R�GAS TEHNISK� UNIVERSIT�TE

A. Zviedris

Elektrisko maš�nu elektromagn�tiskie apr��ini

R�gas Tehnisk� universit�te R�ga 2001

2

UDK 621.313.001 Šaj� m�c�bu l�dzekl� iztirz�ti elektrisko maš�nu elektromagn�tisko lauku apr��ina pamatjaut�jumi: elektromagn�tisk� lauka vien�dojumi, robežnosac�jumi, skaitlisko metožu un datortehnikas izmantošana. M�c�bu l�dzeklis paredz�ts elektromeh�nisko specialit�šu studentiem. Zin�tniskais redaktors Dr. sc. ing. K.Ketners Izdots saska�� ar Ener��tikas institta Padomes l�mumu, protokols Nr.12(25) 23.11.2000. © R�gas Tehnisk� universit�te

3

1. Elektrisko maš�nu magn�tisko lauku un t� apr��ina metožu visp�r�gs raksturojums

Ener�ijas p�rveidošana elektriskaj�s maš�n�s un transformatoros notiek ar

magn�tisk� lauka starpniec�bu. No š� lauka rakstura un parametriem daudz�j�d� zi�� ir atkar�gi elektrisko maš�nu galvenie raksturlielumi – magn�tisk� plsma, EDS, elektromagn�tiskais moments, indukt�v�s pretest�bas, zudumi u.c. lielumi.

Magn�tisko lauku elektriskaj�s maš�n�s nosac�ti var iedal�t galvenaj� lauk� un izkliedes lauk�. Ar galveno lauku saprot magn�tisko lauku, kas, izejot caur gaisa spraugu, caurtver statora un rotora tinumus. Mai�str�vas maš�n�s tas parasti ir pirm�s harmonikas magn�tiskais lauks. T�d�j�di ar galven� magn�tisk� lauka starpniec�bu ener�ija tiek p�rnesta no statora tinumu uz rotora tinumu vai otr�di.

Izkliedes lauki un mai�str�vas maš�nu magn�tisk� lauka augst�k�s harmonikas izraisa virkni nev�lamu par�d�bu – palielina indukt�v�s pretest�bas, papildus noslogo magn�tisko ��di, palielina nepieciešamo ierosmes jaudu, rada papildzudumus maš�nas akt�vajos un konstrukt�vajos elementos u.tml.

Projekt�jot elektrisk�s maš�nas, pamatuzdevums ir pan�kt optim�lu magn�tisk� lauka sadal�jumu un tas, galvenok�rt, reduc�jas uz konstrukt�vo parametru t�du izv�li, kas nodrošin�tu vislabv�l�g�kos apst�kus galven� magn�tisk� lauka past�v�šanai, k� ar� uz izkliedes lauku un augst�ko harmoniku lauku samazin�šanu.

Elektrisko maš�nu magn�tisko lauku p�t�šan� izn�k saskarties gan ar anal�zes, gan sint�zes uzdevumiem. Anal�zes uzdevums ir noskaidrot, k� daž�di parametri (str�va, magn�tisk�s sist�mas atseviš�u elementu forma un �eometriskie izm�ri, magn�tisko materi�lu �paš�bas u.c.) ietekm� magn�tisk� lauka raksturu un no t� atkar�gos maš�nas darba raksturlielumus. Sint�zes uzdevums ir pan�kt magn�tisk� lauka t�du sadal�jumu, kas nodrošin�tu noteiktus uzdotos raksturlielumus (magn�tisko plsmu, EDS, elektromagn�tisko momentu u.c.).

Elektromagn�tisko lauku jebkur� elektrisk� maš�n� jebkur� t�s darba rež�m� var aprakst�t ar elektromagn�tisk� lauka jeb Maksvela vien�dojumiem, kas ir otr�s k�rtas parci�lo atvasin�jumu diferenci�lvien�dojumi. Ta�u šo vien�dojumu korekta un prec�za atrisin�šana ir saist�ta ar nopietn�m grt�b�m. Tas izskaidrojams, pirmk�rt, ar to, ka magn�tisk� sist�ma sast�v no elementiem, kuru magn�tisk� �paš�bas ir oti atš�ir�gas (piem�ram, feromagn�tiska vide un gaiss). Turkl�t atseviš�u magn�tisk�s sist�mas elementu �eometrisk� forma ir sam�r� sarež��ta, kas, savuk�rt, rada nopietnas grt�bas robežnosac�jumu iev�rošan�. Visbeidzot, tas apst�klis, ka elektriskaj�s maš�n�s izmantojamo feromagn�tisko materi�lu raksturl�knes ir neline�ras, noved pie t�, ka risin�mie elektromagn�tisk� lauka diferenci�lvien�dojumi ir neline�ri, t.i., vien�dojumi ar main�giem koeficientiem, un t�p�c risin�šanai tieš� veid� nav izmantojamas klasisk�s anal�tisk�s metodes.

Iev�rojot šos min�tos, k� ar� citus apst�kus, elektromagn�tisk� lauka vien�dojumu atrisin�šana nav iesp�jama bez vienk�ršojumiem un pie��mumiem uzdevuma nost�dn�. Š�dus vienk�ršojumus un pie��mumus izdara, pamatojoties uz iepriekš�ju magn�tisk� lauka rakstura fizik�lu anal�zi, vadoties no l�dz�gu uzdevumu

4

risin�šanas pieredzes, vai ar� da�ji izmantojot eksperiment�lus datus, ja t�di ir. Uz min�to vienk�ršojumu b�zes tiek izveidots idealiz�ts apr��ina modelis, kas vair�k vai maz�k atš�iras no re�l� objekta. Š�da apr��ina modea izveidošana ir oti atbild�gs posms jebkura magn�tisk� lauka apr��in�šanas proces�.

Galvenais princips apr��ina modea izv�l� ir t�ds, ka vienk�ršojumi un pie��mumi nedr�kst btiski ietekm�t apr��ina precizit�ti, taj� paš� laik� aujot iev�rojami vienk�ršot elektromagn�tisk� lauka vien�dojumu risin�šanas procesu.

Neraugoties uz to, ka daž�du uzdevumu risin�šan� izdar�mie pie��mumi var bt

oti daž�di un atkar�gi no daudziem apst�kiem, vadoties no pieredzes, var min�t š�dus apr��inu praks� bieži izmantotus vienk�ršojumus un pie��mumus.

1. Pie�em, ka magn�tisk�s sist�mas feromagn�tisko materi�lu magn�tisk� caurlaid�ba Fe� ir konstants lielums ( �Fe� const), kaut gan �sten�b� šis lielums ir atkar�gs no magn�tisk�s indukcijas B ( )(BfFe �� ), t.i., no apr��ina gait� mekl�jam� lieluma. Izdarot pie��mumu �Fe� const, elektromagn�tisk� lauka vien�dojumi p�rveidojas par line�riem vien�dojumiem, kuru atrisin�šana jau ir daudz vienk�rš�ka. Var atz�m�t, ka pie��mums �Fe� const maz ietekm� apr��ina rezult�tu, ja maš�nas magn�tisk� sist�ma ir nepies�tin�ta ( 8,06,0 ��B T).

2. Interes�joties par magn�tisk� lauka sadal�jumu nemagn�tisk� vid� (gaisa spraug�, starppolu telp�, tinumu zon�s), var pie�emt, ka šai videi piegulošo feromagn�tisko elementu magn�tisk� caurlaid�ba ��Fe� , jo ir zin�ms, ka norm�los apst�kos 0�� ��Fe , kur 0� – vakuuma mgn�tisk� caurlaid�ba (praktiski š�da magn�tisk� caurlaid�ba ir ar� gaisam un tinumu materi�liem – varam, alum�nijam). Izdarot pie��mumu ��Fe� , magn�tisko lauku apr��inos var aprobežoties tikai ar kaut k�du lok�lu apgabalu, piem�ram, apgabalu, kuru no div�m pus�m norobežo statora un rotora virsmas, un t�d�j�di auj iev�rojami vienk�ršot uzdevuma risin�šanas procesu. Taj� paš� laik� š�ds pie��mums auj detaliz�ti izp�t�t statora un rotora zobu zonas �eometrijas ietekmi uz magn�tisk� lauka raksturu.

3. Pie�em, ka elektromagn�tiskais lauks elektriskaj� maš�n� ir plakanparal�ls (divdimension�ls), t.i., lauka raksturlielumi (magn�tisk� indukcija B un magn�tisk� lauka intensit�te H ) izmain�s tikai radi�l� un tangenci�l� virzien�, bet nemain�s maš�nas aksi�laj� virzien�. �sten�b� elektromagn�tiskais lauks elektriskaj� maš�n� ir telpisks (tr�sdimension�ls), jo main�s ar� aksi�laj� virzien� un jebkuram lauka raksturojošam vektori�lajam lielumam ir tr�s komponentes. Ta�u š�ds lauka tr�sdimension�lais raksturs ir tikai neliel� apgabal�, t.i. maš�nas neakt�vaj� da� – tinumu front�lo savienojumu zon�. Pie��mums par lauka plakanparal�lo raksturu lauka kop�jo ainu ietekm� jo maz�k, jo maz�ka ir maš�nas diametra D attiec�ba pret garumu L ( LD ). T�p�c, iev�rojot v�l ar� to, ka ener�ijas p�rveidošanas process noris galvenok�rt maš�nas akt�vaj� da�, praktiski oti daudzos gad�jumos pie��mums par lauka plakanparal�lo raksturu neienes btisku kdu apr��ina rezult�tos.

4. Kop�jo magn�tisko lauku sadala atseviš��s zon�s, pie�emot, ka vienas zonas lauks nav saist�ts ar citas zonas laukiem un tie viens otru savstarp�ji neietekm�. T�, piem�ram, daudzos gad�jumos galveno lauku var aplkot neatkar�gi no izkliedes lauka, rievu vai tinuma front�lo savienojumu zonas lauku – neatkar�gi no galven� lauka, statora lauku – neatkar�gi no rotora lauka, augst�ko harmoniku magn�tiskos laukus – neatkar�gi no pamatharmonikas magn�tisk� lauka u.tml.

5

5. Apr��inot magn�tisko lauku, ko vienlaikus rada vair�ki lauka avoti

(piem�ram, enkura str�va un ierosmes str�va), izmanto superpoz�cijas principu. Superpoz�cijas principa bt�ba ir t�, ka vair�ku avotu rad�ta rezult�još� lauka apr��ina uzdevumu sadala atseviškos uzdevumos, t.i., vispirms apr��ina katra atseviš�� avota rad�to lauku un p�c tam šos laukus summ�. �sten�b� superpoz�cijas principa izmantošana ir korekta tikai line�r�m sist�m�m un praktiski neietekm� precizit�ti nepies�tin�tas magn�tisk�s sist�mas gad�jum�, kad sakar�ba starp magn�tisko plsmu � ��un magnetiz�t�jsp�ku iwF � ir line�ra (magnetiz�šanas l�knes s�kuma daa). Tik tieš�m, ja pies�tin�tas magn�tisk�s sist�mas magn�tisko plsmu nosaka, izmantojot superpoz�cijas principu, tad magn�tisk� plsma 21

' ���� , kur )( 11 Ff�� , )( 22 Ff�� , bet ��

' , kur faktisk� plsma )( 21 FFf �� . 6. Izdara vienk�ršojumus, kas saist�ti ar atseviš�u magn�tisk� sist�mas elementu

�eometrisko formu, t.i., neiev�ro daž�dus izgriezumus, caurumus, noapaojumus u.tml. Piem�ram, apr��inot galven� magn�tisk� lauka sadal�jumu, vienk�ršo polu �eometrisko formu, rievu �eometrisko formu, neiev�ro vai tuvin�ti iev�ro statora vai rotora rievu ietekmi un citus katr� konkr�taj� gad�jum� nebtiskus faktorus.

Magn�tisko lauku p�t�šanai un apr��in�šanai praks� lieto anal�tisk�s, skaitlisk�s, matem�tisk�s model�šanas, fizik�l�s model�šanas un eksperiment�l�s metodes. Katrai no š�m metod�m ir savas priekšroc�bas un trkumi un to izmantošana ir atkar�ga no lietot�ja teor�tisk�s un praktisk�s sagatavot�bas l�me�a, pieejamiem tehniskiem l�dzekiem, k� ar� no uzdevuma m�r�a. Šeit atz�m�sim tikai to, ka anal�tisko metožu lietošana ir visai ierobežota, jo elektromagn�tisk� lauka diferenci�lvien�dojumu anal�tisku risin�jumu var iegt tikai sam�r� vienk�ršos gad�jumos, izdarot oti rupjus pie��mumus attiec�b� uz p�t�mo objektu. Visaugst�k� ticam�bas pak�pe ir eksperiment�laj�m p�t�šanas metod�m, kas tiek veiktas re�lam objektam re�los t� darb�bas apst�kos. Ta�u eksperiment�l�s p�t�šanas metodes nevar izmantot projekt�šanas stadij�, bet tikai jau piln�gi izgatavotai maš�nai, kas daudzos gad�jumos ir saist�ts ar lieliem laika un materi�lajiem resursiem. Šodienas apst�kos visperspekt�v�k�s ir elektromagn�tisk� lauka vien�dojumu skaitlisk�s risin�šanas metodes, plaši izmantojot datortehniku. Š�s metodes sal�dzin�jum� ar anal�tiskaj�m metod�m auj maksim�li samazin�t daž�dus vienk�ršojumus un pie��mumus un t�d�j�di maksim�li tuvin�t apr��ina modeli re�lajai elektriskajai maš�nai. Izmantojot skaitlisk�s metodes, bez principi�l�m grt�b�m ir iesp�jams pietiekami korekti un prec�zi iev�rot t�dus faktorus, k� magn�tisk�s sist�mas elementu �eometrisko konfigur�ciju un magn�tisko materi�lu neline�r�s raksturl�knes.

2. Elektromagn�tisk� lauka vien�dojumi (Maksvela vien�dojumi)

2.1. Elektromagn�tisk� lauka vien�dojumu visp�r�g� forma Jebkuru elektromagn�tisko lauku var aprakst�t ar Maksvela vien�dojumiem, kuri

nosaka elektrisk� un magn�tisk� lauka raksturojošo lielumu savstarp�j�s sakar�bas un saista to izmai�u laik� un telp�. Iev�rojot to, ka elektriskaj�s maš�n�s izmantojam� frekvence ir neliela, k� ar� lietojamo materi�lu �paš�bas, var ne�emt v�r� nob�des str�vas. Tad elektromagn�tisk� lauka vien�dojumu sist�ma satur š�dus �etrus vien�dojumus:

ajjHrot � , (1)

6

tB

Erot��

�� , (2)

)( BvEj �� , (3)

HB �� , (4) kur B – magn�tisk� lauka indukcija; H magn�tisk� lauka intensit�te; j – str�vas bl�vums; E – elektrisk� lauka intensit�te; v – vides kust�bas relat�vais �trums attiec�b� pret magn�tisko lauku; – elektrisk� �patvad�tsp�ja; � – magn�tisk� caurlaid�ba.

Vien�dojumi (1) – (4) saista elektrisk� lauka lielumus j un E ar magn�tisk� lauka lielumiem B un H un izsaka to apst�kli, ka magn�tisk� lauka izmai�a rada elektrisko lauku (vien�dojums (2)), bet elektrisk� lauka izmai�a – magn�tisko lauku (vien�dojums (3)). Magn�tisk� lauka pamatvien�dojumu sist�mu var papildin�t v�l ar vien�dojumu

0�Bdiv , (5) kas raksturo magn�tisk�s plsmas nep�rtraukt�bu.

Vien�dojums (1) ir piln�s str�vas likums diferenci�laj� form�. Str�vas bl�vums š� vien�dojuma labaj� pus� ir izteikts ar div�m komponent�m. Pirm� no š�m komponent�m j ir induc�t�s str�va bl�vums un tas ir atkar�gs no elektromagn�tiskajiem procesiem paš� maš�n�, t.i., no magn�tisk� lauka izmai�as laik� un telp�, k� tas redzams no vien�dojumiem (2) un (3). Otra komponente aj ir �r�j�s str�vas bl�vums, kuru nosaka no maš�nas neatkar�gs �r�jais avots. Magn�tisk� lauka apr��inos š� kompoente ir uzdots zin�ms lielums.

Vien�dojums (2) ir diferenci�laj� form� izteikts elektromagn�tisk�s indukcijas likums.

Vien�dojum� (3), kas ir elektrisk�s ��des Oma likums diferenci�laj� form�, elektrisk� lauka intensit�te sast�v no div�m komponent�m. Izmantojot elektrisko maš�nu teorij� lietotos j�dzienus, pirm� no š�m komponent�m E atbilst transform�cijas elektrodzin�jsp�kam, kura c�lonis ir magn�tisk� lauka izmai�a laik�. Rakstur�gs transform�cijas elektrodzin�jsp�ka piem�rs ir EDS, kas induc�jas transformatora tinumos, kur nekust�gus tinumus caurtver laik� main�gs magn�tiskais lauks. Otra elektrisk� lauka intensit�tes komponente Bv � atbilst rot�cijas elektrodzin�jsp�kam, kura c�lonis ir vides p�rvietošan�s attiec�b� pret magn�tisko lauku. Š�da EDS rakstur�gs piem�rs ir l�dzstr�vas maš�nas enkura tinum� induc�tais EDS, kur telp� nekust�g� un laik� nemain�g� magn�tiskaj� lauk� p�rvietojas tinums, kas t�d�j�di faktiski ir pakauts main�ga magn�tisk� lauka iedarb�bai.

Analiz�jot un p�tot elektomagn�tiskos laukus elektriskaj�s maš�n�s, var izmantot gan elektromagn�tisk� lauka teoriju, gan elektrisko un magn�tisko ��žu teoriju. Pirmaj� gad�jum� lauka apr��inus veic, balstoties uz vien�dojumiem (1) – (4), bet otraj� gad�jum� izmanto atbilstošus vien�dojumus integr�laj� form�, t.i.,

�� � ildH , (6)

dtd

e�

�� , (7)

7

R

ei �� ,

(8)

�R

F��� . (9)

Šeit vien�dojums (6) ir integr�l� form� izteikts piln� str�vas likums, kas izsaka to, ka magn�tisk� lauka intensit�tes vektora integr�lis pa nosl�gtu kontru ir vien�ds ar pilno str�vu, ko ietver šis kontrs. Vien�dojum� (7) � ir plsmas sa��d�jums ar tinumu un visp�r�j� gad�jum� to apr��ina k�

wi ������ ��21 , (10)

kur i� – magn�tisk� plsma, kas sa��d�ta ar i-to vijumu; w – tinuma virkn� sl�gto vijumu skaits. Vienk�rš�k� gad�jum�, kad visus vijumus caurtver viena un t� pati plsma � , plsmas sa��d�jums ir

��� w . (11) Vien�dojumi (8) un (9) izsaka Oma likumu integr�l� form� attiec�gi

elektriskajai un magn�tiskajai ��dei, kur �e – elektrisk�s ��des zara rezult�jošais EDS, R – ��des zara pretest�ba, �F – magn�tisk�s ��des zara rezult�jošais magnetiz�t�jsp�ks, �R – ��des zara magn�tisk� pretest�ba.

Lietder�gi min�t v�l dažas sakar�bas, kas saista elektromagn�tisk� lauka diferenci�los lielumus B un j ar integr�lajiem lielumiem � un i :

���S

SdB , (12)

��S

Sdji . (13)

Ja kaut k�d� aplkojam� š��rsgriezum� S magn�tisk� indukcija constB � , tad

saska�� ar (12) BS�� . (14)

L�dz�gi, ja kaut k�d� s��rsgriezum� S str�vas bl�vums constj � , tad saska�� ar

(13) jSi � . (15)

Vien�dojumi (1) – (4) uzrakst�ti elektromagn�tisk� lauka vektori�liem

lielumiem simbolisk� form�, kas tiešai risin�šanai nav izmantojama. T�p�c, risinot vien�dojumus, tos piesaista noteiktai koordin�tu sist�mai, aizst�jot katru no vektoriem ar trim komponent�m un izv�rst� veid� uzrakstot matem�tisko oper�ciju “rot” un vektori�lo reizin�jumu “�”. Tad taisnle��a koordin�tu sist�m� xyz no vien�dojumiem

8

(1) – (4) iegstam š�du vien�dojumu sist�mu:

axxyz jj

z

H

yH

��

��

�

�,

(16)

ayyzx jj

xH

zH

��

��

�

�,

(17)

azzxy jj

yH

x

H�

�

��

�

�,

(18)

tB

z

E

yE xyz

�

���

�

��

�

�,

(19)

t

B

xE

zE yzx

�

���

�

��

�

�,

(20)

tB

yE

x

Ezxy

�

���

�

��

�

�,

(21)

)( yzzyxx BvBvEj �� , (22)

)( zxxzyy BvBvEj �� , (23)

)( xyyxzz BvBvEj �� , (24)

xx HB �� , (25)

yy HB �� , (26)

zz HB �� (27) un no vien�dojuma (5) –

0��

�

�

�

�

�

zB

y

B

xB zyx .

(28)

Vien�dojumu sist�ma (16) – (27), kas satur divpadsmit vien�dojumus ar

divpadsmit nezin�majiem lielumiem, piln�b� aparaksta elektromagn�tisko lauku ar t� raksturlielumu attiec�gaj�m komponent�m. Š�s sist�mas atrisin�šana, iev�rojot robežnosac�jumus, dod iesp�ju atrast visu elektromagn�tisk� lauka raksturlielumu komponentes k� funkciju no trim telpisk�m koordin�t�m (x, y, z) un laika koordin�tas (t).

2.2. Plakanparal�la elektromagn�tisk� lauka vien�dojumi

P�tot ar elektromagn�tisko lauku saist�tos ener�ijas p�rveidošanas

pamatprocesus, kuri noris galvenok�rt elektrisk�s maš�nas akt�vaj� da�, k� jau iepriekš tika atz�m�ts, var pie�emt, ka lauks ir plakanparal�ls. Tas noz�m�, ka str�vas bl�vuma vektoram j un ar to saist�tam elektrisk� lauka intensit�tes vektoram E ir tikai viena – aksi�l� komponente, kuras virziens sakr�t ar rot�cijas ass virzienu. Savuk�rt, magn�tisk�s indukcijas vektoram B un un ar to saist�tam magn�tisk� lauka intensit�tes vektoram H ir tikai divas komponentes – radi�l� un tangenci�l� – jebkur� rot�cijas asij perpendikul�r� plakn�.

9

Izv�loties koordin�tu asu orient�ciju t�, lai x ass btu v�rsta tangenci�l� virzien�, y ass – radi�l� virzien�, z ass – aksi�l� virzien� (1.z�m.), plakanparal�la lauka gad�jum� atseviš��m vektoru B , H , j , E un v komponent�m ir nulles v�rt�bas, t.i.,

0�zB , (29)

0�zH , (30)

0�� yx jj , (31)

0�� ayax jj , (32)

0�� yx EE , (33)

0�� zy vv , (34)

k� ar�

0���z

. (35)

1. z�m. Iev�rojot (29) – (35), vien�dojumu sist�ma (16) – (27) vienk�ršojas un

divpadsmit vien�dojumu viet� iegstam sešus vien�dojumus:

azzxy jj

yH

x

H�

�

��

�

�,

(36)

tB

yE xz

�

���

�

�,

(37)

t

B

xE yz

�

��

�

�,

(38)

)( yxzz BvEj � , (39)

xx HB �� , (40)

yy HB �� . (41)

2.3. Vektori�lais magn�tiskais potenci�ls

Diferenci�lvien�dojumu sist�ma (29) – (34) nav izmantojama tiešai risin�šanai, jo katrs no vien�dojumiem satur vair�kus nezin�mos lielumus ar to atvasin�jumiem p�c x, y, t. T�d� ir lietder�gi ieviest pal�glielumus, kas auj šo sist�mu p�rveidot t�, lai

z

x

y

10

btu iesp�jams izmantot klasisk�s diferenci�lvien�dojumu risin�šanas metodes. Pie š�diem pal�glielumiem pieder skal�rais un vektori�lais magn�tiskais potenci�ls, turkl�t elektrisko maš�nu magn�tisko lauku apr��iniem vispiem�rot�kais ir p�d�jais no tiem.

Vektori�lais magn�tiskais potenci�ls ir form�li ieviests nep�rtraukti main�gs vektori�ls lielums. No vektoru anal�zes ir zin�ms, ka jebkuru vektori�lu lielumu, piem�ram B , kurš apmierina vien�dojumu (5), var uzskat�t par kaut k�da cita vektori�la lieluma rotoru, t.i.,

ArotB � . (42)

Vektoru A sauc par magn�tisk� lauka vektori�lo potenci�lu. Izsakot magn�tisk�s indukcijas vektora B komponentes ar vektori�l�

magn�tisk� potenci�la attiec�gaj�m komponent�m, izteiksmi (42) var aizst�t ar š�d�m izteiksm�m:

z

A

yA

B yzx �

��

�

�� ;

(43)

xA

zA

B zxy ��

��

�� ;

(44)

yA

x

AB xyz �

��

�

�� .

(45)

Var pier�d�t, ka plakanparal�la lauka gad�jum� vektori�lajam magn�tiskajam

potenci�lam ir tikai viena komponente (atbilstoši 1.z�m. izv�l�tajai koordin�tu sist�mai komponente zA , bet 0�� yx AA ) un t�p�c vien�dojumu (43) – (45) viet� iegstam

yA

B zx ��

� , (46)

xA

B zy ��

�� . (47)

Ar vektori�lo magn�tisko potenci�lu var izteikt ar� visus p�r�jos

elektromagn�tisk� lauka raksturlielumus, t.i., vektorus H , j , E un šo vektoru attiec�g�s komponentes.

Magn�tisk� lauka intensit�tes vektora H komponentes ar vektori�lo magn�tisko potenci�lu var izteikt, iev�rojot izteiksmes (40), (41), (46), (47):

yA

H zx ��

���1

, (48)

xA

H zy ��

���1

. (49)

11

Elektrisk� lauka intensit�tes vektora E vien�go komponenti plakanparal�la lauka gad�jum� zE ar vektori�lo magn�tisko potenci�lu var izteikt, ievietojot izteiksmes (37) labaj� pus� xB v�rt�bu no (46):

���

����

�

�

�

��

���

�

yA

tyE zz ,

jeb

��

���

��

�

��

���

�

tA

yyE zz .

(50)

Ir zin�ms, ka gad�jum�, ja divu funkciju atvasin�jumi jebkur� punkt� ir vien�di,

tad š�s funkcijas viena no otras var atš�irties tikai par kaut k�du konstantu lielumu C . Elektromagn�tisk� lauka gd�jum� var pie�emt 0�C , jo tas nemaina magn�tisk�s indukcijas k� re�la fizik�la lieluma v�rt�bu, k� tas izriet no (46) un (47). Iev�rojot šo apst�kli, no izteiksmes (50) iegstam

tA

E zz ��

�� . (51)

Str�vas bl�vuma vektora j vien�go komponenti plakanparal�la lauka gad�jum�

(komponenti zj ) ar vektori�lo magn�tisko potenci�lu var izteikt, ievietojot izteiksm� (39) zE no (51) un yB no (47). Tad iegstam

��

���

��

��

�

���

xA

vt

Aj zx

zz .

(52)

Vektori�l� magn�tisk� potenci�la ieviešana auj izsl�gt no vien�dojumu

sist�mas (36) – (41) visus nezin�mos lielumus ( xB , yB , xH , yH , zj , zE ) un pašu vien�dojumu sist�mu aizst�t ar vienu diferenci�lvien�dojumu, kas satur tikai vienu nezin�mo lielumu – vektori�l� magn�tisk� potenci�la komponenti zA , kuru vienk�rš�bas d� turpm�k apz�m�sim ar A . Lai iegtu š�du diferenci�lvien�dojumu, vispirms vien�dojum� (36) ievietosim xH , yH un zj attiec�gi no vien�dojumiem (48), (49) un (52):

ajxA

vtA

yA

xA

��

���

���

���

���

��

�

��

�� 22

2

2 11,

kur vienk�rš�bas d� vektoru v un aj vien�g�s komponentes xv un azj apz�m�tas attiec�gi ar v un aj .

P�rveidojot šo vien�dojumu, iegstam

ajxA

vtA

yA

xA

��� ����

���

��

�

�

�2

2

2

2

.

(53)

12

Vien�dojums (53) ir otr�s k�rtas parci�lo atvasin�jumu diferenci�lvien�dojums, kura atrisin�jumam ir j�apmierina divi uzdotie robežnosac�jumi un viens s�kumnosac�jums.

Visp�r�j� gad�jum� vien�dojumu (53) var risin�t gan ar anal�tiskaj�m, gan skaitliskaj�m metod�m. Tom�r, risinot re�lus elektromagn�tisk� lauka uzdevumus elektriskaj�s maš�n�s, priekšroka dodama skaitliskaj�m metod�m, kuras auj iev�rojami samazin�t daž�dus vienk�ršojumus un pie��mumus uzdevuma nost�dn� un t�d�j�di iegt ticam�kus un prec�z�kus rezult�tus. Risinot vien�dojumu (53) ar anal�tiskaj�m metod�m, atrisin�jumu iegst nep�rtrauktas anal�tiskas funkcijas

),,( tyxA veid�, bet risinot ar skaitliskaj�m metod�m – k� A v�rt�bas fiks�tos plaknes punktos ix , iy fiks�tiem laika momentiem kt , t.i., k� v�rt�bu ),,(, kiiki tyxA kopu, kas

faktiski noz�m� funkcijas ),,( tyxA uzdošanu tabulas veid�. Ar diferenci�lvien�dojumu (53) var aprakst�t elektromagn�tisko lauku jebkur�

elektriskaj� maš�n� jebkur� t�s darb�bas rež�m�, ja ir zin�mi lielumi � , , v , k� ar� �r�j�s str�vas bl�vuma sadal�jums ),( yxja . P�tot elektromagn�tisko lauku daž�da tipa maš�n�m atseviš�os speci�los gad�jumos un rež�mos, šis vien�dojums attiec�gi vienk�ršojas. T�, piem�ram, apr��inot elektromagn�tisko lauku transformatoros vai cit�s statisk�s elektromagn�tisk�s ier�c�s (magn�tiskajos pastiprin�t�jos, elektromagn�tiskajos komut�cijas apar�tos, drosel�s u.tml.), 0�v un vien�dojuma (53) viet� iegstam

ajtA

yA

xA

� ����

��

�

�

�2

2

2

2

. (54)

Apr��inot elektromagn�tisko lauku l�dzstr�vas maš�nas enkur�, kurš p�rvietojas

attiec�b� pret telp� nekust�gu un laik� nemain�gu ierosmes polu lauku, 0��� t un lauka apr��inam izmantojams vien�dojums

ajxA

vyA

xA

� ����

��

�

�

�2

2

2

2

. (55)

Savuk�rt, stacion�ra magn�tisk� lauka apr��in�šanai, piem�ram, l�dzstr�vas

maš�nas stator�, kur 0�v un 0��� t , iegstam vien�dojumu

ajyA

xA

����

�

�

�2

2

2

2

, (56)

kas matem�tik� paz�stams k� Puasona vien�dojums.

Un, visbeidzot, apr��inot stacion�ru magn�tisko lauku apgabal�, kurš nesatur magn�tisk� lauka avotus, 0�aj , un risin�mais vien�dojums ir

022

2

2

��

�

�

�

yA

xA

, (57)

ko sauc par Laplasa vien�dojumu.

13

K� jau tika atz�m�ts, magn�tisk� lauka aprakst�šanai visp�r�g� gad�jum� izmantojams vien�dojums (53), kas iev�ro gan elektromagn�tisk� lauka izmai�u laik�, gan vides kust�bu magn�tiskaj� lauk�. Tom�r tas apst�klis, ka vien�dojums satur locekus tA ��� un xAv ��� btiski sarež�� pašu risin�šanas procesu. Taj� paš� laik� oti daudzos gad�jumos nestacion�ra elektromagn�tisk� lauka ( 0�� t , 0v ) risin�šanas uzdevumu var reduc�t uz vair�kiem vienk�rš�kiem uzdevumiem, kuros elektromagn�tisko lauku apraksta ar vien�dojumu (56) vai (57). Š�da uzdevuma nost�dne pamatojas uz to, ka laik� main�gu procesu ( 0�� t ) var aplkot k� atseviš�u stacion�ru procesu kopumu daž�dos sec�gos laika momentos

ni tttt ,,,,, 21 �� . T�, piem�ram, ja lauka avota str�vas bl�vums ir sinusoid�la laika funkcija tjtj ama �sin)( � , tad vien�dojumu (57) risina n reizes, katru reizi t� labaj� pus� uzdodot attiec�gajam laika momentam atbilstoš�s str�vas bl�vuma aj moment�n�s v�rt�bas 11 sin)( tjtj ama �� , 22 sin)( tjtj ama �� ,…, iamia tjtj �sin)( � ,…, namna tjtj �sin)( � . Š�du uzdevumu risin�šanas rezult�t� iegstam vektori�la potenci�la v�rt�bas )( 1tA , )( 2tA ,…, )( itA ,…, )( ntA , kuru kopumu var uzskat�t par tabulas veid� uzdotu funkcion�lu sakar�bu )(tfA � . L�dz�ga pieeja izmantojama, risinot nestacion�ru uzdevumu, kad 0v , kas saist�ts ar vides kust�bu magn�tiskaj� lauk� vai magn�tisk� lauka kust�bu attiec�b� pret nekust�gu vidi (piem�ram, l�dzstr�vas maš�nas rotora rot�ciju attiec�b� pret nekust�gu ierosmes polu lauku, sinhron�s maš�nas ierosin�ta rotora rot�ciju attiec�b� pret statoru). Šaj� gad�jum� risina virkni stacion�ru uzdevumu, katrs no kuriem atbilst daž�diem sec�giem rotora st�vokiem.

2.4. Elektromagn�tisk� lauka raksturlielumu noteikšana ar vektori�lo

magn�tisko potenci�lu

T� k� vektori�lais magn�tiskais potenci�ls ir tikai pal�glielums (starplielums), tad apr��inot daž�dus elektromagn�tisk� lauka raksturlielumus, var izmantot izteiksmes (46) – (49), (51), (52), iev�rojot, ka plakanparal�l� lauk� AAz � . Turkl�t, ja diferenci�lvien�dojums risin�ts ar skaitlisk�m metod�m, atbilstoši j�izmanto skaitlisk�s diferenc�šanas metodes (sk. [1]).

�oti bieži elektrisko maš�nu daž�du raksturl�k�u praktiskos apr��inos svar�gi ir zin�t nevis magn�tisk�s indukcijas un magn�tisk� lauka vektoru komponentes, bet šo vektoru moduus, kurus var apr��in�t attiec�gi ar formul�m

22yx BBB � ,

(58)

22yx HHH � .

(59)

T�pat praktiskos apr��inos bieži j�nosaka magn�tisk� plsma � , kas iziet caur

kaut k�du š��rsgriezumu S . Šaj� gad�jum� var izmantot formulu (12). Tom�r š�s formulas lietošana ir saist�ta ar zin�m�m grt�b�m, jo vispirms no vektori�l� potenci�la A ar anal�tisku vai skaitlisku diferenc�šanu j�atrod xB un yB un p�c tam

j�integr� pa visu laukumu S . Iev�rojami vienk�rš�k magn�tisk� plsma � ir

14

apr��in�ma tieši no vien�dojuma risin�šanas rezult�t� iegtaj�m vektori�l� potenci�la v�rt�b�m. Š�da apr��in�šana pamatojas uz Stoksa teor�mu, saska�� ar kuru

�� �LS

ldASdB , (60)

kur L – nosl�gts integr�šanas kontrs, kas aptver laukumu S . Plakanparal�la lauka gad�jum� l�nijintegr�a �

S

ldA apr��in�šana iev�rojami

vienk�ršojas. Pie�emsim, ka j�apr��ina magn�tisk� plsma, kas iet caur laukumu S uz cilindriskas virsmas (piem�ram, uz elektrisk�s maš�nas rotora virsmas) (2.z�m.), un vektori�lais potenci�ls noteikts plakanparal�lam laukam jebkur� plaknes xy punkt�. Virsmu S ierobežo divas taisnes 2-3, 4-1, kuru garums ir l , un divi loki 1-2, 3-4. Integr�a (60) labo pusi var aizst�t ar �etru integr�u summu:

� � � ���2

1

3

2

4

3

1

4

ldAldAldAldA , (61)

kur elementa ld virziens sakr�t ar aplkojam� kontra L malu virzieniem, bet A ir vektori�l� potenci�la v�rt�ba patva�g� punkt� uz kontra L mal�m. Reizin�jums

ldA zem integr�a z�mes ir vektoru A un ld skal�rais reizin�jums, kuru var izteikt k�

)cos( ldAdlAldA�

��� .

2. z�m. Iev�rojot to, ka plakanparal�la lauka gad�jum� AAA z �� (sk. iepriekš), k� ar�

to, ka uz kontra mal�m 2-3 un 4-1 1)cos( ��

ldA (šeit le��is starp vektoriem A un

ld ir 00), bet uz kontra mal�m 1-2 un 3-4 0)cos( ��

ldA (šeit le��is starp vektoriem A un ld ir 900), izteiksmes (61) viet� var uzrakst�t

y

x

z

1

2

3

4

S

L

l

��

15

�� ��1

4

3

2

dlAdlA . (62)

T� k� plakanparal�la lauka gad�jum� 0��� zA , tad vektori�lajam potenci�lam uz jebkuras no l�nij�m 2-3 un 4-1 ir konstanta v�rt�ba, turkl�t 23 AA � un 14 AA � , un tad izteiksmes (62) viet� iegstam

� ����3

2

4

112 dlAdlA ,

jeb lAA )( 12 ��� . (63)

T�d�j�di plakanparal�la lauka gad�jum� izteiksmes (12) viet�, kuras labaj� pus�

ir j�apr��ina virsmas integr�lis, magn�tisk�s plsmas noteikšanai iesp�jams izmantot daudz vienk�rš�ku izteiksmi (63), kur� magn�tisk� plsma ir izteikta ar vektori�l� potenci�la starp�bu divos plaknes punktos.

Lietder�gi atz�m�t v�l vienu vektori�l� potenci�la A �paš�bu, kura auj nov�rt�t magn�tisk� lauka raksturu. Pie�emsim, ka atrisinot diferenci�lvien�dojumu, piem�ram, vien�dojumu (56) ir atrasts vektori�l� potenci�la sadal�jums plakn� xy k� koordin�tu x, y funkcija, t.i., ),( yxA . Ja šaj� plakn� savieno punktus ar vien�d�m vektori�l� potenci�la v�rt�b�m, iegst nep�rtrauktas l�nijas, kuras sauc par ekvipotenci�laj�m l�nij�m, jeb ekvipotenci�l�m. Š�s l�nijas vienlaikus ir magn�tisk�s sp�ka l�nijas. Jebkur� sp�ka l�nijas (evipotenci�les) punkt� novilkta pieskare sakr�t ar magn�tisk�s indukcijas vektora B virzienu šaj� punkt� (3.z�m.). Magn�tisko sp�ka l�niju kopums dod magn�tisk� lauka uzskat�mu ainu, un no š�s lauka ainas var spriest par magn�tisk� lauka raksturu (orient�ciju, lauka sabl�v�jumu vai retin�jumu u.tml.). Piem�ram, magn�tisko sp�ka l�niju sabl�v�jums kaut k�d� zon� raksturo to, ka šaj� zon� ir palielin�ta magn�tisk�s indukcijas v�rt�ba.

3. z�m.

3. Robežnosac�jumi

3.1. Visp�r�gi j�dzieni

Risinot parci�lo atvasin�jumu diferenci�lvien�dojumu noteikt� apgabal�, ir

nepieciešami papildus nosac�jumi uz š� apgabala robež�m, ko sauc par

– y

x

Bx

By B

A1

A4

A2 A3

16

robežnosac�jumiem. Robežnosac�jumi izriet no fizik�lajiem procesiem konkr�t� objekt� noteiktos t� darb�bas apst�kos.

Izš�ir pirm�, otr� un treš� veida robežnosac�jumus. Pirm� veida robežnosac�jumi ir tad, ja uz apgabala robež�m uzdotas mekl�jam�s funkcijas (dotaj� gad�jum� vektori�l� magn�tisk� potenci�la A ) v�rt�bas. Pirm� veida robežnosac�jumus var uzdot tieš� vai netieš� form�. Robežnosac�jumus tieš� form� uzdod, ja uz k�das no apgabala robež�m ir zin�mas vektori�l� potenci�la skaitlisk�s v�rt�bas. T�, piem�ram, 4. z�m�jum� att�lotaj� apr��ina apgabal� uz apgabala robež�m 1, 2, 3, 4 tieš� form� var bt uzdoti š�di pirm� veida robežnosac�jumi:

1 )(11

1yfA

xx�

�;

2 )(222

yfAxx

��

;

3 )(333

xfAxx

��

;

4 )(444

xfAxx

��

,

kur )(1 yf , )(2 yf , )(3 xf , )(4 xf – zin�mas x un y funkcijas, kur�m atseviš�os gad�jumos var bt konstantas v�rt�bas, taj� skait� nulles v�rt�bas.

4. z�m. Robežnosac�jumi netieš� form� ir uzdodami tad, ja uz kaut k�d�m div�m

robež�m skaitlisk�s v�rt�bas nav zin�mas, bet ir zin�ma to sakar�ba. T�, piem�ram, apr��ina apgabalam, kas att�lots 4. z�m�jum�, netieš� form� var bt uzdoti š�di pirm� veida robežnosac�jumi:

1 – 2 21

21 xxxxAkA

��� ;

3 – 4 21

43 yyyyAkA

���

kur )1,1( ��k . Otr� veida robežnosac�jumi ir tad, ja uz apgabala robež�m uzdotas mekl�jam�s

funkcijas (dotaj� gad�jum� vektori�l� magn�tisk� potenci�la A ) atvasin�juma v�rt�bas norm�les virzien�. T�, piem�ram, 4. z�m�jum� att�lotajam apr��ina apgabalam var bt uzdoti š�di otr� veida robežnosac�jumi:

y 4

x 0

y2

y1

x1 x2

1 2

3

17

1 )(11

1

yxA

xx

���

�

�

;

2 )(22

2

yx

A

xx

���

�

�

;

3 )(33

1

xyA

yy

���

�

�

;

4 )(44

2

xy

A

yy

���

�

�

.

Visp�r�g� gad�jum� apr��ina apgabalam var bt uzdoti jaukti robežnosac�jumi,

t.i., uz kaut k�d�m robež�m pirm� veida (tieš� vai netieš� form�), bet uz cit�m robež�m – otr� veida robežnosac�jumi.

Treš� veida robežnosac�jumi ir tad, ja uz robež�m uzdota pirm� un otr� robežnosac�jumu line�ra kombin�cija. Elektromagn�tisk� lauka apr��inos ar š�da veida robežnosac�jumiem neizn�k saskarties, t�p�c tos s�k�k šeit neiztirz�sim.

4. z�m�jum� aplkots apgabals ar �eometriski vienk�ršas formas robež�m, ko veido taisnes nogriež�i, kuru virzieni sakr�t ar koordin�tu asu virzieniem. Re�los uzdevumos apgabala robežu veido daž�di orient�tu jebkuras formas l�niju kombin�cija. Sakar� ar to robežnosac�jumu defin�šanas veids, kas izmantots iepriekš�jos piem�ros koordin�t�s x un y, šajos gad�jumos nav piem�rojams. T�p�c lietder�gi ir ieviest mobil�s koordin�tas � un n , kur � ir pieskare, bet n – norm�le robežas kaut k�d� punkt� (5. z�m.). Var atz�m�t, ka mobil�s koordin�tas bt�b� ir l�kl�niju koordin�tas, kas piesaist�tas patva�gas formas robežas daž�diem punktiem.

5. z�m.

Elektrisko maš�nu elektromagn�tisk� lauka uzdevumos apr��ina apgabals sast�v

no vair�kiem apakšapgabaliem, kurus vienu no otra atdala iekš�j�s robežas un kuru magn�tisk�s �paš�bas ir daž�das (6. z�m.). Šaj� gad�jum� robežnosac�jumi ir j�uzdod gan uz �r�j�m, gan iekš�j�m robež�m.

��

n n ��

18

�r�j�s robežas

iekš�j�s robežas

6. z�m.

No elektromagn�tisk� lauka teorijas [4] ir zin�ms, ka, š��rsojot robežu, kura atdala vides ar daž�d�m magn�tisk�m �paš�b�m, magn�tiskajai sp�ka l�nijai (p�rtraukt� l�nija 7. z�m�jum�) ir lauzums. Š� iemesla d� magn�tisk�s indukcijas un magn�tisk� lauka intensit�tes vektori uz robežas starp div�m daž�d�m vid�m ar 1� un

2� maina savu virzienu (7., 8. z�m.). Ir pier�d�ts (sk. [4]), ka uz robežas magn�tisk�s indukcijas vektora norm�l� komponente ir nep�rtraukta, t.i., nemaina savu v�rt�bu (7. z�m.):

21 nn BB � . (64)

7. z�m.

��� ���

B1

B2

Bn1

Bn2

�� ����

�!�

������"��

�! �

�� �

19

T�pat uz robežas ir nep�rtraukta un nemaina savu v�rt�bu magn�tisk� lauka intensit�tes vektora tangenci�l� komponente (8. z�m.):

21 �� HH � . (65)

Izmantojot robežnosac�jumus vien�dojumu (56) vai (57) risin�šanai, izteiksm�s

(64) un (65) magn�tisk� indukcija un lauka intensit�te j�izsaka ar vektori�lo magn�tisko potenci�lu. Šim nolkam izmantosim mobil�s koordin�tas� , n un izteiksmes (46) – (49), kuras dotas x, y koordin�t�s. T� k� abas š�s koordin�tu sist�mas ir ortogon�las sist�mas, tad mobilaj� koordin�tu sist�m� var uzrakst�t šadus vien�dojumus:

���

�A

Bn ; (66)

nA

B��

��� ; (67)

�� ��

�A

H n1

; (68)

nA

H��

����1

. (69)

8. z�m.

No izteiksm�m (64) un (66) izriet, ka

�� ��

��

� 21 AA . (70)

Ja divu funkciju atvasin�jumi ir vien�di, tad š�s funkcijas var atš�irties tikai par

kaut k�du patva�gu konstanti C , kuru šaj� gad�jum� var pie�emt par nulli. Tad vien�dojuma (70) viet� iegstam

21 AA � , (71)

H��

H���

��� ���

H��

H���

20

t.i., vektori�lais potenci�ls uz robežas ir nep�rtraukts. Savuk�rt, izmantojot izteiksmes (65) un (69), var atrast, ka

nA

nA

�

��

�

� 2

2

1

1

11��

, (72)

t.i., vektori�l� potenci�la atvasin�jums norm�les virzien� main�s ar l�cienu.

Var atz�m�t, ka ar vien�d�bu (71) tiek uzdoti pirm� veida, bet ar vien�d�bu (72) – otr� veida robežnosac�jumi.

3.2. Robežnosac�jumu realiz�cijas �patn�bas elektrisko maš�nu magn�tisk� lauka apr��ina uzdevumos

Ar izteiksm�m (71) un (72) uzdoto un visp�r�gam gad�jumam atbilstošo

robežnosac�jumu iev�rošana, risinot re�lus uzdevumus elektriskaj�s maš�n�s, ir saist�ta ar vair�k�m elektrisko maš�nu �patn�b�m. Galven�s no t�m ir š�das: – maš�nas magn�tisk� sist�ma satur elementus, kuru magn�tisk�s �paš�bas ir

iev�rojami atš�ir�gas, piem�ram, gaiss, feromagn�tiska vide; – magn�tisk� lauka sadal�jumam ir periodisks raksturs, t.i., lauka aina atk�rtojas ar

periodu p�2 , kur p� – pola iedaa; – magn�tisk� lauka aina ir simetriska attiec�b� pret noteikt�m as�m, piem�ram, polu

asi, garenasi d, š��rsasi q. Iev�rojot min�t�s, k� ar� v�l citas �patn�bas, daudzos gad�jumos ir iesp�jams

iev�rojami vienk�ršot robežnosac�jumu uzdošanu, izejas datu sagatavošanu, pašu uzdevumu risin�šanas procesu un rezult�tu apstr�di. It seviš�i tas attiecas uz skaitlisko metožu izmantošanu, kad dator� ievad�m�s inform�cijas apjoms, k� ar� rezult�tu apstr�dei nepieciešamais izvad�m�s inform�cijas apjoms ir tieši atkar�gs no apr��ina apgabala izv�les.

Robeža starp vid�m ar iev�rojami atš�ir�g�m magn�tiskaj�m caurlaid�b�m. 1. Ja robežojas vides ar 21 �� �� , piem�ram, feromagn�tiska vide – gaiss, tad

tuvin�ti var pie�emt, ka 02 �� . Š�ds tuvin�jums auj ierobežot apr��ina apgabalu ar robežu, kas sakr�t ar elektrisk�s maš�nas š��rsgriezumu aptverošo l�niju L , kura atdala maš�nu no apk�rt�j�s vides (9. z�m.).

9. z�m. Fizik�li š�ds pie��mums noz�m�, ka magn�tiskais lauks koncentr�jas maš�n� un

neiziet �rpus t�s, jeb tas noz�m�, ka uz robežas L magn�tisk� indukcijas norm�l�

L �����"�

���

21

komponente 0�nB (magn�tisk�s sp�ka l�nijas iet gar robežu). Saska�� ar izteiksmi

(66) uz š�s robežas 0����A

jeb �A const. T�p�c uz �r�j�s robežas var pie�emt jebkuru

nemain�gu vektori�l� potenci�la v�rt�bu, taj� skait�

0�A . (73) �sten�b� magn�tiskais lauks, kaut ar� v�jš, past�v �rpus maš�nas. Š� lauka

neiev�rošana ( 0�nB uz robežas L ) praktiski neietekm� lauka raksturu pašas maš�nas iekšien�. Tom�r atsevis�os gad�jumos, piem�ram, ja interes� elektrisk�s maš�nas rad�t� magn�tisk� lauka ietekme uz objektiem, kas atrodas tieš� t�s tuvum� (m�rapar�ti, elektronisk�s ier�ces u.c.), pie��mums 0�nB neauj nov�rt�t šo ietekmi. T�p�c visp�r�j� gad�jum� šo �rpus maš�nas past�vošo lauku var apr��in�t, ieviešot kaut k�du m�ksl�gu robežu 1L (10. z�m.), aiz kuras ar pietiekamu precizit�ti var pie�emt, ka magn�tiskais lauks nepast�v, t.i., magn�tisk�s indukcijas v�rt�ba nep�rsniedz apr��inos pieaujamo kdu. Šaj� gad�jum� nosac�jums (73) ir j�uzdod uz robežas 1L .

10. z�m. T�d�j�di, ja k�d� no robežas pus�m 0�� , uz š�das robežas tiek uzdoti

nullv�rt�bas pirm� veida robežnosac�jumi, t.i., 0�A . 2. Otrs gad�jums, ja 21 �� �� attiecas uz robežu gaiss – feromagn�tiska vide,

kad pie�em ��1� . Š�du pie��mumu lietder�gi izmantot, p�tot, piem�ram, zobu zonas vai polu �eometrijas ietekmi uz magn�tisk� lauka sadal�jumu gaisa spraug� (11. z�m.).

Tad uz robež�m L var izmantot nosac�jumus (65) vai (72). Piem�ram, saska�� ar (72), ja ��1� , uz š�m robež�m

0���

nA

. (74)

L1

�!���"�

������"�

���

L

22

11. z�m. T�d�j�di uz robež�m L ir uzdodami nullv�rt�bas otr� veida robežnosac�jumi.

Fizik�li tas noz�m�, ka uz apgabala robežas magn�tisk� lauka intensit�tes tangenci�l� komponente 0��H un t�tad ar� magn�tisk�s indukcijas tangenci�l� komponente

0��B , un magn�tisk�s sp�ka l�nijas robežu š��rso taisn� le���. Šaj� gad�jum� apr��ina apgabalu var ierobežot ar vidi, kur� 02 �� � .

Iepriekš aplkotie divi gad�jumi, kad 0�� un ��� saist�b� ar magn�tisk� lauka ainu att�loti 12. z�m�jum� .

0�nB ( 0�nH ) 0��B ( 0��H )

0�A 0���

nA

12. z�m.

Magn�tisk� lauka simetrija un periodiskums. Magn�tisk� lauka apr��ina apgabala ierobežošana ir iesp�jama un

robežnosac�jumu uzdošana vienk�ršojas, ja iev�ro elektrisk�s maš�nas magn�tisk� lauka simetriju un periodiskumu. Magn�tisk� lauka simetriju un periodiskumu nosaka magn�tisk�s sist�mas �eometrija un lauka avotu (tinumu str�vu) sadal�jums. T�, piem�ram, no 13. z�m. a, kur att�loti daudzpolu l�dzstr�vas maš�nas statora �etri poli, redzams, ka katram polam atbilst divas �eometrisk�s simetrijas asis – pola ass g # un starppolu ass g ## , turkl�t polu konstrukciju raksturojošie elementi atk�rtojas ar �eometrisko periodu gT , kas šaj� gad�jum� vien�ds ar pola iedau: pgT �� .

����� ������"� �� �"� �� � ��

a) b)

������"��������"��

������ ��

������ ��

������ ��

������ ��

L��

L��

L��

L��

23

13. z�m. Lauka avotu simetrijas un periodiskuma (elektrisk�s simetrijas un

periodiskuma) raksturs (13. z�m. b) ir cit�ds, nek� �eometrisk�s simetrijas un

a)

B

�p �p �p �p

Tg

Tg

g’ g”

b)

j

x

Te

Te

e’ e”

c)

m’

m’

m”

m”

x

A A,B d)

24

periodiskuma raksturs, un elektriskais periods eT , kas raksturo str�vas bl�vuma j sadal�jumu j sadal�jumu, ir vien�ds ar divk�ršu pola iedau: peT �2� . Savuk�rt,

simetrija izpaužas t�d�j�di, ka past�v divas simetrijas zi�� daž�das asis e# un e ## . Vien�dos att�lumos uz ab�m pus�m no ass e ## str�vas bl�vuma skaitlisk�s v�rt�bas un virzieni ir vien�di, bet vien�dos att�lumos uz ab�m pus�m no ass e# skaitlisk�s v�rt�bas ir vien�das, bet ar pret�ju z�mi. Iev�rojot š�s �patn�bas, asis e# turpm�k nosauksim par antisimetrijas as�m, bet asis e ## – par simetrijas as�m. No str�vas bl�vuma sadal�juma (13. z�m. b) un polu �eometrijas (13. z�m. a) ir atkar�gs magn�tisk� lauka raksturs maš�n� (13. z�m.c). 13. z�m. d att�lots gaisa spraugas magn�tisk�s indukcijas norm�l�s komponentes nB sadal�jums uz enkura virsmas, k� ar� vektori�l� potenci�la A sadal�jums uz š�s virsmas, kas var tikt iegts, pamatojoties uz izteiksmi (46) vai (66).

No 13. z�m. c un d var secin�t, ka magn�tisk� lauka sadal�jumam ar� ir simetrisks un periodisks raksturs un t�d� ar� šeit lietder�gi izmantot simetrijas un antisimetrijas asu j�dzienus. Š�s asis ir noteiktas ar iepriekšmin�taj�m �eometrisk�s un elektrisk�s simetrijas as�m un ir magn�tisk� lauka antisimetrijas ( m# ) un simetrijas ( m ## ) asis.

Simetrijas un antisimetrijas asu ieviešana auj izv�l�ties apr��ina apgabalu t�, lai š� apgabala robežas no div�m pus�m btu simetrijas vai antisimetrijas asis un t�d�j�di daudzpolu maš�n� ierobežot apr��ina apgabalu tikai ar magn�tisk� lauka vienu periodu, magn�tisk� lauka vienu pusperiodu vai vienu ceturtdaperiodu (s�k�k sk. 3.3). Pamatojoties uz 13. z�m. c un d att�loto magn�tisk� lauka ainu un magn�tisk�s indukcijas sadal�jumu, uz simetrijas un antisimetrijas as�m ir uzdodami š�di robežnosac�jumi.

Uz antisimetrijas ass 0�nB , jo magn�tisk�s sp�ka l�nijas šo asi neš��rso. Tas noz�m�, ka saska�� ar izteiksmi (66) uz š�s l�nijas 0��� �A . T�p�c robeža, kas sakr�t ar antisimetrijas asi, ir l�dzv�rt�ga robežai starp vid�m ar 1� un 2� , ja 02 �� , un t�p�c uz antisimetrijas ass vienm�r

0�A , (75) t.i., uzdodami nullv�rt�bas pirm� veida robežnosac�jumi.

Uz simetrijas ass 0�� �� HB , jo magn�tisk�s sp�ka l�nijas šo asi š��rso taisn� le���. Tas noz�m�, ka robeža, kas sakr�t ar simetrijas asi, ir l�dzv�rt�ga robežai starp vid�m ar 1� un 2� , ja ��1� un t�p�c uz simetrijas ass vienm�r

0���

nA

, (76)

t.i., uzdodami nullv�rt�bas otr� veida robežnosac�jumi.

T�d�j�di iepriekš aplkot�s robežas ar vid�m 02 �� un ��1� robežnosac�jumu zi�� ir fizik�li analo�iskas robež�m, ko veido antisimetrijas un simetrijas asis, ja magn�tisko lauku rada attiec�gi daž�da virziena un vien�da virziena str�vas, bet 21 �� � .

25

3.3. Robežnosac�jumu speci�li gad�jumi un apr��ina apgabala izv�le

Lai apr��in�tu daž�dus no elektromagn�tisk� lauka atkar�gus elektrisko maš�nu raksturlielumus, nepieiešama inform�cija par š� lauka kop�jo ainu vis� maš�n�. Tom�r, iev�rojot magn�tisk� lauka periodiskumu un simetriju, šo lauka kopainu var iegt no laukiem atseviškos apgabalos, kurus izv�las t�, lai katru š�du atseviško apgabalu – apr��ina apgabalu – var�tu aplkot neatkar�gi no cita apgabala. Magn�tisk� lauka apr��ina apgabala izv�le ir tieši saist�ta ar robežnosac�jumiem uz š� apgabala robež�m. Princip� par apr��ina apgabalu var�tu izv�l�ties jebkuru nosl�gtu apgabalu maš�nas š��rsgriezuma plakn� ar noteikumu, ja uz š� apgabala robež�m ir zin�mi pirm� vai otr� veida robežnosac�jumi, turkl�t pirm� veida robežnosac�jumi var bt gan tieš�, gan netieš� form�.

Neskatoties uz to, ka praks� elektromagn�tisk� lauka apr��ina uzdevumi var bt loti daudzveid�gi (atkar�b� no maš�nas tipa, t�s darba rež�ma, konstrukcijas �patn�b�m u. tml.), var min�t vair�kus tipiskus variantus apr��ina apgabala izv�l� saist�b� ar robežnosac�jumiem.

Viens magn�tisk� lauka avots. Š�ds gad�jums atbilst rež�mam, kad str�va plst tikai vien� no maš�nas

tinumiem, piem�ram, statora vai rotora tinum�, prim�raj� vai sekund�raj� tinum� u.tml. Apr��ina apgabala izv�l� un ar to saist�tai robežnosac�jumu uzdošan� tad var bt vair�ki vair�ki rakstur�gi gad�jumi.

1. Magn�tiskajai sist�mai (vai t�s atseviš�iem elementiem, piem�ram, poliem) ir �eometrisk�s simetrijas asis (13. z�m. a) un �eometrisko un elektrisko periodiskumu raksturo sakar�ba

ge mTT � , (77)

kur 2$m , turkl�t jebkura elektrisk�s simetrijas ass sakr�t ar k�du no �eometrisk�s simetrijas as�m. Tad par apr��ina apgabalu var izv�l�ties apgabalu, kura viena robeža sakr�t ar simetrijas asi, bet otra – ar tai sekojošo antisimetrijas asi, un kura platums t�tad ir 4eT (13. z�m�jum� tas atbilst pusei no pola iedaas 2p� ). T� k� šaj� gad�jum� eksist� magn�tisk� lauka simetrijas un antisimetrijas asis, tad robežnosac�jumi uz š�m as�m uzdodami saska�� ar (75) un (76). Var atz�m�t, ka apr��ina apgabals 4eT ar min�tajiem robežnosac�jumiem izmantojams, apr��inot, piem�ram, magn�tisko lauku l�dzstr�vas vai sinhron�s maš�nas tukšgaitas rež�m� (enkura str�va 0�aI ), l�dzstr�vas maš�nas š��rsreakcijas magn�tisko lauku (sukas novietotas uz �eometrisk�s neitr�les), enkura garenreakcijas magn�tisko lauku (sukas nob�d�tas attiec�b� pret �eometrisko neitr�li 90 elektrisko gr�du le���), sinhron�s maš�nas enkura š��rsreakcijas vai gerenreakcijas magn�tisko lauku, k� ar� citos gad�jumos.

2. Magn�tiskajai sist�mai vai t�s elementiem nav �eometrisk�s simetrijas asis (14. z�m.), bet ir sp�k� sakar�ba (77). Šaj� gad�jum� par apr��ina apgabalu var izv�l�ties jebkuru apgabalu, kura platums ir 2eT (14. z�m�jum� tas atbilst vienai pola iedaai p� ), t.i., par vienu no div�m apr��ina apgabala robež�m patva�gi var

izv�l�ties kaut k�du l�niju 1L , bet otra robeža tad bs t�da l�nija 2L , kura atrodas att�lum� 2eT no l�nijas 1L . Vair�ku praktisku apsv�rumu d� l�nijas 1L un 2L v�lams orient�t t�, lai t�s sakristu ar elektrisk�s simetrijas vai antisimetrijas as�m, vai

26

cit�m l�nij�m (sk. 14. z�m.). Šaj� gad�jum� uz div�m apgabala robež�m uzdodami pirm� veida robežnosac�jumi netieš� form�:

21 AA �� , (78)

kur 1A un 2A – vektori�lais potenci�ls attiec�gi uz robež�m 1L un 2L .

14. z�m.

Var atz�m�t, ka apr��ina apgabals 2eT ar min�tajiem robežnosac�jumiem izmantojams, apr��inot, piem�ram, magn�tisko lauku tukšgait� t�d� l�dzstr�vas vai sinhronaj� maš�n�, kuras poli ir nesimetriski.

3. Magn�tiskajai sist�mai vai t�s elementiem ir �eometrisk�s simetrijas asis, ir sp�k� sakar�ba (77), bet neviena no elektrisk�s simetrijas vai antisimetrijas as�m nesakr�t ar k�du no �eometrisk�s simetrijas as�m. Šaj� gad�jum� robežnosac�jumu uzdošana atbilst 2. punkt� iztirz�tajam variantam (apr��ina apgabals ir 2eT un robežnosac�jumi uzdodami saska�� ar (78)), un š�ds variants var bt, piem�ram, p�tot l�dzstr�vas maš�nas enkura reakcijas lauku, ja sukas nob�d�tas attiec�b� pret �eometrisko neitr�li patva�g� le���.

Divi magn�tisk� lauka avoti. 4. Lauka abu avotu elektriskie periodi ir vien�di

21 ee TT � (79)

a)

B

L2

�p �p �p �p

Tg

Tg

b)

Te Te

L1

x

27

un to elektrisk�s simetrijas asis sakr�t. Magn�tiskajai sist�mai vai t�s elementiem ir �eometrisk�s simetrijas asis, turkl�t ir sp�k� sakar�ba

gee mTTT �� 21 , (80)

un jebkura elektrisk�s simetrijas ass sakr�t ar k�du no �eometrisk�s simetrijas as�m. Šaj� gad�jum� apr��ina apgabala izv�le un robežnosac�jumu uzdošana piln�b� atbilst variantam, kas iztirz�ts š�s apakšnodaas 1. punkt� magn�tiskam laukam ar vienu avotu. Praks� š�ds variants iesp�jams, apr��inot, piem�ram, sinhron�s maš�nas rezult�jošo magn�tisko lauku �ssl�guma rež�m�, kad praktiski darbojas tikai enkura gerenreakcija.

5. T�pat k� š�s apakšnodaas 4. punkt�, magn�tiskajai sist�mai ir �eometrisk�s simetrijas asis, ir sp�k� sakar�bas (79) un (80), bet lauka abu avotu elektrisk�s simetrijas asis nesakr�t. Tad apr��ina apgabala izv�le un robežnosac�jumi atbilst variantam, kas iztirz�ts š�s apakšnodaas 2. punkt� magn�tiskam laukam ar vienu avotu.

6. Lauka abu avotu elektriskie periodi ir daž�di, turkl�t

21 ee nTT � , (81) kur n – jebkurš vesels skaitlis. Magn�tisk� sist�ma vai t�s elementi var bt gan simetriski, gan nesimetriski, bet ir sp�k� sakar�ba

ge mTT �1 , (82)

kur 1eT – liel�kais no lauka avotu elektriskajiem periodiem; 2$m (sk. iepriekš). Šaj� gad�jum� par apr��ina apgabalu var �emt jebkuru apgabalu, kura platums ir vien�ds ar 1eT un uz apr��ina apgabala div�m robež�m uzdodami pirm� veida robežnosac�jumi netieš� form�:

21 AA � , (83) kur 1A un 2A – vektori�lais potenci�ls attiec�gi uz div�m apgabala robež�m.

Var atz�m�t, ka 6. punkt� aplkotais gad�jums bt�b� ir pats visp�r�g�kais gad�jums, kas piem�rojams ar� 1.– 5. punkt� aplkotajiem variantiem.

Magn�tisk� lauka avots atrodas �rpus apr��ina apgabala. Š�ds uzdevums var bt, p�tot, piem�ram, statora vai rotora zobu sl��a

�eometrijas ietekmi uz gaisa spraugas magn�tisk� lauka raksturlielumiem (gaisa spraugas koeficientu, magn�tisk� lauka puls�cij�m, induktormaš�nu galven� magn�tisk� lauka sadal�jumu u.tml.). Šaj� gad�jum� apr��ina apgabalu iesp�jams ierobežot vispirms jau no statora un rotora puses, pie�emot feromagn�tiskai videi

��� (sk. 11. z�m.). Turkl�t, iev�rojot zobu sl��a �eometrisko periodiskumu, ko raksturo periods gT , kas šaj� gad�jum� vien�ds ar zoba iedau zt , par apr��ina

apgabalu var izv�l�ties apgabalu, kas atbilst zoba iedaai zt . Bet sakar� ar to, ka katrai zoba iedaai ir divas simetrijas asis, magn�tisk� lauka aina attiec�b� pret š�m as�m ir

28

simetriska, un par apr��ina apgabalu var �emt apgabalu ar platumu 2zt un robež�m

1L un 2L , kur 1L un 2L sakr�t attiec�gi ar zoba un rievas simetrijas as�m (15. z�m.).

15. z�m. Robežnosac�jumus uz min�taj�m robež�m var uzdot, ja zin�ma zoba iedaas

magn�tisk� plsma t� (šo magn�tisko plsmu nosaka lauka avots, kas atrodas �rpus apr��ina apgabala, piem�ram, galveno polu tinums). Saska�� ar izteiksmi (63) un 15. z�m�jumu

lAAt )(2 12

���

, (84)

kur 1A un 2A – vektori�lais potenci�ls attiec�gi uz robež�m 1L un 2L ; l – maš�nas garums aksi�laj� virzien�.

T� k� zoba iedaas plsmu t� nosaka tikai vektori�lo potenci�lu 2A un 1A starp�ba, tad vienam no šiem lielumiem var pieš�irt jebkuru v�rt�bu, taj� skait� nulli. Šaj� gad�jum� no izteiksmes (84) var atrast, ka uz robež�m 1L un 2L ir uzdodami š�di pirm� veida robežnosac�jumi:

01 �A ; (85)

lA t

22�

� . (86)

Nestacion�rs magn�tiskais lauks. Iepriekš (sk. 2.3) tika atz�m�ts, ka nestacion�ra elektromagn�tisk� lauka

vien�dojumu (vien�dojumu, kas satur locekus tA �� un xA �� ) risin�šanu var aizst�t ar vair�ku stacion�ra lauka vien�dojumu (vien�dojumu (56) vai (57)) risin�šanu. No robežnosac�jumu viedoka šeit aplkojami vair�ki rakstur�gi gad�jumi.

7. Magn�tisko lauku rada vienf�zes mai�str�va ar str�vas bl�vumu )(tfja � (piem�ram, vienf�zes transformatoros, vienf�zes mai�str�vas maš�n�s), bet magn�tisk�s sist�mas elementi ir telp� nekust�gi ( 0�v ). Lai iegtu vektori�l� potenci�la sadal�jumu k� laika funkciju )(tA , šaj� gad�jum� var risin�t n stacion�ra lauka uzdevumus ar uzdot�m lauka avota n str�vas bl�vuma moment�naj�m v�rt�b�m, t.i., )( 1tja , )( 2tja ,…, )( ia tj ,…, )( na tj . Š�du uzdevumu risin�šanas rezult�t� tad

6

�t/2

����� �

����� �

L1 L2

bz/2 tz/2

1 2

3 4

5

29

iegst vektori�l� potenci�la v�rt�bas )( 1tA , )( 2tA ,…, )( itA ,…, )( ntA , kas atbilst nep�rtrauktas funkcijas )(tA diskr�t�m v�rt�b�m fiks�tos laika momentos it . Šim nolkam mai�str�vas periodu T lietder�gi sadal�t n vien�d�s da�s ar soli

nTtht �%� , turkl�t t�, lai 12$n . K� zin�ms, vienf�zes mai�str�vas gad�jum� past�v telp� nekust�gs magn�tiskais

lauks, kura telpiskais sadal�jums un lauka aina saglab�jas jebkur� laika moment� it , t.i., jebkurai lauka avota str�vas bl�vuma v�rt�bai. T�p�c, uzdodot robežnosac�jumus, var vad�ties no �patn�b�m, kas iztirz�tas š�s apakšnodaas 1. – 6. punkt� (simetriju, periodiskumu, apr��ina apgabala izv�li).

8. Magn�tisko lauku rada tr�sf�žu mai�str�va nekust�g� tr�sf�žu tinum� vai l�dzstr�va rot�još� tinum�. Abos min�tajos gad�jumos ir dar�šana ar rot�jošu magn�tisko lauku, kura telpiskais sadal�jums un lauka aina katr� laika moment� ir daž�di. Pirmaj� gad�jum�, kad lauku rada tr�sf�žu mai�str�va, l�dz�gi k� 7. punkt�, j�izv�las n laika momenti it , katr� no tiem uzdodot daž�das atseviš�o f�žu str�vu bl�vuma moment�n�s v�rt�bas )( iaA tj , )( iaB tj , )( iaC tj . 16. z�m�jum� a vienk�ršoti att�lota divpolu magn�tisk� lauka aina tr�sf�žu asinhron� maš�n� tr�s rakstur�gos laika momentos 01 �t , 122 Tt � un 1223 Tt � , kad attiec�go f�žu str�vu moment�n�s v�rt�bas atbilst 1. tabul� nor�d�taj�m v�rt�b�m. Šo str�vu moment�n�s v�rt�bas var iegt no izteiksm�m tIi mA �cos� ,

)32cos( &� �� tIi mB , )34cos( &� �� tIi mC

vai ar� no 16. z�m�juma b vektoru diagrammas k� atseviš�u f�žu str�vu vektoru projekcijas uz laika asi.

1. tabula

it Ai Bi Ci 0

mI 2mI� 2mI� 12T

mI23 0 mI23� 122T 2mI 2mI mI�

K� redzams no 16. z�m�juma a, jebkur� no aplkotajiem laika momentiem

eksist� magn�tisk� lauka antisimetrijas ( m# ) un simetrijas ( m ## ) asis. Uz š�m as�m robežnosac�jumi uzdodami saska�� ar (75) un (76), t.i., uz antisimetrijas ass nullv�rt�bas pirm� veida, bet uz simetrijas ass nullv�rt�bas otr� veida robežnosac�jumi, un par apr��ina apgabalu var izv�l�ties apgabalu 4eT , kur eT - elektriskais periods (sk. 3.2). �patn�ba šeit ir tikai t�, ka simetrijas un antisimetrijas asu orient�cija main�s atbilstoši aplkojamam laika momentam it . T�, piem�ram, 16. z�m�jum� att�lotaj� gad�jum�, ja 12�n , tad 12Tht � , jeb, izsakot šo soli ar elektrisko le��i,

0306122 ��� &&th . Tas noz�m�, ka vektori�lais potenci�ls k� laika funkcija ir noteikts ar 12 diskr�t�m v�rt�b�m. Ta�u š�s 12 v�rt�bas faktiski ir iegstamas no 3 atseviš�iem uzdevumiem, cikliski samainot viet�m attiec�g�s f�zes. Var atz�m�t, ka, izv�loties patva�gu laika soli, turkl�t t�du, ka 3n , 6n , 12n , str�vu sadal�jums

y

30

maš�nas tinuma f�z�s nav simetrisks un t�p�c neeksist� simetrijas un antisimetrijas asis. Šajos gad�jumos daž�diem laika momentiem it atbilstošas vektori�l� potenci�la v�rt�bas atrodamas, risinot vien�dojumu apgabalam 2eT vai eT ar netieš� form� uzdotiem pirm� veida robežnosac�jumiem (78) vai (83).

16. z�m Otraj� gad�jum�, kad magn�tisko lauku rada ar l�dzstr�vu barots rot�jošs tinums,

j�risina n stacion�ra lauka uzdevumi, katrs no kuriem atbilst noteiktam laika momentam it , kur� rot�jošais tinums ie�em noteiktu st�vokli attiec�b� pret k�du no nekust�gaj�m �eometrisk�s simetrijas as�m. Ar� šaj� gad�jum� iesp�jami t�di rotora st�voki, ka eksist� magn�tisk� lauka antisimetrijas ( m# ) un simetrijas ( m ## ) asis (17. z�m. a un b), un kad par apr��ina apgabalu var izv�l�ties 4eT , uzdodot uz š�m as�m robežnosac�jumus saska�� ar (75) un (76).

Laika momentos it , kas atbilst patva�giem rotora st�vokiem (17. z�m. c), kad 0900 '' ( , par apr��ina apgabalu j�izv�las apgabals 2eT vai eT ar netieš� form�

uzdotiem pirm� veida robežnosac�jumiem uz robež�m 1L un 2L saska�� ar (78) vai (83).

Nobeigum� atz�m�sim dažas visp�r�gas rekomend�cijas apr��ina apgabala izv�lei saist�b� ar robežnosac�jumiem.

Jebkur� gad�jum� apr��ina apgabalu var izv�l�ties k� apgabalu, kas ietver visu maš�nas š��rsgriezumu un robežnosac�jumus uzdot saska�� ar 3.2. apakšnodaas 1. punkt� formul�tajiem principiem. Š�da pieeja neprasa lauka ainas iepriekš�ju fizik�lu anal�zi (simetrija, periodiskums un šo faktoru speci�li gad�jumi). Tom�r tad ir j�r��in�s ar apr��inam sagatavojam�s inform�cijas apjoma btisku palielin�šanos un

IC

A A A a)

b) t t t

0 0 0

IA IA IA

IB

IB

IB

IC

IC

Zy

Z Zy

B B B

X X X

C C C

Y Y Y

31

kdu varbt�bu, ievadot inform�ciju dator�. T�d� lietder�gi vispirms ir izdar�t p�t�m� magn�tisk� lauka ainas fizik�lu anal�zi un noskaidrot, kuru no šaj� apakšnoda� min�tajiem speci�lajiem gad�jumiem (sk. 1. – 8. punktu) var izmantot uzdevuma risin�šanas procesa vienk�ršošanai.

17. z�m.

4. Magn�tisk� lauka apr��ina anal�tisk�s metodes

K� tika atz�m�ts 1. noda�, anal�tisko metožu lietošana ir visai ierobežota, jo elektromagn�tisk� lauka diferenci�lvien�dojumu anal�tisku atrisin�jumu var iegt tikai gad�jumos, kad re�lais p�t�mais objekts tiek stipri vienk�ršots (sk., piem�ram, [6]). Iev�rojot min�tos apsv�rumus, šaj� noda� aplkosim tikai vienu, sam�r� vienk�ršu magn�tisk� lauka anal�tisk� apr��ina uzdevumu. Iztirz�jot š� uzdevuma risin�šanas gaitu, vienlaikus iepaz�simies ar daž�m anal�tisko metožu izmantošanas �patn�b�m, kuras lietojamas ar� citos elektromagn�tisk� lauka apr��ina uzdevumos.

Pie�emsim, ka j�atrod statora tinuma tr�sf�žu str�vas rad�t� magn�tisk� lauka sadal�jums asinhron�s maš�nas rotor� laika moment�, kad tinuma f�z� A str�vai ir maksim�l� v�rt�ba ( mA Ii � , 2mCB Iii ��� ) atbilstoši 18. z�m�jumam.

m’

m’ m”

m” (����ti = 00 (����ti = 900

""'(����ti < 900 (�

L1 L2

32

18. z�m.

Uzdevuma risin�šanai izdar�sim š�dus vienk�ršojumus un pie��mumus:

- rotora virsma ir bez riev�m; - cilindriska maš�na aizst�ta ar line�ru (19. z�m.); - statora tinuma rad�t�s magn�tisk�s indukcijas norm�l�s komponentes sadal�jums

uz rotora virsmas ( 0�y ) ir sinusoid�ls, t.i., tiek iev�rota tikai magn�tisk�s indukcijas pirm� harmonika

xBBp

my �&

cos01 � , (87)

kur p� – pola iedaa. T� k� saska�� ar uzdevuma nosac�jumiem tiek aplkots maš�nas tukšgaitas

rež�ms, tad apr��ina apgabal�, kas šaj� gad�jum� ietver tikai rotoru, lauka avotu nav ( 0�aj ) un t�p�c j�risina vien�dojums (57). Š� vien�dojuma risin�jumu mekl�sim sinusoid�las x funkcijas veid�

xAAp

m �&

sin� , (88)

kas izriet no (47) un kur� mA – no koordin�tas x neatkar�ga vektori�l� potenci�la maksim�l� v�rt�ba, t.i., v�rt�ba uz magn�tisk� lauka simetrijas as�m 2px �)� (19. z�m.).

Atvasinot izteiksmi (88) divreiz p�c x un y , iegstam

xAxA

pm

p �&

�&

sin2

2

2

���

����

���

��

;

xyA

yA

p

m

�&

sin22

2

2

�

��

�

�.

*�

A

X

B

Y

C

Z b

33

19. z�m.

Ievietojot š�s izteiksmes vien�dojum� (57) un sa�sinot ar xp�

&sin , iegstam

š�du vien�dojumu:

0222

���

�m

m AyA

( , (89)

kur izmantots apz�m�jums

p�&

( � .

(90)

Vien�dojums (89) ir line�rs otr�s k�rtas diferenci�lvien�dojums, kura visp�r�jais atrisin�jums [2] ir

yym eCeCA

(( �� 21 , (91)

kur 1C un 2C – patva�gas integr�šanas konstantes.

Vien�dojuma (89) partikul�ro atrisin�jumu atrod, ievietojot 1C un 2C viet� to v�rt�bas, kas noteiktas no robežnosac�jumiem, t.i., no mekl�jam�s funkcijas mA v�rt�b�m uz robež�m 0�y un by � : 0)0( mm AyA �� un mbm AbyA �� )( . Saska�� ar izteiksm�m (47) un (87)

By0

�p �p

x

x

b

0

y

34

xAxBdxByAAp

mp

mp

y �&

�&

&

�sinsin)0( 0010 ������� � ,

(92)

kur

mp

m BA &

���0 .

(93)

No magn�tisk� lauka fizik�l�s ainas izriet, ka uz rotora jga robežas ( by � ) 0�yB , jo magn�tisk�s sp�ka l�nijas šo robežu neš��rso. T�p�c saska�� ar (47) un

(88)

0cos1 ��� xABp

mbp

yb �&

�&

,

kas iesp�jams tikai tad, ja 0�mbA . (94)

Ievietojot izteiksm� (91) koordin�t�m 0�y un by � atbilstoš�s vetori�l�

potenci�la amplitdas v�rt�bas no (93) un (94), iegstam vien�dojumu sist�mu

210 CCAm � , bb eCeC (( �� 210 .

Atrisinot šo sist�mu, iegstam (p�rveidojumos iev�rojot to, ka hiperboliskais

sinuss 2)(sh bb eeb ((( ��� )

bm eb

AC (

(���

sh20

1 , (95)

bm eb

AC (

(sh20

2 � . (96)

Ja integr�šanas konstantes 1C un 2C no (95) un (96) ievieto izteiksm� (91), p�c

p�rveidojumiem iegstam

byb

AA mm ((sh

)(sh0

�� ,

(97)

jeb, iev�rojot (93), (88) un (89),

xb

yb

BAp

p

pm

p

�&

�&

�&

&

�sin

sh

)(sh �

�� .

(98)

Š� izteiksme tad ar� ir uzdevuma atrisin�jums anal�tiskas funkcijas ),( yxfA � veid�, kuru izmantojot var atrast jebkur� rotora punkt� magn�tisko indukciju ( BBB yx ,, ), magn�tisk� lauka intensit�ti ( HHH yx ,, ) ar formul�m (46) – (49), (58), (59) vai jebkur� rotora š��rsgriezum� magn�tisko plsmu � ar formulu (63).

Var atz�m�t, ka izteiksme (98) izmantojama ar� augst�ko harmoniku magn�tisko

lauku apr��in�šanai, ja šaj� izteiksm� p� aizst�j ar +

�� +

pp � un mB ar augst�ko

35

harmoniku magn�tisk�s indukcijas indukcijas amplitdas v�rt�bu, kuru var noteikt, piem�ram, izmantojot [5].

5. Magn�tisk� lauka �pr��ina skaitlisk�s metodes

5.1. Gal�go diferen�u metode

Magn�tisk� lauka apr��inam var izmantot gal�go diferen�u un gal�go elementu metodi. Gal�go diferen�u metodes, ko bieži sauc ar� par rež�a metodi, bt�ba ir t�, ka atvasin�jumi diferenci�lvien�dojumos tiek aizst�ti ar to tuvin�t�m v�rt�b�m, kas izteiktas ar gal�gaj�m diferenc�m. Š�das aizst�šanas rezult�t� diferenci�lvien�dojuma viet� iegst algebrisku vien�dojumu sist�mu, kuras risin�šanai var izmantot uinivers�l�s metodes un ar datortehniku viegli realiz�jam�s standartprogrammas. Ny

k+1

k

k–1

i,k

3 2 1

1 2 3 i–1 i i+1 Nx

20. z�m. Aplkosim algebriskos vien�dojumus, kuri izmantojami diferenci�lvien�dojuma

(56)

ajyA

xA

����

�

�

�2

2

2

2

skaitliskai risin�šanai ar gal�go diferen�u metodi. Pie�emsim, ka dots taisnstra formas magn�tisk� lauka apr��ina apgabals, kas att�lots 20. z�m�jum�.

Uzkl�sim šim apgabalam taisnstrainu t�klu jeb rež�i, ko veido savstarp�ji perpendikul�ras koordin�tu as�m paral�las l�nijas. L�niju krustpunktus sauc par rež�a mezgliem. Patva�ga mezgla koordin�tas apz�m�sim ar kix , , kiy , , kur xNi ,,3,2,1 �� –

mezglu skaits x ass virzien�, bet yNk ,,3,2,1 �� – mezglu skaits y ass virzien�. Var uzskat�t, ka rež�is sast�v no vien�da tipa elementiem (21. z�m.), kas satur

�etrus zarus un piecus mezglus.

x

y

36

1, ki

2yh

ki ,1�

1xh

ki,

2xh

ki ,1

1yh

1, �ki

21. z�m. Att�lumus starp diviem blakus mezgliem x vai y ass virzien� sauc par rež�a

soiem: kikix xxh ,1,1 ��� ,

kikix xxh ,,12 �� ,

1,,1 ��� kikiy yyh ,

kikiy yyh ,1,2 �� ,

turkl�t visp�r�g� gad�jum� rež�is var bt ar nevienm�r�gu soli, t.i.,

2121 yyxx hhhh

. Apz�m�sim vektori�l� potenci�la v�rt�bas ar indeksiem, kas atbilst mezglu

numer�cijai un uzrakst�sim vien�dojumu (98) gal�go diferen�u form� patva�gam mezglam ki, . Saska�� ar [1] interv�los 1xh un 2xh funkcijas pirmo atvasin�jumu p�c x tuvin�ti var izteikt ar pirm�s k�rtas gal�gaj�m diferenc�m:

1

,1,

1 x

kiki

h

AA

xA ����

�

���

���

; (99)

2

,,1

2 x

kiki

h

AA

xA �

���

���

��� .

(100)

Savuk�rt, funkcijas otro atvasin�jumu p�c x mezgl� ki, tuvin�ti var izteikt k�

221

12

,2

2

xxkihh

xA

xA

xA

��

���

���

���

���

���

����

����

�

�

�,

jeb, iev�rojot (99) un (100),

37

.22

221

,,1

121

,,1

121

1

,1,

2

,,1

,2

2

xx

kiki

xxx

kiki

xxx

x

kiki

x

kiki

kihh

AA

hhh

AA

hhhh

AA

h

AA

xA

�

��

��

�

����

����

�

�

� �

�

(101)

L�dz�g� veid� interv�los 1yh un 2yh var izteikt funkcijas pirmos atvasin�jumus

p�c y :

1

1,,

1 y

kiki

h

AA

yA �����

�

����

�

��

; (102)

2

,1,

2 y

kiki

h

AA

yA �

����

����

�

�� .

(103)

Tad funkcijas otrais atvasin�jums p�c y mezgl� ki,

221

12

,2

2

yykihh

yA

yA

yA

���

����

�

��

����

����

�

��

����

����

�

�

�,

jeb, iev�rojot (102) un (103),

.22

221

,1,

221

,1,

121

1

1,,

2

,1,

,2

2

yy

kiki

yyy

kiki

yyy

y

kiki

y

kiki

kihh

AA

hhh

AA

hhhh

AA

h

AA

yA

�

��

��

�

����

����

�

�

� �

�

(104)

Ievietojot izteiksmes (101) un (104) vien�dojum� (56), p�c tam vien�dojuma abas puses pareizinot ar 4/))(( 2121 yyxx hhhh un izdalot ar � , iegstam š�du vien�dojumu:

� �

� � � � ,422

22

,2121

,1,2

21,1,

1

21

,,12

21,,1

1

21

kiayyxx

kikiy

xxkiki

y

xx

kikix

yykiki

x

yy

jhhhh

AAh

hhAA

hhh

AAh

hhAA

h

hh

���

�

�

�

�

�

��

��

(105)

kur kaij , – str�vas bl�vums mezgl� ki, .

Var atz�m�t vien�dojuma (105) atseviš�o loceku fizik�lo j�gu. T�, piem�ram, vien�dojuma lab� puse ir str�va, kas plst caur š��rsgriezuma laukumu

���

����

��

�

���

�

22222121 yyxx

hhhh (21. z�m�jum� sv�trl�niju ietvertais laukums) un kuras

bl�vums kaij , š� laukuma robež�s ir nemain�gs. Savuk�rt, reizin�t�ji pirms iekav�m vien�dojuma kreisaj� pus� raksturo magn�tisk�s pretest�bas. Piem�ram, reizin�t�js pie pirm� loceka ir kaut k�da elementa magn�tisk�s pretest�bas 1xR� reizin�jums ar

maš�nas garumu l :

38

lRllh

hh

h

hh

x

yy

x

yy1

1

21

1

21 2212 ���

�

�

.

No š�s formulas redzams, ka 1xR� ir magn�tisk� pretest�ba t�dam elementam, kura

garums ir ���

����

�

2221 yy hh , bet šk�rsgriezuma laukums lhx1 .

Vien�dojums (105) ir visp�r�g� form� uzrakst�ts vien�dojums lauka apr��inam ar gal�go diferen�u metodi. Š�da tipa vien�dojumus var uzrakst�t visiem apr��ina apgabala mezgliem, t�d�j�di iegstot N vien�dojumu sist�mu ar N nezin�miem lielumiem – vektori�l� potenci�la v�rt�b�m visos izv�l�tajos mezglos. Atrisinot šo vien�dojumu sist�mu, atrod vektori�l� potenci�la v�rt�bas fiks�tos mezglos k� v�rt�bu

),( ,,, kikiki yxAA � kopu, kas noz�m� nep�rtrauktas funkcijas ),( yxA uzdošanu tabulas veid�. Vien�dojumu sist�mas risin�šanu veic ar paz�stam�m (sk., piem�ram, [1]) metod�m, izmantojot datortehniku.

�sten�b� sist�mas risin�mo vien�dojumu skaits ir maz�ks nek� N , ja uz k�das no robež�m ir uzdoti pirm� veida robežnosac�jumi. Tas noz�m�, ka mezglos, kas atrodas uz š�d�m robež�m, vektori�l� potenci�la v�rt�bas ir zin�mas un (105) tipa vien�dojumos par�d�s k� konstantes. T�p�c, ja kop�jais mezglu skaits ir N , tad sist�ma satur 1NNN ��# vien�dojumus ar N # nezin�majiem lielumiem, kur 1N – mezglu skaits uz robež�m ar pirm� veida robežnosac�jumiem. Risin�mos N # vien�dojumus, savuk�rt, var iedal�t div�s grup�s: 1) vien�dojumi apgabala iekš�jiem mezgliem un 2) vien�dojumi mezgliem, kas atrodas uz apgabala robež�m ar otr� veida robežnosac�jumiem. Pirm�s grupas vien�dojumi katram mezglam ki, uzrakst�mi t�d� form� k� vien�dojums (105), ievietojot taj� attiec�go lielumu

ajhki ,,,, � skaitlisk�s v�rt�bas. Otr�s grupas vien�dojumu uzrakst�šanai izmanto izteiksmes (99), (100) vai (102), (103). Piem�ram, pie�emot, ka mezgli ki ,1 un

1, ki atrodas uz robež�m ar otr� veida robežnosac�jumiem (22. z�m), vien�dojumi šiem mezgliem attiec�gi bs: mezglam ki ,1 (sk. izteiksmi (100))

kix

kiki

h

AA,1

2

,,1

��

� ; (106)

mezglam 1, ki (sk. izteiksmi(103))

1,2

,1,

��

kiy

kiki

h

AA� ,

(107)

kur ki ,1� un 1, ki� – otr� veida robežnosac�jumu skaitlisk�s v�rt�bas attiec�gi

mezglos ki ,1 un 1, ki , kas bt�b� ir gal�go diferen�u form� izteikti funkcijas A atvasin�jumi norm�les virzien� šajos mezglos.

Magn�tisk� lauka apr��ina uzdevumos parasti 0,1 � ki� un 01, �ki� (sk. iepriekš 3.2. un 3.3. apakšnodaas).

39

1, kiA

2yh

kiA ,

kiA ,1

1xh

22. z�m.

K� tika atz�m�ts, vien�dojums (105) atbilst visp�r�gam gad�jumam, t.i., rež�im

ar main�gu soli, kad 2121 yyxx hhhh

. Atseviš�os gad�jumos (piem�ram, apr��inot magn�tisko lauku �eometriski vienk�ršas konfigur�cijas lok�los apgabalos) šo vien�dojumu var vienk�ršot, izv�loties vienm�r�gus, bet daž�dus sous x un y ass virzien�:

xxx hhh �� 21 ; (108)

yyy hhh �� 21 . (109)

Tad vien�dojuma (105) viet� iegstam

� � � �

,

1111

,

,1,,1,,,1,,1

kiayx

kikiy

xkiki

y

xkiki

x

ykiki

x

y

jhh

AAhh

AAhh

AAh

hAA

h

h

�

����� �� ����

jeb, nedaudz p�rveidojot,

� � .2121 ,,1,1,,,1,1 kiayxkikikiy

xkikiki

x

y jhhAAAhh

AAAh

h��� �� ��

(110)

Vien�dojumu (110) var v�l vair�k vienk�ršot, ja izv�las regul�ru rež�i, t.i., rež�i

ar vienm�r�gu un vien�du soli x un y ass virzien�:

hhh yx �� . (111)

Tad, ievietojot š�s sou v�rt�bas vien�dojum� (110), p�c attiec�giem p�rveidojumiem iegstam

� .41 ,2,1,1,,1,1 kiakikikikiki jhAAAAA �� ��� (112)

Gal�go diferen�u metodes precizit�te btiski ir atkar�ga no sou izv�les, jo kda,

risinot š�da tipa uzdevumus, ir proporcion�la 2h . T�p�c btu v�lams izv�l�ties

x

y

40

iesp�jami maz�ku soli. Tom�r tad attiec�gi palielin�s sist�mas vien�dojumu skaits, to risin�šanas laiks, k� ar� laiks, kas nepieciešams dator� ievad�m�s inform�cijas sagatavošanai un ievad�šanai. Diemž�l kdas nov�rt�šana atkar�b� no soa un soa korig�šana, pamatojoties uz šo nov�rt�šanu, iesp�jama tikai tad, ja zin�ms uzdevuma prec�zais atrisin�jums. No š�s probl�mas da�ji var izvair�ties, veicot skaitliskos eksperimentus ar divk�rtn�g� p�rr��ina metodi, kuras bt�ba, risinot, piem�ram, vien�dojumu (112) ir š�da. Pie�emot kaut k�du soli h , atrod vien�dojumu sist�mas atrisin�juma tuvin�t�s v�rt�bas kiA ,

~, bet p�c tam, pie�emot samazin�tu soli 21 hh � ,

– preciz�t�s v�rt�bas *,kiA . Katra mezgla vektori�l� potenci�la v�rt�bai apr��ina lielumu

kikiki AA ,*,,

~��, . (113)

Risin�juma precizit�ti uzskata par pietiekamu, ja izpild�s š�di nosac�jumi:

pki ,, �max, (maksim�l�s novirzes krit�rijs); (114)

� �� pkiki AAN ,)~

(1

,*, (vid�j�s novirzes krit�rijs);

(115)

� �� pkiki AAN ,2

,*, )

~(

1 (vid�j�s kvadr�tisk�s novirzes krit�rijs),

(116)

kur N – kop�jais rež�a mezglu skaits (ar� kop�jais vien�dojumu sist�mas nezin�mo skaits); max,ki, – visliel�k� no visos N mezglos izskaitotaj�m ki,, v�rt�b�m; p, – iepriekš uzdota pieaujam� kda.

Ja nosac�jumi (114) – (116) neizpild�s, izv�las jaunu soa v�rt�bu 212 hh � , atrod atrisin�jumu un atk�rtoti p�rbauda nosac�jumus (114) – (116). Š�das procedras turpina tik ilgi, kam�r izv�l�t� soa v�rt�ba nodrošina uzdoto risin�šanas precizit�ti.

J�atz�m�, ka aprakst�t� kdas nov�rt�šana un ar to saist�t� sou izv�le ir oti darbietilp�gs process, t�p�c praks� parasti vad�s, galvenok�rt, no pieredzes l�dz�gu uzdevumu risin�šan�. Tom�r var atz�m�t dažas visp�r�gas rekomend�cijas gal�go diferen�u metodes praktisk� izmantošan�. Š�s rekomend�cijas izriet no t�