste terminal de una u

otra forma. Sorprendentemente, todas las estrategias responden a unas

condiciones generales de estabilidad. Este importante resultado es el

que se propuso en (Mayne et al. 2000).

En este trabajo se analizan las formulaciones existentes de controladores

predictivos con estabilidad garantizada y se establece que el control

predictivo con coste terminal y restricción terminal puede, bajo ciertas

condiciones, estabilizar asintóticamente un sistema no lineal sujeto a

restricciones. Además se establecen condiciones suficientes sobre la

función de coste terminal y la región terminal para garantizar dicha

estabilidad.

Estas condiciones son las siguientes:

La región terminal Ω debe ser un conjunto invariante positivo

admisible del sistema. Es decir, que debe existir una ley de control

local u = h(x) tal que estabiliza el sistema en Ω y además la

evolución del sistema y las actuaciones en dicho conjunto son

admisibles.




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19

El coste terminal V (x) es una función de Lyapunov 4 asociada al

sistema regulado por el controlador local, tal que

V (f (x; h(x))) - V (x) <= -L(x; h(x))

para todo x Є

Ω

. Por lo tanto, la ley de control local estabilizaasintóticamente el sistema.

II. SISTEMA DE CONTROL DE CASCADA

1. Definición:

El control en cascada es una estrategia que mejora significativamente, en

algunas aplicaciones, el desempeño que muestra un control por

retroalimentación y que ha sido conocida desde hace algún tiempo. Loscomputadores permiten la implementación de controles en cascada que son

más simples, más seguros y menos costosos que los que pueden obtenerse

mediante el uso de instrumentación análoga.

Por lo tanto, la disponibilidad de los computadores ha facilitado que el control

en cascada se implemente ahora mucho más que antes, cuando solo se

utilizaba la instrumentación análoga.

Su objetivo es el de mejorar el desempeño de un lazo de control realimentado

que no funciona satisfactoriamente, aunque su controlador esté biensintonizado, debido a la lentitud de respuesta de su variable controlada, que

entra en diferentes puntos del lazo y cuyo efecto sobre la variable controlada

no se puede detectar rápidamente, desmejorando la controlabilidad.

Ejemplo: Control de temperatura de un horno




Control Automático

20

Existen dos propósitos para usar control cascada:

1. Eliminar el efecto de algunas perturbaciones haciendo la respuesta de

regulación del sistema más estable y más rápido.

2. Mejorar la dinámica del lazo de control.

2. Estructura

La estructura de control en cascada tiene dos lazos:1. Lazo primario con un controlador primario también llamado “maestro”

K 1(s ).

2. Lazo secundario con un controlador secundario también

denominado “esclavo”K 2(s ).

- La salida del primario es el punto de consigna del controlador secundario.

- La salida del controlador secundario es la que actúa sobre el proceso




Control Automático

21

3.

Ventajas:

a) Produce estabilidad en la operación

b) Las perturbaciones en el lazo interno o secundario son corregidas por el

controlador secundario, antes de que ellas puedan afectar a la variable

primaria.

c) Cualquier variación en la ganancia estática de la parte secundaria del

proceso es compensada por su propio lazo.

d) Las constantes de tiempo asociadas al proceso secundario son reducidas

drásticamente por el lazo secundario.

e) El controlador primario recibe ayuda del controlador secundario para lograr

una gran reducción en la variación de la variable primaria.

f) Es menos sensible a errores de modelado.

g) Incremento de la capacidad de producción.

4. Diseño:

Es aconsejable cuando se cumplen las siguientes condiciones:

• El bucle simple no da una respuesta satisfactoria (proceso de dinámica lento,

tiempo muerto grande en relación a la constante de tiempo, sometido a

perturbaciones significativas

• Existe una variable secundaria, X(s), medible a costo razonable, que satisface

las siguientes condiciones:




Control Automático

22

- Debe indicar la existencia de una perturbación importante.

- Debe existir una relación causal entre la variable manipulada y la variable

secundaria

- La dinámica de la variable secundaria debe ser más rápida que la de la

variable primaria. De esta forma, el bucle interno controla la variablesecundaria antes de que el efecto de la perturbación se propague a la

variable primaria (variable controlada) de forma significativa.

- Típicamente tp (tiempo pico) debe ser mayor que 3ts (constante de tiempo

del proceso secundario).

5. Implementación:

Consideraciones Principales para la Implementación de Control en Cascada.

Una cuestión importante en la implementación de control en cascada escómo encontrar la variable secundaria controlada más ventajosa, es decir,

determinar cómo el proceso puede ser mejor dividido.

La selección de la variable controlada secundaria es tan importante en un

sistema de control en cascada que es muy útil formalizar algunas reglas que

ayuden a la selección.

Regla 1.- Diseñar el lazo secundario de manera que contenga las

perturbaciones más serias.

Regla 2.- Hacer el lazo secundario tan rápido como sea posible incluyendosolamente los menores retrasos del sistema completo de control.

Regla 3.- Seleccionar una variable secundaria cuyos valores estén

definidamente y fácilmente relacionados a los valores de la variable primaria.

Regla 4.- Incluir en el lazo secundario tantas perturbaciones como sea posible,

manteniéndolo al mismo tiempo, relativamente rápido.

Regla 5.- Escoger una variable secundaria de control que permita al

controlador secundario operar a la ganancia más alta posible (la más baja

banda proporcional). Esto es difícil de predecir.

6. Tipos de Sistemas de control en cascada

Hasta ahora se han propuesto dos tipos de esquemas de control en cascada:

en serie y en paralelo; los dos tipos de control en cascada han sido discutidos

en la sección anterior.




Control Automático

23

Diagrama de bloques del esquema de control en cascada de la composición

del destilado manipulado el flujo del reflujo.

6.1

Serie

En este esquema la varible manipulada u tiene un defecto tipo

“domino” sobre la variable a controlar y . El esquema de control se

denomina en serie ya ue u afecta a una variable intermedia y i la cual, a

su vez, afecta a la variable que se desea controlar y tal como se

muestra acontinuacion:

Sistema en Serie: la variable manipulada afecta a una variable

intermedia la cual entonces afecta a la variable a controlar.

Un requisito importante para la que la aplicación del esquema de

control en cascada presente ventajas sobre un controlador feedback

puro, es que la respuesta dinámica de la planta G2 sea más rápida que

la correspondiente respuesta dinámica de la planta G1. Si este requisito

se cumple entonces es muy probable mejorar el desempeño del

esquema de control a lazo cerrado usando control en cascada. Por

esta razón se acostumbra emplear un controlador puramente

proporcional para el control de la planta G2; este controlador se

sintoniza de manera tal que la respuesta obtenida de la planta G2 sea la

más rápida posible, sujeta a las restricciones de estabilidad sobre los

valores de la ganancia del controlador. Para el control de la planta G1

podría emplearse un controlador PI o PID.

Ejemplo 1: Emplear control en cascada para el control a lazo cerrado

del sistema representado por las siguientes funciones de transferencia:




Control Automático

24

Probar el esquema de control para una perturbación unitaria estática.

Comparar el desempeño del sistema de control en cascada contra elque se obtendría si se usa control feedback puro del tipo PI y PID.

Considerar que la acción de control está restringida al rango [-5; +5].

Como sabemos, la raíz negativa más cercana al eje imaginario (o más

pequeña en valor absoluto) del polinomio del denominador es la que

domina la respuesta dinámica de un sistema dado. En este caso la raiz

más pequeña de G1 es 0.1 y de G2 es 1, ambas en valor absoluto. Por lo

tanto, las constantes de tiempo T aproximadas de cada planta son:

entonces, como T2 < T1, en principio el sistema dinámico en cuestión

parece ser un buen candidato para que, a través del uso de control en

cascada, se pueda obtener mejor desempeño del esquema de control

que usando sólo control feedback puro. En la figura presentada a

continuación se muestra la respuesta del sistema dinámico a lazo

abierto cuando la entrada de cada planta experimenta un cambio

escalón.




Control Automático

25

Respuesta a lazo abierto ante un cambio unitario de las plantas G1 y G2.

Para diseñar el esquema de control en cascada empezaremos

controlando primero la planta G2, lo cual implica diseñar primero el

controlador esclavo. Como se dijo antes, para el control de la planta G2

se empleará control proporcional. El margen de ganancia para G2 es

“infinito” lo cual implica que, aunque en principio se puede emplear

cualquier valor de ganancia del controlador, sujeto sólo a la restricción

de saturación de la válvula de control, diseñaremos este lazo de control

para lograr un factor de amortiguamiento igual a 0.4. Del diagrama

del lugar de las raices (rootlocus) obtenemos que para =0.4 se debe

usar una ganancia del controlador k c igual a 5. En la Figura se muestra la

conducta dinámica a lazo cerrado de la planta G2.

Respue sta a lazo c e rra do de la p lan ta G2 a n te una

p er tu rb a c ión un ita r ia a la sa lid a d e la p la n ta .

Para diseñar ahora el lazo del controlador maestro debemos primero

entender que la “planta" que el controlador maestro “ve" (G3) está

dada por el producto de la función de transferencia del lazo del

controlador esclavo a lazo cerrado

multiplicada por la función detransferencia de la planta asociada al lazo maestro G1, donde:




Control Automático

26

usando G3 como la función de transferencia del sistema a controlar,

diseñemos un controlador PI usando la técnica de sintonización en el

dominio de la frecuencia, donde especificamos que la altura máxima

del pico resonante de la gráfica de ganancia del sistema sea de +2db.

De acuerdo a esta especificación, la ganancia k c y tiempo integral T I

del controlador maestro son 1.416 y 6.3, respectivamente. En la Imagen

se muestra la respuesta del sistema de control a lazo cerrado

empleando el esquema de control en cascada.

Resp uesta a la zo c er ra d o d e l sistem a d e c ont ro l an te una p er tu rb ac ión

un it a ria a la sa lid a d e la p lan ta em p leand o c on t ro l en c asc ad a .

Para comparar el desempeño del esquema de control en cascada se

diseñaron controladores PI y PID sintonizados con el mismo criterio

anterior, es decir, usando +2 db como altura máxima de la curva deganancia. Los parámetros de sintonización determinados fueron: (a) PI

k c=1.0516, TI=10.9949

(b) PID k c=1.6548, TI=10.9949, T D =2.1717. En la Figura siguiente se

muestran los resultados a lazo cerrado para ambos controladores.




Control Automático

27

Respuesta a lazo cerrado del Sistema de control ante una perturbación

unitaria a la salida de la planta empleando control PI y PID

6.2

Paralelo

Existen algunos tipos de sistemas dinámicos donde hay una relación

entre la variable manipulada u y alguna otra variable intermedia y i. Sin

embargo, a diferencia del esquema en serie, la variable yi no afecta

directamente a la variable controlada y. La variable controlada se ve

afectada directamente por la variable manipulada tal como se muestra

en la Figura.

Sistema en paralelo: la variable manipulada afecta a variable y i




Control Automático

28

Y a la variable a controlar y .

Por comodidad redibujamos el diagrama de bloques del esquema de

control en cascada en paralelo como se muestra en la Figura siguiente:

Sistema control en cascada en paralelo

Para diseñar el esquema de control en cascada para sistemas en

paralelo, procedemos como anteriormente se ha hecho para el

correspondiente sistema de control de tipo cascada en serie. Es decir,

primero diseñamos el controlador esclavo y, a continuación se diseña el

controlador maestro. Sin embargo, debe notarse que cuando se diseña

el controlador maestro la función de transferencia de la “planta" a

controlar G3 estará dada por:

El diagrama de bloques de este sistema reducido o transformado se

muestra en la figura a continuación:

Sistema control en cascada en paralelo reducido

…

1.2

…

1.1




Control Automático

29

Para derivar la ecuación 1.2 debemos primero notar que representa

la función de transferencia entre la acción de control u y el set-p oint de

la va ria b le “inte rna " . Entonces del diagrama de bloques de la figura :

De donde,

7. Comparación con control por retroalimentación

En ocasiones el esquema de control por retroalimentación simple debe ser

modificado para enfrentar condiciones especiales de perturbación en el

sistema y las características pobres en estabilidad y rapidez de respuesta que

éstas pueden reproducir. Estableciendo una comparación es necesario, en

primer lugar precisar el diagrama de bloque y los componentes del esquema

por retroalimentación simple:

…

1.3

…

1.5

…

1.4




Control Automático

30

Considerando el siguiente ejemplo:

Constituido por el horno en el cual se quema gas, para calentar una cierta

corriente y elevar su temperatura desde Te hasta TS . Suponiendo que disminuye

de pronto la presión de alimentación del gas combustible la caída de presión

a través de la válvula será menor de manera que disminuirá el flujo de gas.

Con el controlador de temperatura por retroalimentación simple, no se hará

ninguna corrección hasta que la temperatura final a la salida se vea

finalmente disminuida. De esta forma, toda la operación del horno se ve

alterada por la perturbación.

Con el sistema de control en cascada (fig. 2), el controlador de flujo sobre la

corriente de gas combustible detectará inmediatamente la disminución de

gas y abrirá la válvula de control para hacer que el flujo vuelva a su valor

requerido. El horno no se ve afectado entonces por la perturbación




El diagrama de bloques correspondiente a esta última situación se muestra en

la figura siguiente. Así, el control en “cascada” tiene dos controladores por

retroalimentación.

Es importante notar las siguientes diferencias entre las estructuras de control de

tipo feedback convencional y cascada:

El esquema de control feedback sólo emplea un controlador, mientras

que en el esquema de control en cascada se emplean dos

controladores, es decir necesita una mayor inversión en

instrumentación.

En el esquema de control feedback el set-point del controlador se fija

externamente (normalmente lo fija el operador del proceso). En el

esquema de control en cascada el set-point de la variable a

controlador sigue siendo fijado de manera externa. Sin embargo, el set-

point del controlador esclavo es fijado por el controlador maestro. Es

decir, la salida o resultado que produce el controlador maestro es

simplemente el set-point al que debe operar el controlador esclavo.

La velocidad de respuesta del sistema se mejora en el control en

cascada, si el lazo secundario tiene una respuesta más rápida que la

l t i t

sistema de control predictivo y cascada

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