Filozofija, logika i matematika kod Starih

Grka

Predavanja iz Matematičke logike Departman za Matematiku i informatiku, PMF Novi Sad

oktobar 2012.

Tales iz Mileta, 624-545 pne otac filozofije, matematike i nauke trgovac iz Mileta jedan od Sedam mudraca drevne Grčke smatra se da je prvi “mislilac” u istoriji čuvena izreka:”Spoznaj sebe!” matematika i filozofija su još isprepletane prvi iznosi opšte stavove vezane za matematiku

Milet

na obali Egejskog mora, u Joniji (Mala Azija) napredan i slobodan trgovački grad klasna borba izmedju bogatih i siromašnih imao jake kulturne veze sa Vavilonom i Lidijom u Vavilonu su astronomi znali da se pomračenja Sunca dešavaju svakih 19 godina, ali nisu znali zašto

Tales filozof prvi mislilac u istoriji Šta je misliti? Kakve veze postoje izmedju onoga što mislim i onoga što jeste? Od čega je sastavljena priroda? Sve je postalo od vode Zemlja stoji na vodi Magnet ima dušu Sve stvari su pune bogova

Kako je postao slavan predvideo pomračenje Sunca 585. pne i postao slavan faraona Amasisa zapanjio svojom tvrdnjom da može da izmeri visinu piramide u Memfisu samo pomoću senke znao da odredi odstojanje ladje na moru pomoću posmatranja sa dve tačke na kopnu

Geometrija nije se mnogo bavio brojevima, nego geometrijskim figurama putovao u Egipat i odande doneo Grcima nauku o geometriji prvi je razmatro ugao kao celovito matem. biće, uzeo ga kao četvrtu veličinu u geometriji (pored dužine, širine i zapremine) prve istine koje se odnose na SVE krugove, SVE trouglove, a ne na konkretne objekte

Pet otkrića u geometriji Prečnik polovi krug Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki Unakrsni uglovi su jednaki Ugao upisan u polukrug je prav Trougao je odredjen jednom stranicom i naleglim uglovima

Zaključak putem mišljenja izučavao “idealni matematički objekat”, izveo zaključke o koje se odnose na beskonačno mnogo stvari (krug kao takav, predstavnik svih krugova na svetu...) smatramo da je prvi matematičar, prvi filozof, prvi naučnik na svetu više čovek od nauke, nego filozof

Pitagora, 566-497. pne neki smatraju da je intelektualno jedan od najznačajnijih ljudi koji su ikada živeli sa njim počinje matematika kao deduktivna nauka od njega potiče uticaj matematike na filozofiju

Ko je bio Pitagora ? Jamblih: “Pitagorin život” (2. vek naše ere) ni jedno pisano delo od Pitagore ne zna se pouzdano kada je rodjen, kada je umro, sigurno je da je to 6. vek pne rodio se na Samosu (ostrvo u Egejskom moru), trgovački suparnik Mileta sin imućnog gradjanina Mnesarha, ali su neki tvrdili da je sin boga Apolona on je sebi pripisivao božanski karakter: “Postoje ljudi i bogovi i bića kao Pitagora”

“Školovanje = putovanje” sport: imao je 18 godina kada je učestvovao na Olimpijskim igrama, odneo sve nagrade u pesničenju; posle pobede, odlučio je da putuje u obližnjoj Joniji proveo nekoliko godina kod Talesa i Anaksimandra, njegovog učenika zatim boravio u Siriji, kod feničanskih mudraca, koji su ga uputili u misterije Biblosa putuje na brdo Karmel (današnji Liban) pa Egipat, tamo ostao 20 godina – u hramovima na obalama Nila stekao veliki deo svoje mudrosti

... pa putuje... dolaze Persijanci, osvajaju zemlju, on beži u Vavilon, ostaje 12 godina, uči od vavilonskih pisara i magova vraća se na Samos (koji je napustio pre 40 godina), ali na Samosu vlada Polikrat, tiranin pa Pitagora opet odlazi... putuje na obale Velike Grčke, prvo Sibaris (jug Italije), ali se posle skrasi u susednom mestu Krotonu u Krotonu osnova svoju “Školu” (udruženje svojih pristalica) Pitagora izgoreo u požaru, verovatno podmetnut

Pitagorejska škola vrsta sekte, istovremeno naučna, verska i politička u početku su uticajni u gradu, ali se kasnije gradjani okreću protiv njih, seli se u Metapont, gde je i umro nastojali su da u prirodi i društvu nadju nepromenljivo izučavali kvadrivijum: geometrija, aritmetika, astronomija, muzika Tragali za univerzalnom harmonijom

Sve je broj brojevi su osnova njihove filozofije vasione nastojali su da sve odnose svedu na numeričke pripisivali svakoj stvari jedan broj, svet objašnjavali brojevima da bi u tome uspeli, istraživali su brojeve kao takve zasnovali aritmetiku, tj. nauku o brojevima aritmetika nije logistika=čist račun dakle, aritmetiku su uzdigli iznad trgovačkih potreba

“Statut” Pitagorejaca propovedali strog život delili svoja dobra (i naučna otkrića su zajednička) saznanja su prenošena usmeno (akusmatici- bez dokaza, a matematičari- sa dokazom) pamćenje! primanje novih članova: testiranje (egzoterici- van zavese, ezoterici-primljeni) tekstovi pisani u jeziku sa dvostrukim značenjem (simboli i enigme) trajali 150 godina, bilo je 218 pitagorovaca

Matematika i muzika harmonijski muzički ton odgovara odnosu dva broja (oktava 1:2, kvinta 2:3, kvarta 3:4) brojevi su kadri da predstave muzičku harmoniju, pa je svaka harmonija ozvučavanje brojčanih odnosa tonska skala je broj dakle, muzika je matematika zadatak: razumeti harmoniju svemira (kosmos protiv haosa)

Matematička otkrića Pitagorina teorema o pravouglom trouglu – pripisivali svom učitelju (žrtvovao 100 volova), a neki kažu da su to znali već u Vavilonu u vreme Hamurabija – verovatno je Pitagora prvi dao opšti dokaz) otkriće iracionalnosti: ne možemo dijagonalu kvadrata izmeriti pomoću stranice – nesamerljive duži teška kriza ! sačuvati tajnu – Hipas iz Metaponta je odao tajnu, pa je nestao u brodolomu

Uticaj Pitagore na matematiku “...čist matematičar, isto kao muzičar, slobodno stvara svoj svet skladne lepote...” matematika je pouzdana, tačna i primenljiva na realan svet do istina u matematici se dolazi čistim razmišljanjem, pa misao nadmašava čula, a intuicija opservaciju Pitagorejci: neke stvari koje su očigledne fiksiramo, pa iz njih deduciramo neočigledne stvari

Uticaj matematike na filozofiju Russell: “Smatram de je matematika glavni izvor verovanja u jednu istinu, večitu i savršenu, kao i u jedan svet koji se može shvatiti natčulnim putem” mistične teorije o vremenu i večnosti se mogu potkrepiti čistom matematikom (brojevi su večiti a ne vremenski...) spoj matematike i teologije je počeo sa Pitagorom (intelektualizirana teologija) od Pitagore potiče celokupna zamisao o večitom svetu koji se otkriva intelektu a ne čulima

Filozofija, matematika, logika

Protagora, Parmenid, Zenon, Sokrat, Platon, Aristotel

Sofisti i razvoj logike

u 5. veku pne u Atini je nastala jedna promena: od puritanske jednostavnosti ka oštroumnom i surovom cinizmu sofisti: prva grupa kritički orijentisanih filozofa u istoriji manje sputani tradicijom razmatrali i matematičke probleme, ne radi praktične koristi, nego da bi objasnili njihovu suštinu tri značajna problema antike: trisekcija ugla, duplikacija kocke (deloski problem), kvadratura kruga

Veština raspravljanja i sofisti

neki ljudi su postali slavni, jer su vešto raspravljali, a učili su i druge tome (za pare) praktična korist (sudovi), ali su se neki sofisti ozbiljno bavili i filozofijom Platon karikira i ocrnjuje sofiste reč “sofist” u početku nije imala rdjavo značenje (“profesor”) sofisti onda = pravnici danas ponekad je teško odrediti da li su im zaključci doneti po ispravnom zaključivanju (najstariji sofizam: Epimenidov paradoks lažova “Svi Krićani lažu”)

Protagora glava sofista rodjen oko 500. pne u Abderi, posle dolazi u Atinu putuje kroz grčke gradove, stalno učeći za platu, svakog ko je želeo praktičnu spremu i višu umnu kulturu “Čovek je merilo svih stvari” učenje: skeptično ali pragmatično (..nejasnost predmeta i kratkoće ljudskog života) pratiti logiku tokom rasprave, ma gde nas ona dovela (ne zanima ga vrlina...) Protagora i njegov student Euatus

Parmenid rodjen oko 515. pne, u Eleji (južna Italija) Zenonov učitelj Heraklit je smatrao da se ništa ne menja, a Parmenid mu uzvraća da se ništa ne menja Pitagora utiče na Parmenida, a ovaj na Platona kaže se da je Parmenid pronašao logiku metafizika zasovana na logici zakon isključenja trećeg njegovi argumenti logički slede jedan iz drugog!

Zenon Elejac rodio se verovatno oko 490. pne (stariji od Sokrata 20 god) Parmenidov učenik Zenon je prvi put primenio dijalektiku, tj. metodu istraživanja pomoću pitanja i odgovora Platonov dijalog “Parmenid” (polemika izmedju Parmenida (65), Zenona (40) i Sokrata (20) Zenon dokazivao da promena ne postoji Zenonovi paradoksi: Ahil i kornjača, Strela, Dihotomija, Stadion – poznati su nam zahvaljujući Aristotelu

Sokrat, 469-399. pne provodio vreme u raspravljanju i učio mladiće filozofiji (ne za novac) sudjeno mu je zbog bezbožnosti i kvarenja mladeži (”Apologija”, zapisao Platon) učenici: Ksenofont, Platon uporno tvrdio da ništa ne zna, ali ubedjen da je ispravno mišljenje najvažnije za ispravan život ne smatra da je znanje nedostižno, nego da je istraživanje znanja od najveće važnosti, i da niko ne greši svesno, nego zbog neznanja primenjivao dijalektiku (samo izmamljuje znanje) navika slobodne diskusije je jako korisna jer razvija logičku doslednost

Platon, 427-347. pne Sokratov učenik na njega uticao i Pitagora, pa je smatrao da bez matematike nema prave mudrosti u Atini osnovao “Akademiju” (Neka ne ulazi ovde niko ko ne zna geometriju) 4 nauke: aritmetika, geometrija, astronomija, harmonija “Država” pet pravilnih poliedara upravljaju svemirom: kocka (6), tetraedar (4), oktaedar (8), ikosaedar (20), dodekaedar (12)

Aristotel, 384-322. pne pojavio se na kraju stvaralačkog perioda grčke filozofske misli poslednji grčki filozof koji je vedro gledao na svet Aristotelova silogistika – formalna logika – uspeo je da sistematizuje i kodifikuje metode rasudjivanja koje ili nisu bile poznate ili nisu bile jasne njegovim prethodnicima glavna teza: Svako korektno rasudjivanje se može svesti na sistematsku primenu nevelikog broja odredjenih pravila, koja inače ne zavise od prirode objekata na koja se odnosi rasudjivanje

Biografija rodio se u Stagiri, u Trakiji otac: porodični lekar kod makedonskog kralja sa 18 godina dolazi u Atinu, postaje Platonov učenik (ostao na Akademiji skoro 20 godina, do Platonove smrti) putovao, pa 343. pne postaje vaspitač Aleksandra Makedosnkog (13 godina), 3 godine – uticaj? posle osnovao školu u Atini, pisao knjige posle smrti Aleksandra, optužen za bezbožnost, ali je pobegao

Učenje škola Licej (Atina)-privatna ustanova, novac od članova učenici su “predavanja” pratili šetajući (peripatetičari) aristotelovski projekat o univerzalnom znanju teorija zlatne sredine Aristotel je prvi filozof koji je pisao kao kakav profesor (sistematično) metafizika, etika, politika, ... MI: logika (silogistika)

Aristotelova logika opšta logika (zakone koji se odnose na bilo koje razmišljanje) formalna logika (ne ispituje ispravnost sadržaja ili vezu sa stvarnošću) koristio matematičke metode u logici: koristio slova za označavanje pojmova, stavova,... Aristotelova teorija silogizama je predak matematičke logike u 17. i 18. veku Aristotelova formalna logika smatrala se obaveznim delom svakog obrazovanja Kant (kraj 19. veka): “Sve što je bitno u logici, sve što se može reći o zakonima logike, rekao je Aristotel, pa je zbog toga formalna logika u nekom smislu mrtva nauka...”

Aristotelova logika danas silogistika je danas samo mali i prilično elementaran deo logike unernih predikata Aristotelov autoritet u logici je bio toliko neprikosnoven, da je to smetalo razvitku logike on je mislio da je svako deduktivno zaključivanje silogizam formalni nedostaci u sistemu precenjivanje dedukcije njegova logika je bila dovoljna u srednjem veku za teološke rasprave savremeni oblik Aristotelove logike rezultat je rada mnogobrojnih komentatora i sledbenika

Aleksandrijska škola

Euklid, Eratosten, Arhimed,...

Aleksandar Veliki grčki polisi oslabljeni posle Peloponeskog rata, zauzima ih Filip II, Makedonski kralj sin, Aleksandar Makedonski (Veliki), vlada 336-323 pne, carstvo na 3 kontinenta stapanje grčke i istočnjačke kulture “svadba Evrope i Azije” posle njegove smrti, carstvo na tri dela: Makedonija, Sirija, Egipat

Aleksandrija kad je Aleksandar zauzeo Egipat, 331. pne osniva grad Aleksandriju na obali Sredozemnog mora postaje intelektualna prestonica sveta (700 godina) poznata bila i po svetioniku Faros 300 000 stanovnika, kosmopolitski grad (Egipćani, Grci, Jevreji, Tračani,...) ogroman, raskošan, mermer, dve luke, trgovina, staklo, brodogradnja spojnica između Evrope i Azije Muzej i Velika Biblioteka tu su stvarali Euklid, Apolonije, Eratosten, Arhimed,...

Muzej i Velika Biblioteka Ptolemej Prvi (“Soter”) sakupiti na jednom mestu svo znanje sveta javna ustanova (plaćao kralj) tu su radili Euklid, Apolonije, Eratosten, ... Muzej: svuda vrtovi, šetalište, fontane, sale za rad, za razgovor, za počinak,.. članovi: besplatna hrana, smeštaj, plata, bez poreza,... Velika Biblioteka na raspolaganju stanovnicima Muzeja 400 000 svitaka 47 pne izgorela (Cezar) Kleopatra – obnova Biblioteke, Antonije pljačka Pergamsku biblioteku 642. arapske trupe zaposele Aleksandriju 718. Omar II preselio učenjake u Antiohiju

Euklid najuticajniji matem. Ptolemeja I

(306-283), kome je rekao da... Da li ima koristi od matem. “Elementi” – 13 knjiga aksiomatski metod: izlaganje se sastoji od strogo logičkih izvođenja teorema iz sistema definicija, postulata i aksioma “Elementi”- uz Bibliju i Božanstvenu komediju, najviše izdanja (oko 800)

“Elementi” 1.-4. knjiga: geometrija u ravni 5.- Eudoksova teorija nesamerljivih duži 6.-primena na sličnost ravnih figura 7,8,9.-teorija brojeva (deljivost, prosti, Euklidov alg...) 10.-geometrija 11,12,13.-geometrija u prostoru Peti postulat-aksioma o paralelama, pokušaji da se dokaže, ne-euklidske geometrije

Eratosten upravnik Velike Biblioteke zavidna dubina naučnog i književnog znanja, među najumnijim ljudima svoga vremena matematičar, pesnik, besednik, filozof, svestrani atleta Eratostenovo sito oslepeo

Arhimed najveći matematičar helenističke epohe i celokupnog Starog veka originalnost, numerička tehnika, strogi dokazi problemi, od kojih koristi ima celo čovečanstvo živeo za matematiku i od matematike uglavnom u Sirakuzi (Sicilija), savetnik cara Hijerona prvo ga učio otac Fidija išao u Aleksandriju, centar prirodnih nauka, tu bio Eratosten vraća se u Sirakuzu

Šta je sve Arhimed radio? rasprava o zaobljenim geom. telima integralni račun-površine i zapremine broj π (proračun, upisani i opisani poligoni) Eureka!- princip potiska, teorema o gubljenju težine tela koja su potopljena u tečnost veliki brojevi-koliko zrna peska bi napunilo vasionu (10 na 63) pronalasci: poluge, koturače, zupčanici, tehnički postupci koji se i danas koriste pri gradnji zgrada, mostova, brodova,... “Non turbare circules meos!” Da li je namerno sakrio svoj način otkrića? 1906. otkriveno 185 listova pergamenta u jednoj biblioteci u Istambulu – u 13. veku monasi izbrisali da bi napisali molitve tu su bili Arhimedovi dokazi: o sferi i valjku, o spiralama, o obimu kruga, ravnoteži ravnih figura, jedina poznata verzija rasprave o metodi...

I šta je posle bilo? posle Kleopatre, Egipat se pretvorio u Rimsku provinciju u Rimu nauke zanemarene ( samo: veština vladanja) nezainteresovanost Rima za stvari duha+neprijateljstvo hrišćana prema naukama (Hipatija, 415. god) Rimljani samo jednog matematičara: senator Boeti Justinijan 529. zatvara Akademiju u Atini, i sve “paganske” univerzitete – KRAJ ANTIKE Arapi – 624, zaposeli Aleksandriju, 718. iseljavaju sve naučnike iz Muzeja u Antiohiju Bagdad, 9. vek – Harun Al Rašid osniva Biblioteku- PREVOĐENJE na arapski! sin, Al Mamun- osniva Kuću Mudrosti u Bagdadu u Evropi: mračni srednji vek...