Ejercicios Tema 4 con solución 1.- Tenemos una distribución unidimensional con los datos siguientes:

xi ni

8 3

9 3

10 6

13 4

15 5

20 3 ¿Cuál de las siguientes respuestas es correcta? a) La media aritmética es 12.42, la geométrica 11.89 y la desviación típica es menor que 2. b) La media aritmética es 12.42, la geométrica 10.26 y la media armónica 11.43. c) La media aritmética es 12.42, la geométrica 10.26 y la desviación típica 3.73. d) La media aritmética es 12.42, la geométrica 11.89 y la media armónica 11.43. Para calcular la media aritmética, hacemos la columna xi·ni

xi ni xini Ni ii nx ⋅2

8 3 24 3 192

9 3 27 6 243

10 6 60 12 600

13 4 52 16 676

15 5 75 21 1125

20 3 60 24 1200

24 298 4036

La media aritmética es: 42.1224

2981

==

⋅

=

∑=

N

nx

x

k

i

ii

La media geométrica es: 89.11201513109824 354633

=⋅⋅⋅⋅⋅=G

La media armónica es: 43.11

20

3

15

5

13

4

10

6

9

3

8

3

24=

+++++

=H

2.- El valor de la moda de la distribución del ejercicio 1 es

a) 6. b) 10. (Es el valor de xi cuya frecuencia absoluta es mayor) c) 15. d) Ninguna de las anteriores.

3.- El valor del tercer cuartil de la distribución del ejercicio 1 es

a) 13 b) 15 c) 20 d) Ninguna de las anteriores

Para localizar el tercer cuartil hacemos 184

243=

⋅=

q

rN, buscando en la columna de las

frecuencias absolutas acumuladas Ni, corresponde al valor de 155

=x

4.- El valor del percentil 92 de la distribución del ejercicio 1 es

a) 13. b) 15. c) 20. d) Ninguna de las anteriores.

Calculamos 08.22100

2492=

⋅=

q

rN, buscando en la columna de Ni, corresponde a 20

6=x .

5.- El valor del Coeficiente de Variación de Pearson, en términos porcentuales, de la distribución del ejercicio 1 es

a) 29 % b) 30% c) 31% d) 32%

El coeficiente de variación de Pearson es 100⋅=X

Sγ

Calculamos primero la varianza. Para ello hacemos la columna ii nx ⋅2

y tenemos

91.1342.1224

4036 22=−=S .

El coeficiente de variación de Pearson es: %3042.12

91.13==γ

6.- En la distribución del ejercicio 1, el valor tipificado de 103

=x es

a) 0.64 b) -0.64 c) 6.4 d) -6.4

Para tipificar una variable hacemos 64.091.13

42.1210−=

−=

−=

S

xxz ii

7.- Señala la afirmación que sea correcta:

a) La varianza toma valores entre -1 y 1. b) La varianza puede tomar cualquier valor. c) La desviación típica es el cuadrado de la varianza. d) La varianza nunca puede ser negativa. (página 94, penúltimo párrafo)

8.- En el hotel Solra el número de turistas que llegan el mes de junio tienen un promedio de 126 y una varianza de 44. En el hotel Farsan la media es de 112 y la desviación típica de 12.

a) El hotel Solra presenta menor dispersión en sus datos que el hotel Farsan. b) El hotel Farsan presenta menor variabilidad en el número de turistas que el hotel

Solra. c) El hotel Solra tiene la media más representativa porque es mayor que la del hotel

Farsan. d) El hotel Solra presenta mayor variabilidad en el número de turistas que el hotel

Farsan. Para estudiar la dispersión, variabilidad, representatividad de la media, se hace el coeficiente de variación de Pearson en ambas variables y se comparan.

%26.5100126

44=⋅=SOLRAγ %71.10100

112

12=⋅=FARSANγ

Como el coeficiente del hotel Solra es menor que el del hotel Farsan, el hotel Solra presenta menor dispersión en sus datos que el hotel Farsan. 9.- Señala cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) Una distribución es leptocúrtica si está más apuntada que la normal. b) El coeficiente de asimetría de Pearson sólo puede utilizarse cuando la distribución es

unimodal y campaniforme. c) Si el coeficiente de asimetría de Fisher es negativo, la distribución es

asimétrica a la derecha. (página 101, párrafo 4). d) El índice de Gini es una medida de concentración.

10.- Tenemos la siguiente distribución de los precios de los hoteles en Castellón:

[Li-1,Li) Ni

[0,75) 8

[75,100) 12

[100,150) 17

[150,200) 20

[200,350) 22 La media aritmética de la distribución es:

a) 106.82 b) 10.82 c) 79 d) 17

[Li-1,Li) Ni xi ni xi·ni di ii nx ⋅2

[0,75) 8 37,5 8 300 0,11 11250

[75,100) 12 87,5 4 350 0,16 30625

[100,150) 17 125 5 625 0,1 78125

[150,200) 20 175 3 525 0,06 91875

[200,350) 22 275 2 550 0,01 151250

N = 22 2350 363125 Calculamos la columna de xi, es decir, la marca de clase. Para ello sumamos los límites del intervalo y dividimos por 2:

5.372

750

1=

+=x ; 5.87

2

10075

2=

+=x ; 125

2

150100

3=

+=x ;

1752

200150

4=

+=x ; 275

2

350200

5=

+=x

Como la columna que nos da el ejercicio es la de las frecuencias absolutas acumuladas Ni, tenemos que calcular la columna de las frecuencias absolutas ni. Para ello basta restar al valor de Ni el anterior.

81

=n ; 48122

=−=n ; 512173

=−=n ; 317204

=−=n ; 220225

=−=n .

Ya estamos en condiciones de calcular la columna ii nx ⋅ y la media es 82.10622

2350==x

11.- La moda de la distribución del ejercicio 10 es:

a) 75 b) 189 c) 222 d) 86.9

Tenemos que tener en cuenta que la amplitud de los intervalos es diferente, por lo que hay

que calcular la densidad de frecuencia,

i

i

ia

nd =

11.075

8

1==d ; 16.0

25

4

2==d ; 1.0

50

5

3==d ; 06.0

50

3

4==d ; 01.0

150

2

5==d

El intervalo que tiene mayor densidad de frecuencia es [75,100), luego la moda será:

9.86251.011.0

1.075

11

1=⋅

++=⋅

++=

+−

+

i

ii

i

io add

dLM

12.- La mediana, el sexto decil y el percentil 85 del ejercicio 10 son:

a) Mediana = 93.75; sexto decil = 121; percentil 85 = 178.33 b) Mediana = 93.75; sexto decil = 112; percentil 85 = 178.33 c) Mediana = 112; sexto decil = 93.75; percentil 85 = 178.33 d) Mediana = 93.75; sexto decil = 178.33; percentil 85 = 93.75

Calculamos la mediana: 112

22

2==

N, mirando en la columna de Ni, corresponde al

intervalo [75,100), aplicando la fórmula 75.93254

81175 =⋅

−+=eM .

Sexto decil: 2.1310

226=

⋅=

q

rN, mirando en la columna de Ni, corresponde al intervalo

[100,150). Aplicando la fórmula 112505

122.13100

6=⋅

−+=D .

Percentil 85: 7.18100

2285=

⋅=

q

rN, mirando en la columna de Ni, corresponde al intervalo

[150,200). Aplicando la fórmula 33.178503

177.18150

85=⋅

−+=P .

13.- La varianza de la distribución del ejercicio 10 es:

a) 5000 b) 5095.17 c) 71.38 d) Ninguna de las anteriores

Calculamos la columna ii nx ⋅2

y tenemos 17.509582.10622

363125 22=−=S

14.- La media de distribución del ejercicio 10 es:

a) Muy poco representativa. b) Muy representativa. c) Algo representativa d) Nos faltan datos para saberlo.

Calculamos el coeficiente de variación de Pearson:

%82.6610082.106

17.5095100 =⋅=⋅=

X

Sγ como el valor es superior al 50%, podemos

considerar que la media es muy poco representativa