duyarlilik analİzİduyarlilik analİzİ duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde...
TRANSCRIPT
DUYARLILIK ANALİZİ
Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin
değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki
katsayıların kesin olmadığı ve daha sonra ki dönemlerde değişime uğrayarak optimal çözümü
ne derece etkileyeceği incelenir. Bu değişiklik sonucunda optimal çözümde bir farklılık olacağı
gözleniyorsa, problemin yeniden çözülmesi gerekmektedir. Duyarlılık analizinde, amaç
fonksiyonu ve kısıtlayıcı katsayılarındaki ve kaynak değerlerindeki değer değişiklikleri ile yeni
bir değişken ve yeni bir kısıt eklenmesi halinde optimal çözümdeki değişiklik incelenir.
Normal olarak düşünüldüğünde, kaynaklarda veya kısıtlardaki her hangi bir değişikliğin
etkilerini, doğrusal programlama modelini yeniden çözerek bulmak mümkündür. Ancak, bu
şekilde yeniden çözüm genellikle gereksizdir. Çünkü aynı temel değişkenli farklı bir optimal
çözüme ulaşmak mümkündür. İşte duyarlılık analizi yeniden çözüme gitmeden bu gibi
değişikliğin etkisini optimal çözüm tablosundan belirlemeye çalışır.
Duyarlılık analizi; model parametrelerindeki yapılacak bu değişikliklerin;
a-) etkisini,
b-) etkinin yönünü
c-) değişim aralığını belirlemede yardımcı olmaktadır.
Kısaca Duyarlılık Analizinde;
1- Modeldeki amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılardaki katsayıların değişmesinin
2- Kaynak değerlerindeki değişimin etki ve sonuçları incelenir.
Duyarlılık analizini aşağıdaki gibi 4 grupta toplamak mümkündür.
Sabitlerin veya kaynak değerlerinin (STD=bi) duyarlılık analizi
Amaç fonksiyonu katsayılarının (Ci) duyarlılık analizi
çözüme giren temel değişkenlerin amaç fonksiyonundaki
katsayılarının D.A.
çözüme girmeyen karar değişkenlerin amaç fonksiyonundaki
katsayılarının D.A.
Yeni bir değişkenin eklenmesinin D.A.
1-) Sabitlerin veya kaynak değerlerinin (STD=bi) duyarlılık analizi
Bir doğrusal programlama modelindeki kısıtlayıcı denklemlerin sağ
taraf değerlerindeki her hangi bir değişikliğin amaç fonksiyonu ve çözüm
kombinasyonuna olan etkisinin belirlenmesi işlemidir.
Simpleks yöntem sonucunda elde edilen optimal çözüm tablosundaki
her bir değerin bir anlamı bulunmaktadır. Özellikle indeks satırındaki değerler
çok önemlidir. Bu değerler;
1. İndirgenmiş maliyet
2. Gölge fiyat
İndirgenmiş maliyet : Yapısal değişkenlerin indeks satırındaki
değerleridir. Bu değerler, çözüme girmeyen karar değişkenlerinin
çözüme girebilmesi için katsayılarında yapılması gereken minimum
değişikliği göstermektedir.
Bu konuyu aşağıdaki örnekle açıklamaya
çalışalım:
Z max= 5X1+X2+10X3
X1+X3 ≤ 100
X2 ≤ 1
X1, X2, X3 ≥ 0
İndirgenmiş Maliyet:
Öncelikle sonuç simpleks tablosuna bakalım:
İndeks satırında X1 temel değişkeni altında yer alan -5 değeri indirgenmiş maliyet
değerini göstermektedir. Yani, X1 değişkeninden 1 birimlik üretim yapılması durumunda
amaç fonksiyonunda meydana gelecek değişim -5 kadardır. Şöyleki:
X1=0 X2 =1 X3 = 100 bu durumda; Zmax= 0x5+1x1+10x100 = 1001
1 Birim X1’den üretilmesi yani X1’in çözüme girmesi durumunda Zmax -5 azalacak.
Zmax=1001-5 = 996 (yeni Zmax değeri). Peki bu değer nasıl hesaplandı:
Çözüme girmeyen değişken olan X1 sütununda X3 değişkeni karşısında yer
alan 1 değeri, X1 in çözüme girmesi durumunda X3 değişkeninde meydana gelecek
azalmayı göstermektedir. Yani X3=100 idi. Yeni X3= 100-1 = 99
Zmax=1x5+1x1+10x99 = 996
Gölge fiyat : Aylak ve yapay değişkenlerin indeks satırındaki değerleri,
ekonomik anlamda gölge fiyatları veya fırsat maliyetlerini göstermektedir. Eğer
kaynaklarda bir birim değişiklik yapılırsa, bu değişimin amaç fonksiyonu
değerine olan birim etkisi gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani, amaç
fonksiyonunun değeri gölge fiyat kadar değişecektir.
≤ ve = ≥
B+1 B-1 B+1 B-1
Zmax + - - +
Zmin - + + -
1-) Zmax şeklindeki bir amaç fonksiyonunda;
a) ≤ veya = olması durumunda
- STD 1 birim artarsa, Zmax değeri gölge değer kadar artar.
- STD 1 birim azalırsa, Zmax değeri gölge değer kadar azalır.
b) ≥ olması durumunda
- STD 1 birim artarsa, Zmax değeri gölge değer kadar azalır.
- STD 1 birim azalırsa, Zmax değeri gölge değer kadar artar.
2-) Zmin şeklindeki bir amaç fonksiyonunda;
a) ≤ veya = olması durumunda
- STD 1 birim artarsa, Zmin değeri gölge değer kadar azalır.
- STD 1 birim azalırsa, Zmin değeri gölge değer kadar artar.
b) ≥ olması durumunda
- STD 1 birim artarsa, Zmin değeri gölge değer kadar artar.
- STD 1 birim azalırsa, Zmin değeri gölge değer kadar azalır.
X1+X3 ≤ 100
X2 ≤ 1
Örnek:
Z max= 5X1+X2+10X3
Z max= 5x0+1x1+10x100=1001
X1+X3 ≤ 100 şeklindeki kısıtlayıcı koşulu X1+X3 ≤ 101 haline dönüştürürsek;
Zmax=1001 olan değer, birinci kısıtlayıcı koşula ait yapay değişkenin altında yer alan
gölge değer kadar değişir. Burada amaç fonksiyonu Zmax ve işaret ≤ olduğundan, amaç
fonksiyonu değeri artacaktır.
Z max= 1001+10 = 1011 olur. Bunuda X3 değişkeninin katsayısındaki +1 lik değişme
ile sağlamaktadır.
Amaç fonksiyonu:
Zmin = 95x1+80x2+35x3
Kısıtlar:
228x1+210x2+144x3 ≥ 600.000
228x1+210x2+144x3 ≤ 850.000x1 ≤1500
x2 ≤ 1440
x3 ≤ 1260
2-) Amaç Fonksiyonu katsayılarının duyarlılık analizi
a) Çözüme girmeyen karar değişkenlerinin duyarlılık analizi
Eğer bir değişken çözüme girmemiş ise, bu değişkenin amaç denklemindeki
Katsayısı yeterli büyüklükte değil demektir. Dolayısıyla bu katsayının sonsuza kadar
azaltılması sonucu etkilemeyecektir. Peki nereye kadar arttırılabilir?
Bu sorunun cevabı da sonuç simpleks tablosundaki indeks satırında çözüme
girmeyen değişkenin altındaki değer kadardır.
Nasıl Hesaplanır:
Örnek tabloda çözüme girmeyen karar değişkeni X1’dir. Yani X1 karar değişkeninin amaç
fonksiyonundaki katsayısı (Cj) olan 5 değeri bu karar değişkeninin çözüme girebilmesi
için yeterli büyüklükte değildir. Yani bu değerin daha da azaltılması durumunda X1 karar
değişkeni yine çözüme girmeyecektir. Dolayısıyla da optimal çözüm değişmeyecektir.
Ne kadar arttırılabilir:
İndeks satırında X1 karar değişkeni altında yer alan (-5) değeri kadar
değişebilir. Bu da:
Cj-Zj=-5 5-Zj=-5 Zj=10 olarak hesaplanır. Bunun
anlamı; X1 kadar değişkeninin katsayısı en fazla 10 olabilir. Yani katsayı 10’dan küçük
olduğu sürece optimal çözüm değişmez. Kısaca en fazla 5 birim arttırılabilir.
b) Çözüme giren karar değişkenlerinin duyarlılık analizi
Optimal çözümün geçerli olduğu amaç denkleminin katsayılarının
maksimum ve minimum sınırlarının bulunmasıdır.
Örnekte çözüme giren karar değişkenleri X2 ve X3’tür. Yani bu iki karar
değişkenin optimal çözümü değiştirmeden değişebileceği maksimum ve
minimum sınırların belirlenmesi gerekmektedir.
3-) Yeni bir karar değişkeninin eklenmesi
Bu gibi durumlarda yeni bir karar değişkeninin eklenmesiyle optimal çözümün
etkilenip etkilenmediğinin belirlenmesi gerekir. Bunun için de yeni eklenecek
karar değişkeninin katsayısının hesaplanması gerekir. Bunu bir örnekle
açıklayalım:
Örnek:
Bir firma ticari ve bilimsel olmak üzere 2 farklı modelde hesap makinası
üretmek istemektedir. Her bir ticari hesap makinası için 4 diyot ve 2 digital
ekran, bilimsel hesap makinası için de 2 diyot ve 4 digital ekrana ihtiyç vardır.
Toplam diyot miktarı 600 ve digital ekran miktarı ise 480 dir. Ticari hesap
makinasının net karı 8 $, bilimsel hesap makinasının net karı ise 6 $’dır. Karı
maksimum yapan üretim modelini kurunuz.
Z max= 8X1 +6X2
4X1+2X2 ≤ 600
2X1+4X2 ≤ 480
Z max= 8X1 +6X2 Z max= 8x120 +6x60 = 1320
Bu durumda firma, 2 diyot ve 3 digital ekran kullanan net karı 6,5$ olan genel amaçlı
yeni bir hesap makinası üretmek istemektedir. Firma bu ürünü üretmek için karar
verme aşamasındadır. Bu yeni ürünün rasyonel olup olmadığını belirleyelim.
Bu durumda gölge fiyatlar (fırsat maliyetleri) dikkate alınacaktır.
1. kısıtlayıcı koşul diyot kısıtı olduğundan : 2x(1,6667)= 3,33 $
2. Kısıtlayıcı koşul digital ekran kısıtı olduğundan : 3x(0,6667)= 2 $
Toplam yeni maliyet = 5,33 $
Yeni hesap makinasının net karı 6,5 $ idi: 6,5 – 5,33 = 1,17$ bu değer pozitif
olduğundan yeni model hesap makinasının üretimi karlı olacaktır.
Örnek: Z max= 6X1+7X2+10X3 0.2X1+0.3 X2+0.4X3 ≤ 320
0.6X1+0.5 X2+0.4X3 ≤ 400
0.8X3 ≤ 160
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 6480.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 2.400000
X2 640.000000 0.000000
X3 200.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 48.000000 0.000000
3) 0.000000 14.000000
4) 0.000000 5.500000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 6.000000 2.400000 INFINITY
X2 7.000000 5.500000 2.000000
X3 10.000000 INFINITY 4.400000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 320.000000 INFINITY 48.000000
3 400.000000 80.000000 320.000000
4 160.000000 240.000000 160.000000
LINDO Çözüm Tablosunun Yorumlanması:OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 6480.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 2.400000
X2 640.000000 0.000000
X3 200.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 48.000000 0.000000
3) 0.000000 14.000000
4) 0.000000 5.500000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 6.000000 2.400000 INFINITY
X2 7.000000 5.500000 2.000000
X3 10.000000 INFINITY 4.400000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 320.000000 INFINITY 48.000000
3 400.000000 80.000000 320.000000
4 160.000000 240.000000 160.000000
Amaç Fonksiyonu Değeri
İndirgenmiş Maliyet Değerleri
Karar Değişkenlerinin Çözüm Değerleri
Aylak/Atık Kapasite
Gölge Fiyatı/Fırsat Maliyeti
Karar değişkeni katsayıları için azami azalış
miktarı
Karar değişkeni katsayıları için azami artış
miktarı
Kaynak değerleri (STD) için azami azalış miktarı
Kaynak değerleri (STD) için azami artış miktarı