introducción al control predictivo fernando juan tadeo rico

Introducción al Control Predictivo

Fernando Juan TADEO RICO

2

Objetivos

Visión General del Control Predictivo Fundamentos

Metodología de diseño y sintonía

Ventajas y desventajas

Futuro del CPBM

3

¿Qué es el Control Predictivo? (1/2)

Estrategia de control que se basa en el uso explícito de un modelo del proceso para predecir el comportamiento futuro del sistema y en base a él calcular la señal de control futura

El Control Predictivo basado en modelos se denota por: MBPC/MPC: Model Based Predictive Control CPBM: Control Predictivo Basado en Modelos

4

¿Qué es el Control Predictivo? (2/2)

Forma general de formular el problema de control en el dominio del tiempo

Integra disciplinas como: Control óptimo Control estocástico Control de procesos con tiempos muertos Control multivariable Control con restricciones

Considerable interés en la industria e investigación Interés a partir de los años 70:

Industria de procesos químicos Control adaptativo

5

Evolución histórica

Francia con Richalet (1978): IDCOM, MPHC, ... Estados Unidos con Prett, Gillete, Cutler,

Ramaker (1979): DMC de Keyser, 1979: EPSAC Clarke, 1987: GPC Martín-Sánchez, 1984: APC Lemos, Mosca, 1985: MUSMAR

6

Contenido

El Control Predictivo Idea intuitiva Metodología del CPBM Jerarquía de las funciones de control Elementos del Control Predictivo

GPC Metodología de diseño y sintonía de un

CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Evolución histórica Futuro del CPBM

7

Idea intuitiva del CPBM

Conducir supone: Mirar hacia la carretera Usar los retrovisores Tener en cuenta el estado de la carretera

8

Elementos del CPBM

Uso explícito de un modelo para predecir el comportamiento futuro del sistema

Cálculo de la señal de control por un procedimiento que tenga en cuenta las predicciones

Horizonte móvil

En las plantas industriales el CPBM es parte de una jerarquía multinivel de funciones de control

9

Jerarquía de las funciones de control

Estructura convencional Control Predictivo

Optimizador Global de la planta

PID

horasUnidad 1: Optimizador local Unidad 2: Optimizador local

Lógica de selección

días

PIDPID

SUM SUM

Control PID (SCD)

FC PC TC LC

Control PID (SCD)

FC PC TC LC

minutos

segundos

Controlador Predictivo

Restricciones dinámicas

10

Elementos del Control Predictivo

Estrategia del Control Predictivo Modelos de predicción Trayectoria de referencia Cálculo de la señal de control

Horizonte de coste Función de coste u objetivo Estructuración de la ley de control Restricciones Obtención de la ley de control

11

Elementos del MBPC

MODELO

OPTIMIZADOR

-

+

Errores futuros

SalidasPredichas

Entradas pasadasSalidas pasadas

Entradas

futuras

Función decoste

Restricciones

Trayectoria dereferencia

Modelo: capaz de capturar la dinámica del proceso. Sencillo de usar y comprender

Optimizador: solución explícita o numérica

12

Estrategia del Control Predictivo (1/3)

Señal de referencia t

u(t+k|t)

tt t+1 t+N2...

trayectoria de referencia

Predicción de la salida

13

Estrategia del Control Predictivo (2/3): Horizonte de predicción

La señal predicha de una variable controlada cualquiera se calcula en el que se denominada horizonte de predicción: [1,N2]

tiempo

pasado futuro

tiempo

Hipótesis de la señal de control

Horizonte de predicción

Señal de referencia


Región de influencia en el coste

14

Estrategia del Control Predictivo: Horizonte móvil

Se aplica a la planta el primer elemento del vector de control óptimo y se olvidan todos los demás

En el siguiente periodo de muestreo se repiten todos los cálculos: estrategia en lazo abierto

VENTAJAS permite tener en cuenta

los cambios que se hayan producido en el estado de las variables

Facilita los cálculos

r (t+j)

w(t+j)

y(t)

t t

y (t+j)

u(t)u(t+j)

N2

^

r (t+j)w(t+j)

y(t)

t t

y(t+j)u(t+j)

N2 t + 1

15

Elementos básicos

Modelo de predicción: Proceso Perturbaciones

Trayectoria de referencia Cálculo de la señal de control:

Horizonte de coste Función de coste Estructuración de la ley de control Error de seguimiento Esfuerzo de control Restricciones Obtención de la ley de control

16

Modelos de predicción

modelo de lasperturbaciones

modelo del proceso

n

u y+

Modelo del proceso: variables manipuladas y perturbaciones medibles

Modelo de las perturbaciones: trata de modelar el efecto de las perturbaciones externas, del ruido de medida y de los errores de modelado

17

Modelo del proceso

Respuesta impulsionalRespuesta saltoFunción de transferenciaEspacio de estadosOtros:

Redes neuronales Modelos de lógica borrosa Modelos de conocimiento ...

18

Modelo respuesta impulsional (1/2)

Donde: q-1: retardo temporal H(q-1)=h1 q-1+...+ hn q-n

Sólo representa procesos estables sin integradores

Usado en: MAC EPSAC

La predicción vendrá dada por:

)t(u)q(H)jt(uh)jt(uh)t(y 1n

1jj

1jj

t t+1 t+2 t+n...

h1 h2hn

y(t)

)t/kt(u)q(H)t/kt(y 1

19

Modelo respuesta impulsional (2/2)

Muy aceptado en la industria: intuitivo y refleja claramente la influencia de un determinado

fenómeno en una determinada salida

No se necesita información previa del proceso Permite describir procesos de fase no mínima

y retrasos En el caso de procesos multivariables:

m

1k

kn

1j

kjij )jt(uh)t(y

20

Modelo respuesta salto

Donde: q-1: retardo temporal G(q-1)=g1 q-1+...+ gn q-n

Usado en el DMC Modelo de predicción:

n

1j

110j0 )t(u)q1)(q(Gy)jt(ugy)t(y

t t+1 t+2 t+n...

g1

g2gn

y(t) ...

)t/kt(u)q1)(q(G

)t/kt(y11

21

Modelo en función de transferencia

El modelo de predicción:

)t/kt(u)q(A

)q(B)t/kt(y

1

1

Representación válida para procesos inestables

Pocos parámetros Conocimiento a priori del proceso: órdenes de

los polinomios A y B

)t(u)q(B)t(y)q(A 11 A

BG

22

Modelo en espacio de estados

)t(xC)t(z

)t(uB)t(xA)t(x

11

x: vector de estadosA: matriz del sistemaB: matriz de entradaC: matriz de salida

Predicción de la salida:

)t/jkt(uBA)t(xAC)t/kt(xC)t/kt(zk

j

jk

1

1

Ventajas: Permite analizar la

estructura interna del proceso

La extensión al caso MIMO es inmediata

Desventajas: Los cálculos son más

complejos Si los estados no son

directamente medibles se deben usar observadores

23

Elementos básicos

Modelo de predicción: proceso perturbaciones



24

Modelo de las perturbaciones

Modelo apropiado para representar las perturbaciones

Proceso Estocástico Modelo ARIMA:

)t()q(D

)q(C)t(n

1

1

Perturbación constante: diferencia entre la salida del modelo medida en cada instante y la parte determinista del modelo

)t(y)t(y)t(n m

25

Modelo perturbaciones ARIMA

ARIMA: Auto-Regressive and Integrated Moving Average :

)t()q(D

)q(C)t(n

1

1

Ecuación de predicción: Predictor de varianza mínima

)t(n)q(C

)q(F)t|kt(n

1

1k

D(q-1) incluye explícitamente el integrador =1- q-1

Error nulo en régimen permanente(t): ruido blanco de media ceroC (q-1) =1, normalmente

Modelo adecuado cuando: Las perturbaciones son cambios aleatorios que suceden en

instantes aleatorios: cambios en la calidad del material Movimiento Browniano: procesos con balance de energía

Se usa en los controladores GPC, UPC

26

Perturbación constante

Perturbación constante: diferencia entre la salida del modelo medida en cada instante y la parte determinista del modelo

tn)t|kt(n

Es el modelo de perturbación usado en el DMC

Extrapolación constante:

27

Elementos básicos




28

Trayectoria de referencia (1/3)

Describe cómo se quiere guiar a la salida del proceso desde el valor actual hasta la referencia deseada en el futuro r(t+k), siguiendo un camino determinado

Se inicializa en el valor actual de la salida de la planta Se calcula durante el horizonte de predicción N2

t

r(t+k)

w2(t+k)w1(t+k)

29

Trayectoria de referencia (2/3) Inicialización en cada muestreo: w(t/t) = y(t) Varias estrategias:

w(t+k/t) = w(t+k-1/t) + (1- ) r(t+k/t), k = 1,..., N2

r(t+k/t) - w(t+k/t) = k [r(t) - w(t) w(t+k/t) = r(t+k/t) - k [r(t) - w(t)

en ambos casos es un parámetro de sintonía que especifica la dinámica en lazo cerrado: 0 < 1

y(t)

t

1

2

3

1 2 3

< <=0 < 1

Cuanto mayor sea más lenta será la aproximación a la consigna

30

Trayectoria de referencia (3/3)

w(t+k/t) = r(t+k/t) - k [r(t+k/t) - P(q-1) (t+k/t) k=1,...,N2

donde la señal de predicción está filtrada por el polinomio P(q-1):

)t/nkt(yp...)t/kt(yp)t/kt(y)q(P pno1

p

P(1) = p0 + p1 +...+ pnp = 1

y

31

Elementos básicos




32

Función de coste (1/2)

Los valores futuros de control u(t), u(t+1), ..., u(t+Nu) se calculan para que la predicción de la salida siga a la trayectoria de referencia

Matemáticamente:los errores de predicción:trayectoria de referencia - predicción salida

sean mínimos La función de coste puede ser:

Cuadrática Lineal No lineal

33

Función de coste (2/2)

Si j=N2-j , es un peso exponencial sobre el horizonte de predicción 0 < < 1: control suave y un sistema de control robusto > 1: control más agresivo, esfuerzos de control

mayores

Los coeficientes de peso j se introducen para mejorar la robustez y la estabilidad numérica

1Nu

0j

21j

N

Nj

2j jtujtwjtyJ

2

1

34

Horizonte o Ventana de coste (1/2)

Horizonte de coste: [N1,N2] tal que N11 [N1,N2]: marcan el intervalo en el que es deseable que la salida siga su

referencia

tiempo

pasado futuro

tiempo


Horizonte de coste




tiempo

pasado futuro

tiempo


Horizonte de coste




...jtwjtyJ2

1

N

Nj

2

35

Horizonte o Ventana de coste (2/2)

u(t)u(t+k|t)

y(t+k|t)^

tiempo

pasado futuro

tiempo


y(t+k|t)^

tiempo


y(t+k|t)^

t t+1 t+2 ... tiempo


Ventana de coste (N2)

Ventana de coste (N2)

Ventana de coste infinita...

La ventana de coste puede ser: Infinita Finita:

No se fuerza llegar a la referencia

Se fuerza llegar a la referencia

36

Estructuración de la ley de control (1)

La minimización de la función de coste J permite la obtención de la secuencia futura de controles u(t+k|t)

Supone calcular la predicción de la salida(s) y sustituir en la función de coste.

Hay N2-N1+1 variables independientes: Puede ser un valor alto: 10 ó 30

SOLUCIÓN: ESTRUCTURACIÓN DE LA LEY DE CONTROL

37

Estructuración de la ley de control (2)

Significado: reducción del número de grados de libertad del escenario de control, especificando a priori alguna relación entre las señales de control futuras

Métodos: Horizonte de control Funciones base

Ventajas: Reduce el número de cálculos Tiene buenos efectos sobre la robustez y el

comportamiento general del sistema

38

Estructuración de la ley de control (3):

Se especifica un horizonte de control Nu N2, tal que:

u (t+k/t) = 0 para k Nu Influye en la actividad del

controlador: valores pequeños dan lugar a señales de control grandes y valores grandes originan señales de control más suaves

Usado en GPC, DMC, ...

tiempo

pasado futuro

tiempo

Señal de control propuesta por el controlador

Horizonte de predicción



t+Nu

tiempo

pasado futuro

Señal de control propuesta por el controlador

t+Nu

Horizonte de control

39


Se estructura la entrada de control futuro como una combinación lineal de funciones base pre-especificadas:

)t(B)t()t/kt(u i

n

1ii

B

Una selección específica son funciones básicas polinómicas: B0(k) = 1, B1 (k) = k, B2(k) = k2,...

k = 0,..., N2-1

Funciones base

40

Restricciones

CPBM proporciona una forma sistemática de tener en cuenta las restricciones durante la fase de diseño e implementación del controlador.

Permite que el ingeniero/operador pueda introducir las restricciones de una manera directa

El algoritmo automáticamente encuentra la mejor solución satisfaciendo todas ellas

41

Tipos de restricciones

Limitaciones de seguridad: la presión dentro de un reactor no debe exceder ciertos límites

Restricciones físicas: una válvula no puede abrirse o cerrarse más allá de sus especificaciones

Necesidades tecnológicas: la temperatura debe mantenerse dentro de unos márgenes

Calidad del producto: cota para las impurezas

42

Incorporación de las restricciones en los controladores predictivos

ClippingConmutación entre controladoresFunciones de penalizaciónProgramación cuadrática:

Solución numérica del problema de cálculo en cada periodo de muestreo

Se obtiene la solución de forma exacta Algoritmos y software de optimización eficientes El problema de la factibilidad

...

43

Definición de restricción

Conjunto de desigualdades que se añaden al objetivo de control para limitar la variación de determinadas variables en un rango dado:

vmin v(t+j) vmax, j=N1, ..., N2

donde v es la variable restringida, vmin es el valor mínimo permitido y vmax es el máximo

44

Tipos de restricciones (1/7): Señal de control, su velocidad y aceleración

1N,0j,uj1tujtujtuu

1N,0j,uj1tujtujtuu

1N,0j,ujtuu

umax22

min2

umaxmin

umaxmin

t

u

Restricciones en posición en u

Máximo decremento permitido(Restricciones en los cambios de u)

45

Tipos de restricciones (2/7): Señal controlada, su velocidad y aceleración

tRestricciones en posición en y

y

43maxmin N,...,Nj,yjtyy

43maxmin N,...,Nj,yjtyy

43max22

min2 N,...,Nj,yjtyy

46

ry

ry

yfuGy

max

min

maxmin

Tipos de restricciones (3/7): Tipo banda en las señales controladas

Restricciones banda

Consigna

tt+N4

47

Tipos de restricciones (4/7): Sobreoscilación permitida a las señales controladas

Restricción en la sobreoscilación

Consigna

tt+N4

wfuG

Se trata de evitar que la sobreoscilacíón de la señal controlada sobrepase un valor prefijado por el usuario. Se introducen estas restricciones cada vez que se produce un cambio de consigna que se mantenga constante durante el suficiente tiempo

48

Tipos de restricciones (5/7): Comportamiento monótono

y t j y t j y t wt

y t j y t j y t wt

1

1

,

,

Consigna

tt+N4

Se trata de evitar que la señal controlada oscile. Se introducen estas restricciones cada vez que se produce un cambio de consigna que se mantiene constante durante el suficiente tiempo

49

Tipos de restricciones (6/7): Comportamiento fase no mínima

Existen procesos que muestran un comportamiento de fase no mínima: la variable tiende a evolucionar en sentido contrario a la posición final

Restricción fase no mínima

Consigna

tt+N4

y t j y t y t wt

y t j y t y t wt

,

,

50

Tipos de restricciones (7/7): Estado final alcanzado por el sistema

Se fuerza que a partir de un determinado instante la salida siga exactamente la señal de referencia. Son un tipo especial de restricciones de igualdad

51

Algoritmo de cálculo de la señal de control

Para obtener los valores u(t+k|t) será necesario minimizar la función de coste J: Haciendo uso del modelo del proceso:

Calcular la predicción de las salidas en función de valores pasados de entradas y salidas y de señales de control futuras

Sustituir en la función de coste Minimizar J

Sin restricciones Con restricciones

Mediante la estructuración de la ley de control se reduce el número de variables independientes

52

Resumen de los elementos del CPBM

Los elementos que caracterizan al Control Predictivo son: La predicción basada en un modelo del proceso La generación de una trayectoria de referencia Horizonte móvil La estructuración de la ley de control: Nu

Para cada uno de estos elementos hay varias opciones, según la que se elija se tendrán los diferentes tipos de controladores predictivos

53

Contenido

Introducción El Control Predictivo Elementos del CPBM GPC Metodología de diseño y sintonía de un CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Futuro del CPBM

54

GPC: Generalized Predictive Control

OrigenElementos básicos del GPC:

Modelo del sistema Trayectoria de referencia Estructuración de la ley de control Función objetivo

Cálculo de las ecuaciones de predicciónSelección de los parámetros de sintonía

55

GPC

Generalized Predictive Control Control Predictivo Generalizado Desarrollado por Clarke & Mohtadi en 1987 Buen comportamiento en plantas

de fase no mínima inestables en lazo abierto

56

Modelo del sistema

Modelo del proceso: función de transferencia Modelo de las perturbaciones: ARIMA

)t()q1(

)q(T)t(v)q(D)t(u)q(B)t(y)q(A

1

1111

T

D

B

v

u y +

57

Trayectoria de referencia

La trayectoria de referencia sigue la forma de un filtro de 1er orden

y(t)

t

1

2

3

1 2 3

< <=0 < 1

(t)y (t) w

j)r(t ) -(1 1)-j(ty j)(t w

58

Estructuración de la ley de control

Nu: horizonte de control a partir del cual la señal de control futura es constante

59

Función de coste

Si k=N2-j , es un peso exponencial sobre el horizonte de predicción 0 < < 1: control suave y un sistema de control robusto > 1: control más agresivo, esfuerzos de control

mayores

Los coeficientes de peso j se introducen para mejorar la robustez y la estabilidad numérica

1Nu

0j

21j

N

Nj

2j jtujtrjtyJ

2

1

Futuro del CPBM

GPC Predicciones(1)

Modelo:

Predicción:

)t()q(T

)t(u)q(B)t(y)q(A

1

11

)jt()q(A

)q(T)jt(u

)q(A

)q(B)jt(y

1

1

1

1

El término de ruido mezcla valores pasados (conocidos) y futuros

)q(A

)q(Fq)q(E

)q(A

)q(T jjj 1

11

1

1

)t()q(A

)q(F)jt()q(E)jt(u

)q(A

)q(B)jt(y j

j

1

11

1

1

Futuro del CPBM

GPC Predicciones(2)

)t()q(A

)q(F)jt()q(E)jt(u

)q(A

)q(B)jt(y j

j

1

11

1

1

El ruido puede ser calculado en t a partir del modelo:

))t(u)q(B)t(y)q(A()q(T

)t( 111

)jt(E)t(yT

F)jt(u

T

Fq

AB

))t(Bu)t(Ay(TA

F)jt(E)jt(u

AB

)jt(y

jjjj

jj

1

)q(A

)q(Fq)q(E

)q(A

)q(T jjj 1

11

1

1

)q(T

)q(A)q(E

)q(T

)q(Fq jjj

1

11

1

11

Futuro del CPBM

GPC Predicciones(3)

)jt()q(E)t(y)q(T

)q(F)jt(u

)q(T

)q(E)q(B)jt(y 1

j1

1j

1

1j

1

La predicción de varianza mínima es el valor esperado condicional:

)t(y)q(T

)q(F)jt(u

)q(T

)q(E)q(B)tjt(yE)jt(y

1

1j

1

1j

1

El término de u mezcla valores pasados y futuros

)q(T

)q(Nq)q(G

)q(T

)q(E)q(B1

1jj1

j1

1j

1

)t(y)q(T

)q(F)t(u

)q(T

)q(N)jt(u)q(G)jt(y

1

1j

1

1j1

j

Futuro del CPBM

GPC Predicciones(4)

)t(y)q(T

)q(F)t(u

)q(T

)q(Np

1

1j

1

1j

j

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j 1

Respuesta libre:pj)jt(u)q(G 1j Respuesta forzada:

Cálculo de la respuesta

forzada

Cálculo de la respuestalibre

Respuesta

Controles futuros

Controles pasados

Salidas pasadas

N21,...,k k/t),(t y k/t)(t y )jt(y cf

Futuro del CPBM

Solución óptima (1)

1Nu2N2N

1211N

11N

g...............g

.....................

0..................

0...0gg...g

0...0g...g

G

2N

1Nj

1Nu

0j

22 )jt(u)jt(r)jt(yJ

j1

j p)jt(u)q(G)jt(y

Puede expresarse en forma matricial definiendo:

u( )' ( ), ( ),..., ( )t u t u t u t Nu 1 1

2N11N1N0 p)2Nt(r,...,p)11Nt(r,p)1Nt(r' e

Basta sustituir la predicción:

Futuro del CPBM

Solución óptima (2)

0002 eeuGeuIGGu ')t(')t(')t('Jminu

Si no hay restricciones en las variables, puede resolverse haciendo:

0uuGeG0u 0

22J

01 eGIGGu '')t(

)('')t( j1 prGIGGu

66

Contenido

Introducción El Control Predictivo Elementos del CPBM GPC Metodología de diseño y sintonía de un

CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Futuro del CPBM

67

CPBM de procesos MIMO (1/2)

La mayoría de plantas industriales tienen varias variables manipuladas (MV) y variables controladas (CV)

En la mayoría de las ocasiones, un cambio en una MV afecta a varias CV

Estas interacciones entre las variables del proceso pueden resultar en un comportamiento pobre o incluso inestabilidad

En este caso la planta debe considerarse MIMO

El Control Predictivo permite la generalización al caso MIMO de forma intuitiva y clara

68

CPBM de procesos MIMO (2/2)Estructura del proceso

La estructura del proceso determina los grados de libertad que tiene disponible el controlador

Proceso estrecho

MV’s

CV’s

CV’s>MV’sgrados de libertad < 0

Proceso cuadrado

MV’s

CV’s

CV’s=MV’sgrados de libertad = 0

Proceso amplio

MV’s

CV’s

CV’s<MV’sgrados de libertad > 0

69

Diseño y sintonía de un CPBM (1/5)Objetivos generales de un CPBM

Evitar violaciones de las restricciones de entrada y salida

Llevar las CV’s a sus valores óptimos en estado estacionario (optimización dinámica de la salida)

Llevar las MV’s a sus valores óptimos en estado estacionario utilizando los restantes grados de libertad (optimización dinámica de las entradas)

Evitar movimientos excesivos de las MV’s

Cuando se producen fallos de las señales o de los actuadores, controlar la planta tanto como sea posible

70

Diseño y sintonía de un CPBM (2/5)Flujo de cálculo en un CPBM

Leer los valores de MV’s, DV’s y CV’s del proceso

Determinar el estado de las variables

Optimizar

Enviar MV’s al proceso

71

Diseño y sintonía de un CPBM (3/5)

A partir de los objetivos de control planteados, definir el tamaño del problema y determinar las CV’s, MV’s y DV’s relevantes

Testear sistemáticamente la planta variando las MV’s y DV’s; capturar y almacenar datos en tiempo real que muestran como responden las CV’s

Derivar un modelo dinámico de los datos del test de planta utilizando un paquete de identificación

Configurar el CPBM e introducir parámetros de sintonía inicial Verificar el controlador fuera de línea utilizando simulación

en lazo cerrado para comprobar su funcionamiento Descargar el controlador configurado en la máquina destino

y testear las predicciones del modelo en lazo abierto Instalar el CPBM y refinar la sintonía cuando se necesite

72

Diseño y sintonía de un CPBM (4/5) Estrategias de diseño de controladores

Sin Modelo Análisisdel

proceso

Sintoníadel

controlador

Con Modelo Especificar

control

Modelado

Identificación

73

Diseño y sintonía de un CPBM (5/5) Plan de trabajo en control avanzado

Especificaciones Generales 10%

Modelado 30%

Protocolo de DiseñoExperimentos y Procesamiento de Datos

20%

Identificación y Especificaciones Finales 10%

Diseño del Controlador 10%

Implementación del Software 10%

Pruebas de Instalación, Formación yDocumentación

10%

74

Contenido



75

Ventajas de CPBM

Conceptos básicos fáciles de comprender

El CPBM se aplica a tipos muy diferentes de sistemas: SISO o MIMO con/sin perturbaciones dinámicas complejas

Inclusión de restricciones

Compensación por adelanto

Compensación de los retardos

Indicados en aquellos problemas en los que se conoce de antemano la referencia: Robótica Procesos por lotes

76

Desventajas del CPBM

Pueden resultar computacionalmente costosos

Necesidad de un modelo del proceso a controlar

77

Aplicaciones

Productos comerciales

RMPC de Honeywell DMC de DMC Corporation-

Aspen PC/PCT de Profimatics-Aspen HIECON y PFC de Adersa IDCOM-M de SETPOINT-Aspen IDCOM-B de SETPOINT-Aspen SCAP Europa HITO de INITEC, UVA, UNED,

CPI y SGAE

Campos aplicación

Petroquímica: Columnas de

destilación Unidades de cracking Hornos, ...

Misiles Azucareras Aluminio Papeleras ...

78

Contenido



79

Futuro del CPBM

Lo que limita la aplicabilidad del CPBM en la industria no son las deficiencias del algoritmo de control sino: Dificultades de modelización Falta de sensores apropiados Tolerancia frente a fallos

CPBM apunta nuevas necesidades en estas áreas: Estabilidad Robustez Tolerancia a fallos Extensiones prácticas a sistemas no lineales Procesos batch Mejora de interfaces Incluir de forma sistemática conocimiento cualitativo

80

Estabilidad en CPBM

Estabilidad en lazo cerradoAnálisis de estabilidad sin

restriccionesImposición de condiciones

adicionales para garantizar estabilidad

Estabilidad en CPBM con restricciones

81

Estabilidad en lazo cerrado

Reguladores basados en modelos respuesta salto o impulso, (DMC, IDCOM,..) sólo son aplicables a sistemas estables en lazo abierto

No hay teoremas que garanticen la estabilidad con otros reguladores clásicos basados en F.T : (GPC,.. ) o variables de estado (PFC,..), excepto en casos particulares

82

Sistemas lineales sin restricciones

2

1

1

0

22N

Nj

Nu

j)jt(u)jt(r)jt(y

uJmin

¿ Como puede asegurarse que el control obtenido medianteoptimización en lazo abierto en cada paso:

estabiliza el sistema en lazo cerrado resultante ?

GPC Ay=Bu+T/w u y

Ejemplo GPC

83

Análisis de estabilidad sin restricciones

El controlador GPC es equivalente a un regulador lineal, cuya estabilidad puede analizarse por métodos clásicos

La estabilidad depende de los parámetros de sintonía N2, N1, Nu, , , ... Puede incorporarse análisis de robustez.

Ay=Bu+T/w u y

R

S

T

84

Imposición de condiciones adicionales para garantizar estabilidad

Restricciones terminales

Lazo interno estabilizante

Penalización terminal

Horizontes infinitos

Parametrización de soluciones estables

85

Restricciones terminales

Restricciones de igualdad tras N2: CRHPC Constrained Receding Horizon Predictive

Control SIORHC Stabilizing I/O Receding Horizon Control

horizonte depredicción intervalo de coincidencia

w

y(t+j)

N1 N2t

y(t+j)=w j=N2,.....N2+MSolución analítica con multiplicadores de Lagrange

N2+M

86

Lazo interno estabilizante

Lazo interno para estabilizar el sistema +GPC externo

SGPC Stable Generalized Predictive Control

GPC Ay=Bu+T/w

uy

R

87

MBPC en espacio de estados

Para el sistema x(t+1)=Ax(t)+Bv(t); z(t)=Cx(t), en cada instante t, calcular los controles v(0),.…v(N-1) que minimicen

1

0

N

jvN )j(Rv)'j(v)j(Qz)'j(z)N(Qz)'N(zmin))t(x(J

)t(x)(z,)j(Bv)j(Az)j(z 01Sujeto a

88


Penalización terminal:Añadir un peso sobre el estado final del sistema

Si el peso P es suficientemente grande puede asegurarse la estabilidad del sistema

¿Cómo escoger P?

1

0

N

jvN )j(Rv)'j(v)j(Qz)'j(z)N(Pz)'N(zmin))t(x(J

89


Horizonte Infinito (LQR)Se asegura la estabilidad en todo instante de tiempo al considerar en la función de coste un horizonte infinito

0jv)j(Rv)'j(v)j(Qz)'j(zmin))t(x(J

90

Estabilidad en MBPC con restricciones

Al incluir restricciones desaparecen las soluciones analíticas

El sistema con restricciones es no-lineal, incluso si el modelo es lineal, y el análisis de estabilidad es mas difícil

Es difícil obtener soluciones realizables con horizontes infinitos

91

Uso de JN como función de Lyapunov

JN es definida positiva y JN(0)=0,

x1

x2

x0

JNa lo largo de lastrayectorias del sistema

}

Para que el sistema sea estable en lazo cerrado debe cumplirse: JN(x(t)) > JN(x(t+1))

JN puede ser usada como función de Lyapunov para el estudio de estabilidad.

92

Función de Lyapunov

J x t min z N Qz N z j Qz j v j Rv j

z j Az j Bv j z x t

Nv

j

N

( ( )) ( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )

( ) ( ) ( ) , ( ) ( )

0

1

1 0

sujeto a

u(t)=v*(0,x(t))

La función escogida es:

y debe calcularse a lo largo de las trayectorias impuestaspor la solución de la optimización en cada paso:

x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)

93

Ecuación básica

))t(x(J))t(x(J)t(Ru)t(u)t(Qx)t(x

))t(x(J))t(x(J

NN''

NN

11

1

1

Esta expresión debe ser positiva para asegurar la estabilidad

El término x t Qx t u t Ru t' '( ) ( ) ( ) ( ) es siempre positivo

Del principio de optimalidad, y restando JN(x(t+1)) :t t+1

x(t)

x(t+1)trayectoria óptima desde t

t+N

El término J x t J x tN N 1 1 1( ( )) ( ( ))es de signo indeterminado

94

Condiciones de estabilidad

Restricción terminal– z(N)=0

Penalización terminal– x(N)’Px(N) con P grande– ¿Cómo escoger P?

Horizonte infinito– ¿Cómo resolver el problema infinito con restricciones?

El término J x t J x tN N 1 1 1( ( )) ( ( ))es positivo con:

95

Control Predictivo Robusto

Problema de Robustez: El modelo identificado es el modelo más probable con

los datos disponibles El sistema debe ser estable aunque el proceso real sea

diferente del modelo identificado

Método usual de estudiar la Robustez: Pruebas exhaustivas del controlador: Costoso Difícil cubrir todos los casos

Solución: Control Predictivo Robusto

96

Aproximaciones al CPBM Robusto

Optimización Min-max

Selección Robusta de Modelo

Parametrización de Youla

Optimización LMI

Añadir Restricciones de robustez

97

Optimización Min-max

Restricciones banda

Consigna

tt+N4

No se trabaja con un modelo sino con una familia de modelos Se genera una familia de trayectorias dentro de una banda La banda será tanto más estrecha cuanto más pequeña sea la incertidumbre

La predicción: djtuzBzEtyzFjty 11j

1jm

En una banda limitada por:

jtzEmaxjtyjtyjtzEminjty 1

m1

m

98

Optimización Min-max Hasta ahora: minimizar una función J con la situación más esperada

(las trayectorias futuras más esperadas)

Robusto: minimizar J para la peor situación (límite de las trayectorias futuras):

,uJmaxminUu

Problema de optimización min-max

Inconvenientes Grandes cálculos Difícil en tiempo real

99

Min-max con incertidumbre desconocida

Se minimiza una función de coste cuadrática, cuando incertidumbres de tiempo finito maximizan esta función de coste:

WW)W(maxmin T2

N1Wu

Para mejorar las propiedades de estabilidad y seguimiento se considera el peso de la incertidumbre en un horizonte de coste (1:Nw)

Solución analítica a partir de la teoría de juegos discreta LQ Desventajas:

No se consideran restricciones Sólo para sistemas estables

Parámetros de sintonía adicionales and Nf

100

Min-Max: normas y 1 Minimizar el error de seguimiento (MIMO) ante la presencia de

incertidum-bres sobre el modelo impulsional considerando normas y 1

ref

)k()k()k(

y),u(yyuuu

uy),u(ymaxmin

Equivalente a un problema de programación lineal Desventajas:

Número elevado de restricciones: difícil de resolver on-line ¿Cómo se puede estimar la incertidumbre de una respuesta impulsional? Aproximación de peor caso Sólo para sistemas estables

1ref

)k()k()k(

y),u(yyuuu

uy),u(ymaxmin

101

Selección Robusta de Modelo

El modelo nominal se reemplaza por un modelo alternativo con comportamiento robusto: Estabilización robusta de un conjunto de plantas que da comportamiento

robusto Polos en lazo cerrado dentro del disco de radio r<1 centrado en el origen

Método: Calcular el conjunto de modelos alternativos que dan un comportamiento

robusto Seleccionar de este conjunto el modelo más próximo al modelo nominal

Desventajas: Sólo es válido para problemas escalares

lineales Difícil extensión a plantas de orden

arbitrario: optimización no lineal compleja

102

Parametrización de Controladores Estabilizante (o de Youla)

Problemas escalares (con restricciones) para plantas inestables Técnica de diseño: Suponer un problema sin restricciones: escribir el Control

Predictivo Nominal en términos de funciones de transferencia:

+ -

(Y-NQ)-1 B/Ay

X+MQ

T

-

Desventajas: Difícil extensión a problemas multivariables Controlador de orden alto

Aplicando la parametrización de Youla es posible expresar el conjunto de controladores estabilizantes como:

NQY

MQX)Q(K

Puede aplicarse el Teorema de pequeña ganancia para asegurar la robustez Problema con restricciones: optimización l1:

1dQ

M)MQX(Wmin

103

LMI: Linear Matrix Inequalities

Plantas MIMO o inestables Descripción de la incertidumbre:

L

iiii B,AB,A

1 Incertidumbre estructurada

{ Multimodelo

La minimización de la función objetivo de peor caso con restricciones en las entradas y en las salidas puede transformarse en un problema LMI

M

1iii0

T

FxFsubject to

xcmin

Software Disponible para resolver el problema en cada período de muestreo: óptimo global, tiempo polinomial y criterio de parada definido

Comportamiento robusto: puede especificarse una velocidad de decaemiento

Desventajas: conservadurismo, tiempo de cálculo, no considera el problema de la factibilidad

104

Restricciones Robustas

Plantas MIMO o inestables Descripción de la incertidumbre:

Conjunto de posibles modelos (en espacio de estados):

Se añade al problema de programación cuadrática una serie de restricciones cuadráticas adicionales (una por cada modelo considerado

Aplicando un criterio de Lyapunov puede asegurarse la estabilidad asintótica

El método puede extenderse a plantas no lineales: optimización no lineal

n 1iii B,AB,A

105

Conclusiones

Necesidad del Control Avanzado Enmarcar el Control Predictivo

Introducción al Control Predictivo Definición de conceptos básicos Metodología de diseño Importancia en la industria

El controlador GPC

106

Selección parámetros de sintonía

N1

Si el retardo K del sistema se conoce exactamente: N1 = K

Si el retardo no es conocido o es variable, N1 = 1

N2 debe ser mayor que el grado de B(q-1) Nu Si n=max(na+1, nb)

N1 = n, N2 2n-1, Nu=n y =0,

proporciona un controlador dead-beat estable. Si Nu = N2 .

El controlador GPC tiende a una ley tipo LQ con horizonte móvil para el cual la secuencia de control futuro se calcula en cada instante de muestreo.

107


N2 se divide en una serie de bloques y la entrada de control se mantiene constante en cada bloque

Bloques

introducción al control predictivo fernando juan tadeo rico

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