EEM211 ELEKTRİK DEVRELERİ-I

Kaynak (Ders Kitabı):

Fundamentals of Electric Circuits

Charles K. Alexander

Matthew N.O. Sadiku

McGraw Hill, 5th edition

ISBN: 978-0073380575, 2013.

Prof. Dr. Selçuk YILDIRIM

Siirt Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği

2. Bölüm: Temel Kanunlar

2.1 Giriş 1. Bölümde, akım, gerilim ve güç gibi temel kavramlardan bahsedilmişti. Verilen bir devrede bu değerleri bulmak için bazı temel kanunları bilmek gerekir. Bu kanunlar, Ohm kanunu ve Kirchhoff kanunlarıdır.

2.2 Ohm Kanunu • Malzemeler genelde, elektrik yükünün akışını engelleme şeklinde bir

karakteristik davranışa sahiptirler. Bu fiziksel özellik veya yetenek, direnç olarak bilinir ve R sembolü ile gösterilir.

• A kesit alanına sahip herhangi bir malzemenin direnci, A kesiti ile 𝑙 uzunluğuna bağlıdır.

• Direnci matematiksel şekilde, 𝑅 = 𝜌𝑙

𝐴 olarak gösterebiliriz.

• Burada, 𝜌 ohm-metre cinsinden malzemenin öz direnci olarak bilinir.

2 12.10.2015

• Tablo 2.1’de bazı genel malzemeler için 𝜌 değerleri verilmiştir ve hangi malzemelerin iletkenler, yalıtkanlar ve yarı iletkenler için kullanıldığı gösterilmiştir.

Bazı malzemelerin öz dirençleri:

3 12.10.2015

• Direnç, en basit pasif elemandır.

• Şekil 2.1’de direnç ve direncin devre sembolü verilmiştir.

• Ohm Kanunu: Bir direncin uçlarındaki 𝑣 gerilimi, dirençten geçen 𝑖 akımıyla doğru orantılıdır.

𝑣 ∝ 𝑖

• Matematiksel şekilde Ohm Kanunu;

𝑣 = 𝑖 𝑅

olarak tanımlanır.

• Bir elemanın direnci; elektrik akımının

akışını engelleme yeteneği olarak

tanımlanır ve ohm (Ω) ile ölçülür.

𝑅 =𝑣

𝑖 ve 1 Ω = 1 V/A ’dir.

4 12.10.2015

• Akım akışı yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru olduğunda,

𝑣 = 𝑖 𝑅 olur.

• Eğer akım düşük potansiyelden yüksek potansiyele doğru akarsa, 𝑣 = −𝑖 𝑅 olur.

• 𝑅 = 0 olan bir eleman kısa devre olarak isimlendirilir. 𝑣 = 𝑖 𝑅 = 0 olur. (Akım herhangi bir değer olabilir, gerilim sıfırdır.)

• Bir kısa devre, direnci sıfıra yaklaşan bir devre elemanıdır. (Şekil2.2a).

• 𝑅 = ∞ olan bir eleman açık devre olarak bilinir. Açık devre için,

𝑖 = lim𝑅→∞

𝑣

𝑅= 0 olur.

(Gerilim herhangi bir değer olabilir, akım sıfırdır.)

• Bir açık devre, direnci sonsuza yaklaşan bir devre elemanıdır. (Şekil2.2b).

5 12.10.2015

• Bir direnç sabit veya değişken olabilir.

• Şekil 2.3’de iki sabit direnç türü gösterilmiştir.

a) Tel sarımlı direnç, b) karbon film direnç

• Değişken dirençler ayarlanabilen dirençlerdir.

• Şekil 2.4a)’da değişken bir direnç sembolü

gösterilmiştir.

• Şekil2.4b)’deki değişken bir direnç genellikle

potansiyometre veya kısaca pot olarak bilinir.

6 12.10.2015

• Potansiyometre, hareketli bir kontağı bulunan üç uçlu bir elemandır.

• Şekil 2.5’te pot örnekleri verilmiştir.

• Şekil 2.6’da bir devre kartındaki dirençler görülmektedir.

7 12.10.2015

• Bütün dirençler Ohm kanununu sağlamazlar.

• Lineer direnç Ohm kanununu sağlar.

Şekil 2.7a)’da gösterildiği gibi akım-gerilim

karakteristiği lineerdir ve direnci sabittir.

• Nonlineer direnç Ohm kanununu

sağlamaz.

Şekil 2.7b)’de akım-gerilim karakteristiği

gösterildiği gibi direnci akımla değişir.

• Ampül ve diyot, nonlineer (doğrusal

olmayan) dirençlere örnek olarak

gösterilebilir.

8 12.10.2015

• R direncinin tersi, iletkenlik olarak isimlendirilir ve devre analizinde kullanılan faydalı bir büyüklüktür.

• İletkenlik G ile gösterilir:

𝐺 =1

𝑅=𝑖

𝑣

• İletkenlik, bir elemanın elektrik akımını ne kadar iyi ilettiğinin ölçüsüdür.

• İletkenliğin birimi siemes (S) veya mho () ’dur.

1 S = 1 = 1 A/V

• İletkenlik, bir elemanın elektrik akımını iletme yeteneğidir.

• Aynı direnç, ohm veya siemens cinsinden ifade edilebilir.

• Örnek olarak, 10 Ω ile 0.1 S aynıdır.

𝑖 = 𝐺𝑣

şeklinde yazılabilir.

9 12.10.2015

• Bir direnç tarafından harcanan güç 𝑅 cinsinden,

𝑝 = 𝑣𝑖 = 𝑖2𝑅 =𝑣2

𝑅

• Bir direnç tarafından harcanan güç 𝐺 cinsinden ,

𝑝 = 𝑣𝑖 = 𝑣2𝐺 =𝑖2

𝐺

şeklinde ifade edilebilir.

Bu denklemleri şöyle yorumlayabiliriz:

1. Bir dirençte harcanan güç, hem akımın hem de gerilimin nonlineer bir fonksiyonudur.

2. Direnç (𝑅) ve iletkenlik (𝐺) pozitif büyüklükler olduğundan, bir dirençte harcanan güç her zaman pozitiftir.

Böylece, direnç daima devreden güç çeker.

10 12.10.2015

Örnek 2.1: Bir elektrikli ütü 120 V’da 2 A akım çekmektedir. Direncini bulunuz.

Çözüm: Ohm kanunundan,

𝑅 =𝑣

𝑖=120

2= 60 Ω

Ödev 2.1: Bir tost makinesinin temel bileşeni (rezistans), elektrik enerjisini ısı enerjisine dönüştüren elektriksel bir elemandır. Buna göre, 15 Ω ’luk bir rezistansı olan bir tost makinesi 110 V ’da ne kadar akım çeker? (7.333 A)

Ödev 2.2: Şekil 2.9’daki devrede, 𝑣 gerilimini, 𝐺 iletkenliğini ve 𝑝 gücünü hesaplayınız. 30 V, 100 µ𝑠, 90 mW

11 12.10.2015

Örnek 2.2: Şekil 2.8’de gösterilen devrede 𝑖 akımını, 𝐺 iletkenliğini ve 𝑝 gücünü hesaplayınız.

Çözüm: Direnç ve gerilim kaynağı aynı uçlara bağlandığından, dirençteki gerilim düşümü gerilim kaynağı kadar olur. Burada akım,

𝑖 =𝑣

𝑅=30

5 x 103= 6 mA

İletkenlik,

𝐺 =1

𝑅=

1

5 x 103= 0.2 mS

Güç değişik yollarla hesaplanabilir:

𝑝 = 𝑣𝑖 = 30 6x10−3 = 180 mW

𝑝 = 𝑖2𝑅 = (6x10−3)2 5x103 = 180 mW

𝑝 = 𝑣2𝐺 = (30)2 0.2x10−3 = 180 mW

12 12.10.2015

Örnek 2.2: 20𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 V’luk bir gerilim kaynağı, 5 kΩ’luk bir dirence bağlanmıştır. Dirençten geçen akımı ve harcanan gücü bulunuz.

𝑖 =𝑣

𝑅=20𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡

5 x 103= 4𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡 mA

Buradan,

𝑝 = 𝑣𝑖 = 80𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑡 mW

Ödev 2.3: Bir direnç 𝑣 = 15𝑐𝑜𝑠𝑡V’luk bir kaynağa bağlandığında, 30𝑐𝑜𝑠2𝑡 mW anlık güç çekmektedir. 𝑖 ve 𝑅 ’yi bulunuz.

(2𝑐𝑜𝑠𝑡 mA, 7.5 kΩ)

13 12.10.2015

2.3 Düğüm, Dal ve Çevre Kavramları • Bir elektrik devresinin elemanları birbirleriyle çeşitli şekillerde

bağlanabildiğinden dolayı, devre topolojisinin temel kavramlarını öğrenmemiz gerekir.

• Devre topolojisinde, devredeki elemanların yerleştirilmesiyle ilgili özellikleri ve devre bağlantılarını inceleyeceğiz.

• Dal; akım kaynağı, gerilim kaynağı veya direnç gibi iki uçlu tek bir elemanı ifade eder.

• Şekil 2.10 ’daki devrede,

10 V ’luk gerilim kaynağı,

2 A ’lik akım kaynağı ve

3 adet direnç olmak üzere

5 adet dal vardır.

14 12.10.2015

• Düğüm; iki veya daha fazla dalın arasındaki bağlantı noktasıdır.

• Düğüm, bir devrede genellikle bir nokta ile gösterilir. Eğer iki düğümü bir kısa devre birleştiriyorsa, iki düğüm tek bir düğüm oluşturur.

• Şekil 2.10’daki devrede, a, b ve c olmak üzere üç düğüm vardır.

• b düğümüne iletken tellerle bağlı olan üç nokta tek bir düğüm oluşturur. Aynı durum c düğümünü oluşturan dört nokta için de geçerlidir.

• Şekil 2.10’daki devreyi,

Şekil 2.11’deki gibi sadece

üç düğümle tekrar çizebiliriz.

15 12.10.2015

• Çevre; bir devrede herhangi bir kapalı yoldur.

• Çevre, bir düğümden başlanarak, herhangi bir düğümden birden fazla geçmeksizin başlangıç düğümüne tekrar gelinmesiyle oluşturulan kapalı bir yoldur.

• Bir çevre, diğer bir bağımsız çevrede bulunmayan en az bir dalı içeriyorsa bağımsız çevre olarak isimlendirilir.

• Bağımsız çevreler veya yollar bağımsız denklem sistemleri oluştururlar.

• Şekil 2.11’de, 2 Ω’luk direnç ile oluşturulan abca çevresi bağımsızdır.

• 3 Ω’luk direnç ve akım kaynağı ile oluşturulan ikinci bir çevre bağımsızdır.

• Üçüncü çevre, 2 Ω’luk direnç ile buna paralel bağlı 3 Ω’luk dirençten oluşur. Bu çevre de bağımsızdır.

• Şekil 2.11’de, üç bağımsız çevre bulunmaktadır.

16 12.10.2015

• 𝑏 adet dal, 𝑛 adet düğüm ve 𝑙 adet bağımsız çevreden oluşan bir devre için devre topolojisinin temel teoremi,

𝑏 = 𝑙 + 𝑛 − 1

• 𝑏 = 5, 𝑛 = 3 ise 𝑙 = 3 olur.

• İki veya daha fazla eleman, sadece bir düğümü paylaşıyorsa seri bağlıdır ve sonuç olarak aynı akım geçer.

• İki veya daha fazla eleman, aynı iki düğüme bağlıysa paralel bağlıdır ve sonuç olarak aynı gerilim düşümüne sahiptirler.

17 12.10.2015

• Örnek 2.4: Şekil 2.12’deki devrede dal ve düğüm sayısınız bulunuz. • Çözüm: Devrede 4 eleman bulunduğundan, dört dal vardır: 10 V, 5 Ω, 6 Ω ve 2 A.

• Şekil 2.13’deki devrede bulunan üç düğüm tanımlanmıştır. • 5 Ω ’luk direnç ile 10 V ’luk gerilim kaynağının her ikisinden aynı

akım geçeceğinden seri bağlıdırlar.

• 6 Ω ’luk direnç ile 2 A ’lik akım kaynağının her ikisi de aynı düğümlere (2 ve 3 nolu düğümler) bağlandığından paralel bağlıdırlar.

18 12.10.2015

19

• Ödev 2.4: Şekil 2.14’deki devrede kaç dal ve düğüm vardır?

• Cevap: • Devrede 5 dal mevcuttur. • Şekil 2.15’te tanımlandığı gibi 3 düğüm vardır. • 1 Ω ’luk ve 2 Ω ’luk dirençler paraleldir. • 4 Ω’luk direnç ile 10 V’luk gerilim kaynağı da paraleldir.

12.10.2015

2.4 Kirchhoff Kanunları

• Ohm kanunu, devrelerin analizi için tek başına yeterli değildir. Ohm kanunu ile Kirchhoff’un iki kanunu birleştirildiğinde elektrik devrelerinin büyük bir kısmı analiz edilebilir.

• Bu kanunlar;

• Kirchhoff akım kanunu (KAK) ve

• Kirchhoff gerilim kanunu (KGK) olarak bilinir.

• Kirchhoff’un birinci kanunu, bir sistemdeki yüklerin cebirsel toplamı değişmez, şeklinde bilinen yüklerin korunumu kanununa dayanır.

• Kirchhoff akım kanunu (KAK): Bir düğüme (veya kapalı bir sınıra) giren akımların cebirsel toplamı sıfırdır.

20 12.10.2015

21

• Kirchhoff akım kanunu (KAK) matematiksel olarak;

𝑖𝑛 = 0

𝑁

𝑛=1

• şeklinde ifade edilir. Burada 𝑁, düğüme bağlı dal sayısı ve 𝑖𝑛 ise 𝑛. düğüme giren (veya düğümden çıkan) akımdır.

• Bu kanuna göre, düğüme giren akımlar pozitif, düğümden çıkan akımlar negatif veya tam tersi alınabilir.

• Kirchhoff akım kanununun ispatı için, bir düğümden akan akımların

𝑖𝑘 𝑡 , 𝑘 = 1,2, … , olduğunu kabul edelim. Düğümdeki akımların cebirsel toplamı,

𝑖𝑇 𝑡 = 𝑖1 𝑡 + 𝑖2 𝑡 + 𝑖3 𝑡 + ⋯

• Bu denklemin her iki tarafının integralin alırsak,

𝑞𝑇 𝑡 = 𝑞1 𝑡 + 𝑞2 𝑡 + 𝑞3 𝑡 + ⋯

olur. Burada 𝑞𝑘 𝑡 = 𝑖𝑘 𝑡 𝑑𝑡 ve 𝑞𝑇 𝑡 = 𝑖𝑇 𝑡 𝑑𝑡 ’dir.

• Ancak elektrik yükünün korunumu kanununa göre, düğümdeki elektrik yüklerinin cebirsel toplamı değişmez, yani düğüm net yük depolamaz. Böylece,

𝑞𝑘 𝑡 = 0 → 𝑖𝑇 𝑡 = 0

olur ve Kirchhoff akım kanunu sağlanmış olur.

12.10.2015

• Şekil 2.16’daki düğüme Kirchhoff akım kanunu uygulanırsa,

𝑖1 + −𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + −𝑖5 = 0

• 𝑖1, 𝑖3 ve 𝑖4 düğüme giren akımlar, • 𝑖2 ve 𝑖5 düğümden çıkan akımlardır. Terimler yeniden düzenlenirse,

𝑖1 + 𝑖3 + 𝑖4 = 𝑖2 + 𝑖5

olur ve Kirchhoff akım kanununun diğer bir şekli elde edilmiş olur: • Bir düğüme giren akımların toplamı, düğümden çıkan

akımların toplamına eşittir.

• Kirchhoff akım kanunu kapalı bir sınıra da uygulanabilir. • Şekil 2.17’deki devrede görüldüğü gibi,

• Kapalı yüzeye giren toplam akım, yüzeyden çıkan toplam akıma eşittir.

22 12.10.2015

• Kirchhoff akım kanununun basit bir uygulaması paralel akım kaynaklarının birleştirilmesidir.

• Birleştirilen akım, ayrı kaynaklar tarafından verilen akımların cebirsel toplamıdır.

• Örneğin, Şekil 2.18(a)’daki akım kaynakları, Şekil 2.18(b) ’deki gibi birleştirilebilir.

• Birleştirilen (eşdeğer) akım kaynağı, 𝑎 düğümüne Kirchhoff akım kanunu uygulanarak bulunabilir:

𝐼𝑇 + 𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼3 veya

𝐼𝑇 = 𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3

• Akımları 𝐼1 ve 𝐼2 olan iki farklı akım kaynağı 𝐼1 = 𝐼2 olmadıkça seri bağlanamaz.

23 12.10.2015

• Kirchooff’un ikinci kanunu, enerjinin korunumu prensibine dayanan Kirchhoff gerilim kanunu (KGK)’dur.

• Kirchhoff gerilim kanunu (KGK): Kapalı bir çevredeki bütün gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır.

• Kirchhoff gerilim kanunu (KGK) matematiksel olarak;

𝑣𝑚 = 0

𝑀

𝑚=1

• şeklinde ifade edilir. Burada 𝑀 , çevredeki gerilimlerin sayısı (veya çevredeki dal sayısı) ve 𝑣𝑚 ise 𝑚. gerilimidir.

• Kirchhoff gerilim kanununu göstermek için Şekil 2.19’daki devreyi göz önüne alalım. Çevre etrafında gidildiğinde ilk karşılaşılan ucun polaritesi, her bir gerilimin işareti olarak belirlenir. Herhangi bir daldan başlayarak, çevre etrafında saat yönünde veya saat yönünün tersinde gidilebilir.

• Şekil 2.19’da gösterildiği gibi gerilim kaynağı ile başladığımızı ve çevre etrafında saat yönünde gittiğimizi kabul edelim.

• Örneğin, 3. dala ulaştığımızda karşılaşılan ilk uç pozitif olduğundan +𝑣3 alırız.

• 4. dala ilk olarak negatif uçtan ulaştığımız için −𝑣4 alırız.

24 12.10.2015

• Böylece Kirchhoff gerilim kanunundan,

−𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 − 𝑣4 + 𝑣5 = 0

elde edilir. Terimler yeniden düzenlenirse,

𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣5 = 𝑣1 + 𝑣4

olarak elde edilen Kirchhoff gerilim kanunu diğer bir şekilde yorumlanabilir:

Düşen gerilimlerin toplamı = Yükselen gerilimlerin toplamı

• Gerilim kaynakları seri bağlandığında, toplam gerilimi elde etmek için Kirchhoff gerilim kanunu uygulanabilir. Birleştirilen gerilim, ayrı kaynakların gerilimlerinin cebirsel toplamıdır.

• Örneğin, Şekil 2.20(a)’da gösterilen gerilim kaynakları için, Kirchhoff gerilim kanunu uygulanarak, Şekil 2.20(b) ’deki birleştirilen (eşdeğer) gerilim kaynağı elde edilir.

−𝑉𝑎𝑏 + 𝑉1 + 𝑉2 − 𝑉3 = 0 veya

𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑆 = 𝑉1 + 𝑉2 − 𝑉3

• Gerilimleri 𝑉1 ve 𝑉2 olan iki farklı gerilim kaynağı 𝑉1 = 𝑉2 olmadıkça paralel bağlanamaz.

25 12.10.2015

2.5 Seri Dirençler ve Gerilim Bölme • Şekil 2.29’daki devrede her iki dirençten de aynı 𝑖 akımı

geçtiğinden dolayı bu dirençler seri bağlıdır. • Her bir dirence Ohm kanununu uygularsak,

𝑣1 = 𝑖𝑅1, 𝑣2 = 𝑖𝑅2 elde ederiz. Devredeki çevreye saat yönünde giderek Kirchhoff gerilim kanunu uygularsak,

−𝑣 + 𝑣1 + 𝑣2 = 0 olur. Buradan,

𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑖(𝑅1 + 𝑅2)

𝑖 =𝑣

𝑅1+𝑅2

𝑣 = 𝑖𝑅𝑒ş

𝑅𝑒ş = 𝑅1 + 𝑅2

şeklinde iki direnç bir eşdeğer dirençle gösterilebilir.

26 12.10.2015

2.5 Seri Dirençler ve Gerilim Bölme • Şekil 2.29’daki devre, Şekil 2.30’daki eşdeğer devre ile gösterilebilir.

Her iki devre, 𝑎 − 𝑏 uçlarında aynı gerilim-akım ilişkisi gösterdiğinden eşdeğerdir. Eşdeğer devre, bir devrenin analizini basitleştirdiği için faydalıdır.

• Herhangi bir sayıdaki seri bağlı dirençlerin eşdeğer direnci, ayrı dirençlerin toplamıdır.

• Seri bağlı 𝑁 direnç için eşdeğer direnç:

𝑅𝑒ş = 𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑁 = 𝑅𝑛𝑁𝑛=1

Her bir dirençteki gerilim düşümü;

𝑣1 =𝑅1𝑅1+𝑅2𝑣 ve 𝑣2 =

𝑅2𝑅1+𝑅2𝑣

şeklinde elde edilir.

• 𝑣 kaynak gerilimi, dirençler arasında direnç değerleriyle doğru orantılı olarak bölünür; büyük dirençte büyük gerilim düşümü olur.

• Buna gerilim bölme kuralı denir ve Şekil 2.29’daki devre gerilim bölen devre olarak isimlendirilir.

27 12.10.2015

2.6 Paralel Dirençler ve Akım Bölme • Şekil 2.31’deki devrede iki direnç paralel bağlıdır ve bundan dolayı her

dirençte de aynı gerilim düşümü olur. • Ohm kanunundan, 𝑣1 = 𝑖1𝑅1, 𝑣2 = 𝑖2𝑅2

veya

𝑖1 =𝑣

𝑅1 ve 𝑖2 =

𝑣

𝑅2

yazılır. 𝑎 düğümüne Kirchhoff akım kanunu uygulanırsa toplam akım,

𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 olur. Buradan,

𝑖1 =𝑣

𝑅1+𝑣

𝑅2= 𝑣

1

𝑅1+1

𝑅2=𝑣

𝑅𝑒ş

elde edilir. Burada 𝑅𝑒ş paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direncidir.

1

𝑅𝑒ş=1

𝑅1+1

𝑅2 yazılır ve eşdeğer direnç, 𝑅𝑒ş =

𝑅1𝑅2

𝑅1+𝑅2 olur.

28 12.10.2015

2.6 Paralel Dirençler ve Akım Bölme • Paralel bağlı iki direncin eşdeğer direnci, iki direncin çarpımının toplamına

bölümüne eşittir.

• 𝑅1 = 𝑅2 ise, 𝑅𝑒ş = 𝑅1/2 olur.

• N sayıda direncin paralel bağlandığı bir devrede eşdeğer direnç,

• 1

𝑅𝑒ş=1

𝑅1+1

𝑅2+⋯+

1

𝑅𝑁

• Genellikle paralel dirençler ile çalışıldığında, dirençten daha çok iletkenlik kullanılır.

• 𝐺𝑒ş = 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 +⋯+ 𝐺𝑁

• Paralel bağlı dirençlerin eşdeğer iletkenliği, ayrı ayrı iletkenliklerinin toplamıdır.

• Burada iletkenlikler; 𝐺𝑒ş =1

𝑅𝑒ş, 𝐺1 =

1

𝑅1, 𝐺2 =

1

𝑅2, 𝐺3 =

1

𝑅3, … , 𝐺𝑁 =

1

𝑅𝑁,

• Paralel bağlı dirençlerin eşdeğer iletkenliği,

seri bağlı dirençlerin eşdeğer direnciyle

aynı yolla elde edilir.

• Seri bağlı dirençlerin eşdeğer iletkenliği ise,

paralel bağlı dirençlerin eşdeğer direnciyle

aynı yolla elde edilir.

•1

𝐺𝑒ş=1

𝐺1+1

𝐺2+1

𝐺3+⋯+

1

𝐺𝑁

29 12.10.2015

2.6 Paralel Dirençler ve Akım Bölme • Şekil 2.31’deki 𝑎 düğümüne giren toplam 𝑖 akımı verildiğinde, 𝑖1 ve 𝑖2 nasıl elde edilir? Eşdeğer direncin aynı gerilime sahip olduğunu biliyoruz.

𝑣 = 𝑖𝑅𝑒ş =𝑖𝑅1𝑅2

𝑅1+𝑅2 Burada, 𝑖1 =

𝑣

𝑅1 ve 𝑖2 =

𝑣

𝑅2 ’yi yerine yazarsak,

𝑖1 =𝑅2𝑖

𝑅1+𝑅2 veya 𝑖1 =

𝐺1𝑖

𝐺1+𝐺2

𝑖2 =𝑅1𝑖

𝑅1+𝑅2 veya 𝑖2 =

𝐺2𝑖

𝐺1+𝐺2

şeklinde elde edilir.

• Toplam 𝑖 akımı, dirençler tarafından direnç değerleriyle ters orantılı olarak paylaşılır; daha küçük dirençten daha büyük akım akar.

• Buna akım bölme kuralı denir ve Şekil 2.31’deki devre akım bölen devre olarak bilinir.

30 12.10.2015

• Şekil 2.31’deki bir dirençlerden birisini sıfır kabul edelim. Mesela, 𝑅2 = 0 olsun. Bu durumda Şekil 2.33(a)’da gösterildiği gibi, 𝑅2 direnci kısa devre olur.

• 𝑖1 =𝑅2𝑖

𝑅1+𝑅2 denkleminde,

𝑅2 = 0 ise 𝑖1 = 0 olur.

• 𝑖2 =𝑅1𝑖

𝑅1+𝑅2 denkleminde,

𝑅2 = 0 ise 𝑖2 = 𝑖 olur.

• Bunun anlamı, 𝑖 akımının tamamının 𝑅1 direncini bypass ederek (atlayarak), en küçük direnç yolu olan (𝑅2= 0) kısa devresinden aktığıdır.

• Bir devre, kısa devre edildiğinde iki durum meydana gelir:

1. Eşdeğer direnç, 𝑅𝑒ş = 0 olur. (𝑅2 = 0 ’da olduğu gibi)

2. Akımın tamamı kısa devreden geçer.

31 12.10.2015

• Diğer bir durumda, 𝑅2 = ∞ olduğunu kabul edelim. Bu durumda Şekil 2.33(b)’de gösterildiği gibi, 𝑅2 direnci açık devre olur.

• 𝑖 akımı, yine en küçük direnç yolu olan 𝑅1 direncinden akar.

• 𝑅𝑒ş =𝑅1𝑅2

𝑅1+𝑅2 denkleminde

𝑅2 → ∞ için limit alarak,

eşdeğer direnci, 𝑅𝑒ş = 𝑅1

olarak elde ederiz.

32 12.10.2015

2.7 Yıldız Üçgen Dönüşümleri • Devre analizinde çoğunlukla dirençlerin ne seri ne de paralel olduğu

durumlar ortaya çıkar. Örneğin, Şekil 2.46’daki köprü devreyi göz önüne alalım.

• Bu şekilde birçok devre, üç uçlu eşdeğer devreler kullanılarak basitleştirilebilir.

• Bunlar; Şekil 2.47’de gösterildiği gibi yıldız (Y) veya T devresi ile Şekil 2.48’de gösterildiği gibi üçgen (∆) veya pi (Π) devresi’dir.

• Bunlar, üç fazlı devrelerde ve elektrik filtrelerinde kullanılır. • Buradaki amacımız, bir devrenin parçası olarak karşılaştığımızda nasıl

özdeşleştireceğimiz ve devre analizinde yıldız-üçgen dönüşümünün nasıl uygulanacağıdır.

33 12.10.2015

Yıldız Üçgen Dönüşümleri

Üçgen Yıldız Dönüşümü:

• Mevcut üçgen devreyi yıldız bir devre ile

eşleştiriyoruz ve yıldız devredeki eşdeğer

direnci buluyoruz.

34 12.10.2015

Üçgen - Yıldız Dönüşümü

35 12.10.2015

Üçgen - Yıldız Dönüşümü

• Y devredeki her bir direnç, iki komşu Δ dalındaki dirençlerin çarpımının, üç adet Δ direncin toplamına bölümüdür.

36 12.10.2015

Yıldız - Üçgen Dönüşümü

• Yıldız bir devrenin üçgen bir devreye dönüşümünü elde etmek için,

• Yıldız – Üçgen Dönüşüm Kuralı:

• Δ devredeki her bir direnç, Y dirençlerin çarpımlarının toplamının, karşı taraftaki Y direncine bölümüdür.

37 12.10.2015

Yıldız - Üçgen Dönüşümü

olduğunda, yıldız ve üçgen devreler dengelidir, denir.

Bu şartlar altında, dönüşüm formülleri şu şekilde olur:

38 12.10.2015

Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı • Dirençler, akım akışını kontrol etmek için kullanılır. • Direncin bu özelliğinin potansiyometre gibi çeşitli uygulamalarda avantajı

vardır. • Potansiyometre, potansiyel ile metre kelimelerinden elde edilir ve

potansiyel ölçebilen anlamına gelir. • Potansiyometre (veya kısaca pot), gerilim bölme prensibiyle çalışan üç uçlu

bir cihazdır. • Aslında potansiyometre, ayarlanabilir bir gerilim bölücüdür.

𝑉𝑜 = 𝑉𝑏𝑐 =𝑅𝑏𝑐

𝑅𝑎𝑐𝑉𝑖

𝑅𝑎𝑐 = 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐

• Potun kontağı c veya a ’ya doğru hareket ettirilerek V𝑜𝑢𝑡 çıkışı azaltılır veya artırılır.

• Potansiyometre, radyo, televizyon vb. cihazlarda ses veya kademe kontrolü için kullanılan bir gerilim düzenleyicidir.

39 12.10.2015

Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı

• Dirençlerin, akım akışını kontrol etmek için kullanıldığı diğer bir uygulama, akım, gerilim ve direnç ölçmede kullanılan analog doğru akım ölçü aletleri (ampermetre, voltmetre ve ohmmetre)’dir.

• Şekil 2.59’da gösterildiği gibi, bir elemana bağlanan voltmetre ve ampermetreyi göz önüne alalım.

• Voltmetre, bir yükün uçlarındaki gerilimi ölçmektedir ve bu yüzden elemana paralel bağlanmıştır.

• Voltmetrenin devreden çektiği akımı minimize etmek için kendisine paralel bağlı 𝑅𝑚 iç direnci çok büyük (teorik olarak sonsuz) seçilir.

• Voltmetrenin ölçme sınırını genişletmek için, genellikle voltmetreye Şekil

2.60(b)’de gösterildiği gibi seri ön dirençler bağlanır. • Şekil 2.60(b)’deki çok kademeli voltmetre, anahtarın 𝑅1, 𝑅2 veya 𝑅3’e

bağlı olup olmamasına göre, sırasıyla 0-1 V, 0-10 V veya 0-100 V gerilimlerini ölçebilir.

40 12.10.2015

Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı • Şimdi Şekil 2.60(a)’daki tek kademeli voltmetrenin 𝑅𝑛 ön direnci ile Şekil

2.60(b)’deki çok kademeli voltmetrenin 𝑅𝑛 = 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3 ön dirençlerini hesaplayalım.

• Voltmetrenin 𝑅𝑚 iç direnci ile seri bağlanacak 𝑅𝑛 değerini bulmamız gerekir. Herhangi bir tasarımda en kötü şartı göz önüne alırız.

• Burada, voltmetreden geçen maksimum skala akımının, 𝐼𝑚𝑠 = 𝐼𝑚 olmasıyla en kötü durum oluşur.

• 𝑅𝑛 ön direnci, 𝑅𝑚 iç direnci ile seri bağlı olduğundan voltmetreden okunan maksimum skala gerilimi 𝑉𝑚𝑠,

𝑉𝑚𝑠 = 𝐼𝑚𝑠(𝑅𝑛 + 𝑅𝑚) • Buradan,

𝑅𝑛 =𝑉𝑚𝑠

𝐼𝑚𝑠− 𝑅𝑚

elde ederiz.

41 12.10.2015

Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı

• Benzer şekilde, ampermetre, seri olarak bağlandığı yükten geçen akımı ölçmektedir.

• Şekil 61(a)’da gösterildiği gibi ampermetrenin kendisine seri bağlı 𝑅𝑚 iç direnci, uçlarındaki gerilim düşümünü minimize etmek için çok küçük (teorik olarak sıfır) seçilir.

• Ampermetrenin ölçme sınırını genişletmek için, genellikle ampermetreye Şekil 2.61(b)’de gösterildiği gibi paralel (şönt) dirençler bağlanır.

• Şönt dirençler ampermetrenin, anahtarın 𝑅1, 𝑅2 veya 𝑅3’e bağlı olup olmamasına göre, sırasıyla 0-10 mA, 0-100 mA veya 0-1 A kademelerinde ölçüm yapmasını sağlar.

42 12.10.2015

Doğru Akım Ölçü Aletlerinin Tasarımı

• Şimdi Şekil 2.61(a)’daki tek kademeli ampermetrenin 𝑅𝑛 şönt direnci ile Şekil 2.61(b)’deki çok kademeli ampermetrenin 𝑅𝑛 = 𝑅1 , 𝑅2, 𝑅3 şönt dirençlerini elde edelim.

• 𝑅𝑚 ile 𝑅𝑛 paralel bağlı olduğundan, ampermetreden okunan maksimum skala akımı,

𝐼 = 𝐼𝑚𝑠 = 𝐼𝑚 + 𝐼𝑛 ’dir.

Burada 𝐼𝑛, şönt dirençten (𝑅𝑛) geçen akımdır.

• Akım bölme kuralını uygularsak,

𝐼𝑚 =𝑅𝑛

𝑅𝑛+𝑅𝑚𝐼𝑚𝑠

veya

𝑅𝑛 =𝐼𝑚

𝐼𝑚𝑠−𝐼𝑚𝑅𝑚

olur.

43 12.10.2015

• Örnek 2.17: Bir voltmetrenin iç direnci 𝑅𝑚 = 2 𝑘Ω ve maksimum skala akımı 𝐼𝑚𝑠 = 100 𝜇𝐴 olduğuna göre, aşağıdaki ölçme alanlarında bir voltmetre tasarlamak için gerekli ön direnç değerlerini hesaplayınız.

a) 0-1 V b) 0-5 V c) 0-50 V d) 0-100 V

Çözüm: a) 0-1 V alanında ölçme yapabilmek için,

𝑅1 =1

100x10−6− 2000 = 10000 − 2000 = 8 kΩ

b) 0-5 V alanında ölçme yapabilmek için,

𝑅2 =5

100x10−6− 2000 = 50000 − 2000 = 48 kΩ

c) 0-50 V alanında ölçme yapabilmek için,

𝑅3 =50

100x10−6− 2000 = 500000 − 2000 = 498 kΩ

d) 0-100 V alanında ölçme yapabilmek için,

𝑅4 =100

100x10−6− 2000 = 1000000 − 2000 = 998 kΩ

44 12.10.2015