doĞrusal programlama

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

1 Yrd. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Doğrusal programlama belli bir amacı gerçekleştirmek için sınırlı kaynakların etkin kullanımını ve çeşitli seçenekler arasında en uygun dağılımı sağlayan matematiksel bir tekniktir. İkinci Dünya Savaşı yıllarında askeri problemleri çözmek amacıyla geliştirilen bu teknik daha sonra en uygun (optimal) kaynak dağılım problemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılmıştır.

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

3

Hem amacın bir doğrusal eşitlik hem de bu amacın gerçekleşmesini kısıtlayan şartların doğrusal eşitlik ya da doğrusal eşitsizliklerle ifade edilebilmesidir.

Doğrusal programlamanın temel varsayımı;

Doğrusallık kavramı, doğrusal programlama probleminde yer alan değişkinler arasında sabit bir oransal ilişkinin olduğunu gösterir.

4

x y

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

y = 3x

x ile y arasında doğrusal bir ilişki vardır.

(1,3)

(3,9)

(4,12)

(2,6)

(5,15)

5

(1,2)

(2,5)

(3,7)(4,6)

(5,4) y = ?x

x ile y arasında doğrusal bir ilişki yok.

x y

1 2

2 5

3 7

4 12

5 10

Amaç fonksiyonu, matematiksel olarak formüle edilen

ve ifade ettiği sayısal değerin en büyük ya da en küçük

olarak gerçekleşmesini hedefleyen z = c1x1+c2x2+. . .

+cnxn gibi bir doğrusal fonksiyondur. Bu fonksiyon

şeklinde daha genel bir biçimde ifade

edilebilir.

i

n

ii xcz

■ Amaç Fonksiyonu:

7

■ Kısıtlılıklar:

Bir doğrusal programlama probleminde amaç

fonksiyonunun alabileceği değeri sınırlayan

kısıtlılıklar ikiye ayrılır.

1. Kaynak Kısıtlılıkları; Bunlar temel sınırlılıklar olup

probleme ilişkin mevcut kaynakları belirtirler. Bir

problemde m tane kaynak kısıtlaması varsa bu

kısıtlılıklar bir doğrusal eşitsizlik sistemi oluştururlar.

8

a11x1+a12x2+. . . A1nxn ≤ b1

a21x1+a22x2+. . . A2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1+am2x2+. . . amnxn ≤ bm

Bu eşitsizlik sistemleri; ii

n

1ii bxc

şeklinde daha genel biçimde ifade edilebilir.

ii

n

1ii bxc

veya

a11x1+a12x2+. . . A1nxn ≥b1

a21x1+a22x2+. . . A2nxn ≥ b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+. . . amnxn≥bm

veya

2. Negatif Olmama Kısıtlılığı;

Doğrusal programlama problemlerinde yer alan değişkenler ( xi ler ) negatif değer alamazlar.

9

Doğrusal Eşitsizlik Sistemlerinin çözümü

a11x1+a12x2+. . . a1nxn ≤ b1

a21x1+a22x2+. . . a2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1+am2x2+. . . amnxn ≤ bm

Şeklinde n tane bilinmeyeni m tane eşitsizliği olan sistemlere bir eşitsizlik sistemi denir.

Bir eşitsizlik sisteminin çözümü diye her bir eşitsizliği sağlayan (x1,x2,…,xn) n-lileri kümesine denir.

İki bilinmeyenli bir eşitsizlik sisteminin çözümü bir düzlemsel bölgedir.

10

Teorem: Bir doğrusal programlama probleminde en iyi çözüm varsa, bu çözüm, çözüm bölgesinin köşe noktalarından birinde veya birkaçında ortaya çıkar.

Çözüm bölgesi sınırlı ise amaç fonksiyonunun hem maksimum hem de minimum değeri vardır. Başka bir deyişle, en iyi çözüm vardır.

Çözüm bölgesi sınırsız ve amaç fonksiyonunun katsayıları pozitif ise, amaç fonksiyonunun minimum değeri vardır; fakat maksimum değeri yoktur.

Problem: (Üretim Planlaması)

Bir mobilyacı tanesini 200 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 300 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 2 kg boya gerektirirken bir adet büyük masa 4 saatlik doğrama işçiliği ve 1kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için günlük en çok 96 saat çalışabilmekte ve günlük en çok 44 kg boya kullanabilmektedir.

Mobilyacı karını maksimize edebilmek için günlük kaç tane küçük boy, kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

12

Ayrıca üretilecek masa sayısı negatif olamayacağı için x ≥0

y ≥0

olmak zorundadır (negatif olmama kısıtlılığı).

3x+4y ≤ 96 Doğrama işi kısıtlılığı

2x+ y ≤ 44 Boya miktarı kısıtlılığıKaynak kısıtlılığı

Doğrama Boya Kar

x için 3 saat 2 kg 200

y için 4 saat 1 kg 300

Kaynak kısıtlılığı 96 saat 44 kg

Verilenleri bir tabloda özetleyelim. Küçük boy masalardan x, büyük boy masalardan y tane üretmek gereksin.

Amaç fonksiyonumuz: Zmax=200x+300y olur.

13

kısıtlamaları altında maksimize ediniz.

“zmax = 200x+300y fonksiyonunu3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44x ≥ 0 y ≥ 0

Amaç Fonksiyonuzmax = 200x+300y

3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0

Negatif Olmama Kısıtlılıkları

Karar Değişkenleri

Kaynak Kısıtlılıkları

olur

Problemimiz;

14

3x+4y ≤ 96 2x+ y ≤ 44 x≥0 y≥0

2x+ y = 44

3x+4y =96

x

y

22

44

ÇÖZÜM BÖLGESİ

Eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini bulalım.

(16,12)

32

24

3x+4y =96 3x+4y=96 2x+ y =44 -8x-4y=-176

5x=80

x=16, y=12 K(16,12)

15

zmax = 200.22=4400 TL(22,0) noktası için


zmax = 200.16+30012=6800 TL(16,12) noktası için

Çözüm Bölgesinin köşe noktaları için z = 200x+300y amaç fonksiyonunun aldığı değerleri bulalım.

Firmanın en çok kar elde edebilmesi için küçük boy masalardan hiç üretmeyip büyük boy masalardan 24 adet üretip satması gerekir.


Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 3, 2. bantta 5 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 4, 2. bantta 3 saat süre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta 61 ikinci bantta 65 saat iş kapasitesi vardır.

Firma 1 adet A türü telsizden 300, 1 adet B türü telsizden 600 TL kar etmektedir. Ancak B türü telsizden 13 adetten fazla üretmek istememektedir.

Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden kaçar tane üretmelidir?

17

Çözüm:

Firmanın maksimum kar etmesi için A türü telsizden x adet, B türü telsizden y adet üretmesi gereksin.

Amaç fonksiyonu; zmax = 300x + 600y

1. bant 2.bant kar

x için 3 saat 5 saat 300

y için 4 saat 3 saat 600

Kapasite 61 saat 65 saat

3x+4y ≤ 61 5x+3y ≤ 65 0≤ y ≤ 13 olur x ≥ 0

kısıtlılıklar ise

y

18

3x+4y = 61

5x+3y= 65

doğularının grafikleri;3 4 61 15 20 305

5 3 65 15 9 195

x y x y

x y x y

11 110 10 7 7 10y y , x K( , )

5x+3y=65 3x+4y =61

y = 13

ÇÖZÜM BÖLGESİ

61/313

65/3

(7,10)

61/4

(3,13)

x(0,0)

19

Çözüm bölgesinin köşe noktaları (15,0), (7,10), (3,13), (0,13) noktalarıdır. zmax = 300x+600y kar fonksiyonunun

bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım .


zmax = 300.7+600.10=8100 TL(7,10) noktası için

zmax = 300.3+600.13=8700 TL(3,13) noktası için


Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 3 adet A türü, 13 adet B türü telsiz üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 8700 TL olur.

20

Bir fabrikada 2-kişilik ve 4-kişilik şişme botlar üretiliyor. Her bir 2-kişilik bot, kesim için 0.9 iş saati, dikim ve toplama için 0.8 iş saati ; her bir 4-kişilik bot, kesim için 1.8 iş saati, dikim ve toplama için 1.2 iş saati gerektiriyor. Aylık maksimum iş gücü, kesim bölümünde 864 iş saati, dikim ve toplama bölümünde 672 iş saatidir. Üretilen tüm botların satılacağına ve her bir 2-kişilik bottan 25 YTL , her bir 4-kişilik bottan 40 YTL kâr elde edileceğine göre, maksimum kâr için, her tür bottan kaç adet üretilmelidir?


21

Gerekli İş Gücü Aylık İş Gücü

2 kişilik 4 kişilik

Kesim Bölümü 0,9 1,8 864

Dikiş Bölümü 0,8 1,2 672

Kar 25 40

İki kişilik bottan x, 4 kişilik bottan y adet üretilsin.

0y0x6721.2y0.8x8641.8y0.9x

40y25xz

Problemimiz;

şeklini alır.

fonksiyonunu

Şartları altında maksimize ediniz.

Z = 25x+40y YTL olur.

22

0,840

240,480

560,0

0,960

480,0

0,0 1x

2x

480 adet 2-kişilik, 240 adet 4-kişilik bot ile 21600 TL maksimum kâr elde edilir.

KÖŞE P

(0,0) 0

(840,0) 21000

(480, 240) 21600

(0,480) 19200

0,8x1+1,2x2 = 672

En iyi çözüm

0,9x1+1,8x2 = 864

P(480,240)=25.480+40.240=21600

0,9x+1,8y = 864

0,8x+1,2y = 672Doğrularını çizelim.

20166,34,217286,38,1

yxyx

)240;480(240,480 Kyx

23

Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 1 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 2 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 32 iş saati; dikiş bölümünde en çok 84 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 50 TL, B modeli çadırlardan her biri de 80 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz.


24

Verilenleri bir tabloda özetleyelim.

Gereken İş Gücü Günlük İş GücüA modeli B modeli

Biçki Bölümü 1

2 32

Dikiş Bölümü 3 4 84Çadır başı kâr 50 80

25

A model çadırdan günde x adet, B model çadırdan y

adet üretilsin. Bu durumda elde edilecek kâr:

00x322yx844y3x80y50xP"

y

Problemimiz;

fonksiyonunu

kısıtlılıkları altında maksimize ediniz.”

Z = 50x + 80y TL olur.

olur

26

322 yx

8443 yx

6,20

16,0

0,32

0,28

21,0

2x

1x 0,0

Amaç fonksiyonunun maksimum değerini çözüm bölgesinin hangi noktasında aldığını belirlemeliyiz.

00

3228443

yx

yxyx

ÇÖZÜM BÖLGESİ

27

Çözüm bölgesinin köşe noktaları (28,0), (20,6), (0,16), noktalarıdır. zmax = 50x+80y kar

fonksiyonunun bu noktalardan hangisinde maksimum değerini aldığını bulalım.

zmax = 50.28 =1400 TL(29,0) noktası için

zmax = 50.20+80.6 = 1480 TL(20,6) noktası için


Firmanın maksimum kar elde edebilmesi için 20 adet A türü, 6 adet B türü çadır üretmesi gerekir. Bu durumda maksimum karı 1480 TL olur.

28

1. Problem: (Üretim Planlaması)

Bir mobilyacı tanesini 600 TL karla sattığı küçük boy masa ile, tanesini 750 TL karla sattığı büyük boy masa üretmektedir. Bir küçük masa 3 saatlik doğrama işçiliği ve 4 kg boya gerektirirken bir adet büyük boy masa 6 saatlik doğrama işçiliği ve 3 kg boya gerektirmektedir. Mobilya atölyesi doğrama işi için haftada en çok 108 saat çalışabilmekte ve haftada en çok 126 kg boya kullanabilmektedir.

Mobilyacı karını maksimize edebilmek için haftada kaç tane küçük boy ve kaç tane büyük boy masa üretmelidir?

ÖDEVLER

29


Bir firma iki ayrı bantta A ve B türü telsizler üretmektedir. 1 adet A türü telsiz üretmek için 1. bantta 1, 2. bantta 3 saat, 1 adet B türü telsiz üretmek için 1. bantta 2, 2. bantta 4 saat süre gerekmektedir. Firmanın birinci bantta haftalık48 ikinci bantta 108 saat iş kapasitesi vardır.

Firma 1 adet A türü telsizden 120, 1 adet B türü telsizden 175 TL kar etmektedir.

Bu kısıtlılıklar altında Firmanın maksimum kar edebilmesi için A ve B türü telsizlerden haftada kaçar tane üretmesi gerekir?

30

Bir imalatçı, A ve B türü olmak üzere iki tür çadır imal ediyor. Çadırlar, imalathanenin biçki bölümünde kesiliyor, dikiş bölümünde dikilip paketlenerek piyasaya veriliyor. A modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 3 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati, B modeli çadırlardan her biri için biçki bölümünde 5 iş saati, dikiş bölümünde 3 iş saati harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, biçki bölümünde en çok 135 iş saati; dikiş bölümünde en çok 114 iş saatidir. A modeli çadırlardan her biri 60 TL, B modeli çadırlardan her biri de 75 TL kâr bıraktığına ve üretilen tüm çadırların satılacağı varsayıldığına göre, imalatçının günlük kârının maksimum olması için her tür çadırdan kaçar adet üretilmesi gerektiğini belirleyiniz.


doĞrusal programlama

Documents