Zonska teorija čvrstog tijela

Uvod

• Bloch je formirao ovu teoriju 1928. Po njoj slobodni

elektroni se kreću u periodičnom polju kristalne rešetke

Ova teorija se takođe zove Zonska teorija čvrstog tijela.

• Energetska zonska teorija č.t. je osnovni princip fizike

poluprovodnika i koristi se za objašnjenje razlika

električnih osobina metala, izolatora i poluprovodnika.

Elektron u periodičnom potencijalu – Bloch -ov teorem

• Kristalno č.t. se sastoji od rešetke koja se sastoji od velikog broja pozitivnih

jona raspoređenih u pravilnim razmacima i od provodnih elektrona koji se

slobodno kreću kroz rešetku.

• Varijacije potencijala unutar metalnog kristala sa periodičnom rešetkom

objašnjavaju se Blochovim teoremom.

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

•Potencijal ovdje varira periodično sa periodičnošću kristalne rešetke.

Potencijalna energija čestice je nula kada je blizu jezgra jona a

maksimalna kada je na pola puta do susjednog jona (joni su na

rastojanju a).

X

V

V

Jednodimenzionalni periodičnipotencijal u kristalu.

Raspored jona u kristalu

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

+ + + + ++ +

Bloch’ov Teorem

• Bloch’ov Teorem tvrdi da za česticu koja se kreće u periodičnom

potencijalnom polju kristala talasne funkcije ψ(x) imaju oblik:

• uk(x) je periodična funkcija sa periodičnpšću potencijala

– Njena egzaktna forma zavisi od potencijala koji je pridružen

atomima (jonima) od kojih se sastoji č.t.

)()(

function periodic a is )( ,)()(

axuxu

xuwhereexux

kk

kikx

k

• Jednodimenzionalna Schrödinger’ova jednačina

• Periodični potencijal V(x) može da se definira preko konstante rešetke a

kao V(x)=V(x+a)

0][8

2

2

2

2

VE

h

m

dx

d1

0)]([8

2

2

2

2

axVE

h

m

dx

d

Bloch je pokazao da jednodimnezionalno rješenje Schrödinger’ove jednačine ima oblik:

)()exp()(

3

)()exp()(

rUikrr

DIn

xUikxx

kK

kk

2

I

• Ako posmatramo linearni niz atoma dužine L u jednoj dimenziji, sa N

atoma

• Ovo se smatra Bloch’ovim uslovom. Slično tome, konjugirano

kompleksni oblik j-ne (4) je:

)4.().........exp()()(

)exp()()exp()(

)(exp{)()(

)3....().........()(

ikNaxNax

ikxxUikNaNax

NaxikNaxUNax

NaxUxU

kk

kk

kk

kk

)()()()(

)23()4(

)5).......(exp().()(

**

*

xxNaxNax

andFromEq

ikNaxNax

kkkk

kk

• Ovo znači da je elektron lokalizovan oko bilo kojeg atoma

i da je vjerovatnost da se elektron nađe uz bilo koji atom

kroz cijeli kristal jednaka.

Bloch’ov Teorem

Vjerovatnost nalaženja elektrona uz bilo koji atom u č.t. Je ista!!!

• Svaki elektron u kristalnom č.t. “pripada” svakom atomu koji čine č.t.

)()( axVxV

X=0 X=a

X=b

Potencijalnana barijera između atoma.

Ovdje se pusti daV a b 0

•Ponašanje elektrona u periodičnom potencijalu:

•(Kronig-Penny’jev Model):

U2(

x) U1(x)

x

V

•Ovaj model potencijala koji se nalazi u stvarnom kristalu ima oblik periodičnih

pravougaonih jama kao na sl.

• Potencijalna energija je 0 u regionima 0<x<a, i jednaka V0 u regionima -

b<x<0.

• Talasne funkcije za ova dva regiona dobijaju se rješavanjem slijedećih

Schrödinger-ovih jednačina:

2........00)(2

1..............002

022

2

22

2

xbforVEm

dx

d

axforEm

dx

d

• Ako definiramo realne veličine α i β kao:

• I pošto talasna funkcija mora imati Bloch-ovu formu možemo očekivati da

bude:

• Zamjenjujući (4) u (2) dobije se slijedeća jednačina za uk(x)

3......).........(;)(22

0202

22 VE

EVmand

mE

4.).........()( xUex kikx

axforukdx

duik

dx

ud 00)(2 1

22121

2

5

00)(2 22222

2

xbforkdx

duik

dx

ud

0

0)()(

2

)()(1

xbforDeCeu

axforBeAeuxikxik

xkixKi

6

Rješenja ovih jednačina se mogu napisati kao:

7

Gdje su A,B,C,D konstante .Ova rješenja moraju zadovoljavati

granične uslove:

bxaxbxax

xxxx

dx

du

dx

duuu

dx

du

dx

duuu

212

0

2

0

10201

;)()(

;)()(

1

8

• Prva dva uslova slijede iz zahtjeva za kontinuitet talasne

funkcije Ψ i kontinuitet (neprekidnost) njenog prvog izvoda

dΨ/dx u tački x=0, pa tako i u i njen izvod du/dx; preostala dva

uslova potiču zbog zahtjeva periodičnosti of uk(x).

• Kad primijenimo ove uslove na jednačinu (7) dobijemo šetiri

linearne homogene jednačine koje sadrže konstante A,B,C,D:

• A+B=C+D

bikbikakiak DeCeBeAe

ikDikCkBikAi)()()()(

),()()()(

9

Koeficijenti A,B,C,D se mogu odrediti rješavanjem ovih jednačina što vodi

do slijedeće jednačine ;

)(coscoscoshsinsinh2

22

baKabab

10

• Uzimajući da je Vo beskonačno, a b da teži nuli dobije se da Vob ostaje

konačno .

• veličina lim(Vob) predstavlja jačinu barijere

• Na ovaj način jednačina (10) postaje

kaaaSinbmV

coscos2

0

Ako definiramo veličinu P kao

20

bamV

p

11

• Onda se (11) svodi na

Kaa

ap coscos

sin 12

Ovo je uslov postojanja rješenja talasne jednačine.

Vidi se da je taj uskov ispunjen samo za one vrijednosti αa za koje

je lijeva strana te jednačine u opsegu od +1do -1;

•Posljedice ove jednačine se mogu bolje razumjeti sa slike.

π

Kronig-Penney-ev Model

a

)cos()sin(

aa

aP

1

-1

Ovo su regioni gdje je jednačina zadovoljenja tj. gdje postoje rješenja

Općenito, kad energija raste (a raste), svaka slijedeća zona postaje šira, a svaki slijedeći gap uži.

Granice za αa = n.

Ovdje nema rješenjaOvdje je, k2 < 0

0 2π 3π-π

-π

-2π

• Dio između vertikalnih osa koji leži između horizontalnih linija

predstavlja opseg koji je prihvatljiv za lijevu stranu

aa

ap

cossin

• Zaključci:

• **Dozvoljeni intervali αa koji dozvoljavaju da postoje

mehanička talasna rješenja prikazani su kao osjenčeni

intervali tako da je kretanje elektrona u periodičnom polju

kristala je okarakterisano zonama dozvoljene energije

razdvojenih zonama zabranjenih energija.

• ** Sa porastom vrijednosti α raste širina zona dozvoljene

energije, a smanjuje se širina zona zabranjene energije.

• ** Ako je jačina potencijalne barijere P velika, funkcija sa desne strane

jednačine koja prelazi vrijednosti +1 i -1 čini to u regionima strmije funkcije

pa zone dozvoljenih energija postaju šire.

Ako P teži u beskonačno dozvoljena zona se reducira na jedan

Energetski nivo :

a0

p

0p

a

Ako P teži nuli nikakvih energetskih nivoa , sve energije su dozvoljene

elektronima.

22

2

22

2

2

22

2

22

222

22

2

1

2)

2(

1)

2(

)2

)(8

(

)2

(

2

coscos

mvm

p

h

p

m

hE

m

hE

m

hE

km

E

mEk

k

k

kaa

Brillouin-ove zone (E-k krivulja)

• Brillouin-ova zona je predstava dozvoljenih vrijednosti K elektrona u

jednoj, dvije ili tri dimenzije.

• Tako je energetski spektar elektrona koji se kreće u polju periodičnog

potencijala podijeljen u dozvoljene i zabranjene zone.

a

1

-1

d

d

2

d

3

d

4

d

d

2

d

3

d

4

Kronig-Penney-jev model nam daje DETALJNA rješenja za zone. Koje su skoro kosinusionalne po prirodi.

Dozvoljene zone

Energ. gap

PrvaBrillouin-ova zone

E

k

Energ. gap

a

a

2a

3

a

a

2

a

3

E-k dijagram :

• Kad se parabola koja predstavlja energiju

slobodnog elektrona uporedi sa energijom

elektrona u periodičnom polju kristala, vidi se da

ova druga parabola ima diskontinuitete za

vrijednosti od k koje su date sa

• k=nπ/a

Pošto je k talasni vektor

k=2π/λ

nπ/a =2π/λ

2a=nλ

A ovo je oblik Bragg’ovog zakona.

I

• Rješenje talasne jednačine pod ovim uslovima daje dva stojeća talasa

koji pokazuju da su moguća dva položaja elektrona sa različitim

potencijalnim energijama a istom vrijednošću od k . To dovodi do

prekida na E-K krivulji.

• Sa grafikona vidimo da elektron ima dozvoljene energije u regionu od

k=-π/a do +π/a. Ova zona se zove prva Brillouin-ova zona

Porijeklo energetskih zona u č.t.

• Kada posmatramo izoliran atom, njegovi elektroni su čvrsto vezani i

imaju diskretne, oštre energetske nivoe.

• Kada se dva identična atoma primaknu bliže, onda se vanjske orbite tih

elektrona preklope i intereaguju.

• Ako se više atoma približe, stvara se više energetskih nivoa pa za č.t.

Sa N atoma , svaki se energetski nivo raspada na N energetskih nivoa.

• Ti nivoi su tako blizu jedan drugom da oni formiraju skoro kontinuiranu

traku.

• Širina ove trake zavisi od stepena preklapanja elektrona susjednih

atoma i veća je za najvanjskije elektrone.

N energ.nivoa

N atoma

ΔE

E1

E2

E3

E2

E1

E1

• Energetske zone u č.t. su važne za određivanje mnogih

fizikalnih svojstava č.t. Dozvoljene energ. zone:

(1) Valentna zona

(2) Provodna zona

• Traka/zona koja odgovara vanjskim elektronima zove se

vodljiva/provodna zona, a slijedeća unutrašnja zona se

zove valentna zona. Gap između ove dvije dozvoljene

zone zove se zabranjena energetska zona ili energetski

gap.

Klasifikacija čvrstih tijela na provodnike, poluprovodnike i izolatore

• Na osnovu zabranjene zone ili energetskog gapa čvrsta tijela se

dijele na izolatore, poluprovodnike i provodnike.

Izolatori:

• U slučaju izolatora, zabranjena zona je vrlo široka.

• Zbog ovoga elektroni ne mogu preskočiti iz valentne zone u

provodnu.

Zabranjena zona

Valentna zona

Provodna zona

IZOLATORI

Zabranjena zona

Valentna zona

Provodna zona

POLUPROVODNICI

Valentna zona

Provodna zona

PROVODNICI

Poluprovodnici• U poluprovodnicima zabranjena zona je veoma mala .

• Ge i Si su najbolji primjeri poluprovodnika.

• Zabranjena zona je reda 0.7ev i 1.1ev.

Provodnici• Kod provodnika nema zabranjene zone. Valentna i provodna zona se

preklapaju.

• Elektroni iz valentne zone slobodno prelaze u provodnu zonu.

Efektivna masa elektrona• Efektivna masa elektrona nastaje zbog periodičnog potencijala koji stvara

rešetka.

• Kada se elektron u periodičnom potencijalu rešetke ubrza električnim

poljem , onda se masa elektrona mijenja i nju zovemo efektivna masa

elektrona m*.

• Posmatrajmo elektron naboja e i mase m pod uticajem električnog polja .

Ubrzanje nije konstanta u periodičnoj rešeci kristala tako da masa

elektrona biva zamijenjena njegovom efektivnom masom m* kada se

elektron kreće u periodičnom polju kristala

m

eEa

eEma

eEf

*m

eEa

Posmatrajmo slobodni elektron

kao talasni paket koji se kreće

brzinom Vg

dk

dEv

dk

dE

hv

h

dEd

h

EhE

dk

dv

dk

dv

vectorwavek

frequencyangular

wheredk

dv

g

g

g

g

g

1

2

.,,

2

.

.2

F

dk

Eda

dt

dp

dk

Eda

dt

pd

dk

Eda

Fdt

dpand

pkcedt

dk

dk

Eda

dtdk

Eda

dt

dva g

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

)(1

))(

(1

..

.,sin

1

11

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

dkEd

m

dkEda

F

Fdk

Eda

Efektivna masa elektrona

}{2

2

2 dk

Edm

m

mfk

Stepen slobode elektrona se općenito definira faktorom

a. Promjena E sa K

b. Promjena v sa K

c. Promjena m* sa K

d. Promjena fk sa K

k

0

E

0

V

m

0a

a

0k

kf

)(a

)(b

)(c

)(d

• Promjena v sa k:

k

0

E

0

V

m

0a

a

0k

kf

)(a

)(b

)(c

)(d

Promjena brzine sa k sl. (b) kada k=0,

brzina je nula nakon čega vrijednost k

raste.

Za k=k0 (k0 odgovara prevojnoj tački na

E-k krivulji) .Iza ove tačke prevoja brzina

počinje da opada i konačno uzima

vrijednost nula za k=π/a

• Promjena m* sa k

k

0

E

0

V

m

0a

a

0k

kf

)(a

)(b

)(c

)(d

Promjena m* sa k.

Za k=0 efektivna masa se primiče m. Kako

vrijednost k raste raste i m* dostižući svoj

maksimum u prevojnoj tački E-k krivulje.

Nakon prevojne tačke m* postaje negativno

dostižući malu negativnu vrijednost za

k = π/a.

• Promjena fksa k:

k

0

E

0

V

m

0a

a

0k

kf

)(a

)(b

)(c

)(d

Stepen slobode elektrona: fk=m/m*

2

2

2 dk

Edmfk

Fk je mjera slobode elektrona koji se nalazi

u stanju k. Ako je m* velika ,fk je malo,

tj. čestica se ponaša kao “teška” čestica.

Kada je fk=1 elektron se ponaša kao slobodni

elektron .

Treba primijetiti da je fk pozitivno u donjoj

polovini trake, a negativno u gornjoj polovini.