doğrusal programlama

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

Hazırlayanlar:Hasan Hüseyin SUBAŞIBarış ÖZKAYA

Matematiksel Programlama - 2013

MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA2

Doğrusal Programlama Nedir?

Tanımlar

Giapetto’s Woodcarving Problemi

Grafiksel Çözüm

Diyet Problemi

Posta Ofisi Problemi

Karıştırma Problemi

Sunum Planı


Doğrusal Programlama

Doğrusal programlama, kaynakların optimal dağılımını elde etmeye, maliyetleri minimize, karı ise maksimize etmeye yarayan bir tekniktir.

Kısaca DP; en iyi çıktıyı (maksimum kar veya en düşük maliyet) geliştirmeye yarayan matematiksel metottur.


Çözüm Araçları

• LINDO, • LINGO, • Excel Solver


Doğrusal Programlama

Doğrusal Programlamada aşağıdaki 3 parça bulunur:

– Amaç Fonksiyonu (Objective Function): Karar değişkenlerinin maksimize veya minimize edilmesi

– Kısıtlar (Constraints): Her biri doğrusal eşitlik ve doğrusal eşitsizlik olan değerleri kısıtlayan

– İşaret Kısıtı (Sign Restriction): Her karar değişken (Xj) için

• Xj >> 0• Xj pozitif, 0 veya negatif (xj : unrestricted in sign –urs–)


Doğrusal Programlama Modeli (1)

X1, X2, X3, ………, Xn = karar değişkenler

Z = Amaç fonksiyon veya doğrusal fonksiyonGereksinim: Z değerinin maksimizasyonu

Z = c1X1 + c2X2 + c3X3 + …+ cnXn ... Denklem (1)

... Denklem (2)


Doğrusal Programlama Modeli (2)

Doğrusal Programlama modeli daha verimli şekilde aşağıdaki gibi de yazılabilir:

... Denklem (3)

Karar değişkenleri olan X1, X2, …, Xn n seviye hesap aktivitesidir.


Doğrusal Programlamanın Önemi– Çoğu gerçek dünya problemi doğrusal modeller ile ifade

ediliyor.– Fortune 500 yapılan anket: %85 doğrusal programlama

kullanıyor– Birçok başarılı uygulama var:

• Üretim• Pazarlama• Finans (Yatırım)• Reklam• Tarım


Simpleks Algoritması

Uzun grafiksel çözümden sakınmak için çok değişkenli doğrusal programlama problemlerinin çözümünde yaygın biçimde kullanılan yöntem «simpleks yöntemi»dir.

Simpleks yöntemi bütün uygun çözümleri incelemek için kullanılmaz. Küçük ve tekil uygun çözümlerle ilgilenir.

George B. Dantzig tarafından geliştirilen bu yöntem tekrarlı bir yöntem olduğundan «simpleks algoritması» olarak da adlandırılmaktadır.


Tanımlar

Amaç fonksiyonu katsayısı: Amaç fonksiyonundaki değişkenin katsayısı

Teknolojik katsayı: Kısıtlardaki değişkenin katsayısı

Sağ-el taraf (right-hand side –rhs–): Her kısıtın sağ tarafına verilen isim

Olası Bölge(Feasible Region) İsoprofit ve isocost çizgileri


Grafiksel Çözüm

2 karar değişkenlilerde grafiksel çözüm: Olası bölgenin grafiğini çiz İsoprofit çizgisini çiz İsoprofit çizgisini artan z yönünde kaydır. Uygun

alandaki son nokta «optimal çözüm»dür.


Dört Durum

• Doğrusal Programlamada 4 durum:– Tekil bir çözüm– Sonsuz optimal çözüm (alternative optimal

solution)– Uygun çözümü yok (infeasible)– Sınırsız çözüm (unbounded)

Doğrusal Programlamanın

Varsayımları


Doğrusallık Amaç fonksiyonu ve kısıtlamalar, karar

değişkenleri açısından doğrusaldır. Örneğin karar değişkenleri iki katına çıktığında amaç fonksiyonu değeri de iki katına çıkar. Bir başka deyişle, amaç fonksiyonunda ve kısıtlamalarda oransallık vardır.

Örneğin, bir kg süt üretmek için 4 kg yem verilmesi gerekiyorsa, 10 kg süt üretimi için 40 kg yem kullanılması gerektiği düşünülür. Aynı şekilde, 1kg süt satışından elde edilecek gelir 500 bin TL ise, 10 kg süt satışından 5 milyon TL gelir sağlanacaktır.


Kesinlik

Modeldeki tüm parametrelerin bilindiği ve sabit oldukları kabul edilir. Buna göre, amaç fonksiyonu ve kısıtlamalardaki sayısal değerleri kesindir ve planlama sürecinde değişmez.

Örneğin bir dekar pamuk üretildiğinde ihtiyaç duyulacak işgücü 20 erkek iş gücü, elde edilecek brüt kâr 750.000 TL, toplam işletme sermayesi 15 milyon TL olarak belirlenmişse; bunların kesin olduğu ve değişmeyeceği varsayılır.


Toplanabilirlik

Bu varsayım değişik üretim faaliyetlerine kaynak olan üretim girdilerinin toplamının her bir işlem için ayrı ayrı kullanılan girdilerin toplamına eşit olduğunu gösterir.

Örneğin bir iş iki saatte, diğeri üç saatte yapılıyorsa, iki işi birden yapmak için beş saate gerek vardır.


Bölünebilirlik

Faaliyetlerin çözüm değerleri tam sayı olmayabilir. Bir başka ifadeyle, faaliyetler kesirli veya ondalık noktalı değerler alabilir. 1.75 traktöre yer verme veya 2.25 süt sığırı yetiştirme, doğrusal programlamadan elde edilebilecek olası çözüm sonuçlarıdır.

Eğer bölünebilirlik istenmiyorsa integer programlama yöntemi kullanılır


Negatif Olmama

Fiziksel değerlerin sıfırdan küçük olması mümkün değildir.

Örneğin –2 sandalye, -5 süt sığırı, -10 dekar arazi olamaz.

ÖRNEKLER


Giapetto’s Woodcarving

• Asker ve tren oyuncak yapılıyor• Asker $27 satış, $10 hammadde, $14 emek maliyeti• Tren $21 satış, $9 hammadde, $10 emek maliyeti• Asker 2 saat bitirme emeği, 1 saat marangozluk işi• Tren 1 saat bitirme emeği, 1 saat marangozluk işi• Toplam 100 saat bitirme, 80 saat marangozluk• Tren talebi sınırsız, asker talebi maks. 40 adet


Giapetto’s Woodcarving

X1 = üretilen asker sayısı/hafta

X2 = üretilen tren sayısı/hafta

z: Haftalık kazançlar - haftalık giderler (1)

Maksimum z = 3X1 + 2X2 (*)

*: (27X1 + 21X2)-(10X1 + 9X2)-(14X1 + 10X2)

*: (haftalık gelir)-(hammadde maliyeti)-(diğer maliyetler)


Giapetto’s WoodcarvingKISITLAR:

Kısıt 1: Haftada bitirme emeği maksimum 100 saatKısıt 1: 2X1 + X2 ≤ 100 (2)

Kısıt 2: Haftada marangozluk işi maksimum 80 saat Kısıt 2: X1 + X2 ≤ 80 (3)

Kısıt 3: Haftada maksimum 40 adet asker oyuncak talebiKısıt 3: X1 ≤ 40 (4)

İşaret Kısıtları:X1 , X2 ≥ 0 (5) (6)


Giapetto’s WoodcarvingOlası Bölge:

X1= 40, X2 =20 için

(2) 2(40)+20 ≤ 100 (3) 40+20 ≤ 80 (4) 40 ≤ 40 (5) 40 ≥ 0 (6) 20 ≥ 0

Optimal Çözüm:X1 = 20, X2=60 için

z =3(20) + 2(60) =$180

X1= 15, X2 =70 için

(2) 2(15)+70 ≤ 100 (3) 15+70 ≤ 80(4) 15≤ 40 (5) 15≥ 0 (6) 70 ≥ 0


Bağlayıcı Kısıtlar

• Optimal çözüm noktasını kısıta uyguladığımızda, kısıtın sağ ve sol tarafı – Eşit oluyorsa, bağlayıcı kısıttır.

• Giapetto probleminde, “finishing” ve “carpentry” kısıtları bağlayıcıdır.

– Eşit olmuyorsa o kısıt bağlayıcı değildir. • Giapetto probleminde, tahta askerler için talep kısıtı

bağlayıcı değildir. • Çünkü optimal çözümde (x1 = 20), x1 < 40.

Convex sets of points• S noktalar kümesindeki herhangi iki doğruyu birleştiren çizgi tümüyle S

kümesi içinde kalıyorsa convex küme denir. • Convex bir S kümesi için, tamamen S kümesinde içinde kalan çizgi

segmentleri için bir P noktası uç noktası oluyorsa, P noktası uç nokta ( extreme point ) olur.

• Uç noktalar aynı zamanda köşe noktalar olarak adlandırılırlar. Extreme point are sometimes called corner points, çünkü S kümesi bir poligonsa köşe noktalar uç noktalar olacaktır.

Özel Durumlar

• Giapetto probleminde tek bir optimal çözüm vardır. • Bazı LP’lerde tek bir optimal çözüm olmayabilir.

– Bazı LP’lerin sonsuz sayıda çözümü olabilir. (alternatif ya da çoklu optimal çözüm).

– Bazı LP’lerde uygun çözüm olmayabilir.– Bazı LP’ler kısıtlandırılmamış olabilir (unbounded):

Uygun bölgede (feasible region) çok büyük sonuçlar veren çözüm noktaları olabilir (maximization problem).

• Goal programming genellikle alternatif optimal çözümler arasından seçim yapmak için kullanılır.

Doğrusal Amaç Fonksiyonu

• Amaç fonksiyonun, karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu olması:1. Her karar değişkeninin amaç fonksiyonuna katkısı, karar

değişkeninin değeri ile orantılıdır. Örnek: 4 askerin amaç fonksiyonuna katkısı 1 askerin katkısının 4 katıdır.2. Her bir karar değişkenin amaç fonksiyonuna katkısı, diğer

karar değişkenlerinden bağımsızdır. Örnek: no matter what the value of x2, the manufacture of x1 soldiers will always contribute 3x1 dollars to the objective function.

Doğrusal Kısıtlar

• Benzer şekilde kısıtların doğrusal olması:1.Her karar değişkeninin kısıt denkleminin sol tarafına

katkısı, karar değişkeninin değeri ile orantılıdır. Örnek: 3 asker üretmek için gerekli olan bitirme saati «finishing hours», 1 asker üretmek için gerekli olanın tam 3 katıdır.

2.Her bir karar değişkenin kısıt denkleminin sol tarafına katkısı, diğer karar değişkenlerinden bağımsızdır. Örnek: x1 değeri ne olursa olsun, x2 adet tren üretirken x2 bitirme saati ve x2 marangoz saati harcanır.


Giapetto’s Woodcarving Grafiksel Çözüm

X1

X2

10 20 40 50 60 80

2040

6080

100

finishing constraint

carpentry constraint

demand constraint

z = 60

z = 100

z = 180

Feasible Region

G

A

B

C

D

E

F

H


Diyet Problemi

• 4 çeşit: brownie, çikolatalı dondurma, kola, cheesecake

• Her brownie 40¢• Her çikolatalı dondurma 20¢• Her şişe kola 30¢• Her cheesecake 80¢• En az 500 kalori, 6 ons çikolata, 10 ons şeker, 8

ons yağ• Günlük besin ihtiyacı için minimum harcama?


Diyet Problemi

Besin Değerleri:


Diyet Problemi

X1 = günlük yenen brownie sayısı

X2 = günlük yenen çikolatalı dondurma kepçe sayısı

X3 = günlük içilen kola sayısı

X4 = günlük yenen cheesecake dilimi sayısı

Toplam Diyet Maliyeti = 50X1 + 20X2 + 30X3 + 80X4

Min z = 50X1 + 20X2 + 30X3 + 80X4


Diyet ProblemiKISITLAR:

Kısıt 1: Günlük en az 500 kalori alınmalıKısıt 1: 400X1 + 200X2 + 150X3 + 500X4 ≥ 500 (2)

Kısıt 2: Günlük en az 6 ons çikolata alınmalı Kısıt 2: 3X1 + 2X2 ≥ 6 (3)

Kısıt 3: Günlük en az 10 ons şeker alınmalıKısıt 3: 2X1 + 2X2 + 4X3 + 4X4 ≥ 10 (4)

Kısıt 4: Günlük en az 8 ons yağ alınmalıKısıt 4: 2X1 + 4X2 + X3 + 5X4 ≥ 8 (5)

İşaret Kısıtları:Xi (i=1,2,3,4) ≥ 0


Diyet ProblemiOPTİMAL ÇÖZÜM:

X1=0, X2=3, X3=1, X4=0 ve z=90

400(0) + 200(3) + 150(1) + 500(0) = 750 kalori

3(0) + 2(3) = 6 ons çikolata 2(0) + 2(3) + 4(1) + 4(0) = 10 ons şeker2(0) + 4(3) + 1+ 5(0) = 13 ons yağ

• Çikolata ve şeker kısıtları bağlayıcı, kalori ve yağ kısıtları bağlayıcı değil…



• Haftanın her günü farklı sayılarda tam zamanlı personel ihtiyacı

• Ülke kuralı: Bir personel ard arda 5 gün çalışır, 2 gün izin alır

• Posta Ofisinin her günkü personel ihtiyacını karşılayacak, kiralanması gereken minimum personel sayısı nedir?



Posta Ofisi Günlük Personel İhtiyaç Sayıları:



Xi = i. günde işe başlayan personel sayısı

Min z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7

Yapılan genel bir hata: Xi karar değişkeninin i gününde çalışan personel sayısı

seçilmesi durumu. Bu durumda işe başlamış aynı personel 5 farklı günde sayılmış olur.


Posta Ofisi ProblemiKISITLAR:

X1 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 17 (Pazartesi kısıtı)

X1 + X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 13 (Salı kısıtı)

X1 + X2 + X3 + X6 + X7 ≥ 15 (Çarşamba kısıtı)

X1 + X2 + X3 + X4 + X7 ≥ 19 (Perşembe kısıtı)

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 14 (Cuma kısıtı)

X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 16 (Cumartesi kısıtı)

X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 11 (Pazar kısıtı)

İşaret Kısıtları:Xi (i=1,2,…,7) ≥ 0



OPTİMAL ÇÖZÜM:Z=67/3,X1=4/3, X2=10/3, X3= 2, X4=22/3, X5=0, X6=10/3, X7=5- Bölünebilirlik varsayımı sağlanmaz.

İnteger Programlama ile optimal çözüm:Z=23,X1=4, X2=4, X3= 2, X4=6, X5=0, X6=4, X7=3

Karıştırma Problemleri

• Nihai ürün için çeşitli girdilerin belli oranlarda karıştırılmasını içeren problemlere karıştırma problemi «blending problems» denir.

• Bazı örnek karıştırma problemi tipleri:– Farklı tipteki ham petrollerin çeşitli petrol ürünleri

için karıştırılması.– Farklı kimyasalları çeşitli kimyasal ürünler için

karıştırılması…


Karıştırma Problemi• 3 çeşit yakıt: yakıt 1, yakıt 2, yakıt 3• Yakıtlar 3 çeşit ham petrol karışımla oluşur: ham 1, ham 2, ham 3• Firma her ham petrol türünden 5000 varil/günlük alım yapabiliyor• Yakıt 1 için ortalama ham petrol en az 10 oktan ve en çok %1 sülfür• Yakıt 2 için ortalama ham petrol en az 8 oktan ve en çok %2 sülfür• Yakıt 3 için ortalama ham petrol en az 6 oktan ve en çok %1 sülfür• Ham petrolü yakıta dönüştürme maliyeti $4• Firma 14000 varil/günlük yakıt üretiyor• Firma günlük olarak yakıt 1’den 3000 varile, yakıt 2’den 2000 varile ve

yakıt 3’ten 1000 varile ihtiyaç duyuyor• Günlük reklam yaptığında o yakıt için her bir dolara 10 varil ihtiyaç artıyor• Firmanın günlük maksimum karı nedir?



Yakıt ve Ham Petrol Fiyat Tablosu



Oktan Oranı ve Sülfür İhtiyacı Tablosu



• ai = yakıt i için harcanan reklam gideri (i=1,2,3)

• xij = yakıt j için harcanan ham i kullanımı (i=1,2,3; j=1,2,3)

x11 + x12 + x13 = günlük kullanılan ham 1 varil miktarı



x11 + x21 + x31 = günlük üretilen yakıt 1 varil miktarı





• ai = yakıt i için harcanan reklam gideri (i=1,2,3)


Gaz satışından kazanılan günlük kazanç=70(x11 + x21 + x31) + 60(x11 + x22 + x32) + 50(x13 + x23 + x33)

Ham petrol alışından günlük harcanan=45(x11 + x12 + x13) + 35(x21 + x22 + x23) + 25(x31 + x32 + x33)


Karıştırma Problemi• ai = yakıt i için harcanan reklam gideri (i=1,2,3)


Günlük reklam gideri = a1 + a2 + a3

Günlük üretim maliyeti= 4(x11 + x12 + x13 + x21 + x22 + x23 + x31 + x32 + x33)

Günlük Kar (z) = 21x11 + 11x12 + x13 + 31x21 + 21x22 + 11x23 + 41x31 + 31x32 + 21x33 - a1 - a2 - a3

Reklamla gaz talepleri artışı:Yakıt 1 için $10 a1

Yakıt 2 için $10 a2

Yakıt 3 için $10 a3


Karıştırma ProblemiKISITLAR:• Kısıt 1: Günlük yakıt 1 üretimi günlük ihtiyaç kadar olmalı

x11 + x21 + x31 = 3000 + a1

• Kısıt 2: Günlük yakıt 2 üretimi günlük ihtiyaç kadar olmalıx12 + x22 + x32 = 2000 + a2

• Kısıt 3: Günlük yakıt 3 üretimi günlük ihtiyaç kadar olmalıx13 + x23 + x33 = 1000 + a3

• Kısıt 4: En çok 5000 varil/günlük ham 1 alınabilir x11 + x21 + x31 ≤ 5000




Karıştırma ProblemiKISITLAR:• Kısıt 7: Günlük 14000 varil adet yakıt üretilebilir

x11 + x21 + x31 + x12 + x22 + x32 + x13 + x23 + x33 ≤ 14000• Kısıt 8: Yakıt 1 elde etmek için katılması gereken ham yağ oktan

seviyesi ortalama en az 10 olmalı ≥ 10 2x11-4x21-2x31 ≥ 0• Kısıt 9: Yakıt 2 elde etmek için katılması gereken ham yağ oktan

seviyesi ortalama en az 8 olmalı ≥ 8 4x12-2x22≥ 0• Kısıt 10: Yakıt 3 elde etmek için katılması gereken ham yağ oktan

seviyesi ortalama en az 6 olmalı ≥ 6 6x13+2x33≥ 0



KISITLAR:• Kısıt 11: Yakıt 1 elde etmek için katılması gereken ham

yağ sülfür oranı en fazla %1 olmalı ≤ 0,01 -0,005x11+0,01x21+0,02x31 ≤ 0

• Kısıt 12: Yakıt 2 elde etmek için katılması gereken ham yağ sülfür oranı en fazla %2 olmalı

≤ 0,02 -0,015x12+0,01x32≤ 0

• Kısıt 13: Yakıt 3 elde etmek için katılması gereken ham yağ sülfür oranı en fazla %1 olmalı

≤ 0,01 -0,005x13+0,01x23+0,02x33≤ 0

Sorular&

TeşekkürlerHasan Hüseyin SUBAŞIBarış ÖZKAYA

doğrusal programlama

Education