clase 11 control predictivo

Clase 11 Control Predictivo.doc 1

1. Control Predictivo a d Pasos 1. CONTROL PREDICTIVO A D PASOS...................................................................1

1.1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................3

1.2. PREDICTOR A D PASOS...............................................................................................4

1.2.1. Polos y Ceros del Predictor ..............................................................................6

1.3. CONTROLADOR PREDICTIVO A D PASOS ...................................................................9

1.4. CONTROLADOR PREDICTIVO A D PASOS PONDERADO............................................11

1.5. CONTROL PREDICTIVO A D PASOS PONDERADO POR POLINOMIOS.........................14

1.6. NOTAS SOBRE EL CONTROL PREDICTIVO ...............................................................23

1.6.1. Indeterminación del Retardo...........................................................................23

1.6.2. Sensibilidad Frente a Variaciones de Parámetros.........................................24

1.7. CASO ADAPTATIVO DEL CONTROL PREDICTIVO.....................................................26

1.8. CONTROL PREDICTIVO PONDERADO ADAPTATIVO ................................................30

1.9. CONTROL PREDICTIVO PONDERADO ADAPTATIVO CON FILTRO EN LA ACTUACIÓN...............................................................................................................................................32

1.10. COMPENSACIÓN DE VELOCIDAD...........................................................................37

1.11. SIMULACIONES......................................................................................................54

1.11.1. Predictor a d Pasos .......................................................................................54

1.11.2. Control Predictivo Ponderado Por Polinomios ...........................................56


1.11.3. Cálculo de los Polinomios P y R...................................................................61

1.11.4. Control Predictivo Ponderado Por Polinomios Adaptativo ........................63


1.1. Introducción Uno de los problemas del control es el retardo,

1k k ky ay bu+ = + (1.1)

ley de control

( )11

k k ku r ayb += − (1.2)

Sistema con retardo:

2 1k k ky ay bu+ += + (1.3)

( )

2 1

1 1

2 1

k k k

k k k

k k k k

y ay buy ay buy a ay bu bu

+ +

+ −

+ −

= += +

= + +

(1.4)

22 1k k k ky a y bu abu+ −= + + (1.5)

( )22 1

1k k k ku r a y abu

b + −= − − (1.6)

concepto de predicción de la salida


1.2. Predictor a d Pasos

A y = B u (1.7)

donde

( )-1 -2 -n

1 2 n

-d -d -1 -2 -m0 1 2 m

A= 1 + + + + a a az z zB = B = + + + + b b b bz z z z z′

……

(1.8)

se puede reescribir:

kk+d k = G + F B y y u′ (1.9)

donde F y G se relacionan por: -d1 = F A + Gz (1.10)

con -1 -2 -d+1

1 2 d -1-1 -2 -n+1

0 1 2 n-1

F = 1 + + + + f f fz z zG = + + + + g g g gz z z

……

(1.11)


Los coeficientes de F y de G tienen la siguiente expresión: 1

0

1

0

1 1

0 1

i

i j i jj

d

i j i d jj

f f a i d

g f a i n

−

−=

−

+ −=

= − = −

= − = −

∑

∑ (1.12)

Demostración:

( )-d

-d -d

d

F A y = F B u = F B uz1 - G y = F B uz z

y = G y + F B uz

′

′

′

(1.13)


1.2.1. Polos y Ceros del Predictor

( ) ( )( )

dq B qH q

A q

− ′= (1.14)

el predictor es

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )1

d dkk k

d dkk

y z G q z F q B qy u

z G q z F q B qy u

− −

− −

′= +

′− =(1.15)

( ) ( ) ( )( )1p d

F q B qH q

z G q−=−

(1.16)

( )1 dz G q−− debe tener las raíces de ( )A q y ( )F q

problemas numéricos si se utiliza la ecuación del predictor para simular el compor-tamiento del sistema. las raíces de ( )F q se distribuyen simétricamente respecto de las raíces de ( )A q .


Ejemplo 1.1. Sistema con Retardo 3 Sea el sistema

, 0,7 0,k-3 k-4k k-1 k-2 = 1 5 - + - 8 y y y u u (1.17)

( ), 0,7

0,

-1 -2

-3 -1

A= 1 - 1 5 z zB = 1 - 8 z z

+ (1.18)

F y G deberán cumplir

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, 0,7

, 0,7 ,

0,7 , 0,7

-1 -2 -1 -2 -3 -11 2 0 1

-1 -21 1 2

-3 -41 2 0 2 1

1= 1 + + 1 - 1 5 + + f f g gz z z z z z = 1 + - 1 5 + - 1 5 f f fz z

+ - 1 5 + + + f f g f gz z

+

+ (1.19)

resultando ,

, 0,7 ,5, 0,7 2

0,7 1,0

11 0

2 12 1 0 1

2 10 2 1 1 2

21 2 2

= 1 5 = - f fa= 1 5 - = 1 5 = - - f f f fa a

= 1 5 - = 1. 75 = - - g f f f fa a= - = - 85 = - g f fa

(1.20)


( ) ( ) ( )1,275 1,085 , ,5 0,

,2 1,08 0,35 1,24

-1 -1 -2 -1kk+3 k

k k-1 k-2 k-3k+3 k k-1

= + 1 + 1 5 + 1 5 1 - 8 y y uz z z z= 1 75 5 + + .7 + y y y u u u u

−

− − (1.21)

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

Ilustración 1-1 Predictor a d Pasos


1.3. Controlador Predictivo a d Pasos ley de control:

Mk k+d kF B = - G y yu′ (1.22)

-+

G

k dr + 1F B′

-d Bz A

′ku ky

M d

-d

= - G yy zzy =

F A

ε

ε (1.23)


( )

Md d

M-d d d

M

F A y = - G yyz zF A - G y = yz z z

y = y

(1.24)

-dM Md d

-d

M-d

u = F B

G F Az= - y yz zF A F A + G zAu = y Bz

ε

ε ε

′

=

′

(1.25)

u es estable si B' lo es. Otra forma de interpretar este control es el encontrar una ley para u de modo

que minimice el siguiente funcional:

k

2Mk+d k+d k+d

u

1 = - y yJ 2J = 0|

∆ (1.26)

Resolviendo esta ecuación se llega a la misma conclusión anterior. Este control es muy sencillo e intuitivo pero tiene dos problemas:


• se requieren grandes esfuerzos en u • es demasiado estricto en cuanto a B'.

Se verá a continuación cómo se pueden resolver estos dos problemas. 1.4. Controlador Predictivo a d Pasos Ponderado

Para hacer más flexible el diseño del control se definirá el funcional de la si-guiente forma:

2M 2k+d kk+d k+d

1 = - + y yJ u2 2

λ (1.27)

Es decir, se ha agregado un término que pesa el esfuerzo del control o la ener-gía consumida. Si se reemplaza k dy + por su valor según la expresión (1.9) y se deri-va con respecto a ku se obtendrá la nueva ley de control.

[ ]

2M 2k+d k kk k+d

Mk+dk 0 kk k+d

k

M0 k 0 k+d k

1 = G + F B - + y yJ u u2 2

J = G + F B - + = 0y yu b uu

F B + = - G y yb u b

λ

λ

λ

′

∂ ′ ∂

′

(1.28)

[ ] M0 k 0 k+d kF B + = - G y yb u bλ ′ (1.29)


-+

G

k dr + 0

0

bFB + b λ′

-d Bz A

′ku ky

Si se analiza la función de transferencia entre referencia y salida se obtiene lo

siguiente:

( )

M dk k k

-d0

kk0

= - G y yz B bz= y

A F B + b

ε

ελ

′′

(1.30)

( )

0

0 M dk-d

0

kM

0k

A F B + b + G = y y z B bzy B b=

B + Ay b

λ

λ

′ ′

′′

(1.31)


Es decir, la relación referencia-salida ya no es 1 sino que tiene cierta dinámica dependiendo del valor de λ. Sólo en el caso de λ=0 se eliminaría esta dinámica. Se verá ahora cómo varía la estabilidad de la variable de control. De la misma figura se desprende,

0

0-d

M Md d

-dM0 d

0

0M

0

bu = F B + b

G Bz= - G y = - uy yz z AG Bb zu = - uy zF B + Ab

u Ab= B + Ay b

ελ

ε

λ

λ

′′

′ ′

′

(1.32)

Por lo tanto, variando λ se puede hacer estable el polinomio 0 'b B Aλ+ lo que implica la posibilidad de estabizar u. Con esto se consigue reducir considerable-mente los esfuerzos de control. Pero aún subsisten dos inconvenientes:

• No todo sistema puede hacerse estable variando λ. • No tiene suficientes grados de libertad.

Para intentar solucionar esto se elegirá una nueva especificación del control.


1.5. Control Predictivo a d Pasos Ponderado por Polinomios Con el fin de aumentar la libertad se definirá una nueva especificación de modo

que no se considere u directamente sino una nueva variable filtrada: 2M 2

k+d kk+d k+d

-1 -p1 p

-1 -r1 r

1 = - + y yJ u2 2P u = R u

P = 1 + + ___ + p pz zR = 1 + + ___ +r z r z

λ

(1.33)

Haciendo similar trabajo algebraico se llega a la ley de control.


( )

( )

2M 2k+d k kk k+d

2 2Mk+d k kkk k+d

Mk+dk 0 kkk k+d

k

M0 k k+d

1 = G + F B - + y yJ u u2 21 = G + F B - + 1 - P + R y yJ u uu2 2

J = G + F B - + 1 - P + R = 0y yu b uuu

G - + y yb

λ

λ

λ

λ

′

′

∂ ′ ∂

( ) [ ]( ) ( )

( ) ( )

0 kk

M 20 0 kkk k+d

20 0 k-1 k-1

1 - P + F B + R = 0b uu

G - + 1 - P + + +y yb b uu

F B - z + R - z = 0b b u u

λ

λ λ

λ λ

′

′ (1.34)

Cabe notar que la forma que tienen los polinomios es la siguiente:

( )( ) 2-1 -1 -10 0 0 1 01

-11

F B = + + 1 + + = + +fb b b b bz z z R = + +r zλ λ λ

′ ⊕ (1.35)

por lo tanto, si se despeja ku se logra la expresión que sigue:

( ) ( )M 20 0 0 k-1k-1k+d k

k 20

- G - 1 - P z - F B - + R - z y yb b b uu = u

+ b

λ λ λ

λ

′ (1.36)


o sea

( ) ( )1 2

[

]

Mk 0 0 0k+d 0 k 1 k-12

0

0 k-1 0 k-2 k-1 k-21 2 1 2

1 = - - -y g y g yu b b b + b

- + r - + r + + f b f b p pb u b u u u

λλ λ λ λ′ ′ −

(1.37)

Si se lo expresa en forma de bloques resulta la Ilustración 1-2. Igual que antes se puede analizar la forma de la salida y la estabilidad de la variable de control. Es conveniente hacer previamente una modificación de los bloques para facilitar el es-tudio. De la figura se puede inferir:

u

- -+

rz-dB'

A

y1

FB'b0+Rlb0

R

Pl(P-1)

G

++

Ilustración 1-2 Control Predictivo a d pasos ponderado por polinomios


( ) 0 k0

k0 0

0 k k 0

0 k 0

(P -1) R + b u + u P - 1b P = = uF B + R F B + Rb b

(P -1) R(F B + R) - = b u u bP(F B P + R P - R P + R) = P b u b

ε λε λλ λ

λ λ ε

λ λ λ ε

′ ′

′

′

(1.38)

con lo que la ley de control resulta:

( )Mk 0 k+d k

0

P = - G y yu bF B P + Rb λ′

O sea que se puede modificar la Ilustración 1-2 y lograr la Ilustración 1-3 .

-+

G

k dr + 0

0

b PFB P Rb λ′ +

-d Bz A

′ku ky

Ilustración 1-3Versión Simplificada


Ahora si, se analizará la relación entre la referencia y la salida. El error es:

( )( )

M dk k k

-d0

kk0

0 Mdk k-d

0

= - G y yz B P bz= y

A F B P + RbF B P + RbA + G = y yz B P bz

ε

ελ

λ

′′

′ ′

(1.39)

por lo tanto la relación entre y e yM tiene la siguiente forma: M-d

0 0 0k k

0kM

0k

A F B P + A R + G B P = B P y yb b bzy B P b =

B P + A Ry b

λ

λ

′ ′ ′ ′

′

(1.40)

Se puede analizar la estabilidad de la variable de control como sigue:


( )

0

0M d

-dM d

-d dM0 0

0 0

M-d d0 0 0

0M

Pbu = F B P + Rb = - G yy z

G Bz = - uy z A P G B P b bz zu 1 + = y

A F B P + R F B P + Rb b

u A F B P + A R + P G B = A P yb b bz zu A b = y

ελ

ε

ε

λ λ

λ

′

′

′ ′ ′

′ ′

0

PB P + A Rb λ′ (1.41)

Nótese que ahora los grados de libertad que se tienen para hacer estable u son mayores.

Las tres figuras siguientes muestran al sistema del primer ejemplo controlado por los tres tipos de reguladores visto. Primero, por un regulador predictivo sin pon-deración, luego se incluye el factorλ y por último se introducen los polinomios de ponderación.


0 50 100 150 200 250-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Ilustración 1-4 Control Predictivo Clásico


0 50 100 150 200 250-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ilustración 1-5 Control Predictivo Ponderado


0 50 100 150 200 250-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Ilustración 1-6 Control Predictivo Ponderado con Polinomios

Los polinomios de ponderación se podrían calcular considerando el denomina-dor de la función de transferencia en lazo cerrado posicionando sus raices en algún lugar deseado.


1.6. Notas Sobre el Control Predictivo Se verá a continuación algunas consideraciones a tener en cuenta en este tipo

de control.

1.6.1. Indeterminación del Retardo En este control es imprescindible conocer el retardo de la planta y muchas ve-

ces no es posible hacerlo con exactitud. Suponiendo que el sistema tiene el si-guiente polinomio en el numerador

-m0 m

m 1 2 m 0

m 0

B + + b b z b c c c b

b b

′ ==

…… (1.42)

donde los ic son los diferentes ceros del sistema

Además se supone 0b pequeño y despreciable. El regulador con este nuevo po-linomio será:

-mn0 m

n

B z + + + z + b b z BB - zBε ε

ε′

′

′ = =′=

… (1.43)

O sea que el regulador no estaría ajustado exactamente y la nueva función de transferencia se calculará como sigue:


( )( ) ( )

-d

-dMk+d k k

n

M -dnk k k

M -dn nk k k

M -d+1n nk k

1 = A F + Gz Bz - G = y y y

A F B - G B = A F y y yz B

- G + z = A F y y yz B B

+ z = + Gy yB B z

ε

ε ε

′

′

′ ′

′ ′

′

′

(1.44)

Ahora el último paréntesis es el que debe ser estable. Es útil esto para analizar la robustéz del sistema (partiendo de '

nB estable).

1.6.2. Sensibilidad Frente a Variaciones de Parámetros Sea el sistema real como el de la ecuación:

-dA y = B uz (1.45)

y sea el modelo o sistema nominal: -d

n n y = uA z B (1.46)

El regulador se calcula para el sistema nominal. Derivando la transferencia res-pecto a los parámetros del sistema obtenemos:


( )

-dn

-dMk+d k k

n

kM -d

nk

-i -d-i -d -in n

2ni n

-in n -i

2i n

1 = F + GA z Bz - G = y y y

A F By B = = M

A F + G By B z1 - Gz zM - G z B B z z = =

b BBM - F z B B = = - Fza B

′

′

′ ′

′′

′ ′

′

′

′′

∂∂

∂∂

(1.47)

No dice mucho. Si -1

1

-1

1

C = 1 - czC = - ?zc∂∂

(1.48)


1.7. Caso Adaptativo del Control Predictivo Se desconoce el proceso real. Habrá que proponer un modelo de la planta: ˆ ˆ-dA y = B uz ′ (1.49)

donde ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

-1 -2 -n1 2 n

-1 -2 -m0 1 2 m

A= 1 + + + + a a az z zB = + + + + z z zb b b b′

…

… (1.50)

Estos polinomios se usarán en el cálculo del regulador. En el caso de conoci-miento absoluto teníamos el predictor

kk+d k = G + F B y y u′ (1.51)

Para expresarlo en una forma vectorial compacta se define

[ ][ ]

T0 0 1

Tk k k-m-d+1k k-n+1

Tkk+d

= p g f b f b

= y yx u u= py x

′ ′… …

… … (1.52)

La ley de control ideal será: MT

k k+d p = yx (1.53)


Al no conocer el vector de parámetros se lo reemplaza por su estimación:

ˆ MTk k k+d = p yx (1.54)

Si se despeja la actuación, queda:

ˆ ˆ ˆ ˆˆ

Mk k-1 k-m-d+1k+d 0 k n-1 k-n+1 n n+m+d

n

1 = - - - - - - y p y p y p pu u up

… … (1.55)

Se puede usar cualquier método de identificación con una modificación:

ˆ ˆ ˆTk k-d k-dk k-1 k-1 k = - - p p p yx xP (1.56)

Se observa que en el término correspondiente al error se considera el vector de muestras x previo al retardo. Esto es porque el producto de x por p da la salida luego del retardo.

Un posible problema es que 0̂b sea cero. Esto se soluciona poniendo algún tipo de filtro lógico que evite esta división.

Esta forma se denomina control adaptativo indirecto


Algoritmo directo. Otra expresión de la planta:

Tkk+d = py x (1.57)

Tk k = pu x ′ (1.58)

donde

[ ]

T 0 n-1 1

0 0 0 0

Tk-1 k-m-d+1k k k-n+1 k+d

g g f b 1= pf b f b f b f b

= - - - - y y yu ux

′′ ′ ′ ′ ′

… …

… …

(1.59)

La ley de control también se dejará en una forma explícita vectorial: ˆT

k k k = pu x ′′ (1.60)

donde

ˆ ˆ ˆ

MTk k-1 k-m-d+1k k-n+1 k+d

Tk k-dk-d k-dk k-1 k-1

= - - - - y y yx u u

= - - p p p uP x x

′ ′ ′ ′

… … (1.61)

En esta forma, el estimador ya no calcula los parámetros del sistema sino los del regulador.


Comentario:

[ ]1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

T T TT T T Tk k-d k-d k-d k-d k-dk-d k-d k-dk- k-1 k-d k-1 k-d k-1 k-1

T T Tk-d k-dk-d k-1 k-1 k-d

Mkk k

- = - - + - p p p p p p pe u x x x xx x x - + - p p px xx

- y y ε

′ ′ ′ ′ ′ ′= =′ ′ ′ ′

′ ′ ′= ′ ′ = +

(1.62)

ˆk k k + e ε ε= (1.63)

siendoε el error de seguimiento de la salida y ε̂ un error auxiliar


1.8. Control Predictivo Ponderado Adaptativo El control predictivo ponderado resultaba:

( ) ( )M0 k 0 k+d kF B + - G y yb u bλ′ = (1.64)

( )M0k kk+d k2

0

b - G - F B - 1 y yu u + b λ

′= (1.65)

La ley de control, conociendo el sistema y expresada en forma vectorial es: T

k k = pu x (1.66)

donde:

T 0 0 000 0 n-1 m+d -112 2 2 2 20 0 0 0 0

MTk k-1 k-m-d+1k+d k k-n+1

g g f bf bb b bbb p+ + + + +b b b b b

- - - -y y yx u u

λ λ λ λ λ′′ =

=

… …

… …(1.67)


Para la forma directa del algoritmo se introduce una modificación en el modelo de la planta:

kk+d k= G + F B y y u′ (1.68)

k k+d kF B = - G y yu′ (1.69)

0 k kk+d k = - G - (F B - 1) y yb u u′ (1.70)

[ ]20 0

k kk+d k2 20 0

b b = - G - (F B - 1) y yu u+ +b bλ λ′ (1.71)

0k k kk+d k2

0 0

b= ( + ) - G - (F B - 1) y yu u u+b bλ

λ ′

(1.72)

Ahora la nueva expresión vectorial de la planta es: T

k k = pu x (1.73)

donde

Tk k-1 k-m-d+1k k+d k k-n+1

0

T 0 0 000 0 n-1 m+d -112 2 2 2 20 0 0 0 0

= + , - - - -y y yu u uxb

g g f bf bb b bbb= p+ + + + +b b b b b

λ

λ λ λ λ λ

′′

… …

… …(1.74)


1.9. Control Predictivo Ponderado Adaptativo con Filtro en la Actuación En este caso la Ley de control era:

( ) 1M

10 0 0k k k-1 k-2k+d 0 k 1 1 220

1u u + y g y f b p pb b b r u u+bλ λ λ

λ − ′= − − − + + + … (1.75)

Por lo tanto, u en forma vectorial resulta: T

k k = pu x (1.76)

donde T Mk k-1 k-1k k-n+1k d

T 0 100 0 1 1 22 2 2 2 20 0 0 0 0

= - - - y yyx u u

+g f b p pb b rb= , p+ + + + +b b b b b

λ λ λλ λ λ λ λ

+

′

… … …

… … … (1.77)

Aquí también se requiere alguna consideración para utilizar la versión directa del controlador. Se expresará al sistema del siguiente modo:

kk+d k= G + F B y y u′ (1.78)

( )00 k kk+d k = - G F B b y yb u u′− − (1.79)

( )20 0 0 0 0 k kk+d kk+ u = - G - (F B - ) +y yb b b b b u uλ λ′ (1.80)


por otro lado,

( )1 1k k-1kk k k-11= P - R u = + - pu uru u uλ λ λ λ λ λ− …(1.81)

reemplazando,

( )1k 0 0 0 k-1k k-1k+d k 1 120 0

1= + - G - + + y y f b pu b b b uru u+b bλ λ λ

λ ′

… (1.82)

por lo tanto: T

k = pu x (1.83)

donde

Tk-1k d kk k-1k k-n+1

0

T 0 100 0 1 1 22 2 2 2 20 0 0 0 0

= y u , - - - y y ux ub

+g f b p pb b rb= , p+ + + + +b b b b b

λ

λ λ λλ λ λ λ λ

+ +

′

… … …

… … … (1.84)

con lo que queda expresada u de igual forma que antes con la excepción de la aparición en su cálculo de la variable filtrada.


Ejemplos: cambio en la muestra 50: se reduce a la mitad la ganancia.

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


0 50 100 150-3

-2

-1

0

1

2

3

4


1.10. Compensación de Velocidad

1 11 2 1 2

11 2 1 21

1

0 00 0

k

k k k

k kk

k

yy y uas as bs bs

y uad ad bd bdyy

+ −

−+

−

= +

(1.85)

1

2 11 2 1 2

11 2 1 22

0 00 0

k

k k k

k kk

k

yy y uas as bs bs

y uad ad bd bdyy

+

+ +

++

= + =

(1.86)

1 2 1

2 1 2

1 2 11 22

11 2 1 2 1 2

11 2 1 2 1 2

0 00 0

k k

k k

k kk

k

k k

k k

as y as yy yas as

ad y ad yad adyy

u uas as bs bs bs bsu uad ad bd bd bd bd

−

+

−+

+

−

+ = + +

+ +

(1.87)


22 1 11 1 2 1 1 2 2 2 1 21 2 1 2

211 1 2 1 1 2 2 2 1 22 1 2 1 2

1

k

k k k k

k k kk

k

yy y u uas bs as bd as bs as bd bs bsas as as as

y u uad bs ad bd ad bs ad bd bd bdy ad ad ad ady

+ − +

−+

−

+ + + = + + + ++

(1.88)

22 1 11 1 2 1 1 2 2 2 1 21 2 1 2

211 1 2 1 1 2 2 2 1 22 1 2 1 2

1

k

k k k k

k k kk

k

yy y u uas bs as bd as bs as bd bs bsas as as as

y u uad bs ad bd ad bs ad bd bd bdy ad ad ad ady

+ − +

−+

−

+ + + = + + + ++

(1.89)

12 1

21

1

k

kk k

kkk

k

k

yy

y uyR M

uyyu

−+ +

+−

−

= +

(1.90)

La ley de control es


121 1

21

1

k

kykk

kk yk

k

k

yyruyM R

u ryu

−++ −

+−

−

= −

(1.91)


Ejemplo 1.2. Péndulo Invertido 2

2

d y kudt

= (1.92)

dv kudt

= (1.93)

2 2

1 1 122 2k k k k k

T Ty y y k u k u+ − −= − + + (1.94)

1k k kv v kTu+ = + (1.95)

predictor

2 2 2 2 2 2

2 1 1 1 1 1

2 22

1 1 1

2 2 22 2 2 2 2 2

3 2 32 2

k k k k k k k k k k k k

k k k k k

T T T T T Ty y y k u k u y y k u k u y k u k u

T Ty y k u k u kT u

+ + + − − +

− + −

= − + + = − + + − + + =

= − + + + (1.96)

2 1 1

1

k k k

k k k

v v kTuv kTu kTu

+ + +

+

= + == + +

(1.97)


2 22

2 1 1 1

2 1

3 2 32 2k k k k k k

k k k k

T Ty y y k u k u kT u

v v kTu kTu

+ − + −

+ +

= − + + +

= + + (1.98)

cálculo de la actuación 2 2

21 2 1 1

1 2

3 3 22 2k k k k k k

k k k k

T Tk u k u y y y kT u

kTu kTu v v

+ + − −

+ +

+ = − + −

+ = − (1.99)

12 22

1 1 13 232 2 0

k k k k

k k

T Tu r y y kT uk ku vkT kT

−

+ − − − + = −

(1.100)

la ku

( )21 12

1 13 2k k k k ku r y y kT u vkT kT− −= − + − + (1.101)

El regulador predictivo clásico para la posición sería

( )1 12

2 2k k k kucp r y y ucpkT − −= − + − (1.102)


y para la velocidad

( )1k kuvc rv v

kT= − (1.103)

reescribiendo el compensado

( )

( ) ( ) ( )

21 12

21 1 1 1 1 12 2 2

1 13 2

2 2 1 12 3 2

k k k k k

k k k k k k k k k k

u r y y kT u vkT kT

r y y u y y u r y y kT u vkT kT kT kT

− −

− − − − − −

= − + − + =

= − + − − − − − − + − + (1.104)

quedando finalmente, 1 k

k k kr yu ucp v

kT T− = − −

(1.105)

es como tener dos controladores predictivos clásicos, uno dependiente de la posición y otro de la velocidad con una velocidad de referencia igual a la que debe-ría tener el sistema para llegar en forma recta a la referencia de posición en una muestra.

Otra alternativa sería calcular la velocidad como diferencia entre muestras con-secutivas, pero esto introduce una imprecisión en la velocidad que degrada el con-trol. Se analiza el efecto en la simulación.


- Algoritmo: %Sistema continuo ganancia = 1; num= ganancia ; den=poly([0, 0]); syscont = tf( num,den); %Sistema en variables de estado Pss = ss(syscont); [a,b,c,d] = ssdata(Pss); % y su respuesta al escalón ... t = 0:0.01:10; u = ones(size(t)); y = lsim(syscont,u,t); yy = lsim(Pss,u,t); T=.1; kp = .5; Tfin = 3; precision= T/100; t = 0:precision:T; ref = 1; yaux = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(2,2); yy = 0; uu = 0; ref = 1; n = 530; A=[1 -2 1]; %A=[1 -.5];


k=1; B=k*T^2/2*[0 1 1]; M=[B(2) -A(2)*B(2);B(2) -A(2)*B(2)-B(2)]; IM=inv(M); AB=[(-A(2))^2-A(3) -A(2)*A(3) 0 0 0;0 0 (-A(2))^2-A(3) -A(3) A(2)*B(2)]; y = zeros(n,1); yd = zeros(n,1); u = zeros(n,1); UU = zeros(n,2); %predictivo clásico y = zeros(n,1); yd = zeros(n,1); u = zeros(n,1); x0= zeros(2,2); yaux = zeros(size(t)); uaux = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; for i = 3:Tfin/T % Sistema Discreto yd(i)=-A(2:length(A))*flipud(yd(i-length(A)+1:i-1))+B*flipud(u(i-length(B)+1:i)); % Sistema Continuo [yaux, tt, x0] = lsim(Pss,uaux,t,x0(length(x0),:)); yy = [yy ; yaux]; uu = [uu ; uaux']; % Regulador y(i)= yaux(ly); u(i)=(2/T^2)*(ref-2*y(i)+y(i-1))-u(i-1); % bloqueador de orden cero nivelu=u(i);


uaux = nivelu * ones(size(t)); end;

plot([yy]);grid

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

stairs([u(1:Tfin/T)]);grid


0 5 10 15 20 25 30-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400


Compensación Por Velocidad y = zeros(n,1); yd = zeros(n,1); vy = zeros(n,1); u = zeros(n,1); x0= zeros(2,2); yaux = zeros(size(t)); uaux = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; M=[ganancia*T^2/2 3*ganancia*T^2/2; ganancia*T ganancia*T]; IM=inv(M); for i = 3:Tfin/T % Sistema Discreto yd(i)=-A(2:length(A))*flipud(yd(i-length(A)+1:i-1))+B*flipud(u(i-length(B)+1:i)); % Sistema Continuo [yaux, tt, x0] = lsim(Pss,uaux,t,x0(length(x0),:)); yy = [yy ; yaux]; uu = [uu ; uaux']; % Regulador y(i)= yaux(ly); vy(i)= (yaux(ly)-yaux(ly-1))/precision; u(i)=(1/T^2)*(ref-3*y(i)+2*y(i-1))-u(i-1)+1/T*vy(i); % ó esta alternativa: u(i)=(2/T^2)*(ref-2*y(i)+y(i-1))-u(i-1)-1/T*((ref-y(i))/T-vy(i)); % bloqueador de orden cero nivelu=u(i); uaux = nivelu * ones(size(t));


end;

plot([yy]);grid

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



0 5 10 15 20 25 30-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100


Compensación con Cálculo de velocidad Se calcula la velocidad como diferencia entre muestras

y = zeros(n,1); yd = zeros(n,1); vy = zeros(n,1); u = zeros(n,1); x0= zeros(2,2); yaux = zeros(size(t)); uaux = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; M=[ganancia*T^2/2 3*ganancia*T^2/2; ganancia*T ganancia*T]; IM=inv(M); for i = 3:Tfin/T % Sistema Discreto yd(i)=-A(2:length(A))*flipud(yd(i-length(A)+1:i-1))+B*flipud(u(i-length(B)+1:i)); % Sistema Continuo [yaux, tt, x0] = lsim(Pss,uaux,t,x0(length(x0),:)); yy = [yy ; yaux]; uu = [uu ; uaux']; % Regulador y(i)= yaux(ly); % esta es la diferencia, se calcula la velocidad como diferencia entre muestras vy(i)= (y(i)-y(i-1))/T; u(i)=(1/T^2)*(ref-3*y(i)+2*y(i-1))-u(i-1)+1/T*vy(i); % ó esta alternativa: u(i)=(2/T^2)*(ref-2*y(i)+y(i-1))-u(i-1)-1/T*((ref-y(i))/T-vy(i));


% bloqueador de orden cero nivelu=u(i); uaux = nivelu * ones(size(t)); end;

plot([yy]);grid

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

plot([y(1:Tfin/T)]);grid


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



0 5 10 15 20 25 30-150

-100

-50

0

50

100


1.11. Simulaciones 1.11.1. Predictor a d Pasos

n = 30; yo = zeros(n,1); yp = zeros(n,1); u = zeros(n,1); for i = 7:n u(i)=1; yo(i)=1.5*yo(i-1)-.7*yo(i-2)+u(i-3)-.8*u(i-4); yp(i)=1.275*yp(i-3)-1.085*yp(i-4)+u(i-3)+.7*u(i-4)+.35*u(i-5)-1.24*u(i-6); end;

stairs([yo(6:n) yp(6:n)]);grid


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5


1.11.2. Control Predictivo Ponderado Por Polinomios

cambioref = 50; ciclos = 5; n = cambioref * ciclos; e = 0.0*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [1 -1.74 .77]; Bp = 2 * [1.1 .9]; A = Ap; B = Bp; na = length(Ap); nb = length(Bp); C = [1.0000 -2.0000 1.2900 -0.2700 0 0 0 0]; nc = 4; nk = 2; ref = ones(cambioref,1); for i = 1:ciclos-1, ref = [ref; (-1)^i*ones(cambioref,1)]; end; u = zeros(n,1); uf = zeros(n,1); lambda = 10; P=[1 -0.9 0 0]; R=[1 -0.8 0 0];

P=[1 -1.3981 0.4976 0];

R=[1 -0.9473 0.1205 0];


% calculo del vector F F = zeros(nk,1); F(1) = 1; for i = 2: nk for j = 1:i-1 if i-j+1 <= length(A) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); end; end; end; % calculo del vector G G = zeros(na,1); for i = 1: na for j = 0:nk-1 if i+nk-j <= length(A) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+nk-j); end; end; end; % calculo del vector FB FB = conv(F,B)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+nk-3+length(P),1)*B(1) /( B(1)*B(1)+lambda); ParReg(2:na) = ParReg(1) * G(1:na-1); ParReg(na+1:na+nb+nk-2) = (FB(2:nb+nk-1)+lambda*R(2:nb+nk-1)'/B(1)) * ParReg(1); ParReg(na+nb+nk-1:na+nb+nk+length(P)-3) = -lambda*P(2:length(P))/B(1)*ParReg(1); for i = nk+nb+5 : n


% Sistema y(i) = 0; for j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); end; for j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-nk); end; % y(i)=fliplr(B(1:length(B)))*u(i-length(B):i-1)-%fliplr(A(2:length(A)))*y(i-length(A)+1:i-1); for j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); end; % Regulador % cálculo de la uf filtrada: uf = (R/P)u uf(i-1)=0; for j = 1:length(R) uf(i-1) = uf(i-1) + u(i-j)*R(j); end; for j = 2:length(P) uf(i-1) = uf(i-1) - uf(i-j)*P(j); end; % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+nk-3+length(P),1); ValReg(1) = ref(i); ValReg(2:na) = -flipud(y(i-na+2:i)); ValReg(na+1:na+nb+nk-2) = -flipud(u(i-nb-nk+2:i-1)); ValReg(na+nb+nk-1:na+nb+nk+length(P)-3) = -flipud(uf(i-length(P)+1:i-1)); % actuación u(i) = ValReg' * ParReg; end


plot(y);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold off


0 50 100 150 200 250-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


0 50 100 150 200 250-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1.11.3. Cálculo de los Polinomios P y R M=poly([.5 .5 .5 .5]);

A=[1 -1.74 .77];

B=[2.2 1.8];


lambda=10;

MM=[B(1)^2 0 lambda 0;

B(1)*B(2) B(1)^2 lambda*A(2) lambda;

0 B(1)*B(2) lambda*A(3) lambda*A(2);

0 0 0 lambda*A(3)];

ind= M(2:length(M))'*(B(1)^2+lambda)-[B(1)*B(2)+lambda*A(2); lambda*A(3); 0;0];

%ind= M(2:length(M))'-[B(1)*B(2)+lambda*A(2); lambda*A(3); 0;0];

pp=inv(MM)*ind;

P=[1 pp(1:2)' 0];

R=[1 pp(3:4)' 0];

roots([conv(B,P)*B(1) 0]+lambda*conv(A,R)) ans = 0 0.5001 0.5000 + 0.0001i 0.5000 - 0.0001i 0.4999


1.11.4. Control Predictivo Ponderado Por Polinomios Adaptativo

cambioref = 30; ciclos = 5; n = cambioref * ciclos; e = 0.02*randn(n,1); y = zeros(n,1); Ap = [1 -1.74 .77]; Bp = 2 * [1.1 .9]; A = Ap; B = Bp; %A = [1 -1.7995 .8120]; %B = 1e-3 * [.8344 .5749]; na = length(Ap); nb = length(Bp); C = [1.0000 -2.0000 1.2900 -0.2700 0 0 0 0]; nc = 4; nk = 2; ref = ones(cambioref,1); for i = 1:ciclos-1, ref = [ref; (-1)^i*ones(cambioref,1)]; end; u = zeros(n,1); uf = zeros(n,1); lambda = 10; P=[1 -1.3981 0.4976 0];


R=[1 -0.9473 0.1205 0]; u = zeros(n,1); % inicialización identificación np=na+nb+nk+length(P)-1-2; Aest = ones(n,np); lam=.99; p=10000*eye(np); th=eps*ones(np,1); % calculo del vector F F = zeros(nk,1); F(1) = 1; for i = 2: nk for j = 1:i-1 if i-j+1 <= length(A) F(i) = F(i) - F(j)*A(i-j+1); end; end; end; % calculo del vector G G = zeros(na,1); for i = 1: na for j = 0:nk-1 if i+nk-j <= length(A) G(i) = G(i) - F(j+1)*A(i+nk-j); end; end; end; % calculo del vector FB


FB = conv(F,B)'; % cálculo del vector de parámetros ParReg = ones(na+nb+nk-3+length(P),1)*B(1) /( B(1)*B(1)+lambda); ParReg(2:na) = ParReg(1) * G(1:na-1); ParReg(na+1:na+nb+nk-2) = (FB(2:nb+nk-1)+lambda*R(2:nb+nk-1)'/B(1)) * ParReg(1); ParReg(na+nb+nk-1:na+nb+nk+length(P)-3) = -lambda*P(2:length(P))/B(1)*ParReg(1); for i = nk+nb+5 : n % Sistema y(i) = 0; for j = 2:na y(i) = y(i) - A(j)*y(i-j+1); end; for j = 1:nb y(i) = y(i) + B(j)*u(i+1-j-nk); end; for j = 1:nc y(i) = y(i) + C(j)*e(i-j); end; % Regulador % cálculo de la uf filtrada: uf = (R/P)u uf(i-1)=0; for j = 1:length(R) uf(i-1) = uf(i-1) + u(i-j)*R(j); end; for j = 2:length(P) uf(i-1) = uf(i-1) - uf(i-j)*P(j); end; % cálculo del vector de valores para el control predictivo ValReg = zeros(na+nb+nk-3+length(P),1);


ValReg(1) = ref(i); ValReg(2:na) = -flipud(y(i-na+2:i)); ValReg(na+1:na+nb+nk-2) = -flipud(u(i-nb-nk+2:i-1)); ValReg(na+nb+nk-1:na+nb+nk+length(P)-3) = -flipud(uf(i-length(P)+1:i-1)); % actuación u(i) = Aest(i-1,1:np) * ValReg(1:np); % Cálculo del vector X para el identificador x = zeros(np,1); x(1)=y(i)+lambda/Bp(1)*uf(i-nk); x(2:na)=-flipud(y(i-na+2-nk:i-nk)); x(na+1:na+nb+nk-2) = -flipud(u(i-nb-nk+2-nk:i-1-nk)); x(na+nb+nk-1:na+nb+nk+length(P)-3) = -flipud(uf(i-length(P)+1-nk:i-1-nk)); % Identificación yh=x'*Aest(i-1,1:np)'; epsi=u(i-nk)-yh; K=p*x/(lam + x'*p*x); p=(p-K*x'*p)/lam; Aest(i,1:np)=(Aest(i-1,1:np)'+K*epsi)'; epsilon=u(i)-Aest(i,1:np)*x; end plot(y);grid; hold on; stairs(u,'r'); hold off axis([0 n -2 2]) plot(Aest);grid;


- Referencias 1. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall –

1984. Compensación de Velocidad: p 128/168

clase 11 control predictivo

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