end 503 doğrusal programlama
DESCRIPTION
END 503 Doğrusal Programlama. Sınırlandırılmış Değişken Tekniği. Sınırlandırılmış Değişken Tekniği. Bir doğrusal karar modeli, j = x j nin alabileceği en küçük değer, j = x j nin alabileceği en büyük değer, : ( 1 , 2 , …, n ) T alt sınırlar vektörü, - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
İ.Kara,2007
END 503 Doğrusal Programlama
Sınırlandırılmış Değişken Tekniği
İ.Kara,2007
Sınırlandırılmış Değişken Tekniği
Bir doğrusal karar modeli,j= xj nin alabileceği en küçük değer,
j= xj nin alabileceği en büyük değer,
: (1, 2, …, n)T alt sınırlar vektörü,
: ( 1, 2, …, n)T üst sınırlar vektörü olmak üzere,
İ.Kara,2007
ALT ve ÜST SINIRLAR
AX=b≤X≤ k.a.Enb x0=CX
şeklinde verilsin. Bu modelin, bilinen simpleks algoritmasıyla çözülebilmesi için, Xa aylak değişkenler ve Xa artık değişkenler vektörü olmak üzere, modelin aşağıdaki şekle dönüştürülmesi gerekir.
İ.Kara,2007
STANDART BİÇİM
AX=bX+Xa=
X-Xa= X, Xa, Xa ≥ 0
k.a.Enb x0=CX
İ.Kara,2007
BOYUTLAR
Bu haliyle modelde m+n+n=m+2n tane kısıt, n+n+n=3n tane değişken olup, modelin boyutları çok büyümüştür. O halde, AX=b kısıtları üzerinde işlem yapılarak, ≤X≤ olduğunu da göz önüne alıp, modeli çözmek mümkün müdür?
İ.Kara,2007
Alt SınırEğer karar değişkenlerinin yalnız alt sınır değerleri söz konusu ise, yani model,
AX=bX≥k.a.Enb x0=CX
şeklinde ise, X-=Y dönüşümü yapılıp, kısıtlarda, xj yerine xj=j+yj konularak, model,
AY=b-A Y ≥ 0k.a.Enb x0=CY haline dönüşür ve mxn lik bir karar
modeli olarak çözülür.
İ.Kara,2007
Yalnız Üst Sınır
Karar değişkenlerinin yalnız üst sınır değerlerinin söz konusu olması halinde, alt sınırda olduğu gibi, AX=b üzerinde simpleks algoritmasının uygulanabileceği şekle dönüştürülemez. X≤ kısıtları, Xa aylak değişkenler vektörüyle X+Xa= şekline getirilebilir ki, model (m+n) kısıt ve (n+n) değişkenli olmak zorundadır.
İ.Kara,2007
Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm
Karar modeli, Amxn olmak üzere,
AX=b≤X≤ k.a.Enb x0=CX
şeklinde verilsin.
İ.Kara,2007
Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm
Değişkenleri sınırlandırılmış bir karar modelinde, m değişken temel değişken olmak üzere, temel dışı değişkenler alt sınır veya üst sınır değerlerini alıyorken, temel değişkenlerin değerleri verilen sınırlar içinde bulunabiliyorsa, buna “genişletilmiş temel uygun çözüm” denir.
İ.Kara,2007
Örnek 1Karar modeli,
x1 + 2x2 + x3 ≥ 10
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 12
1≤x1≤4
x2 ≥ 2
x3 ≤ 3
x3 ≥ 1k.a.
Enk x0 = 2x1 + 3x2 + x3
şeklinde verilsin.
İ.Kara,2007
Örnek 1x1 ve x2 temel değişkenler iken, karşı gelen genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırınız.
Yukarıdaki model, x4 ve x5 artık değişkenler olmak üzere,
x1 + 2x2 + x3 – x4 = 102x1 + x2 + 3x3 – x5 = 121≤x1≤42≤x2≤∞1≤x3≤30≤x4≤∞0≤x5≤∞
şeklinde yazılarak, genişletilmiş temel uygun çözümleri araştırılabilir.
İ.Kara,2007
Örnek
x1 ve x2 temel değişkenler iken,
1 2 -1/3 2/3B= ve B-1=
2 1 2/3 -1/3
olup,
İ.Kara,2007
Örnek 1 -1 0R= 3 0 -1
olduğundan,
XB=B-1b – B-1RXR
eşitliğine bağlı olarak,
x1 -1/3 2/3 10 -1/3 2/3 1 -1 0 x3
= - x4
x2 2/3 -1/3 12 2/3 -1/3 3 0 -1 x5
yazılır. Buradan,
İ.Kara,2007
Örnek
x1 = 14/3 - 5/3x3 - 1/3x4 + 2/3x5
vex2 = 8/3 - 1/3x3 - 2/3x4 + 1/3x5
olarak bulunur. Bu eşitlikler göz önüne alınarak, temel dışı değişkenlerin alt veya üst sınır değerlerini almalarına göre, genişletilmiş temel uygun çözümler aşağıdaki gibi bulunur.
İ.Kara,2007
Örnek
x3 x4 x5 x1 x2 Sonuç
1 (alt)
0 0 3 7/3 Temel değişkenler sınırlar içinde. Genişletilmiş TUÇ.
3 (üst)
0 0 -1/3 11/3x1 alt sınırdan küçük.
Genişletilmiş TUÇ değil.
İ.Kara,2007
En İyilik Koşulları
XB temel değişkenler olmak üzere, BA iken |B|≠0 olsun. Temel dışı değişkenlerden alt sınır değerini alanlar , J1 kümesiyle ve XR1 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R1 matrisiyle; üst sınır değerini alanlar J2 kümesiyle ve XR2 vektörüyle, bunlara A da karşı gelen sütunlar R2 matrisiyle gösterilsin. Böylece, AX=b sistemi:
İ.Kara,2007
En İyilik Koşulları
XB
B R1 R2 XR1 = b
XR2
eşitliğine bağlı olarak,BXB + R1XR1 + R2XR2=b……………(1)
olarak yazılır.
İ.Kara,2007
En İyilik KoşullarıBenzer şekilde, x0-CX=0 eşitliği de,
x0 – CBXB – CR1XR1 – CR2XR2 = 0…………(2)
şekline dönüşür. (1) soldan B-1 ile çarpılıp, XB için çözülürse,
XB = B-1b – B-1R1XR1 – B-1R2XR2………….(3)
bulunur.
İ.Kara,2007
En İyilik Koşulları
Eğer XR1 ler alt sınır ve XR2 ler üst sınır değer iken, (3) nolu denklemden bulunan değerler, ilgili değişkenlerin alt ve üst sınırları arasında kalıyorsa, genişletilmiş temel uygun çözüm bulunmuştur. XB nin bu değeri (2) de yerine konursa,
x0 + (CBB-1R1 – CR1)XR1 + (CBB-1R2 – CR2)XR2 = CBB-1b
elde edilir.
İ.Kara,2007
En İyilik Koşulları
Buradan, amaç fonksiyonu x0 ın temel değişkenlerle, alt ve üstsınır değerini almış değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesi,
…(4)
şeklinde bulunur.
21
)()(10
Jjjjj
JjjjjB xczxczbBCx
İ.Kara,2007
En İyilik Koşulları
XB temel değişkenler iken, karşı gelen çözüm genişletilmiş bir temel uygun çözüm olsun. Bu durumda, (4) nolu eşitlikten, Enb x0 araştırılıyorken,
Zj-Cj≥0 , jЄJ1ve
Zj-Cj≤0, jЄJ2sağlanıyorsa;
İ.Kara,2007
En İyilik Koşulları
Enk x0 araştırılıyorken,
Zj-Cj≤0 jЄJ1ve
Zj-Cj≥0 jЄJ2sağlanıyorsa en iyi çözüme erişildiği görülür.
İ.Kara,2007
Temele Girecek ve Çıkacak Değişken
En iyi çözüme ulaşılamadığı zaman, öncelikle temele girecek değişken bulunmalıdır. Enb x0 araştırılıyorsa;
Enb{(enb|Zj-Cj|,jЄJ1) ; (enb{Zj-Cj},jЄJ2)}
ilişkisine, Enk x0 araştırılıyorsa;
Enb{(enb{Zj-Cj},jЄJ1) ; (enb|Zj-Cj|,jЄJ2)}
ilişkisine karşı gelen değişken işleme girecektir.
İ.Kara,2007
Temele Girecek ve Çıkacak Değişken
Böylece, ya alt sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona alt sınır üstünde değer verilecek, ya da üst sınır değerini almış bir değişken işleme alınarak, ona üst sınır altında değer verilecektir.
O halde, temelden çıkacak değişkenin belirlenmesi için yapılacak işlemler, temele alınabilir değişkenin daha önce alt sınır değerli veya üst sınır değerli oluşuna göre belirlenmelidir.
İ.Kara,2007
Temele Girecek ve Çıkacak Değişken
Temele alınabilecek değişkende oluşacak farklılaşma (artış veya azalış) ∆K’nın değeri araştırılırken, uygunluk koşullarının korunabilmesi için bundan etkilenecek olan değişkenlerin,
i. Alt sınırın altına inmemesi,ii. Üst sınırın üstüne çıkmaması
sağlanmalıdır.
İ.Kara,2007
Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında
xk alt sınır değerli bir değişken iken temele alınabilecek değişken olsun. xk nın alt sınırından itibaren artmaya başlamasıyla birlikte, izleyen genişletilmiş temel uygun çözümde, xk, ya üst sınır değerini alarak yine temel dışında kalacak, ya da üst sınır değerinin altında bir değer alacaktır.
Bu arada temeldeki değişkenler kendi alt ve üst sınırları arasında değer alırken, xk artarken alt sınıra veya üst sınıra gelen bir değişken, temelden çıkabilecektir.
İ.Kara,2007
Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında
O halde, ∆K, xk da yapılabilir artış, xs temeldeki değişkenlerin sayısal değerleri ve ysk ,xk sütununda s inci temel değişkene karşı gelen değer olmak üzere, ∆K’nın alabileceği değer için,
İ.Kara,2007
Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında
xs + ysk∆k = xs , s
ve s≤xs≤s , s
ilişkileri göz önüne alınacaktır.
Temeldeki değişkenler alt sınır değerlerinin altına inmeyeceklerinden,
xs = xs - ysk∆k ≥ s , s
olmalıdır.
İ.Kara,2007
Temele Girebilecek Değişken Alt Sınırında
ysk≤0 ise, ∆k ≥ 0 için, daima xs ≥ s olacağından, ∆k olabilir. Eğer ysk>0 ise, ∆k > 0 için xs azalmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆k için çözülürse,
∆k ≤ (xs-αs)/(ysk), s ysk>0
elde edilir.
İ.Kara,2007
Uygunluk Koşulları
O halde, temeldeki değişkenlerin alt sınır değerlerinin altına düşmemeleri için,
0,
0,1
sk
sksk
ss
sk
y
yyenk
x
sağlanmalıdır.
İ.Kara,2007
Uygunluk Koşulları
Temeldeki değişkenler üst sınır değerlerini geçemeyeceklerinden,
xs = xs - ysk∆k ≤ βs , s
olmalıdır.
İ.Kara,2007
Uygunluk Koşulları
ysk>0 ise, ∆k > 0 için daima xs≤ βs olacağından, ∆k istenildiği kadar büyütülebilir. Eğer ysk<0 ise, ∆k > 0 için xs artmaya başlar. Bu durumda, yukarıdaki eşitsizlik ∆k için çözülürse,
∆k ≤ (βs- xs)/(-ysk), s ysk<0
elde edilir.
İ.Kara,2007
Uygunluk Koşulları
O halde, temeldeki değişkenlerin üst sınır değerlerini aşmamaları için,
0,
0,2
sk
sksk
ss
sk
y
yy
-
enk
x
olmalıdır.
İ.Kara,2007
Uygunluk Koşulları
xk nın alabileceği değer kendi sınırları içinde olacağından,
∆k ≤ βk - k
sağlanmalıdır.
İ.Kara,2007
Uygunluk Koşulları
Yukarıdaki eşitsizlikler birlikte ele alınması gerektiğinden, xk da yapılabilir artış olan ∆k
∆k = enk{1, 2, βk - k}
olarak bulunur.
İ.Kara,2007
Temelden Çıkacak Değişken ∆k = 1 ise, karşı gelen değişken alt sınır değeriyle temelden çıkar, xk temele girer, izleyen çözüm bulunur.
∆k = 2 ise, karşı gelen değişken üst sınır değeriyle temelden çıkar, xk temele girer, izleyen çözüm bulunur.
∆k = βs - k ise, xk üst sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır.
∆k ise modelin sınırsız çözümü var demektir.
İ.Kara,2007
Temele Girebilecek Değişken Üst Sınırında
xk, üst sınır değerinde iken temele alınabilecek bir değişken olsun. xk üst sınırından itibaren azalmaya başladığından, yeni genişletilmiş temel uygun çözüm elde edecek şekilde xk’nın ne kadar azaltılabileceği tespit edilmelidir. O halde,
İ.Kara,2007
Uygunlu Koşulları
xs + ∆kxk = xs, s
ve
s≤xs≤s
ilişkileri göz önüne alınarak, bir önceki durumdakine benzer işlemlerle, ∆k, xk da meydana gelecek azalma olmak üzere;
İ.Kara,2007
Uygunlu Koşulları
0,
0,2
sk
sksk
ss
sk
y
yyenk
x
0,
0,1
sk
sksk
ss
sk
y
yy
-
enk
x
∆k ≤ βk - k
eşitsizlikleri sağlanmalıdır ki, buradan
∆k = enk{1, 2, βk - k} bulunur.
İ.Kara,2007
Uygunlu Koşulları
∆k = 1 veya 2 ise, karşı gelen değişken temelden çıkar, xk temele girer ve izleyen genişletilmiş temel uygun çözüm bulunur.
∆k = βk - k ise, xk alt sınır değerini alıp, yine temel dışında kalır.
∆k ise sınırsız çözüm olup, durulur.
İ.Kara,2007
Yeni Genişletilmiş Temel Uygun Çözüm
xk temele girebilecek değişken iken, üst sınırına erişecek veya alt sınırına inerek yine temel dışında kalıyorsa;
x0 = x0 – (Zk - Ck) ∆k
xs = xs – ysk ∆k , s
eşitliklerinden, tablonun STS sütununun yeni değerleri hesaplanarak, en iyilik sınamasına geçilir.
İ.Kara,2007
İzleyen Çözüm
xk temele girebilecek değişken iken ∆k = 1 veya 2 değerini aldığında, karşı gelen xr temelden çıkacaktır. Bu durumda tablonun STS sütunu dışındaki kısımları anahtar elemana göre satır işlemlerine tabi tutulur. STS sütununun yeni değerleri,
x0 = x0 – (Zk - Ck) ∆k xs = xs – ysk ∆k , s
işlemleriyle bulunur.
İ.Kara,2007
İzleyen Çözüm
Temelden çıkan xr değişkeninin yeni değeri ya alt sınırı ya da üst sınırıdır. Temele giren xk ‘nın aldığı değer ise,
xk = k + ∆k , (alt sınırla girmişse)
veya
xk = βk - ∆k , (üst sınırla girmişse)
olur.
İ.Kara,2007
Örnek 2Karar modeli,
x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 + x2 + 3x3 ≤ 151 ≤ x1 ≤ 32 ≤ x2
0 ≤ x3 ≤ 2k.a.enb x0 = 3x1 + 2x2 + x3
şeklinde verilsin.
İ.Kara,2007
Örnek 2
x1, x2, x3 alt sınır değerleriyle temel dışı değişkenler; x4 ve x5 (aylak değişkenler) temel değişkenler olmak üzere modelin başlangıç Simpleks tablosu aşağıdaki gibi bulunur.
İ.Kara,2007
Örnek 2
β,
α,
x0
31x1
2x2
20x3
x4 x5
STS
x0 1 -3 -2 -1 0 0 7
x4 0 1 2 1 1 0 5
x5 0 2 1 3 0 1 11
İ.Kara,2007
Örnek 2
Tablonun STS sütununda x0 ın değerinin
x0 = CBB-1b – Σ(Zj - Cj)xj
eşitliğine bağlı olarak, x0=0-(-3*1-2*2-1*0)=7 şeklinde hesaplandığına ve temel değişkenlerin değerlerinin de , xj lerin almış oldukları değerler göz önüne alınarak,
xs = B-1b – Σysjxj
eşitliğiyle hesaplandığına dikkat edilmelidir.
İ.Kara,2007
Örnek 2
Modelde enb x0 istendiğinden ve temel dışı değişkenlerin tamamı alt sınır değerinde iken, tüm j’ler için Zj-Cj≥0 olmadığından en iyi çözüme erişilmemiştir.
enk{Zj-Cj}=-3
olup, x1 temele girebilecek alt sınır değerli değişken olur.
İ.Kara,2007
Örnek 2
eşitliğine bağlı olarak, x1 sütununda tüm ysk>0 olduğundan,
1=enk{(5-1)/1,(11-1)/2}=4
olarak bulunur.
0,
0,1
sk
sksk
ss
s
y
yyenk
x
İ.Kara,2007
Örnek 2
0,
0,2
sk
sksk
ss
s
y
yy
-
enk
x
eşitliğine bağlı olarak, tüm ysi>0 olduğundan,
2
olur. x1 in üst sınırı 3 olduğuna göre, x1 deki artış,
∆1 =enk{1, 2, β1-α1}=enk{4, , 3-1}=2
olup, x1 üst sınırı değerini alacak demektir.
İ.Kara,2007
Örnek 2Tablonun STS sütunundaki x0 ın yeni değeri,
x0 = x0 – (Zj-Cj)∆1
eşitliğinden
x0 = 7-(-3)*2 = 13
olur. Temeldeki değişkenlerin yeni değerleri ise,
xs = xs – ysk*∆1, s
eşitliğinden hareketle,
x4 = 5-1*2 = 3 ve x5 = 11-2*2 = 7
olarak bulunur.
İ.Kara,2007
Örnek 2
Eldeki genişletilmiş temel uygun çözüme karşı gelen tablo aşağıda verilmiştir.
β,
α,
x0
31x1
2x2
0x3 x4 x5
STS
x0 1 -3 -2 -1 0 0 13
x4 0 1 2 1 1 0 3
x5 0 2 1 3 0 1 7
İ.Kara,2007
Örnek 2Tabloda üst sınır değerli tek değişken olup, buna karşı gelen Z1-C1=-3<0 olduğundan temele girmesi istenmez.
x2 ve x3 alt sınır değerli temeldışı değişkenler olup, her ikisi de temele girebilir. O halde,
enk{Z2-C2, Z3-C3}=-2
olup, x2 temele girebilecek değişkendir.
İ.Kara,2007
Örnek 2
Tüm ys2>0 olduğundan,
1=enk{(3-0)/2,(7-0)/1}=3/2
ve
2
olarak bulunur.
İ.Kara,2007
Örnek 2
β2 olduğu da göz önüne alınarak, x2 de yapılabilir artış,
∆2 = enk{3/2, , -2} = 3/2
olur ki; x2, alt sınır değerinden 3/2 birim artırılarak temele girecek, x4 temelden çıkacaktır.
İ.Kara,2007
Örnek 2Tablonun STS sütunundaki x0 değeri,
x0 = x0 – (Z2-C2)∆2
eşitliğine bağlı olarak,
x0 = 13 – (-2)*3/2=16
olur. Temel değişkenlerin değerleri ise,
x2 = α2 + ∆2 = 2 + 3/2 = 7/2
ve
xs = xs – y22∆2 = 7 – 1*3/2 =11/2
olur.
İ.Kara,2007
Örnek 2
Temelden çıkan x4 değişkeni
x4 = x4 - 2∆2
eşitliğine bağlı olarak,
x4 = 3 – 2*3/2 = 0
değerini alıp, alt sınırıyla temel dışı kalır.
İ.Kara,2007
Örnek 2Tabloda, STS hariç uygun satır işlemleri yapılırsa, eldeki genişletilmiş temel uygun çözüme karşı gelen simpleks tablo aşağıdaki gibi bulunur.
β,α
3
x0 x1 x2 x3 x4 x5 STS
x0 1 -2 0 0 1 0 16
x2 0 1/2 1 1/2 1/2 0 7/2
x5 0 3/2 0 5/2 -1/2 1 11/2
İ.Kara,2007
Örnek 2
Bu tabloda x1 üst sınırında iken Z1-C1=-2<0 olup, x1 in temele girmesi istenmez. Alt sınır değerini almış olan x3 ve x4 için Zj-Cj≥0 olduğundan, bunların da temele girmesi söz konusu değildir. O halde en iyi çözüme erişilmiş olup durulur. Verilen modelin en iyi çözümü,
x1=3, x2=7/2 olup enb x0 =16 dır.
İ.Kara,2007
Yapay Değişken
Verilen modele, kolaylıkla genişletilmiş bir temel uygun çözüm bulunamaz ise, değişkenlerin alt sınır değerleri göz önüne alınarak, modele yeterince yapay değişken eklentisiyle, genişletilmiş temel uygun çözüm bulunur. Daha sonra, iki evreli veya Büyük-M yöntemi uygulanarak, işlemlere devam edilir.