ESCUELA SECUNDARIA

TECNICA 118

Nombre: Regina Hernández Romero

Profesor: Luis Miguel Villareal Matías

Grado: 3° Grupo: c

Fecha de entrega: jueves 24 de octubre

Ejercicio: Numero Aureo y Serie de Fibonnacci

Sra. Roxana

Hdz.

Firma del padre

O Tutor

Salón: 9

NL: 21

Índice

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . p

Contenido

(Número Aureo). . . . . . . . . . . . . . . . 4p

(Serie de Fibonacci). . . . . . . . . . . . . . 5p

Relación entre ellos. . . . . . . . . . . . . . 6p

(Aplicación con la naturaleza..). . . . . . 7p Conclusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8p

Actividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9p

Ficha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p

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Introducción

Esta investigación nos ayuda a entender la relación matemática existente en toda la naturaleza que a su vez es aplicada en diversos campos. Las matemáticas intervienen en todo lo que nos rodea, nada se concebiría si los números no existieran. Es increíble que desde nuestro inicio de la vida hasta el fin este determinado por una secuencia numérica.

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NÚMERO AUREO El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo ‘a’ como ‘a’ lo es al segmento más corto b.

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:

Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:

Igualamos a cero:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .

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SERIE DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:

an = an-1 + an-2

Es decir, cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos anteriores.

Para iniciar a construir una de estas series necesitamos dos números de partida, a1 y a2; de esta forma, a3 sería a2 + a1 ; a4 sería a3 + a2 y así sucesivamente. 

La más conocida es la que tiene a1 = 1  y  a2 = 1, cuyos términos son números que son conocidos como Números de Fibonacci:

1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233 377 ...

Los términos de una sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite de los cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a infinito; además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por

ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2 menos uno:

a1 + a2 + a3 + a4 + ..... + an-1 + an = an+2 - 1

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Relación entre el número aureo y la serie de Fibonacci

Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y muchas operaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci. Una de ellas, apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos dividiendo entre ellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su cociente se acerca al valor 1.618033... Esta constante se denomina número de oro, número áureo o divina proporción, e históricamente se le han atribuido propiedades estéticas.

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Relación con la naturaleza y otras aplicaciones (Imágenes)

Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses? Acertaste: cada

mes habrá un número de conejos que coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. ¿Asombroso, verdad? Pero hay más. El número de conejos coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

Las espirales en los girasoles o las piñas: si contamos las espirales que giran hacia un lado, y las dividimos entre el número de espirales que giran hacia el lado contrario, da Φ. Suelen ser números de la serie de Fibonacci: 89 espirales hacia un lado y 144 hacia el otro, por ejemplo.

El mensaje cifrado que ha dejado el conservador envía precisamente a uno de sus cuadros La Gioconda, cuyo famoso rostro sigue la proporción Áurea: La razón entre la estatura de una persona y la distancia del ombligo al suelo. La razón entre la distancia del hombro a la punta de los dedos y la de ésta al codo. Para mayor redundancia, el cociente entre cada dos términos consecutivos de la Sucesión de Fibonacci tiene como límite a la Razón Áurea. Así que, a buen entendedor, el mensaje del conservador es incluso repetitivo: la pista a seguir está en la obra de Leonardo da Vinci y su llave es la Sucesión de Fibonacci. 7p

Si cortamos transversalmente frutas y vegetales y encontraremos que muchos de ellos tienen el número de secciones de la serie Fibonacci.

Beethoven (1770-1827) en su Quinta Sinfonía, distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea.

Bartók (1881 - 1945) usó la serie de Fibonacci para crear su "escala Fibonacci". En su obra Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de su fuga nos muestra la aparición de la

serie (y de la razón áurea).

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Actividad

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Conclusión

El número de oro es un número importante en todo lo que nos rodea, ya que se llegó a descubrir la multitud de situaciones de la vida cotidiana en las que aparece; es utilizado tanto en la naturaleza, como en el arte y en las matemáticas. La sucesión de Fibonacci es una proporción muy precisa, y gracias a esto se han representado grandes cuadros como es “El hombre de Vitrubio” de Leonardo Da Vinci.

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