.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fazni prijelazi Fizika vrstog stanja

Ivo Batisti

Fiziki odsjek, PMFSveuilite u Zagrebu

predavanja 2014/2015 (zadnja inaica 27. veljae 2017.)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Pregled predavanja

Fluktuacije oko faznog prijelaza

Landauova teorija faznih prijelaza

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

Ginzburg-Landauova teorija

Spinski modeli

Isingov model u 1d

Ekvivalencija/slinost izmeu GL modela i Isingovog modela utransverzalnom polju

Aproksimacija srednjeg polja

Topoloki fazni prijelaz

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fazni prijelazi

Promjenom vanjskih uvjeta (npr. temperatura, tlak, magnetskopolje) tvari mijenjaju stanje u kojem se nalaze.

Promjena stanja podrazumijeva promjenu simetrije:Na viim temperaturama sustav ima veu simetriju i veuentropiju od one na niim temperaturama. (postoje izuzetci!)

Postoje dva razliita pristupa prouavanju faznih transformacija: Pristup blizak fizici kondenzirane tvari:Istrauje se mikroskopska priroda fazne promjene - zato dofaznog prijelaza dolazi?

Pristup blii statistikoj fizici:Istrauje se kompleksnost pojave faznog prijelaza.

Fazni prijelazi su sloeni procesi. Meutim, sloenost procesa je vrloslina u svim sustavima u kojima se dogaaju.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Stanje razbijene simetrije

Ureena faza na niskim temperaturama predstavlja jedno odmoguih stanja sustava.

Na temperaturama ispod faznog prijelaza: postoji konano ili beskonano potpuno ekvivalentnihmoguih stanja u kojima se sustav moe nalaziti.

Sustav se opredjelio da bude u samo jednom od tih stanja.

Simetrija sustava mogla bi se povratiti ako bi sustav nekimprocesom vremenski evoluirao iz jednog mogueg stanja udrugo.

Meutim, vrijeme potrebno da bi se takav proces dogodio jebeskonano veliko.

Kaemo da je to stanje razbijene simetrije.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fluktuacije oko faznogprijelaza

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Podruje temperatura oko faznog prijelazaU podruju temperatura oko faznog prijelaza pojavljuju se jakefluktuacije oko ravnotene faze.

Fluktuacije se pobuena stanja sustava. Pobuenja mogu biti mali poremeaji oko ravnotene faze.(uvijek postoje za T > 0)

Fluktuacije mogu biti i male domene novog ravnotenog stanjakoje se pojavljuje s druge strane faznog prijelaza.

Fluktuacija moe biti i pojava druge energijski ekvivalentne fazerazbijene simetrije.

Fazni prijelazi su karakteristini u tome da fluktuacije vie nisumali poremeaji.

Te domene nisu statike, nego se pojavljuju i nestaju. Prosjena veliina domena ovisi o blizini faznog prijelaza. to je sustav blii faznom prijelazu to je veliina fluktuacijskihdomena vea.

Ovakvo prostorno nehomogeno stanje ima povienu energiju zboggraninog podruja izmeu razliitih faza.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Rast fluktuacijskih domena s pribliavanjem faznomprijelazu

Prikaz pojave fluktuacijskih do-mena u blizini prijelaza. Do-mene nisu statike nego se mi-jenjaju u vremenu: nastaju inestaju, te mijenjaju oblik, di-menziju i poloaj. to je sus-tav blii faznom prijelazu veli-ina domena raste.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Smanjivanje fluktuacijskih domena s udaljavanjem odfaznog prijelaza

S druge strane faznog prije-laza imamo slinu zrcalno si-metrinu situaciju. Veliina do-mena moe se opisati karak-teristinom korelacijskom dui-nom, (T) koja divergira nafaznom prijelazu.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Podruje temperatura oko faznog prijelaza

Veliinu fluktuacijskih domena moemo opisati karakteristinomkorelacijskom duinom, (T).

Korelacijska duina je temperaturno ovisna. Na samom faznom prijelazu kada domene postaju makroskopskivelike, korelacijska duina divergira:

(T Tc) |T Tc|

Podruje temperatura oko faznog prijelaza nazivamofluktuacijsko ili kritino podruje.

Fluktuacijsko podruje ovisi o sustavu koji se promatra, moe bititemperaturno jako usko (eksperimentalno se ne moe opaziti) ilimoe biti jako iroko.

Fluktuacije u blizini faznog prijelaza mogu potisnuti fazni prijelazna nie temperature.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznihprijelaza

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznih prijelaza

Nisko-temperaturna faza slomljene simetrije karakterizirana jeveliinom koju zovemo parametar ureenja.

U feromagnetskim sustavima parametar ureenja jemagnetizacija.

U feroelektrinim sustavima to je polarizacija. U strukturnim faznim prijelazima to je deformacija reetke. U supravodiima to je valna funkcija parova elektrona.

Na temperaturama iznad faznog prijelaza parametar ureenja jejednak nuli, a na temperaturama ispod faznog prijelazaparametar ureenja je razliit od nule.

U Landauovoj teoriji parametar ureenja ne ovisi o prostoru: istije u cijelom sustava.

Fluktuacije u blizini faznog prijelaza se zanemaruju.

Postoji poopena Ginzburg-Landauova (GL) teorija, u kojoj sefluktuacije oko faznog prijelaza se uzimaju u obzir. U GL teorijiparametar ureenja je prostorno ovisna veliina.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Parametar ureenja

Parametar ureenja moe biti skalar (broj), kompleksni broj,vektor ili viedimenzionalni vektor.

Broj komponenti parametra ureenja (dimenzionalnostparametra ureenja) oznaavamo s n.Za supravodie valna funkcija je kompleksni broj pa je n = 2. Uferomagnetskim i feroelektrinim sustavima parametar ureenja jevektor, dakle n = 3.

Sam sustav koji se promatra ima svoju dimenzionalnost kojuoznaavamo s d.Za 3d sustav d = 3. U lanastim 1d sustavima d = 1, a za povrined = 2.

Fluktuacijsko podruje ovisno je o dimenzionalnosti sustava idimenzionalnosti parametra ureenja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Slobodna energija u Landauovoj teoriji

Stanje sustava pri danoj temperaturi i volumenu dano je sminimumom slobodne energije F(T,V)(ili Gibbsove energije ako su temperatura i tlak zadani).

Slobodna energija (ili Gibbsova energijom) ovise o parametruureenja.

Za temperatura oko faznog prijelaza moe se pretpostaviti da jeparametar ureenja mali.

Ako je parametar ureenja mali, slobodnu energija moemorazviti u Taylorov red po parametru ureenja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Slobodna energija u Landauovoj teoriji

Npr. u feroelektrinom kristalu slobodna energija se razvija popolarizaciji P:

F(T,V) = F0 + g1 |P|+1

2g2 |P|2 + . . .

Koeficijenti u razvoju ovise o simetriji kristala. Linearni lan je jednak nuli ako nema vanjskog polja, arazliit od nule ako elektrino polje postoji.

I svi neparni lanovi u razvoju jednaki nuli ako je kristalsimetrian na inverziju koordinata (r r).

Slobodna energija razvijena po parametru ureenja:

F(T,V) = F0 +1

2g2 P2 +

1

4g4 P4 +

1

6g6 P6 + . . .

(P = |P|)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Osnovno stanje u Landauovoj teoriji

Ravnotena vrijednost polarizacije izlazi iz minimuma slobodneenergije:

FP

= 0 P (g2 + g4 P2 + g6 P4 + . . . ) = 0 g2 + g4 P2 + g6 P4 + = 0 ili/i P = 0

U blizini faznog prijelaza vii lanovi u razvoju se moguzanemariti. (P je mali ili je jednak nuli)

Neka je lan g4 pozitivan!Da bi jednadba imala rjeenje razliito od nule za T < Tc i jednakonuli za T > Tc, kvadratni lan u razvoju treba mijenjati predznak natemperaturi prijelaza:

g2 = |a| (T Tc) ={

> 0 za T > Tc< 0 za T < Tc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Osnovno stanje u Landauovoj teoriji

Zanemarujui vie lanove u razvoju po P, dobiva se:

P =

0 za T > Tc

|g2|g4 za T < Tc

odnosno za T < Tc:

P

|a|g4

(Tc T) (Tc T)

U Landauovom modelu parametar ureenja ide u nulu na faznomprijelazu s kritinim eksponentom = 0.5.

Fluktuacije oko faznog prijelaza mogu modificirati vrijednost kritinogeksponenta !

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznih prijelaza

TC

Parametar uredjenja kao funkcija temperature Slobodna energija kao funkcija parametra uredjenjaT=T1 >Tc

T=Tc

T=T2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fazni prijelazi 2. reda

Postoji uvijek samo jedan lokalni minimum u slobodnoj energiji.(Ili je P = 0 ili je P = 0).

Parametar ureenja se kontinuirano mijenja od P = 0 na T = Tcna konane vrijednosti za T < Tc.

Ovo su karakteristike faznih prijelaza 2. reda.

Za fazne prijelaze 2. reda, slobodna energija u razvoju poparametru ureenja

ima kvadratini lan koji mijenja predznak na temperaturi faznogprijelaza: g2 = a(T Tc).

te ima pozitivni kvartini lan: g4 > 0.

Slobodna energija ima skok u drugoj derivaciji po temperaturi.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Feromagnetizam u niklu

Landauova teorija se moeprimijeniti i na feromagne-tizam, supravodljivost, od-nosno ostale vrste faznih pri-jelaza.

Na slici je prikazana mag-netizacija u niklu kao funk-cija temperature. Puna li-nija predstavlja teorijsko pre-dvianje (aproksimacija sred-njeg polja i Landauova te-orija), a kruii su izmjereneveliine. Iz rada P. Weiss iR. Forrer, Ann.Phys. (Paris)5 (1926) 153.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Procijep u elektronskom spektru u supravodiima

Supravodljivi (reducirani) procijep u elektronskom spektru kao funkcijareducirane temperature (T/TC) za In, Sn i Pb.

Posueno iz I. Giaever i K. Megerle, Phys. Rev. 122 (1961) 1101.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Polarizabilnost (linearni odgovor)

Ako se na sustav nametne vanjsko elektrino polje, slobodnu energijutreba nadopuniti dodatnim lanom - vezanjem elektrinog polja ipolarizacije:

F(T,V) = F0 EP+1

2g2 P2 +

1

4g4 P4 + . . .

U prisustvu elektrinog polja, polarizacija je razliita od nule iproporcionalna polju:

P = E

i na temperatura veim od Tc.Faktor proporcionalnosti, , je polarizabilnost sustava.

Budui da je polarizacija, P, mala u razvoju slobodne energijemoemo zadrati samo lanove najnieg reda (linearni i kvadratini):

F(T,V) F0 EP+1

2g2 P2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Polarizabilnost

Slobodna energija (za T Tc):

F(T,V) F0 EP+1

2g2 P2

Iz uvjeta da slobodna energija ima minimum izlazi da je:

P =1

g2E (T) = 1

g2 (T Tc)1 = (T Tc)

Polarizabilnost sustava divergira na temperaturi prijelaza. Eksponentdivergencije je jednak = 1. Slini izraz za polarizabilnost se dobiva iza T < Tc.

Fluktuacije oko faznog prijelaza mogu modificirati vrijednost kritinogeksponenta !

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dielektrina funkcija u paraelektrinoj fazi

Dielektrina konstanta kao funkcija (T Tc)1 u paraelektrinoj fazi, T > Tc,za nekoliko perovskitnih kristala u kojima postoji feroelektrini prijelaz.Iz rada G. Rupprecht i R.O. Bell, Phys.Rev. 135 (1964) A748.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dielektrina funkcija i fononska frekvencija

Do faznog prijelaza dolazikada frekvencija infracrvenoaktivnog fononskog pobue-nja ide u nulu.

Na slici su prikazani kvadrat 2T za SrTiO3 dobiven iz neutronskih mjerenja(posueno iz rada R.A. Cowley Phys.Rev. 134 (1964) A981) i dielektrinakonstanta iz mjerenja T. Mitsui i W.B. Westphal, Phys.Rev. 124 (1961) 1354.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Magnetska susceptibilnost nikla

Reciprona vrijednost mag-netske susceptibilnosti niklau podruju oko feromagnet-skog ureenja na T = 358oC.Crtkana linija je ekstrapolacijasusceptibilnosti iz podruja vi-sokih temperatura. Iz rada P.Weiss i R. Forrer, Ann.Phys.(Paris) 5 (1926) 153.

Temperatura pravog faznog prijelaza je neto manja od one koje predviateorija srednjeg polja odnosno Landauova teorija. To se moe pripisatifluktuacijama magnetizacije u podruju oko faznog prijelaza.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet

Entropija:

S = (FT

)V= S0P2

(g2T

)=

S0 za T > TcS0 a2g4 (T Tc) za T < TcToplinski kapacitet:

Cp = T(ST

)p=

Cp0 za T > TcCp0 + a2g4 T za T < TcNa temperaturi faznog prijelaza Cp ima skok u vrijednosti:

Cp(Tc + 0) Cp(Tc 0) = a2

g4Tc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet

Tc

Toplinski kapacitet kao funkcija temperature

Na temperaturno ponaanje toplin-skog kapaciteta superponiran je diokoji dolazi zbog faznog prijelaza i kojiima skok na temperaturi prijelaza.

Fluktuacije oko faznog prijelaza modificiraju ponaanje toplinskog kapacitetapa se pojavljuje jedan dodatni divergentni lan. Ovu je divergenciju estoteko uoiti eksperimentalno.

CV |T Tc|

U Landauovoj teoriji (i teorijama srednjeg polja) kritini eksponent = 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet feromagneta

Toplinski kapacitet Pr0.6Sr0.4MnO3. Sustav prelazi u feromagnetsku fazu natemperaturama ispod 297 K.

Posueno iz rada Rler at al., Phys. Rev. B 84 (2011) 184422.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet tekueg helija

Specifina toplina tekueg helija oko -toke. Toka faznog prijelaza nazivase -toka zbog izgleda specifine topline u blizini prijelaza.

Posueno iz rada M.J. Buckingham i W.M. Fairbank, The Nature of theLambda Transition, in Progress in Low Temperature Physics III, 1961.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznogprijelaza 1. reda

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. vrste

U razvoju slobodne energije po parametru ureenja pretpostavitemo da je:

kvartini lan negativan! Da bi sustav bio stabilan potrebno je uzeti u obzir i lan 6-togreda. Uvjet stabilnosti zahtijeva da je g6 > 0.

Daljnje lanove u razvoju zanemarujemo. Dakle:

F(T,V) = F0 +1

2g2 P2 +

1

4g4 P4 +

1

6g6 P6

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

S obzirom na vei broj lanova u razvoju, slobodna energija energijamoe imati sloeno ponaanja kao funkcija parametra ureenja.

Slobodna energija kao funkcija parametra uredjenjaT=T1

T=Tc1

T=T2

T=Tc

T=Tc2

T=T3

za T > Tc1 postoji samo jedanlokalni minimum: P = 0

za Tc1 > T > Tc2 postoje dvalokalna minimuma, P = 0 i P = 0.P = 0 je globalni minimum.

P = 0 postaje globalni minimumza T < Tc.

Za T < Tc2 < Tc postoji samo jedanlokalni minimum P = 0.

Temperatura prijelaza je ona na kojoj oba lokalna minimuma imajuistu slobodnu energiju:

F(P = 0,Tc) = F(P = 0,Tc)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

Tc2 Tc Tc1

Parametar uredjenja kao funkcija temperature

Postojanje dvaju minimuma u slobodnoj energiji implicira na mogunostpostojanja dvaju prostorno razdvojenih faza.

Temperaturni tretman sustava moe dovesti do pojave histereze.Sustav se moe nai u lokalnom minimumu (metastabilno stanje) kojinije globalni minimum (pothlaeno-pregrijano stanje).

Parametar ureenja skokovito mijenja vrijednost. Ove fazne prijelaze nazivamo faznim prijelazima 1. reda. Slobodna energija ima skok u prvoj derivaciji. Postoji latentna toplina

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

Primjeri: Plin-tekuina je fazni prijelaz 1. reda.

Tekuina-krutnina je fazni prijelaz 1. reda.(postoje neparni lanovi u Landauovom razvoju!).

Misterij BCC: analizom prijelaza tekuine u razliite kristalnereetke, izlazi da prijelaz u BCC reetku je najpovoljniji (imanajniu temperaturu prijelaza).

Tekui kristali: izotropno stanje-nematsko stanje prijelaz.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauova teorija

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauova teorijaU Ginzburg-Landauovoj teoriji se uzimaju u obzir prostorne varijacijeparametra ureenja. Uvodimo Ginzburg-Landauov funkcional:

f[P(r)] =1

V

dr

{g22P2(r) +

g44P4(r) + + gr

2|rP|2

}Particijska funkcija:

Z =

razliita stanja

ef[P(r)] =

DP ef[P(r)] = eF

DP oznaava integraciju po putovima (path integral), multidimenzionalnuintegraciju po polarizacijama u razliitim prostornim tokama:

DP

dP(r1) dP(r2)dP(r3) . . . dP(rN1) dP(rN)

pri emu je volumni integral u eksponentu diskretiziran:dr f(r)

r=r1 ,r2,...,rN

V f(ri)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Teorija harmonikih fluktuacija

Najvei doprinos integralu po putovima dolazi od onog stanja kojeminimizira funkcional slobodne energije:

fP(r)

= 0 g2 P0 + g4 P30 + . . . Landauova teorija

2P0 = 0

U GL-teoriji uzimaju se u obzir i fluktuacije oko minimuma funkcionalaslobodne energije.Harmonika (Gaussova) aproksimacija:

Promatraju se male fluktuacije oko minimuma: P(r) P0 + P(r) Funkcional slobodne energije se razvije do lanova drugog redau fluktuacijama P(r).

Dobiveni funkcional je kvadratian i jednostavno ga je izraunati.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Renormalizacijska grupa

Aproksimacija harmonikih fluktuacija ne daje dobre rezultate usustavima male dimenzionalnosti (d < 4). Bolji rezultati se dobivaju izteorije renormalizacijske grupe.

Renormalizacijska grupa: Sluei se izrazom za particijsku funkciju izintegriraju se

fluktuacije male valne duine. Kao rezultat se dobiva novi GL funkcional koji ima strukturu kaopoetni ali s renormaliziranim (promijenjenim) koeficijentima:

g2 = g2(g2,g3,gr, . . . )g4 = g4(g2,g3,gr, . . . )gr = gr (g2,g3,gr, . . . )

koji su funkcije starih koeficijenata.Istraujui svojstva dobivene transformacije dobivaju se rezultati boljiod onih u harmonikoj aproksimaciji.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Nobelova nagrada 1982

Kenneth G. Wilson - Nobelova nagrada1982 za teoriju renormalizacijske grupei kritinih pojava.

Renormalizacijska grupa slui i za is-traivanje jako koreliranih sustava u ko-jima raun smetnje nije dobar.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Spinski modeli

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Spinski modeli

Magnetsko ureenje prirodno je opisivati pomou reetke spinova.Smjer magnetizacije na nekom voritu zadan je sa spinskimoperatorom u toj toci prostora.

Radi se o kvantnomehanikom problemu u kojem postoje samospinski stupnjevi slobode.

Spinsko/magnetsko ureenje nastaje kao rezultatmeudjelovanja susjednih spinova.

Postoji nekoliko razliitih modela maudjelovanja:

Heisenbergov (izotropni) model: V12 = J12 S1 S2 Isingov model: V12 = J12 Sz1 Sz2 XY-model: V12 = J12 (Sx1 Sx2 + Sy1 S

y2)

Hamiltonijam moe sadravati i lan s magnetskim poljem:

Magnetsko polje: Hh = h S = hz Sz Magnetsko polje u transverzalnom polju: Hh = hx Sx

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Spinski modeli

Spinski modeli su zanimljivi jer za neke od njih postoje egzaktnarjeenja.

Heisenbergov model u d=1: valna funkcija moe se konstruiratipomou Bethe ansatza.

Isingov model u d=1 moe se rijeiti na vie razliitih naina.

Isingov model u d=2 moe se tono rijeiti (L. Onsager,Phys.Rev. 65 (1944) 117)

XY-model u d=1 moe se rijeiti pomou JordanWignerovetransformacije.

Postoje transformacije/procedure pomou kojih se moe pokazati dasu neki modeli meusobno ekvivalentni.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1d

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model

Promatra se sustav spinova (s = 12 ) na reetci. Susjedni spinovimeudjeluju:

E12 = 4Jz,1z,2 ={

+J za z,1 = z,2 = 12J za z,1 = z,2 = 12

gdje je z z-projekcija spinskog operatora.

Hamiltonijan sustava spinova:

H = 2Ji,

i i+

Particijska funkcija:

Z =

1= 12

2= 12

3= 12

. . . e H = e F

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1dParticijska funkcija moe se napisati:

Z = Tr[TN

](za periodine rubne uvjete)

gdje je

T(1, 2) = e4 J12 =(eJ e+Je+J eJ

)Pretpostavljamo da je J < 0. Osnovno stanje je kada su svi spinovi uistom smjeru.Pobuena stanja su stanja u kojima je dio spinova preokrenut. Neka je M brojveza koje razdvajaju dvije razliite spinske faze.

Energija takvog pobuenja je E(M) = -N J + 2 MJ Broj takvih pobuenih stanja je:

g(M) = N!M!(NM)!

Tada je particijska funkcija:

Z =

M=0...N

g(M)eE(M) = [2 coshJ]N

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1d

Ne postoji ureena faza u 1d Isingovom modelu na konanojtemperaturi!.

Razlog tome su pobuenja koja razbijaju dugodoseno ureenje.Proizvoljno mala koncentracija pobuenja u jednoj dimenziji dovoljnaje da se dugodoseno ureenje uniti.

Korelacijska funkcijaKorelacijska funkcija dvaju spinova udaljenih za n konstanti reetke:

ii+n = 0.25 (1)m

gdje je m broj pobuenja unutar podruja izmeu spina i i i+ n.

Korelacijsku funkciju (srednja vrijednost) moe se izraunati slueise istom logikom kojom smo izraunali particijsku funkciju. Pri tometreba imati u vidu da je najvei broj pobuenja unutar podrujaizmeu dvaju spinova jednak n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1d

Dakle:

ii+n = 0.25(1)m = 0.25

m=0...n

n!(nm)!m! p

m(1)mm=0...n

n!(nm)!m! pm

= 0.25

(1 p1 + p

)n= 0.25en/(T)

gdje je:p = e2J

Odavde izlazi da je korelacijska duina:

(T) =[ln

(1 + p1 p

)]1 0.5e2J za T 0.

divergira tek na apsolutnoj nuli.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2d Isingov model

Rezultati dobiveni tonim rjeavanjem Isingovog modela za d=2.

Na temperaturama T < Tc dolazi do spinskog ureenja, gdje je:

Tc =2

ln(1 +2)

JkB

= 2.269JkB

Kritini eksponenti:

= 0 (logaritamska divergencija!)

=1

8

=7

4 = 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2d Isingov model

Specifina toplina Rb2CoF4, slojas-tog antiferomagnetskog sustava. Po-sueno iz rada P. Nordblad at al.,Phys.Rev. B 28 (1983) 278.

Specifina toplina Isingovog modela.Isprekidana linija s tokama odgo-vara izotropnom 2d Isingovom mo-delu, puna linija je anizotropni Isingovmodel u kojem je J1 = 100J2, Crt-kana linija odgovara 1d Isingovommo-delu. Posueno iz rada L. Onsager,Phys.Rev. 65 (1944) 117.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ekvivalencija/slinost izmeu GL modela iIsingovog modela u transverzalnom polju

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d

GL funkcional slobodne energije:

F =

dx

[g22

u2 + g44

u4 + gx2

(dudx

)2]

Ako se parametar ureenja u promatra kao klasina veliina, onda e ubiti konstantan u cijelom prostoru te e tako minimizirati i Landauovpotencijal i gradijentni lan u funkcionalu F.

Ako je u kvantnomehanika varijabla (pomak atoma npr.) tada jeenergijski povoljnije stanje u kojem parametar u oscilira izmeu dvajujama.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d Energijski spektar i valne funkcije

mogu se dobiti rjeavanjemSchrdingerove jednadbe upotencijalu s dvije jame kakav jeLandauov.

Kao osnovno stanje dobiva sesimetrina kombinacija valnihfunkcija kada je parametar ulokaliziran u jednoj odnosnodrugoj jami.

Ako zanemarimo via kvantna stanja, te se zadrimo samo na prva dva,kvantnomehaniki problem gibanja estice u dvostrukoj potencijalnoj jamimoe se aproksimirati spinskim hamiltonijanom s dva stanja:

H = E2

(0 11 0

)=

E2

x

gdje je E = E1 E0 cijepanje energija izmeu pobuenog i osnovnogstanja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d

Dobiveni hamiltonijan opisuje gibanje estice (atoma) na jednomvoritu (ili jednoj jedininoj eliji).

Hamiltonijan za cijelu reetku je:

E2

i

x,i (sumira se po voritima reetke)

U ovom hamiltonijanu nedostaje gradijentni lan.Gradijentni lan podie energiju ako se estice na susjednimvoritima nalaze u razliitim potencijalnim jamama, a ima minimalnuvrijednost ako su u istim potencijalnim jamama. Takav efekt uspinskom hamiltonijanu se postie vezanjem kakvo postoji uIsingovom modelu u kojem je J < 0. Ono preferira da su svi spinovi uistom smjeru, u naem sluaju, sve estice na reetci u istoj jami.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d

Konani spinski hamiltonijan:

H =

hxE2

i

x,i + 2Ji,

z,iz,i+

Postoji preslikavanje izmeu kvantnomehanikog GL funkcionala iIsingovog modela u transverzalnom polju.

Moe se takoer pokazati da postoji preslikavanje izmeu 1dIsingovog modela u transverzalnom polju i 2d klasinog Isingovogmodela.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjegpolja

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjeg polja

Meudjelovanje spinova ima efekt kao da se spin na nekomvoritu nalazi u efektivnom polju koje stvaraju susjedni spinovi.

U aproksimaciji srednjeg polja meudjelovanje spinovazamjenjuje se efektivnim srednjim poljem koji susjedni spinovistvaraju:

ij i + j + (i )(j ) zanemaruje se

Dakle:

2Ji,

ii+ HMFA = zJheff

i

i N2zJ2

gdje je z broj prvih susjeda.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjeg poljaParticijska funkcija:

ZMFA = eN zJ2/2 [2 coshzJ]N

Slobodna energija po voritu:

f =FN

=1

2zJ2 kBT ln [2 coshzJ]

Minimum slobodne energije (ravnoteno stanje):

f

= 0 = tanhzJ

Dobivena je samosuglasna jednadba za prosjenu vrijednostspina. Jednadba ima rjeenje:

=

0 za T > zJ/kB = Tc= 0 za T < zJ/kB = Tc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjeg polja

Za temperature oko Tc, prosjena vrijednost spina, , je mala pa sefunkcija tanh moe razviti u Taylorov red. Za T Tc:

=

(TcT

) 1

3

(TcT

)33 + . . .

TTc

3

(1 T

Tc

)

Tc T

Aproksimacija srednjeg polja ekvivalentna je Landauovoj teoriji.Fluktuacije su zanemarene.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Topoloki fazni prijelaz

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

KosterlitzThoulessov prijelaz

Radi se XY-model u 2d sustavu. Ne postoji dugodoseno ureenjeza T > 0.

ali postoji prijelaz na konanojtemperaturi.

To nije prijelaz koji razbija simetriju. Topoloki fazni prijelaz.

Postoje dvije vrste virova/vrtloga koji se ponaaju kao nabijeneestice razliitog naboja.

Na temperaturama ispod faznog prijelaza dolazi do sparivanjavirova suprotnog naboja te njihove kondenzacije.

J.M. Kosterlitz & D.J. Thouless, J.Phys.C (Solid State Phys.) 6 (1973) 1181

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

KosterlitzThoulessov prijelaz

Na slici je prikazan skok u gustoi mase kao funkcija temperature prijelaza za2d He4 film na podlozi. Puna linija je predvianje KosterlitzThoulessoveteorije. Iz rada D.J. Bishop i J.D. Reppy, Phys.Rev.Lett. 40 (1978) 1727.

Na temperaturi prijelaza do-lazi skokovite promjene ugustoi mase supratekuihestica pri emu je:

s(na Tc) = 8kB(mh

)2 Tc

Faktor proporcionalnosti jeuniverzalna konstanta! Tem-peratura prijelaza je funkcijadebljine filma.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Nobelove nagrade iz fizike za 2016.

David J. Thouless F. Duncan M. Haldane J. Michael Kosterlitz

NN 2016. za teorijsko predvianje (otkrie) topolokih faza itopolokih faznih prijelaza u tvarima.

Fluktuacije oko faznog prijelazaLandauova teorija faznih prijelazaLandauova teorija faznog prijelaza 1. redaGinzburg-Landauova teorijaSpinski modeliIsingov model u 1dEkvivalencija/slinost izmeu GL modela i Isingovog modela u transverzalnom poljuAproksimacija srednjeg poljaTopoloki fazni prijelaz