folyamatszabÁlyozÁs - egészségügyi...

Folyamatszabályozás Irányíthatóság és megfigyelhetőség

2008. március 10. 1 SzB

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika és Informatika Tanszék

Szilágyi Béla – Benyó Zoltán – Juhász Ferencné – Kovács Levente

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS

8. Állapottranszformáció Irányíthatóság és megfigyelhetőség

8 Szabályozástechnika. 2008 MATLAB

http://bio.iit.bme.hu/hun/ (Oktatás -> Kötelező tárgyak -> Folymatszabályozás)



uzm uz zavarkompenzáció ua u y belső visszacsatolás állapot visszacsatolás y visszacsatolása ( fő visszacsatolás)

Az irányítási rendszer hatásvázlata

Az irányító berendezés alrendszere C (controller) xc(t)

Az irányított folyamat alrendszere P (process) xp(t)



Irodalom Tuschák Róbert: Szabályozástechnika. (Műegyetemi Kiadó 55020) Szilágyi Béla: Szabályozástechnika. Számítógépes gyakorlatok. (Műegyetemi Kiadó 55036, 55037, 55038, 55039, 55040, 55041,55066)

Benjamin C. Kuo: Önműködő szabályozó rendszerek. (Műszaki Kiadó) Hütte: A mérnöki tudományok kézikönyve. (Springer Hungarica) Csáki Frigyes: Korszerű szabályozáselmélet. (Akadémiai Kiadó) Csáki Frigyes-Bars Ruth: Automatika. (Tankönyvkiadó) Lantos Béla: Irányítási rendszerek elmélete és tervezése. (Akadémiai Kiadó) Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. (Saunders Collage Publishing) M. L. Luyben-W.L.Luyben: Essentials of Process Control. (McGraw-Hill) B.Wayne Bequette: Process Dynamics. (Prentice Hall PTR) Josef Hoffmann: MATLAB und SIMULINK. (Addision-Wesley) A.Brian-M.Breiner: MATLAB for Engineers. (Addision-Wesley) Frigyes Andor: Irányítástechnika. Műszaki értelmező szótár.(Terra Kiadó) R. Isermann: Digitale Regelsysteme. (Springer-Verlag) Dr. Farkas Miklós: Matematikai kislexikon. (Műszaki Könyvkiadó) I.N.Bronstejn: Matematikai zsebkönyv. (Műszaki Könyvkiadó)

Dr. Csáki Frigyes: Fejezetek a szabályozástechnikából. Állapotegyenletek. (Műszaki Könyvkiadó)

Otto Fölinger: Regelungstechnik. (Hüttig Buch Verlag GmbH)



Tartalomjegyzék

8. Állapottranszformáció. Irányíthatóság és megfigyelhetőség

8.1 Bevezetés 8.2 Az állapottranszformáció 8.21 Kanonikus alak 8.22 Megfigyelhetőségi kanonikus alak 8.23 Fázisváltozós kanonikus alak

8.24 Alsó háromszög alak 8.25 Irányíthatósági kanonikus alak 8.26 Kanonikus transzformáció 8.3 Irányíthatóság és megfigyelhetőség 8.31 Állapotirányíthatóság 8.32 Kimeneti irányíthatóság 8.33 Állapotmegfigyelhetőség 8.4 Az állapotegyenlet felírása az átviteli függvényből 8.41 Közvetlen felbontás 8.42 Iteratív felbontás 8.43 Párhuzamos felbontás

8.44 Kapcsolat az irányíthatóság, a megfigyelhetőség és az átviteli függvény között

1. Példa 2. Példa



8. Állapottranszformáció. Irányíthatóság és megfigyelhetőség

8.1 Bevezetés A modern szabályozáselmélet tárgyalásmódja a dinamikus rendszer állapotegyenletére épül. Az ennek alapján megfogalmazható követelmények – különféle célfüggvények alapján előírt kritériumok teljesítése – túllépnek a ma már klasszikusnak tekinthető „fázistöbbletre történő méretezés” alapelvén és olyan struktúrában megvalósuló irányításhoz vezetnek, amelyek alkalmazása – a számítógépes irányítás adta lehetőségként – egyre jobban előtérbe kerülnek (időoptimális rendszerek, állapotirányítás, adaptív rendszerek, robosztus rendszerek, stb.). A modern szabályozáselméletre épített alkalmazások egy fontos témaköre a folyamat irányíthatóságának és megfigyelhetőségének értelmezése és vizsgálata. Ennek alapján például teljesen állapotirányítható folyamathoz létezik olyan irányítási struktúra, melynek alkalmazása mellett az eredő rendszer előírt sajátérték eloszlással üzemeltethető, illetve egyébként labilis folyamat – megfelelő állapotvisszacsatolás segítségével – stabilizálható. A soronkövetkző fejezetben az irányíthatóság és megfigyelhetőség témaköröket tárgyaljuk, illetve bemutatjuk , hogy az állapotirányítás kialakítására milyen egyszerű módszerek vannak. A felhasználásra kerülő fontosabb MATLAB utasítások:

ss2ss :adott állapotegyenlettel jellemzett rendszerből a transzformációs mátrix ismeretében előállítja a transzformált rendszer paramétermátrixait.

canon :az állapotegyenlet paraméter mátrixait kanonikus alakra transzformálja, két típusra hívható, a „modal” típus az A állapotmátrixot diagonizálja, a „companion” típus pedig a megfigyelhetőségi kanonikus alakot számítja.

eig :kvadratikus mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározására szolgál.

ctrb :irányíthatósági tesztmátrix kiszámítása az A,B mátrixokból. obsv :megfigyelhetőségi tesztmátrix kiszámítása az A,C mátrixokból. tf2ss :a folyamatot leíró átviteli függvényből meghatározza az

állapotegyenletek A,B,C,D paramétermátrixait irányíthatósági kanonikus formában.

rank :mátrix rangjának meghatározása. dcgain :az állapotegyenletével vagy átviteli függvényével jellemzett

rendszer állandósult állapothoz tartozó erősítésének meghatározása.

tf2zp :átviteli függvény zérusainak és pólusainak meghatározása. residue :átviteli függvény részlettörtre bontása. polyvalm :polinomnak mátrix helyettesítési értékkel történő számítása.



8.2 Az állapottranszformáció Egy folyamatot leíró x(t) állapotváltozók kiválasztása többféleképen lehetséges, a különböző kiválasztási módok között az állapottranszformáció teremt kapcsolatot. Az állapotváltozók különféle megválasztásának célja a fizikai rendszert leíró matematikai modell belső struktúrájának egyszerűbbé–, áttekinthetőbbé tétele, a számítások egyszerűsítése. A folyamatot leíró állapotegyenlet legyen:

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxdt

tdx

+=

+=

Ha a folyamat fizikai leírásából származtatható állapotváltozói az x1(t)...xn(t) állapotkoordináták, akkor ezek tetszőleges lineáris kombinációiból alkotott xT1(t)...xTn(t) koordinátákkal is jellemezhető az eredeti rendszer, ami azt jelenti, hogy egy xT(t)=Tx(t) ↔ x(t)=T–1xT(t) transzformációval új xT(t) állapotváltozókra térhetünk át, ahol is T egy n×n-es méretű, tetszőleges invertálható mátrix. Figyelembe véve, hogy dx(t)/dt=T–1dxT(t)/dt, az állapotegyenlet az új xT állapotkoordinátákkal:

)()(

)()()(

)()()(

)()()(

1

1

1

11

tDutxCTy

tTButxTATtx

tDutxCTty

tButxATdt

tdxT

T

TT

T

TT

+=

+=

+=

+=

−

−

−

−−

&

Ennek alapján az új xT(t) állapotváltozókkal kapott állapotegyenlet:

)()()(

)()()(

tuDtxCty

tuBtxAdt

tdx

TTT

TTTT

+=

+=

ahol1:

AT=TAT–1 BT=TB CT=CT–1 DT=D Az xT(t)=Tx(t) transzformációval az adott folyamat sokféle állapotegyenlettel írható le, de a transzformáció az u(t) bemenő–, és y(t) kimenő jelek közötti kapcsolatot természetesen változatlanul kell hogy hagyja, s csupán a rendszer belső állapotváltozóit alakítja át. Ebből következik, hogy mivel a rendszer dinamikus tulajdonságait eredendően az A állapotmátrix λi=pi sajátértékei szabják meg, a transzformációval ezeknek változatlanoknak kell maradniuk, vagyis A és AT=TAT–1 sajátértékei egymással azonosak. Általános esetben az eredeti (transzformálatlan) folyamat minden egyes &xi állapotsebessége minden egyes x1,...xi,…xn állapotváltozó lineáris függvénye ( &xi =ai1x1+…+aiixi+…+ainxn), tehát az A állapotmátrix minden helye az elsőrendű differenciálegyenlet rendszer aij

1 Vegyük észre, hogy a transzformáció a D paramétermátrixot nem változtatja meg: DT=D.



együtthatóival kitöltött ( aij tetszőleges valós szám). A gerjesztetlen rendszer mozgásviszonyait leíró differenciálegyenlet rendszer tehát:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnn

n

n x

x

aa

aa

x

x

dtd

.

.

........

..

.

.1

1

1111

Ennek adott x(0) kezdeti feltételre történő megoldása:

x t e x t xAt( ) ( ) ( ) ( )= =0 0Φ Az x(t) kiszámítása akkor egyszerű, ha A diagonális mátrix, ekkor ugyanis A főátlójában ennek egymástól különböző sajátértékei állnak, és ekkor a Φ(t)=eAt alapmátrix:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=Φ

tp

tp

tp

nn ne

ee

tp

tptp

t

p

pp

t

0.0...000.0

0.0...000.0

exp

0.0...000.0

exp)(2

1

2

1

2

1

ahol pi az A állapotmátrix i-edik sajátértéke. Adott x(0)-ra az x(t) megoldás (a rendszer sajátmozgása) ekkor:

)...,2,1()0()0()(

)0(.

)0()0(

0.0..

000.0

)(.

)()(

)0(0)...0(00000

2

1

2

1

111

2

1

nixexetx

illetve

x

xx

e

ee

tx

txtx

itp

xxitp

)(x...)(xi

ntp

tp

tp

n

ini

ii

n

==+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++ +−

Ha A nem diagonális mátrix, akkor a homogén állapotegyenlet megoldásának meghatározása bonyolultabb, mivel általános esetben bármelyik állapotváltozó időfüggvénye mindegyik kezdeti feltételtől függ. Az xT =Tx transzformáció alapvető célja mindezek alapján az, hogy a transzformációval kapott xT állapottérben történő leírás állapotegyenletének AT=TAT–1 transzformált állapotmátrixa jelentősen egyszerűsödjön, ha lehetséges diagonálmátrix alakúvá váljon, mert ez a rendszer belső struktúráját áttekinthetővé teszi és a megoldás meghatározása is egyszerű. Adott T transzformációs mátrix ismerete (vagy felvétele) esetén az új xT koordinátákkal jellemzett rendszer paraméter mátrixainak kiszámítását a MATLAB

[AT,BT,CT,DT]=ss2ss(A,B,C,D,T)

utasítása támogatja. Az alapkérdés: hogyan kell a T transzformációs mátrixot megválasztani, hogy az új koordináta rendszerben AT (és ezeken keresztül a rendszer belső struktúrája) egyszerűsödjön? Az, hogy mit tekintünk az eredeti rendszerhez képest egyszerűbb struktúrának, bizonyos szempontból szubjektív megítélést jelent, az viszont kétségtelen tény,



hogyha a T transzformáció olyan új AT=TAT–1 állapotmátrixot hoz létre, amely diagonális, ez jelentősen megkönnyíti a rendszer vizsgálatát és áttekintését. Sajnos ez a transzformáció nem mindig létezik, ezért többször más típusú egyszerűsítéseket kell alkalmaznunk. Ha az eredeti (transzformálatlan) rendszerünk A állapotmátrixa pl. egy 5×5-ös mátrix, a rendszer homogén állapotegyenlete:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(...

)(

............

...

)(...

)(

5

1

5551

1511

5

1

tx

tx

aa

aa

tx

tx

dtd

Ennek megoldásában az A állapotmátrix λi=pi sajátértékei alapvető szerepet játszanak, az A ismeretében ezeket a

0

....

....

)det()(

5551

1511

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−=

aa

aa

AIH

λ

λ

λλ

karakterisztikus egyenlet λi=pi gyökei szolgáltatják. A differenciálegyenlethez tartozó belső struktúra öt darab integrátort tartalmaz2, ahol mindegyik integrátor bemenetére mindegyik integrátor kimenete – az aij átviteli tényezőkön át – visszacsatolódik (lásd 1. ábra). Mivel ez a struktúra meglehetősen bonyolult és nehezen áttekinthető, kézenfekvő törekvés ennek egyszerűsítése. Ez egy alkalmasan megválasztott T transzformációval meg is tehető. A szabályozásoknál használt transzformációk különféle alakzatban hozzák létre az AT =TAT–1 új állapotmátrixot. A következőkben a fontosabb transzformációkat és a hozzájuk tartozó hatásvázlat struktúrákat (n=5×5-ös méretű állapotmátrixot feltételezve) tárgyaljuk. Mivel a transzformáció a D mátrixot változatlanul hagyja, ezért a továbbiakban – az ábrázolás egyszerűsítése okán – a D=0 esetet tételezzük fel.

2 Ha a dinamikus rendszert n darab elsőrendű differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet rendszer–, vagy egy darab n–ed rendű differenciálegyenlet, írja le, akkor a matematikai modellhez rendelhető, alaptagokból felépülő hatásvázlat struktúra n darab integráló tagot tartalmaz. Az integráló tagok kimenő jelei a rendszer állapotváltozói.



Az általános eset belső struktúrája (A transzformálatlan rendszer) 1. ábra

∫

∫

∫

x1

a11

a12

a15

a21

a22

a25

a51

a52

a55

B C u y

x2

x5

&x Ax=



8.21 Kanonikus alak3

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −

5

4

3

2

1

1

00000000000000000000

pp

pp

p

TATAT

A karakterisztikus egyenlet:

det(λI–AT)=(λ–p1)(λ–p2)(λ–p3)(λ–p4)(λ–p5)=0

A kanonikus alak belső struktúrája 2. ábra Ez a transzformáció az eredeti „kapcsolt” struktúrát (lásd 1.ábra) jelentősen leegyszerűsíti, az xT állapotváltozókat egymástól mintegy szétcsatolja. A belső struktúra igen egyszerűvé válik, hiszen az &xTi állapotsebesség kizárólag az u bemenő jel minden komponensétől és az egyetlen xTi állapotváltozótól függ. Ha pi negatív valós, akkor a belső struktúrát olyan egytárolós arányos tagok jellemzik, amelyek egymással nincsenek kölcsönhatásban4 (lásd 2.ábra). A T transzformációs mátrix létezésének feltétele, hogy A sajátértékei egyszeresek (egymástól különbözőek) legyenek. A T mátrixot A sajátvektoraiból lehet felépíteni, kiszámítását a MATLAB hatékonyan támogatja:

[AT,BT,CT,DT,T]=canon(A,B,C,D,'modal')

3 Az irodalom az itt tárgyalt alakot első kanonikus alaknak is nevezi. 4 Ha pi=σi+jωi és pi+1=σi–jωi konjugált komplex gyökpárt alkot, akkor a két pólushoz tartozó elsőrendű struktúrákat egy másodrendű struktúrára célszerű összevonni.

∫

∫

u BT=TB

p1

xT2 p2

p5

xT1

xT5

CT=CT–1 y

&x TAT xT T= −1

∫



8.22 Megfigyelhetőségi kanonikus alak

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

== −

1

2

3

4

5

1

10000100001000010000

hhhhh

TATAT


det(λI–AT)=λ5 + h1 λ4 + h2 λ3 + h3 λ2 + h4 λ+ h5 = 0 Ez a transzformáció az eredeti kapcsolt struktúrát egy egymással sorosan kapcsolt integrátorlánccal jellemzi (az első integrátor xT1 kimenete csak a második integrátor bemenetére kapcsolódik stb., és kizárólag az utolsó integrátor kimenete az, amelyik saját magára és az összes többi bemenetére visszacsatolódik). Az AT utolsó oszlopa a karakterisztikus polinom negatív együtthatóiból áll. A transzformációs mátrix és a megfigyelhetőségi kanonikus alak kiszámítása MATLAB-bal:

[AT,BT,CT,DT,T]= canon(A,B,C,D,'campanion')

A megfigyelhetőségi kanonikus alak belső struktúrája 3. ábra

&x TAT xT T= −1

∫

∫

∫

u y TB CT-1

-h1

-h4

-h5

xT5

xT1

xT2



8.23 Fázisváltozós kanonikus alak

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

== −

12345

1

10000010000010000010

hhhhh

TATAT


det(λI–AT)=λ5 + h1 λ4 +h2 λ3 + h3 λ2 + h4 λ+ h5 =0

A transzformáció a belső struktúrát egy integrátor lánccá alakítja, az &xT1 állapotsebesség – az u bemenő jelen kívül – kizárólag az xT2 állapotváltozótól függ, stb. Csupán az utolsó integrátor az, amelynek &xT5 bemenetére saját maga és az összes többi integrátor kimenete visszacsatolódik. Az xT állapotteret ez esetben fázistérnek is hívjuk, mivel az egyes állapotváltozók egymásnak sebességeit is jelentik. AT utolsó sorában a karakterisztikus polinom negatív együtthatói állnak.

A fázisváltozós kanonikus alak belső struktúrája 4. ábra

∫

∫

∫

u y TB CT–1

xT1

xT2

xT5

-h5

-h4

-h1

&x TAT xT T= −1



8.24 Alsó háromszög alak

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −

554535251

4434241

33231

221

1

1

0000000000

paaaapaaa

paapa

p

TATAT


det(λI–AT)= (λ–p1)(λ–p2)(λ–p3)(λ–p4)(λ–p5)=0 A belső struktúrát egy olyan integrátor lánc jellemzi, ahol az egyes integrátorok kizárólag önmagukról visszacsatoltak, bemeneteik pedig csupán az őket sorrendben megelőző integrátor kimenetétől függnek, így a belső struktúra mintegy visszacsatolás mentes (részleges szétcsatolás).

Az alsó háromszög alak belső struktúrája 5. ábra

u TB

p1

a21

p2

a51

a52

a53

a54

p5

xT1

xT2

xT3

xT4

xT5

CT–1 y

&x TAT xT T= −1

∫

∫

∫



8.25 Irányíthatósági kanonikus alak

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−−−

== −

01000001000001000001

54321

1

hhhhh

TATAT


det(λI–AT)=λ5 + h1 λ4 + h2 λ3 + h3 λ2 + h4 λ + h5 = 0 Struktúrája hasonló a fázisváltozós kanonikus alakéhoz. Ha W(s)=G(s)/H(s) átviteli függvényről át kívánunk térni az állapotteres leírásra, akkor az

[AT,BT,CT,DT]=tf2ss(G,H) utasítás az irányíthatósági kanonikus alak paramétermátrixait szolgáltatja. AT első sorában a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói állnak.

Az irányíthatósági kanonikus alak belső struktúrája 6. ábra

∫

∫

∫

u TB CT–1

xT1

xT2

-h1

-h2

-h5

xT5

y

&x TAT xT T= −1



8.26 Kanonikus transzformáció Ha az A állapotmátrix sajátértékei egyszeresek, akkor A sajátvektoraiból képezhetünk egy olyan V mátrixot, amelynek segítségével az A állapotmátrix diagonális mátrixszá transzformálható. Ezt a transzformációt első kanonikus transzformációnak is nevezzük. A folyamat belső állapotairól ez adja a legegyszerűbb áttekintést (lásd 2.ábra), ezért ezzel ismételten foglalkozunk. Képezzük a V mátrixot úgy, hogy az oszlopai az A mátrix Vi sajátvektoraiból álljanak. V=[V1,V2,V3,V4,V5] Ha T transzformációs mátrixnak V inverzét választjuk (T=V–1), akkor a TAT–1 transzformáció eredményeként kapjuk:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −

5

4

3

2

1

1

00000000000000000000

pp

pp

p

TATAT

Az AT transzformált állapotmátrix egy olyan diagonális mátrix, amelynek főátlójában az A sajátértékei állnak. Ez a transzformáció a rendszert állapotváltozóit szétcsatolja, emellett lehetővé teszi az állapotirányíthatóság és állapotmegfigyelhetőség egyszerű eldöntését is. Ha az A állapotmátrixnak többszörös sajátértékei is vannak, akkor a sajátvektoraiból képzett transzformációs mátrix szinguláris, tehát nem invertálható. Ebben az esetben a rendszer nem teljesen szétcsatolható, csak olyan transzformációs mátrixot találhatunk, amely részleges szétcsatolást eredményez, a transzformált állapotmátrix ekkor egy vagy több úgynevezett Jordan blokkot tartalmaz5. A kanonikus transzformációt támogató MATLAB függvény6:

[AT,BT,CT,DT]=canon(A,B,C,D,'modal') Egy másik lehetőség:

[V,P]=eig(A) Az eredményül kapott P mátrix egy olyan n n× -es diagonális mátrix, amelynek főátlójában az A mátrix sajátértékei állnak, tehát ha az A állapotmátrix valamennyi sajátértéke egyszeres, akkor ez egyben az AT–nek felel meg (P=AT). Ebben az esetben V mátrix sem szinguláris és a transzformáció elvégezhető a MATLAB-bal a következő módon, ahol AT újbóli meghatározására nincs is szükség. T=inv(V)

[AT,BT,CT,DT]= ss2ss(A,B,C,D,T)

vagy ezzel egyenértékűen:

AT=P; BT=T*B; CT=C*inv(T); DT=D

5 A többszörös sajátértékkel rendelkező rendszerek állapottranszformációjával jelen fejezetben nem foglalkozunk. 6 Vigyázni kell azonban arra, hogy a MATLAB formálisan akkor is elvégzi a kanonikus transzformációt, ha az A mátrix többszörös sajátértékeket tartalmaz és hibás eredményt ad hibajelzés nélkül.



Ha az állapotmátrix a fázisváltozós kanonikus alakban áll rendelkezésre – és ez gyakran előfordul, például akkor, ha a W(s) átviteli függvénnyel jellemzett tagot állapotegyenletével kívánjuk jellemezni – akkor ennek diagonizálása a Vandermonde mátrix (VE) alapján is történhet. A Vandermonde mátrix:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−− 112

11

21

........

..1..11

nn

nn

n

E

ppp

pppV

ahol pi az A mátrix sajátértékei, és T=VE

–1.

8.3 Irányíthatóság és megfigyelhetőség A szabályozástechnikában fontos kérdés, hogy egy folyamat állapotváltozóira és kimenőjeleire tudunk-e a bemeneteken keresztül hatni, illetve a bemenő– és kimenőjelek ismeretében meg tudjuk–e határozni az állapotváltozók értékeit.

8.31 Állapotirányíthatóság

Az

)()()()()()(

tDutCxtytButAxtx

+=+=&

állapotegyenletekkel megadott lineáris rendszert állapot-irányíthatónak nevezzük, ha van egy olyan szakaszonként folytonos u(t) bemenőjel (gerjesztés), amelynek segítségével az x(t0) állapot egy tetszőleges x(tv) állapotba tv–t0>0 véges idő alatt átvihető. Ha az A állapotmátrix n×n-es méretű, akkor az n–ed rendű rendszer teljes állapotirányíthatóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy a

Co=[B AB ....... An-1B] irányíthatósági tesztmátrix rangja n legyen. Co mátrix és rangjának kiszámítása MATLAB támogatással:

Co=ctrb(A,B);rank(Co); Az [A,B] párt irányíthatónak nevezzük, ha rang Co=n. Az állapotirányíthatóság eldöntésének másik módja a kanonikus transzformációval kapott BT=TB mátrix vizsgálata lehet. Mivel ilyenkor a rendszer állapotai egymástól szétcsatoltak, a bemenőjelek közvetlenül irányítják az állapotokat, azaz legalább egy bemenőjelnek kell mindegyik állapotot irányítania. Tehát a rendszer csak akkor állapotirányítható, ha a BT mátrixnak nincs egyetlen csupa zérusból álló sora sem (lásd 8.ábra). Ha ugyanis lenne ilyen sor, az azt jelentené, hogy van olyan xTi állapotváltozó, amelyre u nem hat, amiből következik, hogy ez u–val xTi(tv)–be át sem vihető, így a tetszőleges xT(tv) nem kijelölhető.

x3

x2

x1

tv

x(tv)

t0

x(t0)

7. ábra



Az állapotirányíthatóság eldöntése a TB mátrixból 8. ábra

8.32 Kimeneti irányíthatóság Az állapotirányíthatóság megléte egy rendszer kimeneti irányíthatóságának se nem szükséges, se nem elégséges feltétele.

Egy folyamat kimenetileg akkor irányítható, ha létezik egy szakaszosan folytonos u bemenőjel, amely a t=t0 időpontbeli y(t0) kimenetet tv–t0>0 véges idő alatt valamely tetszőlegesen előírt y(tv) értékre képes beállítani. Ha a rendszer k számú kimenettel rendelkezik (az y vektor k×1 méretű), akkor a kimeneti irányíthatóság feltétele, hogy a

Coy=[CB CAB ....... CAn-1B] irányíthatósági tesztmátrix rangja k legyen.

8.33 Állapotmegfigyelhetőség Gyakran szükségünk lehet arra, hogy a bemeneti és kimeneti jelek mérésével információt nyerjünk a folyamat állapotváltozóiról. Ha valamelyik állapotváltozó nem szerepel egyik kimenőjelben sem, így róla információt sem szerezhetünk, akkor a rendszert nem megfigyelhetőnek nevezzük. Egy folyamatban az x(t0) állapotot akkor mondjuk megfigyelhetőnek, ha egy (t0<t<tv) véges intervallumban az u(t), y(t) és az A,B,C,D paramétermátrixok ismerete elegendő az n darab xi(t0) állapotváltozó meghatározásához (10. ábra).

y3

y2

y1

tv

y(tv)

t0

y(t0)

9. ábra

j

i

u

u

u

.

.00000

1

∫

u1

uj

ui

u2

&xTi

pi

xTi

&

!

x p x u u uTi i Ti j= + + + +0 0 01 2

0

K1 2444 3444

TB u



Az állapotmegfigyelés elve 10. ábra A megfigyelhetőség szükséges és elégséges feltétele, hogy az

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−1.n

b

CA

CAC

O

megfigyelhetőségi tesztmátrix rangja n legyen. Ennek meghatározása MATLAB támogatással:

Ob=obsv(A,C);rank(Ob) Az [A,C] párt megfigyelhetőnek mondjuk, ha rang Ob=n. A rendszer megfigyelhetőségét is eldönthetjük a kanonikus transzformáció segítségével. Az x(t0) állapotmegfigyelhetőségének feltétele, hogy a CT mátrixnak ne legyen egyetlen csupa zérusból álló oszlopa sem. Ha ugyanis van ilyen, az azt jelenti, hogy van a folyamatnak olyan xTi állapotváltozója, amelyik egyik kimenőjelben sincs jelen, s így ennek megfigyelése sem lehetséges (11.ábra).

Az állapotmegfigyelhetőség eldöntése CT-1 mátrixból 11. ábra

xT1

xTi

xT2 00000

1x

x

x

T

Ti

Tn

y1

y2

yi

yk xTn

CT-1

y xy x

y x

Ti

Ti

k Ti

1

2

00

0

= + ⋅ += + ⋅ +

= + ⋅ +

K L

K L

M

K L

t0

t0 tv

y u

x

y(t)

u(t)

x(t0)

t

t

x(t)

A, B, C, D x(t)

Állapot-megfigyelő

u(t) y(t)

$( )x t



Megjegyzés

1. Egy folyamat állapotirányíthatóságának nem feltétele a folyamat stabilitása, tehát labilis folyamat is lehet irányítható, legalábbis abban az értelemben, hogy az u(t) bemenőjellel x(t0) egy tetszőleges x(tv)–be véges idő alatt átvihető, ha egyébként az [A,B] pár irányítható.

2. A rang Co=n és rang Ob=k feltételek teljesülése csak azt jelenti, hogy létezik olyan szakaszonként folytonos u(t) gerjesztő jel, amely az x(t0) állapotot képes tv–t0>0 idő alatt x(tv) állapotba átvinni, illetve a t0<t<tv idő alatt u(t) és y(t) méréséből x(t0) meghatározható. Hogy ezt az u(t) időfüggvényt, és az x(t0) értékeket hogyan kell meghatározni, erre a választ az optimális szabályozáselmélet és az identifikációs témakörök feldolgozása adja meg.

Az állapotirányíthatóság és megfigyelhetőség alapján egy általános lineáris rendszer Kálmán felbontása szerint négyféle alrendszerre eshet szét. Ez azt jelenti, hogy az állapotváltozók egyik része irányítható és megfigyelhető (ezekre u hat és a kimenőjelben is megjelennek IM), a másik része irányítható, de nem megfigyelhető (ezekre u hat, de a kimenőjelben nem jelennek meg IN), egy harmadik része kizárólag x(0) hatására változik (NM), de a kimenő jelben jelen vannak (tehát nem irányíthatók, de megfigyelhetők), és végül a negyedik csoportot azok alkotják, amelyekre sem u nem hat, sem pedig y–ban nem jelennek meg , vagyis nem irányíthatók, és nem megfigyelhetők.(NN).

Dinamikus rendszer alrendszerei 12. ábra

IM xim

IN xin

NM xnm

NN xnn

u y

x(0)

IM: xim irányítható és megfigyelhetőállapotváltozók

IN: xin irányítható, de nem megfigyelhetőállapotváltozók

NM: xnm nem irányítható, de megfigyelhetőállapotváltozók

NN: xnn nem irányítható, és nem megfigyelhető állapotváltozók



8.4 Az állapotegyenlet felírása az átviteli függvényből Egy tetszőleges, n–ed rendű, lineáris SISO tag y kimenő és u bemenő jelei közötti kapcsolatot leíró differenciálegyenlet általános alakja (ai, bi tetszőleges valós együtthatók, de a0≠0):

a y a y a y b u b u b un nn

n nn0 1

10 1

1( ) ( ) ( ) ( )+ + + = + + +− −K K Ha ebben az y(n) tényező együtthatójára normalizálunk7, a differenciálegyenletet az alábbi alakban is írhatjuk (hi=ai/a0, gi=bi/a0, i=0,1,2,…n):

ugugugyhyhy nnn

nnn +++=+++ −− KK )1(

1)(

0)1(

1)(

A tag átviteli függvénye a differenciálegyenlet alapján:

)()()(

)()(

11

110

sHsG

hshsgsgsgsW

susy

nnn

nnn

=+++++

== −

−

K

K

A tag dinamikus tulajdonságait alapvetően a

0)( 11 =+++= −

nnn hshssH K

karakterisztikus egyenlet gyökeloszlása (a W(s) átviteli függvény pólusai) határozza meg. Az átviteli függvényhez igen sokféle állapotegyenlet rendelhető, attól függően, hogy miként választjuk meg az állapotváltozókat. Az állapotegyenlet felírásának három alapvető változatát tárgyaljuk. Ezek: a közvetlen felbontás, az iteratív felbontás és a párhuzamos felbontás. A tárgyalást n=3 rendszámra mutatjuk be (harmadrendű differenciál egyenlet!), de a módszerek n tetszőleges értékére is általánosíthatók. 8.41 Közvetlen felbontás A közvetlen felbontás akkor alkalmazható, ha az átviteli függvény algebrai tört formájában (polinomok hányadosaként) adott. Ekkor:

)()(

)()()(

322

13

322

13

0

sHsG

hshshsgsgsgsg

susysW =

++++++

==

A z(s) segédváltozó bevezetésével jellemezzük a tagot az alábbi soros kapcsolású struktúrával is:

Az átviteli függvény közvetlen felbontása 13. ábra

7 Ez a vezető együtthatóra történő normalizálás. Végrehajtása során az a0 együtthatóval az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk, így a differenciálegyenlet y(n) tényezőjének az együtthatója az egység.

)(1

sHu(s) z(s) y(s)G(s)



Az ábra alapján:

)()()()(

1)()()()(

)()(

1)(

susWsusH

sGszsGsy

susH

sz

===

=

)()()(

)()()()(

322

13

0

322

13

szgsgsgsgsy

szhshshsuszs

+++=

++−=

Figyelembe véve, hogy s a differenciálás (1/s az integrálás) operátorát is jelenti, az egyenletek alapján az alábbi lineáris alaptagokat tartalmazó hatásvázlat alakítható ki:

A közvetlen felbontás irányíthatósági kanonikus alakja 14. ábra Ennek a struktúrának fontos tulajdonsága (amely majd az állapotvisszacsatolás tervezésében kerül felhasználásra), hogy a visszacsatolásban a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói (de csak a –h1, –h2 és –h3, mert H(s)=s3+h1s2+h2s+h3!) állnak. Ha állapotváltozónak az adott x1, x2, x3 jelölésekkel az integrátorok kimeneteit tekintjük, a SISO tag jelátviteli tulajdonságai (egyenértékűen a tag n–ed rendű differenciálegyenletével) a n számú elsőrendű differenciálegyenletet tartalmazó

)( 3322110332211

23

12

3322111

uxhxhxhgxgxgxgyxxxx

uxhxhxhx

+−−−+++===

+−−−=

&

&

&

állapotegyenletével is leírható. Ebből a paramétermátrixok:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

010001

321 hhhA B =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

100

[ ]303202101 hgghgghggC −−−= D=g0

∫ ∫ ∫u

-h1

-h2 -h3

g0 g1

g2

g3 y x3=zx2 x1

1



Láthatóan az átviteli függvény közvetlen felbontása az irányíthatósági kanonikus alakot szolgáltatja. MATLAB támogatás igénybevételével:

[A,B,C,D]=tf2ss([g0 g1 g2 g3],[1 h1 h2 h3])

Megjegyzés Ha a 14. ábrán az állapotváltozók sorszámozását megfordítjuk, akkor az állapotegyenletet a fázisváltozós alakjában kaphatjuk.

8.42 Iteratív felbontás Az átviteli függvény számlálóját és nevezőjét gyöktényezős alakban felírva:

))()(())()(()(321

3210 pspsps

zszszsgsW−−−−−−

=

ahol z1, z2, z3 W(s) zérusai, p1, p2, p3 pedig W(s) pólusai. Ha zérus–pólus megegyezés nincs és zi és pi valós számok, a felbontás (s–zi)/(s–pi) elsőrendű tényezők soros kapcsolásához vezet. Így egy lehetséges hatásvázlat struktúra:

Az átviteli függvény iteratív felbontása 15. ábra Az állapotegyenlet a hatásvázlat alapján:

ugxzpxzpxzpyugxpxzpxzpugxpxpxzxpxzx

ugxpxzpxpugxpxzxugxpx

0333222111

033222111033111122223

02211122011112

0111

)()()()()(

)(

+−+−+−=++−+−=+++−+−=

++−=+++−=+=

&

&

&

Illetve:

Ap

p z pp z p z p

= −− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1

1 1 2

1 1 2 2 3

0 00

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0

0

0

ggg

B

[ ]C p z p z p z= − − −1 1 2 2 3 3 D=g0 Az iteratív felbontás az állapotmátrixot alsó háromszög alakban szolgáltatja, főátlóban a karakterisztikus egyenlet gyökeivel. MATLAB támogatás igénybevételével:

[z,p,k]=tf2zp([g0 g1 g2 g3],[1 h1 h2 h3]) Megjegyzés Az (s–zi)/(s–pi) elsőfokú tényezőt fel lehet bontani az alábbi alakban is:

∫

p3

-z3 y x3∫

p2

-z2x2∫u

p1

-z1 x1 g0



s z p p

s pp zs p

i i i

i

i i

i

− − +−

= +−−

1

Az ennek megfelelő hatásvázlat elem:

Az iteratív felbontás egy más alakja 16. ábra Az ábrából leolvashatóan, pi=zi esetén az xi vagy nem irányítható (lásd 16/b ábra) vagy nem megfigyelhető (lásd 16/c ábra), mivel az xi hatásvonalában pi–zi=0 miatt „szakadás” van. 8.43 Párhuzamos felbontás Ha W(s) nevezője gyöktényezős alakban adott, vagyis

))()(()( 321322

13 pspspshshshssH −−−=+++=

és p1≠p2≠p3, valamint G(s) legalább eggyel alacsonyabb fokszámú, mint H(s), akkor a W(s) átviteli függvény részlettörtes alakja:

3

3

2

2

1

1

322

13

322

1)(ps

rps

rps

rhshshs

gsgsgsW−

+−

+−

=+++

++=

Ez az elsőfokú tényezők párhuzamos kapcsolását jelenti, vagyis

Az átviteli függvény párhuzamos felbontása 17. ábra MATLAB támogatás:

[r,p,k]=residue(G,H) Ennek alapján:

p zs p

i i

i

−−

∫

∫pi

pi

pi-zi

pi-zi xi

xi

a) b) vagy:

c)

rs p

1

1−

rs p

2

2−

rs p

3

3−

u y



A párhuzamos felbontás leírása alaptagokkal 18. ábra

332211

333

222

111

xrxrxryuxpxuxpx

uxpx

++=+=+=+=

&

&

&

Vagyis:

Ap

pp

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1

2

3

0 00 00 0

B =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

111

[ ]C r r r= 1 2 3 D=0 A párhuzamos felbontás az állapotegyenlet kanonikus alakját állítja elő, A diagonális, a főátlóban az egymástól különböző pi sajátértékekkel. Megjegyzés

• Az r1, r2 és r3 tényezők a visszacsatolt integrátorok elé is helyezhetők, ez esetben A és D változatlan marad, de

Brrr

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1

2

3

[ ]C = 1 1 1

vektorokra módosul. • Az ri együtthatók értéke

i

i

ps

psipspsps

dsd

zszsg

sHdsd

sGr

=

→ −−−

−−==

))()((

))((

)(

)(lim321

211

Láthatóan pi=zi pólus–zérus egyezés esetén a pi pólushoz tartozó állapotváltozó vagy nem megfigyelhető, vagy nem irányítható, mivel ekkor ri≡0.

∫

∫

∫

u x1

x2

x3

p1

p2

p3

y

r1

r2

r3



8.44 Kapcsolat a SISO tag irányíthatósága, megfigyelhetősége, és az átviteli függvénye között.

Ha a lineáris tag átviteli függvényében pólus-zérus egyezés nincs, akkor a tag állapot irányítható és megfigyelhető. Ha egyezés van, a tag vagy nem állapot-irányítható vagy nem megfigyelhető az állapotváltozók megválasztásától függően, aminek oka, hogy az egymással megegyező zérus–pólus az átviteli függvényből „kiegyszerűsíti” egymást. Az esetek többségében az egyezés jelenléte szándékos, a kompenzációs szabályozások alkalmazásakor a folyamat eredeti pólusait kiejtjük és a szabályozási cél érdekében ezeket új pólusokkal helyettesítjük8. Az ilyen módon kompenzált szabályozási körök állapotváltozói tehát vagy nem állapotmegfigyelhetők, vagy nem állapotirányíthatók. Látszólag ellentmondásosnak tűnhet, hogy egy hagyományos módon kompenzált folyamat két legnagyobb időállandóját a PID szabályozó Ti és Td adataival „mintegy kiejtjük” és a póluskiejtés miatt azt mondjuk, hogy a rendszer nem irányítható, pedig a szabályozás a követelményeknek megfelelően üzemel, kielégítve a tervezés előírásait. A nem irányíthatóság ez esetben nem azt jelenti, hogy az y(t) szabályozott jellemző nem a tervezés előírásainak megfelelően változik, hanem csupán azt a tényt fejezi ki, hogy a rendszernek van olyan belső állapotváltozója, amelyet vagy befolyásolni, vagy megfigyelni nem lehet, de ez a rendszer alapvető működésmódjában egyébként érdektelen. 1. Példa Egy másodrendű, lineáris dinamikus rendszer állapotegyenlete:

22

11

32212

1211

2.02.04.02.0

xyxy

uuxxxuxxx

==

++−=++−=

&

&

a) Határozzuk meg az állapotegyenlet kanonikus alakját létrehozó T transzformációs mátrixot, adjuk meg a rendszer új állapotváltozóit és a kanonikus transzformációval létrehozott állapotegyenletet (xT=?; T=?; AT=?; BT=?; CT=?; DT=?).

b) A BT és CT mátrixok alapján döntsük el, hogy irányítható–e és megfigyelhető–e a rendszer! c) A Co irányíthatósági–, és az Ob megfigyelhetőségi mátrixok alapján döntsük el, hogy irányítható–e illetve

megfigyelhető–e a rendszer! d) Kimeneti irányítható–e a rendszer? Megoldás A rendszer paraméter mátrixai:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

4.02.011

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2.02.00001

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

C ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000000

D

Az A állapotmátrix sajátértékei: p1=–1.2385; p2=–0.1615. Az állapotegyenlethez rendelhető alaptagokat tartalmazó hatásvázlat: 8 A szabályozó zérusaival a folyamat pólusainak szándékoltan megvalósítani kívánt „kiejtése” egy elvi megközelítést jelent, mivel a paraméterek munkapont függő volta miatt ez egzakt módon nem lehetséges.



A transzformálatlan rendszer hatásvázlata 19. ábra

A hatásvázlatból leolvasható, hogy az u irányítójelekkel minden állapotváltozó elérhető, így a folyamat állapotirányítható. Az y1=x1 és y2=x2 összefüggésekből az is látszik, hogy a kimeneti irányíthatóság és az állapotváltozóknak a megfigyelhetőségi feltételei is fennállnak. Mindezekből következően létezik az a kanonikus xT=Tx transzformáció, mely az x állapotváltozókat szétcsatolja és az AT=TAT-1 mátrixot diagonális alakban létrehozza. A soron következő számítások mindezen tulajdonságokat számszerűsítve illusztrálják. %Adatbevitel a=[-1,1;.2,-.4]; b=[1,0,0;0,.2,.2]; c=[1,0;0,1]; d=[0,0,0;0,0,0];

Az a) feladat megoldása: [aT,bT,cT,dT,T]=canon(a,b,c,d,'modal'); disp(T) -0.8004 0.9545 -0.2890 -1.2117 printsys(aT,bT,cT,dT) a= -1.23852 0 0 -0.16148 b= -0.80038 0.19090 0.19090 -0.28901 -0.24234 -0.24234 c= -0.97271 -0.76626 0.23201 -0.64253 d= 0 0 0 0 0 0 A kapott eredményekből a T transzformációval előállított állapotegyenlet:

212

211

32122

32111

6425.02320.07663.09727.0

2423.02423.02890.01615.01909.01909.08004.02385.1

TT

TT

TT

TT

xxyxxy

uuuxxuuuxx

−=−−=

−−−−=++−−=

&

&

Az ennek megfelelő hatásvázlat:

∫

∫

-1

1

0.2

-0.4

x1 1

1

B C A

0.2

0.2

1 u1

u2

u3

y1

y2

&x1

&x2 x2



A transzformált rendszer hatásvázlata

20. ábra Ebből a hatásvázlatból szemléletesen látszik, hogy az integrátorok szétcsatolásával a belső struktúra jelentősen egyszerűsödött, és közvetlenül is kiolvasható, hogy xT1 és xT2 irányítható és megfigyelhető, illetve a folyamat kimenetileg irányítható. Figyeljük meg, hogy az integráló tagok visszacsatolásában lévő átviteli tényezők a rendszer átviteli mátrixának a sajátértékei. A b) feladat megoldása: disp(bT) -0.8004 0.1909 0.1909 -0.2890 -0.2423 -0.2423 disp(cT) -0.9727 -0.7663 0.2320 -0.6425 Miután BT–nek nincs csupa 0 elemet tartalmazó sora, és CT–nek nincs csupa 0 elemet tartalmazó oszlopa, ezért xT irányítható és megfigyelhető. A c) feladat megoldása: co=ctrb(a,b); % A nem iranyithato allapotok szama: unco=length(a)-rank(co) unco = 0 % Tehat a rendszer allapotiranyithato. ob=obsv(a,c) % A nem megfigyelheto allapotok szama: unob=length(a)-rank(ob) unob = 0 % Tehat a rendszer megfigyelheto.

A d) feladat megoldása: coy=[c*b,c*a*b] r=rank(coy) r = 2 Coy rangja megegyezik a kimenetek számával, ezért a folyamat kimenetileg irányítható

∫

∫

-0.8004

0.1909

-0.2423

-0.2423

-0.2890

0.1909

-1.2385

-0.1615

-0.9727

-0.6425

0.2320

-0.7663

u1

u3

u2

xT1

xT2

&xT1

&xT 2

y1

y2

BT AT CT



2. Példa Adott az alábbi soros kompenzációs szabályozási rendszer:

a) Adjuk meg a nyitott kör W0(jω) frekvenciafüggvényének ϕt(ωc) fázistöbbletét, az ωc vágási körfrekvenciát és a

zárt rendszer ua(t)=1(t) hatására létrejövő u(t) és y(t) időfüggvényeit. b) Az irányíthatósági és megfigyelhetőségi kritériumok alapján döntsük el mind a nyitott, mind pedig a zárt kör

megfigyelhetőségét, valamint állapot- és kimeneti irányíthatóságát. Megoldás A hatásvázlat alapján leolvasható, hogy a szabályozó és a szakasz önmagában irányítható és megfigyelhető, mivel átviteli függvényeikben pólus∼zérus egyezés nincs. Nem így a nyitott kör, miután a szakasz két pólusát (p1=–1/10 és p2=–1/3) a szabályozó két zérusa (z1=–1/10 és z2=–1/3) „kiejti”. Ebből adódóan a nyitott és a zárt kör állapotváltozóinak egy része vagy nem irányítható vagy nem megfigyelhető. Legyen:

)()(

1010565150

)1(10)31)(101(5)( 2

2

sHsG

ssss

sssssW

c

cc =

+++

=+++

=

)()(

12.136.3261

)2.01)(31)(101(1)( 23 sH

sGssssss

sWp

pp =

+++=

+++=

)()(

)()()()(

)(0

00 sH

sGsHsHsGsG

WWsWpc

pcpc ===

)()(

)()()(

)(1)()(

00

0

0

0

sHsG

sGsHsG

sWsWsW

ya

yaya =

+=

+=

)()(

)()()(

)()(

)(1)()(

000 sHsG

sGsHsH

sHsG

sWsWsW

ua

uao

c

ccua =

+=

+=

A megoldást támogató MATLAB program: % Szabályozási kör irányithatóságának és % megfigyelhetőségének vizsgálata(2. példa) % % Adatbevitel Gc=5*conv([10 1],[3 1]);Hc=conv([10 0],[1 1]); Gp=1;Hp=conv([10 1],conv([3 1],[.2 1])); pause; %===================================================================== % Az a.) feladat megoldasa [Go,Ho]=series(Gc,Hc,Gp,Hp); [ao,fio,w]=bode(Go,Ho);[at,ft,wt,wc]=margin(ao,fio,w); disp([ft wc]);pause; [Gya,Hya]=cloop(Go,Ho);step(Gya,Hya);title('y(t)');grid;pause; [Gua,Hua]=feedback(Gc,Hc,Gp,Hp);step(Gua,Hua);title('u(t)');grid; pause; %===================================================================== % A b.) feladat megoldása % A nyitott kör: [ao,bo,co do]=tf2ss(Go,Ho); coo=ctrb(ao,bo);uncoo=length(ao)-rank(coo); % A nem iranyitható állapotvaltozók száma: disp(uncoo);pause; obo=obsv(ao,co);unobo=length(ao)-rank(obo); % A nem megfigyelhető állapotvaltozók száma: disp(unobo);pause; coyo=[co*bo co*ao*bo co*ao^2*bo co*ao^3*bo co*ao^4*bo]; disp(rank(coyo));pause; % coyo rangja megegyezik a kimenetek számával,a nyitott kör iranyitható % A zárt kör: [a,b,c,d]=cloop(ao,bo,co,do); co=ctrb(a,b);disp((length(a)-rank(co)));pause;

51 10 1 3

10 1( )( )

( )+ +

+s s

s s1

1 10 1 3 1 0 2( )( )( . )+ + +s s s - ua u y



ob=obsv(a,c);disp((length(a)-rank(ob)));pause; coy=[c*b c*a*b c*a^2*b c*a^3*b c*a^4*b]; disp(rank(coy));pause; % Az iranyithatóság, a megfigyelhetőség és a kimeneti irányithatóság % szempontjábol a nyitott és a zárt kör azonos tulajdonsagú. %===================================================================== A program futásának eredményeiből kaphatjuk: a.) ϕt(ωc)=60.3307 ωc=0.4526 b.) A nyitott és a zárt kör irányítható, de nem megfigyelhető, kimenetileg irányítható.

folyamatszabÁlyozÁs - egészségügyi...

Documents