1. doğrusal programlamaŸrusal...~ 1 ~ 1. doğrusal programlama doğrusal programlama kıt...

~ 1 ~

1.DoğrusalProgramlama

Doğrusal Programlama kıt kaynakların optimum kullanımını içeren bir tekniktir. Birdoğrusal programlama sorusu kaynaklarını ne kadar kısıtlandığını gösteren “kısıtdenklemlerine”,amaçdeğerinioluşturan“amaçfonksiyonuna”sahipolmalıdır.Diğer bir ifade ile Doğrusal programlama, iyi tanımlanmış doğrusal eşitliklerin veyaeşitsizliklerinkısıtlayıcıkoşullarıaltındadoğrusalbiramaçfonksiyonunueniyi(optimum/maksimizasyon‐minimizasyon)kılandeğişkendeğerlerininbelirlenmesindekullanılanmatematikselprogramlamatekniğidir.Bir problemin doğrusal programlama ile modellenip çözülebilmesi için öncelikleaşağıdaki5varsayımısağlamasıgerekir.Doğrusalprogramlamaulaştırmavedağıtımkanalları,beslenmevekarışımproblemleri,üretim ve yatırım planlaması, Arazi kullanımı planlaması, kuruluş yer, seçimi, oyunteorisi,işgücüplanlamavearaçrotalamagibibirçokproblemeçözümolmaktadır.Birdoğrusalprogramlamamodeliaşağıdaki3bileşenibarındırmakzorundadır.

1. Karar Değişkenleri: Doğrusal programlama modellerinde başlangıçta değerleri bilinmeyen ve direkt olarak karar oluşturmada kullanılan değişkenlerdir.

2. Amaç Fonksiyonu: Karar değişkenleri yardımıyla önceden belirlenen amacın (maksimize veya minimize) gerçeklendiği matematiksel denklemdir.

3. Kısıtlar: Karar oluşturma sürecinde, kararımızı kısıtlayan dış veya iç etkenlerin matematiksel ifadesidir.

Buradadikkatedilmesigerekenenönemlikonuamaçfonksiyonuvekısıtdenklemlerininsadecevesadecekarardeğişkenlerininbirerfonksiyonuolduğudur.ÖrneğinAveBkarardeğişkenleribelirlendiisebudurumdaamaçfonksiyonuda,kısıtdenklemleridesadecevesadeceAveBkarardeğişkenleriileyazılır.Bütün doğrusal programlama modellerinin en az bir kısıt denklemine sahip olmasıgerekliliğinedikkatediniz.2.1.TemelMaksimizasyonModelleriveGrafikÇözümler:

Birmaksimizasyonmodelindeamaçfonksiyonu ifadesiilegösterilir.Buradatemelamaçolasıenyüksekdeğereulaşmaktır.Örnek1:ÇamaşırMakinesi(MehpareTimör/YöneylemAraştırması)

Birbeyazeşyaşirketibirimkarı6 liraolançamaşırmakinasıvebirimkarı7 liraolankurutmamakinasıüretmektedir.İşletmedeüretim,montajvepaketlemeolmaküzere3bölümvardır. Üretimbölümününgünlükkapasitesi120işgücüsaattir.1adetçamaşırmakinasıüretmekiçin2işgücüsaatgerekmekteve1adetkurutmamakinasıüretmekiçin3işgücüsaatgerekmektedir.Montajbölümününgünlükkapasitesi80işgücüsaattir.Burada1adetçamaşırmakinasıiçin2işgücüsaate,1adetkurutmamakinasıiçin1işgücüsaateihtiyaçvardır.Paketlemebölümününgünlükkapasitesiise400işgücüsaattir.Bubölümde1adetçamaşırmakinasıiçin4işgücüsaate,1adetkurutmamakinasıiçin4işgücüsaateihtiyaçduyulmaktadır.

~ 2 ~

Bunagöreişletmeninmevcutkısıtlaraltındakarınımaksimizeedebilmesiiçinneyapmasıgerekmektedir.Yukarıdaki soru incelendiğinde sorunun bir doğrusal programla sorusu olduğuanlaşılmaktadır.Budurumda3aşamalıbiryöntemyardımıylaDPmatematikselmodelinioluşturabiliriz.Modeloluşturmadanönceverileriderlitoplugörmekadınatablolaştıralım.

Üretim Montaj Paketleme Birim Kar Çamaşır Makinesi 2 2 4 6 Kurutma Makinesi 3 1 4 7

Kapasiteler 120 80 400

1.KararDeğişkenlerininBelirlenmesi:

DPmodelinin ilkaşamasıkarardeğişkenlerininbelirlenmesidir.Karardeğişkenleribirkarar verme sürecinde, karar verici tarafından başlangıçta değeri bilinmeyendurumlardır. Zaten bu durumların değerleri bilinseydi matematiksel modeldenbahsetmekdoğruolmazdı.Soruözelindeincelersekbufirmanınyöneticisibaşlangıçtaneyibilmemektedir!!!Sorunun cevabı çok da zor değil. Firma yöneticisi satış yapacağı ürünler olan çamaşırmakinesivekurutmamakinelerindennekadarüreteceğinibilmemektedir.Bubağlamdakarardeğişkenleriaşağıdakigibiifadeedilebilir.Ç : ç ü Ç ş

: ç ü Karar değişkenleri ifadelerinde ne amaçla kullanılacaklarının da belirtilmesi uygunolacaktır. Burada dikkat edilmesi gereken bir diğer hususta karar değişkenlerininisimlendirilmesi işlemidir. İsimlendirme tamamen modeli kurgulayan kişiye bağlıdır.Fakathatırlatıcıolmasıadınabilinmeyenolarakaddedilenisimlerin(Çamaşırvekurutmamakinesi)kısaltmalarınıkullanmakuygunolabilir.Not: Bütün kısıt denklemleri ve amaç fonksiyonu mutlaka burada belirlenen karardeğişkenleriileyazılmalıdır.2.AmaçFonksiyonununYazılması:Dahasonraamacımızısözelolarakifadeedip,amaçfonksiyonundamatematikselolarakyazmamızgerekmektedir.Sorudasatışıyapılanürünlerdenmaksimumsatışgelirieldeedilmesiamaçlanmaktadır.Sorudaeğerkardeğildemaliyetkalemlerindenbahsedilseidiozamanmaliyetlerinminimizasyonuolacağındadikkatediniz.

~ 3 ~

Amaç:KarınMaksimizasyonuSoruda satış gelirleri ÇM için 6 TL/adet ve KM için 7TL/adet olarak verilmiştir. Budurumda her bir ÇM den 6 TL ve her bir KM den 7 TL kazanç getiren matematiselfonksiyonaşağıdasunulmuştur.

6Ç 7 DP modellerinde amaç ve amacın matematiksel ifadesi aşağıdaki gibi birleştirilerekyazılır.

6Ç 7 3.KısıtDenklemlerininYazılması:

Hiçbir amaç kendisini sınırlayan özel durumlar olmadan gerçeklenemez. Eğersınırlayıcılar olmasa idi Maksimizasyon sorularının cevabı sonsuz, minimizasyonsorularınıncevabısıfırolurdu.Soru karın maksimizasyonu ve konu üretim miktarı üzerine ise genellikle kapasitekısıtlamalarısözkonusudur.Bu soruda da üç farklı işletme bölümünün (üretim, montaj ve paketleme) farklıkapasitelere (120, 80, 400) sahip oldukları görülmektedir. O zaman soruda üç farklıkapasitekısıtısözkonusudur.Bukısıtlarısözelolarakifadeedelim.

ÜretimBölümüKapasitesiKısıtı

MontajBölümüKapasitesiKısıtı

PaketlemeBölümüKapasitesiKısıtı

Eğerincelenensınırlamakapasiteise,bukapasiteninaltındaçalışmadurumusözkonusuolabiliramahiçbirzamankapasiteleraşılamaz.Buşekilde“enfazla”ifadesiilebelirtilenkısıtları“ ”ifadesiilematematikselolarakifadeediyoruz.Üretim kapasitesini ele alalım. Her bir çamaşır makinesi 2 saat ve her bir kurutmamakinesi3saatsüreileüretimbölümündekalmaktadır.Budurumda“toplamüretimdeharcanansürekapasiteninaltındakalmalıdır”şeklindekiifadeaşağıdakigibidenklemleifadeedilebilir.

2Ç 3 120 Ü Buradaörneğin5ÇMve5KMüretilirse5*2=10saatÇMiçinve5*3=15saatKMiçinüretimdepartmanında harcanacaktır. Bu harcama düzeyi ise toplam kapasite olan 120işgücü/saati geçmeyecektir. Montaj ve paketleme için ise kısıtlar aşağıdaki gibioluşturulabilir.

2Ç 80 4Ç 4 400

Her doğrusal programlamamodeli, karar değişkenlerinin negatif olmaması kısıtı olan“PozitiflikŞartı”adıaltındaözelbirkısıtıneklenmesiiletamamlanır.

Ç , 0

~ 4 ~

Şimdimatematikselmodelintamhaliniyazalım.6Ç 7

2Ç 3 120 Ü 2Ç 80 4Ç 4 400 Ç , 0 Ş

Not: Modelin doğruluğunu kontrol etmek için sözel metinde geçen her bir sayının,matematikselmodeldekullanılıpkullanılmadığınıkontroledebilirsiniz.Örneğinherbirsayınınüstünüsorudaçizinvedahasonramodeltamamlandığındaçizilmemişsayıolupolmadığınısorgulayın.Sorununmatematiskelmodelini tamamladık. Fakat henüz başlangıç sorduğumuz “Kaçtane çamaşırmakinesi, kaç tane kurutmamakinesi üretmeliyim?” sorusunun cevabınıhenüzvermedik.DPmodellerindeeğersoru2değişkendenoluşuyorsaozaman“GrafikYöntem”denenözelbiryaklaşımlasoruyurahatlıklaçözebiliriz.GrafikYöntemçözümüiçintekşartdeğişkensayısının2olmasıdır,kısıtsayısıileilgilibirşarttansözedilemez.Grafikyöntemleçözümyapabilmekiçinherbirkısıtıikiboyutlubirkoordinateksenineeksiksizolarakaktarmakgerekmektedir.Bir eşitsizliğin doğrusunun grafiğini çizmek için en az iki noktasını bilmek gereklidir.KolayolarakçizilebilmesiiçinDPmodellerindeherbirkısıtıneksenlerikestiğinoktalarbelirlenerek,bunoktalardüzbirçizgiilebirleştirilir.Öncelikleherbirkısıtıneksenlerikestiğinoktalarıbelirleyelim.Birdenklemineksenlerikestiği noktaları bulmak için her iki değişkene sırası ile “0” değeri verilerek diğerdeğişkeninnedeğeraldığıbelirlenir.2Ç 3 120 Ç 0 40

0 Ç 60

2Ç 80Ç 0 80

0 Ç 40

4Ç 4 400Ç 0 100

0 Ç 100

Budurumdaüretimkısıtı(0,40)ve(60,0)noktalarından,montajkısıtı(0,80)ve(40,0)noktalarındanvepaketlemekısıtıise(0,100)ve(100,0)noktalarındangeçendoğrularınçizilmesiilegrafikalanınaaktarılır.

~ 5 ~

Yukarıüçfarklıgrafikteüçfarklıkısıtınçizimigösterilmiştir.FakapDPmodellerindeböyayrık bir kullanım tercih edilmez. Bunun yerine üç grafik tek bir grafikte toplanır vesadece üç kısıtı da aynı anda sağlayan bölge taranır. Bu şekildeki grafik aşağıdaverilmiştir.Bazı durumlarda tarama yapılacak alanı belirlemek zor olabilir. Bu durumda (0,0)koordinatdeğerinidenklemeyazarakdenklemin sağlanıp sağlanmadığı incelenir.Eğersağlanıyorsaozaman(0,0)noktasıçözümdeolacakşekildetaramayapılır.Örneğinüretimkısıtında(0,0)değerikısıtayazıldığında0 120denklemisağlandığından,(0,0)noktasıtaranacakalandaolacakşekildedoğrununaltkısmıtaranır.

YukarıdakigrafikteortaktarananABCDdörtgenin“UygunÇözümBölgesi”adıverilirvebubölgedekiherbirdeğerikilisi(Karardeğişkenideğerlerindenbahsediliyor)bizimiçinuygun bir karardır. Fakat uygun karlar değil de en uygun (Optimal) karar işletmeyöneticileriaçısındantercihedilenkarartürüdür.Herbiryöneticimevcutkoşullardaeniyiyeulaşmayıhedefler.Uygunçözümalanındakimaksimumveminimumdeğerlerancakveancakalanınsınırnoktalarında,uçnoktalarındayeralır.Oyüzdenherbirsınırnoktasınıbelirleyip,amaçdeğerlerinihesaplamakgerekmektedir.ŞekildekiA,BveDnoktalarınıdirektgrafiktenokuyabiliriz.A(0,0)

B(0,40)

D(40,0)

Fakat C noktası bu aşamada direkt olarak okunamaz. Bu durumda temel matematikbilgilerine dayanan bir çıkarımla, o noktada kesişen doğruların birbirine eşit olacağıvarsayımı ile ortak çözüm gerçekleştirilir. Kesişen kısıtlar Montaj ve üretim kısıtlarıolduğundanbuikikısıtaşağıdakigibiortakçözülür.

A

B

C

D

~ 6 ~

Ç Ç *‐1 Ç

Ç SonuçtaDnoktasınında(30,20)değerialdığınıbelirledik.Sonaşamadaherbirnoktaiçinamaçfonksiyonudeğerleriincelenir.

UçNokta AmaçDeğeriA(0,0)B(0,40)C(30,20)D(40,0)

∗ ∗ (Minimum)∗ ∗ ∗ ∗ (Maksimum)∗ ∗

Bukısıtlaraltındaişletmeninkarınımaksimizeedebilmesiiçin30adetçamaşırmakinasıve20adetkurutmamakinasıüretipsatmasıgerekir.Bunuyaparsamaksimumkar320lirayıeldeetmişolur.Grafik İncelendiğinde Üretim ve Montaj İşçilik kaynaklarının tamamı kullanırken,paketlemekaynağındabirmiktarboşlukkalmaktadır.

Kısıt Kullanım Kapasite Boşluk

Üretim 2*30+3*20=120 120 0Montaj 2*30+20=80 80 0Paketleme 4*30+4*20=200 400 200

Paketleme kaynağının karar alma sürecinde kısıtlayıcı olmadığını, üretim ve montajkaynaklarınınisedarboğazoluşturarakdirektolarakkararıoluşturduğugörülmelidir.Doğrusalprogramlamamodellerindedeğişken sayısındandaha fazlakaynakkısıtlayıcıolmaz.Busorudaolduğugibi3kaynağın1tanesikısıtlayıcıdeğildir.Başkabirörneklemaksimizasyonsorularınıpekiştirelim.

~ 7 ~

Örnek2:Evkur

Evkurmarangozatölyesisiparişüzerinemutfakdolaplarıyapmaktadır.İşletmedekesme,işleme,cilavemontajolmaküzere4bölümvardır.Bubölümlerdemasavesandalyelerinüretimiiçingerekensürelerveherbirindeneldeedilecekkarlartablodaverilmiştir.

Kesme İşleme Cila Montaj Birim Kar Masa 8 20 18 12 18 Sandalye 6 8 25 10 10 Kapasiteler 1800 2400 4500 2000

Buna göre karar değişkenlerini belirleyiniz. Amaç fonksiyonunu yazıp, modelioluşturunuz.1.KararDeğişkenlerininBelirlenmesi:

Soruda karar verici konumundaki atölye sahibinin hangi değerleri başlangıçtanbilmediğini ortaya koyalım. Sorudaki bilinmeyen firmanın kaç adet sandalye vemasaüreteceğidir.Budurumdakarardeğişkenleriaşağıdakigibiolur.: ç ü : ç ü 2.AmaçFonksiyonununYazılması:

Sorudaherbirmasave sandalye içinbirimkarlar verilmiştir.Budurumdaamacınbukarlarımaksimumyapmakolduğunusöylemekdoğruolacaktır.Birimkarlaryardımıylayazılanamaçfonksiyonuaşağıdaverilmiştir.

18 10 3.KısıtDenklemlerininYazılması:

Firmaiçerisindeyapılan4farklıişleminherbirisiiçinfirmaelindebulunankapasitelerbellidir.Budurumdakapasitekısıtlarındakiyorumlardikkatealınarak, kısıtlarıherbirişlemiçinayrıayrıaşağıdaverilmiştir.

8 6 1800 20 8 2400 İş 18 25 4500 12 10 2000

~ 8 ~

Ayrıcahermodeldeolmasıgerekenpozitiflikkısıtınıdadikkatealarakmodeltopluhaldeaşağıdakigibiyazılabilir.

18 10 8 6 1800 20 8 2400 İş 18 25 4500 12 10 2000 , 0 Ş

Soruda iki değişken oluğu dikkate alınırsa grafik yöntemle çözüm yapılabileceğigörülmektedir.Öncelikleherbirkısıtiçineksenlerikesennoktalarıbelirleyelim.

0 3000 225

0 3000 120

0 1800 250

0 2000 166

Daha sonra her bir kısıtı aşağıdaki tek bir grafiğe aktararak uygun çözüm bölgesibelirlenir.

A

B

C

D

E

~ 9 ~

SorudaverilenA,BveEnoktalarınınkoordinatlarıkolaylıklabelirlenebilir.FakatCveDnoktaları için ortak çözümler yapılması ihtiyacı vardır. C noktası için Cila ve Montajkısıtlarıortakçözülürken,DnoktasıiçinİşletmeveMontajkısıtlarıçözülecektir.Cnoktasıiçinortakçözüm(CilaveMontajKısıtları)

*‐1 *2,5

, Dnoktasıiçinortakçözüm(İşlemeveMontajKısıtları)

*5

*‐4 , ,

Belirlenen noktalar ve bu noktalara ait amaç fonksiyonu değerleri aşağıdaki tablodasunulmuştur.

UçNokta AmaçDeğeriA(0,0)B(0,180)C(41.66,150)D(76.9,107.7)E(120,0)

∗ ∗ (Minimum)∗ ∗ ∗ , ∗ ∗ , ∗ , ≅ (Maksimum)∗ ∗

Yukarıdaki değerler incelendiğinde en yüksek para değerine D noktasında ulaştığıgörülmektedir. Fakat Bu noktada masa ve sandalye değerleri ondalıklı çıkmıştır. Bupratikte mümkün değildir. Bu durumda sayılardan biri yukarı, diğeri aşağıyatamamlanarakkısıtdenklemleridurumuincelenir.SorudaDnoktasını(77,107)olarakelealırsak(76,98değeri77yedahayakınveamaçdeğeri18)ozamantoplamamaçdeğeri2456birimçıkar.Budaişletmeninmaksimumkarıdır.

Kısıt Kullanım Kapasite Boşluk

Kesme 8*77+6*107=1258 1800 542İşleme 20*77+8*107=2396 2400 4Cila 18*77+25*107=4061 4500 439Montaj 12*77+10*107=1994 2000 6

AslındatamsayılıolmayançözümdekimaksimumnoktanınişlemevemontajkısıtlarınınkesişimindekiDnoktasıolduğunugörmüştük.Eğertamsayışartıolmasaidibuikikısıttaatılkapasitesözkonusuolmayacaktı.Fakattamsayışartıçokküçükteolsaatılkapasitesonucudoğurduğunuyukarıdakisorudangörebiliriz.

~ 10 ~

2.2.TemelMinimizasyonModelleriveGrafikÇözümleri:

Eğerişletmelerdetemelamaçmaliyetazaltılması,işgücüminimizasyonu,minimumalankullanımı gibi en az değerle sonuç üretmeyi gerektirir ise bu durum DoğrusalProgramlamamodellerindeMinimizasyonModelleriolarakkarşımızaçıkar.Örnek3:SeraBitkiciliği(MuratAyanoğlu/YönetimBilimi)

Serabitkiciliğiyapanbirçiftçi,camseralarındaürettiğibitkilerinigübreişlemiyaparakverimi arttırmak istemektedir. Bunun için azot ve fosfat içeren gübreler kullanmasıgerekmektedir.Yaptığıaraştırmasonucutoprağaenaz80kgazotveenaz120kgfosfatkazandırılmalıdır.Piyasadaazotfosfatbileşiminivediğermineralleriiçeren2çeşitgübrebulunmaktadır.Bunlardan ilki torbası 6 lira olan doğal gübre, diğeri ise torbası 3 lira olan sentetikgübredir.Herbirgübreyleilgiliverilertablodasunulmuştur.

Azot(kg/torba)

Fosfat(kg/torba)

DoğalGübre 2 4SentetikGübre 4 3

Bukoşullaraltındaçiftçiyeneyapmasınıönerirsiniz?Minimizasyonsorularındamodelkurmaadımlarımaksimizasyoniletamamenaynıdır.1.KararDeğişkenlerininBelirlenmesi:

Çiftçi iki farklı gübre kullanarak gereksinimlerini karşılayabilmektedir. Fakat hangigübreden kaç torba kullanılacağını bilmek istemektedir. Bilinmeyenin karar değişkeniolarakatanacağıdikkatealınırsa,değişkenleriaşağıdakigibiyazmanuygunolacaktır.

: ç ğ ü : ç ü

2.AmaçFonksiyonununYazılması:

Çiftçinintemelamacı;yapacağıgübrelemeişleminikendisineenazmaliyetoluşturacakşekildeyapmaktır.OzamanamaMinimizasyonolacakvebuamaçherbirgübretürününtorbamaliyetleriyardımıylayazılacaktır.

6 3 3.KısıtDenklemlerininYazılması:

Gübrelemeişlemindentamverimalabilmekadınatoprağaenaz80kgazotveenaz120kgFosfat vermek gerekmektedir. Yani çiftçi bu değerlerin altına inmemelidir. Bu tarzkısıtlamalarancak operatörüyardımıylahazırlanabilir.

2 4 80 4 3 120

~ 11 ~

Pozitiflikşartınıdamodeleeklersek,modelinsonhaliaşağıdakigibiolur.6 3

2 4 80 4 3 120

, 0 Ş İkideğişkenlisorunungrafikçözümüyapılabilmektedir.Grafikçözümyapılırkendikkatedilmesi gereken nokta eşitsizliklerin yönüne göre tarama alanlarının yukarı taraftaolabileceğidir.Kısıtlarıneksenlerikestiğinoktalaraşağıdakigibidir.

0 200 40

0 400 30

Eksenlerikesennoktalardikkatealındığındavegereklitaramalaryapıldığındaaşağıdakigrafikeldeedilir.Görüldüğüüzeregrafikteyeralanuygunçözümbölgesimaksimizasyonsorularındanfarklıolaraküsttaraftaçıkmıştır.

A

B

C

~ 12 ~

ŞekildekiAveCnoktalarınaaitkoordinatlarrahatlıklaokunabilmekte,fakatBnoktasıiçinkısıtlarınortakçözülmesigerekliliğigörülmektedir.Bnoktasıiçinortakçözüm(CilaveMontajKısıtları)

*2 *‐1

Ortakçözümdeyapıldıktansonraaşağıdaki3noktabelirlenmişolup,bunoktalarınamaçfonksiyonudeğerleriaşağıdaayrıcahesaplanmıştır.

UçNokta AmaçDeğeriA(0,40)B(24,8)C(40,0)

∗ ∗ (Minimum)∗ ∗ ∗ ∗

Minimizasyonsorularındaenbüyükdeğerdeğilde,enküçükdeğerinalındığınadikkatediniz.Bu kısıtlar altında minimummaliyetle toprağa en az 80 kg azot ve en az 120 fosfatkazandırmak için40 adetSentetikgübre satınalınıp,kullanılmalıdır.Bu işlem için iseçiftçinincebindenancak120TLçıkarÖrnek4:ÖzelYem(HadyA.Taha/YöneylemAraştırması)

Birçiftliktegündeenaz800kgözelbiryemkullanılmaktadır.Buözelyemmısırvesoyaunununkarışımındanaşağıdakibileşimeuygunolaraküretilmektedir.

Protein Lif Maliyet Mısır 0,09 0,02 0,30 Soya 0,60 0,06 0,90

Buözelyeminbileşimindeenaz%30proteinveençok%5 lifbulunmasızorunluluğuvardır. Bu kısıtlar altında firmanın günlük yem ihtiyacını minimum maliyetlekarşılayabilmesi için ne yapması gerekmektedir? Modeli kurunuz, grafik yöntemleçözümüyapınız.1.KararDeğişkenlerininBelirlenmesi:

Çiftliktebirkarışımhazırlanacaktır.İkifarklıürünbirleştiriliptekbiryemhazırlanmasıdüşünülmektedir.Busorudabilinmeyenisekarışımahangiyemdennekadarkatılmasıgerektiğidir.: ç ö : ç ö

~ 13 ~


Amaççokaçıktırkikarışımınmümkünseminimummaliyetlehazırlanmasıdır.Buamaçlamaliyetdeğerleridedikkatealınarakamaçfonksiyonuaşağıdakigibiyazılabilir.

0,3 0,9 3.KısıtDenklemlerininYazılması:

Sorudaki ilk kısıt protein oranı kısıtıdır. Doğrusal Programla literatüründe Karışımproblemiolarakadlandırılanbuproblemdeeğerbirkısıtınsağtarafıoranise,kibusorudaöyledir,soltarafındaiseoranlamayapılmalıdır.Yanikısıtaşağıdakigibiyazılmamalıdır.

, , , Buşekildeyazıldığındasolvesağtarafarasındabirimuyumsuzluğusözkonusuolur.Birörnekleaçıklayalım.Diyelimkiyeme1kgmısırve1kgsoyaunukatılsın.Budurumdasoltaraftakiharcanankısmıaşağıdakigibihesaplanabilir.

, ∗ , ∗ , Görüleceği üzere sadece 1er kilogram kullanımda dahi kısıtlar sağlanmış, bir başkadeyişle kısıtlama söz konusu olmamıştır. Bu durumdan kurtulmak adına eğer sorukarışım sorusu ise veya sorunun sağ taraf sabitimiktar yerine bir oran belirtiyor isekısıtınaşağıdakigibihazırlanmasıuygunolacaktır.

, , , Soyaunukısıtınıdabenzerşekildeaşağıdakigibiyazabiliriz.Lifkısıtınınenazifadesinesahipolduğunadikkatediniz.

, , , Sorudaayrıcatoplamyemmiktarınında800kgaltındaolmasıistenmemektedir.Bukısıtaşağıdakigibiyazılabilir.

800 Pozitiflikşartıdaeklenirisemodelinsonhaliaşağıdakigibiolacaktır.

0,3 0,9 0,09 0,60 0,30 0,02 0,06 0,05

800 , Ş

~ 14 ~

SoruyugrafikyöntemleçözmedenönceProteinveLifkısıtlarınındüzgünşekilde(Bölmeişlemiolmaksızın)yazılmasıgerekmektedir.0,09 0,60 0,30 0,09 0,60 0,30 0,21 0,3 00,02 0,06 0,05 0,02 0,06 0,05 0,03 0,01 0Grafikçözümdeöncelikleeksenlerikesennoktalarıbelirleyelim.0,21 0,3 0

0 0700 1000

0,03 0,01 00 0600 200

8000 8000 800

Dahasonrauygunçözümbölgesinindebelirtildiğigrafikaşağıdakigibiçizilir.

HemAhemdeBnoktalarıancakortakçözümlehesaplanabilir.Anoktasıiçinortakçözüm(LifveYemMiktarıKısıtları)0,03 0,01 0*‐1003 0

8004 800 200 600

A

B

~ 15 ~

Bnoktasıiçinortakçözüm(ProteinveYemMiktarıKısıtları)0,21 0,3 0*‐102,1 3 0

800*33 3 24005,1 2400 ≅ 470,56 329,44Hesaplanadeğerlerveamaçfonksiyonukarşılıklarıaşağıdaverilmiştir.UçNokta AmaçDeğeriA(200,600)B(470.26,329.44)

, ∗ , ∗ , ∗ , , ∗ , , (Minimum)

Eğerözelyemkarışımınayaklaşıkolarak470,56kgmısırve329,44kgsoyaunukatılırsa,minimummaliyetli(437,57TL)özelyemkarışımıeldeedilmişolur.2.3.KarmaşıkModellemeÖrnekleri:

Bubölümde2dendahadeğişkeniçeren,öncekiçözdüğümüzsorularagörefarklılıklararzedenDPsorularınımodellemeyeçalışacağız.Örnek5:AyşegülHanım(YatırımPlanlamaSorusu)

Bir finans kurumunda çalışan Ayşegül Hanım çok başarılı olduğundan dolayı şirketyöneticisi tarafındankendisineyatırımlardakullanmaküzere500,000$ fonverilmiştir.AyşegülHanımbilgivedeneyimlerinedayanarakbufonutekbiralanayatırmasınınriskliolacağını düşünmüş ve farklı ülkelerde yatırım yapmaya karar vermiştir. Yaptığıaraştırmalarsonucuülkelereaityıllıkgetirioranlarıaşağıdakigibidir;

Ülkeler Getiri Oranları (%) İngiltere 8 ABD 9,5 Japonya 7 Fransa 8,4 İspanya 7,5 Rusya 7,8

AyşegülHanımkazancınımaksimumyapmakamacındaolmaklaberaberrasyonelliğideeldenbırakmakistememektedir.BunedenlehernekadargetirioranlarıyüksekolsadariskoranlarıyüksekolanABDveFransa’yayaptığıyatırımlar toplamınınsahipolduğufonun%40’ınıaşmamasını istemektedir.Geçmiştekibilgivedeneyimlerisahipolunanfonların%30’undanfazlasınıtekbiryatırımkaynağınabağlamasınınçokriskliolacağınısöylemektedir.Belirlenenkısıtlaraltındaenfazlagetiriyisağlamakiçinülkelerarasındabufonunnasılpaylaştırılmasınıtavsiyeedersiniz?

~ 16 ~

1.KararDeğişkenlerininBelirlenmesi:

Ayşegül Hanım için bilinmeyen elindeki paranın ne kadarını, hangi ülkedeki fonayatıracağıdır.Bubağlamdakarardeğişkenleri ülke sayısı kadarolacak şekilde aşağıdaverilmiştir.: ç İ : ç : ç : ç : ç İ : ç


Ayşegül Hanım’ın temel amacı elinde bulunan 500.000TL den maksimum getirisağlayacakbiryatırımplanıoluşturmaktır.Bubağlamdaamaçfonksiyonugetirioranlarıveyatırılanfonmiktarlarınınçarpımışeklindeyazılmalıdır.

0,08 0,095 0,07 0,084 0,075 0,078 3.KısıtDenklemlerininYazılması:

AyşegülHanımiçinönceliklikısıtülkelereyatırılacakfonmiktarınınfirmapolitikasıilesınırlandırılmasıdır. Yani toplam fonun en fazla %30 luk kısmının bir ülkeyeyatırılmasıdır.

0,3 ∗ 500000 150000 İ 0,3 ∗ 500000 150000 0,3 ∗ 500000 150000 0,3 ∗ 500000 150000 0,3 ∗ 500000 150000 İ 0,3 ∗ 500000 150000

Sorudaki ikinci kısıtlama ise Amerika ve Fransa yatırılacak toplam paraya yine firmatarafındanlimitkonulmasıdır.

0,40 ∗ 500000 200000 Buradageneldedikkattenkaçan sonkısıttır.Yani elindeki toplamparanın500.000TLolması,birbaşkadeyişlefonlarayatırılacakparalarıntoplamının500.000TLolmasıdır.Bukısıtküçükeşitgibiyazılabileceğigibi,eşitolaraktaifadeedilebilir.

~ 17 ~

Pozitiflikşartıeklenmişmodelinsonhaliaşağıdadır.0,08 0,095 0,07 0,084 0,075 0,078

150000150000150000150000150000150000

200000

, , , , , Normaldesoru6değişkenesahipolduğundangrafikyöntemileçözülemez.Fakatsorununkendiyapısıoptimumçözümekolaycaulaşmamızısağlar.Maksimumparakazanmamantığıiledüşünürseköncelikleenyüksekkazandıranülkeyekısıtlarelverdiğinceyatırımyaparız.ABD=150.000 Dahasonraenyüksekikinciülkebulunur.BuülkeFransa’dırveyedincikısıtsayesindesadece50.000TLyatırımsözkonusudur.Fransa=50.000 Daha sonra İngiltere’yeyatırımyapılır. Sadecebirinci kısıt engellediğinden150.000TLyatırılır.İngiltere=150.000 Şu anda 150.000+50.000+150.000 = 350.000 TL yatırım yaptık ve sadece elimizde150.000 TL kaldı bu parayı da direkt Rusya’ya yatırırsak en yüksek getirili çözümübuluruz.Rusya=150.000 BudurumdaJaponyaveİspanya’yaherhangibiryatırımyapılmayacaktır.Amaçdeğerideaşağıdakigibibulunur.

, ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗

~ 18 ~

Örnek6:PRN(PetrolKarışımıSorusu)

Bir petrol şirketinin elinde kalite seviyesi 10 olan PRN1 isimli hammadde ve kaliteseviyesi 5 olan PRN2 isimli hammaddelerden sırasıyla 5,000 varil ve 10,000 varilmevcuttur. PRN1’in varil maliyeti 2$, PRN2’nin varil maliyeti 1.2$’dır. Şirket bu ikihammaddeyi karıştırarak kalorifer yakıtı ve benzin elde etmektedir. Şirketin ürettiğibenzininkalitesienaz8,kaloriferyakıtınınkaliteseviyesideenaz6olmakzorundadır.Benzin satışınıarttırmak içinyapılacakher10centlik reklam,benzinin satışını1varilarttırmaktadır. Kalorifer yakıtı talebi yüksek olduğu için bu üründe reklam vermeyeihtiyaçyoktur.Üretilenbenzininsatışfiyatı2,5$,kaloriferyakıtınınsatışfiyatıise2$’dır.Bubilgileridikkatealarakşirketinkarınımaksimizeetmesiiçinneyapmasıgerektiğinibulunuz.1.KararDeğişkenlerininBelirlenmesi:

Buradaikifarklıhammadde(PRN1vePRN2)karıştırılarak,ikifarklısonürün(BenzinveKalorifer yakıtı) elde edilmektedir. Bu bağlamda karar vericinin bilmediği her birhammaddedenherbirürünenekadarkarıştırılacağıdır.

YukarıdakişekilincelenirsePRN1denBenzineveKaloriferyakıtınagidecekmiktarlarınayrıayrıbilinmesigerekliliğinianlayabiliriz.BenzerdurumPRN2içindegeçerlidir.Budurumda4farklıbilinmeyenolduğunuifadeedebiliriz.: ç ş : ç ş : ç . ş : ç . ş

Not: Karışım problemlerinde karıştırılacak hammadde ile elde edilecek ürün çarpımıkadar karar değişkeni olur. Örneğin daha önce yaptığımız özel yem sorusunda ikikarıştırılacakmadde(MısırveSoyaunu)vebirsonürün(Yem)olduğundanikideğişkenvardı.

PRN1 PRN2

Kalorifer YakıtıBenzin

~ 19 ~


Sorudikkatlice incelendiğinde firmanınhammaddemaliyetlerinden, satışgelirlerindenvebenzinürünüiçinreklamgiderindenbahsedildiğinigörebiliriz.Budurumdaişletmematematiğitemellerinedönersek;ToplamKar=ToplamGelir–ToplamGiderformülünü görürüz. Buradaki formülü sorumuz için güncellersek aşağıdaki gibi birdenklemeldeedilir.ToplamKar=(SatışGeliri)–(HammaddeGiderleri+ReklamGideri)Şimdiayrıayrıdenklemdekideğerleriifadeedelim.SatışgelirleriBenzinmiktarı*satışfiyatıeşitliği ilebulunur.Fakatsorudabenzinmiktarınıverentekbirdeğişkenyoktur.Toplam benzin miktarı PRN1 den gelen miktar ( ) ve PRN2 den gelen miktar ( )toplamınaeşittir.Kaloriferyakıtı için isebenzer şekilde ve toplamınaeşittir.Budurumdatoplamsatışgeliriaşağıdakigibiifadeedilebilir.

ş , ∗ ∗ Hammaddegiderlerindeisehesaplamahammaddemiktarı*hammaddemaliyetişeklindeolmalıdır. PRN1 hammaddesi miktarı benzine karıştırılan miktar ( ) ve kaloriferyakıtına karıştırılan miktar ( ) toplamına eşittir. PRN2 için ise bu değer ve değişkenleriileifadeedilir.

∗ , ∗ Son olarak reklam gideri hesaplanmalıdır. Toplam benzin miktarı ( ile 0,1değerininçarpımıreklammaliyetiniverecektir.

, ∗ Bütün denklemleri amaç fonksiyonuna yerleştirirsek aşağıdaki gibi bir fonksiyon eldeedilir.

, ∗ ∗∗ , ∗ , ∗

Eğerparantezleriaçıpsadeleştirirsekaşağıdakiamaçfonksiyonudeğerieldeederiz., , ,

Not: değerininsadeleştiğinedikkatediniz.

3.KısıtDenklemlerininYazılması:

Sorudaki ilk kısıtlarımız hammaddelerin elde bulundurulan miktarları ile alakalıdır.Sonuçtaelimizdeolmayanıkarışımakatamayız.

ğ ğ

~ 20 ~

Diğerkısıtlarisebenzinvekaloriferyakıtınaaitkalitedeğerlerininaltısınırlarıdır.Kalitedeğerlerininmiktardeğildeoranolduğundadikkatedelim.Butarzkısıtlarısol taraftaoranlamaolacakşekildeyazmakuygunolacaktır.

Eğerkısıtlarıbölümdenkurtarıpsadeleştirirsekaşağıdakidenklemlerieldeederiz.

Pozitiflikkısıtınıdayazdığımızdamodelaşağıdakigibiolacaktır.

, ∗ ∗∗ , ∗ , ∗

ğ ğ

, , , Sadeleştirilmişdenklemlerilemodelinyazılışıaşağıdadır.

, , , ğ

ğ

, , ,

~ 21 ~

Örnek7:PilsanPilsan şirketindeüretilenpillerin3 ayrı aygıt ile kontrolü vardır. Bu aygıtlar sırası ileAygıt1,Aygıt2veAygıt3olarak isimlendirilmiştir.Şirket8saatlikçalışmasüresinceen1600 adet pilin kontrol edilmesini istemektedir. Herhangi bir hatalı kontrol fabrikaya40TLyemalolmaktadır.

SaatBaşıİşçilikÜcreti

DoğrulukYüzdeleri

HerBirİşçininKontrolEttiğiPil

ÇalışanİşçiSayısı

Aygıt1 120 0,98 10 9Aygıt2 90 0,95 8 13Aygıt3 70 0,90 6 12

Firmaminimummaliyetlekontrolişlemleriniyürütecekişçisayısınıbilmekistemektedir.Budurumdafirmayayardımcımatematikselmodelikurunuz.1.KararDeğişkenlerininBelirlenmesi:

Pilsanşirketininbilmekistediği,yanikararvermesineyardımcıfakatdeğerinibilmediğideğişken sorunun son cümlelerinde belirtilmiştir. Firmaminimum işçi sayısını bilmekistemektedir.3 farklıaygıtolduğudüşünüldüğünde,herbiraygıttaçalışacak işçisayısıkarardeğişkenlerinioluşturacaktır.: ç ç ş şç : ç ç ş şç : ç ç ş şç


Pilsaniçinamaçkontrolfaaliyetleriniminimummaliyetletamamlamaktır.Budurumdaiki farklımaliyet kalemi ile karşı karşıyadır. İşçilere verilen ücretler ve hatalı kontroldurumundakatlanılmasıgerekencezamaliyeti.İşçilikmaliyetleri;işçiliksaatiücretleriilegünlüktoplamçalışmasüresininçarpılmasıilebulunur.Öyleyseişçilikücretleriaşağıdakigibiolmalıdır.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Cezamaliyetleri isehatalıparçasayısı ilehatamaliyetininçarpılmasındanbulunur.Buhesabınyapılabilmesi içinönceliklergünlükhataürünsayısınınbulunmasıgerekir.BirişçiAygıt1de%98doğruluklaçalışıyorsa%2hatayapar.Aynıişçisaatte10pildentoplam80pilkontrolediyorsabumakineyealınacakişçisayısı *80adetpilkontrolüyapılırvebukontrolün%2 si hatalı ise0,02*80* kadarhata yapılır. Benzer şekildeAygıt2de0,05*8*8* veAygıt3de0,1*8*6* kadarhatayapılır.Toplamhatamaliyetleçarpılarakaşağıdakidenklemeldeedilir.

40 ∗ 0,02 ∗ 8 ∗ 10 ∗ 1 0,05 ∗ 8 ∗ 8 ∗ 2 0,1 ∗ 8 ∗ 6 ∗ 3

~ 22 ~

64 1 128 2 192 3Toplammaliyetbuikifarklımaliyetkaleminintoplamınaeşittir.

960 1 720 2 560 3 64 1 128 2 192 3 Yukarıda verilen denklemi sadeleştirerek amaç fonksiyonu formuna aşağıdaki gibiaktarabiliriz.

1024 1 848 2 752 33.KısıtDenklemlerininYazılması:

Pilsanşirketiiçinilkveenönemlikısıttoplamkontroledilenpiladedininenaz1600adetolması gerekliliğidir. Buhesaplamada saatlik kontrol adetlerinin günlük çalışma saatiolan8ileçarpılmasıgerektiğinedikkatediniz.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Sorudayeralandiğerkısıtlamaisemevcutişçisayısındandahaazsayıdaişçiilekontrolişininyapılmasıgerekliliğidir.Budurumiseaşağıdakigibidenklemeaktarılabilir.

şç şç şç

Pozitiflikşartınıdaeklersekmodelinsonhaliaşağıdakigibiolacaktır.1024 1 848 2 752 3

şç şç şç

, , 0 2.3.KarmaşıkGrafikÇözümüÖrnekleri

Şimdiyekadarçözdüğümüzgrafiksorularında kısıtlarınıdikkatealdık.Bukısıtlardışındaeşitlikileifadeedilenbirkısıtolduğundaçözümkümesinasıldeğişirveyasağtarafsabiti sıfırdeğeri aldığında çizimnasıl olacaktır sorularınabukısımda cevapvermeyeçalışacağız.Öncelikleeşitlikkısıtınıinceleyelim.

Yukarıdakikısıtıngrafiküzerindeçizimindeeşitsizlikkısıtlarıilehiçbirfarkyoktur.Fakateşittirkısıtlarındataramayapılmaz.Çünkübudeğerinaltıveyaüstükabuledilmez.Bu

~ 23 ~

durumdabirsorudaeğereşitlikkısıtıvar ise,osorununuygunçözümbölgesibiralandeğilsadecebirdoğrudur.Buşekildeeşitlikkısıtınınyanısırabirdenfazlaeşitsizlikkısıtıiçerensorulardaönceliklerdiğerkısıtlarınçizlipitaranmasıdahasonradaneşitlikkısıtıçizilerekortak tarananalandangeçendoğruparçasınınbelirlenmesidoğrubiryöntemolacaktır.Diğerözeldurumisesağtarafınsıfırdeğerialdığıkısıtlardır.

Bukısıtıneksenlerikesennoktalarınıbelirlemeyeçalışalım.

1 0 2 0

Görüldüğüüzereher iki durumdadaeksenkesimnoktası (0,0) çıkmıştır.Birdoğruyuçizmedeikinoktagerekliolduğundanfarklıbir değeriverilerek değerihesaplanır.Bu değer seçilirken çizim kolaylığı olması açısından diğer kısıtların eksenleri kesennoktalarındanbirinitercihetmekfaydalıolacaktır.Butipkısıtlaraorijindengeçenkısıtdenir.Şimdibirörneklegrafikçiziminipekiştirelim.Örnek8:KarmaşıkGrafik1Aşağıdaverilenmodelingrafiğiniçizerek,çözümünübulunuz.

, Öncelikleherbirkısıtıneksenlerikestiğinoktalarıbulalım.

1 2 01 0 2 01 80 2 80

5 1 8 2 4001 0 2 50

4 1 2 801 0 2 80

Orijindengeçenkısıt olanbirincikısıt için ikincinoktabelirlenirken ikinci kısıttaki eksenikesimnoktasıolan80değeriverilmişve(80,80)noktasıbulunmuştur.Buşartlaaltındagrafikçizimiaşağıdakigibiolacaktır.

~ 24 ~

Yukarıdaki grafikte taranan bölge uygun çözüm bölgesi değildir. Daha önceden desöylendiği üzere sorunun matematiksel modelinde eşitlik kısıtı söz konusu ise budurumda uygun çözüm doğrusu olacaktır. Yukarıdaki tarama doğrunun düzgünanlaşılabilmesiiçindiğerkısıtlarıortaksağlayanbölgeyigöstermektedir.Sorudakiuygunçözümdoğrusununikiuçnoktasıvardır.Budeğerlerdenbiriminimumdiğeri isemaksimumdeğerdir.Bnoktasının(20,0)koordinatlarınasahipolduğueksenkesimidikkate alınarak kolayca anlaşılabilir. Anoktası iseBirinci veÜçüncü kısıtlarınortakçözülmesiilebulunacaktır.Anoktasıiçinortakçözüm(BirinciveÜçüncüKısıtlar)1 2 04 1 2 80

, AveBnoktasıkoordinatlarıveamaçfonksiyonudeğerleriaşağıdaverilmiştir.

UçNokta AmaçDeğeriA(20,0)B(0,180)

∗ ∗ (Minimum)∗ ∗ (Maksimum)

Sonuç olarak grafiğin doğru cevabı olduğunda amaç maksimumdeğeriolan112değerineulaşır.

A

B

~ 25 ~

Örnek9:KarmaşıkGrafik2Aşağıdaverilenmodelingrafiğiniçizerek,çözümünübulunuz.

, Öncelikleherbirkısıtıneksenlerikestiğinoktalarıbulalım.

3 2 00 06 9

2 90 90 4,5

80 80 8

2 6 0 30 6

Orijindengeçenkısıtolanbirincikısıtiçinikincinoktabelirlenirkendördüncükısıttaki ekseni kesim noktası olan 6 değeri verilmiş ve (6,9) noktası bulunmuştur. Buradadördüncükısıttaki6değerininseçilmesitamamenhesaplamakolaylığıolmasıiçindir.Buşartlaaltındagrafikçizimiaşağıdakigibiolacaktır.

B

A

~ 26 ~

Çizimde yer alan B noktası için koordinat (6,0) noktası olacaktır. Fakat A noktasıkoordinatıdirektolarakgörülemez.İkinciveDördüncükısıtlarınortakçözümüilenoktabulunmalıdır.Anoktasıiçinortakçözüm(İkinciveDördüncüKısıtlar)2 9 ∗ 1 2 9

2 6*22 4 12,

AveBnoktasıkoordinatlarıveamaçfonksiyonudeğerleriaşağıdaverilmiştir.UçNokta AmaçDeğeriA(6,0)B(4,1)

5 ∗ 6 12 ∗ 0 30(Minimum)5 ∗ 4 12 ∗ 1 32(Maksimum)

Sonuçolarakgrafiğindoğrucevabı olduğundaamaçmaksimumdeğeriolan32değerineulaşır.

~ 27 ~

ÇALIŞMASORULARISORU 01: Bir firma müşterilerinin tüketici davranışlarını belirleyebilmek adına birpazarlamaaraştırmasıtasarlamaktadır.Buamaçlafirmatamolarak1000adetmülakatyapmak istemektedir. Bumülakatların en az 400 tanesi çocuklu ailelere ve en az 400tanesi ise çocuksuz ailelere yapılmalıdır. Ayrıca akşamları yapılacak mülakat sayıları,gündüz yapılacak mülakat sayısından az olmamalıdır. Çocuklu ailelere yapılanmülakatlarınen%40ıakşamlarıyapılacakveçocuksuzailelereyapılacakmülakatlarınen%60ıisegündüzgerçekleştirilecektir.Çocukluailelereayrılanekstrazamanveakşammülakatlarınındahapahalıolmasıgözönünealındığında,görüşmemaliyetleriaşağıdakitablodaverildiğişekildefarklılaşmaktadır.

MülakatMaliyetleriGündüzMülakatları AkşamMülakatları

ÇocukluAileler 20TL 25TLÇocuksuzAileler 18TL 20TL

En düşük mülakat maliyet ile bu pazarlama araştırmasını nasıl gerçekleştirirsiniz.DoğrusalProgramlamamodelinikurunuz.

1‐ KararDeğişkenleri: : ç ç ü ü ü : ç ç ş ü : ç ç ü ü ü : ç ç ş ü

2‐ AmaçFonksiyonu:20 25 18 20

3‐ Kısıtlar:

1000 ( Toplam mülakat kısıtı ) 400 ( Çocuklu ailelere yapılacak mülakat kısıtı ) 400 ( Çocuksuz ailelere yapılacak mülakat kısıtı )

( Akşam mülakatlarının gündüzden az olmaması kısıtı ) 0,40 ( Çocuklu aile mülakatlarının % 40 ı akşam olması kısıtı ) 0,60 ( Çocuksuz aile mülakatlarının % 60 ı gündüz olması kısıtı ), , , 0 ( Pozitiflik Şartı)

~ 28 ~

SORU2:ABCfirmasıX1veX2adındaürünpiyasayasürmekistemektedir.X1ürünündenadetbaşınagünlük5TLveX2ürünüiçin4TLkareldeedilmesiplanlanmaktadır.BirX1ürünü 4 saatte üretilirken, X2 ürünü 3 saatte üretilmektedir. Firmada üretimdepartmanındagünde6saatçalışan300işçivardır.FirmaayrıcamontajlaişleminifasonolarakyaptırmaktaveantlaşmagereğiABCfirmasıenaz600saatlikmontajlamaişlemifirmaya göndermek durumundadır. X1 ürünü 3 saatte montajlanabilirken, X2 ürünüancak 2 saatte montajlanabilmektedir. Firmanın taşıma kamyonu 500 adet ürünalabilmekte(ürünboyutlarıaynı)vehergüntamdolulukileçalışmakdurumundadır.Buşartlaraltındakarımaksimumyapanmodelikurunuzvegrafikyöntemleçözünüz.

1‐ KararDeğişkenleri: : ç ü 1 ü ü : ç ü 2 ü ü

2‐ AmaçFonksiyonu:

5 4 3‐ Kısıtlar:

4 3 1800 ( Üretim Kısıtı ) 3 2 600 ( Fason İmalat Kısıtı )

500 ( Taşıma Kısıtı ) , 0 ( Pozitiflik Şartı)

GrafikÇözüm:

A (0, 500) Amaç = 5*0+4*500=2000TL B(300, 200) Amaç = 5*300+4*200=2300TL

~ 29 ~

SORU03:Suncooktanderecelerivesülfüroranlarıfarklıüçtiphampetrolün(H1,H2,H3)karıştırılmasıileüçtipbenzin(B1,B2,B3)üretmektedir.Benzinlerinoktanderecelerivesülfüroranlarıbellistandartlarısağlamalıdır:

‐ B1içinortalamaoktanderecesienaz10,sülfüroranıenfazla%2olmalıdır,‐ B2içinortalamaoktanderecesienaz8,sülfüroranıenfazla%4olmalıdır,‐ B3içinortalamaoktanderecesienaz6,sülfüroranıenfazla%3olmalıdır,

Firmanınherbenzintipi içinenfazlasatabileceğitaleplersırasıyla3000,2000ve1000varildir.Bununlabirliktefirmareklamyaparaktalebiniartırabilmektedir.Herhangibirbenzinde 1 dolarlık reklam, talebi 10 varil artırmaktadır. Hammaddelerin oktandereceleri, sülfür oranları ve alış fiyatları ile benzinlerin satış fiyatları aşağıda verilentablolardakigibiiseSunco’nunkarınımaksimumkılacakDP’yibulunuz.

Ham Petrol Oktan Sülfür (%)

Alış Fiyatı ($/varil)

Benzin Satış Fiyatı ($/varil)

12 1 45 70 6 3 35 60 8 5 25 50

1. Karar Değişkenleri

: 1. 1 : 1. 2 : 1. 3 : 2. 1 : 2. 2 : 2. 3 : 3. 1 : 3. 2 : 3. 3

2. Amaç Fonksiyonu

70 60 50

45 35 25

0,1 0,1 0,1

~ 30 ~

3. Kısıtlar

12 6 8 1012 6 8 812 6 8 6

ü ü

0,01 0,03 0,05 0,020,01 0,03 0,05 0,040,01 0,03 0,05 0,03

300020001000

, , , , , , , , 0 Ş

~ 31 ~

SORU4:Aşağıdadoğrusalprogramlamamodeliverilensoruyugrafikyöntemikullanarakçözünüz.Sonucuyorumlayınız.

2 7 2 3 0 2 8

10 2 3 18

5 , 0

Çözüm AB doğrusu üzerinde olacak.

2. 4. çö ü 3 2 , 5 → 2 ∗ 3 2 7 ∗ 5 38 1. 4. çö ü 9 2 , 3 → 2 ∗ 9 2 7 ∗ 3 30

~ 32 ~

SORU5: BirfirmaSporBisiklet,DağBisikletivePerformansBisikletiolmaküzere3tipbisiklet üretmektedir. Spor bisiklet 3 saat içerisinde üretilmekte ve 2 saat içerisindemontaj yapılmaktadır. Dağ bisikleti ise ancak 4 saatte üretilip 3 saat içerisindemontajlanmaktadır. Performans bisikleti ise 5 saatlik üretim ve montaj sürelerinesahiptir.Performansbisikletialanındaünlüolanfirmaenazadet5performansbisikletiüretmekistemektedir.Firmanınelindegünde8saat,haftada5günçalışan6üretimişçisive8montaj işçisimevcuttur.Firmasporbisikletinden80 ¨,DağBisikletinden120 ¨veperformans bisikletinde 200 ¨ kazanmaktadır. Bu şartlar altında firmanın karınımaksimizeedendoğrusalprogramlamamodelinikurunuz.


: ç ü : ç ü ğ : ç ü

2. Amaç Fonksiyonu

80 120 200

3. Kısıtlar

3 4 5 240 ( Üretim Kısıtı ) 2 3 5 320 ( Montaj Kısıtı )

5 ( Performans Bisikleti en az üretim kısıtı ) , , 0 ( Pozitiflik Şartı)

~ 33 ~

SORU6:BirfirmaXserisisürattekneleriüretmektedir.X1modeliekonomisınıfıvefiyatı4milyon$dır.LüsksınıfolanX2ise6milyon$dansatılmaktadır.Firmaaşağıdayazankoşullarıdikkatealarakyeniyıliçinüretimplanıoluşturmakistemektedir.

X1modeliüretimiX2modelininüretimindenazolmamalıdır. Firmamodellerdekullanılanözelbirdonanımdanenaz8adetsiparişvermelidir.

BudonanımdanX1de4adetveX2de1adetbulunmaktadır. Firmanınelinde sadece10adet yüksekperformansımotorvardır. Firmabütün

motorlarımutlakakullanmakistemektedir.X1teknesi2motorluveX2teknesi5motorludur.

Karımaksimizeedecekmodelikurunuz.1. Karar Değişkenleri

: ç ü 1 ü : ç ü 2 ü

2. Amaç Fonksiyonu

4 6

3. Kısıtlar

0 4 8 2 5 10

, 0

~ 34 ~

SORU 7: META metal alaşımları şirketi A, B, C metallerini kullanarak iki alaşımüretmektedir.Kullanılanmetallerinözellikleriaşağıdakitablodaverilmiştir.

Üretildikten sonraalaşımların bazıözellikleri taşımasıgerekmektedir. Birincialaşımın (AL1)

yoğunluğunun en az 5950, en fazla 6050; karbon yüzdesinin en fazla 0,3 olmasıgerekmektedir.İkincialaşımın(AL2)yoğunluğununenaz6000;karbonyüzdesininenaz0,1olmasıistenmektedir.Şirketinelinde100kg.Ametalindenvardırvetedarikçilerdenteminedilebilecekmetalmiktarlarıkısıtlıdır(yukarıdakitablonunsonsütunundaherbirmetaliçintedarikedilebilecekenbüyükmiktarlarverilmiştir.)a. META’nınAL1veAL2’den200kg.ve400kg.’lıktaleplerinikarşılayabilmesi içinen

küçükmetalsatınalmamaliyetiniverecekDoğrusalProgramlamamodelinikurunuz.b. TedarikçifirmaCmetalininfiyatını100kg.’danfazlaalınmasıhalindefazlaalınacak

miktarın fiyatını 1,5 YTL/kg.’a indireceğini taahhüt etmektedir (Örneğin 60 kg.alınırsafiyat60*2=120YTL;130kgalınırsafiyat100*2+30*1,5=245YTLolacaktır).Bu yeni duruma göremetal satın almamaliyetini en küçükleyecekmodeli tekrarkurunuz(öncekiaşamayagöredeğişecekkısımlarıvermenizyeterlidir.Cmetalininfiyatıdışındaherşeyöncekiaşamadakiyleaynıdır.)


ç 1 ş ç ç 2 ş ç ç 1 ş ç ç 2 ş ç ç 1 ş ç ç 2 ş ç

2. Amaç Fonksiyonu

2,2 2,5 2 3. Kısıtlar 6500 5800 6200 5950

6500 5800 6200 6050

6500 5800 6200 6000

Meta Yoğunluk Karbon(%)

Fiyat(TL/kg)

TedarikMiktarı

A 6500 0,20 2,2 350B 5800 0,35 2,5 200C 6200 0,15 2,0 250

~ 35 ~

0,20 0,35 0,15 0,10

0,20 0,35 0,15 0,30

100 350 200 250

200 400

, , , , , 0

B şıkkı için;

2,2 2,5 2 , Eklenmesi Gereken Kısıt

~ 36 ~

SORU 8: Aşağıda doğrusal programlama modeli verilen soruyu grafik yöntemi kullanarak çözünüz. Sonucu yorumlayınız.

2 3 2

4 0 6

1 4

, 0

Çözüm:

1.Kısıt) X1+X2 ≥ 2 (2 puan)

X1=0 için X2=2, X2=0 için X1=2, (0,2) (2,0)

2. Kısıt) 4X1‐X2 ≥ 0 (2 puan)

X1=0 için X2=0, X1=1 için X2=4, (0,0) (1,4)

3. Kısıt) X1+X2 ≤ 6 (2 puan)

X1=0 için X2=6, X2=0 için X1=6, (0,6) (6,0)

4.Kısıt) ‐X1+X2 ≥ ‐1 (2 puan)

X1=0 için X2=‐1, X2=0 için X1=1, (0,‐1) (1,0)

5.Kısıt) X2 ≤ 4 (2 puan)

X2=4

Uygun Çözüm Alanı Köşe Noktası

Noktayı Oluşturan Kısıt Denklemleri

Koordinatlar Amaç Fonksiyonu Zmaks= 2X1+3X2 Değeri (5

puan) X1 X2

A X1+X2 ≥ 2 4X1‐X2 ≥ 0 2/5 8/5 Zmaks=5,6

B X1+X2 ≥ 2 ‐X1+X2 ≥ ‐1 1,5 0,5 Zmaks=4,5

C X1+X2 ≤ 6 ‐X1+X2 ≥ ‐1 7/2 5/2 Zmaks=14,5

D X1+X2 ≤ 6 X2 ≤ 4 2 4 Zmaks=16

E 4X1‐X2 ≥ 0 X2 ≤ 4 1 4 Zmaks=14

Yorum:UygunçözümalanınıoluşturanA,B,C,D,EköşenoktalarındanamacaenuygunçözümüDnoktasısunmaktadır.(1puan)BunoktadaX1=2(1puan)veX2=4(1puan)değerlerinialırveZmaks=16(2puan)sonucunaulaşılır.

~ 37 ~

SORU 9: Aşağıda doğrusal programlama modeli verilen soruyu grafik yöntemi kullanarak çözünüz. Sonucu yorumlayınız.

3 4 5 4 180

0 2 3 60 , 0

1. Kısıt: (0,45) ve (36,0) noktaları 2. Kısıt: (0,0) ve (20,20) noktaları 3. Kısıt: (0,20) ve (30,0) noktaları

ABCD dörtgeni optimum alan A(0,20) D(0,45) C(20,20) 1 ve 2 ortak çözümden D(12,12) 2 ve 3 ortak çözümden

Amaç değerleri A için 3*0+4*20=80 B için 3*0+4*45=180 C için 3*20+4*20=160 D için 3*12+4*12=84

Eğer den 0 birim ve den 20 birim üretilirse Minimum değer olan 80 birim elde edilir.

A

B

C

D

~ 38 ~

SORU10:Birşirketyeniürünüretmekiçinmakinesatınalmakistemektedir.Bununiçinayırdığı kaynak 800.000 TL’dir. Makine satan firma üç farklı modelde makineönermektedir.(Klasik,LüksveSüper)

Maliyet Kapladığı Alan Üretim Miktarı / Saat Operatör SayısıKlasik 24.000TL 15m2 4 1 Lüks 40.000TL 20m2 5 2 Süper 80.000TL 30m2 20 5

Şirket alınacak makinelerin en az yarısının lüks model olmasını istemektedir. Üretilen ürün başınaoperatörlerinmaliyetihariç80TLkareldeedilmektedir.Şirketinmakineleriçinayırabileceği alan 500 m2’dir ve toplamda çalıştırabileceği operatör sayısı 100’dür. Operatörleresaatte30TLverilmektedir.Eldekiverileregöreşirketinkarınımaksimizeedecekşekildedoğrusalprogramlamamodelinioluşturunuz.


: ç : ç ü : ç ü

2. Amaç Fonksiyonu

80 ∗ 4 5 20 30 ∗ 2 5

3. Kısıtlar

24.000 40.000 80.000 800.000 ( Toplam Bütçe Kısıtı )

15 20 30 500 ( Toplam Alan Kısıtı ) 2 5 100 ( Toplam Operatör Kısıtı )

, , 0 ( Pozitiflik Şartı)

~ 39 ~

SORU11:Birşirketgeçendönemeldeettiğikarıhissesenetlerineyatırmakistemektedir.Elinde250.000lirasıbulunanbuşirketaraştırmalarısonucundayatırımyapabileceği5farklıhissesenedibelirlemiştir.Bunlaraaittahminigetiriolasılıklarıvehissesenetlerininhesaplananrisklerişuşekildedir:

HisseSenedi TahminiGetiriOranı RiskHS1 0,23 0,15HS2 0,16 0,12HS3 0,04 0,03HS4 0,08 0,05HS5 0,28 0,18

Şirket yatırım politikası gereği toplam riskin 0,12’i aşmamasını istemektedir. Ayrıcayapacağıbuyatırımdaneldeetmeyiplanladığıkarmiktarıenaz25.000’dir.Ayrıcailerideortaklıkkurabileceğinidüşündüğü3numaralışirkettenenaz50.000TL’likhissesenedialmayı istemektedir. Yukarıdaki verilere göre şirketin getirisini maksimum yapacakmodelioluşturunuz.


: ç : ç : ç : ç : ç

2. Amaç Fonksiyonu

0,23 0,16 0,04 0,08 0,28

3. Kısıtlar

250.000 ( Anapara Kısıtı ) 0,15 0,12 0,03 0,05 0,18 0,12 ( Risk Kısıtı )

0,23 0,16 0,04 0,08 0,28 25.000 ( Getiri Kısıtı ) 50.000 (Şirket 3 Kısıtı)

, , 0 ( Pozitiflik Şartı)

~ 40 ~

Soru 12: Bir boya mağazasının Sakarya Ana bayii 3 farklı toptancıya satış yapmaktadır. Bu bayiye ait 2 tane depo vardır. Bu depolardan her hafta her toptancı 40 ar koli boya talep etmektedir. Depolardan toptancılara 1 koli boya göndermenin maliyetleri tabloda verilmiştir.

Depo 1 ve Depo 2 nin kapasiteleri sırası ile 55 ve 45 kolidir.

a) Toplam taşıma maliyetini minimize edecek dağıtım planını oluşturacak modeli kurunuz.

b) Toptancılarla önceden yapılan bir antlaşmaya göre, toptancılara eksik gönderilen her bir koli için aşağıdaki miktarda tazminatlar ödenecektir. Bu bilgi ışığında a şıkkında kurulan model nasıl değişir. Sadece değişen kısmı belirtiniz.

a. 25 45 15 20 40 30 55 45

40 40 40

0 b. Sadece amaç fonksiyonu değişir.

25 45 15 20 40 30 40 ∗ 40 50 ∗ 40 30 ∗ 40

Toptancı 1 Toptancı 2 Toptancı 3 Depo 1 25 45 15 Depo 2 20 40 30

Toptancı 1 Toptancı 2 Toptancı 3 Tazminat 40 50 30

~ 41 ~

Soru 13: Ferah mobilyalarının İstanbul Anadolu yakası başbayii 3 toptancıya satış yapmaktadır. Bu bayiye ait 2 tane depo vardır. Bu depolardan her hafta her toptancı 30 ar koli boya talep etmektedir. Depolardan toptancılara 1 koli boya göndermenin maliyetleri tabloda verilmiştir.

Depo 1 ve Depo 2 nin kapasiteleri sırası ile 45 ve 35 kolidir.

a) Toplam taşıma maliyetini minimize edecek dağıtım planını oluşturacak modeli kurunuz.

b) Toptancılarla önceden yapılan bir antlaşmaya göre, toptancılara eksik gönderilen her bir koli için aşağıdaki miktarda tazminatlar ödenecektir. Bu bilgi ışığında a şıkkında kurulan model nasıl değişir. Sadece değişen kısmı belirtiniz.

a. 15 35 25 10 30 40 45 35

30 30 30

0 b. Sadece amaç fonksiyonu değişir.

15 35 25 10 30 40 90 ∗ 30 110 ∗ 30 80 ∗ 30

Toptancı 1 Toptancı 2 Toptancı 3 Depo 1 15 35 25 Depo 2 10 30 40

Toptancı 1 Toptancı 2 Toptancı 3 Tazminat 90 110 80

~ 42 ~

SORU14:Birfirmaüçfarklıreklamaracıkullanarak(TV,RadyoveWeb)pazarlamaişlemleriniyürütmek istemektedir. Herhangi bir pazarlama aracında tek bir gün için reklam vermeninmaliyetivepotansiyelmüşterisayılarıaşağıdakitablodaverilmiştir. Televizyon Radyo WebGüniçi PrimeTimeMaliyet 12.000TL 30.000TL 8.000TL 6.000TLMüşteriSayıları

Erkek 200.000 550.000 80.000 140.000Kadın 320.000 500.000 120.000 90.000

Firmaaşağıdakikoşullarısağlayanbiraraştırmaorganizeetmekistemektedir.

Firmaenaz1.800.000erkekve1.600.000kadınmüşteriyeulaşmakistemektedir. Toplamreklambütçesi150.000TLilesınırlıdır. Enaz5güntelevizyonreklamıyapılmalıdır.Bureklamlarınenazikitanesiprime

timezamandilimindeyapılacaktır. RadyoveWebreklamlarıdaenazikişerdefayapılmalıdır.

Bukoşullaraltındaulaşılacakkişisayısınımaksimizeedecekmodelikurunuz.

: üş ş ü ç ü : üş ş ü : üş ş ü : üş ş ü

520.000 1.050.000 200.000 230.000

200.000 550.000 80.000 140.000 1.800.000 (Erkek Reklam) 320.000 500.000 120.000 90.000 1.600.000 (Kadın Reklam) 12.000 30.000 8.000 6.000 150.000 (Bütçe)

5 (Tv Reklamı) 2 (Tv Prime Time) 2 (Radyo) 2 (Web)

, , , 0

~ 43 ~

SORU 15: Yanda verilen modelin çözümünügrafikYöntemlebulunuz.

4 5 5 12 600

60 2 0 3 6 120 , 0

A Noktası (8 ,16) Amaç Fonksiyonu Değeri = 4*8 + 5*16 = 112 (Minimum Nokta)

B Noktası (40, 0) Amaç Fonksiyonu Değeri = 4*40 + 5*0 = 160

~ 44 ~

Soru16:Biryatırımfinansmanıfirmasıelindebulunan200.000$nakitparanıntamamınıfarklıyatırımalternatifleriarasındadeğerlendirmekistemektedir.Buamaçlaİletişimvedemir‐çelik sektörlerinden ikişer firma ile bir spor takımına ait tahvillere yatırımyapılması düşünülmektedir. Aşağıdaki tabloda olası yatırım getirileri, risk oranları ilebirlikteverilmiştir. Firma Sektör Getiri Oranı Risk WebCo Demir‐Çelik % 08 % 12 GeniuX Demir‐Çelik % 07 % 10 Telex İletişim % 09 % 14 iCon İletişim % 6,5 % 6 XYZ United Spor % 10 % 16

Firma hiçbir şekilde spor sektörüne, iletişim sektöründen daha fazla yatırım yapmakistememektedir.Herhangibirsektöreisetoplamda100.000$danfazlayatırımyapılmasıdüşünülmemektedir. İletişimsektörüneyapılanyatırımın iseenaz%60 lıkkısmı iConfirmasına yatırılmalıdır. Firma toplam yatırım riskinin% 12 den fazla olmamasını daistemektedir.Bukoşullaraltındatoplamgetiriyimaksimizeedecekmodelikurunuz.KararDeğişkenleri:X1:ToplamgetiriyimaksimumyapmakiçinWebCofirmasınaaittahvillerdenalınacaktutarX2:ToplamgetiriyimaksimumyapmakiçinGeniuXfirmasınaaittahvillerdenalınacaktutarX3:ToplamgetiriyimaksimumyapmakiçinTelexfirmasınaaittahvillerdenalınacaktutarX4:ToplamgetiriyimaksimumyapmakiçiniConfirmasınaaittahvillerdenalınacaktutarX5:ToplamgetiriyimaksimumyapmakiçinXYZUnitedfirmasınaaittahvillerdenalınacaktutarAmaçFonksiyonu:

Zmax0,08X1+0,07X2+0,09X3+0,065X4+0,10X5Kısıtlar:ToplamPara 0,08X1+0,07X2+0,09X3+0,065X4+0,10X5=200.000SporSektörü X5≥X3+X4SektörYatırımı X1+X2≤100.000X3+X4≤100.000X5≤100.000İletişimSektörü X4≥0,60(X3+X4)ToplamRisk 0,12X1+0,10X2+0,14X3+0,06X4+0,16X5≤0,12(X1+X2+X3+X4+X5)PozitiflikŞartı X1,X2,X3,X4,X5≥0

~ 45 ~

Soru 17: Yandamatematikselmodeliverilmişolandoğrusalprogramlamasorusunugrafikyöntemleçözünüz.Sonuçlarıyorumlayınız.

Zmax 7X1+8X2

3X1+5X2 ≤300 3X1‐X2 ≥ 0 X2 ≤255X1+2X2 =200 X1, X2 ≥ 0

ANoktasıX2=25doğrusuüzerindeolduğundaneşitlikkısıtındaX2=25yerineyazıldığında(30,25)olarakbulunur.Buradakiamaçfonksiyonudeğeri7*30+8*25=410bulunur.BNoktasıise(40,0)noktasıdırveamaçfonksiyonudeğeri7*40+8*0=280bulunur.SorumaksimizasyonolduğundanAnoktasıseçilir.Yanimaksimumamaçdeğeri410olarakbulunur.

~ 46 ~

Soru18:Yandamatematikselmodeliverilmişolandoğrusalprogramlamasorusunugrafikyöntemleçözünüz.Sonuçlarıyorumlayınız.

Zmax6X1+4X25X1‐4X2≤120

4X1+6X2≤480X2≥246X1‐X2≥0

9X1+6X2=360X1,X2≥0

Anoktası4ve5.kısıtlarınortakçözümündenbulunabilir.GerekliçözümyapıldığındaA(8,48)değerleribulunacaktır.BNoktasıise3ve5.kısıtlarınortakçözümündenbulunabilir.3.kısıttaX2=24olduğudikkatealınıpX1değerihesaplanabilir.GerekliçözümyapıldığındaB(24,24)değerleribulunacaktır.AmaçfonksiyonundaAveBnoktalarıyerineyazılırsasırasıile240ve240bulunur.Sorununçözümündealternatifçözümolduğusöylenebilirherikinoktadadoğrusonucuverecektir.

~ 47 ~

Soru 19: Bir firmayenikuracağı fabrikanınüretimhattındakullanmaküzeretezgâhlaralacaktır. Aşağıdaki tabloda her bir tezgâhın iş yapma kapasitesi, gerekli işçilik saatiücreti,satınalmamaliyetivefabrikaiçerisindekapladığıalanverilmiştir.Tezgâhlar ÜretimKapasitesi

(Adet/Saatlik)OperatörİşçilikÜcreti(TL/Saatlik)

SatınAlmaFiyatı

KapladığıAlan(Metrekare)

T1 120 15 42500 12T2 150 18 55000 15T3 210 20 62500 24T4 300 24 75000 32

Fabrikada sadece tek tip ürün satılmakta ve bu ürünün satış fiyatı 1TL olarakbelirlenmiştir.Birbirimürünüretimmaliyetiişçilikhariç0,40TLolduğubilinmektedir.Firmanın toplam karını maksimize edecek modeli aşağıda verilmiş olan koşulları dadikkatealarakkurunuz.

1. Toplamhammaddemaliyeti8.000TLüzerineçıkmayacaktır.2. Firmatamolarak10adetmakinealmayıistemektedir.3. Firmanıntezgâhlariçinayırdığıtoplamalan250metrekaredir.4. Tezgâhalımıiçinayrılantoplambütçe650.000TLilesınırlıdır.5. FirmaT1veT2tezgâhlarınıntoplamınınT4dendahafazlaolmamasını

istemektedir.6. Toplamüretilenürünadediningünlük17000adettenaşağıdaolmaması

hedeflenmektedir.7. Firmanınelinde20.000adetürünüretimiiçinyetecekkadarhammaddestoğu

mevcuttur.1.KararDeğişkenleri:

T1:KarımaksimizeedebilmekiçinalınacakT1modeltezgâhsayısıT2:KarımaksimizeedebilmekiçinalınacakT2modeltezgâhsayısıT3:KarımaksimizeedebilmekiçinalınacakT3modeltezgâhsayısıT4:KarımaksimizeedebilmekiçinalınacakT4modeltezgâhsayısı2.AmaçFonksiyonu:

ZmaxToplamSatışKarı–ToplamİşçilikMaliyetiZmax(1‐0,40)*(8*120*T1+8*150*T2+8*210*T3+8*300*T4)–8*(15T1+18T2+20T3+24T4)Zmax840T1+1056T2+1520T3+2208T4

3.Kısıtlar:

T1+T2+T3+T4=10(ToplamTezgah)12T1+15T2+24T3+32T4≤250(ToplamAlan)42.500T1+55.000T2+62.500T3+75.000T4≤650.000(ToplamBütçe)T1+T2‐T4≤0(T1 ve T2 Kısıtı)960T1+1200T2+1680T3+2400T4≥17.000(MinimumÜretim)960T1+1200T2+1680T3+2400T4≤20.000(HammaddeStok)T1,T2,T3,T4≥ 0 ve Tamsayı (Pozitiflik Şartı)

~ 48 ~

Soru 20: Yandamatematikselmodeliverilmişolandoğrusalprogramlamasorusunugrafikyöntemleçözünüz.Sonuçlarıyorumlayınız.

Zmax 13X1+26X2

X1+X2 ≤200 3X1+5X2 ≥ 150

X1 ≤100 3X1‐X2 ≥0

4X1‐2X2 = 80 X1, X2 ≥ 0

Anoktası=(80,20)değerleriamaçfonksiyonundayerinekonursacevap1560bulunur.Bnoktası=(350/13,180/13)değerleriamaçfonksiyonundayerinekonursacevap710bulunur.SorumaksimizasyonolduğundanAnoktasıseçilmelidir.

~ 49 ~

Soru 21: BiremlakşirketininBoluDağlarındavegölkıyısında800dönümarazisivardır.Şirket bu araziye müstakil, dubleks ve tripleks evler inşa etmek istemektedir. Ancakbölgeninözelkonumundandolayıbazıkısıtlamalaratabidir.Örneğin,

Müstakilevler,toplamevlerin%50’sinioluşturmalıdır. Fosseptik çukuru sayısını sınırlandırmak içinmüstakil evler 2 dönüm, dubleks

evler 3 dönüm ve tripleks evlerin ise 4 dönümlük arazi üzerine inşa edilmesigerekmektedir.

Herbiri1dönümolaneğlencevedinlenmealanları200ailebaşına1adetolarakbelirlenmiştir.

Göldekiekolojikdengeyikorumakamacıylayeraltısularıevvebahçekullanımınasunulmayacaktır.

Emlakşirketi,sahipolduğuarazinin%15’inicadde,yolvediğerkullanımalanlarıiçinayırmakzorundadır.

Farklıtiptekievleringetirileridefarklıdır.Yapılanhesaplamalaragöremüstakilevlerden$10.000,dubleksevlerden$12.000,tripleksevlerdenise$15.000karedilecektir.Gölsuyukullanılamayacağıiçinşehirmerkezindensugetirilecektir.Projeninekonomikolabilmesi için en az $100.000’lık bir bağlantı şartı koyulmuştur. Ayrıca, günlük suharcaması 200.000kg ile sınırlanmıştır. Aşağıdaki veriler hembir ailenin ortalama sutüketimineaitvarsayımları,hemdesugetirmemaliyetlerineaittir. Müstakil Dubleks Triplex DinlenmeAlanıSugetirmemaliyeti($) 1000 1200 1400 800Sutüketimi(kg) 400 600 840 450Firmanın,kurallarauygunbirşekilde,hangitipevdenkaçadetüretmesigerektiğinekararverecekdoğrusalprogramlamamodelinikurunuz.

10000 12000 15000

Arazi kullanımı 2 3 4 1 680 0,85 800

Müstakil ev kısıtı 50 → 0,5 0,5 0,5 0

Eğlence ve dinlenme alanları 2 3200 → 200 2 3 0

Su getirme parası 1000 1200 1400 800 10000

Su tüketimi 400 600 840 450 20000

Pozitiflik şartı , , , 0

~ 50 ~

Soru 22: Yanda matematiksel modeli verilmiş olan doğrusal programlama sorusunu grafik yöntemle çözünüz. Sonuçları yorumlayınız.

Zmax 5X1+4X2

X1+X2 ≥20 4X1+5X2 ≤ 400 5X1‐ 2X2 ≥0 X1 ≤60 X1+2X2 =90 X1, X2 ≥ 0

X1+X2 =20X1=0, X2=20 (0,20) X2=0, X1=20 (20,0)

4X1+5X2 =400 X1=0, X2=80 (0,80) X2=0, X1=100 (100,0)

5X1‐ 2X2 =0X1=0, X2=0 (0, 0) X1=20, X2=50 (20,50)

X1 =60

X1+2X2 =90X1=0, X2=45 (0,45) X2=0, X1=90 (90,0)

A Noktası (15 , 75/2) 15*5 + 75/2*4 = 225

B Noktası (60, 15) 60*5 + 15*4 ) = 360 (Maksimum Nokta)

~ 51 ~

Soru 23: 4 6

5 2 150 15

4 5 400 2 4 180

, 0

Yanda matematiksel modeli verilmiş olan doğrusal programlama sorusunu grafik yöntem ile çözüp, yorumlayınız.

A Noktası için çözüm 285 ve B Notası için çözüm 330 olmaktadır.

~ 52 ~

Soru 24: Bir firma A, B ve C olmak üzere 3 farklı ürün üretmektedir. Bu ürünler üç farklı departmanda işlem görmektedir. Ürünlerin farklı departmanlarda ihtiyaç duydukları işgücü süreleri ve bu departmanların haftalık işgücü kapasiteleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ayrıca her ürün farklı miktarda hammaddeye ihtiyaç duymaktadır. Ürünlerin gereksinim duyduğu hammadde miktarı ve bir haftada kullanılabilecek maksimum hammadde miktarı da tabloda verilmiştir.

Ürün Haftalık Kapasite A B C

İşgücü ihtiyacı Departman 1 (saat) 3,5 4 2 120 saat Departman 2 (saat) - 2 2 100 saat Departman 3 (saat) 4 1 - 80 saat Hammadde ihtiyacı İhtiyaç duyulan hammadde miktarı (kg)

5,5 4,0 3,5 250 kg

Ürünlerin satış fiyatları sırasıyla 50 TL, 60 TL ve 65 TL’dir. Her bir ürün için katlanılan

toplam maliyetler ise sırasıyla 41 TL, 40 TL ve 43 TL’dir. Yönetim, üretim miktarlarını belirlerken pazar taleplerini göz önünde bulundurmaktadır.

Buna göre haftada A, B ve C ürünlerinden toplamda en az 40 adet ürün üretilmelidir. Ayrıca, üretilen A miktarı, C’nin iki katı olmalıdır.

Bu kısıtlar altında işletmenin karını maksimize edecek üretim planını bulacak doğrusal programlama modelini yazınız (35 Puan).

Karar değişkenleri

: ü : ü : ü

Amaç Fonksiyonu 50 60 65 41 40 43

9 20 12 Kısıtlar

3,5 4 2 120 2 2 100 4 80 5,5 4 3,5 250 40 2 0 , , 0

Departman 1 Departman 2 Departman 3 Hammadde Minimum Üretim A C nin iki katı Pozitiflik Şartı

~ 53 ~

Soru 25: 7 5

5 4 400 2 3 120 3 0 2 80

, 0

Yanda matematiksel modeli verilmiş olan doğrusal programlama sorusunu grafik yöntem ile çözüp, yorumlayınız(20 Puan).

A ve B Koordinatlarının bulunması= 4+4 =

A Noktası için 3 ve 4. denklemler ortak çözüm

B Noktası için 2 ve 4. denklemler ortak çözüm

3 0 2 80

16 48 2 3 120 2 80

30 20 7 ∗ 16 5 ∗ 48 352 7 ∗ 30 5 ∗ 20 310

Daha yüksek değere sahip A noktası seçilmelidir.

1. doğrusal programlamaŸrusal...~ 1 ~ 1. doğrusal programlama doğrusal programlama kıt...

Documents