elementares aus der höheren geometrie

Elementares aus der hoheren Geometrie

Herrn Professor Dr. OTT-HEINRICH KELLER, meinem verehrten Lehrer, zum 60. Geburtstag

Von GERHARD GEISE in Dresden

(Eingegangen am 15.12.1965)

0. Durch das Erscheinen der ,,Grundmannigfaltigkeiten der projektiven Geometrie" von W. BURAU [5] l), insbesondere aber der ,,Mehrdimensionalen projektiven und hoheren Geometrie'' [6] desselben Verfassers diirften die dort behandelten, etwas klassischen Gebiete wieder ins Blickfeld des all- gemeinen geometrischen Tnteresses geriickt worden sein. Der Begriff ,,hahere Geometrie" 1Lfit sich zwar nicht genau fassen, jedenfalls aber spielen die sog. ubertragungsprinzjpien in ihr eine anregende Rolle 2 ) . Der Anreiz, sich mit ihnen zu beschiiftigen, wird wohl immer wieder dadurch gegeben, dafi vollig bekannte Sachverhalte der projektiven Geometrie in einem passend dimensionierten Raume in einem geometrischen Gebilde wiedergegeben werden, das die Ausgangsgegebenheiten in neuen, iiber- raschenden Zusammenhangen erscheinen lafit und so aus ,,hoherer" Sicht (indem z. B. auch friiher nicht benutzte Mittel gebraucht werden) zu betrachten gestattet.

Hier sol1 geschildert werden, wie vom Standpunkt der so umschriebenen ,,hoheren Geometrie" aus die wohlbekannten projektiven Abbildungen einer Geraden in sich auf Grund der XT~PHANOSSChen Abbildung 3) behandelt werden konnen, wenn die von BURAU mehrmals gestreifte ,,Matrizen- geometrie" e twas mehr in den Vordergrund geriickt wird4). Der Gegenstand

1) Eine Zahl in eckigen Klammern verweist auf die entsprechende Arbeit des Literatur- verzeichnisses auf S. 376.

2) Zu Obertragungsprinzipien, bei denen eine regulare Hyperflache zweiter Ordnung von Bedeutung ist, vgl. WAGNER [26].

3, vgl. STEPHANOS [22]; man spricht auch von CARTAN-SThPHANOSSCheP Abbildung, vgl. E. CARTAN [7], 262ff., COXETER [8], 136ff.; s. auch ROTHE [20].

4) Diese Betrachtungen konnen auch als Erganzung des bei BURAU [5 ] , S. 92, unter ,,n = 1" Mitgeteilten angesehen werden. - Im iibrigen diirfte wohl wesentlich alles, was iiber die Projektivitiiten einer Geraden auszusagen ist, zu finden sein bei E. CARTAN [7]; es werde auch verwiesen auf F. KLEIN [14].

362 Geise, Elementares aus der liiilieren Geometrie

hat in neuerer Zeit verschiedeiie geoinetrisch-axiomatische und -algebraische Darstellungeii uiid Bearbeitungen, auf die - ohne Vollstandigkeit zu ver- mogen - an geeigneter Stelle hingewiesen werdeii soll, erfahren, aber auch im Gewande elemeiitarer Methoden offeiibart er seinen ganzen Beziehungs- reichtum.

1. Es ist iiicht ungunstig, den Begriff der projektiven Gleichheit voii

Defini t ion. Zwei JIatrizen A , B gleicheii Formats, von denen keiiie Kullmatrix ist. hei13en projekfic-gEeich, wenii sie iiber deni betrachteten Gruiidkorper linear abhangig siiid: in Zeiclieii: A B. Eerrier soll eine Matrix, die durch zu ihr projektiv-gleiche Jlatrizen ersetzt werdeii darf, projektic-einde f ig (best ininit ) gcnaimt merdcii.

Die Klasseii der projektiv-gleichen. den peordiieten Paaren (xo, xI) + ( O , 0)

kompleser Zahleii entsprechendeii (2.1)-JIatrizen x = (,::) i. ("0) be-

schreibeii \Iiiikehrbar-eiiideutig die Pnnkte X eiiier konipleseii projektiven

Geraden; x = ' heifit ciii Koordinrrfencektor (KV) voii 5.

Matrizen eiiizufuhren :

L, i Es seieii PI und Q1 zwei komplese projektive Geraden, die man sich auch

in vereiiiigter Lage clenken kann. Eiiie bliebige (2,2)-Matrix A = ( O' 01) niit

komplexen Element en, die iiicht alle Null sind, verinittelt eine projektive Abbildung u voii Pi iiid Q' gem113

(1) P I 2 Ql : y A x , u-enn x, y KVen voii Pmikten X E Pl und 1' E &I sind. Die Klasse der zu A projektiv-gleicheu. also alle dieselbe Abbilduiig u vermittelnden Matrizen heil3t eiiie projektive ( 2 . 2 ) - X d r i x . Diese projektive Matrix eiitspricht der Ab- bildung tc eiiieiiideutig und werde ebeiifalls M genannt. Die Gesamtheit der projektiven (2,2)-JIatrizen ist [da ron drei weseiitlichen (komplexen) Para- meterii abh5ngeiidl ein clreidivzensionaler projektiver Matrixenraum m3. Die Matrix A wird man eiiie Koordinatenmntrix (KM) des Punktes u dieses Raumes neiineii. - Die (komplexe) projektive Gerade ist in diesem Sinne ebeiifalls eiii projektiver Natrizeuraum, nlnilich der Raum der projektiveii (2 , l ) - [oder auch (I.?)-] Natrizen (uber dem Korper der komplexen Zahlen).

Die Begriffe .,Raiig" und . .verschwindende" oder ,,iiicht verschwindende Determinante" ubertrageii sich in naturlicher Weise auf die Elemente pro- jektirer Matrizenraume. - Uiiter den Elementen des projektiven Matrizen- raumes 9X.l sind jene voii besonderem Iiiteresse, die eilie verschwiiidende Determiiiente habeii, deiiii sie verinittelii die siiigulkren projektiveii Ab- bilduiigeii von Pl in Q1. Eie lassen sicli iiii Xatrizenraum weniger aiischaulich

a a a10 a11

Geise, Elementares a m der lioheren Geoinetrie 363

beschreiben als in dem ,,gewohnlichen" dreidimensionalen projektiven Raum P3, auf den 9X3 vermoge folgender eineindeutigen, nach C. STI% PHANOS 5) zu benennenden Znordnung abgebildet werden kann :

(2) m3 +% P3:

wobei

i A E P3 mit KV a = (ao, a,, a2 , a3)T e),

= a O O , "1 = ao1, a2 = a,,, a3 = "11 51,

d. h. der Abbildung tc niit der KM A wird eineindeutig der ebenfalls mit A bezeichnete Punkt des ,,gewohnlichen" P3, der den KV a hat, zugeordnet. Die ansgearteten proj ektiveii Abbildungen entsprechen umkehrbar-eindeutig den Punkten X ( x o , xi, x2, xg) der regularen Flache 2. Ordnung H in P3, die die Gleichung (3) H . . . 0 = xo x3 - x1x2 besitzt. - Gewisse Sachverhalte des 9R3 konnen im P3 veranschaulicht werden, wahrend umgekehrt die , ,matrizengeometrische Sprache" des m3 eiii Operieren im P3 erleiclitern kann.

2. Die Punkte der soeben eingefuhrten Quadrik H in P3 sollen noch eine weitere Bedeutung fur die Geraden PI und Q1 erhalten. Beschreibt

T F = ( $ " > X I , x2, $3)

einen Punkt X von H , dann kann eine gem613 der Zuordnung 1c dem Punkt X

zugehorige Matrix X = xo wegen rg X = 1 in der Form (.? 4) ( 4) X = b c T mit projektiv-eindeutigen (2,l)-Matrizen b = (bo , bl )T, c = (cot c ~ ) ~ , von denen keine Nullmatrix ist, geschrieben werden. Es konnen b uiid c als KVen eindeutig bestimmter Punkte einer oder verschiedener projektiver Geraden aufgefaot werden. Verabredung. In der projektiv-eindeutigen Zerlegung (1) einer (2,S)-Matrix vom Rang 1 sol1 der , ,hike Faktor" b einen Punkt B von Ql, der ,,rechte Faktor" c einen Punkt C von Pl angeben.

Wird die Matrix X mit rg X = 1 variabel angenommen, so daB der zugehorige Punkt X in P3 die Quadrik H durchlauft, dann bedeutet die angegebene Zerlegung (4) nichts anderes als eine wohlbekannte Parameter-

5 ) Siehe FuSnote 3. 6 ) Das Zeichen T kennzeichnet den Ubergang von einer Matrix zur transponierten

(= gestiirzten) Matrix. 7) Die ,,Naturlichkeit" dieser Zuordnung wird noch augenfalliger, wenn man die Doppel-

indizes als die Zahlen 0, 1, 2 , 3 im Dualsystem liest.

364 Geise, Elementares aus der hoheren Geometrie

darstellung von H mit den homogenen Parametern bl : bo und el : coS). Die beiden Erzeugendenscharen von H sollen wie folgt bezeichnet werden : Der Punkt X mit X = b cT durchlauft bei lfestem b und (variablem c eine Iliiike Erzeugende . leZ ;

Ivariablem (festem (rechte \er

I b ist ein KV fur die Erzeugende l e z . ( c 1 er

3. Urn die projektiven Abbildungen einer projektiven Geraden in sich zu betrachten, sollen die beiden bisher nicht notwendig verschiedenen Geraden Pl uiid Q' eine einzige Gerade Pl sein. Die Quadrik H ist dann Bild aller geordneten P~~nktepaarc (B , C) von PI. Zu jeder Abbildung a von PI in sich gibt es eine Menge von (Bild-Urbi1d)-Punktepaaren, die zu- folge der oben getroffencn Verabredung einer gewissen Untermenge von H entspricht uiid zum Gegenstand der Betrachtungen gehort :

Es sei u eine projektive Abbildung von Pl in sich, also analog (1) P'> Pi: y = Ax.

Die Munnigfultigkeit (Xf) T', der (Bild- Urbi1d)- Punktepuure dieser Ab- bildung hat d a m die JIatrixdarstellung

nus der die Parameterdarstellung

abzuleseii ist, wobei R: = (x0. x , ) ~ KVen aller Punkte von Pl durchlauft. Es sind die Falle rg u = 2 und rg u = 1 zu unterscheiden. Man iiber-

zeugt sich leicht davon, da13 gilt: Satz 1. I s t die Abbildung u regular. dnnn ist die (Bild-Urbi1d)-Mf Vc7, e i n

regularer Kegelschnitt. der uics deer QuudriX: H durch die Ebene ((3 0 = I/? z,, + (I.) X I - ng 22 - n1 23

ausgeschnitten t o i d . E, . . .

8) Diese Darstellung weist die Flache H als eine SEGREsche Mannigfaltigkeit aus, und zwar ist sie das einfachste nichttriviale Beispiel fur eine solche Mannigfaltigkeit; vgl. z. B. BURAU [8] , [B]. Zugleich ist die Quadrik H das bekannteste Beispiel fur das Modell eines mehrfach-, hier zaeifach-projektiven Raumes, da sie als eineindeutiges Bild der Gesamt- heit der geordneten Punktepaare (B , C ) , wo B E Qi und C E Pi unabhangig voneinander die Geraden Q' und PI durchlaufen, aufgefal3t werden kann. Die mehrfach-projektiven Raume, die mit den SEGRESChen Xannigfaltigkeiten identifiziert werden konnen, werden z. B. eingefuhrt in VAN DER WAERDEN "'51.

Geise, Elementares aus der hoheren Geometrie 366

1st dagegen rg ci = 1, dann ist mit der projektiv-eindeutigen Zerlegung A = b cT von A

(5") v,. . . 2 = (c'z) ( b x'). Hieraus folgt

Satz 2. a) Ist die Abbildung a singular (vom Range l ) , dann ist die (Bild- Urbi1d)-Mf V a eine ,,punktierte" Gerade, numlich die Gerade mit der Dar- stellung

o h n e den z u m Parameter x = (xo, zl)' = ( - c l , c " ) ~ = c* gehorenden, den K e r n der Abbildung a charakterisierenden Punk t , also ohne den durch

(7) ZO : 21 : 2 2 : 2.3 = b, XU : bo XI : b, XO : bL X L

G* . . . ~ * = ( - b o c , , boco, -bit,, bl~,)' = (- a,, ao, - a J , adT

beschriebenen Punk t C* dieser Einken Erseugenden ( 7 ) von H . b) W i e im Fnlle rg u = 2 , so geht nuch bei rg a = 1 die Ebene E, [GI. (6)]

durch die (Bi ld- Urbild)-Mf V , der Abbildung, doch ist E, jetzt Tangentialebene an H ; von den beiden aus H ausgeschnittenen Erzeugenden enthalt die suin l inken Regulus gehorende die Mf V,, und der ausgelassene Punk t C* ist gerade der Pol von F, bzgl. H , also der Schniftpunkt mit der nnderen Erzeugenden.

Damit ist eine umkehrbar-eindeutige Zuordnung zwischen den Ebenen des Raumes Ps und den (Bild Urbi1d)-Mfen auf H nacligewieseng). Der Zusammenhang zwischen den Ebenen I, und den die Abbildungen u dar- stellenden Punkten A von P3 ist ebenfalls eiii denkbar einfacher :

Satz 3. Der P u n k t A € P3 (KV a), der eine projektive Abbildung von Pi in sich reprasentiert, und die Ebene E, (KV e g ) , deren Schnitt rnit der Quadrik H die (Bi ld- Urbi1d)-Mf V , von c( enthalt, entsprechen einander in einem regularen linearen Nullsystem % des P3 gemub

9) Die Mfen V , werden durch (5 ) bzw. (5') und (5") als rationale Mfen, in diesem Fall als rationale Kurven ausgewiesen und sind hier entweder regulare Kegelschnitte oder punktierte Geraden. Die punktierten Geraden (jede affine Gerade kann vom projektiven Standpunkt als eine punktierte Gerade angesehen werden) konnte man singulare rationale Mfen nennen. Normalerweise wird bei der Betrachtung rationaler M e n der Fall aus- geschlossen, daB die in ihrer Parameterdarstellung auftretenden Polynome einen gemein- samen nicht-konstanten Faktor haben (vgl. etwa PERRON [19]), wahrend hier dieser Um- stand von wesentlicher Bedeutung ist. Die rationalen Kurven hangen weiter eng mit den sog. VERONESESChen Mfen zusammen, die auf SEaREschen Mfen liegen bzw. &us solchen erhalten werden konnen; s. etwa BURAU [5, 61.

366 Geise, Elementares aus dcr Iiijheren Geomctrie

Die linken Erxetcgenden con H sowie die beiden rechten Erzeugenden i,, 'i, rnit den KVen c , = (1. i ) T , c- , = ( 2 , - i)T gehoren zu den Nvllgeraden von

I m Falle rg M = 1 liegt der M entsprechende Punkt A auf jeiier liiiken Erzeugenden ( 7 ) , die die (Bild-Urbi1d)-blf V, von M enthiilt. Der ausgelassene Punkt C* stimmt genau daiin nit A iiberein, wenii A einer der in Satz 3 angefuhrten rechteri Erzeugendec i, , i, angehort, d. h. weiin E, durch i, oder I r geht.

1st rg M = 2 , d a m beriihreii die Tangenten aus A an den Kegelschiiitt V , diesen Kegelschiiitt gerade in den Schnittpunkten der Erzeugenden i,, 'i, mit ~ ~ 1 0 ) . Betrachten wir die projektive Gerade Pi nur uber dem reellen Zahlkorper und nur reelle regulare hbbildungen M , dann liegen die Punkte A stets im Jnnern der durch die Ebeiien E, aus H ausgesclnittenen Kegelschnitte V , .

Fiir den eindimencionalen projektiven Raum, die Gerade, ist das Dualitatspriiizip leer. Trotzdeni 18Gt es sich formal analog den hoher- dimensionalen Fallen durchfuhren. Betrachteii wir daher die zu den projektiveii Puiikt-Punkt-Abhilduiigeii PI + Pl dualen Abbildungen

92. (G = - 1.)

4.

P )̂"- P-1: v = A u,

wo P-1 der als Hyperebeiieiiraum aufgefante Punktraum PI ist und u, v KVen voii Hyperebenen von PI sind. Die ( 2 , 2)-IiM A - der Abbildung cc*'

sprechenden Hyperebene A - E PJ: liefere analog der Vorschrift x ( 2 ) eineii KV a- einer M eineindeutig ent-

Die singulareii projektiven Abbildungen eiitsprecheii umkehrbar eindeutig den Ebeiieii einer regularen Flache 7. Klasse H A mit der Qleichung

A n H - . . . 0 = B,) bJ - ( I 1 (1.1

in Ebenenkoordinaten. Das ist die Darstellung der Flache 2. Ordiiung H [Gl. (3)] als Klassenflache. Die Klassenflache H - wird als Bild aller geordneten Hyperebenenpaare (B- ,C") von Pi aufgefal3t. Die (Bild-Urbi1d)-Mf V-,- einer Abbildung M- v3n P-1 in sich wird analog wie oben V, eingefuhrt. Man betrachte nun zunachst eine regulare projektive Abbildung

10) Eine elementare Rechnuiig bestatigt dieses Ergebnis, das zu erwarten war, vgl. z. B. STURM [24], S. iOOff .

Geise, Elementares aus der hoheren Geometrie 36 7

die in Hyperebenenkoordinaten bekanntlich die Darstellung h P - l s P-1: v = A u mit

besitzt. Man bestatigt dann leicht

Satz 4. I s t die Abbildung u" regulur, dann ist die (Bild-Urbi1d)-Mf V",.. e in regulurer Kegel 2 . Klasse, der vom Punkte

S,-(& : d3 : -- d o : - a,) = Sa..(- a , : uo : - aJ : a?)

[vgl. G1. (S)] aus un die Klassenguadrik H" yelegt werden kann. Die Kegel- spitze S , .. ist der Pol der Ebene E, bzyl. H und von der Ebene A ^ , d i e die A b - bildung u- in P:' reprasentiert, der Nul lpunkt in dem Nullsystem %. Die Ebenen des Klassenkegels V",- schneiden aus der Ebene E, den Kegelschnitt I/, als Klassenkurve aus.

Fur singulare Abbildungen erhalt man

Satz 5. I s t die Abbildung u" singular (vom Range I), dann ist die (Bild- Urbi1d)-Mf V-,- ein , ,punktiertes" Ebenenbuschel, das eine Gerade der linken Erxeugendenschar von H irls Trager besitzt ; die ausgelassene Ebene ist wieder f u r den K e r n der Abbildung kennxeichnend.

Im ganzen gesehen bedeutet also das (formale) Dualisieren in Pl das Ausiiben des Polarsystems bzgl. H in P3.

5. Wir kehren zu den projektiven Punkt-Punkt-Abbildungen von PI zuriick und wollen das Hintereinanderausfiihren zweier solcher Abbildungen im P3 nachbilden 11). Wir betrachten zunachst zwei regulare Abbildungen von Pi in sich und ihre moglichen Produkte. Die Aufgabe besteht darin, aus gegebenen Punkten A und B die Punkte A B und BA zu konstruieren. Zu dem Zweck werden die speziellen Kollineationen

2' = A 2 und Z" = Z A ( A fest)

des Raumes n 3 bzw. des Raumes P3 betrachtet, die beide die Quadrik H auf sich abbilden, wenn A regular ist : Bei (mit Z == x y T ) der Abbildung

T (rechte I 2 = = (Ax) Y bleibt jede Erzeugende als ganzes fest, 12" = 2.4 = x ( A ~ Y ) ~ \linke

wahrend ihre Punkte der Abbildung unterworfeii werden, die sich auf I uT 1 linken I linken (rechten lrechten Grund der Paranietrisierung des Regulus auf die Er-

11) ST~PHANOS [22], 313ff., COXETER [8], 141ff.; 6 . auch HORNIA~EP [12].

368 Geise, Elementares aus der hoheren Geometrie

linken rechten Regulus zwei (eventuell zeiigenden von H fortset,zt. Daher gibt es im

zusammenfallende) puii ktweise festbleibende Erzeugende "" 1 2 . Diese Ab-

biltlungen sind als C'LIFFORDsChe Schiebungen wohl bekannt ; sie

sind gewisse axiale Raumkollineationen I?), deren Achsenpaar

p-1, r2

IRechts- \Links-

{:;: ?:) der I Linksschar IRechts- I Rechtsschar \Links- voii H angehort . Bej einer Schiebung liegen homologe

Piinkte auf einer Treffgeraden des Achsenpaares ('I ' . die Treffgeraden I(r17 r2)'

Irecht,s- ]links- parallel. Allgemein heiBen zwei r 0 11 ' ") heiBeii zueiiiaiider

\ ( T I 1 9.2) I linken Irechts- \rechten \links- Geraden, die dieselben Erzeugenden von H treffen, parallel.

I Rechts- \Links- Folglich sind bei einer Schiebung homologe Geraden zueinander

Ilinks- \ rechts-

parallel 13).

Nach dieser Aufzahlung vollig bekannier Dinge 1aBt sich die Konstruk- tion der Punkte A B und BA ails den Punkten A und B wie folgt beschreiben. Es sei E der die identische Abbildung von PI reprasentierende Pimkt uiid natiirlich A += E, B + E. Zunachst werde vorausgesetzt, daIj A, B und E nicht auf einer Geraden liegen. Dann gilt :

Die Punkte B, A 3 gehen aus den Punkten E , A durch die Linksschiebung 2' = ZB hervor.

Die Punkte A, AB gehen aus den Punkten E , B durch die Rechtsschiebung 2' = A2 hervor. Somit :

Satz 6. M a n erhalt den P u n k t AB, indesn m a n die Rechtsparallele zur Geraden EA d w c h 3 ?nit der Linksparallelen zur Geraden EB durch A schneidet. Analog folgert m a n :

Der Punk t B A ist der Schnittpunkt der Linksparallelen zur Geraden EA durch B mi t der Rechtsparallelen zur Geraden E B durch Af4).

Die beiden Punkte A B uiid BA stimmen genau dann uberein, wenn die beiden vorstehend konstriiierten Geraden durch A einerseits und die durch

1') Auch : gescharte Kollineation, windschiefe Perspektive. 13) Aus den Rechts- und Linksschiebungen und der Abbildung T: Z* = Z T , die die Er-

zeugendenscharen von H vertauscht, setzen sich samtliche Kollineationen des P3 ( s 9.29, die die Quadrik H auf sich abbilden, zusammen.

14) Siehe FuDnote 11.


B andererseits zusammenfallen, d. h. wenn die Linksparallele zur Geraden -

IEB IEA

A zugleich auch Rechtsparallele zur Geraden IB

I E B durch \EA durch ' A ist. Dies ist genau d a m der Fall, wenii der Punkt ( A auf der

EB bzgl. H liegt. Dann aber liegeii A und B in der Polar- Polaren voii

ebene von E bzgl. H und zugleich koiijugiert zueinander bzgl. H . Dieser gleich zu verwertende Sachverhalt werde mit (*) bezeichnet.

Da die Ermittluiig der Punkte A B uad BA auf die Konstruktion ge- wisser CLIFFoRDscher Parallelogramme hinauslauft , wird man an die elementare Vektorrechnung mit ihrer ,,Par~llelogrammregel" fur die Addition linear unabhaiigiger Vektoren erinnert, uiid man wird so darauf gefuhrt, wie die Konstruktion in dein ausgeschlossenen Fall, dalj E, A , B auf einer Geraden liegen, zu bewerkstelligen ist. Eine kleine Uberlegung werde vorausgeschickt.

Reprasentiert der Punkt C eine reguliire projektive Abbildung y von Pi in sich, so sei C-1 der Punkt, der y-1 (KM C-1) entspricht. Fur die regulare (2,2)-Matrix C =+ E stimmen charakteristisches und Minimalpolynom iibereiii. Es besteht daher die Beziehung

- 0 = C1- a C + b E - O = Nullmatris),

\ B \B

(..

(a = Spur C, b = (CI + O ;

der zu entnehmen ist, dalj die Puiikte Cn fur alle ganzeii Zahlen n auf der Geraden EC liegen (CO = E ; es kann C-1 7 C sein).

Die Punkte E, A und B mogen auf einer Geraden liegen. Ein (regdarer) Punkt C werde so angenommen, dalj er iiicht dieser Geraden angehort. Dann liegt auch C-1 nicht auf dieser Geraden. Nach der , ,Parallelogramm- regel" (Satz 6) konstriiiere man nun z. B. die Punkte AC und C-1 B (die mit E iiicht auf einer Geraden liegen), aus denen der Punkt A B zu erhalten ist. IJiiter der gegebenen Voraussetzung ( E , A , B auf einer Geraden) ist

Zusamineii mit der Aussage (*) sind damit alle Falle bekaiint, waiin fur regulare Matrizen A und B die Punkte A B und BA iibereinstimmen. Matrizenalgebraisch weil3 man daher, wann fur regnlare (2,2)-Matrizeii eiiie Zahl lc esistiert, so daB A B = k 1 BA ist. Solche Matrizen heiljen semikommutaliv is), und iiidem man zu Determinanten ubergeht, folgt, daB k nur gleich + 2 oder - 1 sein kann. Somit gilt

A B = BA.

Satz 7. Es seien A u n d B regulare (2 ,S) -Matr i zen , beide + E.

15) GERSTENHABER [I I]. 95 Math. Nachr. 1967, Bd. 34, H. 5/6

370 Geise, Elementares aus der liolieren Geometrie

a) Liegen die Punkte E, A und B in 9x3 zz P3 uuf einer Geraden, genuu d a m ist A B = BA.

b) Es sei E~ die Polarebene von E bzgl. H und V o der clurch F~ aus H aus- geschnittene Kegelschnitt. V o ist die (B i ld - Urbi1d)-Mf der projektiven Ab-

bildung rnit der KIM (i - 3. Die Punkte von E ~ , die nicht aid V o liegen,

stellen genau die ine7olutorischen Projekticitaten van Pi dar. Liegen die Punkte A qcnd B in eU und sind sie konjugiert bzgl. V o (also auch bzgl. H ) , gennu dnnn ist A B = - BA1").

Es ist klar, da13 die geometrische Realisierung der Multiplikation von regularen (2,2)-Matrizen iiichts anderes als eine Darstellung der bekannten Quaternioiienniultiplikation ist, die mit den regelscharerhaltenden auto- morphen Kollineationeii der Quadrik H des PJ verknupft ist 17). Auf diesen Zusammenhang sol1 hier aber niclit eingegangen werden.

6 . a) Der Satz 6 (einschlielJlich der L4~~sweichkonstruktion) bleibt gultig, weiin hijchstens einer der Piuikte A mid 13 vom Range ist. Eine Verein-

Links- Rechts-

fachung tritt iiisofern ein, als etwa bei rg A = 1 statt ,,

Links- erzeugende durch A" Kechts- parallele zur Geraden EB durch A" gleich .,

gesagt werden kann. Dies folgt unniittelbar (mit A = b cT, rg A = 1, rg B = 2 ) aus

A B = b(BT c ) ~ , BA = ( B b ) c T .

Sind dagegen beide Punkte A und B vom Range 1, dann liefert die angegebene Koiistruktion zwar die Punkte A B uiid bzw. oder BA, wenn sie existieren, sie fiihrt aber auch dann eindeutig auf Produktpunkte, wenii es A B und bzw. oder BA nicht gibt, d. h. wenn rg A B = 0 und bzw. oder rg BA = 0 ist. Mit A = al a:, B = bl b: liest man aus

A B = (a: b,) (al b y ) und BA = (b: a,) (b,

ab, da13 gilt:

Satz 8. Es sei V,, der von der Polarebene e,, von E bzgl. H a u s H aus- geschnittene Kegelschnitf. Gilt con den PunX.fe?b A und B : rg A = rg B = 1,

dann ist der Punk t der Sclinittpunkt der l inken Erzeugenden durch

1';) Vgl. BACHMANX [I], S. 180, nie uberhaupt allgemein auf die Kapitel 111, V, VI dieses Werkes zu verweisen ist.

T'gl. S T ~ P H A X O S [2], CARTAS [ i ] , COXETER [8], KLRIX [14], BACHMANN [I], H. R. MCLLER [IS].


mit der rechten Erzeugenden durch

gende durch

von V o trifft, in welchern Pall der Produktpunkt

entsprechend) als unbestimmt anzusehen ist I*), 19).

6. Die Konstruktion der Punkte AB und BA aus den Punkten A , B und E kann als eine Art nichtkommutative Vektoraddition in dem Raum, dessen Elemente die im Punkte E beginnenden Pfeile von P3 bz'w. D t 3

siiid, aufgefaat werden (wenngleich diese Addition nicht immer erklart ist). Diese Auffassung wurde eine Rechtfertigung erhalten, wenn eine dem Multiplizieren dieser , ,Vektoren" mit den Skalaren des Grundkorpers entsprechende Operation eingefuhrt werden konnte. Diese Operation mul3te - angesichts der vorliegenden Art von Addition - einem Potenzieren der projektiven Abbildungen von Pl in sich entsprechen, wobei die Exponenten Zahlen des Grundkorpers sind und noch geeignete Einschrankungen, die die Vieldeutigkeit einer Potenz betreffen, zu macheii waren. Der ,,Vektor- raumwunsch" lafit sich iiaturlich nicht erfiillen, aber matrizengeometrische Betrachtungen uber das Potenzieren einer projektiven Abbildung lohnen cturchaus 7").

Es sei g eine Gerade durch E ?I), die die Quadrik H in zwei verschiedenen Punkten A,, A2 trifft. Wegen rg A l = 1 ist d a m A, = a bT mit projektiv- eindeutigen Vektoren a = (ao, a, )T, b = (bo , b f ) T , und es gilt a' b = : p + 0. Fuhrt man die Vektoren u' = (- a,, a#, 6' = (- b l , b,JT ein, so ist A , = 6' a'T = adj AT (mit a'T b' = p), denn es 2 l t dann Al + A2 = e E 22)

Fur diese Matrizen Al , A2 gilt (0 - = Nullmatrix) :

es sei denn, dap sich die rechte Erzeu-

in einem Punk t

(da der Nullmatrix

{:> {A"

{ti mit der l inken Erxeugenden durch {i

A? - - p A , , A; = e A?, A1 A2 = A , A ( = 2. Es kann ohne Beschranknng der Allgemeinheit e = 1 angenommen werden. Indem wir diese Matrizen als mit dem gleichen ,,Gewicht" behaftete KMen der Punkte A i , A, verwenden, erhalten wir ein spezielles Koordi-

18) Bei rg A = rg B = 1 ist rg A B = rg BA = 0 genau dann, wenn B 19) Eine als geometrischer Raum deutbare Gruppe aus regularen Abbildungen eines

geometrischen Raumes nennt man einen Gruppenraum; vgl. z. B. BACHMANN [I], S. 246, H. R. MULLER [18], S. 63f., KARZEL [13]. Dieser Gruppenraum ist gegebenenfalls zu einem projektiven Raum erweiterungsfahig, wie hier im Falle der (2,2)-Matrizen; vgl. SCHUTTE

20) Zur algebraischen Theorie des Potenzierens quadratischer Matrizen s. etwa GANT-

21) Die Gerade g stellt ein Biischel von Projektivitaten dar, dem die identische Ab-

Tz) Geiiau dann fallen die Schnittpunkte A,, 8, von g mit H zusammen, wenn e = 0 ist.

adj AT.

W I . XACHER [I@].

bildung angehiirt.

2::

372 Geise, Eleinentares aus der hoheren Geomet*rie

natensystem auf der Geraden 9 9 , in dem f i i r zwei beliebige Punkte

x = 5 1 A , + 2"2 A ? ,

XI- = I'X = T , yi A , + 2 2 y:! A ? .

I' = y1 A, + y2 A2 gilt :

Demiiach verhalteii sich die IWen A , , A, wie die Eiiiheiteii jeiies Systems komplexer GroOen. clas als die .,andere Gestalt" des Systems der gewohnlichen komplexen Zahlen bekaiiiit ist 2G). Besoiiders einfach erhalt man fur die k-te Poteiiz voii S:

woraus folgt, daB alle Poteiizeii roii S auf der Geraden g liegeii, und wobei die eventuelle Vieldentigkeit z . B. dadnrch eingeschrankt w i d , daB man k reell uiicl xl, xt'? beide reell uiid nicht negativ voraussetzt uiid fur z:, xt iiur die nicht negativen reellen Il'erte zulkljt. Das bedeutet, daO man auf der Kette (nacli vos STATDT) durch E , A , . A? hyperbolische Geometrie (mit A , A? als Fundanientalpniikte) betreibt uiid iiur die von E aus zu- giiiiglichen Punkte betrachtet; es liaben d a m A , , A,, E bzgl. die Koordi- iiaten 1 : 0, 0 : 1. 1 : 1. uiid es ist der Xbstand EXk dcs eiiideutig bestimmten I'unktes X k voii E gleich Ikl-ma1 dem Abstaiid E X . - Es ist damit begriff-

lich klar. daB man die Natrizen A , und A3 durch (,: :).und(: ersetzen

kana (d. s. ihre J o R ~ ~ ~ i s - ~ o r n ~ a l f o r m e n ) , so daB das &us

___

X = x 1 A , + r l A ,

zu entnehmende Zalilenpaar (xl , xl) als dem in bestimmtet Reiheiifolge genommenen Paar der Eigenwerte r o n S projektiv-gleich zu erkennen ist. Bti iinserer Kormierung Al = ci bT niit aTb = e = 1 sind xl, x, die Eigenwerte selber, wie eiiie eiiifache Reclinung zeigt.

Durch die reelleii Diagoiialmatrizen 6' L,) mit xi > 0, x2 > 0, die

durch positive Proportionalit kt sfaktoreii abgeandert werden durfen, 11 erdeii also die Punkte einer hyperbolischen Geraden dargestellt. Diese Punkte komien aucli als Eleiiiente eiiics eiiidimeiisioiialen hyperbolischen Vektorraurnes iiber clein Kiirper der reelleii Zahleii aufgefafit werden.

Dabei ist E = der Sullrektor. die Vektoradditioii durch

Z J ) Die Gerade g wird so zu einer Punktreihe in1 Sinne von E. A. WEISS; vgl. WEISS [27] ,

2'1J Siehe STCDY [23], S. 166. s. 11, s. "if.

Geise, Elementnres aus der hoheren Geometrie 373

(2 :) (f 00 = (il 'I :2 y2) und die skalare Multiplikation durch

- ("' I k - (" 1 ( k reell) erklart. 0 22 0 xi

Jetzt sei g eine Gerade durch E , die die Quadrik H in dem Punkt A, beruhrt, so da13 A, = a bT mit a

zu setzen ist. Fur E nehmen wir die KM (k :) , uiid mit welchem Gewicht

nun auch die Matrix A, belegt wird, stets gilt:

b = 0, also etwa

u = ( t ~ o , b = (- 0 1 , ~ o ) *

E2 = E, A: = 0 , EA, = A1E = A , . Jeder Punkt X voii g hat bei einmal gewahltem Gewicht fur A, eiiie Dar- stellung X = xo E + x, A , mit projektiv-eindeutigem Zahlenpaar (zo, xi), und fur zwei Punkte X und Y hat nian

XI' = Y X = XO yo E + (xO '1 + yo) A , . Es verhalteii sich also die KMen E und A wie die Einheiten des bekannten, wohl auf CLIFFORD zuruckgehenden Systems dualer Zahlen 2 5 ) . Da ohiie Be- schrankung der Allgemeinheit der Koeffizient xo bei E gleich 1 gesetzt werden kann, wenn der Puiikt A, selber aufler Betraclit bleibt, folgt

x = E + XI A,, XI' = E + (XI + yi) A , , X k = lk E + ( k XI) A,.

Durch die Setzung Ik = 1 fur alle k kanii man siiinvoll Eindeutigkeit erzwingen. Bei Beschrdnkung auf reelle Werte fur k und x1 baben wir ein Ergebiiis vorliegen, das zu erwarten war, da der doppelt zu zahlende Punkt A , anf g eine parabolische Maflbestimmung, eiitsprechend unserem eukli- dischen Messen, veranlafit. Lediglich die Einheit, in der gemessen wird, auf die es aber auch nicht ankommt, liegt nicht fest, da das Gewicht von A , , das deii Einheitspunkt in dem Koordiiiatensystem mit deii Grund- punkteii E und A , bestimmt ?(I), frei wahlbar ist. - Diese Matrizeii

X = E + xi A,

sind dadurch gekennzeichnet, d& ihre beiden Eigenwerte gleich sind und

die JORDAN-Normalform (a :) haben. In der traiisforniierteii Gestalt

X = (i :I) = (i + x1 (,: erkennt niaii sie wieder als duale Zahlen.

25) Vgl. STUDY [23], BLASCHKE [4], S. 261 ff. z6) Und damit, wenn z1 ala Koordinate auf g genommen wird, den reellen Zug der

Geraden.

3 74 Geise, Elementares aus der hoheren Geomctrie

Mali kaiiii iiuiimehr sageii :

Satz 9. a) Auf einer Gernden g durch E , die H i n verschiedenen Punkten A l , A? frifft. bilden die wuf der vos-STArDTschen Kette durch E , A , , A , gelegenen Punlite einen eindinzensionalen 12 yperbolischen Vektorraum iiber dem Korper der reellen Znhlen, wenn die niif dieser Kette durch A , , A3 definierte hyperbolische i l la~best immung zugrundegelegt wird ztnd nur die von E ci zbs erre ich bn re a Pzr nkte bet rcc chief w e rden.

b) Auf einer Gerciden g durch E , die H in einem Punkte A , beriihrt, bilden die Pztnlkte =+ A , einen T’ektorrnuni. der isomorph dem Vektorraum der komp1e.wn Zcihlon iiber dent Korper der koniplexen Znhlen ist.

I n beiden Fallen g i l t : Der Piinkt E entspricht dena Nicllvektor, die Vektor- nddilion wird durch die nlntri,erLi,l.2iEtii~liX.atio,L, die skalare Multiplikation mit den Elenbenten des Grundkorpers (be i geeignder T’erabredung) durch das Matri=riipoten-ieren recrlisiert 2 ; )

7. Zuni 8chluB sol1 mit Hilfe eiiiiger der erhaltenen Resultate eine projektive Abbilduiig roii PI in sich koiistruktiv durchgefuhrt werden. Wir betrachteii die reelle projektire Gerade Pl und ihre reellen Projektivitiiten. Die Quadrik H kaiiii inaii sich im projektiveii Anscliauuiigsraum als ein- schaliges Drehhyperboloid vorstelleii, den Punkt E als Mittelpunkt des Kehlkreises V , die Ebene E des Kehlkreises als Nullebene von E bzgl. des Nullsy&ems ’91, die Tangeiiteii atis E an H erfdlleii deli Asymptotenkegel K , der die Quadrik H langs V o beriihrt M’ie iiblich konneii Punkte innerhalb und auljerhalb H uiiterschiedeii werdeii; E liege im Iniiern von H . Die Flachen H und K liefern iiuii f olgeiide Eiiiteiluiig der reellen Puiikte des RaumesZP).

1. AuBerhalb H liegen die Punkte, die projektive Abbildungen mit iiegativer Deterniinante darstellen. Sie besitzeii zwei Festpunkte. Man nennt sie gegenlaufig hyperbolisch.

2. Auf H liegen die Punkte, die die singularen Abbildungen reprlsen- tieren. Die Punkte von V0 stelleii jene Projektivitateii dar, deren Quadrat gleich der Nullabbilduiig ist, wahreiid fur alle aiideren singuliiren Abbil- dungeii gilt, daB sie gleich ihrem Quadrat siiid.

3. Zwischeii H uiid I< liegen die Punkte, die projektive Abbildungen mit positiver Determiiiaiite und zwei Festpunkteii angeben. Man nennt sie direkt hyperbolisclr .

27) Die durch die Quadrik H definierte CAYLEY-KLEINsche Metrik in P3 ist bekanntlich so unschon, da13 sie noch nicht im einzelnen untersucht worden ist; vgl. KLINGENBERU 1151, S. 128, KLEIX [14], S. 178,179, BLASCHKE 131, 8. li6ff.

28) Vgl. COXETER [9], S. 47.


4. Auf K , jedoch ohne E und ohiie Y o , liegeii die Punkte, die den projektiven Abbildungen mit positiver Determinante und einem Festpunkt entsprechen. Sie heiBen (direkt) parabolisch.

5. Im Restgebiet, sozusageii iniierhalb K , liegeii die Punkte, fur die die entsprechenden Abbildungen positive Determiiiante und keinen Fix- punkt besitzen. Sie heiBen (direkt) elliptisch.

6. E stellt die identische Abbildung dar. Die (Bild-Urbi1d)-Mf der identischeii Abbildung von Pi ist der Kehl-

kreis V . Diesen Kreis wollen wir gewissermaBen mit der Geraden PI iden- tifizieren, indem wir uiis PI als eine Gerade der Kehlkreisebene E denken und sie mittels einer stereografischeii Projektion umkehrbar-eindeutig und projektiv mit V verknupfen. Die einem reellen Punkt A E P3 entsprechende (regulare oder singulare) Abbildung a voii P* in sich kanii d a m so realisiert werdeii :

1st X ein beliebiger Punkt von PI, so entspricht ihm auf V ein Punkt mit der KM X' = xzT. Die rechte Erzeugende durch X' trifft die Null- ebene E, voii A, also die (Bild-Urbi1d)-Mf V z von a im Punkte X " = AmT. Die linke Erzeugeiide durch X " schneidet nun den Kehlkreis V im Punkte X"' = (Ax) (Ax)T, der stereografisch auf den gesuchteii Bildpunkt a(X) abgebildet wird. Die Nullgerade der Geraden E A bzgl. des Nullsystems 92 ist die Xchnittgerade voii em mit E und hat mit V die stereografischen Bilder der Festpunkte der Abbildung gemeinsani.

Die Abbildung voii V in sich, die auf diese Weise durch die Projektivitat u induziert wird (und wodurch bekanntlich eindeutig eine Kollineation der Ebeiie E von V bestimmt ist), ist ein Ausschnitt der Abbildung X + AXAT des Raumes P3 E '923 in sich, bei der die Quadrik H , die Ebene E und der in ihr liegende Kegelschnitt V in sich abgebildet werden. Umgekehrt induziert jede Kollineation von E , bei der V in sich transformiert wird, eine Projektivitat auf 8, die wiederum eine Projektivitat a von PI ver- anlaBt. Die Autokollineationen von V sind als die Bewegungen der hyper- bolischeii Ebene E mit dem Fundamentalgebilde V bekannt, und es kann zu jeder solchen hyperbolischen Bewegung von E wie zu jeder projektiven Abbildung u von Pl in sich mittels der Quadrik H (sozusagen als ,,Gerust") nnd dern Nullsystem % der sie darstellende Raumpunkt A E P3 konstruiert werden '9).

8. Weitere Betrachtungen lieBen sich leicht< anschlieBen30). Es sol1 noch bemerkt werden, daB eine Ubertragung der vorstehenden Betrach-

29) BACHMANN [I], S. lS2jS3; S C ~ T T E [Zl]. 30) Interessanterweise ist die STEPHANOSSChe Abbildung in letzter Zeit wiederentdeckt

worden: HORNIAEEK [12], MEDEK [16, 171; auch der Vortrag von BILINSKI [2] scheint hier genannt werden zu miissen.

376 Geise, Elementares a m der holiercn Geometrie

tungeii auf den Fall der projektiven Abbildungen des projektiven n-dimensionalen Rsumes mit n > 1 keineswegs trivial ist, woriiber niichstens be- riclitet werden sol1 31).

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[ 2 7 ] E. A. WEISS, Punktreihengeometrie. Leipzig und Berlin 1939. 77-94 (1962).

31) Zum Fall n = 3 vgl. CARTAN [7]; zum Fall 91 = 2 s. BURAU [5], S. 92ff., auch sonst s. BURAC [5, 61. Die FuBnoten 8 und 9 konnen andeuten, wo die Schwierigkeiten liegen.

elementares aus der höheren geometrie

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