1. control predictivo basado en modelo 1 -...
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Clase 15 MPC.DOC 1
1. Control Predictivo Basado en Modelo 1. Control Predictivo Basado en Modelo _______________________________1
1.1. Introducción_________________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Predicción __________________________________________________________________________________________________________ 4 1.3. Control Predictivo Generalizado ________________________________________________________________________________________ 6
1.3.1. Ejemplo de Control____________________________________________________________________________________________________________ 10 1.3.2. Caso Especial _______________________________________________________________________________________________________________ 21
1.4. Control Predictivo Multivariable _______________________________________________________________________________________ 25 1.4.1. Caso Ruido Blanco ___________________________________________________________________________________________________________ 27
1.5. Introducción de Restricciones_________________________________________________________________________________________ 38 1.6. Referencias ________________________________________________________________________________________________________ 42
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1.1. Introducción Presentación del problema: la planta es
1
1 1
( )( )
dk k k
B qy q u nA q
−−
+ −
′= + (1.1)
perturbación 1
1
( )( )k kC qn eA q
−
−= (1.2)
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- Modelo CARIMA Caso particular: perturbaciones constantes
( ) ( ) ( )1 1 11
dk k kA q y q B q u C q e b− − − −+ ′= + + (1.3)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 111 1 1d
k k kq A q y q q B q u q C q e− − − − − − −+ ′− = − + − (1.4)
modelo CARIMA o incremental
( ) ( ) ( )1 1 11
dk k kA q y q B q u C q e− − − −+′ ′ ′= ∆ + (1.5)
ahora la variable manipulada es ku∆ .
El controlador va a tener un término integral implícito.
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1.2. Predicción Caso ruido blanco Sea la planta
( ) ( )1 11
dk k kA q y q B q u e− − −+′ ′= ∆ + (1.6)
Se desea predecir el valor futuro de la salida. Se verá que la predicción de la salida resulta:
( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k h dy G q y F q B q u− − −
+ + − −′= + ∆ (1.7)
donde h se llama horizonte de predicción y los polinomios F y G cumplen
( ) ( ) ( )1 1 11 hh hF q A q q G q− − − −′= + (1.8)
los polinomios son de grado
( )( )
1h
h a
gr F h
gr G n
= −
= (1.9)
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demostración
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 11
dh k h k h kF q A q y q F q B q u F q e− − − − − −
+′ ′= ∆ + (1.10)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 111 h d
h k h k h kq G q y q F q B q u F q e− − − − − −+
′− = ∆ + (1.11)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1
h dk h k h k h ky q G q y q F q B q u F q e− − − − − −+ + ′= + ∆ + (1.12)
en h muestras más adelante será
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 11
h dk h h k h k h k hy G q y q F q B q u F q e− − − − − −+ + −′= + ∆ + (1.13)
las muestras del ruido son todas futuras por lo que la mejor predicción será
( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k h dy G q y F q B q u− − −
+ + − −′= + ∆ (1.14)
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1.3. Control Predictivo Generalizado minimizar
[ ]2
1
22/ 1
1
uNN
k h k h k k jh N j
J r y uλ+ + + −= =
= − + ∆ ∑ ∑ (1.15)
donde
uN es el horizonte de control
1N y 2N intervalo de cálculo del costo
hay que calcular la u desde k hasta uk N+
una simplificación que se hace es
1 0k j uu j N+ −∆ = ∀ > (1.16)
una condición extrema es hacer 1uN = (1.17)
porque de todos modos u se calcula nuevamente en cada paso Se debe calcular la predicción para 1 2h N N=
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( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k h dy G q y F q B q u− − −
+ − + −′= + ∆ (1.18)
todos los términos del ruido son futuros e impredecibles Se reescribe la predicción del siguiente modo:
11
ˆu
a
k
k Nk n
k h h hk
k
k m
y
uy
y FB Gu
u
u
+−
+−
−
∆ = + ∆ ∆ ∆
(1.19)
esto se repite para cada 1 2h N N=
Se pueden construir las siguientes matrices
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2
1
ˆˆ
ˆ
k N
k N
yY
y
+
+
=
,
2
1
N
N
FBFB
FB
=
,
uk N
k
uU
u
+∆ ∆ = ∆
,
2
1
1
1
1
N
N
G
G FBG
=
,
1
a
k
k na
k
k m
y
yM
u
u
−
−
−
= ∆ ∆
(1.20)
definiendo las referencias futuras,
2
1
k N
k N
rR
r
+
+
=
(1.21)
se puede reescribir el funcional
ˆ ˆT TJ R Y R Y U Uλ = − − + ∆ ∆ (1.22)
[ ] [ ]1 1T T
a aJ R FB U G M R FB U G M U Uλ= − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ + ∆ ∆ (1.23)
[ ]12 2 0Ta
J FB R FB U G M UU
λ∂= − − ⋅∆ − ⋅ + ∆ =
∂ (1.24)
Clase 15 MPC.DOC 9
[ ]1*1
T TaU FB FB I FB R G Mλ
− ∆ = + − ⋅ (1.25)
el regulador resulta
[ ]*r r aU R R S M∆ = − (1.26)
donde 1
1
T Tr
r
R FB FB I FB
S G
λ−
= + =
(1.27)
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1.3.1. Ejemplo de Control sistema original
( ) ( )1 2 3 11 2 0 1 11 k ka q a q y q b b q u− − − −
−+ + = + (1.28)
4 1 3 2 2 0 1 1k k k k ky a y a y b u b u+ + + −= − − + + (1.29)
ó
( ) ( )4 1 3 1 2 2 2 1 0 1 11k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ + + + −= − + − + + ∆ + ∆ (1.30)
1 23 4 10 2ud N N N= = = = (1.31)
La predicción del valor de la salida en k+4 es
( ) ( )4 1 3 1 2 2 2 1 0 1 1ˆ 1k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ + + + −= − + − + + ∆ + ∆ (1.32)
se puede reemplazar las muestra anteriores de la salida
( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 0 3 1 41k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ − − − −= − + − + + ∆ + ∆ (1.33)
Clase 15 MPC.DOC 11
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( )( )
( )
2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 3
1 1 1 2 1 2 2 0 3 1 4
1 2 2 1 0 2 1 3
21 1 2
1 1 2 2 1
1 2 2
0 2 1 0 1
1
1 1
1
1
1
1
k k k k k k
k k k k k
k k k k
k
k
k
k
y a y a a y a y b u b u
a a y a a y a y b u b u
a a y a y b u b u
a a a y
a a a a y
a a y
b u a b b
+ + − − −
− − − −
− − −
−
−
−
= − + − + + ∆ + ∆
= − − + − + + ∆ + ∆ + − + + ∆ + ∆
= − + − + + − − + + + − +
+ + ∆ + − + ∆ ( )3 1 1 41k ku a b u− −+ − ∆
(1.34)
Clase 15 MPC.DOC 12
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 1 2 1 2 1 2 0 1 1 2
21 1 2
1 1 2 2 11
1 2 2
0 2 1 0 1 3 1 1 4
1 2 1 1 2 1 2 2 0 3 1
1
1
111
1 1
1
k k k k k k
k
k
k
k k k
k k k k k
y a y a a y a y b u b u
a a a y
a a a a yaa a y
b u a b b u a b u
a a a y a a y a y b u b u
+ + + − −
−
−
− − −
− − −
= − + − + + ∆ + ∆
− + − + + − − + + = − + − + + + ∆ + − + ∆ + − ∆
+ − − + − + + ∆ + ∆ 4
2 0 1 1 2k k ka y b u b u−
− −
+ + ∆ + ∆
(1.35)
Clase 15 MPC.DOC 13
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
23 1 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1 2 2 2
0 1
1 0 1 2
1 1 0 1 1 2 0 3
1 1 1 1 2 1
1 1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
k k
k
k
k
k
k
k
y a a a a a a a a y
a a a a a a a a a y
a a a a a a y
b u
a b b u
a a b b a a b u
a a b a a b u
+
−
−
−
−
−
= − − + − + − − + + + − − − + + − −
+ − − + − + + ∆
+ − + ∆ + − − + + − ∆
+ − − + − ∆ 4−
(1.36)
Clase 15 MPC.DOC 14
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
21 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1 2 2 2
4 1 0 1
1 0 1 2
1 1 0 1 1 2 0 3
1 1 1 1 2 1
1 1 1
1 1
1 1
ˆ 1
1
1 1
1 1
k
k
k
k k
k
k
a a a a a a a a y
a a a a a a a a a y
a a a a a a y
y a b u
a b b u
a a b b a a b u
a a b a a b
−
−
+ −
−
−
− − + − + − − + + + − − − + + − −
+ − − + − + = − + ∆
+ − + ∆ + − − + + − ∆
+ − − + −
( )
( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
4
21 1 2
1 1 2 2 11 2
1 2 2
0 2 1 0 1 3 1 1 4
2 1 1 2 1 2 2 0 3 1 4
0
1
1
1
1 1
1
k
k
k
k
k k k
k k k k k
u
a a a y
a a a a ya aa a y
b u a b b u a b u
a a y a a y a y b u b u
b
−
−
−
− − −
− − − −
∆ − + − + + − − + + + − + − + + + ∆ + − + ∆ + − ∆
+ − + − + + ∆ + ∆ + 1 1k ku b u −∆ + ∆
(1.37)
Clase 15 MPC.DOC 15
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
4
4 21 1 1 2 1 2 1 2
31 2 1 1 2 2 1
3 21 1 2 1 2 1 2 1 2
121 1 2 1 2 2 2 1 2
1 1 1 2 1 2 222
1 2 1 2 2
ˆ
1 1 1
1 1
1 1
1
1 1 1
1
k
k
k
k
y
a a a a a a a ay
a a a a a a a
a a a a a a a a ay
a a a a a a a a a
a a a a a a ay
a a a a a
+
−
−
=
− + − − + − − + + = + + − + − − + − − − + − + − − + + + + − − + − + − − − − + − + + + + − − +
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )
0
1 0 1 1
1 1 0 1 1 2 0 2
1 1 1 0 1 1 2 03
1 2 1 0 1 2 0
1 1 1 1 2 1
1 1 2 1 1 2 1 4
1
1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
k
k
k
k
k
b u
a b b u
a a b b a a b u
a a a b b a a bu
a a a b b a b
a a b a a b
a a a a b a b u
−
−
−
−
+ ∆
+ − + ∆ + + − − + + − + ∆ − − − + + − + + ∆ + − − + + − − + − +
+ − + − − + ∆
(1.38)
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simplificando la notación
4 4 4 1 4 2 40 1 2 0
4 1 4 2 4 3 4 41 2 3 4
ˆk k k k k
k k k k
y g y g y g y fb ufb u fb u fb u fb u
+ − −
− − − −
= + + + ∆ +
+ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (1.39)
queda expresada en función de muestras anteriores La predicción del valor de la salida en k+5 es
( ) ( )5 1 4 1 2 3 2 2 0 1 1ˆ 1k k k k k ky a y a a y a y b u b u+ + + + += − + − + + ∆ + ∆ (1.40)
5 5 5 1 5 2 5 1 50 1 2 0 1
5 1 5 2 5 3 5 42 3 4 5
ˆk k k k k k
k k k k
y g y g y g y fb u fb ufb u fb u fb u fb u
+ − − +
− − − −
= + + + ∆ + ∆ +
+ ∆ + ∆ + ∆ + ∆(1.41)
y así hasta 2 10N =
para simplificar se considera
2 0ku +∆ = (1.42)
finalmente
1ˆ
aY FB U G M= ⋅∆ + ⋅ (1.43)
Clase 15 MPC.DOC 17
donde
4
10
ˆˆ
ˆ
k
k
yY
y
+
+
=
1k
k
uU
u+∆
∆ = ∆
1
2
1
2
3
4
k
k
k
a k
k
k
k
yyy
M uuuu
−
−
−
−
−
−
= ∆ ∆ ∆ ∆
(1.44)
( )( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1 2 0
1 10 2 10
01
1 1 1
bb b a ba b b a b a b a a bFB
fb fb− −
− +
− + − − + + − =
(1.45)
Clase 15 MPC.DOC 18
40 41 42 41 42 43 44
50 51 52 52 53 54 55
60 61 62 63 64 65 66
1 70 71 72 74 75 76 77
80 81 82 85 86 87 88
90 91 92 96 97 98 99
10 0 10 1 10 2 107 108 109 1010
g g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fb
G g g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fbg g g fb fb fb fb− − −
=
(1.46)
Clase 15 MPC.DOC 19
la referencia
4
10
k
k
rR
r
+
+
=
(1.47)
[ ] [ ]1 1
ˆ ˆT T
T Ta a
J R Y R Y U U
R FB U G M R FB U G M U U
λ
λ
= − − + ∆ ∆
= − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ + ∆ ∆ (1.48)
[ ]12 2 0Ta
J FB R FB U G M UU
λ∂= − − ⋅∆ − ⋅ + ∆ =
∂ (1.49)
[ ]1*1
T TaU FB FB I FB R G Mλ
− ∆ = + − ⋅ (1.50)
el regulador resulta
[ ]*r r aU R R S M∆ = − (1.51)
donde
Clase 15 MPC.DOC 20
1
1
T Tr
r
R FB FB I FB
S G
λ−
= + =
(1.52)
Solo se necesita la última fila de *U∆
Clase 15 MPC.DOC 21
1.3.2. Caso Especial
1 2 21 2 ud N d N N N= = = = (1.53)
1ˆ
aY FB U G M= ⋅∆ + ⋅ (1.54)
donde
1
2
ˆˆˆk
k
yY
y+
+
=
1k
k
uU
u+∆
∆ = ∆ 1
2
1
k
ka
k
k
yy
Myu
−
−
−
= ∆
(1.55)
( )0
0 0 1 1
01b
FBb b a b
= − + (1.56)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 2 1
1 21 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1
1
1 1 1 1
a a a a bG
a a a a a a a a a b a
− − =
− + − − − + − − (1.57)
se define la referencia
Clase 15 MPC.DOC 22
1
2
k
k
rR
r+
+
=
(1.58)
costo, 0λ =
[ ] [ ]2 2
1 11
ˆ ˆˆT T
k j k j a aj
J r y R Y R Y R FB U G M R FB U G M+ +=
= − = − − = − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ ∑ (1.59)
[ ]12 0Ta
J FB R FB U G MU∂
= − − ⋅∆ − ⋅ =∂
(1.60)
como FB es cuadrada,
[ ]* 11 aU FB R G M−∆ = − ⋅ (1.61)
el regulador resulta
[ ]*r r aU R R S M∆ = − (1.62)
donde
Clase 15 MPC.DOC 23
0 0 1 120 01
0
1
1
1 0r
r
b b a bb b
R FB
bS G
−
− + − = =
=
(1.63)
solo se necesita conocer ku∆ ,
( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 1 10
1 1k k k k k ku r a y a a y a y b ub + − − −∆ = − − + − + + ∆ (1.64)
o
1
1 1 2 2 11
0 0 0 0 02
1
1 1
k
k
k k
k
k
ry
a a a a bu yb b b b b
yu
+
−
−
−
− −
∆ = −
∆
(1.65)
este caso es fácil de adaptar ya que la planta se puede expresar de igual manera. Según (1.54),
Clase 15 MPC.DOC 24
1 1 11
2 2
1
k
k k k
k k k
k
yy u y
FB Gy u y
u
+ + −
+ −
−
∆ = ⋅ + ⋅ ∆ ∆
(1.66)
1 1 111
2 2
1
k
k k k
k k k
k
yu y y
FB Gu y y
u
+ + −−
+ −
−
∆ = − ⋅ ∆
∆
(1.67)
en particular, la segunda fila resulta muy parecida a (1.65),
1
1 1 2 2 11
0 0 0 0 02
1
1 1
k
k
k k
k
k
yy
a a a a bu yb b b b b
yu
+
−
−
−
− −
∆ = −
∆
(1.68)
los coeficiente coinciden con los del regulador y se pueden calcular por mínimos cuadrados.
Clase 15 MPC.DOC 25
1.4. Control Predictivo Multivariable La mayoría de los procesos industriales tienen interacciones entre las variables con-troladas y las variables manipuladas, por ende se presentan como procesos multiva-riables. Se considera el siguiente modelo multivariable:
( ) ( ) ( )11 1
1k k k k
C qA q y B q u e n
−− −
−= + +∆
(1.69)
con ky vector de salida de nx1 (n variables controladas)
ku vector de entrada de mx1 (m variables manipuladas)
ke vector de perturbación de nx1
Los polinomios son: 11 q−∆ = − (1.70)
( )1 11
a
a
nnxn nA q I A q A q nxn−− −= + + + (1.71)
( )1 10 1
b
b
nnB q B B q B q nxm−− −= + + + (1.72)
Clase 15 MPC.DOC 26
( )1 11
c
c
nnxn nC q I C q C q nxn−− −= + + + (1.73)
Función Objetivo
( ) [ ] [ ]2
1
1 2 / / 1 11
ˆ ˆ, ,uNN TT
u k h k h k k h k h k k j k jh N j
J N N N r y R r y u Q u+ + + + + − + −= =
= − − + ∆ ∆ ∑ ∑ (1.74)
Q y R definidas positivas
Clase 15 MPC.DOC 27
1.4.1. Caso Ruido Blanco
( )1nxnC q I− = (1.75)
ecuación diofantina
( ) ( ) ( )1 1 1hh hI F q A q q G q− − − −= ∆ + (1.76)
la predicción de la salida es
( ) ( ) ( )1 1 11ˆk h h k h k hy G q y F q B q u− − −
+ + −= + ∆ (1.77)
se define h
h h hpF B G q G−= + (1.78)
con ( )hgrado G h<
entonces
( ) ( )( )
11
11 1
ˆ hk h h k h hp k h
h k h k h hp k
y G q y G q G u
G q y G u G u
− −+ + −
−+ − −
= + + ∆
= + ∆ + ∆ (1.79)
Se define
Clase 15 MPC.DOC 28
1h hp k h kf G u G y−= ∆ + (1.80)
(parte conocida)
1ˆk h h k h hy G u f+ + −= ∆ + (1.81)
las predicciones sobre todo el horizonte serán:
( )1 1 1 0 1
2 2 1 2 1 1 0 2
ˆ
ˆ ,k k k
k k k k k
y G u f G u f
y G u u f G u G u f+
+ + +
= ∆ + = ∆ +
= ∆ + = ∆ + ∆ + (1.82)
o
1 0 1
2 1 0 1 2
1 2 0 1
ˆ 0 0ˆ 0
ˆ
k k
k k
k N N N k N N
y G u fy G G u f
y G G G u f
+
+ +
+ − − + −
∆ ∆ = + ∆
(1.83)
matricialmente y G u f= ∆ + (1.84)
y la función objetivo
Clase 15 MPC.DOC 29
T TJ G u f r R G u f r u Q u = ∆ + − ∆ + − + ∆ ∆ (1.85)
la acción de control óptima es
( )1T Tu G RG Q G R r f−
∆ = + − (1.86)
o más simplemente
( )u K r f∆ = − (1.87)
Clase 15 MPC.DOC 30
Ejemplo: Columna de Destilación
Clase 15 MPC.DOC 31
Clase 15 MPC.DOC 32
Variable manipuladas:
1u Tasa de tiro superior (top draw rate)
2u Tasa de tiro lateral (side draw rate)
3u Reflujo inferior (bottom reflux duty)
Variables controladas:
1y Composición producto superior (top product composition)
2y Composición de producto lateral (side product composition)
3y Temperatura inferior (Bottom temperature)
La dinámica de la planta está descrita por:
( )( )( )
27 28 27
1 118 14 15
2 2
20 223 3
4,05 1,77 5,881 50 1 60 1 50
5,39 5,72 6,91 50 1 60 1 40
4,38 4,42 7,21 33 1 44 1 19
s s s
s s s
s s
e e es s sy s u
e e ey s us s s
y s ue es s s
− − −
− − −
− −
+ + + = + + + + + +
(1.88)
Clase 15 MPC.DOC 33
los retardos van de cero a 28 minutos Se muestrea con 4minT =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 216 7 6
1 1 1
1 2 1 2 1 214 3 3
2 1 1 1
3 1
0,08 2,88 0,116 2,8830,1141 0,923 1 0,936 1 0,923
0,211 0,96 0,187 0,967 0,17 2,8541 0,923 1 0,936 1 0,905
0,51 0,886
k
k
k
q q q qqq q qq q q
yq q q q q q
y q q qq q q
yq
− − − −−− − −
− − −
− − − − − −− − −
− − −
−
+ +
− − − + + + = − − −
−
1
2
31 2 15 5
1 1 1
0,196 0,955 0,3671 0,913 1 0,81
k
k
k
uuu
q q qq qq q q
− − −− −
− − −
+ − −
(1.89)
11 1 11 12 13 1
22 2 21 22 23 2
33 3 31 32 33 3
k k
k k
k k
A y B B B uA y B B B uA y B B B u
=
(1.90)
donde
Clase 15 MPC.DOC 34
( )( )( )
1 211
1 2 322
1 2 333
1 2 611
1 712
1 2 613
1 221
1 1,859 0,8639
1 2,764 2,5463 0,7819
1 2,609 2,2661 0,6552
0,08 0,155 0,216
0,114 0,105
0,116 0,226 0,313
0,211 0,186 0,194
A q q
A q q q
A q q q
B q q q
B q q
B q q q
B q q
− −
− − −
− − −
− − −
− −
− − −
− −
= − +
= − + −
= − + −
= + −
= −
= + −
= − − +( )( )( )( )( )
3 4
1 2 3 322
1 2 3 323
1 2 531
1 2 3 532
1 233
0,172
0,187 0,161 0,174 0,151
0,17 0,169 0,755 0,419
0,5 0,8615 0,369
0,196 0,145 1,77 0,134
1,367 2,459 1,105
q q
B q q q q
B q q q q
B q q q
B q q q q
B q q
− −
− − − −
− − − −
− − −
− − − −
− −
= − − +
= + − +
= − +
= + − +
= − +
(1.91)
Los mínimos retardos para las variables de salida son: 27, 14 y 0 min.
Clase 15 MPC.DOC 35
en muestras: 6, 3 y 0. Se elige 30yN = y 5uN = para las tres variables y
1 0 00 1 00 0 1
Q =
2 0 00 2 00 0 2
R =
(1.92)
Referencias: 0,5 – 0,3 – 0,1 respectivamente
Clase 15 MPC.DOC 36
Prueba 1: cambio de composición superior de 0,5 a 0,4
Clase 15 MPC.DOC 37
Prueba 2: perturbación en el reflujo superior. Perturbación de 0,5. Referencias en 0.
Clase 15 MPC.DOC 38
1.5. Introducción de Restricciones El funcional cuadrático, resultaba
[ ] [ ]1 1T T
a aJ R FB U G M R FB U G M U Uλ= − ⋅∆ − ⋅ − ⋅∆ − ⋅ + ∆ ∆ (1.93)
se puede llevar a
012
T TJ U H U b U f= ∆ ∆ + ∆ + (1.94)
donde
( )( )
( ) ( )1
0 1 1
2
2
T
TTa
Ta a
H FB FB I
b R G M FB
f R G M R G M
λ= +
= − ⋅
= − ⋅ − ⋅
(1.95)
el mínimo lineal es 1U H b−∆ = − (1.96)
Clase 15 MPC.DOC 39
Puede haber restricciones en - la actuación - la velocidad de cambio de la actuación - la salida - etc. Se puede construir el siguiente conjunto de restricciones:
inf sup
inf 1 sup
inf sup
k
k k
U U UDU U U DUY Y Y
−
≤ ≤≤ − ≤≤ ≤
(1.97)
o
inf 1 sup
inf sup
inf sup
1 1 11 1
1 1
k k
k
U T U U UDU U DUY G U f Y
−≤ ∆ + ≤≤ ∆ ≤≤ ∆ + ≤
(1.98)
con
Clase 15 MPC.DOC 40
1 1 01
1 1 1T
=
(1.99)
o R U C∆ ≤ (1.100)
con
sup
inf
sup 1
inf 1
sup
inf
11
1 11 111
nxn
nxn
k
k
DUIDUI
U UTR C
U UTY fGY fG
−
−
−−
− = = − +−
− − +−
(1.101)
Clase 15 MPC.DOC 41
El problema es minimizar
012
T TJ U H U b U f= ∆ ∆ + ∆ + (1.102)
con la restricción R U C∆ ≤ (1.103)
en Matlab existe du=quadprog(H,b,R,C)
Clase 15 MPC.DOC 42
1.6. Referencias Camacho, E.F., Model Predictive Control in the Process Industry – Springer – 1995 Clarke, D.W., Generalised Predictive Control With Input Constrains – IEE Proceed-ings, vol 135, No 6 Nov 1988